衡水中学2020届高考数学二轮复习：专题6 三角函数的图象与性质
2020高考热点第3讲三角函数图像与性质
第3讲三角函数的图象和性质a . . b1.辅助角公式 asin a+ bcos a=«a + b sin（ a+ 耳，其中 cos （j）= / 2+ 1，sin 4= /2+ bb或 tan j=一a-2.三角函数的奇偶数、周期性、对称性的处理方法- ____ _ , ,一，兀一，，, 一，1 一，,⑴若f(x)=Asin(cox+昉为偶函数，则 Q kjt+q(kC Z),同时当x= 0时，f(x)取得最大或最小值.若f(x) = Asin(cox+ @为奇函数，则Q kjt kC Z),同时当x= 0时，f(x) =0.(2)f(x)= Acos(cox+ 当kTt+^kC Z)时为奇函数;当上knkC Z)时为偶函数；对称轴方程可由 wx+(^= k Tike Z)求得.f(x)= Atan(wx+机当(j)==(k€ Z)时为奇函数. (3)求三角函数最小正周期，一般先通过恒等变形化为y= Asin(④x+耳，y= Acos(co x+昉,一一2兀 2兀兀.. ..y=Atan(cox+财的形式，再分别应用公式丁=1|, 丁=71，丁=「求解.国网⑷⑷对于函数y= Asin(cox+/ 其对称轴一定经过图象的最高点或最低点一对称中心的叱坐标一定是函数的零点.(5)若 f(x)=Asin(cox+ 昉，则对称轴为 x=2kk 对称中心为:kj=^), 0 (kCZ).2 co co _wk2L 1f(x) = Atan(cox+ @的对称中心为(=---- ,0)(k€ Z).考点一三角函数的图象及变换小心仲缩”看A、6;由图”定式“找对象”一…一、… C 1 . …兀... . .. …，•一一，例(1)已知函数f(x)=sin1 2(cox) —2(3>0)的最小正周期为2,若将其图象沿x轴向右平移a(a>0)个单位，所得图象关于原点对称，则正实数a的最小值为( )兀- 3兀兀兀A.4 B- 7 C.2 D- 8解析：选D.依题意得f(x)=1~c o s 2°X-；=—1cos 2cox,最小正周期丁=尹=5 3 = 2, 2 2 2 2 co21 . 1 .. ... ............. ... ....所以f(x) = -2cos 4x,将f(x) = — 2cos 4x的图象向右平移a个单位后得到函数g(x)1 1=-2cos[4(x— a)]的图象.又函数g(x)的图象关于原点对称，因此有g(0) = —2cos4a=0, 4a= k^。
2020年高考数学专题讲解：三角函数的图像与性质
2020年高考数学专题讲解：三角函数的图像与性质（一）高考目标考纲解读1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图像，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性． 考向预测1．三角函数的值域、最值、单调性、周期性等性质是高考考查的重点． 2．三角函数图像的对称性也是高考的一个热点． 3．主要以选择题、填空题的形式考查．（二）课前自主预习知识梳理 1．“五点法”作图原理在确定正弦函数y=sinx 在[]0,2π上的图像形状时，起关键的五点是：、 、 、 、 。
余弦函数呢？2．三角函数的图像和性质3．周期函数及最小正周期一般地对于函数f (x )，如果存在一个不为0的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0且为常数)的周期T ＝2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期T ＝πω.（三）基础自测1．(湖北文)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π[答案] D[解析] 本题主要考查三角函数中的周期性．∵ω＝12，T ＝2π|ω|＝4π.2．(理)(陕西理)对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( )A ．f (x )在(，)上是递增的B ．f (x )的图像关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的最大值为2 [答案] B[解析] 本题考查三角函数的性质．f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，周期为π，最大值为1，故C 、D 错；f (－x )＝sin(－2x )＝－2sin x ，为奇函数，其图像关于原点对称，B 正确；函数的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4，(k ∈Z)排除A.(文)(陕西文)函数f (x )＝2sin x cos x 是( )A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数 [答案] C[解析] 本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性．f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，最小正周期T ＝2π2＝π，且f (x )是奇函数． 3．已知－π6≤x <π3，cos x ＝m －1m ＋1，则m 的取值范围是( )A ．m <－1B ．3<m ≤7＋4 3C ．m >3D ．3<m <7＋43或m <－1[答案] C[解析] 由－π6≤x <π3，12<cos x ≤1，∴12<m －1m ＋1≤1，∴m >3.4．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1 [答案] B[解析] 根据已知条件：ω<0，且|ω|≤1，因此－1≤ω<05．(湖洲中学月考)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图像如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f (0)＝________.[答案] 23[解析] 由图可知，T 2＝π3，∴T ＝2π3，∴ω＝3，故f (x )＝A cos(3x ＋φ)．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，∴A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋φ＝－23，∴A sin φ＝－23.又∵f ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＝0，∴A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π4＋φ＝0，∴sin φ＝－cos φ，∴f (0)＝A cos φ＝－A sin φ＝23.6．sin1，sin2，sin3的大小关系为________． [答案] sin3<sin1<sin2[解析] sin2＝sin(π－2)，sin3＝sin(π－3)．因为0<π－3<1<π－2<π2且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，所以sin(π－3)<sin1<sin(π－2)，即sin3<sin1<sin2.7．求y ＝sin2x －cos x ＋2的最值．[分析] 解析式中只有sin2x ，cos x ，可以考虑转化为关于cos x 的二次函数形式． [解析]y ＝sin2x －cos x ＋2＝1－cos2x －cos x ＋2＝－cos2x －cos x ＋3＝－⎝⎛⎭⎫cos x ＋122＋134， 又∵－1≤cos x ≤1，－1<－12<0，∴1≤y ≤134.故函数的最大值与最小值分别为134与1.（四）、典型例题1.命题方向：三角函数的定义域 [例1] 求下列函数的定义域：（1）y =2lg(36)x -（2）y =[分析] 先转化为三角不等式，再利用单位圆或三角函数图像求解．[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2cos 2x ＋3cos x －1≥036－x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －x －－6<x <6，也即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≥12－6<x <6.解得⎩⎪⎨⎪⎧－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k πk ∈－6<x <6(*)取k ＝－1,0,1，可分别得到x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－6，－5π3或x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3或x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π3，6.即所求的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－6，－5π3∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π3，6.(2)要使函数有意义，只要即0<x <π2或π≤x ≤4.所以函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫0，π2∪[π，4]．[点评] (1)求三角函数定义域常借助两个工具，即单位圆中的三角函数和三角函数的图像，有时也利用数轴，对于含有正弦、余弦函数的复合函数的定义域，仍然是使解析式有意义即可． (2)求三角函数定义域时，通常归结为解三角不等式或不等式组． 跟踪练习1求下列各函数的定义域：(1) y ＝11－cos x； (2)y ＝sin x ＋1－tan x .[解析] (1)函数y ＝11－cos x 有意义时，1－cos x ≠0，即cos x ≠1，所以x ≠2k π(k ∈Z)，所以函数的定义域为{x |x ≠2k π，x ∈R ，k ∈Z}．(2) 要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，1－tan x ≥0.由图知道，函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z).2.命题方向：求函数的值域和最值 [例2] 求下列函数值域：(1)y ＝2cos 2x ＋2cos x ； (2)y ＝3cos x －3sin x ； (3)y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x .[分析] (1)令t ＝cos x ，得y ＝2t 2＋2t ，t ∈[－1,1]，再配方求值域．(2)利用辅助角公式可化为y ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，再求值域． (3)令t ＝sin x ＋cos x ，平方可用t 表示sin x cos x ，即可转化为t 的二次函数求解．[解析] (1)y ＝2cos 2x ＋2cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋122－12.当且仅当cos x ＝1时，得y max ＝4， 当且仅当cos x ＝－12时，得y min ＝－12，故函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4. (2)y ＝3cos x －3sin x ＝23⎝⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤1，∴该函数值域为[－23，23]． (3)y ＝sin x cos x ＋sin x ＋cos x ＝sin x ＋cos x 2－12＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋222－1， 所以当sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1时，y 取最大值1＋2－12＝12＋ 2.当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22时，y 取最小值－1， ∴该函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12＋2.[点评] 求三角函数的值域(或最值)的常见题型及解法为：1．y ＝a sin x ＋b cos x 型可引用辅助角化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中tan φ＝ba)．2．y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 型可通过降次整理化为y ＝A sin2x ＋B cos2x . 3．y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 型可换元转化为二次函数． 4．sin x cos x 与sin x ±cos x 同时存在型可换元转化． 5．y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d (或y ＝a cos x ＋bc cos x ＋d)型，可用分离常数法或由 |sin x |≤1来解决．6．y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d型，可用斜率公式来解决．跟踪练习2求y ＝sin2x －sin x cos x ＋2的值域．[解析] y ＝sin 2x －sin x cos x ＋2＝1－cos2x 2－12sin2x ＋2＝－12(sin2x ＋cos2x )＋52＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋52.3.命题方向：求三角函数的单调区间[例3] 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调增区间． [分析] 思路一：由y ＝sin x 的单调区间来求本题的单调区间．思路二：将y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 看作复合函数来求单调区间．[解析] 方法一：∵y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调增区间就是方法二：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 可看作是由y ＝2sin u 与u ＝π3－2x 复合而成的．∵u ＝π3－2x 是减函数，∴y ＝2sin u 是减函数时，复合后的函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 才是增函数．∴2k π＋π2≤u ≤3π2＋2k π，k ∈Z.∴2k π＋π2≤π3－2x ≤3π2＋2k π.∴2k π＋π6≤－2x ≤7π6＋2k π.∴－k π－7π12≤x ≤－π12－k π，即k π－7π12≤x ≤－π12＋k π.∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，－π12＋k π，k ∈Z.∴－k π－7π12≤x ≤－π12－k π，即k π－7π12≤x ≤－π12＋k π.∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，－π12＋k π，k ∈Z.[点评] 求三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)或y ＝A tan(ωx ＋φ)的单调区间时，一定要注意到函数中A 与ω的符号，一般是将ω化为正或用复合函数单调性来求解，否则极易出现将单调区间求反的错误． 跟踪练习3：已知函数f (x )＝sin2x ＋2sin x cos x ＋3cos2x ，x ∈R.求： (1)函数f (x )的最大值及取得最大值时自变量x 的集合； (2)函数f (x )的单调增区间．[解析] (1)∵f (x )＝1－cos2x2＋sin2x ＋＋cos2x 2=2＋sin2x ＋cos2x ＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k ∈Z)时，f (x )取得最大值2＋ 2.因此，f (x )取得最大值时自变量x 的集合是{x |x ＝k π＋π8，k ∈Z}(2)f (x )＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 由题意得2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2 (k ∈Z)，即k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z)，因此f (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－38π，k π＋π8(k ∈Z).4.命题方向：三角函数的奇偶性与周期性[例4] (陕西)已知函数f (x )＝2sin x 4cos x4－23sin 2x4＋ 3.(1)求函数f (x )的最小正周期及最值；(2)令g (x )＝f (x ＋π3)，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．[解析] (1)∵f (x )＝sin x 2＋3(1－2sin 2x 4)＝sin x 2＋3cos x 2＝2sin(x 2＋π3)， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.当sin(x 2＋π3)＝－1时，f (x )取得最小值－2；当sin(x 2＋π3)＝1时，f (x )取得最大值2.(2)由(1)知f (x )＝2sin(x 2＋π3)，又g (x )＝f (x ＋π3)，∴g (x )＝2sin[12(x ＋π3)＋π3]＝2sin(x 2＋π2)＝2cos x2.∵g (－x )＝2cos(－x 2)＝2cos x2＝g (x )，∴函数g (x )是偶函数． 跟踪练习4(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 是( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为π的非奇非偶函数[答案] C[解析] y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos2x . (2)(辽宁文)函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图像向右平移4π3个单位后与原图像重合，则ω的最小值是( )A.23 B.43 C.32D ．3[解析] 要想图像平移后与原图像重合，至少需平移1个周期 ∴(2πω)max ＝43π，∴ωmin ＝2π43π＝32.故选C.（五）、思想方法点拨1．函数y ＝sin x 在[2k π－π2，2k π＋π2]，(k ∈Z )的每一个区间上都是增函数，但在k 取不同值时，对应的两个区间的并集上不单调．y ＝cos x ，y ＝tan α都有类似特点． 如函数y ＝tan α在第一象限内是增函数是错误的，你能说明原因吗？ 2．函数y ＝sin x 、y ＝cos x 的对称轴经过图像的最高点或最低点． 3．y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间的确定：(1)当A >0，ω>0时，由于U ＝ωx ＋φ是增函数，故y ＝A sin U 单增(减)时，复合函数y ＝A sin(ωx ＋φ)单增(减)．从而解不等式2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z)求出x 取值范围，即该函数的增区间，解不等式2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z)可得该函数的单调减区间． (2)当A >0，ω<0时，∵U ＝ωx ＋φ为减函数，故再如(1)的解法，求出单调区间则会导致错误，同样A <0，ω<0时也有类似情况，这时要紧扣复合函数单调性的判定方法进行．余弦、正切函数都有类似情形一般地，求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，若ω<0，先用诱导公式化为x 的系数为正的，然后利用复合函数判单调性的方法，解关于ωx ＋φ的一个不等式即可求得．4．函数＝A sin(ωx ＋φ)(ωx ≠0)为奇函数的充要条件为φ＝k π，k ∈Z ，为偶函数的充要条件为 φ＝k π＋π2，k ∈Z.函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)为奇函数的充要条件为φ＝k π＋π2，k ∈Z.为偶函数的充要条件为φ＝k π，k ∈Z.函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)为奇函数的充要条件为φ＝k π2，k ∈Z.它不可能是偶函数．5．三角函数的周期(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)的周期T ＝2π|ω|，y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)的周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx＋φ)(A ，ω≠0)的周期T ＝π|ω|(2)y ＝A |sin(ωx ＋φ)|、y ＝A |cos(ωx ＋φ)|、y ＝A |tan(ωx ＋φ)|的周期都为T ＝π|ω|.6．直线y ＝a 与函数y ＝tan x 的图像交点中任两点距离的最小值为周期．函数y ＝sin x (y ＝cos x )相邻两个最大(小)值点之间距离为半周期，与x 轴相邻两交点之间距离为半周期．（六）课后强化作业一、选择题1．(江西文)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54][答案] C[解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sin x ＝t 换元转化为t 的一元二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t ＝sin x ∈[－1,1]，y ＝t 2＋t －1，(－1≤t ≤1)，显然－54≤y ≤1，选C.2．函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线x ＝－π8对称，则a 的值为( )A. 2B ．－ 2C ．1D ．－1[答案] D[解析] 解法1：由y ＝sin2x ＋a cos2x 可联想到形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数．又知其对称轴为x ＝－π8，故此直线必经过函数图像的波峰或波谷．从而将x ＝－π8代入原式，可使函数取最大值或最小值．即－22＋22a ＝±a 2＋1，∴a ＝－1. 解法2：由于函数图像关于直线x ＝－π8对称∴f (0)＝f (－π4)，∴a ＝－1，故选D.3．(重庆文)下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( )A ．y ＝sin (2x ＋π2)B ．y ＝cos (2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)[答案] A[解析] 本题考查三角函数的周期性、单调性以及诱导公式． 选项A ：y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x ，周期为π，在[π4，π2]为减函数；选项B ：y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x ，周期为π.在[π4，π2]为增函数；选项C ：y ＝sin(x ＋π2)＝cos x ，周期为2π；选项D ：y ＝cos(x ＋π2)＝－sin x ，周期为2π.故选A.4．已知函数f (x )＝3sin πxR 图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] D[解析] f (x )的周期T ＝2ππR ＝2R ，f (x )的最大值是3，结合图形分析知R >3，则2R >23>3，只有2R ＝4这一种可能，故选D.5．函数y ＝2tan x －1tan x 的图像关于( )A ．点⎝⎛⎭⎫－π8，0对称 B ．点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 C ．直线x ＝－π4对称D ．直线x ＝π2对称[答案] B[解析] y ＝2tan x －1tan x＝2tan xtan 2x －1＝－tan2x ⎝⎛⎭⎫x ≠k π4，k ∈Z . 函数图像大致如下图，显见它不是轴对称图形，而是关于点⎝⎛⎭⎫k π4，0对称的中心对称图形，故选B.6．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图像与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1、x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4[答案] A[解析] y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数且0<θ<π， 所以θ＝π2，y ＝2cos ωx ，∴y ∈[－2,2]．又∵|x 1－x 2|min ＝π，故y ＝2与y ＝2cos ωx 的交点为最高点，于是最小正周期为π.即2πω＝π，所以ω＝2.故选A.7．(新课标理)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为( )[答案] C[解析] 本小题考查了任意角的三角函数的概念、三角函数的图像，结合物理学的角速度问题，考查学科知识交汇点，解答此题的关键是找到点P 运动后对应的坐标．方法一：(排除法)当t ＝0时，P 点到x 轴的距离为2，排除A 、D ，由角速度为1知，当t ＝π4或t ＝3π4时，P点落在x 轴上，即P 点到x 轴的距离为0，故选C.方法二：由题意知P ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫t －π4，2sin ⎝⎛⎭⎫t －π4， ∴P 点到x 轴的距离为d ＝|y 0|＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫t －π4， 当t ＝0时，d ＝2；当t ＝π4时，d ＝0.故选C.8．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则θ等于( ) A ．k π (k ∈Z )B ．k π＋π6 (k ∈Z )C ．k π＋π3(k ∈Z )D ．k π－π3(k ∈Z )[答案] D[解析] 解法1：由两角和与差的三角公式得 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－3x ＋θ. 由f (x )是奇函数得π3＋θ＝k π(k ∈Z ) ⇒θ＝k π－π3(k ∈Z )．故选D.解法2：∵函数f (x )为奇函数，定义域为R . ∴f (0)＝0，即3cos θ＋sin θ＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝0，∴θ＋π3＝k π，∴θ＝k π－π3(k ∈Z )．二、填空题9．比较大小：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－π18________sin ⎝⎛⎭⎫－π10. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－23π5________cos ⎝⎛⎭⎫－17π4. [答案] (1)> (2)<[解析] (1)∵－π2<－π10<－π18<π2，y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－π10<sin ⎝⎛⎭⎫－π18，即sin ⎝⎛⎭⎫－π18>sin ⎝⎛⎭⎫－π10. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－23π5＝cos 23π5＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋3π5＝cos 3π5， cos ⎝⎛⎭⎫－17π4＝cos 17π4＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x 在[0，π]上是减函数， ∴cos π4>cos 3π5，即cos ⎝⎛⎭⎫－17π4>cos ⎝⎛⎭⎫－23π5， 即cos ⎝⎛⎭⎫－23π5<cos ⎝⎛⎭⎫－17π4. 10．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．[答案] (1,3)[解析] f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ， 0≤x ≤π，－sin x ，π<x ≤2π.在同一坐标系中，作出函数f (x )与y ＝k 的图像可知1<k <3.11．(安徽理)动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t ＝0时点A 的坐标是(12，32)，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是________．[答案] [0,1]和[7,12][解析] 设点A 的纵坐标y 关于t 的函数为y ＝sin(ωt ＋φ)． ∵T ＝12＝2πω，∴ω＝π6.当t ＝0时，sin φ＝32，cos φ＝12，∴φ可取π3. ∴y ＝sin(π6t ＋π3)，由正弦函数的单调性知．2k π－π2≤π6t ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )2k π－5π6≤π6t ≤2k π＋π6(k ∈Z )．∴12k －5≤t ≤12k ＋1(k ∈Z )． 当k ＝0时 ，－5≤t ≤1； 当k ＝1时，7≤t ≤13又∵0≤t ≤12，∴单调增区间为[0,1]和[7,12]． 三、解答题12．(深圳模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos 2x 2，a 为常数，a ∈R ，且x ＝π2是方程f (x )＝0的解．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π]时，求函数f (x )的值域． [解析] (1)f ⎝⎛⎭⎫π2＝sin π2＋a cos 2π4＝0， 则1＋12a ＝0，解得a ＝－2.所以f (x )＝sin x －2cos 2x2＝sin x －cos x －1，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4－1. 所以函数f (x )的最小正周期为2π. (2)由x ∈[0，π]，得x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 则sin ⎝⎛⎭⎫x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 则2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4－1∈[－2，2－1]， 所以y ＝f (x )值域为[－2，2－1]．13．(北京理)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．[解析] 本题考查了三角函数的化简求值及二次函数在区间上的最值．(1)可直接求解，(2)化简后转化为关于cos x 的二次函数，求值即可．(1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x ∈R因为cos x ∈[－1,1]，所以当cos x ＝－1时，f (x )取最大值6；当cos x ＝23时，取最小值－73.14．(福建四地六校联考)已知函数f (x )＝－1＋23sin x cos x ＋2cos 2x . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)求f (x )图像上与原点最近的对称中心的坐标；(3)若角α，β的终边不共线，且f (α)＝f (β)，求tan(α＋β)的值． [解析] f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， (1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． (2)由sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝0得2x ＋π6＝k π(k ∈Z )， 即x ＝k π2－π12(k ∈Z )，∴f (x )图像上与原点最近的对称中心坐标是⎝⎛⎭⎫－π12，0. (3)由f (α)＝f (β)得：2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2β＋π6， 又∵角α与β不共线，∴⎝⎛⎭⎫2α＋π6＋⎝⎛⎭⎫2β＋π6＝2k π＋π(k ∈Z )， 即α＋β＝k π＋π3(k ∈Z )，∴tan(α＋β)＝ 3.15．已知函数f (x )＝log 12(sin x －cos x )．(1)求它的定义域和值域； (2)求它的单调区间；(3)判断它的奇偶性；(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．[分析] 对于(1)，(2)可以从sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4入手．对于(3)则看f (x )的定义域是否关于原点对称．对于(4)可利用f (x ＋T )＝f (x )先验证T 是一个周期，再证T 是最小正周期．[解析] (1)由题意得sin x －cos x >0， 即2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4>0， 从而得2kπ<x －π4<2kπ＋π(k ∈Z )．∴函数f (x )的定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2kπ＋π4<x <2kπ＋54π，k ∈Z .∵0<sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≤1，∴0<sin x －cos x ≤2， 即有log 122≤log 12(sin x －cos x )．故函数f (x )的值域是⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. (2)∵sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4在f (x )的定义域上的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2kπ＋π4，2kπ＋3π4(k ∈Z )， 单调递减区间为⎣⎡⎭⎫2kπ＋3π4，2kπ＋5π4(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫2kπ＋3π4，2kπ＋5π4(k ∈Z )； 单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2kπ＋π4，2kπ＋3π4(k ∈Z )． (3)∵f (x )的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称， ∴函数f (x )是非奇非偶函数．(4)∵f (x ＋2π)＝log 12[sin(x ＋2π)－cos(x ＋2π)]＝log 12(sin x －cos x )＝f (x )，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π.[点评] 本题综合考查了三角函数的性质，解题的关键是把sin x －cos x 化为A sin(ωx ＋φ)的形式．。
衡水中学2020届高考数学(理)二轮专题训练：专题6 函数的图像专项训练(解析版)
专题6 函数的图像专项训练1、己知函数()32f x ax bx c =++，其导数()'f x 的图象如图所示，则函数()f x 的极大值是（ ） A. a b c ++ B. 84a b c ++ C. 32a b + D.c【解析】由图像可知、()0,2x ∈时，()'0f x >,()f x 单调递增，()2,x ∈+∞时，()'0f x <,()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()284f a b c =++【答案】B2、设函数()y f x =可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图像可能为（ ）【解析】根据原函数的图像可得、()f x 在(),0-∞单调递增，在正半轴先增再减再增，故()'f x 在负半轴的符号为正，在正半轴的符号依次为“正负正”，观察四个选项只有D 符合 【答案】D 3、函数()ln ||||x x f x x =的图像可能是（ )【解析】观察解析式可判断出()ln x xf x x=为奇函数，排除A,C. 当0x >时，()0ln f x x >=,故选择B【答案】B4、函数()()1cos ,0f x x x x x x ππ⎛⎫=--≤≤≠ ⎪⎝⎭的图像可能为（ ）【解析】观察4个ABDC yO x11-yO x11-yO x11- yO x11- xy O图1xy O Axy O Bxy O CyO Dx选项的图像，其中A ，B 图像关于y 轴对称，C,D 图像关于原点中心对称。
所以先判断函数奇偶性，可判断出()()()11cos cos f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()f x 为奇函数，排除A ，B ，再观察C,D 的区别之一就是()f π的符号，经过计算可得()11cos 0f ππππππ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，所以排除C【答案】D 5、已知()21sin ,42f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图像是( )【解析】()2211sin cos 424f x x x x x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，()1'sin 2f x x x =-，可判断()'f x 为奇函数，图像关于原点中心对称，排除,B D 。
核心热点突破 三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以客观题或解答题其中一问的形式考查.1.(多选)(2020·新高考Ⅰ卷)如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象，则sin(ωx ＋φ)＝( )A.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3B.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2xC.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x答案 BC解析 由图象知T 2＝2π3－π6＝π2，得T ＝π，所以ω＝2πT ＝2.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，由“五点法”，结合图象可得φ＋π3＝π，即φ＝2π3，所以sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，故A 错误；由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 知B 正确；由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6知C 正确；由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x 知D 错误.综上可知，正确的选项为BC.2.(2021·全国乙卷)把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象，则f (x )＝( ) A.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－7π12B.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π12C.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π12D.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12答案 B解析 依题意，将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f (x )的图象，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的图象―――――――――――――――――――→所有点的横坐标扩大到原来的2倍 f （x ）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π12的图象．故选B.3．（2021·全国甲卷）已知函数f （x ）＝2cos （ωx ＋φ）的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝ Ｗ．答案 － 3解析 由图象可得，函数的周期T ＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫13π12－π3＝π，所以ω＝2πT ＝2，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0代入f （x ）＝2cos （2x ＋φ）中，得2×π3＋φ＝2k π＋π2（k ∈Z ），解得φ＝2k π－π6（k ∈Z ），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2＋2k π－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋5π6＝－ 3.4．（2020·全国Ⅲ卷）关于函数f （x ）＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题： ①f （x ）的图象关于y 轴对称． ②f （x ）的图象关于原点对称．③f （x ）的图象关于直线x ＝π2对称． ④f （x ）的最小值为2.其中所有真命题的序号是 ． 答案 ②③解析 ∵f （x ）＝sin x ＋1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，关于原点对称，又 f （－x ）＝sin （－x ）＋1sin （－x ）＝－f （x ），而f （－x ）≠f （x ），∴f （x ）为奇函数，不是偶函数，①错误，②正确．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ＋1cos x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝cos x ＋1cos x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，∴f （x ）的图象关于直线x ＝π2对称，③正确． 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0时，f （x ）<0，④错误．故填②③.5．(2021·浙江卷)设函数f (x )＝sin x ＋cos x (x ∈R ). (1)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π22的最小正周期；(2)求函数y ＝f (x )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值．解 (1)因为f (x )＝sin x ＋cos x ， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＝cos x －sin x ，所以y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π22＝(cos x －sin x )2＝1－sin 2x .所以函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π22的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin x ， 所以y ＝f (x )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin x ()sin x ＋cos x ＝2(sin x cos x ＋sin 2x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋22.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时，函数y ＝f (x )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取得最大值，且y max ＝1＋22.1．常用的三种三角函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) 函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象递增区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π]奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴 x ＝k π＋π2x ＝k π 周期2π2ππ2.三角函数的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得． (2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得． (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数． 3．三角函数的两种常见变换 (1)y ＝sin x ―――――――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).(2)y ＝sin xy ＝sin ωx ―――――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φω|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).热点一 三角函数的定义与同角关系式【例1】 (1)在平面直角坐标系中，AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan α<cos α<sin α，则点P 所在的圆弧是( )A.AB ︵B.CD ︵C.EF ︵D.GH ︵(2)如图，以Ox 为始边作角α(0＜α＜π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝ ．答案 (1)C (2)1825解析 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，且tan α＜cos α＜sin α，∴yx ＜x ＜y ，解之得－1＜x ＜0，且0＜y ＜1. 故点P (x ，y )所在的圆弧是EF ︵.(2)由三角函数定义，得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α（sin α＋cos α）sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825.探究提高 1.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关．若角α已经给出，则无论点P 在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．2．应用诱导公式与同角关系进行开方运算时，一定要注意三角函数值的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．【训练1】 (1)若sin θ＝5cos(2π－θ)，则tan 2θ等于( ) A ．－53B.53C ．－52D.52(2)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( ) A.15 B.55 C.255D ．1答案 (1)C (2)B解析 (1)∵sin θ＝5cos(2π－θ)， ∴sin θ＝5cos θ，得tan θ＝5， ∴tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝251－（5）2＝－52. (2)由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos 2α－1＝23，所以cos α＝306，sin α＝±66，得|tan α|＝55.由题意知|tan α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 1－2，所以|a －b |＝55. 热点二 三角函数的图象【例2】 (1)(多选)(2021·唐山二模)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为曲线E ，则( )A ．将曲线y ＝sin 2x 向右平移π3个单位长度，与曲线E 重合B ．将曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，与曲线E重合C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0是曲线E 的一个对称中心 D ．若x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)＝0，则|x 1－x 2|的最小值为π2(2)(2021·全国甲卷)已知函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则满足条件⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＞0的最小正整数x 为 ．答案 (1)BD (2)2解析 (1)对于A 选项，曲线y ＝sin 2x 向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，(平移变换指的是对“x ”的变换)所以A 选项不正确；对于B 选项，曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得到曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以B 选项正确；对于C 选项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1≠0，所以C 选项不正确；对于D 选项，因为x 1≠x 2，f (x 1)＝f (x 2)＝0，所以|x 1－x 2|的最小值为f (x )最小正周期的一半，即π2，所以D 选项正确．故选BD.(2)由题图可知，34T ＝13π12－π3＝3π4(T 为f (x )的最小正周期)，得T ＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2cos(2x ＋φ).点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0可看作“五点作图法”中的第二个点，则2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6，所以f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝⎛⎭⎪⎫－7π4－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π3＝2cos π3＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3－π6＝2cos 5π2＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＞0，即(f (x )－1)f (x )＞0，可得f (x )＞1或f (x )＜0，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＞12或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＜0.当x ＝1时，2x －π6＝2－π6 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，不符合题意；当x ＝2时，2x －π6＝4－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，7π6，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＜0，符合题意，所以满足题意的最小正整数x 为2.探究提高 1.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．这两种变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，一般把第一个“零点”作为突破口，可以从图象的升降找准第一个“零点”的位置．【训练2】 (1)(多选)(2021·湖南名校测评)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋xD ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x(2)将曲线y ＝f (x )·cos 2x 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π4个单位长度，得到曲线y ＝cos 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝( )A ．1B ．－1 C. 3D.－ 3答案 (1)ABD (2)D解析 (1)由题图可知5π6－π12＝3π4＝3T4(T 为f (x )的最小正周期)， 所以T ＝π＝2πω，解得ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ).由图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1，得2×π12＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， 得φ＝2k π＋π3(k ∈Z ).因为|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，因此A 选项正确；f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以B 选项正确； 令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k 2π＋π12(k ∈Z )，即函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称轴方程为x ＝k 2π＋π12(k ∈Z )，所以C 选项不正确；令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k 2π－π6(k ∈Z )，即函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π－π6，0(k ∈Z )，当k ＝1时，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，所以D 选项正确.故选ABD.(2)把y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度，得y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 的图象，再把所得图象各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应函数为y ＝－sin(2·2x )＝－sin 4x .依题设y ＝－sin 4x ＝f (x )·cos 2x .因此f (x )＝－2sin 2x ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－2sin π3＝－ 3.热点三 三角函数的性质【例3】 (1)(多选)(2021·天津适应性考试)已知x 1，x 2是函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)的两个不同零点，且|x 1－x 2|的最小值是π2，则下列说法正确的是( )A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增B.函数f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称 C.函数f (x )的图象关于点(π，0)中心对称 D.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，函数f (x )的值域是[－2，1]答案 ABD解析 由题意可知，函数f (x )的最小正周期T ＝π＝2πω， ∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 对于选项A ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，故A 正确；对于选项B ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝⎛⎭⎪⎫－π6－π6 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－2，∴f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称，故B 正确；对于选项C ，f (π)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＝－1≠0，∴f (x )的图象不关于点(π，0)中心对称，故C 错误； 对于选项D ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，11π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，f (x )∈[－2，1]，故D 正确. 综上，选ABD.(2)(2021·南京调研)已知函数f (x )＝4a cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1.①求a 的值及f (x )的最小正周期；②若f (x )在[0，m ]上单调递增，求m 的最大值.解 ①由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝4a ×12×12＝1，解得a ＝1.所以f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝23sin x cos x －2cos 2x＝3sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1的最小正周期为π.②由①知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1.当x ∈[0，m ]时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2m －π6， 若f (x )在[0，m ]上单调递增， 则有－π6<2m －π6≤π2，即0<m ≤π3.所以m 的最大值为π3.探究提高 1.讨论三角函数的单调性，研究三角函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.2.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间，是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间).【训练3】 (1)(2021·苏州调研)声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数模型.纯音的数学模型是函数y ＝A sin ωt ，通常我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f (x )＝sin x ＋12sin 2x ，则下列有关函数f (x )的结论正确的是( ) A.2π不是f (x )的一个周期 B.f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增C.f (x )的最大值为334D.f (x )在[0，2π]上有2个零点(2)(多选)(2021·青岛模拟)已知函数f (x )＝(2cos 2ωx －1)sin 2ωx ＋12cos 4ωx (ω>0)，则下列说法正确的是( )A.若f (x )的两个相邻的极值点之差的绝对值等于π4，则ω＝2B.当ω＝12时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最小值为－12C.当ω＝1时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上单调递增D.当ω＝1时，将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后得到g (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4的图象答案 (1)C (2)BD解析 (1)由于f (x ＋2π)＝sin(x ＋2π)＋12sin(2x ＋4π)＝sin x ＋12sin 2x ＝f (x )，∴2π是函数f (x )的一个周期，A 不正确；当x ∈[0，2π]时，f ′(x )＝cos x ＋cos 2x ＝cos x ＋cos 2x －sin 2x ＝2cos 2x ＋cos x －1，由f ′(x )>0，得12<cos x ≤1，所以0≤x <π3或5π3<x ≤2π；由f ′(x )<0，得－1<cos x <12，所以π3<x <5π3，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3，⎝ ⎛⎦⎥⎤5π3，2π上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π3上单调递减，故B 不正确；易知x ＝π3为函数f (x )的极大值点，x ＝5π3为函数f (x )的极小值点，且f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝334，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝－334，f (2π)＝0，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝334，故C 正确；由f (x )＝sin x ＋12sin 2x ＝0，得sin x ＋sin x cos x ＝0，得sin x ＝0或cos x ＝－1，当x ∈[0，2π]时，x ＝0或x ＝π或x ＝2π，则f (x )在[0，2π]上有3个零点，故D 不正确.(2)f (x )＝12sin 4ωx ＋12cos 4ωx ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4ωx ＋π4.选项A ：由题意得T 2＝π4，∴12×2π4ω＝π4，∴ω＝1，A 不正确；选项B ：当ω＝12时，f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，22，B 正确； 选项C ：当ω＝1时，f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0时，4x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上不单调递增，C 不正确；选项D ：当ω＝1时，f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，所得图象的解析式为g (x )＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4，D 正确.故选BD. 热点四 三角函数性质与图象的综合应用【例4】 设函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4. (1)求ω 的值；(2)若函数y ＝f (x ＋φ)(0<φ<π2)是奇函数，求函数g (x )＝cos(2x －φ)的单调递减区间. 解 (1)f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32＝12sin 2ωx －3（1＋cos 2ωx ）2＋32 ＝12sin 2ωx －32cos 2ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.设T 为f (x )的最小正周期，由f (x )的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋[2f (x )max ]2＝π2＋4. 又f (x )max ＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋4＝π2＋4，解得T ＝2π.又ω>0，T ＝2π2ω＝2π，∴ω＝12. (2)由(1)可知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，∴f (x ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ－π3.∵y ＝f (x ＋φ)是奇函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π3＝0， 即φ－π3＝k π(k ∈Z )，又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴g (x )＝cos(2x －φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，则k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .探究提高 1.研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解. 2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|.【训练4】 (2021·武汉诊断)已知函数f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1(ω>0)，且函数f (x )的最小正周期为π.(1)求f (x )的解析式，并求出f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及g (x )取得最大值时x 的取值集合. 解 (1)f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1 ＝1－cos 2ωx ＋3sin 2ωx －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.由函数f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝π，得ω＝1.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π6 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则g (x )的最大值为2，此时有2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π＋π12，k ∈Z ，所以当g (x )取得最大值时x 的取值集合为{x |x ＝k π＋π12，k ∈Z }.一、选择题1.(2021·湖南大联考)已知2sin(π－α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin 2α－12sin 2α－cos 2α＝( ) A.513 B.－113C.－513D.113答案 B解析 由2sin(π－α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，得2sin α＝3cos α，所以tan α＝32，从而原式＝sin 2α－sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan α－1tan 2α＋1＝－113. 2.(2021·石家庄模拟)刘徽(约公元225年～295年)，魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，估计sin 4°的值为( )A.0.052 4B.0.062 8C.0.078 5D.0.069 8答案 D解析 将一个单位圆平均分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为4°， 因为这90个扇形对应的等腰三角形的面积和近似于单位圆的面积，所以90×12×1×1×sin 4°＝45sin 4°≈π， 所以sin 4°≈π45≈0.069 8.3.(2021·北京卷)已知函数f (x )＝cos x －cos 2x ，则该函数为( ) A.奇函数，最大值为2 B.偶函数，最大值为2 C.奇函数，最大值为98 D.偶函数，最大值为98答案 D解析 函数f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝f (x )，则f (x )为偶函数.f (x )＝cos x －cos 2x ＝cos x －(2cos 2x －1)＝－2cos 2x ＋cos x ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －142＋98，又cos x ∈[－1，1]，故f (x )的最大值为98，故选D.4.古希腊人早在公元前就知道，七弦琴发出不同的声音，是由于弦长度的不同.数学家傅里叶(公元1768年～1830年)关于三角函数的研究告诉我们：人类的声音，小提琴的奏鸣，动物的叫声——都可以归结为一些简单声音的组合，而简单声音是可以用三角函数模型描述的.已知描述百灵鸟的叫声时用到如图所示的图象，图象的解析式是f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)，则( )A.ω＝3，φ＝π6 B.ω＝6，φ＝π3 C.ω＝3，φ＝π4 D.ω＝6，φ＝5π6答案 C解析 由图象知，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π－712π＝2π3，∴2πω＝2π3，则ω＝3.又A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×7π12＋φ＝0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫74π＋φ＝0，∴74π＋φ＝2k π(k ∈Z )，由φ∈(0，π)，得φ＝π4.5.(2021·广东七校联合体二联)如图，点P 在以AB 为直径的半圆弧上沿着BA ︵运动，AB ＝2，记∠BAP ＝x .将点P 到A ，B 两点的距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 C解析 法一 由题意可知，△P AB 为直角三角形，P A ＝2cos x ，PB ＝2sin x ， 所以P A ＋PB ＝2cos x ＋2sin x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，即y ＝f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2. 因为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，所以22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[2，22]，当x ＋π4＝π2，即x ＝π4时函数f (x )取得最大值22，故排除B ，D ；又函数f (x )的解析式为正弦型，故排除A ，故选C.法二 由题意可知，△P AB 为直角三角形.当x ＝π4时，△P AB 为等腰直角三角形，此时P A ＝PB ＝2，则P A ＋PB ＝22>2，故排除B ，D ； 当x ＝π6时，P A ＋PB ＝2cos π6＋2sin π6＝3＋1，当x ＝π12时，P A ＋PB ＝2cos π12＋2sin π12＝6＋22＋6－22＝6，又22－（3＋1）π4－π6≠（3＋1）－6π6－π12，所以当0<x <π4时，函数f (x )的图象不是直线型，故排除A ，故选C.6.(多选)(2021·南京调研)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度后，得到函数y ＝g (x )的图象，则( )A.函数g (x )的图象关于直线x ＝π12对称 B.函数g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称C.函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，－π6上单调递增D.函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，7π6上有2个零点答案 ACD解析 将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度得y ＝g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象. 对于A ，由2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π12，所以函数g (x )的图象关于直线x ＝π12对称，故A 正确；对于B ，当x ＝π6时，g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32≠0，所以函数g (x )的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，故B 不正确；对于C ，由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－5π12＋k π≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，当k ＝0时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，又⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，－π6⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，所以函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，－π6上单调递增，故C 正确； 对于D ，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0，得2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π6(k ∈Z ).当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，7π6时，x ＝π3，5π6，所以函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，7π6上有2个零点，故D 正确.综上所述，选ACD. 二、填空题7.(2021·八省联考)写出一个最小正周期为2的奇函数f (x )＝ . 答案 sin πx (答案不唯一)解析 可考虑三角函数中的正弦型函数f (x )＝A sin ωx (A ≠0)，满足f (－x )＝ －A sin ωx ＝－f (x )，即是奇函数.根据最小正周期T ＝2πω＝2，可得ω＝π.故函数可以是f (x )＝A sin πx (A ≠0)中任一个，可取f (x )＝sin πx (答案不唯一).8.偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中△EFG是斜边为4的等腰直角三角形(E ，F 是函数图象与x 轴的交点，点G 在图象上)，则A ＝ ，f (1)的值为 .答案 22解析 依题设，T 2＝|EF |＝4，T ＝8，ω＝π4. ∵函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，且0<φ<π. ∴φ＝π2，在等腰直角△EGF 中，易求A ＝2.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝2cos π4x ，则f (1)＝ 2.9.(2021·山东中学联盟联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)在[0，π]上有且仅有3个零点，则函数f (x )在[0，π]上存在 个极小值点，实数ω的取值范围是 . 答案 1 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫136，196解析 根据三角函数图象的平移和伸缩变换，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象可由y ＝ sin x 的图象向右平移π6个单位长度，然后所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1ω得到，则f (x )的大致图象如图所示.图中O 点右侧的零点依次为π6ω，7π6ω，13π6ω，19π6ω，….由题意，f (x )在[0，π]上有且仅有3个零点，则f (x )在[0，π]上有1个极小值点，且13π6ω≤π<19π6ω，解得ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫136，196.三、解答题10.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)的图象向左平移π2个单位长度后与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象重合.(1)求ω和φ的值；(2)若函数h (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8，求h (x )的单调递增区间及其图象的对称轴方程. 解 (1)由题意得ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos(2x ＋φ).∵|φ|＜π2，∴φ＝π3.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴h (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，∴h (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π12，k ∈Z .令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴h (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 11.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1)＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，∴函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π2(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π或x ＝11π12.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.∴x 1＋x 2＝56π(易证x 1＋x 2＝11π6不合题意)，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23.12.(多选)(2021·济南诊断)已知函数f (x )＝a sin(2x ＋φ1)＋b cos(2x ＋φ2)(f (x )不恒为0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，则下列说法一定正确的是( ) A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12为奇函数 B.f (x )的最小正周期为πC.f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12上单调递增 D.f (x )在区间[0，2 021π]上有4 042个零点答案 BD解析 f (x )＝a (sin 2x cos φ1＋cos 2x sin φ1)＋b (cos 2x cos φ2－sin 2x sin φ2) ＝(a cos φ1－b sin φ2)sin 2x ＋(a sin φ1＋b cos φ2)cos 2x .令m ＝a cos φ1－b sin φ2，n ＝a sin φ1＋b cos φ2， 则f (x )＝m sin 2x ＋n cos 2x ＝m 2＋n 2sin(2x ＋θ)(其中tan θ＝n m )，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，B 选项正确；由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以x ＝π6是f (x )的零点，其相邻的2个零点为x ＝π6－π2＝－π3和x ＝π6＋π2＝2π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12不是奇函数，A 选项错误； 零点x ＝π6相邻的两个对称轴方程为x ＝π6－π4＝－π12和x ＝π6＋π4＝5π12，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12上可能单调递增，也可能单调递减，C 选项错误； 由于f (x )在[0，π]上的零点有2个，而f (x )的最小正周期为π，所以f (x )在区间[0，2 021π]上有2 021×2＝4 042(个)零点，D 选项正确.故选BD.13.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x ).若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝ . 答案 2解析 由f (x )是奇函数可得φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π，所以φ＝0.所以g (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ωx .由g (x )的最小正周期为2π， 可得2π12ω＝2π，故ω＝2，所以g (x )＝A sin x ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝A sin π4＝22A ＝2，所以A ＝2. 所以f (x )＝2sin 2x ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝ 2. 14.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是①ω＝32；②周期T ＝π；③f (x )的图象过点(0，0)；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝32. (1)写出所满足的3个条件的序号(不需要说明理由)，并求f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的图象与直线y ＝1相邻两个交点间的最短距离.解 (1)所满足的三个条件是②③④，∵f (x )的周期T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)＋m .又f (x )的图象过点(0，0)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝32， ∴sin φ＋m ＝0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋m ＝32， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ－sin φ＝32， ∴32cos φ－12sin φ－sin φ＝32，∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos φ－32sin φ＝32，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－φ＝32.又∵－π2<φ<0，∴φ＝－π6.又∵sin φ＋m ＝0，∴－12＋m ＝0，∴m ＝12，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. (2)由f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12＝1， 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝12， ∴2x －π6＝2k π＋π6或2x －π6＝2k π＋5π6，k ∈Z ，∴x ＝k π＋π6或x ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴函数f (x )的图象与直线y ＝1相邻两个交点间的最短距离为π2－π6＝π3.。
高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结
高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结高中数学中，三角函数及反三角函数是重要的内容之一。
在学习这一部分知识时，需要掌握其图像性质以及相关的知识点。
下面将对这些内容进行总结。
一、三角函数的图像性质1. 正弦函数（sin）的图像性质：- 周期性：sin函数的周期为2π，即在每个周期内，函数的图像重复出现；- 奇函数性质：sin函数关于原点对称；- 取值范围：sin函数的取值范围为[-1,1]，即函数的值始终在该区间内波动。
2. 余弦函数（cos）的图像性质：- 周期性：cos函数的周期为2π；- 偶函数性质：cos函数关于y轴对称；- 取值范围：cos函数的取值范围也为[-1,1]。
3. 正切函数（tan）的图像性质：- 周期性：tan函数的周期为π；- 奇函数性质：tan函数关于原点对称；- 无界性：tan函数的值域为实数集，即函数在某些点无界。
二、三角函数的知识点1. 基本正弦函数的性质：- 特殊角的正弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的正弦值分别为0、1、0、-1和0；- 正弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，sin函数是单调递增的；- 正弦函数的奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即sin函数关于原点对称。
2. 基本余弦函数的性质：- 特殊角的余弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的余弦值分别为1、0、-1、0和1；- 余弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，cos函数是单调递减的；- 余弦函数的奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即cos函数关于y轴对称。
3. 基本正切函数的性质：- 特殊角的正切值：0°、90°、180°和270°对应的正切值分别为0、无穷大、0和无穷大；- 正切函数的周期性：tan(x+π)=tan(x)，即tan函数的周期是π。
高考总复习优化设计二轮用书数学考点突破练1 三角函数的图象与性质
π
π
因为-2<φ<2,所以 φ=-6,
π
所以 f(x)=Acos(2x-6).
π
π
7π
令 2kπ≤2x-6≤2kπ+π,解得12+kπ≤x≤12+kπ,k∈Z.
π
7π
π 7π
当 k=0 时,可得 ≤x≤ ,所以函数 f(x)在区间( , )内单调递减,故
12
12
12 12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
D.sin 5+cos 5
解析 由题得, 1 + sin10 = sin2 5 + 2sin5cos5 + cos2 5
=
(sin5 + cos5)2 =|sin 5+cos 5|.
3π
7π
又 <5< ,则
2
4
cos 5>0>sin 5,且|cos 5|<|sin 5|,
所以 1 + sin10=-(sin 5+cos 5)=-sin 5-cos 5.
π
C.6
5π
D.12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
解析 如图所示,区域①和区域③面积相等,故阴影部分的面积即为矩形
ABCD的面积.由题可得AB=3,
设函数 f(x)的最小正周期为 T,则 AD=T,
由题意可得 3T=6π,解得
即
1
f(x)=tan(2x+φ).
2024
高考总复习优化设计
GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI
2020最新高考数学复习三角函数的图象与性质
(2) 求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取 值 集合．
π
π
解 f(x)＝ sin x－ 6 ＋ cos x－ 3
3
1
1
3
＝ 2 sin x－ 2cos x＋ 2cos x＋ 2 sin x＝ 3sin x，
g
(
x)
＝
2sin
2
x
2
＝
1
－
cos
x.
33
3
(1) 由 f( α) ＝ 5 ，得 sin α＝ 5，
π
π
ππ
又 | φ|< 2 ，∴ φ＝ 4 . ∴ f( x) ＝2sin 4 x＋ 4 .
ππ
π
π
(2) y＝ 2sin 4 x＋ 4 ＋ 2sin 4 x＋2 ＋ 4
ππ
ππ
＝ 2sin 4 x＋ 4 ＋ 2cos 4 x＋ 4 .
ππ
π
＝ 2 2sin 4 x＋ 2 ＝ 2 2cos 4 x，
π
ππ
由－ 2 ＋2 kπ≤4x－ 6 ≤2 ＋ 2kπ( k∈ Z)，
kπ π kπ π 得 2 － 12 ≤x≤ 2 ＋ 6 ( k∈ Z)；
π
π 3π
由 2 ＋ 2kπ≤4x－ 6 ≤ 2 ＋ 2kπ( k∈ Z) ，
kπ π kπ 5π 得 2 ＋ 6 ≤x≤ 2 ＋ 12 (k∈ Z) ．
π
∈ Z)D/ ? φ＝ 2 .
π
∴“f( x)是奇函 数”不是“φ＝ 2 ”的充分条件．
答案 B
π
3．已知函 数 f( x) ＝ 2sin( ωx＋ φ)( ω>0) 的 图 象关 于直 线 x＝ 3
2020版高考数学二轮复习专题限时集训三角函数的图象和性质文
8．(20xx·桂林模拟)若函数f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝________.12 [因为0＜ω＜1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx ＜π3.所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又0≤ωx ＜π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12.] [能力提升练] (建议用时：15分钟)9．函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x 的最大值为( )A ．2B ．3C ．2＋ 3D ．2－3B [f (x )＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，可得f (x )的最大值是3.]10．[易错题](20xx·西安模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则 A ．f (x )的图象关于直线x ＝－2π3对称B ．f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，0对称 C ．若方程f (x )＝m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是(－2，－3]D ．将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度得到函数f (x )的图象 C [根据题中所给的图象，可知函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋π3＝－π，从而f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0对称，而不是关于直线x ＝－2π3对称，故A 不正确；2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＋π3＝－π2，∴f (x )的图象关于直线x ＝－5π12对称，而和最值 考查了学生的直观想象及逻辑推理等核心素养2三角函数图象变换给出尽可能简单的信息，将函数零点、最小正周期、图象变换等多个知识点结合起来，考查学生的直观想象及逻辑推理等核心素养【押题1】 设函数f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列结论中正确的是( )A ．f (x )的最大值等于2B ．f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2上单调递增C ．f (x )的图象关于直线x ＝－π12对称D ．f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 C [由正弦函数的性质可以得到f (x )的最大值等于12，所以选项A 是错误的；计算可得函数f (x )的最小正周期为π，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2上先增后减，所以选项B 是错误的；结合图象(图略)并分析可知，当x ＝－π12时，f (x )取得最小值，f (x )的图象关于直线x＝－π12对称，故选项C 是正确的；分析可知，x ＝π3不是f (x )的零点，所以选项D 是错误的．故选C.]【押题2】 [新题型]如图所示，函数y ＝sin(ωx －1)(0＜ω＜2)的图象与x 轴交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π，0，将函数的图象平移|m |个单位长度后得到函数y ＝cos ωx 的图象，则ω＝________，|m |的最小值为________．π2 1＋2π [将点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π，0代入y ＝sin(ωx －1)，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωπ－1＝0，又0＜ω＜2，解得ω＝π2，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －1的最小正周期是4.将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －1的图象向左平移⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2π个单位长度，得sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋2π－1＝cos π2x ，而且此时平移的距离最短．]。
衡水中学2022年高考数学复习分项汇编 专题06 三角函数【理科】(原卷版+解析版)
专题06 三角函数一、单选题1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，7cos 225α=，则sin 3sin 2απα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ） A ．34-B ．34C ．43 D ．43-2. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知函数()f x x ω=和()g x x ω=（0>ω）图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点.为了得到()y g x =的图象，只需把()y f x =的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向左平移2π个单位 C ．向右平移1个单位D ．向右平移2π个单位3. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知函数()sin 2sin 213f x x x π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()()33ππ+=-f x f xB ．,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心C ．任取方程()1f x =的两个根1x ，2x ，则12x x -是π的整数倍D ．对于任意的123,,0,4x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()123f x f x f x +≥恒成立4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】若{},,min ,,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩()sin cos f x x x =+，()sin cos g x x x =-，()()(){}min ,h x f x g x =，关于函数()h x 的以下结论： ①T π= ②对称轴方程为212k x π+=，k Z ∈ ③值域为⎡⎤⎣⎦ ④在区间35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 其中正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③④D ．②③④5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A BC A B ⋅+的值为A ．2013B ．1C ．0D ．20146. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108︒的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，BC AC =根据这些信息，可得sin1674︒=（ ）A B ．C ．D ．7. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“007-”，478密位写成“478-”，1周角等于6000密位，记作1周角6000=-，1直角1500=-．如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为（ ）A ．1250-B ．1750-C ．2100-D ．3500-8. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】如图，A ，B ，C ，D 四点共圆，,DA DC BAD DAC ⊥∠=∠，M ，N 在线段AC 上，且AM AB =，N 是MC 的中点.设,AC d DAC α=∠=，则下列结论正确的是（ ）A ．||sin2AB d α=⋅B ．2||cos NC d α=⋅ C ．2||(||)2dDC d AB =⋅- D ．||cos BD d α=⋅9. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知sin 0,cos 0αα><，则（ ） A ．sin20α> B ．cos20α<C ．tan02α> D ．sin02α<二、多选题1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-，下列结论不正确的是（ ） A ．函数图像关于4x π=对称B ．函数在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．若12()()4f x f x +=，则122()2x x k k Z ππ+=+∈D ．函数f (x )的最小值为－22. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】已知π3cos 55α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则3sin 2π5α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．24253. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】将函数()2cos f x x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将得到的图象向左平移π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的有（ ） A ．()g x 为奇函数 B ．()g x 的周期为4πC ．x R ∀∈，都有()()g x g x +π=π-D ．()g x 在区间24,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且是小值为三、填空题1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3cos 3cos 5sin b C c B a A +=，且A 为锐角，则当2a bc取得最小值时，a b c +的值为___________.2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1b =，ABC sin sin b c B C ++的值为_______________.3. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】已知,αβ均为锐角，且2παβ+≠，若3sin(2)sin 2αββ+=，则tan()tan αβα+=________.4. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：22,22,a b a ba b b a a b -≥⎧*=⎨-<⎩，则函数()sin *cos f x x x =的值域为______.5. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】在ABC 中，14,6,cos 3AB BC B ===-，则ABC 的外接圆的半径等于___________. 四、解答题1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】如图，在平面四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，75BAD BCD ∠=∠=︒，2BC =，CD =AC .（1）求BD ；（2）设BAC α∠=，CAD β∠=，求sin sin αβ的值. 2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos sin b c a B B +=.（1）求角A ；（2）若a =ABC 的面积的最大值.3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知向量33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且满足3m n +=.(1)求角A 的大小；(2)若b c +=，试判断ABC 的形状.4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】在①sin sin 4sin sin b A a B c A B +=，②2cos 222CC -=，③()sin sin sin a A b B c C +=，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题.已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，sin sin A B =2c =，___________，求角C 及△ABC 的面积S .5. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，sin sin OB ABD OD ADB ⋅∠=⋅∠，π3ABC ∠=，33AB BC ==．（1）求sin DAC ∠； （2）若2π3ADC ∠=，求四边形ABCD 的面积． 6. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】如图，在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C 处． (1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？7. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】在①ABC 的外接圆面积为3π②ADC③BDC 的周长为5. 问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 是AB 边上一点.已知13AD AB =，3sin sin 4A C =，cos23cos 1B B +=，若___________，求CD 的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.8. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD相交于点E ，ABD △为等边三角形，2,1BD AC BC ===． （1）求CBD ∠的大小； （2）求ADE 的面积．专题06 三角函数一、单选题1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，7cos 225α=，则sin 3sin 2απα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ） A ．34-B ．34C ．43 D ．43-【答案】B 【解析】由题可得22222222cos sin 1tan 7cos 2cos sin cos sin 1tan 25ααααααααα--=-===++，解得3tan 4α=±. ,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3tan 4α∴=-，因此，sin sin 3tan 3cos 4sin 2αααπαα==-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 故选：B.2. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知函数()f x x ω=和()g x x ω=（0>ω）图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点.为了得到()y g x =的图象，只需把()y f x =的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向左平移2π个单位 C ．向右平移1个单位 D ．向右平移2π个单位【答案】A 【解析】如图所示：()()f x x g x x ωω===，故tan 1x ω=，,4k x k Z ππωω=+∈. 取靠近原点的三个交点，3,14A πω⎛⎫-- ⎪⎝⎭，,14B πω⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,14C πω⎛⎫- ⎪⎝⎭， ABC ∆为等腰直角三角形，故532444πππωωω+==，故2πω=，故()2f x x π=，()222g x x x πππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 故为了得到()y g x =的图象，只需把()y f x =的图象向左平移1个单位 . 故选：A .3. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知函数()sin 2sin 213f x x x π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()()33ππ+=-f x f xB ．,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心C ．任取方程()1f x =的两个根1x ，2x ，则12x x -是π的整数倍D ．对于任意的123,,0,4x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()123f x f x f x +≥恒成立【答案】D 【解析】因为()3sin 2sin 21sin 22121326f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以51136f ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3f π⎛⎫⎪⎝⎭既不是最大值也不是最小值，所以直线3x π=不是其图象的对称轴，故A 错误；因为图象整体向上平移了一个单位长度，所以对称中心也向上平移了一个单位长度，且01112f π⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，所以点,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭是其对称中心，故B 错误；任取方程()1f x =得到的两个根，即为方程sin 206π⎛⎫+= ⎪⎝⎭x 的任意两根，它们之间相差为2T 的整数倍，且22T ππ==，所以它们彼此之间相差的是2π的整数倍，故C 错误；当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,663x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，此时()f x 1+1，所以对于任意的123,,0,4x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()12321f x f x f x +>≥恒成立，故D 正确.故选：D.4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】若{},,min ,,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩()sin cos f x x x =+，()sin cos g x x x =-，()()(){}min ,h x f x g x =，关于函数()h x 的以下结论：①T π= ②对称轴方程为212k x π+=，k Z ∈ ③值域为⎡⎤⎣⎦ ④在区间35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③C ．①③④D ．②③④【答案】D 【解析】解:()()(){}sin cos ,cos 0,min ,sin cos ,cos 0,x x x h x f x g x x x x +≤⎧==⎨->⎩3,22,422,22,422x k x k x k x k ππππππππππ⎛⎫++≤≤+ ⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--<<+ ⎪⎪⎝⎭⎩()k Z ∈.因为()(),f x g x 都是周期为2π的函数，所以()h x 的周期为2π，①错误； 如下图所示（一个周期内图象）：()h x 的对称轴方程为：2122k x k πππ+=+=，k Z ∈，②正确； 由图直接得知③正确；当3,(,)35,,()44442x x x f x ππππππ⎛⎛⎫++∈ ⎪⎫∈=⎝⎭ ⎪⎝⎭，()f x ∴在区间35,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，④正确. 故选：D.5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A BC A B ⋅+的值为A ．2013B ．1C ．0D ．2014【答案】A【解析】 ∵a 2+b 2=2014c 2，∴a 2+b 2﹣c 2=2013c 2=2abcosC ．∴()2tanA tanB tanC tanA tanB ⋅+=2sinA sinBcosA cosB sinC sinA sinB cosC cosA cosB ⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭=()2sinAsinBcosC sinCsin A B +=22abcosC c =2013． 故答案为：A6. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108︒的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC中，BC AC =根据这些信息，可得sin1674︒=（ ）AB．C．D．【答案】C 【解析】由题意可得：72ACB ∠=︒，且12cos BCACB AC ∠=所以22cos1442cos 72121︒=︒-=⨯-=⎝⎭所以()()sin1674sin 2344360sin 234sin 14490cos144︒=︒+⨯︒=︒=︒+︒=︒= 故选：C7. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“007-”，478密位写成“478-”，1周角等于6000密位，记作1周角6000=-，1直角1500=-．如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为（ ）A ．1250-B ．1750-C ．2100-D ．3500-【答案】B 【解析】设扇形所对的圆心角为α，α所对的密位为n ，则217226απ⨯=，解得7π12α=，由题意可得71260002n ππ=，解得76000175024n =⨯=， 因此，该扇形圆心角用密位制表示为1750-. 故选：B.8. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】如图，A ，B ，C ，D 四点共圆，,DA DC BAD DAC ⊥∠=∠，M ，N 在线段AC 上，且AM AB =，N 是MC 的中点.设,AC d DAC α=∠=，则下列结论正确的是（ ）A ．||sin2AB d α=⋅ B ．2||cos NC d α=⋅ C ．2||(||)2dDC d AB =⋅- D ．||cos BD d α=⋅【答案】C 【解析】连接BC ，如图所示，易知AC 是圆的直径.因为BAD DAC α∠=∠=，所以2BAC α∠=. 在Rt ABC 中，||cos2AB d α=⋅， 故选项A 不正确；在Rt ADC 中，||sin DC d α=⋅.又因为BAD DAC ∠=∠，所以||||sin DC BD d α==， 故选项D 不正确；211||(||)(||)(1cos2)sin 222dNC d AM d AB d αα=-=-=⋅-=⋅，故选项B 不正确；因为BAD DAC ∠=∠，所以||BD DC =.又因为AM AB =，易知ADB △与ADM △全等，所以||||BD DM =， 所以||DC DM =.又因为N 是MC 的中点，所以DN CM ⊥， 所以Rt DNC Rt ADC ∽， 所以||||||||DC NC AC DC =，所以2||||||(||)2d DC AC NC d AB =⋅=⋅-， 故选项C 正确. 故选：C9. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知sin 0,cos 0αα><，则（ ） A ．sin20α> B ．cos20α<C ．tan02α> D ．sin02α<【答案】C 【解析】由sin 0,cos 0αα><知，α为第二象限角，所以2α为第一或第三象限角，所以tan02α>．故选：C.二、多选题1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-，下列结论不正确的是（ ） A ．函数图像关于4x π=对称B ．函数在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．若12()()4f x f x +=，则122()2x x k k Z ππ+=+∈D ．函数f (x )的最小值为－2 【答案】BCD 【解析】 解：由题意可得：32cos (2,2)2cos sin cos 44()sin cos sin cos 2sin sin cos 52sin [2,2]44xx k k x x x f x x x x x x x x xx k k ππππππππ⎧∈-+⎪<⎧⎪=++-==⎨⎨⎩⎪∈++⎪⎩，函数图象如下所示故对称轴为4x k ππ=+，()k Z ∈，故A 正确；显然函数在,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递减，故B 错误；当524x k ππ=+，()k Z ∈时函数取得最小值()min f x =D 错误； 要使12()()4f x f x +=，则12()()2f x f x ==，则112πx k 或1122x k ππ=+，222x k π=或2222x k ππ=+，()12,k k Z ∈所以2122x x k ππ+=+或21x x k π+=， ()k Z ∈，故C 错误．故选：BCD ．2. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】已知π3cos 55α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则3sin 2π5α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．2425【答案】AD 【解析】解: 因为π3cos 55α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π4sin 55α⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，32ππsin 2πsin 2π2sin cos 5555αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以324sin 2π525α⎛⎫-=± ⎪⎝⎭．故选: AD3. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】将函数()2cos f x x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将得到的图象向左平移π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的有（ ） A ．()g x 为奇函数 B ．()g x 的周期为4πC ．x R ∀∈，都有()()g x g x +π=π-D ．()g x 在区间24,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且是小值为【答案】ABC【解析】将函数()2cos f x x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得y =2cos ,2x再将得到的图象向左平移π个单位长度，得()2cos 2sin 22x x g x π+⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因为()()2sin 2sin 22x x g x g x ⎛⎫⎛⎫-=--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x 为奇函数，故A 正确；由周期公式2412T ππ==，所以()g x 的周期为4π，故B 正确； 又()g x 在x π=时取得最小值2-，所以()g x 的图象关于直线x π=对称，故C 正确；令322222x k k ππππ++，解得43k x πππ++4,,k k Z π∈ 所以()g x 在区间[]4,34(k k k ππππ++∈Z )上单调递增，取0,k =得[],3,ππ 所以()g x 在区间2,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间4,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以最小值为()2g π=-，故D 错误.故选：ABC. 三、填空题1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3cos 3cos 5sin b C c B a A +=，且A 为锐角，则当2a bc取得最小值时，a b c +的值为___________.【解析】由正弦定理将3cos 3cos 5sin b C c B a A +=变形可得 23sin cos 3sin cos 5sin B C C B A +=，即23sin()5sin B C A +=， 由sin()sin 0B C A +=>可得3sin 5A =， 而A 是锐角，所以4cos 5A =， 则由余弦定理可得2222282cos 5a b c bc A b c bc =+-=+-，则222228855b c bc a b c bc bc bc +-+==-28255bc bc -=≥，当且仅当b c =时，2a bc取得最小值25，故2225ab =，故a ，所以a b c +.故答案为:2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1b =，ABC sin sin b c B C ++的值为_______________.【答案】2 【解析】∵1262sin A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，A ∈（0，π）∴2A+6π=56π，可得A =3π∵b=1，△ABC∴S =12112c sinA ⨯⨯⨯=c =2 由余弦定理，得a 2=b 2+c 2﹣2bc cosA=1+4﹣2×123cos π⨯=3∴a根据正弦定理，得b c sinB sinC ++=asinA3sin故答案为23. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】已知,αβ均为锐角，且2παβ+≠，若3sin(2)sin 2αββ+=，则tan()tan αβα+=________.【答案】5 【解析】由3sin(2)sin 2αββ+=，可得2sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]所以2[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]＝3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α] 从而sin(α＋β)cos α＝5cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝5tan α，所以tan()5tan αβα+=.故答案为：5.4. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：22,22,a b a b a b b a a b -≥⎧*=⎨-<⎩，则函数()sin *cos f x x x =的值域为______.【答案】[0, 【解析】由22,22,a b a ba b b a a b -≥⎧*=⎨-<⎩，则函数52sin 2cos ,2,2,44()sin cos 52cos 2sin ,2,22,2244x x x k k f x x x x x x k k k k πππππππππππ⎧⎡⎤-∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦=*=⎨⎛⎫⎛⎫⎪-∈+⋃++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩整理可得：()2sin cos |sin 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∣∣ 由[]sin 1,14x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，得[]|sin 0,14x π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∣，即sin 0,4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭∣ 所以()f x的值域为[0,.故答案为：[0,5. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】在ABC 中，14,6,cos 3AB BC B ===-，则ABC 的外接圆的半径等于___________.【解析】在ABC中，易求sin B =.又6,4BC AB ==， 由余弦定理可得2222212cos 64264683AC BC AB BC AB B ⎛⎫=+⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭-，解得AC =设ABC 外接圆的半径为r，则由正弦定理，得2sin AC r B ==，所以r =.四、解答题1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】如图，在平面四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，75BAD BCD ∠=∠=︒，2BC =，CD =，连接AC .（1）求BD ；（2）设BAC α∠=，CAD β∠=，求sin sin αβ的值. 【答案】（1）2；（2【解析】解：（1）在BCD △中，由余弦定理可得2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠222224=+-⨯⨯， 所以2BD =；（2）由题意可得360150ADC ABC BAD BCD ∠=︒-∠-∠-∠=︒， 在ACD △中，由正弦定理sin sin AC CDADC β=∠，在ABC 中，由正弦定理sin sin AC BCABC α=∠，两式相除可得：sin sin sin sin CD ABCBC ADCαβ∠⋅=∠，所以sin sin 2sin sin ABC BC ADC CD αβ∠=⋅∠所以sin sin αβ 2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos sin b c a B B +=.（1）求角A ；（2）若a =ABC 的面积的最大值.【答案】（1）3π；（2）【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sin sin cos sin B C A B A B +=A B C π++=∴sin sin()C A B =+sin sin()sin cos sin B A B A B A B ++=化简得sin cos 1)0B A A --=sin 0B >，cos 1A A -=，可得：1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭0A x <<∴3A π=（2）由已知a =1），根据余弦定理得2212cos 2b c A bc+-=， 即2211222b c bc+-=， ∴2212bc b c =+-222b c bc +≥，12bc ≤（当且仅当b c =时取号）∴111sin 12222ABC S bc A bc ==⋅=△b c =时取号）3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知向量33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且满足3m n +=.(1)求角A 的大小；(2)若b c +=，试判断ABC 的形状. 【答案】(1)(2)直角三角形【解析】(1)∵()()2223m n m n ++⋅=，代入33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，有 33112cos cos sin sin 32222A A A A ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，∴331cos cos sin sin 22222A A A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即31cos 222A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1cos 2A =，60A =︒. (2)∵1cos 2A =，∴222122b c a bc +-=①又∵b c +=②联立①②有，222bc b c =+-，即222520b bc c --=，解得2b c =或2c b =，又∵b c +，若2b c =，则a =， ∴)2222224a c c c b +=+==，ABC 为直角三角形，同理，若2c b =，则ABC 也为直角三角形.4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】在①sin sin 4sin sin b A a B c A B +=，②2cos 222CC -=，③()sin sin sin a A b B c C +=，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题.已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，sin sin A B 2c =，___________，求角C 及△ABC 的面积S .【答案】选择见解析；π6C =，1S =【解析】选①sin sin 4sin sin b A a B c A B +=， 因为sin sin 4sin sin b A a B c A B +=，所以由正弦定理得sin sin sin sin 4sin sin sin B A A B C A B +=，即2sin sin 4sin sin sin B A C A B =，所以1sin 2C =， 因为()0,πC ∈，所以π6C =或5π6C =. 若5π6C =，由sin sin A B = 而π6A <，π6B <，从而1sin sin 4A B <，矛盾，舍去.故π6C =， 接下来求△ABC 的面积S .法一：设△ABC 外接圆的半径为R ，则由正弦定理得224πsin sin 6c R C ===， 2sin 4sin a R A A ∴==，2sin 4sin b R B B ==，16sin sin 4(1ab A B ∴==，111sin 4(11222ABCSab C ∴==⨯⨯=. 法二：由（1）得cos C =，即cos cos sin sin A B A B -=sin sin A B，cos cos A B ∴=1cos()cos cos sin sin 2A B A B A B ∴-=+=， 5π5π(,)66A B -∈-，π3A B ∴-=或π3B A -=， 当π3A B -=时，又5π6A B +=，7π12A ∴=，π4B =，由正弦定理得π2sinsin 4πsin sin6c B b C ===117π1sin 2sin 122122ABC S bc A ∴==⨯==△当π3B A -=时，同理可得1ABCS =故△ABC的面积为1选②2cos 222CC -=，因为2cos 222C C -=，所以22cos 1cos )20C C --=，即22cos 30C C -=，(2cos 0C C +=，所以cos C =或cos C =， 因为()0,πC ∈，所以π6C =. 以下同解法同①，选③()sin sin sin a A b B c C +=，由()sin sin sin a A b B c C +=及正弦定理得()22a abc +=，即222a b c +-=，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==0πC <<，π6C ∴=， 以下解法同①.5. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，sin sin OB ABD OD ADB ⋅∠=⋅∠，π3ABC ∠=，33AB BC ==．（1）求sin DAC ∠； （2）若2π3ADC ∠=，求四边形ABCD 的面积．【答案】（1；（2． 【解析】（1）在ABC 中，π3ABC ∠=，3AB =，1BC =， 由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠ 2213123172=+-⨯⨯⨯=，所以AC = 由正弦定理得sin sin BC AC BAC ABC=∠∠，sin sin BC ABC BAC AC ⋅∠∠=== 在AOB 中，由正弦定理得sin sin OB OA BAC ABD=∠∠， 即sin sin OB ABD OA BAC ⋅∠=⋅∠，同理，在AOD △中，sin sin OD ADB OA DAC ⋅∠=⋅∠．又因为sin sin OB ABD OD ADB ⋅∠=⋅∠，所以sin sin OA BAC OA DAC ⋅∠=⋅∠．所以sin sin DAC BAC ∠=∠= （2）在ADC 中，由正弦定理得sin sin CD AC DAC ADC=∠∠，=，所以1CD =． 又由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD+-∠=⋅， 即211722AD AD+--=，解得2AD =． S 四边形ABCD 11sin sin 22△△=+=⨯⨯⨯∠+⨯⨯∠ADC ABC S S AD AC DAC AB AC BAC ()1sin 2AC DAC AD AB =⨯∠⨯+=． 6. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】如图，在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C 处．(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？【答案】（1）2【解析】(1)在Rt △PAB 中，∠APB ＝60°，PA ＝1，∴AB在Rt △PAC 中，∠APC ＝30°，∴AC 在△ACB 中，∠CAB ＝30°＋60°＝90°，∴BC1060(千米/时)． (2)在△ACD 中，∠DAC ＝90°－60°＝30°，sin ∠DCA＝sin(180°－∠ACB)＝sin ∠ACBsin ∠CDA ＝sin(∠ACB －30°)＝sin ∠ACB·cos30°－cos ∠ACB·sin30°由正弦定理得AD 7. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】在①ABC 的外接圆面积为3π②ADC③BDC 的周长为5这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答. 问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 是AB 边上一点.已知13AD AB =，3sin sin 4A C =，cos23cos 1B B +=，若___________，求CD 的长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】条件选择见解析；CD =【解析】解：因为cos23cos 1B B +=，所以22cos 3cos 20B B +-= 解得1cos 2B =或cos 2(B =-舍去)，所以在ABC 中,3B π=. 因为23sin sin sin ,4A CB ==所以2.b ac = 所以由余弦定理得22222cos b a c ac B a =+-=+2c ac -又2,b ac =所以2220,a c ac +-=即a c =，所以ABC 为等边三角形. 因为1,3AD AB = 所以在ADC 中，由余弦定理得CD== 选择条件①：由ABC 的外接圆面积为3,π得2R =所以sin 3aπ=所以 3.a =故CD =选择条件②：由ADC得ABC2=解得 3.a =故CD =选择条件③：由BDC的周长为5，得253a a += 所以 3.a =故CD =8. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，ABD △为等边三角形，2,1BD AC BC ===．（1）求CBD ∠的大小；（2）求ADE 的面积．【答案】（1）3π；（2【解析】（1）在ABC 中，2,1AB AC BC ===，由余弦定理得2221cos 22AB BC AC ABC AB BC +-∠===-⨯． 因为0ABC π<∠<，所以23ABC π∠=，从而233CBD ABD ππ∠=-∠=． （2）由3CBD ADB π∠==∠知，//BC AD ，所以BCE DAE ∽， 所以12BC BE AD DE ==，所以2DE BE =．因为2BD =，所以43DE =．所以114sin 2sin 2233ADE S AD DE ADE π=⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=．。
高三数学第二轮复习三角函数的图像与性质课件ppt.ppt
则同时具有以下两个性质的函数是( A ) ①最小正周期是π ②图象关于点(π/6，0)对称.
2.已知f(x)=sin(x+π/2)，g(x)=cos(x-π/2)，则下列结论
中正确的是( D) (A)函数y=f(x)·g(x)的周期为2π (B)函数y=f(x)·g(x)的最大值为1 (C)将f(x)的图象向左平移π/2单位后得g(x)的图象 (D)将f(x)的图象向右平移π/2单位后得g(x)的图象
直于 x 轴的直线, 对称中心为图象与 x 轴的交点).
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
[2k5.单+ 2调, 性2k:+y=3s2in]x(k在[Z2)k上-单2调, 2递k减+2;
](kZ)上单调递增, 在
6
是 (k ,k ],k z 使 g(x) 0 且递减的区间是
12
6
(k ,k 5 ],k z ，
6
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∴当 0 a 1时，函数 f (x) 的递增的区间是
(k ,k 5 ],k z ，
6
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当 a 1时，函数 f (x) 的递增的区间是 (k ,k ],k z .
且f (0) 3 , f ( ) 1 .
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(1)求 f (x) 的最小正周期； (2)求 f (x) 的单调递减区间； (3)函数 f (x) 的图象经过怎样的平移才能 使所得图象对应的函数成为奇函数？
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
2020版高考数学一轮总复习第四单元三角函数与解三角形课时6三角函数的图象与性质(二)教案文(含解
三角函数的图象与性质(二)1．进一步熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性及其最值．2．会判断简单函数的奇偶性,会求简单函数的单调区间及其周期．知识梳理基本初等三角函数的图象与性质（以下k∈Z）函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数对称轴x＝kπ＋错误!x＝kπ对称中心(kπ,0)(kπ＋错误!，0）(错误!,0）递增区间［2kπ－错误!，2kπ＋错误!][2kπ－π，2kπ](kπ－错误!，kπ＋错误!）递减区间[2kπ＋错误!,2kπ＋错误!］[2kπ，2kπ＋π]1．对称与周期（1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期；相邻的对称中心与对称轴之间的距离是错误!个周期．（2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．奇偶性若f（x)＝A sin(ωx＋φ)（A,ω≠0),则(1）f(x)为偶函数的充要条件是φ＝错误!＋kπ(k∈Z)；(2)f（x）为奇函数的充要条件是φ＝kπ（k∈Z)．热身练习1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f（x）＝sin（2x＋错误!）的最小正周期为(C）A．4π B．2πC．π D。
错误!函数f(x)＝sin（2x＋π3)的最小正周期T＝错误!＝π。
2．若函数f(x)＝sin（2x＋φ)是偶函数，则φ的一个值为(B) A．π B．－错误!C．－π4D．－π8因为f（x）＝sin（2x＋φ)是偶函数，所以f(x)＝sin(2x＋φ）＝±cos 2x，所以φ＝kπ＋错误!，k∈Z.k＝－1时，φ＝－错误!.3．已知函数f(x）＝sin(x－π2)（x∈R)，下面结论错误．．的是（D）A．函数f（x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间[0,错误!]上是增函数C．函数f（x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x）是奇函数由于f（x)＝sin（x－π2）＝－cos x，所以函数f（x）的最小正周期为2π，函数f(x）在区间［0，错误!］上是增函数，函数f(x)的图象关于直线x＝0对称，函数f(x)是偶函数．4．同时具有：①最小正周期为π；②图象关于点(错误!，0)对称的一个函数是(D）A．y＝cos(2x－错误!) B．y＝sin(2x＋错误!)C．y＝sin(错误!＋错误!) D．y＝tan（x＋错误!）由T＝π,排除C；把x＝π6代入A，B,函数值均不为零，排除A,B；再验证D符合题意．5．下列函数中，周期为π，且在［错误!，错误!]上为减函数的是(A)A．y＝sin(2x＋错误!) B．y＝cos（2x＋错误!）C．y＝sin（x＋错误!) D．y＝cos(x＋错误!)因为函数的周期为π,所以排除C,D.因为函数在[错误!，错误!］上是减函数，所以排除B，故选A。
三角函数的图象与性质6大题型
三角函数的图象与性质6大题型三角函数的图象与性质是高考的热点，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换以及三角函数的周期性、对称性、单调性之间逻辑关系则是重心。
随着新高考改革的推进，更加注重对以周期性为核心的三大性质之间的逻辑关系的考查，要求考生能用几何直观和代数运算来研究三角函数。
高考中的相关试题多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏下。
一、三角函数性质问题相关方法1、周期的计算公式:函数)0()cos(),sin(>+=+=ωϕωϕωx A y x A y 的周期为ωπ2=T ，函数)0()tan(>+=ωϕωx A y 的周期为ωπ=T 求解.2、奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为x A y ωsin =或x A y ωtan =的形式，而偶函数一般可化为b x A y +=ωcos 的形式.3、解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心.方法：整体处理法、代入验证法对于函数)0()cos(),sin(>+=+=ωϕωϕωx A y x A y ，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线0x x =或点)0,(0x 是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验)(0x f 的值进行判断.4、确定函数)0,0()sin(>>+=ωϕωA x A y 单调区间的方法采用“换元”法整体代换，将‘ϕω+x ’看作一个整体，可令“ϕω+=x z ”，即通过求z A y sin =的单调区间而求出函数的单调区间.若0<ω，则可利用诱导公式先将x 的系数转变为正数，再求单调区间.二、三角函数图形变换问题解决三角函数图像变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：1、定函数：一定要看准是将哪个函数的图像变换得到另一个函数的图像.2、变同名：函数的名称要一样.3、选方法：即选择变换方法.要注意：对于函数)0(sin >=ωωx y 的图像，向左平移ϕ个单位长度得到的是函数)(sin ϕω+=x y 的图象，而不是函数)sin(ϕω+=x y 的图像.【题型1【例1】（2023·湖南湘潭·统考二模）函数2cos2()sin xf x x+=的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【变式1-1】（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）函数()21sin 2f x x x x =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【变式1-2】（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）函数()cos e =xf x 的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【变式1-3】（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）函数()cos ln xf x x xππ+=⋅-在(),ππ-上的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【变式1-4】（2022秋·四川遂宁·高三遂宁中学校考阶段练习）函数()(tan sin 2)22x x y x x -=--的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【题型2根据图象求三角函数解析式】【例2】（2023秋·湖南怀化·高三统考期末）已知函数()2cos()(0)f x x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则()0f =（）A ．1B ．1-CD ．【变式2-1】（2022秋·贵州铜仁·高三校考阶段练习）已知A ，B ，C ，D ，E 是函数sin()y x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫><< ⎪⎝⎭一个周期内的图像上的五个点，如图，A ,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 为y 轴上的点，C 为图像上的最低点，E 为该函数图像的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD 在x 轴上的投影为12π，则ωφ，的值为（）A ．2ω=，3πϕ=B ．2ω=，6πϕ=C ．12ω=，3πϕ=D ．12ω=，6πϕ=【变式2-2】（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图，BC x ∥轴，当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若不等式()sin 2f x m x ≥-恒成立，则m 的取值范围是（）A．⎛-∞ ⎝⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(-∞D ．(],1-∞【变式2-3】（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）已知函数π()sin()0,||2ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭f x x ，若()()1g x f x ⋅=，且函数()g x 的部分图象如图所示，则ϕ等于（）A ．π3-B ．π6-C ．π6D ．π3【变式2-4】（2023·全国·模拟预测）（多选）已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将()f x 的图象向右平移()0m m >个单位长度后得到函数()()sin 2g x A x ωϕ=-的图象，则m 的值可以是（）A ．π4B ．π3C ．4π3D ．9π4【题型3三角函数图象变换问题】【例3】（2023秋·江西赣州·高三统考期末）函数()()sin f x x ωϕ=+（其中0ω>，π2ϕ<）的图象如图所示，为了得到cos y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（）A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π6个单位长度【变式3-1】（2022·四川·高三统考对口高考）为了得到函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有的点（）A ．向左平移4π个单位B ．向右平移4π个单位C ．向左平移2π个单位D ．向右平移2π个单位【变式3-2】（2022·陕西汉中·统考一模）为得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将sin2y x =的图象（）A ．向左平移512π个单位长度B ．向右平移512π个单位长度C ．向左平移23π个单位长度D ．向右平移23π个单位长度【变式3-3】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知函数π()3sin (0)6f x x ωω⎛⎫-> ⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度后与其导函数()y f x '=的图象重合，则()f ϕ的值为（）A ．0B ．32C ．62D ．32【变式3-4】（2022·全国·模拟预测）已知函数()3sin cos f x x x =-的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位长度后得到()f x 的导函数()f x '的图象，则()f ϕ=（）A ．3-B ．3C ．1D ．1-【变式3-5】（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）将函数()sin 2c 2πos π63f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象上的所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），然后再将其图象向左平移()0θθ>单位得到图象()g x ，若函数()g x 图象关于y 轴对称，则θ的最小值为（）A ．π3B ．π6C ．π12D ．π24【题型4三角函数的四种性质】【例4】（2023秋·河南南阳·高三统考期末）已知函数()()()sin cos f x x x ϕϕ=+++是偶函数,则3sin 2cos 2sin 3cos ϕϕϕϕ-=+______．【变式4-1】（2023秋·河北邢台·高三邢台市第二中学校考期末）函数9cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为______.【变式4-2】（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）已知函数()tan tan f x x x =+，则下列结论中正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心C ．()f x 的值域为[)0,∞+D ．不等式()2f x >的解集为()ππ2,2πZ 42k k k π⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭【变式4-3】（2023·四川内江·统考一模）已知函数()()1sin cos sin (0)2f x x x x ωωωω=-+>，若函数()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω不能取（）A ．23B ．13C ．58D ．14【变式4-4】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）（多选）设函数()()sin f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，3πϕ<.若1409f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，419f π⎛⎫=⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于52π，则（）A ．14ω=B ．6πϕ=C ．()f x 在()2,3ππ上单调递增D ．()f x 在()0,3π上存在唯一的极值点【变式4-5】（2023·安徽淮南·统考一模）（多选）已知函数()()πsin ,12,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭图像过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，且存在12,x x ，当122πx x -=时，()()120f x f x ==，则（）A ．()f x 的周期为4π3B ．()f x 图像的一条对称轴方程为5π9x =-C ．()f x 在区间4π10π,99⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减D ．()f x 在区间()0,5π上有且仅有4个极大值点【变式4-6】（2023秋·湖北·高三统考期末）（多选）已知函数()2sin sin 2f x x x =，则下列说法正确的是（）A ．π是()f x 的一个周期B ．()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．()f x 在区间[]0,2π上的零点个数为4D ．()f x 的最大值为8【变式4-7】（2023春·浙江·高三校联考开学考试）（多选）已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A ．()0f =B ．()f x 的最小正周期为π2C ．()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【题型5三角函数的最值问题】【例5】（2022秋·北京·高三北京市八一中学校考阶段练习）定义运算,,,.a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩※例如，121=※，则函数()sin cos f x x x =※的值域为（）A ．1,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．22⎡-⎢⎣⎦【变式5-1】（2023秋·湖南株洲·已知定义域为R 的函数(),()f x g x 满足()()πf x f x +=-，且()()cos π,g x x f x =++()()sin πf x x g x =-+，则当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()y f x g x =的最小值为（）A ．0B ．2CD ．38【变式5-2】（2022秋·安徽·高三石室中学校联考阶段练习）如图是函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的部分图象，则()f x 在,9045⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π22π上的值域为（）A ．[]1,1-B ．1322⎡⎢⎣⎦C ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．32⎡-⎢⎣⎦【变式5-3】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）函数()25cos 4sin 53cos f x x x x -+的最大值为（）.A ．22B ．23C ．5D ．3【变式5-4】（2023秋·北京丰台·高三统考期末）已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+>⎪⎝⎭，若ππ62f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值无最大值，则ω=___________．【变式5-4】（2020秋·吉林白城·高三校考阶段练习）已知向量1(cos ,)2a x = ，(3,cos 2),Rb x x x =∈，设函数()f x a b =⋅ ．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在π[0,]2上的最大值和最小值．【题型6三角函数的零点问题】【例6】（2022·四川宜宾·统考模拟预测）若函数()π2sin 213f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()f x 在区间[]0,2π上零点的个数是_______．【变式6-1】（2023·全国·高三对口高考）已知0ω>，函数()πsin 16f x x ω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间[]0,π上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是________．【变式6-2】（2022秋·河南濮阳·高三统考阶段练习）已知函数5π()cos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有1个零点，则实数ω的取值范围为______.【变式6-3】（2023秋·福建宁德·高三校考阶段练习）若函数()1cos42f x x x m =-+-在π04⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上存在两个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．3522⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．3522⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C．1522⎛⎤+ ⎥⎝⎦，D．1522⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭，【变式6-4】（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）已知函数()()221sin 2π,,3213,,x a x a f x x a x a x a ⎧⎡⎤⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥=⎝⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩.若()f x 在()0,∞+上恰好有5个零点，则a 的取值范围是（）A ．411,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．411717,,3636⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦C ．1167,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．43117,,3263⎛⎤⎛⎤⋃ ⎝⎦⎝⎦【变式6-5】（2022秋·广西桂林·高三校考阶段练习）已知定义在R 上的函数()y f x =是偶函数，当0x ≥时，()2sin ,01213,122x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()()20,R f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．34,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．74,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．7734,222⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪⎝⎭⎝⎭D ．324,1,27⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【变式6-6】（2023秋·山东烟台·高三统考期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足：2f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，且()()8sin ,021,02x x f x f x x ππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩；函数()lg 2g x x π=+，则当[]4,3x ππ∈-时，函数()()y f x g x =-的所有零点之和为（）A ．7π-B ．6π-C ．72π-D ．3π-（建议用时：60分钟）1．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）将函数()π3cos (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移π6ω个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()y g x =在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的最大值为（）A ．2B ．83C ．103D ．42．（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）已知函数()()sin f x x ϕ=-且2cos πcos 3ϕϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的一条对称轴是（）A ．5π6x =B ．7π12x =C ．π3x =D ．π6x =3．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）函数()πcos()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，且()302f =．则下列选项正确的是（）A ．π3ϕ=-B ．π122f ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 在区间2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数D ．()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数π()2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π上单调递增，且2π()3f x f ⎛⎫≥-⎪⎝⎭恒成立，则ω的值为（）A ．2B ．32C ．1D ．125．（2022·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）已知函数()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论不正确的是（）A ．π为函数()f x 的一个周期B ．2π,03⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C ．函数()f x 在区间[],a a -上单调递增，则实数a 的最大值为5π12D ．将函数()f x 的图象向右平移π12个单位长度后，得到一个偶函数的图象6．（2022·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）已知()()()π2tan 0,,02f x x f ωϕωϕ⎛⎫=+><= ⎪⎝，周期π3ππ,,446T ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是()f x 的对称中心，则π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A ．BC D ．3-7．（2023秋·山东东营·高三东营市第一中学校考期末）（多选）关于函数2()cos 4cos 1f x x x =++，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 在π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为6B ．函数()f x 在π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2C ．函数()f x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减8．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）（多选）设()sin 22cos f x x x =+，x ∈R ，则（）.A ．()f x 在区间[]0,2π上有2个零点B ．()f x 的单调递增区间为π7ππ,π26k k ⎛⎫++⎪⎝⎭，k ∈Z C ．()f x 的图象关于直线ππ3x k =+对称D ．()f x 的值域为0,2⎡⎢⎣⎦9．（2023·湖南长沙·统考一模）已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>,若函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,且关于直线π3x =轴对称,则ω的最小值为______．10．（2022秋·四川遂宁·高三校考阶段练习）已知函数()()7ππsin 12f x x x ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭则函数()f x 的对称中心_________11．（2021·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知函数23()sin sin cos (,,0)2f x a x x x a b a b a =-+<，（1）若当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域为[]5,1-，求实数,a b 的值；（2）在（1）条件下，求函数()f x 图像的对称中心和单调区间.12．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）已知函数()()(0,0f x x ωϕωϕ=+><<sin π的最小正周期为π，且直线π2x =-是其图像的一条对称轴.（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图像向右平移π4个单位，再将所得的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图像对应的函数记作()y g x =，已知常数R λ∈，*n ∈N ，且函数()()212sin F x x g x λ=-+在()0,πn 内恰有2021个零点，求常数λ与n 的值.参考答案【题型1三角函数的图象辨析】【例1】（2023·湖南湘潭·统考二模）函数2cos2()sin xf x x+=的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()f x 的定义域为{}π,Z x x k k ≠∈，关于原点对称，因为2cos(2)2cos2()()sin()sin x xf x f x x x+-+-==---，所以()f x 为奇函数，故排除C,D ,又π102f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以排除B,故选：A【变式1-1】（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）函数()21sin 2f x x x x =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()f x 的定义域为R ，2211()()()sin()sin ()22f x x x x x x x f x -=----=-=，所以()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除C ，D 选项；()21ππ02f =>，排除B 选项.所以A 选项正确.故选：A【变式1-2】（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）函数()cos e =xf x 的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意得函数定义域为R ，且()()()cos cos ee --===x xf x f x ，∴()f x 为偶函数，故排除选项B ，∵()()cos e2πe xf x f k =≤=，Z k ∈，()0e f =为最大值，∴排除选项D ，∵()()()cos 2πcos 2πee x xf x f x ++===，∴()f x 是2π为周期的周期函数，∴排除选项A.故选：C【变式1-3】（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）函数()cos ln xf x x xππ+=⋅-在(),ππ-上的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为()()cos lnxf x x f x xππ--=⋅=-+，所以f （x ）是奇函数，排除A ，D ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，ln0xxπ+>π-，所以()0f x >，排除C ，故选：B ．【变式1-4】（2022秋·四川遂宁·高三遂宁中学校考阶段练习）函数()(tan sin 2)22x x y x x -=--的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题得函数的定义域为π{|π,}2x x k k Z ≠+∈，定义域关于原点对称.设()()(tan sin 2)22x xf x x x -=--，所以()()(tan sin 2)22x x f x x x --=-+-()(tan sin 2)22()x xx x f x -=--=，所以函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项D.又(π)=0f ，所以排除选项B.当π2x →时，tan ,sin 20,x x →+∞→()220x x-->，所以此时()0f x >.故选：A【题型2根据图象求三角函数解析式】【例2】（2023秋·湖南怀化·高三统考期末）已知函数()2cos()(0)f x x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则()0f =（）A ．1B ．1-CD ．【答案】C【解析】观察函数图象得，函数()f x 的周期413()3123T πππ=-=，则22Tπω==，而13212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即13cos 16πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则有132,Z 6k k πϕπ+=∈，因此132Z 6k k πϕπ=-∈，即有13()2cos(22)2cos(2)66f x x k x πππ=+-=-，所以()02cos()6f π=-故选：C【变式2-1】（2022秋·贵州铜仁高三校考阶段练习）已知A ，B ，C ，D ，E 是函数sin()y x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫><< ⎪⎝⎭一个周期内的图像上的五个点，如图，A ,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 为y 轴上的点，C 为图像上的最低点，E 为该函数图像的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD在x 轴上的投影为12π，则ωφ，的值为（）A ．2ω=，3πϕ=B ．2ω=，6πϕ=C ．12ω=，3πϕ=D ．12ω=，6πϕ=【答案】A【解析】因B 与D 关于点E 对称，CD 在x 轴上的投影为12π，则B 与图像最高点（最靠近B 点）连线所对应向量在x 轴上的投影为12π，又A ,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则A 与图像最高点(最靠近B 点)连线对应向量在x 轴上的投影为πππ6124+=，故函数最小正周期为24πππ=4ω⨯=，又0ω>，则2ω=.又因函数图像过点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2ππ,Z 3φk k -+=∈，得2ππ,Z 3φk k =+∈，又02πϕ<<，则0k =，得π3ϕ=.综上，有2ω=，π3ϕ=.故选：A【变式2-2】（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图，BC x ∥轴，当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若不等式()sin 2f x m x ≥-恒成立，则的取值范围是（）A ．⎛-∞ ⎝⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(-∞D ．(],1-∞【答案】A【解析】因为//BC x 轴，所以()f x 图象的一条对称轴方程为1π2π7π()22312x =+=，所以7πππ41234T =-=，则πT =，所以2π2T ω==，又π2π2π3k ϕ⨯+=+，Z k ∈，且0πϕ<<，所以π3ϕ=，故π()sin(23f x x =+，因为当π[0,]4x ∈时，不等式()sin 2f x m x ≥-恒成立，所以π3π()sin 2sin(2)sin 2sin 2cos 2sin(2)3226m f x x x x x x x ≤+=++=++，令()π26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ2π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以π())6g x x +的最小值为2，所以2m ≤，即m ⎛∈-∞ ⎝⎦．故选：A ．【变式2-3】（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）已知函数π()sin()0,||2ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭f x x ，若()()1g x f x ⋅=，且函数()g x 的部分图象如图所示，则ϕ等于（）A ．π3-B ．π6-C ．π6D ．π3【答案】B【解析】由图可知，函数()g x 过点π,13⎛⎫⎪⎝⎭和点5π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，即π135π16g g⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，又因为()()1g x f x ⋅=，所以π135π16f f ⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，结合正弦型函数的性质可知，5ππ263T =-，解得πT =，所以2ππω=，解得2ω=±，因为0ω>，所以2ω=所以()sin(2)f x x ϕ=+，所以πsin(2)13ϕ⨯+=，即2ππ2π32k ϕ+=+，Z k ∈解得π2π6k ϕ=-+，Zk ∈因为π||2ϕ<，所以π6ϕ=-，故选：B.【变式2-4】（2023·全国·模拟预测）（多选）已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将()f x 的图象向右平移()0m m >个单位长度后得到函数()()sin 2g x A x ωϕ=-的图象，则m 的值可以是（）A ．π4B ．π3C ．4π3D ．9π4【答案】AD【解析】由图象可知：2A =，最小正周期5ππ4π126T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，2π2T ω∴==，ππ2sin 263f ϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()ππ2π32k k ϕ∴+=+∈Z ，解得：()π2π6k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，π6ϕ∴=，()π2sin 26f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()π2sin 226f x m x m g x ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭ ，()ππ22π63m k k ∴-+=-+∈Z ，解得：()ππ4m k k =-∈Z ，当0k =时，π4m =；当2k =-时，9π4m =.故选：AD.【题型3三角函数图象变换问题】【例3】（2023秋·江西赣州·高三统考期末）函数()()sin f x x ωϕ=+（其中0ω>，π2ϕ<）的图象如图所示，为了得到cos y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（）A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π6个单位长度【答案】C【解析】由图象可知，712344Tπππ-==，所以T π=，又因为2T πω=，所以2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，又因为771,sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=-∴⨯+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又||2ϕπ<，所以,3πϕ=所以()sin 2cos 2cos 2cos 2332612f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为()cos 2g x x =，所以只需把()y f x =的图象上所有点向左平移π12个单位长度可得()cos 2g x x=的图象.故选：C.【变式3-1】（2022·四川·高三统考对口高考）为了得到函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有的点（）A ．向左平移4π个单位B ．向右平移4π个单位C ．向左平移2π个单位D ．向右平移2π个单位【答案】A【解析】依题意，sin(2)sin(2)sin[2()]42444y x x x πππππ=+=+-=+-，所以把函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点向左平移4π个单位可以得到函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，A 正确.故选：A 【变式3-2】（2022·陕西汉中·统考一模）为得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将sin2y x =的图象（）A ．向左平移512π个单位长度B ．向右平移512π个单位长度C ．向左平移23π个单位长度D ．向右平移23π个单位长度【答案】A【解析】555cos 2cos 2sin 2sin 2362612y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故可由sin2y x =的图象向左平移512π个单位长度得到.故选：A.【变式3-3】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫-> ⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度后与其导函数()y f x '=的图象重合，则()f ϕ的值为（）A ．0B ．2C ．2D ．32【答案】D【解析】因为π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以()ππcos sin (0)63f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=-=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，而函数()f x 的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度后得到()()ππsin (0)66f x x x ϕωϕωωϕω⎡⎤⎛⎫++-+-> ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，由题意得()()f x f x ϕ+='，所以ππ2π,Z 63k k ωϕ=⎨-=+∈⎪⎩,解得1π2π,Z 2k k ωϕ=⎧⎪⎨=+∈⎪⎩且0ϕ>，所以πππ3()2π2632f k ϕ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，故选：D 【变式3-4】（2022·全国·模拟预测）已知函数()3sin cos f x x x =-的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位长度后得到()f x 的导函数()f x '的图象，则()f ϕ=（）A ．3-B ．3C ．1D ．1-【答案】B【解析】因为()3sin cos f x x x =-，所以()3cos sin f x x x =+'，而()()()3sin cos 3sin cos 3cos sin cos cos sin sin f x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕ+=+-+=+-+()()3cos sin sin 3sin cos cos x x ϕϕϕϕ=++-⋅，由题意得()()f x f x ϕ+='，所以3cos sin 13sin cos 3ϕϕϕϕ+=⎧⎨-=⎩,解得sin 1cos 0ϕϕ=⎧⎨=⎩，所以()3sin cos 3f ϕϕ=-=，故选：B.另解：因为()3sin cos f x x x =-，所以()3cos sin f x x x =+'，由题意知()()f x f x ϕ+='对一切实数x 恒成立，所以令0x =，得()()03cos 0sin 03f f ϕ'==+=，故选：B.【变式3-5】（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）将函数()sin 2c 2πos π63f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象上的所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），然后再将其图象向左平移()0θθ>单位得到图象()g x ，若函数()g x 图象关于y 轴对称，则θ的最小值为（）A ．π3B ．π6C ．π12D ．π24【答案】C 【解析】()πsin 2cos 2sin 2co i ππs 22s n26366πππ62f x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+++-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,由()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变）得到π2sin 46⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x ，将其图象向左平移()0θθ>单位得到图象()46π2sin 4g x x θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，而()g x 图象关于y 轴对称，∴4π,Z 6π2πk k θ+=+∈，∵0θ>，∴当0k =时，θ取最小值π12.故选：C.【题型4三角函数的四种性质】【例4】（2023秋·河南南阳·高三统考期末）已知函数()()()sin cos f x x x ϕϕ=+++是偶函数,则3sin 2cos 2sin 3cos ϕϕϕϕ-=+______．【答案】15【解析】由题知数()()()sin cos f x x x ϕ=+++是R 上偶函数，所以()()ππ22f f =-,即()()()()ππππsin cos sin cos 2222ϕϕϕϕ+++=-++-+，即cos sin cos sin ϕϕϕϕ-=-+，即cos sin ϕϕ=，tan 1ϕ=,所以3sin 23sin 2cos 321cos 2sin 2sin 3cos 2353cos ϕϕϕϕϕϕϕϕ---===+++.故答案为:15【变式4-1】（2023秋·河北邢台·高三邢台市第二中学校考期末）函数9cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为______.【答案】()π5ππ,πZ 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】由9πcos 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭＝cos π24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝cos π24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得2kπ≤2x －4π≤2k π＋π(k ∈Z )，解得kπ＋π8≤x ≤kπ＋58π(k ∈Z )，所以函数的单调递减区间为π5ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ).故答案为：()π5ππ,πZ 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.【变式4-2】（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）已知函数()tan tan f x x x =+，则下列结论中正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心C ．()f x 的值域为[)0,∞+D ．不等式()2f x >的解集为()ππ2,2πZ 42k k k π⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】()π2tan ,[π,π),Z 2tan tan π0,(π,π),Z 2x x k k k f x x x x k k k ⎧∈+∈⎪⎪=+=⎨⎪∈-+∈⎪⎩，作出()f x的图象，如图，观察图象，()f x 的最小正周期为π，A 错误；()f x 的图象没有对称中心，B 错误；()f x 的值域为[)0,∞+，C 正确；不等式()2f x >，即π[π,π)(Z)2x k k k ∈+∈时，2tan 2x >，得tan 1x >，解得ππππ,Z 42k x k k +<<+∈，所以()2f x >的解集为ππ(π,π)()42Z k k k +∈+，故D 错误.故选：C【变式4-3】（2023·四川内江·统考一模）已知函数()()1sin cos sin (0)2f x x x x ωωωω=-+>，若函数()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω不能取（）A ．23B ．13C ．58D ．14【答案】A【解析】因为()()1sin cos sin 2f x x x x ωωω=-+21sin cos sin 2x x x ωωω=⋅-+11cos 21sin 2222x x ωω-=-+1(sin 2cos 2)2x x ωω=+(sin 2cos 2)222x x ωω=⋅⋅π)4x ω=+由ππ3π2π22π242k x k ω+≤+≤+，Z k ∈，得ππ5ππ88k k x ωωωω+≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递减区间为ππ5ππ,88k k ωωωω⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .又函数()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭⊆ππ5ππ,88k k ωωωω⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ，所以πππ825πππ8k k ωωωω⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，Z k ∈，因为0ω>，所以15248k k ω+≤≤+，Z k ∈，当23ω=时，得1252438k k +≤≤+，得152424k ≤≤，不成立；所以23ω=不可取；当13ω=时，得1152438k k +≤≤+，得712412k -≤≤,因为Z k ∈，所以0k =时，13ω=可取到；当58ω=时，得1552488k k +≤≤+，得3016k ≤≤，因为Z k ∈，所以0k =时，58ω=可取到；当14ω=时，得1152448k k +≤≤+，得308k -≤≤，因为Z k ∈，所以0k =时，14ω=可取到.综上所述：ω不能取23.故选：A【变式4-4】（2023秋·江苏南通·高三统考期末）（多选）设函数()()sin f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，3πϕ<.若1409f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，419f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于52π，则（）A ．14ω=B ．6πϕ=C ．()f x 在()2,3ππ上单调递增D ．()f x 在()0,3π上存在唯一的极值点【答案】BC【解析】函数()()sin f x x ωϕ=+的最小正周期为T ，由1409f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭及419f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得：414(21)()2,N 499T k k πππ*⋅-=--=∈，则8,N 21T k k π*=∈-，而52T π>，即有5822,N 1k k ππ*>∈-，解得21,N 10k k *<∈，即1k =或2k =，当1k =时，18,4T πω==，由419f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得1114,Z 492k k ππϕπ⨯+=+∈，有117,Z 18k k πϕπ=+∈，而3πϕ<，显然不存在整数1k ，使得3πϕ<，当2k =时，83,34T πω==，由419f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得2234,Z 492k k ππϕπ⨯+=+∈，有22,Z 6k k πϕπ=+∈，而3πϕ<，于是得20,6k πϕ==，符合题意，所以83,,346T ππωϕ===，A 不正确，B 正确；3()sin()46f x x π=+，当23x ππ<<时，532934612x πππ<+<，而函数sin y x =在529(,)312ππ上单调递增，所以函数()f x 在()2,3ππ上单调递增，C 正确；当03x π<<时，32964612x πππ<+<，而函数sin y x =在29(,)612ππ上两个极值点，一个极大值点，一个极小值点，所以函数()f x 在()0,3π上有两个极值点，一个极大值点，一个极小值点，D 不正确.故选：BC【变式4-5】（2023·安徽淮南·统考一模）（多选）已知函数()()πsin ,12,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭图像过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，且存在12,x x ，当122πx x -=时，()()120f x f x ==，则（）A ．()f x 的周期为4π3B ．()f x 图像的一条对称轴方程为5π9x =-C ．()f x 在区间4π10π,99⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减D ．()f x 在区间()0,5π上有且仅有4个极大值点【答案】ACD【解析】因为()f x 图像过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭且π2ϕ<，所以1sin 2ϕ=-，解得π6ϕ=-，因为存在12,x x ，当122πx x -=时，()()120f x f x ==，所以π2π2T k k ω⋅==，即2k ω=，*N k ∈，又因为12ω<<，所以32ω=，所以()3πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，选项A ：()f x 的周期2π4π332T ==，正确；选项B ：()f x 图像的对称轴为3πππ262x k -=+，解得4π2π93kx =+，Z k ∈，令5π4π2π993k-=+，k 无整数解，B 错误；选项C ：当4π10π,99x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，3ππ3π,2622x ⎡⎤-∈⎢⎣⎦，所以由正弦函数的图像和性质可得()f x 在区间4π10π,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，C正确；选项D ：当()0,5πx ∈时，3ππ22π,2663x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以由正弦函数的图像和性质可得()f x 在区间()0,5π有4个极大值点，3个极小值点，D 正确；故选：ACD【变式4-6】（2023秋·湖北·高三统考期末）（多选）已知函数()2sin sin 2f x x x =，则下列说法正确的是（）A ．π是()f x 的一个周期B ．()f x 的图象关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称C ．()f x 在区间[]0,2π上的零点个数为4D ．()f x 的最大值为8【答案】ABD 【解析】对于A ，因为()2(π)sin (π)sin 2(π)f x x x +=++()22sin sin 2sin sin 2()x x x x f x =-==，所以π是()f x 的一个周期，故A 正确；对于B ，()2π(2)(π)sin (π)sin 2(π)2f x f x x x ⨯-=-=--22sin sin(2)sin sin 2()x x x x f x =-=-=-，所以()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故B 正确；对于C ，由()2sinsin 2f x x x =0=，得πx k =或2πx k =，Z k ∈，得πx k =或π2k x =，Z k ∈，由0π2πk ≤≤及Z k ∈得0k =或1k =或2k =，所以0x =或2πx =或πx =，由π02π2k ≤≤及Z k ∈得0k =或1k =或2k =或3k =或4k =，所以0x =或π2x =或πx =或3π2x =或2πx =，所以()f x 在区间[]0,2π的零点为0x =，π2x =，πx =，3π2x =，2πx =,共5个,故C 错误；对于D ，()2sinsin 2f x x x =2sin 2sin cos x x x =⋅32sin cos x x =，所以()262()4sin cos f x x x =624sin (1sin )x x =-，设2sin [0,1]t x =∈，34(1)y t t =-3444(01)t t t =-≤≤，则23212164(34)y t t t t '=-=-，令0'>y ，得304t <<，令0'<y ，得314t <≤，所以3444(01)y t t t =-≤≤在3[0,)4上为增函数，在3(,1]4上为减函数，所以当3t 4=时，y 取得最大值为333274(1)4464⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，0=t 或1t =时，y 取得最小值为0，所以()2()f x y =27[0,64∈，所以()[f x ∈，所以()f x D 正确；故选：ABD 【变式4-7】（2023春·浙江·高三校联考开学考试）（多选）已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A ．()0f =B ．()f x 的最小正周期为π2C ．()f x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【答案】BD【解析】()ππ0tan tan 66f ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭A 错误；函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π2T =，故B 正确；π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,πππ666x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 错误；π,06x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2,π626ππx ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，故()f x 在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确．故选：BD ．【题型5三角函数的最值问题】【例5】（2022秋·北京·高三北京市八一中学校考阶段练习）定义运算,,,.a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩※例如，121=※，则函数()sin cos f x x x =※的值域为（）A．1,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．2⎡-⎢⎣⎦【答案】D【解析】根据题设中的新定义，得()sin ,sin cos cos ,sin cos x x x f x x x x≤⎧=⎨>⎩，由sin cos x x ≤可得sin cos 0x x -≤π04x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，所以π2ππ2π4k x k -≤-≤，Z k ∈，即3ππ2π2π+44k x k -≤≤，Z k ∈，由sin cos x x >可得sin cos 0x x ->π04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以π2π2π+π4k x k <-<，Z k ∈，即π5π2π+2π+44k x k <<，Z k ∈，所以()3ππsin ,2π2π,Z 44π5πcos ,2π2π,Z44x k x k k f x x k x k k ⎧-≤≤+∈⎪⎪=⎨⎪+<<+∈⎪⎩，当3ππ2π2π+44x k x k ∈-≤≤，Z k ∈，()()()2πsin 2πsin f x x x f x +=+==，当π5π2π+2π+44x k x k ∈<<，Z k ∈时，()()()2πcos 2πcos f x x x f x +=+==，所以函数()f x 为周期函数，周期为2π，作出函数()f x 在一个周期内的图象（实线部分），观察图象，可知函数()f x 的值域为22⎡-⎢⎣⎦，故选:D.【变式5-1】（2023秋·湖南株洲·高三校联考期末）已知定义域为R 的函数(),()f xg x满足()()πf x f x +=-，且()()cos π,g x x f x =++()()sin πf x x g x =-+，则当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()y f x g x =的最小值为（）A ．0B ．2CD 【答案】A【解析】()cos ()=-g x x f x ，()()()()πcos ππcos +=+-+=-+g x x f x x f x ，所以()sin cos ()f x x x f x =+-，得sin cos ()2x x f x +=，cos sin ()2x xg x -=，所以22cos sin 1()()cos 244x x y f x g x x -===，π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0cos 21x ≤≤，10()()4≤≤f x g x ，得()()y f x g x =的最小值为0.故选：A.【变式5-2】（2022秋·安徽·高三石室中学校联考阶段练习）如图是函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的部分图象，则()f x 在,9045⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π22π上的值域为（）A ．[]1,1-B ．122⎡⎢⎣⎦C ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．⎡-⎢⎣⎦【答案】D【解析】由图象知函数的周期13ππ2π230103T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，即2π2π=3ω，即3ω=，由五点对应法得ππ32π+()102k k ϕ⨯+=∈Z ，得π2π+5k ϕ=，则π()cos 35f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为π22π,9045x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π3,563x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，所以πcos 31,52x ⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦.故选：D【变式5-3】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）函数()3cos f x x 的最大值为（）.A ．B ．C ．D ．3【答案】D 【解析】2225cos 4sin 59cos 4cos 4sin 5x x x x x -+=--+()()22229cos 4sin 4sin 13cos 2sin 1x x x x x =+-+=+-，所以()3cos f x x ==故()f x 的最大值转化为点()3cos ,2sin P x x 到()0,1A 与()0,2sin B x 的距离之差的最大值，因为1sin 1x -≤≤，22sin 2x -≤-≤，112sin 3x -≤-≤，所以12sin 3PA PB AB x -≤=-≤，当且仅当sin 1x =-时，等号成立，则3PA PB -≤，经检验，此时cos 0x =，()303f x =⨯=，所以()3f x ≤，即()f x 的最大值为3.故选：D.【变式5-4】（2023秋·北京丰台·高三统考期末）已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+>⎪⎝⎭，若ππ62f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值无最大值，则ω=___________．【答案】4【解析】由于若ππ62f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值无最大值，πππ6223+=，则πππsin 1336f ω⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πππ2π,62,Z 362k k k ωω+=-=-∈，又ππππ,62366T ωω=≥-=≤，由于0ω>，所以ω的值为4.故答案为：4。
决战2020年高考数学(理)三角函数与解三角形专题： 三角函数的图象和性质(解析版)
三角函数与平面向量三角函数的图象和性质一、具本目标： 1.会用“五点法”作图；2.备考重点：(1) 掌握正弦函数及正弦型函数的图象；(2) 掌握正弦函数及正弦型函数的周期性、单调性、对称性以及最值.(3) 掌握余弦函数及余弦型函数的图象；(4) 掌握余弦函数及余弦型函数的周期性、单调性、对称性以及最值.(5) 掌握正切函数的图象；(6) 掌握正切函数的周期性、单调性、对称性以及最值. 二、知识概述：1.正弦函数的图象与性质： 性质sin y x =图象定义域 R值域 []1,1-最值 当()22x k k Z ππ=+∈时，max 1y =；当()22x k k Z ππ=-∈时，min 1y =-．周期性 2π奇偶性()sin sin x x -=-,奇函数单调性在()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上是增函数；在()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上是减函数．【考点讲解】对称性对称中心()(),0k k Z π∈对称轴()2x k k Z ππ=+∈，既是中心对称又是轴对称图形。
2.用五点法画出正弦型函数()sin y A x h ωϕ=++的图象，先列表，令30,,,,222x ππωϕππ+=，求出对应的五个的值和五个y 值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到()sin y A x h ωϕ=++在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数()sin y A x h ωϕ=++的图象.3.对于来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. sin )y A x ωϕ=+（的图象有无穷多条对称轴，可由方程()2x k k Z πωϕπ+=+∈解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由()x k k Z ωϕπ+=∈，解得()k x k Z πϕω-=∈，即其对称中心为(),0k k Z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭．相邻两对称轴间的距离为T 2，相邻两对称中心间的距离也为T 2,函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．4.近几年高考在考查三角恒等变换的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，常常把恒等变换与图象和性质相结合来考查.三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度为中低档，对基础知识与基本技能加强了考查的力度，分值分配合理，更重视细节给分，其中对函数 的图象要求会用五点作图法作出，并理解它的性质：函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；函数图象与x 轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；函数取最值的点与相邻的与x 轴的交点间的距离为其函数的个周期，注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移. 5.确定函数sin()(0)y A x A ωϕ=+>当0ω<时函数的单调性：对于函数sin()y A x ωϕ=+求其单调区间，要特别注意ω的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为sin()y A x ωϕ=---的形式，然后求其单调递增区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递增区间之内.求函数sin()y A x ωϕ=+ 的单调区间的步骤：(1)将ω化为正．(2)将x ωϕ+看成一个整体，由三角函数 的单调性求解．sin()y A x ωφ=+()ϕω+=x A y sin R x ∈41【特别提醒】解答三角函数的问题时，不要漏了“k Z ∈”. 三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切记不要漏掉考虑函数自身的定义域． 6.确定函数的对称性时，先将函数化成sin )y A x B ωϕ=++（的形式再求解．其图象的对称轴是直线，图象与直线的交点是图象的对称中心, 所以要记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想，就可经求出三角函数的对称轴与对称中心． 7.对于函数的奇偶性判断：如果sin()y A x ωϕ=+为偶函数，就有()2k k Z πϕπ=+∈;如果sin()y A x ωϕ=+为奇函数，就有()k k Z ϕπ=∈. 8.函数的周期性：求()sin()f x A x ωϕ=+的周期的方法（1）定义法：使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；（2）公式法：使用此法时先将函数转化为()sin()f x A x ωϕ=+的形式，最小正周期是2||T πω=. (3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定. 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2π，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+，|tan |y x =的周期不变.（5）使用周期公式，必须先将解析式化为或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是，正切函数的最小正周期公式是；注意一定要注意加绝对值。
2020衡水名师原创文科数学专题卷：专题六《三角函数》
2020衡水名师原创文科数学专题卷专题六 三角函数考点16：三角函数的有关概念、同角三角函数关系式及诱导公式（1-4题，13题，17题） 考点17：三角函数的图象及其变换（5,6题，18题）考点18：三角函数的性质及其应用（7-12题，14-16题，19-22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
） 1．考点16 易 若π02α-<<，则点tan ,()cos P αα位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2． 考点16 易 已知ABC ∆中, 5tan 12A =-,则cos A 等于( ) A.1213 B. 513C. 513-D. 1213-3． 考点16 易已知()P y 为角β的终边上的一点,且sin 13β=,则y 的值为( ) A.12±B.12C.12-D.2±4． 考点16 中难 若点2π2π(sin,cos )33在角α的终边上，则sin 2α的值为（ ）A. 12- B. C.125． 考点17 中难()cos()f x A x ωϕ=+(0,0,0π)A ωϕ>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG △是边长为2的等边三角形，则(1)f 的值为( )A ．2-B ．2- C D ．6．考点17 中难将函数()sin 2f x x =的图象向左平移π12个单位,得到函数()sin(2)0π2g x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象,则ϕ等于( )A.π3 B. π4 C. π6 D. π127.考点18 易关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数②()f x 在区间(,)2ππ单调递增 ③()f x 在[,]-ππ有4个零点 ④()f x 的最大值为2其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③8．考点18 中难若函数()π)f x x ω=-5πsin 2x ω⎛⎫++ ⎪⎝⎭，且()2f α=，()0f β=，αβ-的最小值是π2，则()f x 的单调递增区间是（ ） A.2ππ2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z)k ∈ B.5ππ2π,2π66k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z)k ∈C.5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z)k ∈ D.πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z)k ∈9． 考点18 中难 设函数()sin()(0)5f x x ωωπ=+>，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点 ③()f x 在(0,)10π单调递增 ④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④10．考点18 中难下列函数中，以π为周期且在区间(0,)2π上单调递增的函数是（ ） A.sin2x y = B.sin y x = C.tan y x =-D.cos 2y x=-11． 考点18 难已知线段AB 的长为6，以AB 为直径的圆有一内接四边形ABCD ，其中//AB CD ，则这个内接四边形的周长的最大值为（ ）A ．15B ．16C ．17D ．18 12． 考点18 难已知函数π()sin()(0,)2f x x ωϕωϕ=+><的最小正周期为4π，且对R x ∀∈，有π()()3f x f ≤成立，则()f x 的一个对称中心坐标是( )A ．2π(,0)3-B ．π(,0)3-C ．2π(,0)3D ．5π(,0)3第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题（每题5分，共20分） 13． 考点16 中难已知sin tan 1αα=,则cos α=__________ 14． 考点18 易 函数π()cos(3)6f x x =+在[0,π]的零点个数为________． 15. 考点18中难函数1πsin [0,]22y x x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭的单调递增区间是__________ 16． 考点18 难已知33()sin 4(,R)f x a x x a b =++∈，且(sin10)5f ︒=，则(cos100)f ︒=__________．三.解答题（共70分）17．（本题满分10分） 考点16易已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点34P -（,）. 1.求sin α，cos α的值；2.sin(π)cos()πcos()2a αα++--的值.18．（本题满分12分） 考点17 易已知函数()sin()f x A x O ω=+（其中π0,0,||2A O ω>><）的部分图象如图所示．1.求函数()y f x =的解析式；2.求函数()y f x =的单调增区间；3.求方程()0f x =的解集. 19.考点18 易已知函数2()sin 2f x x x a =-.1.求函数()f x 的单调递减区间;2.设π[0,]2x ∈时,函数()f x 的最小值是-2,求()f x 的最大值.20.（本题满分12分）考点18 中难已知函数的解析式()()sin ,R f x A x x ωϕ=+∈ (其中π0,0,02A ωϕ>><<)的图象与x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为π2,且图象上一个最低点为2π,23M ⎛⎫-⎪⎝⎭1.求()f x 的解析式.2.当,,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求()f x 的值域. 21．（本题满分12分） 考点18 中难 已知22()(sin cos )2cos f x x x x =++ 1.求π()6f 的值2.求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的值（2）已知0ω>，函数()212x g x f ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()g x 在区间2,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，求ω的最大值．22．（本题满分12分） 考点18 难已知2()cos 2cos 1f x x x x =+-1.求函数()f x 的最小正周期2.已知π0,,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求()f x 的值域参考答案1答案及解析： 答案：B 解析：2答案及解析： 答案：D 解析：3答案及解析： 答案：B解析：0y r r β====>解得12y =.4答案及解析： 答案：B 解析：由题意，2π2π1sincos ,13232x y r ====-=，1sin ,cos 22y x αα∴==-==．1sin 22sin cos 2()2ααα∴==⨯-=5答案及解析： 答案：D 解析：6答案及解析： 答案：C解析：由题意知()πsin 2sin 212π6g x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 又()()si πn 202g x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭, ∴π6ϕ=.故选C.7答案及解析： 答案：C解析：画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x=，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．8答案及解析： 答案：A 解析：9答案及解析： 答案：D 解析：()sin (0)5f x wx w π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在[0,2]π有且仅有5个零点．02x ∴≤≤π，12555wx w ππ≤+≤π+，1229510w ≤<，④正确．如图213,,x x x 为极大值点为3个，①正确；极小值点为2个或3个．∴②不正确．当010x π<<时，5105w wx f πππ<+<+π，当2910w =时，2920491051001001002w +=+=<ππππππ． ∴③正确，故选D ．10答案及解析： 答案：D 解析：11答案及解析： 答案：D 解析：12答案及解析： 答案：A解析：由题意得，函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为4π，所以2π4πω=，解得12ω=，即()1sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得1ππ2π232k ϕ⨯+=+，Z k ∈，又π2ϕ<，所以π3ϕ=，故()1πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1ππ23x k +=，可得2π2π3x k =-，Z k ∈，所以函数()f x 的对称中心是2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选A13答案及解析：答案：12- 解析：221sin cos αα+=,由1sin tan αα=,得2sin cos αα=,令,0cos x x α=>,则21x x -=,解得12x -+=14答案及解析： 答案：3个 解析：15答案及解析： 答案：π[0,]6解析：16答案及解析： 答案：3解析：设33()sin g x a x x =+，则()()4f x g x =+，∴(sin10)(sin10)45f g ︒=︒+=，∴(sin10)1g ︒=，又(cos100)(sin10)(sin10)4(sin10)43f f g g ︒=-︒=-︒+=-︒+=．17答案及解析： 答案：1.∵角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点34P -（,），故3,4,||5x y r OP =-====，43sin ,cos 55y x r r αα∴====- 2.sin(π)cos()sin cos πsin cos()2a aa ααα++--+=- cos 3711sin 44a a =-+=--=-解析：18答案及解析： 答案：1.由图知，1A =，∵周期7ππ4()π123T =-=， ∴2π2πω==， ∴()sin(2)f x x O =+， 又∵7π()112f =- ∴7πsin()16O +=-， ∴7π3π2π(Z)62O k k +=+∈， ∴π2π,Z 3O k k =+∈, ∵π||2O <, ∴π3O = ∴π()sin(2)3f x x =+． 2.πππ2π22π,Z 232k x k k --≤+≤-∈，得5ππ[π,π],Z 1212k k k --+∈， ∴函数()y f x =的单调增区间为5ππ[π,π],Z 1212k k k --+∈． 3.∵()0f x =， ∴π2,Z 3x k k +=∈， ∴π1π,(Z)62x k k =-+∈ ， ∴方程()0f x =的解集为π1{|π,Z}62x x k k =-+∈． 解析：19答案及解析：答案：1.π()sin 2cos 2)sin 222sin(2)3f x x x a x x a x a =+=+=-+, 令ππ3π2π22π232k x k +≤-≤-,得5π11ππ+π+,Z 1212k x k k ≤≤∈, ()f x ∴的单调递减区间5π11π[π,π](Z)1212k k k ++∈.2.π02x ≤≤,ππ2ππ2,sin(2)13333x x ∴≤-≤≤-≤,min max ();()2f x a f x a ∴==+,令2a =-,得2a =,所以max ()22f x =解析：20答案及解析：答案：1.由最低点为2π(,2)3M -得2A =. 由轴上相邻的两个交点之间的距离为π2得π22T =, 即2ππ,2T Tω=∴== 由点M 在图象上,2π2sin(2)23ϕ⨯+=-即4πsin()13ϕ+=- 故4π3π2π,Z 32k k ϕ+=+∈,π2π6k ϕ∴=+. 又ππ(0,),26ϕϕ∈∴= 故π()2sin(2)6f x x =+ 2.ππππ7π[,],2[,]122636x x ∈∴+∈ 当ππ262x +=即π6x =时,()f x 取得最大值2; 当π7π266x +=即π2x =时,()f x 取得最小值, 故()f x 的值域为[1,2]-解析：21答案及解析：答案：1.22ππππ()(sin cos )2cos 6666f =++2215(222=++⨯=+2.2π()1sin 22cos 11sin 2cos 22)24f x x x x x x =++-+=++=++ 由ππ22π42x k +=-+可得3ππ8x k =-+，故函数的最小值为2-， 当3ππ,(Z)8x k k =-+∈时取得最小值. 解析：22答案及解析：答案：1.2()cos 2cos 12cos 22sin 6π2f x x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭， 令ππ3π2π22π,Z,262k x k k +≤+≤+∈ 解得π2πππ,Z,63k x k k +≤≤+∈ 可得函数()y f x =的单调递减区间为：π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ 2.π02x ≤≤ 02πx ∴≤≤ππ7π2666x ∴≤+≤ π1sin(2)[,1]62x ∴+∈- π2sin(2)[1,2]6x ∴+∈- ()f x ∴的值域为[1,2].-解析：。
2020届高考数学(理)复习课件：第六单元§6.3三角函数的图象与性质
∴令 x-π4=kπ+π2,k∈Z,解得 x=kπ+34π,k∈Z.取 k=-1,则 x=-π4.
答案 解析
3.关于函数 y=tan
2������-
π 3
,下列说法正确的是(
C
).
A.函数是奇函数
B.函数在区间
0,
π 3
上单调递减
C.
π 6
,0
为函数图象的一个对称中心
D.函数的最小正周期为 π
【解析】函数 y=tan
1 2
2 +32.
∵x∈
-
π 6
,
π 4
,∴sin x∈
-
1 2
,
2 2
,
∴当 sin x=-12时,函数 f(x)取最小值12,
当 sin x=12时,函数 f(x)取最大值32.
点拨：形如f(x)=asin2x+bsin x+c的函数,可先设sin x=t,再化为关于t 的二次函数求值域(最值).
.
(2)函数 y=lg(sin x)+
cos������-
1的定义域为
2
������
2������π
<
������
≤
π 3
+
2������π,������∈������
.
sin������ > 0,
sin������ > 0,
【解析】(2)若函数有意义,则
cos������-
1 2
≥
0,即
cos������
<
������
≤
π 3
+
2������π,������∈������
2020衡水名师文科数学专题卷：专题6《三角函数》 Word版含答案
2020衡水名师原创文科数学专题卷专题六 三角函数考点16：三角函数的有关概念、同角三角函数关系式及诱导公式（1-4题，13题，17题） 考点17：三角函数的图象及其变换（5,6题，18题）考点18：三角函数的性质及其应用（7-12题，14-16题，19-22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
）1．考点16 易 若π02α-<<，则点tan ,()cos P αα位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2． 考点16 易已知ABC ∆中, 5tan 12A =-,则cos A 等于( ) A.1213B. 513C. 513- D. 1213- 3． 考点16 易已知()P y 为角β的终边上的一点,且sin 13β=,则y 的值为( ) A.12± B.12 C.12-D.2± 4． 考点16 中难 若点2π2π(sin ,cos )33在角α的终边上，则sin 2α的值为（ ）A. 12-B. C. 12 D. 5． 考点17 中难()cos()f x A x ωϕ=+(0,0,0π)A ωϕ>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG △是边长为2的等边三角形，则(1)f 的值为( )A ．2-B ．2-CD ．6．考点17 中难将函数()sin 2f x x =的图象向左平移π12个单位,得到函数()sin(2)0π2g x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象,则ϕ等于( ) A. π3 B. π4 C. π6 D. π127.考点18 易 关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数②()f x 在区间(,)2ππ单调递增③()f x 在[,]-ππ有4个零点④()f x 的最大值为2其中所有正确结论的编号是( )A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③8．考点18 中难若函数()π)f x x ω=-5πsin 2x ω⎛⎫++ ⎪⎝⎭，且()2f α=，()0f β=，αβ-的最小值是π2，则()f x 的单调递增区间是（ ） A.2ππ2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z)k ∈ B.5ππ2π,2π66k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z)k ∈ C.5πππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z)k ∈ D.πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z)k ∈ 9． 考点18 中难 设函数()sin()(0)5f x x ωωπ=+>，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点③()f x 在(0,)10π单调递增 ④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭其中所有正确结论的编号是( )A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④10．考点18 中难下列函数中，以π为周期且在区间(0,)2π上单调递增的函数是（ ） A.sin 2x y = B.sin y x = C.tan y x =- D.cos 2y x =-11． 考点18 难已知线段AB 的长为6，以AB 为直径的圆有一内接四边形ABCD ，其中//AB CD ，则这个内接四边形的周长的最大值为（ ）A ．15B ．16C ．17D ．1812． 考点18 难 已知函数π()sin()(0,)2f x x ωϕωϕ=+><的最小正周期为4π，且对R x ∀∈，有π()()3f x f ≤成立，则()f x 的一个对称中心坐标是( ) A ．2π(,0)3- B ．π(,0)3- C ．2π(,0)3 D ．5π(,0)3第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题（每题5分，共20分）13． 考点16 中难已知sin tan 1αα=,则cos α=__________14． 考点18 易 函数π()cos(3)6f x x =+在[0,π]的零点个数为________． 15. 考点18中难函数1πsin [0,]22y x x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭的单调递增区间是__________ 16． 考点18 难已知33()sin 4(,R)f x a x x a b =++∈，且(sin10)5f ︒=，则(cos100)f ︒=__________．三.解答题（共70分）17．（本题满分10分） 考点16易已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点34P -（,）. 1.求sin α，cos α的值； 2.sin(π)cos()πcos()2a αα++--的值.18．（本题满分12分） 考点17 易已知函数()sin()f x A x O ω=+（其中π0,0,||2A O ω>><）的部分图象如图所示．1.求函数()y f x =的解析式；2.求函数()y f x =的单调增区间；3.求方程()0f x =的解集.19.考点18 易已知函数2()sin 2f x x x a =-.1.求函数()f x 的单调递减区间;2.设π[0,]2x ∈时,函数()f x 的最小值是-2,求()f x 的最大值.20.（本题满分12分）考点18 中难已知函数的解析式()()sin ,R f x A x x ωϕ=+∈ (其中π0,0,02A ωϕ>><<)的图象与x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为π2,且图象上一个最低点为2π,23M ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 1.求()f x 的解析式.2.当,,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求()f x 的值域. 21．（本题满分12分） 考点18 中难已知22()(sin cos )2cos f x x x x =++1.求π()6f 的值2.求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的值（2）已知0ω>，函数()212x g x f ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()g x 在区间2,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，求ω的最大值．22．（本题满分12分） 考点18 难已知2()cos 2cos 1f x x x x =+-1.求函数()f x 的最小正周期2.已知π0,,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求()f x 的值域参考答案 1答案及解析：答案：B解析：2答案及解析：答案：D解析：3答案及解析：答案：B解析：0y r r β====>解得12y =.4答案及解析：答案：B解析：由题意，2π2π1sin cos ,13232x y r ====-=，1sin ,cos 22y x αα∴==-==．1sin 22sin cos 2()2ααα∴==⨯-=5答案及解析：答案：D解析：6答案及解析：答案：C解析：由题意知()πsin 2sin 212π6g x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 又()()si πn 202g x x ϕϕ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭, ∴π6ϕ=.故选C.7答案及解析：答案：C 解析：画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．8答案及解析：答案：A解析：9答案及解析：答案：D 解析：()sin (0)5f x wx w π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在[0,2]π有且仅有5个零点．02x ∴≤≤π，12555wx w ππ≤+≤π+，1229510w ≤<，④正确．如图213,,x x x 为极大值点为3个，①正确；极小值点为2个或3个．∴②不正确． 当010x π<<时，5105w wx f πππ<+<+π，当2910w =时，2920491051001001002w +=+=<ππππππ． ∴③正确，故选D ．10答案及解析：答案：D解析：11答案及解析：答案：D解析：12答案及解析：答案：A解析：由题意得，函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，所以2π4πω=，解得12ω=，即()1sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得1ππ2π232k ϕ⨯+=+，Z k ∈，又π2ϕ<，所以π3ϕ=，故()1πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1ππ23x k +=，可得2π2π3x k =-，Z k ∈，所以函数()f x 的对称中心是2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选A13答案及解析：答案：12- 解析： 221sin cos αα+=,由1sin tan αα=,得2sin cos αα=,令,0cos x x α=>,则21x x -=,解得12x -=14答案及解析：答案：3个解析：15答案及解析： 答案：π[0,]6解析：16答案及解析：答案：3解析：设33()sin g x a x x =+，则()()4f x g x =+，∴(sin10)(sin10)45f g ︒=︒+=，∴(sin10)1g ︒=，又(cos100)(sin10)(sin10)4(sin10)43f f g g ︒=-︒=-︒+=-︒+=．17答案及解析：答案：1.∵角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点34P -（,），故3,4,||5x y r OP =-====， 43sin ,cos 55y x r r αα∴====- 2.sin(π)cos()sin cos πsin cos()2a a a ααα++--+=- cos 3711sin 44a a =-+=--=- 解析：18答案及解析：答案：1.由图知，1A =，∵周期7ππ4()π123T =-=， ∴2π2πω==， ∴()sin(2)f x x O =+，又∵7π()112f =- ∴7πsin()16O +=-， ∴7π3π2π(Z)62O k k +=+∈， ∴π2π,Z 3O k k =+∈, ∵π||2O <, ∴π3O = ∴π()sin(2)3f x x =+． 2.πππ2π22π,Z 232k x k k --≤+≤-∈，得5ππ[π,π],Z 1212k k k --+∈， ∴函数()y f x =的单调增区间为5ππ[π,π],Z 1212k k k --+∈． 3.∵()0f x =， ∴π2,Z 3x k k +=∈， ∴π1π,(Z)62x k k =-+∈ ， ∴方程()0f x =的解集为π1{|π,Z}62x x k k =-+∈． 解析：19答案及解析：答案：1.π()sin 2cos 2)sin 222sin(2)3f x x x a x x a x a =+=+=-+, 令ππ3π2π22π232k x k +≤-≤-,得5π11ππ+π+,Z 1212k x k k ≤≤∈, ()f x ∴的单调递减区间5π11π[π,π](Z)1212k k k ++∈.2.π02x ≤≤,ππ2ππ2,sin(2)13333x x ∴≤-≤≤-≤,min max ();()2f x a f x a ∴==+,令2a =-,得2a =,所以max ()22f x =解析：20答案及解析：答案：1.由最低点为2π(,2)3M -得2A =. 由轴上相邻的两个交点之间的距离为π2得π22T =, 即2ππ,2T Tω=∴== 由点M 在图象上,2π2sin(2)23ϕ⨯+=-即4πsin()13ϕ+=- 故4π3π2π,Z 32k k ϕ+=+∈,π2π6k ϕ∴=+. 又ππ(0,),26ϕϕ∈∴= 故π()2sin(2)6f x x =+ 2.ππππ7π[,],2[,]122636x x ∈∴+∈ 当ππ262x +=即π6x =时,()f x 取得最大值2; 当π7π266x +=即π2x =时,()f x 取得最小值, 故()f x 的值域为[1,2]-解析：21答案及解析：答案：1.22ππππ()(sin cos )2cos 6666f =++2215(222=++⨯=+2.2π()1sin 22cos 11sin 2cos 22)24f x x x x x x =++-+=++=++ 由ππ22π42x k +=-+可得3ππ8x k =-+，故函数的最小值为2-， 当3ππ,(Z)8x k k =-+∈时取得最小值. 解析：22答案及解析：答案：1.2()cos 2cos 12cos 22sin 6π2f x x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭， 令ππ3π2π22π,Z,262k x k k +≤+≤+∈ 解得π2πππ,Z,63k x k k +≤≤+∈ 可得函数()y f x =的单调递减区间为：π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ 2.π02x ≤≤ 02πx ∴≤≤ππ7π2666x ∴≤+≤ π1sin(2)[,1]62x ∴+∈- π2sin(2)[1,2]6x ∴+∈- ()f x ∴的值域为[1,2].-解析：。
高中数学三角函数表，衡水中学归纳整理，干净利索
高中数学三角函数表，衡水中学归纳整理，干净利索
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
今天学长给大家分享的是《衡水必背三角函数表》，希望大家好好整理学习。
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衡水中学2020届高考数学二轮复习：专题6 三角函数的图象与性质1.(2019·江苏高考) 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．解析：由图象可得A ＝2，周期为4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，所以ω＝2.将⎝⎛⎭⎫7π12，－2代入得2×7π12＋φ＝2k π＋32π，即φ＝2k π＋π3，所以f (0)＝2sin φ＝2sin π3＝62. 答案：622．(2019·南京第二次模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω的值为________． 解析：由图可知函数的最大值为2，故A ＝2.由f (0)＝2，可得sin φ＝22，而|φ|<π2，故φ＝π4；再由f ⎝⎛⎭⎫π12＝2可得sin ⎝⎛⎭⎫ωπ12＋π4＝1，故ωπ12＋π4＝π2＋2k π，又T 4>π12，即T >π3，故0<ω<6，故ω＝3. 答案：33．定义在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．解析：画出函数的图象，如图所示，由y ＝6cos x 与y ＝5tan x 联立成方程组得：6cos x ＝5tan x ，即6cos x ＝5sin xcos x ，也即6sin 2x ＋5sin x －6＝0，解得sin x ＝23或sin x ＝－32(舍去)，故P 1P 2＝sin x ＝23.答案：234．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2，给出以下四个论断： ①它的图象关于直线x ＝π12对称；②它的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称； ③它的周期为π；④在区间⎣⎡⎦⎤－π6，0上是增函数． 以其中两个论断作为条件，余下论断作为结论，写出你认为正确的两个命题： (1)________________；(2)________________．解析：①③成立时，f (x )的图象可能为下图中的一个．但图2不能满足－π2<φ<π2.在图中可得端点A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B ⎝⎛⎭⎫π3，0，故②④成立．同理②③成立时，①④成立．答案：①③⇒②④；②③⇒①④5．(2019·江苏命题专家原创卷)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y ＝f (x )的图象的两条对称轴之间的最小距离为π2，则f (x )的解析式为________．解析：f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6，由题意得2πω＝2×π2，所以ω＝2.则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－π6.因为f (x )为偶函数，所以f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝±2，φ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，又因为0<φ<π，故φ－π6＝π2，即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2，所以f (x )＝2cos 2x . 答案：f (x )＝2cos 2x[典例1](1)给出下列六种图象变换方法：①图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变；②图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变； ③图象向右平移π3个单位长度；④图象向左平移π3个单位长度；⑤图象向右平移2π3个单位长度；⑥图象向左平移2π3个单位长度．请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图象变换到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，那么这两种变换的序号依次是________(填上一种你认为正确的答案即可)．(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈[0,2π))的图象如图所示，则φ＝________.[解析] (1)y ＝sin x ④，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3②， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3，或y ＝sin x ②，y ＝sin 12x ⑥， y ＝sin 12⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3. (2)T ＝2(7－3)＝8，ω＝2π8＝π4，A ＝3，f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ，将(3,0)代入得3π4＋φ＝2k π＋π，即φ＝2k π＋π4.又φ∈[0,2π)，所以φ＝π4.[答案] (1)④②或②⑥(填出其中一种即可) (2)π4(1)三角函数图象进行变换时，要注意先伸缩变换后平移变换与先平移变换后伸缩变换的差异．(2)A ，ω，φ这三个值求解以φ最困难，其中如果图象上没有给出最高点和最低点坐标，而只给了函数的零点时，要区分对待，如点(3,0)在减区间内，则3ω＋φ＝2k π＋π，如点(7,0)在增区间内，则7ω＋φ＝2k π.本题也可由对称性得到最低点坐标(5，－3)，代入函数式求φ.[演练1]使函数y ＝f (x )图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的12，然后再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到的曲线与y ＝sin 2x 相同．(1)求f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的单调递增区间．解：(1)y ＝sin 2x 的图象沿x 轴向右平移π6个单位得y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，再将每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. (2)由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z .∴函数y ＝f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )． [典例2](1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝⎛⎭⎫π12＝0，则ω的最小值为________．(2)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则f (x )的单调减区间为________．[解析] (1)由题意得ωπ3＋φ＝k π＋π2，又ωπ12＋φ＝k 1π，所以ωπ4＝k ′π＋π2，即ω＝4k ′＋2，又ω>0，所以ω的最小值为2.(2)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4，由题意知2πω＝π，且φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )， 解得ω＝2，φ＝k π＋π4(k ∈Z )．又∵|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 令2k π≤2x ≤2k π＋π，得k π≤x ≤k π＋π2，故f (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )．[答案] (1)2 (2)⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )(1)三角函数的对称轴和对称中心都可以转化为关于ω，φ的二元方程．(2)由周期性可确定ω的值，由f (－x )＝f (x )可求出φ的值，确定解析式后，即可求出三角函数的性质．[演练2](1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋1(ω>0，|φ|<π)对任意实数t ，都有f ⎝⎛⎭⎫t ＋π3＝f ⎝⎛⎭⎫－t ＋π3.记g (x )＝A cos(ωx ＋φ)－1，则g ⎝⎛⎭⎫π3＝________.(2)设ω>0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________．解析：(1)由于任意实数t ，函数f (x )有f ⎝⎛⎭⎫t ＋π3＝f ⎝⎛⎭⎫－t ＋π3成立，故f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，即sin ⎝⎛⎭⎫π3ω＋φ＝±1，从而cos ⎝⎛⎭⎫π3ω＋φ＝0，故g ⎝⎛⎭⎫π3＝－1. (2)将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－4ωπ3＋2，所以有4ωπ3＝2k π，即ω＝3k2. 又因为ω>0，所以k ≥1，故ω＝3k 2≥32，所以ω的最小值是32.答案：(1)－1 (2)32[典例3]已知函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos 2⎝⎛⎭⎫x －π3＋sin x cos x ，x ∈R . (1)求f (x )的最大值及取得最大值时的x 的值； (2)求f (x )在[0，π]上的单调增区间．[解] (1)f (x )＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＋1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π32＋12sin 2x＝1＋12(sin 2x －cos 2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1.当2x －π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋3π8，k ∈Z 时，f (x )取得最大值为22＋1. (2)由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .又因为0≤x ≤π，所以f (x )在[0，π]上的增区间为⎣⎡⎦⎤0，3π8和⎣⎡⎦⎤7π8，π.三角函数性质的研究，关键是三角函数的化简，本题所给函数的解析式中方次均为二次，故需要用二倍角公式进行降幂，再观察角分别为2x －π3与2x ，还需要用和差角公式进行统一，最终化归为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，即可将ωx ＋φ看做整体，研究函数的性质．[演练3]已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2cos 2x . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π12的值；(2)求f (x )的最大值及相应x 的值．解：(1)f ⎝⎛⎭⎫π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋π6－cos ⎝⎛⎭⎫2×π12＋π3＋2cos 2π12 ＝sin π3－cos π2＋1＋cos π6＝32－0＋1＋32＝3＋1. (2)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2cos 2x ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6－cos 2x cos π3＋sin 2x sin π3＋cos 2x ＋1＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， 当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝1时，f (x )max ＝2＋1＝3， 此时，2x ＋π6＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π6(k ∈Z )．[专题技法归纳](1)三角函数的图象和性质的研究主要涉及的方向为正余弦函数相加后所得函数，首先需要对所给函数进行化简，在化简的过程中要注意“角”“名”“次”的统一，化简后的函数需要整体处理(换元)，再研究其性质，对y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的性质必须掌握．(2)在三角函数的性质研究时，要注意“形”和“式”之间的联系，即A ，ω，x ，φ对函数性质和图象的影响．(3)三角函数图象的变换中要注意先伸缩变换后平移变换与先平移变换后伸缩变换的差异．1．把函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ为锐角)的图象沿x 轴向右平移π8个单位长度或向左平移3π8个单位长度都可以得到g (x )的图象，若g (x )为奇函数，则函数f (x )的图象的对称轴方程为________．解析：根据题意可以画出函数f (x )的部分草图，如图所示．故易知函数f (x )的一条对称轴应为y 轴，其方程为x ＝0，再结合函数的周期性，可得所求的对称轴方程为x ＝12⎣⎡⎦⎤3π8－⎝⎛⎭⎫－π8·k ＋0(k ∈Z )，即x ＝k π4(k ∈Z )．答案：x ＝k π4(k ∈Z )2．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．解析：∵f (x )＝2sin ωx (ω>0)的最小值是－2时， x ＝2k πω－π2ω(k ∈Z )，∴－π3≤2k πω－π2ω≤π4.∴ω≥－6k ＋32且ω≥8k －2.∴ωmin ＝32.答案：323．(2019·盐城第二次模拟)函数f (x )＝sin 2x sin π6－cos 2x cos 5π6在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调递增区间为________．解析：依题意得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，当2k π－π≤2x －π6≤2k π，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12， 其中k ∈Z 时，函数f (x )是增函数，因此函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－5π12，π12.答案：⎣⎡⎦⎤－5π12，π12 4．函数y ＝A sin(ωx ＋θ)⎝⎛⎭⎫其中A >0，ω>0，|θ|<π2的图象的一条对称轴的方程是x ＝π6，一个最高点的纵坐标是3，要使该函数的解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，还应给出一个条件是________．解析：确定了一条对称轴和最高点的纵坐标后，如果不知周期性，还是不能确定ω，解析式不能确定．答案：周期为π5．y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于x ＝－π8对称，则a 等于________．解析：y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于x ＝－π8对称，则f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫－π4，即a ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝－1.答案：－16．设函数f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为f (x )在[a ，b ]上的面积，已知函数y ＝sin nx 在⎣⎡⎦⎤0，πn 上的面积为2n(n ∈N *)， (1)y ＝sin 3x 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上的面积为________； (2)y ＝sin(3x －π)＋1在⎣⎡⎦⎤π3，4π3上的面积为________．解析：y ＝sin 3x 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上的面积为23×2＝43，y ＝sin(3x －π)＋1在⎣⎡⎦⎤π3，4π3上的图象为一个半周期结合图象分析其面积为23＋π.答案：(1)43 (2)23＋π7．当0≤x ≤1时，不等式sin πx2≥kx 成立，则实数k 的取值范围是________．解析：作出y 1＝sin πx 2与y 2＝kx 的图象，要使不等式sin πx2≥kx 成立，由图可知需k ≤1.答案：(－∞，1]8．(2019·新课标全国卷改编)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减．则ω的取值范围是________．解析：函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的图象可看作是由函数f (x )＝sin x 的图象先向左平移π4个单位得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的1ω倍，纵坐标不变得到的，而函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的减区间是⎣⎡⎦⎤π4，5π4，所以要使函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数，需满足⎩⎨⎧π4×1ω≤π2，5π4×1ω≥π，解得12≤ω≤54.答案：⎣⎡⎦⎤12，549．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3有最小值，无最大值，则ω＝________.解析：由题意知π4ω＋π3＝3π2，解之得ω＝143.答案：14310．设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10<⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5；③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )；⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交． 以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号) 解析：f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)≤a 2＋b 2，又⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6＝⎪⎪⎪⎪a sin π3＋b cos π3＝⎪⎪⎪⎪32a ＋12b ≥0，由题意f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则a 2＋b 2≤⎪⎪⎪⎪32a ＋12b 对一切x ∈R 恒成立，则a 2＋b 2≤34a 2＋14b 2＋32ab ，a 2＋3b 2≤23ab (ab ≠0)恒成立，而a 2＋3b 2≥23ab ，所以a 2＋3b 2＝23ab ，此时a ＝3b >0.所以f (x )＝3b sin 2x ＋b cos 2x ＝2b sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝2b sin ⎝⎛⎭⎫11π6＋π6＝0，故①正确； ②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪2b sin ⎝⎛⎭⎫7π5＋π6＝⎪⎪⎪⎪2b sin ⎝⎛⎭⎫47π30＝2b sin ⎝⎛⎭⎫13π30， ⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5＝⎪⎪⎪⎪2b sin ⎝⎛⎭⎫2π5＋π6＝⎪⎪⎪⎪2b sin ⎝⎛⎭⎫17π30＝2b sin ⎝⎛⎭⎫13π30，所以⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5，故②不正确； ③f (－x )≠±f (x )，所以③正确；④因为f (x )＝3b sin 2x ＋b cos 2x ＝2b sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，b >0，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，所以④不正确；⑤由以上知a ＝3b >0，要使经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交，则此直线与横轴平行，又f (x )的振幅为2b >b ，所以直线必与f (x )图象有交点，⑤不正确．答案：①③11.如图，函数y ＝2sin(πx ＋φ)，x ∈R ，⎝⎛⎭⎫其中0≤φ≤π2的图象与y 轴交于点(0,1)．(1)求φ的值；(2)设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，求PM 与PN 夹角的余弦值． 解：(1)因为函数图象过点(0,1)， 所以2sin φ＝1，即sin φ＝12.又因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6.(2)由函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6及其图象，得M ⎝⎛⎭⎫－16，0，P ⎝⎛⎭⎫13，2，N ⎝⎛⎭⎫56，0， 所以PM ＝⎝⎛⎭⎫－12，－2，PN ＝⎝⎛⎭⎫12，－2， 从而cos 〈PM ，PN 〉＝PM ·PN | PM |·|PN |＝1517，即PM 与PN 夹角的余弦值为1517.12．(2019·湖北高考)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )的值域．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π6＝±1. 所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )， 即ω＝k 2＋13(k ∈Z )． 又ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5. (2)由y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π4，0得f ⎝⎛⎭⎫π4＝0， 即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2， 即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－ 2.函数f (x )的值域为[－2－2，2－ 2 ]．。