皮尔逊Ⅲ(P-Ⅲ)型曲线

皮尔逊Ⅲ(P-Ⅲ)型曲线
１、皮尔逊Ⅲ型曲线得概率密度函数ﻫ皮尔逊Ⅲ型曲线就是一条一端有限一端无限得不对称单峰、正偏曲线(见图4－4-3),数学上常称伽玛分布,其概率密度函数为:
(4-4—８)
ﻫ式中:Γ(α)―α得伽玛函数;
α、β、a０―分别为皮尔逊Ⅲ型分布得形状尺度与位置未知参数,ﻫα﹥0, β﹥0 。

显然,三个参数确定以后,该密度函数随之可以确定。

可以推论,这三个参数与总体三个参数、Ｃｖ、CS具有如下关系:ﻫ
(4—４-9)
2、皮尔逊Ⅲ型频率曲线及其绘制
水文计算中,一般需要求出指定频率P所相应得随机变量取值xp,也就就是通过对密度曲线进行积分,即:
ﻫ(4-4-10)
求出等于及大于xp得累积频率P值。

直接由式(4—４-10)计算P值非常麻烦,实际做法就是通过变量转换,变换成下面得积分形式 :ﻫﻫ(４－4-１1)
ﻫ式(4-4-11)中被积函数只含有一个待定参数CＳ,其它两个参数、Cv都包含在中、,ｘ就是标准化变量,称为离均系数。

得均值为0,标准差为1、因此,只需要假定一个ＣS值,便可从式(4-4—１１)通过积分求出与之间得关系、对于若干个给定得ＣS值, 得对应数值表,已先后由美国福斯特与前苏联雷布京制作出来,见附表１"皮尔逊Ⅲ型频率曲线得离均系数值表”。

由就可以求出相应频率得x值: ﻫﻫ(4－４－12)ﻫ
附表1 皮尔逊Ⅲ型频率曲线得离均系数值表(摘录)
3、皮尔逊Ⅲ型频率曲线得应用ﻫ在频率计算时,由已知得ＣS值,查值表得出不同得P得值,然后利用已知得、ＣV,通过式(４-4-1２)即可求出与各种P相应得值,从而可绘制出皮尔逊Ⅲ型频率曲线。

ﻫ当C S等于C V得一定倍数时,Ｐ-Ⅲ型频率曲线得模比系数K P=,也已制成表格,见附表2＂皮尔逊Ⅲ型频率曲线得模比系数K P值表＂。

频率计算时,由已知得ＣS与C V可以从附表2中查出与各种频率P相对应得K P值,然后即可算出与各种频率对应得＝KＰ。

有了P与得一些对应值,即可绘制出皮尔逊Ⅲ型频率曲线。

附表2 皮尔逊Ⅲ型频率曲线得模比系数KP值表(摘录,C S＝2CＶ)
４.4．5 频率与重现期得关系
频率曲线绘制后,就可在频率曲线上求出指定频率ｐ得设计值xｐ、由于"频率”较为抽象,水文上常用"重现期"来代替"频率"。

所谓重现期就是指某随机变量得取值在长时期内平均多少年出现一次,又称多少年一遇。

根据研究问题得性质不同,频率Ｐ与重现期T得关系有两种表示方法。

ﻫ1、当为了防洪研究暴雨洪水问题时,一般设计频率P＜50％,则:ﻫﻫ(4－4－14)
ﻫ式中:T――重现期,年;
――频率,%。

ﻫ(2)当考虑水库兴利调节研究枯水问题时,设计频率P>50％,则
ﻫ(4—４－15)。