蒙特卡罗,基于Java程序的亚式期权定价。

亚式算术平均期权蒙特卡罗定价数值分析

摘要：由于亚式算术平均期权的收益依赖于其存续期间离散的标的资产价格，尤其是当涉及到同一时点与若干个变量有关时，传统的数值二项树和有限差分方法难以应付维数灾难，再加上目前亚式算术平均期权没有精确的解析式。本文正是基于此两点考虑，尝试引入蒙特卡罗方法进行了亚式算术平均期权的定价，基于Java语言进行了具体实现，其中利用中心极限定理生成模拟样本随机数，利用对偶技术提高计算精度。并且在文末讨论了多维变量中的亚式算术平均期权的随机数生成方法，为下一步研究的复杂的多维亚式期权定价模型提供了一个参考铺垫。

关键词：亚式算术平均蒙特卡罗模拟随机数Java程序语言对偶变量技术一、亚式期权简介

自上世纪70年代，Fisher Black，Myron Scholes和Robert Merton在期权定价领域取得重大突破后，金融工程领域得到了极大的促进和发展，涌现出了大量由标准期权变化、组合、派生而出的金融衍生品种，即奇异期权，亚式期权是奇异期权中强路径依赖期权的一种典型的代表。亚式期权的收益同标的资产在期权有效期内至少某一段时间内的平均价格有关。

1、亚式期权种类

亚式期权可分为平均价格期权和平均执行价格期。前者可用来避免在一段时间内因频繁交易资产而发生的价格波动风险；后者可以保证在一段时间内频繁卖出标的资产的平均价格不会低于最终价格，也可以保证一段时间频繁买人标的资产的平均价格不会高于最终价格。其收益结构如下表：

，

，

其中Save 、X、ST分别是标的资产某一特定区间内的平均值、执行价、到期价格

2、对平均价格的探讨

对于亚式期权价格平均时，有算术平均和几何平均两种计量方式，相应的计量方法如下：S ave=（算术平均），S ave=（几何平均）。

在亚式期权中只有几何平均期权能得到精确的解析解。几何平均期权的解析价格公式之所以存在是因为布莱克-舒尔斯模型假设标的资产价格服从对数正态分布，而一系列对数正态分布变量的几何平均值仍为对数正态分布。亚式期权中更常见的情况是取算术平均，但是一系列对数正态分布值的算术平均值并不服从对数正态分布。目前人们仍然无法得到解析的定价公式。所以本文尝试用Monte Carlo 模拟方法基于My eclipse平台的Java程序语言对亚式期权进行了数值分析。

二、蒙特卡罗方法基本思想

蒙特卡罗(Monte Carlo) 模拟方法的实质是一种利用随机抽样的样本均值来近似地代替随机分布的总体期望值, 从而得到对随机分布数学期望的实际估计的数值分析方法。利用非套利资产定价理论, 金融衍生证券的价格是其盈亏函数的贴现期望值; 而其中的期望值是针对风险中性的概率测度而言的。根据概率统计和随机分析理论, 这些期望值也可以表示为在一特定区域上的积分形式。蒙特卡罗模拟就是通过模拟这些数学期望或积分来估计金融衍生证券价格的。简要步骤如下:

( 1) 在风险中性概率测度下, 模拟出标的变量在衍生证券有效期内的样本路径; ( 2) 根据该衍生证券的性质, 估计出在每一条样本路径上的贴现盈利收益;

( 3) 对模拟出的样本路径上的盈利收益求平均值, 从而得到该衍生证券的估计值。

1、亚式算术平均期权定价公式

在本文中，假设标的资产为普通股票，不支付股利，风险中性的世界里，其股票价格游走服从广义维纳过程，风险中性测度下的亚式看涨期权抽象定价为：

C=

其中，r是无风险利率，T是到期日，离散状态下，连续状态下

。期望E的无偏有效估计为样本平均，以平均价格看涨期权为例，因此得到算术平均亚式期权Monte Carlo模拟值为：C=

其中为第i 次模拟的价格算术平均数，N为模拟次数。

三、基于对偶变量技术的蒙特卡罗数值分析

1、方差缩减技术

本文使用传统但很有效的方差缩减技术，即对偶变量，对偶变量控制技术中每一次模拟运算包括计算衍生产品的两个值。第一个值f1是按通常的方式计算得出；第二个值f2是通过改变所有标准正态分布样本的符号计算得出。如果是用来计算f1的一个抽样，那么-则是计算f2的一个抽样。由此计算出的衍生产品的抽样值等于f1和f2的平均值。因为以上两个值中一个高于真实值，另一个就会低于真实值，这就是对偶变量技术的原理。可以定义为f1和f2的平均值=（f1+f2）/2，衍生产品的价格便为所有的平均。如果为的标准差，M为模拟运算的次数，估计值的标准误差为,以上的误差量会远远小于由2M个随机试验所对应的标准误差。

2、正态随机数产生机理

其中生成合适的服从正态分布随机数是蒙卡数值分析关键一步，利用公式=6,可以产生服从一元标准正态分布的近似样本，式中为0~1之间相互独立的随机变量，就是我们所需要的的样本。这一近似在大多数情况下令人满意。该方法的原理是基于Lindbergh-Levy定理，即独立同分布、且数学期望和方差有限的随机变量序列的标准化和以标准正态分布为极限。

3、基于Java语言的蒙特卡罗模拟数值分析实现

在风险中性世界里，标的市场变量服从以下过程：dS S S，其中是一个维纳过程，为标的变量在风险中性世界里的收益率期望，为波动率。为了模拟变量S的路径，我们可以将期权的期限分割成N段长度为的小区间，得到（3）式的离散形式：S（t+）S（t）=S（t）S（t），其中是期望值为0、标准差为1的正态分布中的抽样。于是我们可以从S的初始值计算出S在时的值，并从的值计算出S在2的值，依此类似反复进行，这样通过在正态分布中进行N次抽样实现了对路径的完整模拟。

实际中，对lnS进行抽样一般要比对S进行抽样效率更高，根据伊藤引理，G=lnS 服从的广义维纳过程dlnS=（），离散化形式ln S(t+)lnS(t)=（），等价形式为：S(t+)= S（t）exp[（）]，

那么对于所有的期限T，有S(T)=S（0）exp[（）]成立。如果S为无股息股票价格，那么如果S为汇率，那么，在经典的二叉树讨论

中，现实世界波动率等于风险中性世界波动率。现有一份亚式期权，初试价格50美