高考数学复习简单的逻辑联结词全称量词与存在量词理含解析

高考数学复习核心素养提升练三

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

(25分钟50分)

一、选择题(每小题5分,共35分)

1.已知命题p1:当x,y∈R时,|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0;p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数.则命题q 1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(p1)∨p2,q4:p1∨(p2)中,真命题是( )

A.q1,q3

B.q2,q3

C.q1,q4

D.q2,q4

【解析】选C.对于p1(充分性)若xy≥0,则xy至少有一个为0或同号,所以|x+y|=|x|+|y|一定成立;

(必要性)若|x+y|=|x|+|y|,两边平方,得:

x2+2xy+y2=x2+2|x||y|+y2.

所以xy=|x||y|,

即xy≥0.故p1为真命题.对于p2,因为y′=2x ln 2-ln 2=ln 2,当x∈(0,+∞)

时,2x> ,又因为ln 2>0,所以y′>0,函数在(0,+∞)上单调递增;

同理,当x∈(-∞,0)时,y′<0,函数在(-∞,0)上单调递减.因此p2为假命题.

所以q1真,q2假,q3假,q4真.

2.下列命题中的假命题是( )

A.∀x∈R,x2≥0

B.∀x∈R,2x-1>0

C.∃x0∈N,sin x0=1

D.∃x0∈R,sin x0+cos x0=2

【解析】选D.因为任何实数的平方均非负,所以选项A正确;由指数函数的性质知:2x-1>0,所以

选项B正确;因为当x=1时,sin=1,所以选项C正确;因为sin x +cos x=sin,所以-≤sin x+cos x≤,所以选项D错误.

3.命题“∃x0∈R,<或>x0”的否定是( )

A.∃x0∈R,≥或≤x0

B.∀x∈R,2x≥或x2≤x

C.∀x∈R,2x≥且x2≤x

D.∃x0∈R,≥且≤x0

【解析】选C.特称命题的否定是全称命题,注意“或”的否定为“且”.

【变式备选】命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( )

A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n

B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n

C.∃x0∈R,∃n∈N*,使得n<

D.∃x0∈R,∀n∈N*,使得n<

【解析】选D.原命题是全称命题,条件为“∀x∈R”,结论为“∃n∈N*,使得n≥x2”,其否定形式为特称命题,条件中改量词,并否定结论,只有D选项符合.

4.(2019·石家庄模拟)命题p:若sin x>sin y,则x>y;命题q:x2+y2≥2xy.下列命题为假命题的是( )

A.p或q

B.p且q

C.q

D.p

【解析】选B.取x=,y=,可知命题p是假命题;由(x-y)2≥0恒成立,可知命题q是真命题,故p为真命题,p或q是真命题,p且q是假命题.

5.(2019·唐山模拟)已知命题p:∃x0∈N,<;命题q:∀a∈(0,1)∪(1,+∞),函数

f(x)=log a(x-1)的图象过点(2,0),则( )

A.p假q真

B.p真q假

C.p假q假

D.p真q真

【解析】选A.由<,得(x0-1)<0,解得x0<0或0

6.命题p:“∃x0∈,sin 2x0+cos 2x0

( ) A.(-∞,1] B.(-∞,]

C.[1,+∞)

D.[,+∞)

【解析】选A.因为命题p:“∃x0∈,sin 2x0+cos 2x0

所以命题p:“∀x∈,sin 2x+cos 2x≥a”是真命题,即(sin 2x+cos 2x)min≥a,

因为sin 2x+cos 2x=sin,且≤2x+≤,所以sin 2x+cos 2x≥1,则a ≤1.

7.已知命题“∃x0∈R,使2+(a-1)x0+≤0”是假命题,则实数a的取值范围是

( ) A.(-∞,-1) B.(-1,3)

C.(-3,+∞)

D.(-3,1)

【解析】选 B.原命题的否定为∀x∈R,2x2+(a-1)x+>0,由题意知,其为真命题,则

Δ=(a-1)2-4×2×<0.则-2

二、填空题(每小题5分,共15分)

8.命题“∀x∈R,cos x≤1”的否定是________.

【解析】因为全称命题的否定为特称命题,且对结论进行否定,所以该命题的否定为∃x0∈

R,cos x0>1.

答案:∃x0∈R,cos x0>1

9.给出下列命题:

①∀x∈R,x2+1>0;②∀x∈N,x2≥1;

③∃x0∈Z,<1;④∃x0∈Q,=3;

⑤∀x∈R,x2-3x+2=0;⑥∃x0∈R,+1=0.

其中所有真命题的序号是________.

【解析】①显然是真命题;②中,当x=0时,x2<1,故②是假命题;③中,当x=0时, x3<1,故③是真命题;④中,对于任意的x∈Q,x2=3都不成立,故④是假命题;⑤中,只有当x=1或x=2时,x2-3x+2=0才成立,故⑤是假命题;⑥显然是假命题.综上可知,所有真命题的序号是①③.答案:①③

10.(2018·枣庄模拟)若“∀x∈,m≤tan x+1”为真命题,则实数m的最大值为________.

【解析】“∀x∈,m≤tan x+1”为真命题,可得-1≤tan x≤1,所以0≤tan x+1≤2,所以实数m的最大值为0.

答案:0

(20分钟40分)

1.(5分)已知f(x)=3sin x-πx,命题p:∀x∈,f(x)<0,则( )

A.p是假命题,p:∀x∈,f(x)≥0

B.p是假命题,p:∃x 0∈,f(x0)≥0

C.p是真命题,p:∃x 0∈,f(x0)≥0