演化计算--论文

用郭涛算法计算多目标优化问题
本文将用一个实际的例子讲述如何用郭涛算法计算多目标优化问题，在这里，先简单的介绍一下郭涛算法。

郭涛算法的思想十分简单，但是却是一种很好的演化算法，它对于求解有多个最有解（即有多个“山峰”供爬山的情况）以及求解多目标优化问题是一种十分有效的算法。

下面给出算法的描述。

GT Algorithm:
Begin
P(0):=initialize(X 1(0), X 2(0), X 3(0),…,X n (0));
t:=0; //x i ∈D
evaluate f(D);
X Best :=arg( f(X i )); X Worst :=arg( f(X i )); While |f(X Best )-f(X Worst )|≥εdo //多父体杂交 Select m points X z
’, X 2’ ,X m ’ from p(t) randomly
X ’:=∑a j x j ; //其中使得∑a j ＝1；－0.5≤a j ≤1.5； If f(x ’)<f(X Worst ) then
X Worst := x ’;
Evaluate X Best :=arg( f(X i )); X Worst :=arg( f(X i )); t:=t+1;
end While;
end;
在本算法中，可以作出两点改进的地方：
1、 可以连续选择S 个点，一次淘汰掉S 个点，这样有利于提高效率。

2、 m 可以在|f(X Best )-f(X Worst )|≤ε and m>3 时，每次减1，减少网的大小，以提高效率。

本文中举出的例子是一个简单的多目标优化问题，题目是这样的：
min(f 1(x),f 2(x)),-1《x 《3 , 0《x 《2
其中
{
本例子采用Delphi 5实现通过，其程序界面如图一所示：
MIN 1<=I<=N
MAX 1<=I<=N
J=1 m m J=1 MIN 1<=I<=N MAX 1<=I<=N
f 1(x)＝x 2 f 2(x)＝(x-2)2
图一
其种群大小由用户控制，多目标优化采用给f1、f2加权的办法取总的函数的最小值，权值亦由用户来确定，运行结果由界面可以直接看出。

下面的图二、图三、图四、图五是几种权值和种群大小下的运行结果。

图二图三
图四图五
由以上运行结果可以看出，在种群数为20、30左右时，运行速度教快，为100左右时，稍微慢一点（不过也是较快的，基本感觉不出来）。

在种群数较大，比如为100左右时，相当容易得到精确解，种群数小时，要得到精确解就相对难一点。

下面这个过程是给出郭涛算法中所给出的a j，本例子中只是利用了两个a j,所以本过程是相当简单的。

程序段如下：
procedure assigna(var a:array of real);
//本过程通过随机函数给a数组赋值，
//使得∑a[i]=1并且-0.5<=a[i]<=1.5
label ReAssign;
begin
ReAssign:
a[0]:=(random(200) - 50)/100;
a[1]:=1 - a[0];
if (a[1]>1.5) or (a[1]< -0.5) then
goto ReAssign;
end;
在下面的主体程序中，需要说明的是，本例子中，只是取出两个父体利用郭涛算法进行杂交，杂交所用系数即为上面的过程所求出的a[0]、a[1]。

两个父体的选择上，一个采用已经求出的使总函数最好（即总函数值最小）的x值，即为XBEST，一个则在所有的样本中随机选取。

由于郭涛算法本身教为简单，加上如上说明和程序段中的注释，下面的程序就不难理解了。

procedure TForm1. ComputeClick(Sender: TObject);
var i,m,f1,f2,iBest,iWorst:integer;
a:array[0..1] of real;
p:array of real;
s:string;
x,x1,x2,f,fBest,fWorst,XBest,XWorst:real;
label ReAssign;
begin
m:=StrToInt(Edit3.Text);
SetLength(p,m);
for i:=0 to m -1 do
begin
p[i]:=random(200)/100;
end;
f1:=StrToInt(Edit1.Text);
f2:=StrToInt(Edit2.Text);
//以下选出fWorst,fBest,XBest,XWorst;
fBest:=f1*p[0]*p[0]+f2*(p[0]-2)*(p[0]-2);
fWorst:=fBest;
XBest:=p[0];
XWorst:=p[0];
iBest:=0;
iWorst:=0;
for i:=1 to m-1 do
begin
f:=f1*p[i]*p[i]+f2*(p[i]-2)*(p[i]-2);
if f<fBest then
begin
fBest:=f;
XBest:=p[i];
iBest:=i;
end
else
if f>fWorst then
begin
fWorst:=f;
XWorst:=p[i];
iWorst:=i;
end;
end;
While abs(fBest-fWorst)>0.0001 do
begin
ReAssign:
x1:=XBest;
//x1取使得f最好的x值XBest
//x2则随机取出一个值。

i:=Trunc(Random(m));
x2:=p[i];
Assigna(a);
x:=a[0]*x1+a[1]*x2;
if (x>2) or (x<0) then
GoTo ReAssign;
f:=f1*x*x+f2*(x-2)*(x-2);
if f<fWorst then
begin
p[iWorst]:=x;
fWorst:=f;
for i:=0 to m-1 do
begin
f:=f1*p[i]*p[i]+f2*(p[i]-2)*(p[i]-2);
if f<fBest then
begin
fBest:=f;
XBest:=p[i];
iBest:=i;
end
else
if f>fWorst then
begin
fWorst:=f;
iWorst:=i;
end;
end;
end;
end;
Str(fBest:15:14,s);
Label1.Caption:='演化的结果为：'+S;
Str(XBest:15:14,s);
Label5.Caption:='此时的x值为：'+S;
end;
由以上论述，不难看出，GT（郭涛）算法对于求解多目标优化这一类问题是十分有效的，本文全部程序在Delphi 5平台下测试通过。

软件专业汪小栋 200021971025。