人教a版高考数学理一轮课件115复数的概念及运算
高中数学理人教A版一轮参考课件：11-5 复数的概念及运算
主干梳理
要点梳理
考点自测
1
2
3
4
5
6
1.复数 A.
2 5
i 的实部是( 1+2i
) C.
1 5
解析:
i 1+2i
=
2+i 5
=
2 5 2 1 2 + i,实部是 . 5 5 5
B.-
D.-
1 5
答案:A
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要点梳理
考点自测
1
2
3
4
5
6
2.实部为-2,虚部为 1 的复数所对应的点位于复平面的( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:由题意知,该复数在复平面内对应的点为(-2,1), 所以该点位于复平面的第二象限. 答案:B主干梳理要点梳理
考点自测
2.复数的几何意义 复数 z=a+bi 与复平面内的点 Z(a,b)(a,b∈R)与平面向量������������是一一对 应的关系. 3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; ③乘法:z1· z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; ④除法:
=
=
=
2 +
2i(c+di≠0).
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考点自测
人教a版高考数学(理)一轮课件：11.5复数的概念及运算
2 +
������������ -������������
2
������ 2 +������
i(c+d i≠0).
(2)复数的加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). (3)复数的乘法的运算定律 复数的乘法满足交换律、结合律、分配律,即对于任意 z1,z2,z3∈C,有 z1· z2=z2· z1,(z1· z2)· z3=z1· (z2· z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
-6±4i 2
)
=-3± 2i,选项 A 正确.
4 .(2012·山东卷,1 )若复数 z 满足 z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位),则 z 为( ) A .3+5i B.3- 5i C.-3+5i D.-3-5i 【答案】A 【解析】设 z=a+b i,a ,b∈R,则 z(2-i)=(a+b i)(2-i)=(2a+b )+(2b-a )i,于是有 2������ + ������ = 11, ������ = 3, 解得 2������-������ = 7, ������ = 5. 故 z=3+5i,应选 A .
2 .复数的几何意义 复数 z=a+b i 与复平面内的点 Z(a ,b )(a ,b∈R)与平面向量������������是一一对应 的关系.
3 .复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 V 设 z1=a+b i,z2=c+d i(a ,b ,c,d ∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+b i)+(c+d i)=(a+c)+(b+d )i; ②减法:z1-z2=(a+b i)-(c+d i)=(a-c)+(b-d )i; ③乘法:z1· z2=(a+b i)(c+d i)=(ac-bd )+(ad+bc)i; ④除法: 1 =
2024届高考数学第一轮专项复习——复数的概念与运算 教学PPT课件
； ＝
＝
＝
2
＋i
（＋i)(−i）
−
1
1 2
1 2
＋ 2
i（ c ＋ d i≠0），即 ＝
＝
.
2
2
2
2
＋
＋
｜2｜
2
2 2
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（2） 复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意 z 1， z 2， z 3∈C，有 z 1＋ z 2
（ m ∈R，i是虚数单位）.
（1） 若 z 为纯虚数，求实数 m 的值.
− − = ，
解：（1） 若 z 为纯虚数，则
解得 m ＝－1.所以实
− ≠ ，
数 m 的值为－1.
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（2） 当 m ＝2时，复数 （1＋i）是关于 x 的方程2 x 2＋ px ＋ q ＝0的一
4. 复数是纯虚数的充要条件：① z ＝ a ＋ b i是纯虚数⇔ a ＝0且 b ≠0
（ a ， b ∈R）；② z ＝ a ＋ b i是纯虚数⇔ z ＋ ＝0（ z ≠0）；③ z ＝ a
＋ b i是纯虚数⇔ z 2＜0.
5. 实系数一元二次方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的两个复数根互为共轭
= ，
− ＋ = ，
以
解得
= .
− = ，
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总结提炼
与复数概念有关的问题主要考查以下几点
（1） 复数的实部与虚部；（2） 复数的分类；（3） 复数的共轭
复数.
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[对点训练]
若 z 1， z 2为复数，则“ z 1－ z 2是纯虚数”是“ z 1， z 2互为共轭复数”的
高考数学(理)一轮复习课件：11.3 复数的概念及运算
二、复数的运算 1．复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝_(_a_＋__c_)＋__(_b_＋__d_)_i .
＝－i－2 23＋3ii＋i11004＝i＋1
点评：复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有 虚数单位 i 的看作一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项，分 别合并即可，但要注意把 i 的幂写成最简单的形式，在运算过程 中，要熟悉 i 的特点及熟练应用运算技巧．
11．3 复数的概念及运算
考点梳理
一、复数的有关概念
1．复数的概念
形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的
_实__部___和__虚__部__.若__b_＝__0_，则 a＋bi 为实数，若_b_≠__0__，则 a＋
bi 为虚数，若_a_＝__0__且__b_≠__0_，则 a＋bi 为纯虚数．
4．a 为正实数，i 为虚数单位，|a＋i i|＝2，则 a＝( ) A．2 B. 3 C. 2 D．1
解析：由已知|a＋i i|＝2 得|a＋i i|＝|(a＋i)·(－i)|＝|1－ai|＝2， 所以 1＋a2＝2，∵a＞0，∴a＝ 3.
答案：B
5．若复数 z＝11＋－ii＋m·11－＋ii(i 为虚数单位)为实数，则实数 m ＝________.
解析：∵i2＝－1，∴－1∈S，故选 B. 答案：B
2．复数－i＋1i＝( )
A．－2i
1 B.2i
高考数学理科第一轮细致复习课件：125复数人教A版.ppt
培养·解题能力
【自主体验】
1．(2014·滨州模拟)已知a－i 2i＝b＋i(a，b∈R)，则 a－b＝(
)．
A．1
B．2
C．－1
D．－3
解析 a－2i＝bi＋i2＝－1＋bi，∴a＝－1，b＝－2，∴a－b ＝1. 答案 A
论断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
2．(2012·湖北卷)若31＋－bii＝a＋bi(a，b∈R)，则 a＋b＝________. 解析 由已知得 3＋bi＝(1－i)(a＋bi)＝a＋bi－ai－bi2＝(a＋b) ＋(b－a)i， 根据复数相等得ab＋ －ba＝ ＝3b， ， 解得ab＝ ＝03， . ∴a＋b＝3. 答案 3
论断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
[反思感悟] (1)复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化 的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以 列出方程(组)来求未知数的值． (2)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问 题最基本的思想方法．
论断·基础知识
突破·高频考点
( )．
A．25
B. 41
C．5
D. 5
论断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
解析 (1)z＝i＋i2＝－1＋i，对应的点为(－1,1)，位于复平面第二 象限． (2)∵z＝4－4ii－1＝3－i 4i＝3－i·i4ii＝4－＋13i＝－4－3i， ∴|z|＝ －42＋－32＝5.
答案 (1)B (2)C
规律方法 要掌握复数的几何意义就要搞清楚复数、复平面内的 点以及向量三者之间的一一对应关系，从而准确理解复数的 “数”与“形”的特征．
论断·基础知识
人教版高三数学一轮复习精品课件5：13.5 复数
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3∈C，
有 z1＋z2＝ z2＋z1 ，(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3)
.
1．判定复数是实数，仅注重虚部等于 0 是不够的，还 需考虑它的实部是否有意义．
2．利用复数相等 a＋bi＝c＋di 列方程时，注意 a，b， c，d∈R 的前提条件．
2．复数的几何意义
(1)复数 z＝a＋bi 一一对应复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 一一对应平面向量 OZ . 3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i ；
2＋i · －2i 2i· －2i
＝2－4 4i＝12
－i 知复数 z 的虚部为－1.
答案：－1
3．(2013·徐州、宿迁三检)已知 i 是虚数单位，若a＋i 3i＝b＋ i(a，b∈R)，则 ab 的值为________．
解析：原等式可化为 a＋3i＝bi－1，于是 a＝－1，b＝3，则 ab ＝－3. 答案：－3
[答案] 四
(2)(2014·苏州一调)若复数(a＋i)2 对应点在 y 轴的负半轴上 (其中 i 是虚数单位)，则实数 a 的值是________．
(2)解题时一定要先看复数是否为 a＋bi(a，b∈R)的形式，以 确定实部和虚部．
[典例] (1)(2013·苏锡常镇调研(二))已知 i 是虚数单位，复
数 z＝31＋ ＋ii对应的点在第________象限．
[解析]
由题可得 z＝
3＋i 1－i 2
2019-2020学年新人教A版必修二 复数的运算 课件(28张)
3 2
-i
2
,
而 ������-
3 2
-i
max =|������'������|+1=1+ 243,
������-
3 2
-i
=|������'������|-1=
min
243-1.
故|z- 3|2+|z-2i|2的最大值为 27+2 43,最小值为 27-2 43.
利用复数模的几何意义,将问题转化为平行四边形的两边的平方和与对角 线的平方和的关系 .
【解析】由已知得,“a+bi 是纯虚数”⇒ “a=0”,但“a=0” “复数 a+bi 是纯虚
数”,因此“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的必要而不充分条件.
3.(2012·湖北卷,1)方程 x2+6x+13=0 的一个根是( ) A.-3+2i B.3+2i C.-2+3i D.2+3i 【答案】A
−
12i.故选
A.
二、化虚为实
利用复数的代数形式将复数问题转化为实数问题.
例 2 已知 z∈C,解方程 z������-3i������=1+3i.
【解】设 z=x+yi(x,y∈R), 则原方程可化为 x2+y2-3y-3xi=1+3i.
由复数相等的条件 ,得
������ 2
-3������ = 3, + ������2-3y =
T 题型一复
数的概念及其几何意义
例 1 当实数 m 为何值时,z=���������2���-+m3-6 +(m2+5m+6)i
人教版理科数学一轮复习教学ppt第十二篇 第5讲 复数
•
复数的实部对应着点的横坐标，而虚部则对应着点的纵坐标，只要在复平面内
a b
• (3)复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，把复数 表示成a＋bi的形式，叫做复数的代数形式．
• (4)复数的分类：对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当_____时，复数a＋bi(a、 b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z＝a＋bi叫做虚数；当___________时，z＝bi 叫做纯虚数．
• C．－1＋i
D．1＋i
( )．
解析 z＝1－i i＝1－i·i ii＝－1－i. 答案 A
• 3．(2012·安徽)复数z满足(z－i)(2－i)＝5，则z＝
• A．－2－2i
B．－2＋2i
• C．2－2i
D．2＋2i
( )．
解析 由题意知 z＝2－5 i＋i＝2－52i＋2＋i i＋i＝2＋2i. 答案 D
第5讲 复 数
•
考查复数的基本概念、复数相等的充要条件、复数的代数形式的运算．
1．复数的有关概念
考点梳理
• (1)虚数单位i • ①它的平方等于－1，即i2＝－1；
• ②实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然 成立．
• (2)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，___叫复数的实部，___叫 复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示．
• 4．(2013·济宁一模)复数z满足(1＋i)2·z＝－1＋i(i为虚数单位)．则在复平面内，
复数z对应的点位于
( )．
•
A．第一象限
B．第二象限
•
C．第三象限
D．第四象限
解析 由于 z＝－ 1＋1＋i2i＝－21＋ i i＝i＋2 1，其在复平面对应点坐
高考数学一轮复习 基础知识 复数 新人教A版
高中数学第十五章 复数考试内容：复数的概念．复数的加法和减法．复数的乘法和除法．数系的扩充．考试要求：（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．§15. 复 数 知识要点1. ⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.⑵复数及其相关概念：① 复数—形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）；② 实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ；③ 虚数—当0≠b 时的复数a + b i ；④ 纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i.⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示.⑶两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若21,z z 为复数，则ο1若021φz z +，则21z z -φ.（×）[21,z z 为复数，而不是实数] ο2若21z z π，则021πz z -.（√）②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件.（当22)(i b a =-，0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立）2. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=.其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离.由上可得：复平面内以0z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程：）（00φr r z z =-.⑵曲线方程的复数形式： ①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程. ②21z z z z -=-表示线段21z z 的垂直平分线的方程. ③212121202Z Z z z a a a z z z z ，）表示以且（φφ=-+-为焦点，长半轴长为a 的椭圆的方程（若212z z a =，此方程表示线段21Z Z ，）. ④），（2121202z z a a z z z z ππ=---表示以21Z Z ，为焦点，实半轴长为a 的双曲线方程（若212z z a =，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：设21z z ，是不等于零的复数，则 ①212121z z z z z z +≤+≤-.左边取等号的条件是），且（012πλλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012φλλλR z z ∈=. ②212121z z z z z z +≤-≤-.左边取等号的条件是），（012φλλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012πλλλR z z ∈=. 注：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-Λ.3. 共轭复数的性质：z z = 2121z z z z +=+a z z 2=+，i 2b z z =-（=z a + b i ） 22||||z z z z ==⋅2121z z z z -=- 2121z z z z ⋅=⋅2121z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（02≠z ） n n z z )(= 注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]4 ⑴①复数的乘方：)(...+∈⋅⋅=N n z z z z z nn 43421②对任何z ，21,z z C ∈及+∈N n m ,有③n n n n m n m n m n m z z z z z z z z z 2121)(,)(,⋅=⋅==⋅⋅+注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1,142=-=i i 若由11)(212142===i i 就会得到11=-的错误结论.②在实数集成立的2||x x =. 当x 为虚数时，2||x x ≠，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：1,,1,,143424142=-=-==-=+++n n n n i i i i i i i)(,0321Z n i i i i n n n n ∈=++++++i i i i i i i i -=+-=-+±=±11,11,2)1(2 若ω是1的立方虚数根，即i 2321±-=ω，则 . 5. ⑴复数z 是实数及纯虚数的充要条件：①z z R z =⇔∈.②若0≠z ，z 是纯虚数0=+⇔z z .⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：||||z z =.6. ⑴复数的三角形式：)sin (cos θθi r z +=.辐角主值：θ适合于0≤θ＜π2的值，记作z arg .注：①z 为零时，z arg 可取)2,0[π内任意值.②辐角是多值的，都相差2π的整数倍.③设,+∈R a 则πππ23)arg(,2arg ,)arg(,0arg =-==-=ai ai a a . ⑵复数的代数形式与三角形式的互化：)(0,01,1,,121223Z n n n n ∈=++=++===++ωωωωωωωωωω)sin (cos θθi r bi a +=+，22b a r +=，rb r a ==θθsin ,cos . ⑶几类三角式的标准形式：)]sin()[cos()sin (cos θθθϑ-+-=-i r i r)]sin()[cos()sin (cos θπθπθθ+++=+-i r i r)]sin()[cos()sin cos (θπθπθθ-+-=+-i r i r)]2sin()2[cos()cos (sin θπθπθθ-+-=+i r i r7. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 时，应注意下述问题： ①当R c b a ∈,,时，若∆＞0，则有二不等实数根a b x 22,1∆±-=；若∆=0，则有二相等实数根ab x 22,1-=；若∆＜0，则有二相等复数根a i b x 2||2,1∆±-=（2,1x 为共轭复数）. ②当c b a ,,不全为实数时，不能用∆方程根的情况.③不论c b a ,,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.8. 复数的三角形式运算：)]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222211θθθθθθθθ+++=+⋅+i r r i r i r )]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222211θθθθθθθθ-+-=++i r r i r i r 棣莫弗定理：)sin (cos )]sin (cos [θθθθn i n r i r n n +=+。
复数的概念课件高一下学期数学人教A版(2)
限，且|z|＝2，则复数 z 等于
A．－1＋ 3i
B．1＋ 3i
C．－1＋ 3i 或 1＋ 3i D．－2＋ 3i
()
a2＋3＝4，
解析 由题意得
解得 a＝－1.
a<0，
故 z＝－1＋ 3i.
7.1复数的概念
课程目标
1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集 的扩充过程． 2.理解复数的概念、表示法及相关概念． 3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件． 4.复数的几何意义 ．
一、复数的概念
1.复数的概念
1我们把形如a bia,b R的数叫做复数。其中i叫做虚数单位,且i2 1
2全体复数构成的集合C a bi a,b R叫做复数集。
复平面上的点 Z(a, b) 唯一 对应向量 OZ (a, b); 复平面上的点 Z(a, b) 唯一 对应复数 zabi. 因此复数可以用复平面上的起点为原点的向量表示. 复数 C 与复平面内的向量所成的集合一一对应.
OZ 复数 zabi 一一对应 平面向量
3、复数的模
为方便起见，我们常把复数z a bi说成点Z或说成OZ， 并且规定，相等的向量表示同一个复数。
例1、当实数m取什么值时，复数z m 1 m 1i是下列数？ 1实数；2虚数；3纯虚数。
解：1当m -1 0，即m 1时，复数z是实数。 2当m -1 0，即m 1时，复数z是虚数。 3当m 1 0，且m 1 0，即m -1时，复数z是纯虚数。
例 2 实数 x 分别取什么值时，复数 z＝x2－x＋x－3 6＋(x2－2x－15)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
数相等．
(√ )
基础练习
2、判断以下复数哪些是虚数？哪些是纯虚数；并说 出实部和虚部。