力学.第4章.功和能

第四章 功和能
△§4.1 功 △§4.2 动能定理 §4.3 一对力的功 §4.4 保守力 △§4.5 势能 §4.6 由势能求保守力 §4.7 功能原理和机械能守恒定律 §4.8 守恒定律的意义 △§4.9 碰撞 §4.10 质心系中的功能关系 §4.11 两体问题
△§4.1 功
功：力和力所作用质点（或质元）位移的标积
五. 质点在有心力场中的运动简介 1. 有心力场 有心力是指方向始终指向（背向）固定中 心的力，如万有引力，可表达为： r r F = f ( r )er r er 是以固定中心为原点的矢径的单位矢量。 有心力场是保守力场，其势能为：
V (r ) =
r0
∫
r
f ( r )dr + V ( r0 )
ux
v
环＋球系统： 杆力 N 沿 –y 方向， x 方向 不受力，分动量守恒： (1) m v x + 2mu x = 0
v′
只重力作功，机械能守恒： 1 1 2 2 2 (2) m (v x + v y ) + 2mu x − mgl sin θ = 0 2 2 小球相对环作圆周摆动，设相对速度为 v′ 。
▲ 曲线上局部最大点对应不稳定平衡位置： 质点稍微偏离不稳定平衡点，会受到让 它进一步偏离平衡点的力。 【例】双原子分子势能曲线
Ep O r0 r
r = r0 ：f = 0，平衡位置 r > r0 ：f < 0，引力作用 r < r0 ：f > 0，斥力作用
平衡种类
势能曲线
稳定平衡
势垒 势阱 A ΔE1 ΔE 2 B
i 质点系动能定理： W外 + W内 = ∑ ΔE k i
注意：内力虽成对出现，但内力作功之和不 一定为零（各质点位移不同）。 动能定理适用于惯性系。
§4.3 一对力的功
一对力：分别作用在两个物体上，大小相等、 方向相反，不一定是作用与反作用力 一对力的功： z B1× r r r r r r f d W 对 = f 1 ⋅ d r1 + f 2 ⋅ d r2 d r1 1 r m1 r r r = f 2 ⋅ (d r2 − d r1 ) r1 r r r = f 2 ⋅ d( r2 − r1 ) × A1 r r x O = f 2 ⋅ d r21 r d r21 是 m2 相对 m1 的元位移。
A B
r r f ⋅d r
r r d r = er ⋅ d r r dr r er r m r f r
rA × A
M
r 任何有心力 f ( r )er 都是保守力。
r GMm r = ∫ − 2 er ⋅ d r A r rB GMm =∫ − dr 2 rA r GMm GMm = − rB rA
第四章 功和能
v0 r0 E<0 椭圆 E>0 双曲线 E=0 抛物线
本章讨论力对空间的积累效应 — 功、动能、 势能、动能定理、机械能守恒定律。 1. 深入理解以上概念，搞清它们是属于质点、 还是属于系统？是否与参考系选择有关？ 2. 搞清规律的内容、来源、对象、适用条件、 与参考系的关系等。 ▲ 功的计算是否依赖参考系？ ▲ 势能是否与参考系选择有关？ ▲ 机械能守恒是否与惯性系选择有关？ ▲ 摩擦生热是否与参考系选择有关？
【讨论】匀速转动参考系中，惯性离心力和 科氏力作功有何特点？ 答： 科氏力和速度垂直，不作功。 惯性离心力是有心力，可引入惯性离心 势能描述其作功： r 1 0 惯 2r 惯 E P ( r ) = ∫r m ω r ⋅ dr = − m ω 2 r 2 , E P (0) = 0 2 ω 恒定 【思考】 用势能曲线讨论 θ 小珠 小珠的稳定性 R
2. 有心力场中质点运动方程 质点在有心力场中运动的 2 个重要特征： ▲ 角动量守恒，运动必在一个平面上： r L = 常矢量 ▲ 质点的机械能守恒： E = 常量 采用极坐标系： r r 位矢： r = rer r r r &e & 速度： v = rer + rθ θ
r r eθ er
r
力心
例如：
r v m 对M
光滑
r N r vm
m
r N′ M
r vM
r r N 不垂直于 v m ⇒ W N ≠ 0 r r N ′ 不垂直于 v M ⇒ W N ′ ≠ 0 r r 但 N ⊥ v m对M 所以 W N + W N ′ = 0
§4.4 保守力
保守力：一对力，所作的功和相对移动路径 无关，只和物体始末相对位置有关
2. 弹力 f = − k ( x − x0 ) x0 — 平衡位置， k — 劲度系数 二. 非保守力 作功和路径有关的力称为非保守力。 ▲ 摩擦力 滑动摩擦力作为内力时，功恒负 — 耗散力 静摩擦力作功可正、负或零 — 非耗散力 ▲数 — 势能替代保守力做功 定义：系统由位形 A 变到位形 B ，保守力 （内力）作功等于系统势能的减少， 或等于系统势能增量的负值。 B r r E p ( A) − E p ( B ) = −ΔE p = W保内 = ∫A f 保内 ⋅ d r 势能零点：规定某位形 O 的 Ep(O) = 0 ▲ 势能属于系统 ▲ 势能、势能零点选择和参考系无关
光滑 v
M
m
四. 守恒定律联合应用举例 【例1】荡秋千原理 1 → 2：人迅速蹲下，使有效 O 摆长 Om 由 l′ 变为 l ；
θ
v′ 4 v
l′
1
l m
2 → 3：对（人+地球）系统，
3
只重力作功，机械能守恒： 1 m v 2 = mgl (1 − cos θ ) (1) 2 2 3 → 4：人对 O ， M 外 = 0 角动量守恒： m v ′l ′ = m vl (2)
f保 y = −
∂E p ∂y
,
f保 z = −
∂E p ∂z
r ∂E p r ∂E p r ∂E p r ∴ f 保 = −( i+ j+ k) ∂z ∂x ∂y = − grad E p — 势能梯度的负值
标量函数的梯度：大小等于方向导数最大值， 方向指向标量函数增长最快的方向。
r ∂ r ∂ r ∂ 引入算符 ∇ ≡ i +j +k ∂x ∂y ∂z r f 保 = −grad E p = −∇E p
r dr
× B
θ r L m F
×A
W AB = ∫ d W A B r r = ∫ F ⋅d r
A
B
=∫
B
A
r F cos θ ⋅ d r
▲ 功是过程量，不是状态量； ▲ 功依赖于参考系； ▲ 功是标量，有正、负之分。
△§4.2 动能定理
动能
1 2 Ek = mv 2
质点动能定理： W AB = E k ( B ) − E k ( A) = ΔE k
孤立的、保守的系统的机械能守恒。 对保守系统：势能和动能通过保守内力作功 相互转化
ΔE = 0，ΔE k = −ΔE p = W保内
三. 普遍的能量守恒定律 孤立系统内部不论经历何种变化， 系统内部各种能量总和保持不变。 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在 机械运动范围内的体现。 【思考】 该过程中地面压力如何变化？
不稳平衡
随遇平衡
在 A 点，若 Ek > ΔE1 则质点可 越过势垒进入 B 区。 在 B 点，若 Ek > ΔE2 则质点可 越过势垒进入 A 区。 总能量 E 决定质点在势场中的 运动范围。
亚稳平衡
§4.7 功能原理和机械能守恒定律
一. 功能原理 对质点系： W外 + W内 = E k ( B ) − E k ( A)
θ
x
y
v ′x
ux
θ
球相对环的速度 v ′ 的分量满足： |v ′x |=| v ′y | tan θ (3)
v ′x = v x − u x
v ′y = v y − 0
(4) (5)
v ′ v ′y v
a环
θ
T
θ
(1)－(5) 可解出所有速度分量 在圆环这个平动非惯性系中求 绳中张力 T ：
F惯 = ma 环 2ma 环 = T cos θ
B2 × r r f 2 d r2 m2 A× 2 y
r r21 r r2
W对 = ∫
B
A
r B r r r f 2 ⋅ d r21 = ∫ f 1 ⋅ d r12
A
A 表示初位形，即 m1 在 A1，m2 在 A2 B 表示末位形，即 m1 在 B1，m2 在 B2 几点说明： 1. W对 与参考系选取无关。 2. 一对滑动摩擦力的功恒小于零。 摩擦生热：一对滑动摩擦力作功的结果 3. 无相对位移、相对位移与一对力垂直时， 一对力的功必为零。
F惯 θ
(6) (7)
mg
a环
θ
T
θ
圆周运动法向方程：
F惯 θ
v ′2 T + F惯 cosθ − mg sin θ = m l (1)－(8) 解出绳中张力 T ：
2 sin θ (8 + cos 2 θ ) T= mg 2 2 ( 2 + cos θ )
(8)
v ′ mg
总结：此题涉及动量守恒，机械能守恒， 相对运动，平动非惯性系。 【演示】锥体上滚，载摆小车
万有引力势能
GMm E p (r ) = − , r E p (∞ ) = 0
弹性势能
1 E p ( x ) = k ( x − x0 ) 2 , E p ( x0 ) = 0 2
§4.6 由势能求保守力
一. 由势能函数求保守力 r r f保 ⋅ d l = − d E p
f 保l d l = − d E p