12.2全等三角形的判定SAS
12.2 三角形全等的判定(SAS)
①先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，
②连结AC并延长至D点，使AC=DC
③连结BC并延长至E点，使BC=EC
④连结DE，测出DE的长，这 个长度就等于A，B两点的距离
A
1
B
C
隐含条件：对顶角相等
E
2
D
典型例题
例2 如图， AB=CB ，∠ABD= ∠CBD ， 求证：△ABD≌△CBD 变式1： 求证AD=CD 变式2：求证∠ADB=∠CDB
A
O
D
C
在△ ABO 和△ ADO中， AB = AD (已知），∠BAO = ∠DAO (已证）， AO= AO (公共边） ∴ △ ABO ≌ △ ADO（SAS）， ∴ ∠AOB = ∠AOD (全等三角形的对应角相等） 又∵∠AOB + ∠AOD =180°(邻补角定义） ∴ ∠AOB = ∠AOD= 90°. ∴AC⊥BD(垂直定义）.
A
∠B=∠E BC=EF
B
C D
∴△ABC≌△DEF（SAS） 3、证明线段或角相等 转化为证明线段或角所在的两个三角形全等。
E
F
练 习 二
如右图， 已知：AB=AD，CB=CD. 求证：AC⊥BD. B 分析：欲证AC⊥BD，只需证∠AOB= ∠AOD， 证明： 在△ABC 和△ADC中，
练习2。 （1）如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否 全等？试说明理由。 A D 解： △ABC≌△DCB 理由如下： B C AB = CD AC = BD BC = BC △ABD ≌△DCB （ SSS ） E A （2）如图，D、F是线段BC上的两点， AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD ， 还需要条件 BF=DC或 BD=FC B D F C
全等三角形的判定SAS
例1：如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在 平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D， 使CD=CA. 连接BC并延长到E，使CE=CB. 连接DE，那么量出 DE的长就是A、B的距离. 为什么？ 分析:如果能证明△ABC≌△DEC,
就可以得出AB=DE，在△ABC 和 △DEC中,CA=CD,CB=CE.如果能得出 ∠ACB=∠DCE, △ABC 和△DEC就全 等了.
例2：如图，AD=AE，点D、E 在BC上，BD=CE，∠1=∠2. 求证：∠B=∠C
思考：此题还能得到哪些结论？
①A小 结
证明三角形全等的方法：SSS，SAS，注意 SAS是两边一夹角对应相等时，才能证明 两个三角形全等；两边及一对角对应相等 时，两个三角形未必全等； 尺规作图：已知两边及夹角作三角形； 证明三角形全等的书写格式； 证明分别属于两个三角形的线段相等或角 相等的问题，常常通过证明这两个三角形 全等来解决； 已知条件包含两部分：①是已知中写出的， ②是图形中隐含的（如公共边、公共角、 对顶角、邻补角、外角、平角等），所以 挖掘已知条件归结成两句话：已知中找， 图形中看
D A A′
B
C
B′
C′
E
问：通过实验可以发现什么事实？
探究一反映的规律是：
两边和它们的夹角对应相等的两个三 角形全等 （简写成“边角边”或“SAS”）
作图
A
B
D
C
探究二：两边及一边 对角对应相等的两个 三角形全等吗？
归纳：两边及一边 对角对应相等的两 个三角形不一定全 等。
任意作一个∆ABC，在 ∆ABC的基础上作一个 ∆ABD，使得AC=AD， 且AD交BC于点D，观 察∆ABC和∆ABD全等吗？
12.2三角形全等的判定(SAS)
D
E
B
C
三个角对应相等的两个三角形不一定全等
△ABC和△ DEF 中， AB=DE=3 ㎝，∠ B=∠ E=300 ， BC=EF=5 ㎝
则它们完全重合吗？即△ABC≌△ DEF吗 ？ D A 3㎝ 3㎝
B
300
5㎝
C
E
300
5㎝
F
问：如图△ABC和△ DEF 中， AB=DE=3 ㎝，∠ B=∠ E=300 ， BC=EF=5 ㎝
则它们完全重合？即△ABC≌△ DEF ？
A D
3㎝
B E
300
5㎝
C F
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形 全等。简写成“边角边”或“SAS” A 用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中 AB=DE B C
∠B=∠E BC=EF
D
∴△ABC≌△DEF（SAS）
E
F
以3cm，5cm为三角形的两边，长度为5cm 的边所对的角为40° ，情况又怎样？动手 画一画，你发现了什么？
5 如图，AC=BD，∠CAB= ∠DBA， 你能判断BC=AD吗？说明理由。
A
B
归纳：判定两条线段相等或二个角相等可以通过从它们所在
的两个三角形全等而得到。
1. 三角形全等的条件,两边和它们的夹角分别相等的 两个三角形全等 (边角边或SAS) 2. 用尺规作图：已知两边及其夹角的三角形画三 角形 3、会判定三角形全等
A
40°
B
A
B
D C F (1) E D (2) C
△ADC≌△CBA 根据“SAS”
△ABC≌△EFD 根据“SAS”
2、已知：AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD
人教版八年级上册数学课件 12.2《三角形全等的判定》SAS (共19张PPT)
活动四：
自学课本38页例题2：思考以下问题
1、 ∠1＝∠2的根据是什么？ 2、 AB＝DE的根据是什么？ 3、体会如何将实际问题转化成几何问题。
活动五
1、如图，AB∥CD，且AB=CD， 求证： AD= CB
追问：AD∥CB吗？为什么？
2、如图，点E,F在BC上，BE=CF， AB=DC， ∠B= ∠C，求证： ∠A= ∠D
活动二
2.如图，已知AC=AD， 在△ABC和 △ABD中， 对应相等的边有：_A_B__=_A_B_,_A_C_=_AD 相等的角有：_____∠__B_＝__∠__B______
它们全等吗？______不__全__等______
讨论：
两边和一个角分别相等的 两个三角形全等吗？
△ABC与A/B/C/全等
B
D C⁄
A⁄
B⁄
E
画法
1. 画∠DA/ E=∠A ；
2. 在射线A/ D上截取A/B/＝AB，在射线 A/ E上截取A/C/＝AC； 3. 连结B/C/. △A/B/C/就是所要画的三角形.
问：△ABC与A/B/C/是否全等？
这节课有什么收获呢
仔 细 比 较 你 有 什 么 发 现 ？ △ABC和 △ABD不全等
结论
全等三角形的判定方法二：
两边和它们的夹角分 别相等的两个三角形全等
（简写成“边角边”或“SAS”）
用符AS)
活动三：
如图所示, 根据题目条件，判断下面的 三角形是否全等． （1） AB＝DE， BC＝EF， ∠C＝∠F；
第2题
思考
如图，AC、BD相交于点O，AO=BO、 DO=CO，图中有几对全等的三角形？你 能说出为什么吗？
全等三角形的判定(SAS)
(已知），
(公共边），
(已证），
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴△ABE≌△ACE（SAS）.
5.如图，已知CA=CB,AD=BD, M，N分别是CA，CB的中点，求证：DM=DN.
在△ABD与△CBD中
证明:
CA=CB (已知） AD=BD （已知） CD=CD （公共边）
∴△ACD≌△BCD（SSS）
(已知），
(已证），
(已证），
已知：如图，AB=AC, BD=CD，E为AD上一点， 求证： BE=CE.
变式1
证明：
∴ ∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
AB=AC
BD=CD
AD=AD
(已知），
(公共边），
(已知），
∴ BE=CE.
在△ABE和△ACE中，
AB=AC
∠BAD=∠CAD
C
方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．
针对训练
例1 ：如果AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD，那么 △ ABD 和△ CBD 全等吗？
分析:
△ ABD ≌△ CBD.
边:角:边:
AB=CB(已知)，
∠ABD= ∠CBD(已知)，
？
A
B
C
D
(SAS)
BD=BD(公共边).
典例精析
证明：
在△ABD 和△ CBD中，
AB=CB(已知)，
∠ABD= ∠CBD(已知)，
∴ △ ABD≌△CBD ( SAS).
BD=BD(公共边)，
12.2三角形全等的判定(SAS)
C B A C 'B 'A 'C B A 导 学 案课题: 12.2三角形全等的判定（SAS ）主备人 龙来文审核 学生 班级 学习目标 1、掌握三角形全等的“S ＡS ”条件，能运用“S ＡS ”证明简单的三角形全等问题 2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、•归纳获得数学结论的过程．自主学习1、复习思考（1）怎样的两个三角形是全等三角形？全等三角形的性质是什么？三角形全等的判定（一）的内容是什么？（2）上节课我们知道满足三个条件画两个三角形有4种情形，三个角对应相等；三条边对应相等；两角和一边对应相等；两边和一角对应相等；前两种情况已经研究了，今天我们来研究第三种两边和一角的情况，这种情况又要分两边和它们的夹角，两边及其一边的对角两种情况。
2、探究一：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形是否全等？(1)动手试一试已知：△ABC求作：'''A B C ∆，使''A B AB =，''B C BC =，'A A ∠=∠(2) 把△'''A B C 剪下来放到△ABC 上，观察△'''A B C 与△ABC 是否能够完全重合？(3)归纳；由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定（二）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形 （可以简写成“ ”或“ ”）(4)用数学语言表述全等三角形判定（二）在△ABC 和'''A B C ∆中,3、探究二：两边及其一边的对角对应相等的两个三角形是否全等？通过画图或实验可以得出：导学提示教师复备D C B A 合作探究课本38页例2当堂检测1、 如图，AD ⊥BC ，D 为BC 的中点，那么结论正确的有A 、△ABD ≌△ACDB 、∠B=∠C C 、AD 平分∠BAC D 、△ABC 是等边三角形2、如图，已知OA=OB,应填什么条件就得到△AOC ≌△BOD(允许添加一个条件)课堂小结1、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
12.2全等三角形的判定(SAS)说课稿-2022-2023学年人教版八年级数学上册
12.2全等三角形的判定（SAS）说课稿-2022-2023学年人教版八年级数学上册一、说课目标通过本节课的学习，使学生掌握全等三角形的判定方法之一——SAS（边-角-边）判定法，能够准确判断给定两个三角形是否全等，并能够应用该方法解决实际问题。
二、说课内容本节课是八年级数学上册的第12.2节，全等三角形的判定（SAS）。
2.1 教材分析本节课的教材内容主要包括：•全等三角形的概念和定义；•判定全等三角形的方法之一——SAS判定法的原理和步骤；•根据SAS判定法进行全等三角形的判定；•利用SAS判定法解决实际问题。
通过本节课的学习，学生可以进一步加深对全等三角形的认识，学会利用已知条件进行判定，培养学生的逻辑思维和综合运用知识解决实际问题的能力。
2.2 教学目标本节课的教学目标主要包括：•知识目标：理解全等三角形的概念，掌握SAS判定法的原理和步骤，学会应用SAS判定法判断两个三角形是否全等。
•能力目标：能够运用SAS判定法解决实际问题，培养学生的逻辑思维和综合运用知识解决问题的能力。
•情感目标：培养学生的数学兴趣，激发学生的自主学习能力，提高学生的学习动机。
2.3 教学重难点本节课的教学重难点主要包括：•教学重点：掌握SAS判定法的原理和步骤，能够准确判断给定两个三角形是否全等。
•教学难点：理解SAS判定法的原理，能够灵活运用SAS判定法解决实际问题。
三、教学过程3.1 导入新课为调动学生的学习兴趣，通过一个具体的例子引入全等三角形的概念。
将一张图片投影到黑板上，上面有两个相似的三角形，通过问题的提问引导学生思考，如：这两个三角形是否完全一样？为什么？引导学生提出判断的依据是哪些方面。
最后引出全等三角形的概念。
3.2 提出问题在导入新课后，提出一个问题：如何判断给定的两个三角形是否全等？鼓励学生先进行讨论，然后引出SAS判定法。
3.3 讲解SAS判定法讲解SAS判定法的原理和步骤。
首先解释什么是SAS，即“边-角-边”；然后讲解SAS判定法的具体步骤，包括依次判断两个三角形的边是否相等、角是否相等和边是否相等。
12.2全等三角形的判定SAS
八年级上学期12.2 全等三角形的判定SSS科目 数学 课型 概念课 执笔 熊超 审核 周益彬 高炎 黄勇 石超群一 教学目标1、使学生掌握SAS 的内容，会运用SAS 来识别两个三角形全等；2、通过识别全等三角形的识别的学习，使学生初步认识事物之间的因果关系与相互制约关系，学习分析事物本质的方法；3、经历如何总结出全等三角形识别方法，体会如何探讨、实践、总结，培养学生的合作能力。
二 教学课时 一课时三 教学重难点1、难点：三角形全等的识别：SAS ；2、重点：对全等三角形的识别的理解和运用。
四 教法与学法的要求1教法：自学辅导与启发式结合2学法：自主探究与合作交流五 教学过程（一）课前预习 预习课本37页至39页1、什么叫全等图形？什么叫做全等三角形？2、已知：如图，AB AD =，AC AE =，BC DE =，30EAC ∠=︒，求DAB ∠的大小。
（二）激情导学上一节课，我们已经知道两个三角形满足三个条件的三条边对应相等和三个角对应相等的情况。
情况如何呢？（三）合作探究如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等，这两个三角形会全等吗？-------这就是本节课我们要探E D C BA讨的课题。
问题：如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢？（应该有两种情况：一种是角夹在两条边的中间，形成两边夹一角；另一情况是角不夹在两边的中间，形成两边一对角。
）每一种情况下得到的三角形都全等吗？如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边角边”或简记为（S.A.S.）你能用相似三角形的识别法来解释这种“SAS”识别三角形全等的方法吗？（一个角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，夹这个角的两边对应相等，这两个三角形的形状、大小都相同，即为全等三角形）（2）如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角，比如两条边分别为4cm和4.5cm，长度为4cm 的边所对的角为60 ,情况会怎样呢?请画出这个三角形，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，由此你发现了什么？（两边及其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。
12.2 第2课时 三角形全等的判定(SAS)
又∵BC＝CB，AC＝DB，∴△ABC≌△DCB(SSS)．
数学
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【点悟】 在证明两个三角形全等的过程中，要从已知出发，
在这两个三角形中寻找证明其全等的条件，选用合适的证明方 法．
数学
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1．如图12－2－15，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝ ∠E，补充下列哪一个条件后，能直接应用“SAS”判定 △ABC≌△DEF ( A )
注
2．三角形全等的“SAS”判定方法 判
关系 ． _______
数学
人教版八年级上册课件目录首来自页末页
易错、易混点：易和边边角(SSA)相混淆，误将SAS条件写成SSA 来证明两个三角形全等．一定要按“边→角→边”的 顺序排列条件，不能出现“边→边→角”的错误．
数学
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类型之一
(1)两边和一角；(2)两边及夹角；(3)三个角；(4)三条边．
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4．如图12－2－17，点B，C，F，E在同一直线上，∠1＝∠2， 不是 填“是”或“不是”)∠2的对顶角， BC＝EF，∠1________( 要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是
第2课时 三角形全等的判定（SAS）
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1．已知一个三角形的两边及其夹角，画出三角形 画 法：尺规画图． 唯一确定 ． 意：已知两边及其夹角的三角形形状_____________ 夹角 分别相等的两个三角形全等(可 定：两边和它们的________ 以简写成“边角边”或“SAS”)． 注 意：此法包含“边”和“角”两种元素是两边夹一角而不是两 对应 边及一边的对角对应相等，一定要注意元素的_______
八年级上册12.2.2三角形全等的判定SAS(共18张PPT)
在△ABC与△CDA中，
A
D
AB=CD
1
CB=AD
34
AC=CA
2
B
C
∴△ABC≌△CDA （SSS）
∴∠3=∠4， ∠1=∠2
∴AB∥CD， AD∥BC
（选做题）
2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的
中点，连结AD。（1）AD能否平分∠BAC。
（2）试判断AD与BC的位置关系，并证明。
1、掌握三角形全等的“边 角边”条件；
2、能运用定理进行有条理 的思考和简单的推理。
请阅读课本第37至38页的内容，思考
1、先任意画一个三角形，然后根据38页 中所给方法画出三角形；你画的两个三 角形全等吗？
2、你能得到什么结论？
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全
等。简写成“边角边”或“SAS”
BO=CO
∴ △AOB≌△DOC( SAS ).
O
B
C
3、分别找出各题中的全等三角形
A
B
40°
A
B
DC
D
C
(2)
F
△ADC≌△CBA 根据“SAS”
E (1)
△ABC≌△EFD 根据“SAS”
4.如图，已知AB＝AC，AD＝AE。试说明：∠B＝∠C
证明：在△ABD和△ACE中，
A
AB＝AC A＝A AD＝AE
E
D
∴△ABD≌△ACE（SAS） B
C
∴∠B＝∠C
点拨：证明两条线段相等或两个角相等可以通过
证明它们所在的两个三角形全等而得到。
应用“SAS”判定两个三角形全等的 “两点注意”： 1.对应：注意元素的“对应”关系.
12-2-2 三角形全等的判定SAS(解析版)
12.2.2三角形全等的判定SAS瞄准目标，牢记要点夯实双基，稳中求进 SAS 的概念题型一：SAS 的概念【例题1】（2021·河北邢台市·九年级一模）已知：在ABC 中，AB AC =，求证：B C ∠=∠ 证明：如图，作______ 在ABD △和ACD △中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABD ACD ∴≌△△ B C ∴∠=∠其中，横线应补充的条件是（ ） A ．BC 边上高ADB ．BC 边上中线AD知识点管理 归类探究 基本事实 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS ”）． 几何语言：∵在△ABC 和△DEF 中， AB ＝DE ，∠B ＝∠E ， BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．ABCDEFC ．A ∠的平分线AD D ．BC 边的垂直平分线【答案】C【分析】根据全等三角形判定SAS ，即可选出． 【详解】证明：如图，作A ∠的平分线AD 在ABD △和ACD △中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABD ACD ∴≌△△B C ∴∠=∠故选C【点睛】本题型考查了全等三角形的判定及角平分线的定义的应用，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 变式训练【变式1-1】（2021·内蒙古呼伦贝尔市·八年级期末）如图，AC 、BD 相交于O ，∠1=∠2，若用“SAS”说明ACB BDA ≌，则还需加上条件（ ）A ．AD ＝BCB ．∠D ＝∠C C ．OA ＝ABD ．BD ＝AC【答案】D【分析】根据“SAS”判定ACB BDA △≌△定理即可得出结论． 【详解】解：ACB BDA △≌△已具有∠1=∠2，AB=BA ， 用“SAS”证ACB BDA △≌△需添加夹∠1，∠2的边BD=AC ，A. AD ＝BC 与已知构成边边角，不能判断两个三角形全等，故本选项错误；B. ∠D ＝∠C 与已知构成AAS 判定两个三角形全等，不符合题意，故本选项错误；C. OA ＝AB 能推出三角形OAB 为等边三角形，证ACB BDA △≌△缺条件，故本选项错误；D. BD ＝AC 与已知构成SAS 证ACB BDA △≌△，故本选项正确． 故选择：D ．【变式2-1】．（2020·江苏月考）如图，AC DF =，12∠=∠，如果根据“SAS ”判定ABC DEF △≌△，那么需要补充的条件是（ ）A ．A D ∠=∠B ．AB DE =C ．B E ∠=∠D ．BF CE =【答案】D【分析】利用全等三角形的判定方法，“SAS ”即边角边对应相等，只需找出一对对应边相等即可，进而得出答案． 【详解】解：需要补充的条件是BF =CE ， ∠BF +FC =CE +CF ，即BC =EF ，在∠ABC 和∠DEF 中，12AC DFBC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠ABC ∠∠DEF （SAS ）． 故选：D ．【变式3-1】（2020·贵州期末）如图，已知AD ＝AE ，AF 是公共边，用“SAS ”证明∠ADF 和∠AEF 全等，给出条件正确的是（ ）A ．AF 平分∠BACB ．DF ＝EFC ．BF ＝CFD ．∠B ＝∠C【答案】A【分析】题中要求用“SAS”证明两三角形全等，而其中AD=AE ，AF 为公共边为已知条件，由此可知只需添加∠BAF=∠CAF ，即AF 平分∠BAC 即可． 【详解】解：∠AD=AE ，AF 为公共边， 当所给条件为AF 平分∠BAC ， ∠∠BAF=∠CAF ， ∠∠ADF∠∠AEF （SAS ）， 故选：A ．题型二：直接利用SAS 三角形全等【例题2】（2021·广西中考）如图，有一池塘，要测池塘两端A 、B 的距离，可先在平地上取一个点C ，从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B ，连接AC 并延长到点D ，使CD CA =，连接BC 并延长到点E ，使CE CB =，连接DE ，那么量出DE 的长就是A 、B 的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．证明：在DEC 和ABC 中，__________________________CD CE =⎧⎪⎨⎪=⎩∠()DEC ABC SAS ≌ ∠____________【答案】CA ，DCE ACB ∠=∠，AB ，ED AB =【分析】根据证明步骤填写缺少的部分，从证明三角形全等的过程分析，利用了“边角边”，缺少角相等，填上一对对顶角，最后证明结论，依题意是要证明ED AB =． 【详解】证明：在DEC 和ABCCD CA DCE ACB CE AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠DEC ABC ≌()SAS ∠ED AB =【点睛】本题考查了三角形全等的证明过程，“边角边”两边夹角证明三角形全等，熟悉三角形全等的证明方法是解题的关键．【变式2-1】（2021·北京九年级二模）如图，AB AD =，BAC DAC ∠=∠，70D ∠=︒，求B ∠的度数 【答案】70B ∠=︒【分析】先证明∠ABC ∠∠ADC （SAS ）得到∠B ＝∠D ，即可求解． 【详解】证明：在∠ABC 与∠ADC 中，.AB AD BAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，∠∠ABC ∠∠ADC ， ∠B D ∠=∠， ∠70D ∠=︒， ∠70B ∠=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的SAS 判定和性质，掌握SAS 判定方法是关键. 题型三：利用SAS 与线段的和差证三角形全等【例3】（2019·江苏苏州市·八年级期中）如图，已知B ，D 在线段AC 上，且AB ＝CD ，AE ＝CF ，∠A ＝∠C ，求证：BF∠DE.【分析】根据全等三角形的判定“SAS”证明∠AED∠∠CFB(SAS)，然后根据全等三角形的性质和平行线的判定证明即可. 【详解】 解：∠AB ＝CD ， ∠AB ＋BD ＝CD ＋BD ， 即AD ＝CB ， 在∠AED 和∠CFB 中，AE CF A C AD CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠AED∠∠CFB(SAS) ∠∠BDE ＝∠DBF ， ∠BF∠DE变式训练【变式3-1】（2009·辽宁大连市·中考真题）如图9，在∠ABC 和∠DEF 中，AB = DE ，BE = CF ，∠B =∠1． 求证：AC = DF (要求：写出证明过程中的重要依据)【分析】因为BE=CF ，利用等量加等量和相等，可证出BC=EF ，再由AB = DE ，∠B =∠1根据“SAS”证得∠ABC∠∠DEF ，从而得出AC=DF ．【详解】证明：∠BE=CF ， ∠BE+EC=CF+EC ，即 BC=EF ． 在∠ABC 和∠DEF 中，∠∠ABC∠∠DEF （SAS ）∠AC="DF" （全等三角形对应边相等）【3-2】（2020·卓尼县第一中学八年级期中）完成下列证明过程如图，已知//AB DE ，AB DE =，D ，C 在AF 上，且AD CF =，求证：ABC DEF ∆≅∆． 证明：//AB DE∴∠_________EDF =∠（_________________________）AD CF =∵AD DC CF DC ∴+=+即______________________在ABC ∆和DEF ∆中，AB DE =，____________，AC DF =ABC DEF ≅∆∆∴（_____________）【答案】A ；两直线平行，同位角相等；AC DF =；A EDF ∠=∠；SAS【分析】利用平行线的性质、线段的和差等知识证出A EDF ∠=∠、AC DF =，再根据已知条件AD CF =，凑够三个条件后即可根据SAS 即可得证 【详解】 解：∠//AB DE∠A EDF ∠=∠(两直线平行，同位角相等) ∠AD CF =∠AD DC CF DC +=+即AC DF = ∠在ABC ∆和DEF ∆中 AB DEA EDF AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()ABC DEF SAS ≌题型四：利用SAS 与角度的和差证三角形全等【例4】（2019·江苏扬州市·八年级月考）如图，AB=AE ，∠B=∠AED ，∠1=∠2．求证：∠ABC∠∠AED ． 【分析】利用“AAS”即可得证． 【详解】试题解析：∠∠1=∠2， ∠∠1+∠EAC=∠2+∠EAC ， 即∠BAC=∠EAD ， 在∠ABC 和∠AED 中，AB AE BAC EAD C D =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠ABC∠∠AED 变式训练【变式4-1】（2021·湖南邵阳市·八年级期末）如图所示，AE=AC ，AB=AD ，∠EAB=∠CAD ．求证：∠B=∠D ． 【分析】要证明∠B=∠D ，只需要证明∠ABC∠∠ADE ．根据已知提供的条件通过SAS 定理即可证得． 【详解】证明:∠∠EAB=∠CAD ，∠∠EAB+∠BAD=∠CAD+∠BAD ， 即∠EAD=∠BAC ． 在∠ABC 和∠ADE 中，AB ADBAC DAE AC AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∠∠ABC∠∠ADE （SAS ），∠∠B=∠D ．（全等三角形的对应角相等）【变式4-2】（2021·四川中考）如图，已知OA ＝OC ，OB ＝OD ，∠AOC ＝∠BOD ．求证：∠AOB ∠∠COD ． 【详解】解：由图可知：DOC AOC AOD ∠=∠-∠，BOA BOD AOD ∠=∠-∠，∠AOC BOD ∠=∠， ∠DOC BOA ∠=∠，在AOB ∆和COD ∆中：OA OCBOA DOC OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()AOB COD SAS ∆∆≌．3.（2019·浙江期末）如图，BAD CAE ∠=∠，AB AD =，AC AE =，则ABC ADE △≌△，请将下列说理过程补充完整． 解：BAD CAE ∠=∠，BAD DAC ∴∠+∠=______+______．即BAC ∠=______． 在ABC 和ADE 中，()()____________(AB BAC AC AE ⎧=⎪∠=⎨⎪=⎩已知已证） ()ABC ADE ∴≌ 【答案】∠CAE ，∠DAC ，∠DAE ，AD ，∠DAE ，已知，SAS ．【分析】根据等式的性质求出∠BAC =∠DAE ，根据AB =AD ，∠BAC =∠DAE ，AC =AE 推出∠ABC ∠∠ADE 即可．【详解】∠∠BAD =∠CAE ， ∠∠BAD +∠DAC =∠CAE +∠DAC ， 即∠BAC =∠DAE ．∠在∠ABC 和∠ADE 中，()AB ADBAC DAE AC AE ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知，∠∠ABC ∠∠ADE (SAS)．故答案为：∠CAE ，∠DAC ，∠DAE ，AD ，∠DAE ，(已知)，(SAS)．题型五：SAS证三角形全等的应用【例5】（2020·四川省自贡市贡井区成佳中学校八年级月考）如图，要测量池塘两端M，N的距离，在池塘外找一点O，连接MO，NO并分别延长，使QO=MO，PO=NO，连接PQ．则只需测出线段PQ的长度，即可得池塘两端M，N的距离，则证明两个三角形全等的理由是( )A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS【答案】A【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出答案．∠=∠,PO=NO,满足边角边的条件，故选A.【详解】解：在∠PQO和∠NMO中，QO=MO，POQ NOM变式训练【变式5-1】（2020·山西九年级专题练习）如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定∠OAB∠∠OA′B′的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS【答案】A【解析】由O是AA′、BB′的中点，可得AO=A′O，BO=B′O，再有∠AOA′=∠BOB′，可以根据全等三角形的判定方法SAS，判定∠OAB∠∠OA′B′．【变式5-2】（2020·安徽淮南市·八年级期中）如图，公园里有一座假山，要测假山两端 A ， B 的距离，先在平地上取一个可直接到达 A 和 B 的点 C ，分别延长AC ，BC 到 D ，E ，使CD =CA ，CE =CB ，连接DE ．这样就可利用三角形全等，通过量出DE 的长得到假山两端 A ，B 的距离．其中说明两个三角形全等的依据是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS【答案】D【分析】图形中隐含对顶角的条件，利用两边且夹角相等容易得到两个三角形全等．【详解】解：根据题意可得：在∠ABC和∠DEC中，CD CA ACB DCE CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠ABC∠∠DCE （SAS ），∠AB=DE ， ∠依据是SAS ， 故选：D ． 题型六：SAS 证全等的动点问题【例6】1．（2019·天津市滨海新区大港第十中学八年级月考）如图，已知正方形ABCD 中，边长为10厘米，点E 在AB 边上，BE=6厘米．如果点P 在线段BC 上以4厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过 秒后，∠BPE∠∠CQP ； （2）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使∠BPE 与∠CQP 全等？【答案】（1）1；（2）点Q 的运动速度为245厘米/秒. 【分析】（1）分析题意可知当BE=CP 时，∠BPE∠∠CQP ，即6=10-4t ，求解即可；（2）根据点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，可知要使∠BPE 与∠OQP 全等，只要BP ＝PC ＝5厘米，CQ ＝BE ＝6厘米即可，然后可先求出点P ，Q 运动的时间，再求点Q 的运动速度. 【详解】解：（1）∠点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等， ∠BP=CQ ， 又∠∠B=∠C=90°，∠当BE=CP 时，∠BPE∠∠CQP ， ∠BE=6厘米，BP=4t ， ∠CP=10-4t ， ∠6=10-4t ， 解得：t=1，即经过1秒后，∠BPE∠∠CQP ；（2）∠点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等， ∠BP≠CQ ， ∠∠B ＝∠C ＝90°，∠要使∠BPE 与∠OQP 全等，只要BP ＝PC ＝5厘米，CQ ＝BE ＝6厘米即可，∠点P ，Q 运动的时间t ＝54秒， ∠点Q 的运动速度为：624554厘米/秒，即当点Q 的运动速度为245厘米/秒时，能够使∠BPE与∠CQP 全等.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解决问题要求掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，解题时注意方程思想的运用．灵活运用三角形全等的判定、一元一次方程的求解和力学中的运动知识是解题关键． 变式训练【变式6-1】（2021·郑州市第七十九中学七年级期中）如图，已知在四边形ABCD 中，12AB =厘米，8BC =厘米，14CD =厘米，B C ∠=∠，点E 为线段AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动．当点Q 的运动速度为___________厘米/秒时，能够使BPE 与以C ，P ，Q 三点所构成的三角形全等． 【答案】3或92【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q 的运动速度． 【详解】解：设点P 运动的时间为t 秒，则BP ＝3t ，CP ＝8﹣3t ， ∠∠B ＝∠C ，∠∠当BE ＝CP ＝6，BP ＝CQ 时，∠BPE 与∠CQP 全等， 此时，6＝8﹣3t ， 解得t 23=， ∠BP ＝CQ ＝2，此时，点Q 的运动速度为223÷=3厘米/秒； ∠当BE ＝CQ ＝6，BP ＝CP 时，∠BPE 与∠CQP 全等， 此时，3t ＝8﹣3t ， 解得t 43=， ∠点Q 的运动速度为64932÷=厘米/秒； 故答案为：3或92． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．【变式6-2】（2019·山东枣庄市·七年级期末）如图，ABC ∆中，D 为AB 的中点，5AD =厘米，B C ∠=∠，8BC =厘米.若点P 在线段BC 上以每秒3厘米的速度从点B 向终点C 运动，同时点Q 在线段CA 上从点C向终点A 运动.（1）若点Q 的速度与点P 的速度相等，经1秒钟后，请说明BPD CQP ∆≅∆；（2）若点Q 的速度与点P 的速度不相等，当点Q 的速度为多少时，能够使BPD CPQ ∆≅∆.【答案】（1）见解析；（2）当点Q 的速度每秒154厘米，能够使BPD CPQ ∆≅∆. 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C ，再加上BP=CQ=3，PC=BD=5，则可判断∠BPD 与∠CQP 全等； （2）设点Q 的运动速度为xcm/s ，则BP=3t ，CQ=xt ，CP=8-3t ，当∠BPD∠∠CQP ，则BP=CQ ，CP=BD ；然后分别建立关于t 和v 的方程，再解方程即可； 【详解】解：（1）∠运动1秒，∠3BP =，5CP =，3CQ =， ∠D 为AB 的中点，5AD =厘米， ∠5BD =厘米， ∠3BP CQ ==，B C ∠=∠，5BD CP ==，∠BPD CQP ∆≅∆（SAS ）； （2）设点Q 运动时间为t 秒，运动速度为vcm/s ， ∠∠BPD∠CPQ ， ∠BP=CP=4，CQ=5， ∠t 433BP ==， ∠v=CQt =415534÷=厘米/秒， ∠当点Q 的速度每秒154厘米，能够使BPD CPQ ∆≅∆.【变式6-3】（2020·辽宁省抚顺市抚顺县房申初级中学八年级月考）如图，在ABC 中，20AB AC cm ==，B C ∠=∠，16BC cm =，点D 为AB 的中点，如果点P 在线段BP 上以6/cm s 的速度由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 点向点A 运动，设点P 运动的时间为t ．（1）用含t 的式子表示PC 的长度为______cm ．（2）若点P 运动的速度与点Q 运动的速度相等经过多少秒后，BPD △与CQP 全等？ 请说明理由．【答案】（1）16-6t ；（2）经过1秒后∠BPD 与 ∠CQP 全等，理由见解析． 【分析】（1）由题意根据P 运动的方向、速度及BC 的长度可以得解；（2）根据SAS 定理，在∠B=∠C 的条件下，∠BPD 与 ∠CQP 全等有两种情况：BD=PC 、BP=CQ 和BD=CQ 、BP=PC ，对两种情况作出讨论可以得到解答． 【详解】解：（1）由题意得：PC=BC -BP=16-6t （cm ）， 故答案16-6t ；（2）经过1秒后，∠BPD 与 ∠CQP 全等，理由如下：∠在∠BPD 与 ∠CQP 中，若BD PC B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， 则∠BPD 与∠∠CQP ，此时由题意不管t 为何值，BP=CQ 是一定的， ∠由BD=PC 得16-6t=10，∠t=1； ∠在∠BPD 与 ∠CQP 中，若BD CQB C BP PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， 则∠BPD 与∠∠CQP ， 即6106166t t t=⎧⎨=-⎩，可知t 无解；综上所述，经过1秒后，∠BPD 与 ∠CQP 全等．【真题1】（2021·福建中考真题）如图，在ABC 中，D 是边BC 上的点，,⊥⊥DE AC DF AB ，垂足分链接中考别为E ，F ，且,DE DF CE BF ==．求证：B C ∠=∠．【分析】由,⊥⊥DE AC DF AB 得出90DEC DFB ∠=∠=︒，由SAS 证明DEC DFB ≌，得出对应角相等即可． 【详解】证明：∠,⊥⊥DE AC DF AB ， ∠90DEC DFB ∠=∠=︒．在DEC 和DFB △中，,,,DE DF DEC DFB CE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠DEC DFB ≌， ∠B C ∠=∠． 【点睛】本小题考查垂线的性质、全等三角形的判定与性质、等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观．【拓展1】（2020·江苏扬州市·）要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O 为卡钳两柄交点，且有OA OB OC OD ===，如果圆形工件恰好通过卡钳AB ，则此工件的外径必是CD 之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件()A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS【答案】B【分析】连接AB 、CD ，然后利用“边角边”证明∠ABO 和∠DCO 全等，根据全等三角形对应边相等解答． 【详解】如图，连接AB 、CD ，在∠ABO 和∠DCO 中，满分冲刺OA OD AOB DOC OB OC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∠∠ABO∠∠DCO （SAS ）， ∠AB=CD ； 故答案为：B ．【拓展2】（2020·黑龙江牡丹江市·八年级期中）如图（1），已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上一点，连接BD ，CD ；如图（2），已知AB AC =，D ，E 为BAC ∠的角平分线上两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图（3），已知AB AC =，D ，E ，F 为BAC ∠的角平分线上三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；……，依此规律，第7个图形中有全等三角形的对数是________．【答案】28【分析】设第n 个图形中有a n （n 为正整数）对全等三角形，根据各图形中全等三角形对数的变化可找出变化规律“a n =(1)2n n +（n 为正整数）”，再代入n=7即可求出结论． 【详解】解：设第n 个图形中有a n （n 为正整数）对全等三角形．∠点E 在∠BAC 的平分线上 ∠∠BAD=∠CAD 在∠ABD 和∠ACD 中，AB ACBAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠ABD∠∠ACD （SAS ）， ∠a 1=1；同理，可得：a 2=3=1+2，a 3=6=1+2+3，a 4=10=1+2+3+4，…， ∠a n =1+2+3+…+n=(1)2n n +（n 为正整数）， ∠a 7=7(71)282⨯+=． 故答案为：28．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及规律型：图形的变化类，根据各图形中全等三角形对数的变化，找出变化规律“a n =(1)2n n +（n 为正整数）”是解题的关键．【拓展3】（2021·全国七年级单元测试）如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板∠COD 和∠AOB 如图∠摆放，连结AC ，BD ．（1）如图∠，猜想线段AC与BD存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；（2）将图∠中的∠COD绕点O顺时针旋转一定的角度（如图∠），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC 与BD还存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由．（3）将图∠中的∠COD绕点O逆时针旋转一定的角度（如图∠），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC 与BD存在怎样的关系？请直接写出结论．【答案】（1）AC=BD，AC∠BD，证明见解析；（2）存在，AC=BD，AC∠BD，证明见解析；（3）AC=BD，AC∠BD【分析】（1）延长BD交AC于点E．易证∠AOC∠∠BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠ADE=∠BDO，可证∠AED=∠BOD=90º即可；（2）延长BD交AC于点F，交AO于点G．易证∠AOC∠∠BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠AGF=∠BGO，可得∠AFG=∠BOG=90º即可；（3）BD交AC于点H，AO于M，可证∠AOC∠∠BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠AMH=∠BMO，可得∠AHM=∠BOH=90º即可．【点睛】本题考查三角形旋转变换中对应相等的位置与数量关系，掌握三角形全等的证明方法，及其角度计算是解题关键．【详解】（1）AC=BD，AC∠BD，证明：延长BD交AC于点E．∠∠COD和∠AOB均为等腰直角三角形，∠OC=OD，OA=OB，∠COA=∠BOD=90º，∠∠AOC∠∠BOD（SAS），∠AC=BD，∠∠OAC=∠OBD，∠∠ADE=∠BDO，∠∠AED=∠BOD=90º，∠AC∠BD；（2）存在，证明：延长BD交AC于点F，交AO于点G．∠∠COD和∠AOB均为等腰直角三角形，∠OC=OD，OA=OB，∠DOC=BOA=90º，∠∠AOC=∠DOC－∠DOA，∠BOD=∠BOA－∠DOA，∠∠AOC=∠BOD，∠∠AOC∠∠BOD（SAS），∠AC=BD，∠OAC=∠OBD，∠∠AGF=∠BGO，∠∠AFG=∠BOG=90º，∠AC∠BD；（3）AC=BD，AC∠BD．证明：BD交AC于点H，AO于M，∠∠COD和∠AOB均为等腰直角三角形，∠OC=OD，OA=OB，∠DOC=BOA=90º，∠∠AOC=∠DOC+∠DOA，∠BOD=∠BOA+∠DOA，∠∠AOC=∠BOD，∠∠AOC∠∠BOD（SAS），∠AC=BD，∠OAC=∠OBD，∠∠AMH=∠BMO，∠∠AHM=∠BOH=90º，∠AC∠BD．。
三角形全等的判定SAS
第12题图
第13题图
14．如图，A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在一条东 西走向公路的沿线上，BD＝1 km，DC＝1 km，村庄AC， AD间也有公路相连，且公路AD是南北走向，AC＝3 km， 只有AB之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公 路．现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AE＝1.2 km，BF ＝0.7 km.试求建造的斜拉桥长至少有___1_.1____ km.
AC＝A′C′；④∠A＝∠A′；⑤∠B＝∠B′.则下列条件中，不能
保证△ABC≌△A′B′C′的是( )
D
A．①②③ B．①②⑤
C．①③④ D．①③⑤
5．如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两 侧．AB∥ED，AB＝CE，BC＝ED.求证： △ABC≌△CED.
证明：∵AB∥ED，∴∠B＝∠E.在△ABC 和△CED 中， AB＝CE， ∠B＝∠E，∴△ABC≌△CED(SAS) BC＝ED，
“△ABD≌△ACE”，必须添加一个条件，则下列所添
条件不成立的是( B )
A．BD＝CE
B．∠ABD＝∠ACE
C．∠BAD＝∠CAE D．∠BAC＝∠DAE
第10题图
第11题图
12．如图，已知点A，D，B，F在一条直线上，AC＝EF， AD＝BF，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个 条件可以____∠__A_＝__∠__F_或__A_C__∥__E_F_或__B_C__＝__D_E__________．(只 需填一个即可) 13．如图，点A在BE上，AD＝AE，AB＝AC，∠1＝∠2＝ 30°，则∠3的度数为___3_0_°___．
知识点2：“SAS”判定方法与性质的综合运用 6．如图，若AB与CD互相平分，且它们相交于O点，则下 列结论：①∠C＝∠D；②AD＝BC；③AD∥BC；④AB＝ CD.其中错误的结论是____④____．(填序号) 7．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，要证△ABD≌△ACE ，需补充的条件是( C ) A．∠B＝∠C B．∠D＝∠E C．∠1＝∠2 D．∠CAD＝∠2
12.2 三角形全等的判定(SAS)
12.2 三角形全等的判定(SAS)教学目标1．知识与技能领会“边角边”判定两个三角形的方法。
2．过程与方法经历探究三角形全等的判定方法的过程，学会解决简单的推理问题。
3．情感、态度与价值观培养合情推理能力，感悟三角形全等的应用价值。
教学重点三角形全等的条件．教学难点寻求三角形全等的条件．教学方法采用启发诱导，实例探究，讲练结合，小组合作等方法。
教学准备全等三角形纸片、三角板、教学过程一、创设情境，导入新课[师]在上节课的讨论中，我们发现三角形中只给一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．给出三个条件时，有四种可能，能说出是哪四种吗？[生]三内角、三条边、两边一内角、两内角一边．[师]很好，这四种情况中我们已经研究了两种，三内角对应相等不能保证两三角形一定全等；三条边对应相等的两三角形全等．今天我们接着研究第三种情况：“两边一内角”．（一）问题：如果已知一个三角形的两边及一内角，那么它有几种可能情况？ [生]两种．1．两边及其夹角．2．两边及一边的对角．[师]按照上节方法，我们有两个问题需要探究．（二）探究1：先画一个任意△ABC，再画出一个△A/B/C/，使AB= A/B/、•AC=A/C/、∠A=∠A/（即保证两边和它们的夹角对应相等）．把画好的三角形A/B/C/剪下，放到△ABC上，它们全等吗？探究2：先画一个任意△ABC，再画出△A/B/C/，使AB= A/B/、AC= A/C/、∠B=∠B/（即保证两边和其中一边的对角对应相等）．把画好的△A/B/C/剪下，放到△ABC上，它们全等吗？学生活动：1．学生自己动手，利用直尺、三角尺、量角器等工具画出△ABC与△A/B/C/，将△A/B/C/剪下，与△ABC重叠，比较结果．2．作好图后，与同伴交流作图心得，讨论发现什么样的规律．教师活动：教师可学生作完图后，由一个学生口述作图方法，教师进行多媒体播放画图过程，再次体会探究全等三角形条件的过程．二、探究操作结果展示：对于探究1：画一个△A/B/C/，使A/B/=AB，A/C/=AC，∠A/=∠A．1．画∠DA/E=∠A；2．在射线A/D上截取A/B/=AB．在射线A/E上截取A/C/=AC；3．连结B/C/．将△A/B/C/剪下，发现△ABC与△A/B/C/全等．这就是说：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边角边”或“SAS”）．小结：两边和它们的夹角对应角相等的两个三角形全等．简称“边角边”和“SAS”．如图，在△ABC和△DEF中，C'B'A'CBEAFDCB EAAB DE B E ABC DEF BC EF =⎧⎪∠=∠→∆≅∆⎨⎪=⎩对于探究2：学生画出的图形各式各样，有的说全等，有的说不全等．教师在此可引导学生总结画图方法： 1．画∠DB /E=∠B ；2．在射线B /D 上截取B /A /=BA ；3．以A /为圆心，以AC 长为半径画弧，此时只要∠C ≠90°，•弧线一定和射线B /E 交于两点C /、F ，也就是说可以得到两个三角形满足条件，而两个三角形是不可能同时和△ABC 全等的．也就是说：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．所以它不能作为判定两三角形全等的条件． 归纳总结：“两边及一内角”中的两种情况只有一种情况能判定三角形全等．即： 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．（简记为“边角边”或“SAS ”） 三、应用举例[例]如图，有一池塘，要测池塘两端A 、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连结AC 并延长到D ，使CD=CA ．连结BC 并延长到E ，使CE=CB ．•连结DE ，那么量出DE 的长就是A 、B 的距离．为什么？[师生共析]如果能证明△ABC ≌△DEC ，就可以得出AB=DE ．在△ABC 和△DEC 中，AC=DC 、BC=EC ．要是再有∠1=∠2，那么△ABC 与△DEC•就全等了．而∠1和∠2是对顶角，所以它们相等． 证明：在△ABC 和△DEC 中C 'B 'A 'F D21CBEAABCDE12AC DC BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△ABC ≌△DEC （SAS ） 所以AB=DE ．1．填空：(1)如图3，已知AD ∥BC ，AD ＝CB ，要用边角边公理证明△ABC ≌△CDA ，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD ＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)．(2)如图4，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD ≌ACE ，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________(这个条件可以证得吗？)． 四、练习1. 已知： AD ∥BC ，AD ＝ CB(图3)． 求证：△ADC ≌△CBA ．2.已知：AB ＝AC 、AD ＝AE 、∠1＝∠2(图4)． 求证：△ABD ≌△ACE ．五、课堂小结1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等)，并要善于运用学过的定义、公理、定理．六、布置作业课本P43页习题12.2中的第2，3， 七、板书设计12．2.2 三角形全等判定（2）一、复习导入二、尝试活动 探索新知三、应用新知解决问题四、总结提高教学反思：。
12.2.2 全等三角形的判定(SAS)
平凉市第十中学
1.“边角边”判定两个三角形全等的方法. 2.在判定两个三角形全等时，要注意使用公 共边和公共角.
平凉市第十中学
正式作业：习题12.2第2、10题.
家庭作业：1念.；复习学过的内容，记熟概 2.配套练习第十二章练习三.
平凉市第十中学
（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD ＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的关系，并证明
你的结论．
结论：AE=CD、AE⊥CD
证明：在△ABE和△CBD中，
AB=CB ∠ABE=∠CBD
BE=BD ∴△ABE≌△CBD（SAS） ∴AE=CD、∠EAB=∠DCB
∵∠DCB+∠CDB=90°
∴∠EAB+∠CDB=90° ∴AE⊥CD
平凉市第十中学
已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2． 求证：BC＝DE．
证明：∵∠1=∠2
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC
∴∠BAC=∠DAE
在△BAC和△DAE中，
AB=AD
∠BAC=∠DAE
AC=AE
∴△BAC≌△DAE（SAS）
∴BC=DE
平凉市第十中学
二、自学检测：学生自主完成
1.如图1，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要
增加的条件是（ D ） A.∠A＝∠D B.∠E＝∠C
C.∠A=∠C
D.∠ABD＝∠EBC
2.如图2，AO=BO，CO=DO，AO与BC
交于E，∠O＝40°，∠B＝25°，
则∠BED的度数是（ B ） A.60° B.90° C.75° D.85°
平凉市第十中学
一、自学指导
12.2全等三角形的判定方法(SAS)
∴△ABD≌△ACD（）
第三步：反馈拓展——教师“补助”点评、总结，提升知识与情感。学生“再助”查漏补缺，复习巩固.
1、已知：如图，AC=AD,∠CAB=∠DAB
求证：△ACB≌△ADB
2、已知：如图，AD∥BC,AD=CB.
求证:△ADC≌△CBA
3、已知:如图，AB=AC,AD=AE.
求证:△ABE≌△ACD
（1）画出测量图案；
（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；
（3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）.
合作探究，展示提升：
公理的应用
例题1，如图，OA=OC，OD=OB.求证：∠A=∠C.
例题2、如图所示，在△ABC中，已知AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，延长AC到E，使CE=AC，连结CD、BE，求证：CD=BE.
练一练
1、如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，BE与CD相等吗？为什么？
宝箴塞初中“三步六助”助学案
学科：数学年级：八年级课题：12.2全等三角形的判定方法（SAS）
课型
新授
课时
1
主备
蒲雄生
学习笔记
审核
助学教师
使用学生
第一步：问题引领——教师“备助”设疑，激情引入
学习目标：
（1）熟记边角边公理的内容；
（2）能应用边角边公理证明两个三角形全等；
（3）通过观察几何图形，培养学生的识图能力。
4、已知：如图，AD∥BC,AD=BC,AE=CF.
求证：△AFD≌△CEB
5，已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，AD=BD，DC=DE，∠C=50°。
求∠EBD的度数。
4、拓展应用
12.2全等三角形的判定——SAS
课标要求
认知层次 知识点 知识点 1 “边角边”的含 义 知识点 2 学生学会画图验 证 “边角边”公 理的正确性
识记
理解
应用
综合
√
√
知识点 3
“边角边”公理 进行证明， 并 写出规范的 证明格式 目标设计 √
利用“SAS”判定两个三角形全等.
教学过程设计 情境设计 情境一：复习巩固，引 入新课； 问题设计 1、复习“SSS”判定方法 2、上节课我们研究过的两个三角形如果只知道有一组或者两组元素 对应相等，则这两个三角形不一定全等而如果两个三角有三组元素对 应相等，则这两个三角形很有可能全等，本节课的问题是两条边及一 个角对应相等，而两个三角形是否全等？ 情境二 : 探究两个三角 形全等须满足的条件 问题 1：画△ABC，使 AB=3cm，∠B=30°，BC=5cm 把你画的三角形剪下来与同桌的进行比较他们能互相重合么？ 通过学生们的交流和比较得出结论： 如果两个三角形有两边及夹角分别相等，那么这两个三角形 全等简记为“边角边”或“SAS” 几何语言： A
情境四：课堂练习
1、填空： (1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC ≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一 是 AD ＝ CB( 已 知 ) ， 二 是 ___________ ； 还 需 要 一 个 条 件 _____________(这个条件可以证得吗？)． (2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理 证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件： _________________________(这个条件可以证得吗？)
2、已知：如图所示，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点． 求证：△ABE≌△ACF．
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1.上节课我们学习了全等三角形，知道全等三角形有 哪些相等的量？
全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等
2.我们判断两个三角形是否全等，这时又需要满足 什么条件呢？上节课学习的判定方法是什么？
三边分别相等的两个三角形全等。(SSS)
温故知新
已知：∠ AOB
动手画一画
求作：∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠ AOB
想一想，为什么这样 作出的∠A'O'B'和∠ AOB 是相等的？
提出问题 : 如图有一池塘。要测池塘两端 A 、 B 的距离，
可无法直接达到，因此这两点的距离无法直接量出。你能 想出办法来吗？
A
B
在平地上取一个可直接到达A和B的点C，
连结AC并延长至D使CD=CA
延长BC并延长至E使CE=CB
B
证明： 在△ABC和△DEC中 CA=CD 想一想， ∠1= ∠2 CB=CE ∴ △ABC≌△DEC（SAS ） ∴ AB=DE 想一想，AB=DE的 根据是什么？
∠1= ∠2 的根据是什么？
B
A
1
C
2
E
D
试一试
在下列图中找出全等三角形，并把它们用符号写出来 .
30º
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ Ⅲ
Ⅳ Ⅳ
5 cm
30º
M B′
边角边公理
两边和它们的夹角分别相等的 两个三角形全等. 可以简写成 “边角边” 或“ SAS ”用符号语言表达为：
在△ABC与△A`B`C`中
A A′
AB=A`B`
∠B=∠B`
BC=B`C`
∴△ABC≌△A`B`C`（SAS）
B
C B′ C′
解决问题
分析：如果能证明△ABC≌△DEC, 就可以得出AB=DE.由题意可知，△ABC 和△DEC具备“边角边”的条件。
在应用时，怎样寻找已知条件：已知条件包含两部分， 一是已知中给出的，二是图形中隐含的（如公共边，公
共角、对顶角、邻补角、外角、平角等）所以找条件归
结成两句话：已知中找，图形中看.
平面几何中常要说明角相等和线段相等，其说明常用方法：
角相等――对顶角相等；同角（或等角）的余角（或补
角）相等；两直线平行，同位角相等，内错角相等；角
）
(2).如图，在△AEC和△ADB中，
AE AD 已知) _ ___=____( D
C
∠A= ∠A( 公共角)
AB 已知) AC ____=____(
A
E
B
∴ △AEC≌△ADB（ SAS ）
例
证明:
已知: 如图,AC=AD ,∠CAB=∠DAB. 求证: △ACB ≌ △ADB.
C B
△ACB ≌ △ADB
作法： （1）如图，以点O为圆心，任 意长为半径画弧，分别交 OA,OB于点C,D; O
B D D'
B'
O' C A
（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心， OC长为半径画弧，交O'A'于点C';
C'
A'
(3)以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与 第2步中所画的弧相交于点D'; (4)过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠ AOB
1、已知：如图，AB＝AD，AC＝AE， ∠1＝∠2. 求证：△ABC≌△ADE.
【点评】这里∠1和∠2不是所证三角形中的角， ∠BAC和∠DAE才是三角形的内角.所以须证 ∠BAC＝∠DAE，才能满足①、②、③三个条 件.
1
2
2、已知：如图，AE是△ABC的中 线，D是 BC延长线上一点，且CD ＝AB，∠BCA＝∠BAC. 求证：AD＝2AE.
Ⅵ
Ⅴ
30º
Ⅶ
Ⅷ
在下列推理中填写需要补充的条 A 件，使结论成立：
(1)如图，在△AOB和△DOC中已知 AO=DO，BO=CO， 求证：△AOB≌△DOC
D O C
AO=DO(已知)
B
∠ AOB ∠ DOC 对顶角相等 ______=_______( ) BO=CO(已知)
SAS
∴ △AOB≌△DOC（
连结ED，
A C
D
那么量出DE的长，就是A、B的距离.
你知道为什么吗？
E
探究3 已知△ABC是任意一个三角形，画△A′B′C′使 ∠A′ = ∠A， A′B′ =AB， A′C′ =AC.
画法：
A
C
C′
N
A′ B 1. 画∠MA′ N = ∠A 2由此看来，三角形可以通过一个角和这 、在射线 A M ，A N 上分别取 A ′B ′ = AB ， A个角相邻的两条边来确定。 ′C ′= AC . 3. 连接 B ′C ′ ，得 ∆A ′B ′C ′.
这两个条件够吗? 还要什么条件呢?
A
还要一条边
D
例
已知: 如图,AC=AD ,∠CAB=∠DAB. 求证: △ACB ≌ △ADB.
C
它既是△ACB 的一条边,
看看线 段AB
A
△ACB 和△ADB的 公共边
B
D 又 是 △ Байду номын сангаасDB
的一条边
你能写出 证明过程吗？
例
已知: 如图,AC=AD ,∠CAB=∠DAB. 求证: △ACB ≌ △ADB.
A
B
E
C
D
【分析】通过添加辅助线，构造全等三角 形是一种常用的思考方法.若已知条件中有 中线，常延长中线成两倍关系，构成全等 三角形.
F
【点评】证明一条线段(或一个角)是另一条 线段(或另一个角)的两倍，常用方法是: (1)加倍法.作出等于短线段(或小角)两倍 的线段(或角)，然后证它与较长线段(或较大 角)相等； (2)折半法.作出较长线段(或较大角)的一
半证明它与较短线段(或较小角)相等.
课堂小结
夹角 对应相等的 1.边角边公理：有两边和它们的______ 两个三角形全等（SAS）
2.边角边公理的应用中所用到的数学方法: 转化 证明线段（或角相等） 证明线段（或 角）所在的两个三角形全等. 证明三角形全等的步骤： 1. 写出在哪两个三角形中证明全等。（注意把表示对应 顶点的字母写在对应的位置上）. 2.按边、角、边的顺序列出三个条件，用大括号合在一 起. 3.写出结论.每步要有推理的依据.
平分线定义；等式性质；全等三角形的对应角相等.
线段相等的方法――中点定义；全等三角形的对应边相
等；等式性质.
1、课本第39页练习第1、2 题 . 2.习题12.2第2、3题，第10题
证明:
在△ACB 和 △ADB中 AC = A D
C
A
B
∠CAB=∠DAB
A B = A B (公共边）
∴△ACB≌△ADB （SAS） D
A
G
F
这说明什么？
B
C
D
E
思考题：有两边和其中一边的对角对 应相等的两个三角形是否全等。
这说明，有两边和其中一边的对角对应 相等的两个三角形不一定全等。
课堂练习