第八讲 等比数列

第八讲 等比数列

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一、兴趣导入 （Topic-in)

小包拯出生时，额头上有一个弯弯的月牙。突然有一天，月牙变成了圆圆的月亮，小包拯母亲掐指一算，原来，今天小包拯满月了。。。后来有一天醒来，小包拯母亲看到月亮不见了，叹了口气，拿出针来刻下四个字，拍拍小包拯的肩膀说：“既然月飞了，你就去精忠报国吧……”

二、学前测试 （Testing )

等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1n a +：(0)n a q q =≠。 一、递推关系与通项公式

m

n m n n n n n q a a q a a a a --+⋅=⋅==推广：通项公式：递推关系：111q 二、等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为c a 与的等比中项，且为ac b ac b =±=2

，注：是成等比数列的必要而不充分条件. 三、等比数列的基本性质，

1.（1）q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若),,,(*

∈N q p n m 其中 （2）)(2

*+--∈⋅==

N n a a a a a q

m n m n n m

n m

n ， （3）{}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. （4）{}n a 既是等差数列又是等比数列⇔{}n a 是各项不为零的常数列. 2.前n 项和公式

)1(11)1()1(111

≠⎪⎩

⎪

⎨⎧--=

--==q q q

a a q q a q na S n n n

3.若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列. 如下图所示：

k

k

k k

k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k

31221S 321-+-+++++++++++

4.等比数列的判定法 （1）定义法：

⇒=+（常数）q a a n

n 1

{}n a 为等比数列； （2）中项法：⇒≠⋅=++)0(2

2

1n n n n a a a a {}n a 为等比数列；

（3）通项公式法：⇒⋅=为常数）q k q k a n n ,({}n a 为等比数列； （4）前n 项和法：⇒-=为常数）（q k q k S n n ,)1({}n a 为等比数列。

⇒-=为常数）（q k kq k S n n ,{}n a 为等比数列。

三、知识讲解 (Teaching )

☆考点一：递推关系与通项公式

【例1】：.1.已在等比数列{}n a 中,2,41==q a ，则=n a

2.在等比数列{}n a 中,712,a q =则19_____.a =

3.（07重庆文）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 1＝64，，则公比q 为（ ）

（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）8 4.在等比数列{}n a 中，22-=a ，545=a ，则8a =

【变式1-1】：在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项13a =，前三项和为21，则345a a a ++=（ ） A 33 B 72 C 84 D 189

☆考点二：等比中项

【例2】：22的等比中项为( )

()1A ()1B - ()1C ± ()2D

【变式2-1】：（2009重庆卷文）设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）

A ．2744n n +

B ．2533n n +

C ．2324

n n

+ D ．2

n n +

☆考点三:等比数列的基本性质

【例3】：1．在等比数列{}n a 中,1a 和10a 是方程2

2510x x ++=的两个根,则47a a ⋅=( )

5()2A - ()

2B 1()2C - 1

()2

D 2. 在等比数列{}n a ，已知51=a ，100109=a a ，则18a = 3.在等比数列{}n a 中，143613233+>==+n n a a a a a a ，， ①求n a

②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++=

【变式3-1】：1.等比数列{}n a 的各项为正数，且5647313231018,log log log a a a a a a a +=+++=

则（ ）

A ．12

B ．10

C ．8

D ．2+3log 5 2.（2009广东卷理）已知等比数列{}

n a 满足0,1,2,n

a n >=，且2525

2(3)n

n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，

2123221log log log n a a a -++

+= （ ）

A. (21)n n -

B. 2(1)n +

C. 2

n D. 2(1)n -

☆考点四:前n 项和公式

【例4】：1.已知等比数列}{n a 的首相51=a ，公比2=q ，则其前n 项和=n S

2.已知等比数列}{n a 的首相51=a ，公比2

1

=q ，当项数n 趋近与无穷大时，其前n 项 和=n S

3.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已,62=a 30631=+a a ，求n a 和n S 4．（2006年北京卷）设4710

310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（ ）

A ．

2(81)7

n

- B ．12(81)7n +- C ．32(81)7n +- D ．4

2(81)7

n +-