历年《高数1》考题选编

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2003-2004《高等数学Ⅰ(1)》试题及参考答案

2003-2004《高等数学Ⅰ(1)》参考答案一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满15分）1、极限=++∞→xx x x 3sin 212lim 26.2、设函数)(x y y =由方程0sin =+yxe y 所确定,则=dxdycos yye y xe -+.3、=+⎰+∞dx x x121arctan 23/32π.4、函数x x y sin 2-=在[0,/2]π上的最小值为/3π.5、曲线(0,0)b r ae a b θ=>>从0=θ至/2θπ=的一段弧长=l /21)/b e b π-.二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） 1、当0→x 时,变量221sin1x x 是（ D ） (A)无穷大量. (B)无穷小量.(C)有界变量但不是无穷小量. (D)无界变量但不是无穷大量.2、设20()(),0x f x x g x x >=≤⎩其中)(x g 为有界函数,则)(x f 在0=x 处（ D ） (A)极限不存在. (B)极限存在但不连续. (C)连续但不可导. (D)可导.3、设函数)(2x f y =在点1=x 处的自变量增量1.0=∆x 时,对应函数的微分1=dy ,则(1)f '=（ C ）(A)0. (B)1. (C)5. (D)10. 4、设)(x f 在0x x =处二阶可导,且1)(lim-=-'→x x x f x x ,则（ A ） (A)0x 是)(x f 的极大值点. (B)0x 是)(x f 的极小值点. (C)))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点. (D)以上结论均不成立.5、设dx xx I ⎰=101arcsin ,dx x xI ⎰=102arcsin ,则下列结论成立的是（ C ）(A)121≤≤I I . (B)112≤≤I I . (C)211I I ≥≥. (D)121I I ≥≥.三、（满分5分）若矢量,a b 满足3a b ⋅=,{}1,1,1a b ⨯=-,求a 与b 的夹角. 解：设a 和b 的夹角为θ,则{}3cos 3tan 361,1,1sin 3a b a b a b a b a b θπθθθ⎧⋅=⇒=⎪⇒=⇒=⎨⨯=-⇒⨯==⎪⎩.四、（满分5分）若0→x 时,dt t x ⎰303sin 是αβx 的等价无穷小,求βα,.解：330sin x tdt ⎰和x αβ是等价无穷小3234011000040sin 3331limlimlim lim 31x x x x x x x x xx x x αααααβαβαβαβαβ---→→→→-=⎧⋅⎪∴====⇒⎨=⎪⎩⎰34,4αβ⇒==.五、（满分5分）设⎩⎨⎧=+==t y t x x f cos 1)(2,求dx dy ,22dx yd .解：/sin /2dy dy dt tdx dx dt t -==, 22232sin 2cos sin cos 424t t td y t t tt dxtt --==.六、（本题共3小题,(1)(2)每题5分,第三题6分,满分16分） (1)dx x x⎰+1ln . 解：令t =则21x t =-.2222ln(1)222ln(1)2ln(1)21t ttdt t dt t t t dt t t -⋅=-=--⋅-⎰⎰⎰原式＝222211112ln(1)42ln(1)42111t t t dt t t t dt t t t -+⎛⎫=--=---- ⎪--+⎝⎭⎰⎰212ln(1)42ln1t t t t C t -=---++x C =-(2)dx x x ⎰-π042cos cos .解：0sin cos dx x x dx πππ⎰⎰⎰原式＝＝＝/2222020/211sin sin sin sin sin sin 122xd x xd x x x ππππππ-=-=⎰⎰＝ (3)dx xx x x ⎰--+++2224242)1ln(.解：222(28282dx π=-=-⎰⎰⎰原式＝2＝2七、（满分7分）求xx x x e x x 9820sin !81...!211lim -----→. 解：28992890111111...()(1...)12!8!9!2!8!lim 9!x x x x x o x x x x x →++++++-++++=原式＝八、（满分7分）对任意自然数n 及0>x ,证明：n x nxe )1(+>.证：令()(1)xnxF x e n=-+,则111()(1)0()x x n nF x e e F x n n n'=-=->⇒单调增加()(0)0F x F ⇒>=.即(1)(1)xx n nx xe e n n>+⇒>+.九、（满分8分）设cx bx ax x f ++=23)(,已知曲线)(x f y =有拐点(1,2)且在拐点处切线的斜率为-1,求)(x f . 解：2()32,()62f x ax bx c f x ax b '''=++=+，由题意得：3232136209()39828a b c a a b b f x x x x a b c c ++=-=⎧⎧⎪⎪+=⇒=-⇒=-+⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩十、（满分8分）计算n 阶行列式λλλλ++++=n n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a D (3213213)21321. 解：231231231231...........................nin i nin i nn in i nin i a a a a a a a a D a a a a a a a a λλλλλλλ====+++=++++∑∑∑∑ 12()n c c c +++2323231231...1...1..................1...n nni n i n a a a a a a a a a a a a a λλλλ=+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭+∑ 11ni i c a λ=⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑提23311...0 (00) (00)0...nnni n i a a a a a a a λλλλ=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ 1(,2,,)i r r i n -=11nn i i a λλ-=⎛⎫=+⎪⎝⎭∑十一、（满分8分）一高为h 而底为a 和b 的等腰梯形薄板垂直悬在液体中,薄板顶端到液面的距离为c .已知液体的密度为ρ,求薄板所受的压力. 解：如图，直线AB 的方程为：22h a y c x b a ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭则压力元素为：2()b a dP gy xdy a y c gydy h ρρ-⎡⎤=⋅=+-⎢⎥⎣⎦即压力1()[3()(2)]6c hcb a P a yc gydy gh c a b h a b h ρρ+-⎡⎤=+-=+++⎢⎥⎣⎦⎰十二、（附加题,从下面两题中任选一题,每题满分5分） (1)设dt e x f xt ⎰-=12)(,求dx xx f I ⎰=1)(. (2)设)(x f 是],[b a 上的连续函数,)(a f 和)(b f 分别是)(x f 在],[b a 上的最大值和最小值.证明：至少存在一点],[b a ∈ξ,使))(())(()(ξξ-+-=⎰b b f a a f dx x f ba.解及证：(1)112()()2()I f x x x ==-⎰⎰110021xx e dx e ---=-=-=-⎰⎰(2)令()()()()()F x f a x a f b b x =-+-,则()[,]F x C a b ∈.()()()f b f x f a ≤≤()()()()()()()baF a f b b a f x dx f a b a F b ∴=-≤≤-=⎰.由介值定理，至少存在一点[,],()()baa b F f x dx ξξ∈∍=⎰.。

考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(14年)下列曲线中有渐近线的是A．y=x+sinxB．y=x2+sinxC．D．正确答案：C解析：知识模块：高等数学2．(14年)设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上A．当f’(x)≥0时，f(x)≥g(x)B．当f’(x)≥0时，f(x)≤g(x)C．当f”(x)≥0时，f(x)≥g(x)D．当f”(x)≥0时，f(x)≤g(x)正确答案：D解析：由于g(0)=f(0)，g(1)=f(1)，则直线y=f(0)(1一x)+f(1)x过点(x，f(0))和(1，f(1))，当f”(x)≥0时，曲线y=f(x)在区间[0，1]上是凹的，曲线y=f(x)应位于过两个端点(0，f(0))和(1，f(1))的弦y=f(0)(1一x)+f(1)x的下方，即f(x)≤g(x)故(D)．知识模块：高等数学3．(15年)设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其2阶导函数f”(x)的图形如右图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：C解析：由右图知f”(x1)=f”(x2)=0，f”(0)不存在，其余点上二阶导数f”(x) 存在且非零，则曲线y=f(x)最多三个拐点，但在x=x1两侧的二阶导数不变号．因此不是拐点．而在x=0和x=x2两侧的二阶导数变号，则曲线y=f(x)有两个拐点，故(C)．知识模块：高等数学4．(16年)已知函数f(x)=，n=1，2，…，则A．x=0是f(x)的第一类间断点．B．x=0是f(x)的第二类间断点．C．f(x)在x=0处连续但不可导．D．f(x)在x=0处可导．正确答案：D解析：f-’(0)=1，由夹逼原理知即f+’(0)=1．故f(x)在x=0处可导，(D)．知识模块：高等数学5．(87年)求正的常数a与b，使等式正确答案：洛必达法则知由于上式右端分子极限为零，而原式极限为1，则b=1．从而有则a=4．涉及知识点：高等数学6．(87年)设f(x)为已知连续函数，I=f(x)dx，其中s＞0，t＞0．则I的值A．依赖于s和t．B．依赖于s，t，x．C．依赖于t和x，不依赖于5．D．依赖于s，不依赖于t．正确答案：D解析：由此可见，I的值只与s有关，所以(D)．知识模块：高等数学7．(90年)设f(x)是连续函数，且F(x)=，则F’(x)等于A．一e-xf(e-x)一f(x)B．一e-xf(e-x)+f(x)C．e-xf(e-x)一f(x)D．e-xf(e-x)+f(x)正确答案：A解析：由F(x)=可知F’(x)=一e-xf(e-x)一f(x)故(A)．知识模块：高等数学8．(93年)设f(x)=∫0sinxsint2dt，g(x)=x3+x4，则当x→0时，f(x)是g(x)的A．等价无穷小．B．同阶但非等价的无穷小．C．高阶无穷小．D．低阶无穷小．正确答案：B解析：所以，当x→0时，f(x)与g(x)是同阶但非等价的无穷小．知识模块：高等数学9．(93年)双纽线(x2+y2)2=x2一y2所围成的区域面积可用定积分表示为A．B．C．D．正确答案：A解析：设双纽线在第一象限围成的面积为S1，则所求面积为所以(A)．知识模块：高等数学10．(94年)设M=则有A．N＜P＜M．B．M＜P＜N．C．N＜M＜P．D．P＜M＜N．正确答案：D解析：由被积函数的奇偶性可知M=0因此P＜M＜N，故(D)．知识模块：高等数学11．(96年)设f(x)有连续导数，f(0)=0，f’(0)≠0，F(x)=∫0x(x2一t2)f(t)dt，且当x→0时，F’(x)与xk是同阶无穷小，则k等于A．1．B．2．C．3．D．4．正确答案：C解析：F(x)=x2∫0xf(t)dt—∫0xt2f(t)dtF’(x)=2x[f(t)dt+x2f(x)一x2f(x)=2x∫0xf(t)dt由于=f’(0)≠0，而上式右端极限存在且为非零常数，则k=3，所以(C)．知识模块：高等数学填空题12．(14年)设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f’(x)=2(x—1)，x∈[0，2]，则f(7)=________．正确答案：1解析：由f’(x)=2(x一1)，x∈[0，2]知，f(x)=(x一1)2+C．又f(x)为奇函数，则f(0)=0，C=一1．f(x)=(x一1)2一1．由于f(x)以4为周期，则f(7)=f[8+(一1)]=f(一1)=一f(1)=1 知识模块：高等数学13．(16年)设函数f(x)=arctanx一且f’”(0)=1，则a=_____．正确答案：解析：知识模块：高等数学14．(87年)由曲线y=lnx与两直线y=(e+1)一x及y=0所围成的平面图形的面积是_______．正确答案：解析：令lnx=0，得x=1；令e+1一x=0，得x=e+1；令lnx=e+1一x，得x=e．则所求面积为S=∫1elnxdx+∫ee+1(e+1-xdx= 知识模块：高等数学15．(88年)设f(x)是连续函数，且f(t)dt=x，则f(7)=________．正确答案：解析：等式f(t)dt=x两边对x求导，得3x2f(x3一1)=1．令x=2，得知识模块：高等数学16．(89年)设f(x)是连续函数，且f(x)=x+2∫01f(t)dt，则f(x)=_______．正确答案：x一1．解析：令∫01f(t)dt=a，则f(x)=x+2a．将f(x)=x+2a代入∫01f(t)dt=a，得∫01(t+2a)dt=a，即则f(x)=x一1 知识模块：高等数学17．(93年)函数F(x)=的单调减少区间为_______．正确答案：解析：则F(x)单调减少区间为知识模块：高等数学18．(95年)正确答案：解析：所以知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编18(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编18(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(94年)二元函数f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数fx’(x0，y0)，fy’(x0，y0)存在是f(x，y)在该点连续的A．充分条件而非必要条件．B．必要条件而非充分条件．C．充分必要条件．D．既非充分条件又非必要条件．正确答案：D解析：多元函数在一点上连续性与偏导数存在之间没有直接关系，即“连续”未必“偏导数存在”；“偏导数存在”亦未必“连续”．所以D．知识模块：高等数学2．(96年)已知为某函数的全微分，则a等于A．一1．B．0．C．1．D．2．正确答案：D解析：令由于Pdx+Qdy为某个函数的全微分，则即(a一2)x-ay=一2y，(a一2)x=(a一2)y仅当a=2时，上式恒成立．知识模块：高等数学3．(97年)二元函数f(x，y)=在点(0，0)处A．连续，偏导数存在．B．连续，偏导数不存在．C．不连续，偏导数存在．D．不连续，偏导数不存在．正确答案：C解析：令y=kx，则当k不同时，不存在，因而f(x，y)在(0，0)点处不连续，但根据偏导数的定义知同理可得fy’(0，0)=0由此可见，在点(0，0)处f(x，y)的偏导数存在．知识模块：高等数学4．(01年)设函数f(x，y)在点(0，0)附近有定义，且fx’(0，0)=3，fy’(0，0)=1，则A．dz|(0,0)=3dx+dy．B．曲面z=f(x，y)在点(0，0，f(0，0))的法向量为{3．1，1}．C．曲线在点(0，0，f(0，0))的切向量为{1，0，3}．D．曲线在点(0，0，f(0，0))的切向量为{3，0，1}．正确答案：C解析：则该曲线在(0，0，f(0，0))的切向量为{1，0，fx’(0，0)}={1，0，3} 知识模块：高等数学5．(02年)考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用表示可由性质P推出性质Q，则有A．B．C．D．正确答案：A解析：由于f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续是f(x，y)在点(x0，y0)处可微的充分条件，而f(x，y)在点(x0，y0)可微是f(x，y)在点(x0，y0)处连续的充分条件，故A．知识模块：高等数学6．(03年)已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且则A．点(0，0)不是f(x，y)的极值点．B．点(0，0)是f(x，y)的极大值点．C．点(0，0)是f(x，y)的极小值点．D．根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点．正确答案：A解析：由f(x，y)在点(0，0)的连续性及知f(0，0)=0．则f(x，y)一xy+(x2+y2)2+α(x2+y2)2令y=x，得f(x，x)=x2+4x4+4αx4=x2+o(x2)令y=一x,得f(x，一x)=一x2+4x4+4αx4=一x2+o(x2)从而f(x，y)在(0，0)点的邻域内始终可正可负，又f(0，0)=0，由极值定义可知f(x，y)在(0，0)点没有极值，故(A)．知识模块：高等数学7．(05年)设函数u(x，y)=φ(x+y)+φ(x-y)+∫x-yx+yφ(t)dt，其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有A．B．C．D．正确答案：B解析：令φ(x)=x2，ψ(x)≡0，则u(x，y)=(x+y)2+(x—y)2=2x2+2y2从而则(A)(C)(D)均不正确，故(B)．知识模块：高等数学8．(05年)设有三元方程xy—zlny+exx=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程A．只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x，y)．B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x，z)和z=z(x，y)．C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和z=z(x，y)．D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和y=y(x，z)．正确答案：D解析：令F(x，y，z)=xy—zlny+exz一1显然，F(x，y，z)在点(0，1，1)的邻域内有连续一阶偏导数，且F(0，1，1)=0，Fx’(0，1，1)=2≠0，Fy’(0,1，1)=一1≠0，由隐函数存在定理知方程xy—zlny+exz=1可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和y=(x，z)，故(D)．知识模块：高等数学9．(06年)若f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0。

考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编25(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编25(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(08年)在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是A．y”‘+y”一4y’一4y=0．B．y”‘+y”+4y’+4y=0．C．y”‘一y”一4y’+4y=0．D．y”‘一y”+4y’一4y=0．正确答案：D解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1=1，ρ2，3=±2i则其特征方程为(ρ一1)(ρ2+4)=0，故所求方程应为y”‘一y”+4y’一4y=0故(D)．知识模块：高等数学2．(15年)设y=是二阶常系数非齐次线性微分方程y”+ay’+by=cex的一个特解，则A．a=一3，b=2，c=一1．B．a=3，b=2，c=一1．C．a=一3，b=2，c=1．D．a=3，b=2，c=1．正确答案：A解析：由是方程y”+ay’+by=cex的一个特解可知，y1=e2x，y2=ex是齐次方程的两个线性无关的解，y*=xex是非齐次方程的一个解．1和2是齐次方程的特征方程的两个根，特征方程为(ρ一1)(ρ一2)=0即ρ2—3ρ+2=0则a=一3，b=2将y=xex代入方程y”一3y’+2y=cex得c=一1．故(A)．知识模块：高等数学3．(16年)若y=(1+x2)2一是微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)= A．3x(1+x2)．B．一3x(1+x2)．C．D．正确答案：A解析：利用线性微分方程解的性质与结构．由是微分程y’+p(x)y=q(x)的两个解，知y1=y2是y’+p(x)y=0的解．故(y1—y2)’+p(x)(y1一y2)=0，即从而得p(x)=又是微分方程y’+p(x)y=q(x)的解，代入方程，有[(1+x2)2]’+p(x)(1+x2)2=q(x)，解得q(x)=3x(1+x2)．因此(A)．知识模块：高等数学4．(96年)4阶行列式的值等于A．a1a2a3a4一b1b2b3b4B．a1a2a3a4+b1b2b3b4C．(a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)D．(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)正确答案：D解析：按第1行展开所求行列式D4，得=(a2a3一b2b3)(a1a4一b1b4)．知识模块：线性代数5．(14年)行列式A．(ad—bc)2B．一(ad—bc)2C．a2d2一b2c2D．b2c2一a2d2正确答案：B解析：按第1列展开，得所求行列式D等于=一ad(ad一bc)+be(ad一bc)=一(ad一bc)2 知识模块：线性代数6．(87年)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|=a≠0，而A*是A的伴随矩阵，则|A*|等于A．aB．C．an+1D．an正确答案：C解析：由AA*=|A|E两端取行列式，得|A||A*|=|A|n，因|A|=a≠0，得|A*|=|A|n-1=an-1．知识模块：线性代数7．(91年)设n阶方程A、B、C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位阵，则必有A．ACB=EB．CBA=EC．BAC=ED．BCA=E正确答案：D解析：因为ABC=E，即A(BC)=E，故方阵A与BC互为逆矩阵，从而有(BC)A=E，即BCA=E．知识模块：线性代数填空题8．(06年)微分方程的通解是______．正确答案：y=Cxe-x．解析：ln|y|=ln|x|—x=ln|x|+lne-x=ln|x|e-x则y=Cxe-x．知识模块：高等数学9．(07年)二阶常系数非齐次线性微分方程y”一4y’+3y=2e2x的通解为y=________．正确答案：y=C1e2+C2e3x一2e2x．解析：齐次方程特征方程为ρ2—4ρ+3=0解得ρ1=1，ρ2=3，则齐次方程通解为y=C1ex+C2e3x设非齐方程特解为代入原方程得A=一2，则原方程通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x 知识模块：高等数学10．(08年)微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=______．正确答案：解析：方程xy’+y=0是一个变量可分离方程，原方程可改写为知识模块：高等数学11．(09年)若二阶常系数线性齐次微分方程y”+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y”+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为y=_______．正确答案：y=一xex+x+2．解析：由于y=(C1+C2x)ex是方程y”+ay’+by=0的通解，则该方程的两个特征根为λ1=λ2=1，故a=一2，b=1．设非齐次方程y”一2y’+y=x的特解为y’=Ax+B代入方程得A=1，B=2，则其通解为y=(C1+C2x)ex+x+2由y(0)=2，y’(0)=0得，C1=0，C2=一1．所以y=一xex+x+2 知识模块：高等数学12．(11年)微分方程y’+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=______．正确答案：e-xsinx．解析：由一阶线性方程的通解公式得y=e-∫dx[∫e-xcosx.e∫dxdx+C]=e-x[∫cosxdx+C]=e-x[sinx+C]由y(0)=0知，C=0，则y=e-xsinx 知识模块：高等数学13．(12年)若函数f(x)满足方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0及f”(x)+f(x)=2ex，则f(x)=_______。

自考高数一历年试题及答案

自考高数一历年试题及答案自考高等数学（一）历年试题及答案一、选择题1. 下列函数中，不是周期函数的是（）。

A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = x^2答案：C2. 函数f(x) = x^3在区间（-1,2）上的最大值是（）。

A. 1B. 8C. -1D. 2答案：B3. 微分方程dy/dx - y = 0的通解是（）。

A. y = Ce^xB. y = Cxe^xC. y = CxD. y = e^x答案：A4. 若函数f(x) = 2x - 3在点x=1处的导数为1，则该函数在此处的切线斜率为______。

答案：15. 定积分∫₀¹ x² dx的值为______。

答案：1/3三、解答题6. 求函数f(x) = 3x² - 2x + 5的极值。

解答：首先求导数f'(x) = 6x - 2。

令f'(x) = 0，解得x = 1/3。

在x = 1/3处，f(x)取得极小值，计算得f(1/3) = 14/3。

7. 已知某工厂生产函数为Q = 2L²/3 + 3K，其中L为劳动投入，K为资本投入。

求劳动对产量的边际贡献。

解答：首先求产量对劳动的偏导数，即边际贡献。

对Q关于L求偏导得：dQ/dL = 4L/3。

这就是劳动对产量的边际贡献。

四、证明题8. 证明函数f(x) = x³ - 6x在区间（-2, 2）上是增函数。

证明：求导数f'(x) = 3x² - 6。

要证明f(x)在区间（-2, 2）上是增函数，需要证明f'(x)在该区间内恒大于0。

观察f'(x) = 3x² - 6，可以发现在x = ±√2时，f'(x) = 0。

在区间（-2, -√2）和（√2, 2）内，f'(x) > 0，而在区间（-√2, √2）内，f'(x) < 0。

考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编19(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编19(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(10年)设函数z=z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且F2’≠0，则A．x．B．z．C．一x．D．一z．正确答案：B解析：由隐函数求导公式得知识模块：高等数学2．(11年)设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)＞0，f’(0)=0，则函数z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是A．f(0)＞1，f”(0)＞0．B．f(0)＞1，f”(0)＜0．C．f(0)＜1，f”(0)＞0．D．f(0)＜1，f”(0)＜0．正确答案：A解析：则AC—B2＞0,故(A)．知识模块：高等数学3．(12年)如果f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是A．若极限存在，则f(x，y)在(0，0)处可微．B．若极限存在，则f(x，y)在(0，0)处可微．C．若f(x，y)在(0，0)处可微，则极限D．若f(x，y)在(0，0)处可微，则极限正确答案：B 涉及知识点：高等数学4．(13年)曲面x2+cos(xy)+yz+x=0在点(0，1，一1)处的切平面方程为A．x—y+z=一2．B．x+y+z=0．C．x一2y+z=一3．D．x—y—z=0．正确答案：A解析：令F(x，y，z)=x2+cos(xy)+yz+x，则n={2x—ysin(xy)+1，一xsin(xy)+x，y)|(0,1,-1)={1，一1，1}则所求切平面方程为x一(y一1)+(z+1)=0即x—y+2=一2 知识模块：高等数学5．(88年)设有空间区域Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0；及Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0，则A．B．C．D．正确答案：C解析：由于(C)选项中的被积函数f(x，y，z)=z既是x的偶函数，也是y的偶函数，而积分域Ω1既关于yOz坐标面前后对称，又关于xOz坐标面左右对称，则知识模块：高等数学6．(91年)设D是xOy平面上以(1，1)，(一1，1)和(一1，一1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则(xy+cosxsiny)dxdy等于A．B．C．D．正确答案：A解析：如图2．8，△OAB所围区域记为D2，△OBC所围区域记为D3．由于xy关于x是奇函数，积分域D2关于y轴对称，则又cosxsiny是y的奇函数，D3关于x轴对称，则又cosxsiny是x的偶函数，D2关于y轴对称，则从而有知识模块：高等数学填空题7．(11年)设函数F(x，y)=正确答案：4解析：知识模块：高等数学8．(12年)正确答案：(1，1，1)．解析：知识模块：高等数学9．(14年)曲面z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)在点(1，0，1)处的切平面方程为______．正确答案：2x—y—z=1．解析：由z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)得zx’=2x(1一siny)一y2cosx，zx’(1，0)=2zy’=一x2cosy+2y(1一sinx)，zy’(1，0)=一1所以，曲面z=x2(1一siny)+y2(1一sinx)在点(1，0，1)处的法向量为[*738]=(2，一1，一1)，该点处切平面方程为2(x一1)一y一(z一1)=0,即2x—y—z=1．知识模块：高等数学10．(15年)若函数z=z(x，y)由方程ez+xyz+z+cosx=2确定，则dz|(0,1)=_______．正确答案：一dx．解析：将x=0，y=1代入ez+xyz+x+cosx=2中得ez+1=2，则z=0方程ez+xyz+x+cosx=2两端微分得ezdz+yzdx+xzdy+xydz+dx—sinxdx=0将x=0，y=1，z=0代入上式得dx+dz=0则dz|(0,1)=一dx 知识模块：高等数学11．(16年)设函数f(u，v)可微，z=z(x，y)由方程(x+1)z-y2=x2f(x-z，y)确定，则dz|(0,1)=________，正确答案：一dx+2dy．解析：由原方程知，当x=0，y=1时，z=1．方程(x+1)z—y2=x2f(x—z，y)两边求全微分zdx+(x+1)dz一2ydy=2xf(x—z，y)dx+x2[f1’.(dx—dz)+f2’dy]将x=0，y=1，z=1代入上式得dz|(0,1)=一dx+2dy 知识模块：高等数学12．(87年)设L为取正向的圆周x2+y2=9，则曲线积分(2xy一2y)dx+(x2一4x)dy的值是______.正确答案：一18π．解析：由格林公式可知知识模块：高等数学13．(89年)向量场u(x，y，z)=xy2i+yezj+xln(1+x2)k在点P(1，1，0)处的散度divu=_____．正确答案：2解析：由散度计算公式其中u=Pi+Qj+Rk得知识模块：高等数学14．(89年)设平面曲线L为下半圆周则曲线积分∫L(x2+y2)ds=_______．正确答案：π解析：由于下半圆周上的点(x，y)也满足x2+y2=1，则知识模块：高等数学15．(90年)积分∫02dx∫x2的值等于______．正确答案：解析：交换累次积分次序得知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

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《高等数学(一) 》复习资料一、选择题1. 若23lim53x x x kx →-+=-，则k =（） A. 3- B.4- C.5- D.6-2. 若21lim21x x kx →-=-，则k =（） A. 1 B.2 C.3 D.43. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的切线方程为( ) A.22y x =+ B.22y x =-+ C.23y x =+ D.23y x =-+4. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的法线方程为( ) A.122y x =+ B.122y x =-+ C.132y x =+ D.132y x =-+5. 211limsin x x x→-=( ) A.0 B.3 C.4 D.56.设函数0()(1)(2)xf x t t dt =+-⎰，则(3)f '=（）A 1B 2C 3D 47. 求函数43242y x x =-+的拐点有（）个。

A 1 B 2 C 4 D 08. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（）。

A. sin xB. 1x eC. 211x x +- D. arctan x9.已知'(3)=2f ，0(3)(3)lim2h f h f h→--=( ) 。

A. 32 B. 32- C. 1 D. -110. 设42()=35f x x x -+,则(0)f 为()f x 在区间[2,2]-上的（）。

A. 极小值B. 极大值C. 最小值D. 最大值11. 设函数()f x 在[1,2]上可导，且'()0,(1)0,(2)0,f x f f <><则()f x 在(1,2)内( )A.至少有两个零点B. 有且只有一个零点C. 没有零点D. 零点个数不能确定 12.[()'()]f x xf x dx +=⎰( ).A.()f x C +B. '()f x C +C. ()xf x C +D. 2()f x C +13. 已知22(ln )y f x =，则y '=( C )A.2222(ln )(ln )f x f x x 'B. 24(ln )f x x 'C. 224(ln )(ln )f x f x x' D. 222(ln )()f x f x x '14. ()d f x ⎰=( B)A.'()f x C +B.()f xC.()f x 'D.()f x C +15.2ln xdx x =⎰( D )A.2ln x x C +B.ln xC x+ C.2ln x C + D.()2ln x C + 16. 211limln x x x→-=( ) A.2 B.3 C.4 D.517. 设函数0()(1)(2)xf x t t dt =-+⎰，则(2)f '-=（）A 1B 0C 2-D 2 18. 曲线3y x =的拐点坐标是( )A.(0,0)B.( 1,1)C.(2,2)D.(3,3)19. 已知(ln )y f x =，则y '=( A )A.(ln )f x x ' B.(ln )f x ' C.(ln )f x D.(ln )f x x20. ()d df x =⎰( A)A.()df xB.()f xC.()df x 'D.()f x C +21. ln xdx =⎰( A )A.ln x x x C -+B.ln x x C -+C.ln x x -D.ln x二、求积分（每题8分，共80分）1．求cos ⎰．2. 求dx x⎰． 3. 求arctan xdx ⎰．4. 求⎰5. 求2356x dx x x +-+⎰．6. 求定积分8⎰7. 计算20cos x xdx π⎰．8. 求2128dx x x +-⎰．9. 求11. 求2212x xe dx -⎰12. 求3x⎰13. 求21ln exdx x⎰14.求⎰三、解答题1. 若(1lim 36x x →∞=,求a2.讨论函数321()2333f x x x x =-+-的单调性并求其单调区间3. 求函数22()2x x f x x --=-的间断点并确定其类型4. 设2sin ,.xy xy x e y '+=求5.求y =6. 求由方程cos sin x a ty b t =⎧⎨=⎩ 确定的导数x y '.7. 函数1,0()1,0tan ,0xe xf x x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩在0x =处是否连续？8. 函数1,0()1,0tan ,0xe xf x x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩在0x =处是否可导？9. 求抛物线2y x =与直线y x =所围成图形D 的面积A .10. 计算由抛物线22y x =与直线4y x =-围成的图形D 的面积A .11. 设y 是由方程sin yy y xe =+确定的函数，求y '12.求证： ln 1,1x x x <->13. 设y 是由方程1yy xe =+确定的函数，求y '14. 讨论函数32()29123f x x x x =-+-的单调性并求其单调区间15.求证： 21,x e x >-16. 求函数3(1)()x x f x x x -=-的间断点并确定其类型五、解方程1. 求方程0)(22=-+dy xy x dx y 的通解.2.求方程20yy y '''+=的通解.3. 求方程22y y y x '''-+=的一个特解. 4. 求方程3595xy y y xe -'''-+=的通解.高数一复习资料参考答案一、选择题 1-5： DABAA 6-10：DBCDD 11-15： BCCBD 16-21：ABAAAA二、求积分1．求cos ⎰．解：322cos (sin )sin 3x x C C ==+=⎰2. 求．解：13(43ln )(ln )x d x x =+⎰⎰131(43ln )(43ln )3x d x =+⋅+⎰ 431(43ln )4x C =++． 3. 求arctan xdx ⎰．解：设arctan u x =，dv dx =，即v x =，则arctan arctan (arctan )xdx x x xd x =-⎰⎰2arctan 1xx x dx x =-+⎰ 21arctan ln(1)2x x x C =-++．4. 求⎰解：32222e 33e 3e 3e 23e 6e t t t t t t x t t dt t dt t tdt t t dt ===-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰223e 6e 6e 3e 6e 6e t t t t t t t t dt t t C =-+=-++⎰2)C=+．5. 求2356xdxx x+-+⎰．解：由上述可知23565623xx x x x+-=+-+--，所以2356()5623xdx dxx x x x+-=+-+--⎰⎰115623dx dxx x=-+--⎰⎰5ln26ln3x x C=--+-+．6.求定积分8⎰解t=，即3x t=，则23dx t dt=，且当0x=时，0t=；当8x=时，2t=，于是28222000313ln(1)3ln312t dtt t tt⎡⎤==-++=⎢⎥+⎣⎦⎰⎰．7. 计算2cosx xdxπ⎰．解：令2u x=，cosdv xdx=，则2du xdx=，sinv x=，于是2220000cos sin(sin)2sin2sinx xdx x d x x x x xdx x xdxπππππ==-=-⎰⎰⎰⎰．再用分部积分公式，得2000cos2cos2(cos)cosx xdx xd x x x xdxππππ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰002(cos)sin2x x xπππ⎡⎤=-=-⎣⎦．8. 求2128dxx x+-⎰．解：221113(1)(1)ln28(1)963(1)xdx d x Cx x x x-+=+=++-+-++⎰⎰12ln64xCx-=++．9.求解：令u=32x u=-，23dx u du=，从而有22311311u udu duu u-+==++⎰⎰213(1)3(ln1)12uu du u u Cu=-+=-++++⎰11. 求2212xxe dx-⎰解：2222222411112x x xxe dx e dx e e e-----===-⎰⎰12.求3x⎰解：333223(3)(3)3x x x C=--=--+⎰13. 求21lne x dxx⎰解：22111ln111ln(ln)ln ln333ee exdx xd x x ex====⎰⎰14.求⎰解：3322222121(3)(3)(3)233x x C x C=--=-⋅-+=--+⎰三、解答题1.若(1lim36xx→∞=,求a解：因为223x=，所以9a=否则极限不存在。

高等数学1试卷(附答案)汇编

一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）1．由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是π。

2．设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =，则2y dy dx x=-。

3．函数2sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2441()3x x o x -+。

4．11dx =⎰。

5．函数x x y cos 2+=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上的最大值为6π+。

6． 222222lim 12n nn n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭=4π。

二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分）1. 设21cos sin ,0()1,0x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩，则0x =是()f x 的 D 。

A ．可去间断点 B ．跳跃间断点 C ．振荡间断点 D ．连续点2. 设()232x x f x =+-，则当0x →时，下列结论正确的是 B 。

A ．是等价无穷小与x x f )(B ．同阶但非等价无穷小与x x f )(C ．高阶的无穷小是比x x f )(D ．低阶的无穷小是比x x f )(3.1+∞=⎰C 。

A ．不存在B ．0C ．2πD ．π4. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0lim ()1x f x →''=-，则下列叙述正确的是 A 。

A ．(0)f 是()f x 的极大值B ．(0)f 是()f x 的极小值C ．(0)f 不是()f x 的极值D ．(0)f 是()f x 的最小值5.曲线2xy d t π-=⎰的全长为 D 。

A ．1B ．2C ．3D ．46. 当,a b 为何值时，点( 1, 3 )为曲线32y ax bx =+的拐点？ A 。

A ．32a =-，92b = B. 32a =，92b =- C ．32a =-，92b =- D. 32a =，92b = 7. 曲线2xy x -=⋅的凸区间为 D 。

考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．曲线A．没有渐近线．B．仅有水平渐近线C．仅有铅直渐近线．D．既有水平渐近线也有铅直渐近线．正确答案：D解析：因为，则原曲线有水平渐近线y=1，又，则原曲线有铅直渐近线x=0，所以应选(D)．知识模块：高等数学2．设f(x)==x3+x4，则当x→0时，f(x)是g(x)的A．等价无穷小．B．同阶但非等价无穷小．C．高阶无穷小．D．低阶无穷小．正确答案：B解析：则应选(B)．知识模块：高等数学3．设周期函数f(x)在(一∞，+∞)内可导，周期为4，又，则曲线y=f(x)在点(5，f(5))处的切线斜率为A．B．0．C．一1．D．一2．正确答案：D解析：则f’(1)=一2，由f’(x)周期性知，f’(5)=f’(1)=一2故应选(D)．知识模块：高等数学4．设在区间[a，b]上f(x)＞0，f’(x)＜0，f”(x)＞0，令S1=，S2=f(b)(b一a)，S3=则A．S1＜S2＜S3．B．S2＜S1＜S3．C．S3＜S1＜S2．D．S2＜S3＜S1．正确答案：B解析：由题设可知，在[a，b]上，f(x)＞0单调减，曲线y=f(x)上凹，如图1．4．S1表示y=f(x)和x=a，x=b及x轴围成曲边梯形面积，S2表示矩形abBC的面积，S3表示梯形AabB的面积．由图1．4可知，S2＜S1＜S3．故应选(B)．知识模块：高等数学5．若f(一x)=f(x)，(一∞＜x＜+∞)，在(一∞，0)内f’(x)＞0，且f”(x)＜0，则在(0，+∞)内A．f’(x)＞0，f”(x)＜0．B．f’(x)＞0，f”(x)＞0．C．f’(x)＜0，f’(x)＜0．D．f’(x)＜0，f”(x)＞0．正确答案：C解析：由f(-x)=f(x)知，f(x)为偶函数，而由在(一∞，0)内f’(x)＞0，且f”(x)＜0知在(一∞，0)内，y=f(x)的图形下凹单调增，则如图1．5可知，f(x)在(0，+∞)内，f’(x)＜0，f”(x)＜0，则应选(C)．知识模块：高等数学6．设随机变量X的密度函数是φ(x)，且φ(一x)=φ(x)，F(x)是X的分布函数，则对任意实数a，有A．B．C．F(一a)=F(a)．D．F(一a)=2F(a)一1．正确答案：B解析：由φ(一x)=φ(x)知，φ(x)为偶函数．其图形关于y轴对称，如图1．6由几何意义可知，F(一a)=S1 知识模块：高等数学7．设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0，1)和N(1，1)，则A．P{X+Y≤0}=B．P{X+Y≤1}=C．P{X—Y≤0)=D．P{X—Y≤1}=正确答案：B解析：由于独立正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态，则由正态分布的几何意义知，正态分布的密度函数关于均值左右对称，则其小于均值的概率为，则故应选(B)．知识模块：高等数学8．设函数y=f(x)具有二阶导数，且f’(x)＞0，f”(x)＞0，△x为自变量x在点x0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则A．0＜dy＜△y．B．0＜△y＜dy．C．△y＜dy＜0．D．dy＜△y＜0．正确答案：A解析：令f(x)=x2，在(0，+∞)上，f’(x)=2x＞0，f”(x)=2＞0，以x0=1，则dy=2△x，△y=f(1+△x)一f(1)=(1+△x)2一12=2△x+(△x)2由于△x＞0，则0＜dy ＜△y，从而(B)(C)(D)均不正确，故应选(A)．知识模块：高等数学9．设函数u(x，y)=φ(x+y)+φ(x—y)+，其中φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有A．B．C．D．正确答案：B解析：令φ(x)=x2，ψ(x)≡0则u(x，y)=(x+y)2+(x—y)2=2x2+2y2．那么，由此可知，选项(A)(C)(D)均不正确，故应选(B)．知识模块：高等数学10．设f(x)为连续函数，F(t)=，则F’(2)等于A．2f(2)．B．f(2)．C．一f(2)．D．0．正确答案：B解析：令f(x)≡1，则F’(t)=2t—l—t=t一1，F’(2)=2—1=1显然(A)(C)(D)均不正确，故应选(B)．知识模块：高等数学11．设函数f(x)在区间(一δ，δ)内有定义，若当x∈(一δ，δ)时，恒有｜f(x)｜≤x2，则,x=0必是f(x)A．间断点．B．连续而不可导的点．C．可导的点，且f’(0)=0．D．可导的点，且f’(0)≠0．正确答案：C解析：令f(x)=x3，显然x∈(一δ，δ)时，｜f(x)｜=｜x3｜≤x3．且f’(x)=3x2，f’(0)=0，则(A)(B)(D)均不正确，故应选(C)．知识模块：高等数学12．已知f(x)在x=0某邻域内连续，且f(0)=0，=2，则在点x=0处f(x)A．不可导．B．可导且f’(x)≠0．C．取得极大值．D．取得极小值．正确答案：D解析：由于当x→0时，1一cosx～，所以令f(x)=x2，则f(x)符合原题设条件．而f(x)=x2在x=0处可导，f’(0)=0，取极小值，则(A)(B)(C)均不正确，故应选(D)．知识模块：高等数学13．设f(x)的导数在x=a处连续，又=一1，则A．x=a是f(x)的极小值点．B．x=a是f(x)的极大值点．C．(a，f(a))是曲线y=f(x)的拐点．D．x=a不是f(x)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点．正确答案：B解析：若取f’(x)=一(x一a)，即令f(x)=，则显然f(x)符合原题条件，f(x)=一(x一a)2在x=0取极大值，且(a，f(a))也不是y=一(x一a)2的拐点，则(A)(C)(D)均不正确，故应选(B)．知识模块：高等数学14．设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则A．当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数．B．当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数．C．当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数．D．当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数．正确答案：A解析：令f(x)=cosx+1，F(x)=sinx+x+1．显然f(x)是偶函数，周期函数，但F(x)不是奇函数，也不是周期函数，则(B)(C)均不正确．若令f(x)=x，F(x)=，则f(x)单调增，但F(x)不单调增，因此，(D)也不正确，故应选(A)．知识模块：高等数学15．设f(x)处处可导，则A．B．C．D．正确答案：A解析：令f(x)=x，则f’(x)≡1则(B)和(D)均不正确若令f(x)=x2，则f’(x)=2x 所以(C)也不正确，故应选(A)．知识模块：高等数学16．设f(x)有连续导数，f(0)=0，f’(0)≠0，F(x)=，且当x→0时，F’(x)与xk是同阶无穷小，则k等于A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：由f(0)=0，f’(0)≠0．取f(x)=x则F’(x)=x3．由x→0时，F’(x)与xk 是同阶无穷小，知k=3，从而，(A)(B)(D)均不正确，故应选(C)．知识模块：高等数学17．设f(x)在x=a处可导，则等于A．f’(a)．B．2f’(a)．C．0D．f’(2a)．正确答案：B解析：令f(x)=x，则但f’(x)=1，从而f’(a)=f’(2a)=1，则(A)(C)(D)均不正确，故应选(B)．知识模块：高等数学18．若连续函数f(x)满足关系式则f(x)等于A．exln2B．e2xln2．C．ex+ln2．D．e2x+ln2．正确答案：B解析：由f(x)=知f(0)=ln2 (1)f’(x)=2f(x) (2)显然(C)(D)选项不符合(1)式，(A)选项不符合(2)式，故应选(B)．知识模块：高等数学19．设f(x)和φ(x)在(一∞，+∞)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则A．φ[f(x)]必有间断点．B．[φ(x)]2必有间断点．C．f[φ(x)]必有间断点．D．必有间断点．正确答案：D解析：令显然f(x)和φ(x)符合原题条件，而φ[f(x)]=1，φ2(x)=1，f[φ(x)]=2均无间断点，则(A)(B)(C)均不正确，故应选(D)．知识模块：高等数学20．若f(x)=一f(一x)，在(0，+∞)内，f’(x)＞0，f”(x)＞0，则f(x)在(一∞，0)内A．f’(x)＜0，f”(x)＜0B．f’(x)＜0，f”(x)＞0C．f’(x)＞0，f”(x)＜0D．f’(x)＞0，f”(x)＞0正确答案：C解析：由原题设可令f(x)=x3，显然f(x)符合原题条件，而在(一∞，0)内，f’(x)=3x2＞0，f”(x)=6x＜0．则(A)(B)(D)均不正确，故应选(C)．知识模块：高等数学21．设f’(x0)=f”(x0)=0，f’’’(x0)＞0，则下列选项正确的是A．f’(x0)是f’(x)的极大值．B．f(x0)是f(x)的极大值．C．f(x0)是f(x)的极小值．D．(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点．正确答案：D解析：由题设f’(x0)=f”(x0)=0，f’’’(x0)＞0．可令f(x)=(x—x0)3显然此f(x)符合原题条件，而f’(x)=3(x—x0)2显然f’(x0)是f’(x)极小值而不是极大值，则(A)不正确，又f(x0)=0，而在x0任何邻域内f(x)可正也可负，从而f(x0)不是f(x)的极值点，因此(B)和(C)也不正确，故应选(D)．知识模块：高等数学22．设f(x)连续，则=A．xf(x2)．B．一xf(x2)．C．2xf(x2)．D．一2xf(x2)．正确答案：A解析：令f(x)≡1，则=x显然(B)(C)(D)均不正确，故应选(A)．知识模块：高等数学23．设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(x)＞0，则方程=0在开区间(a，b)内的根有A．0个．B．1个．C．2个．D．无穷多个．正确答案：B解析：由题设条件，可令f(x)≡1，此时方程=0变为(x—a)+(x一b)=0，即2x一(a+b)=0．该方程在(a，b)内有且仅有一个实根x=，则(A)(C)(D)均不正确，故应选(B)．知识模块：高等数学24．设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f’(0)存在，则函数g(x)=A．在x=0处，左极限不存在．B．有跳跃间断点x=0．C．在x=0处，右极限不存在．D．有可去间断点x=0．正确答案：D解析：令f(x)=x，显然f(x)满足原题条件，而g(x)=．显然(A)(B)(C)均不正确，故应选(D)．知识模块：高等数学25．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则A．当m＞n时，必有行列式｜AB｜≠0B．当m＞n时，必有行列式｜AB｜=0C．当n＞m时，必有行列式｜AB｜≠0D．当n＞m时，必有行列式｜AB｜=0正确答案：B解析：用排除法：当m＞n时，若A=，B=[3，4]，则有｜AB｜==0，故(A)不对；当n＞m时，若A=[1 2]，B=，则有｜AB｜=0，故(C)不对；当n＞m时，若A=[1 2]，B=，则有｜AB｜=3≠0，故(D)不对；因此，只有(B)正确．知识模块：高等数学26．设有向量组α1=(1，一1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，一2，2，0)，α5=(2，1，5，10)．则该向量组的极大无关组是A．α1，α2，α3．B．α1，α2，α4．C．α1，α2，α5．D．α1，α2，α4，α5．正确答案：B解析：观察易知α3=3α1+α2，α5=2α1+α2故(A)(C)都是线性相关组，(A)(C)都不对．当(C)组线性相关时，(D)组也线性相关，故(D)也不对，于是只有(B)正确．知识模块：高等数学27．设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则(A*)*等于A．｜A｜n-1A．B．｜A｜n+1A．C．｜A｜n-2A．D．｜A｜n+2A．正确答案：C解析：令A=，显然A符合原题条件，由伴随矩阵定义易知而｜A｜=2，则｜A｜n-1=2，｜A｜n+1=8，｜A｜n+2=16．故(A)(B)(D)均不正确，故应选(C)．知识模块：高等数学填空题28．=__________。

考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编11(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编11(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，c1，c2是任意常数，则该非齐次方程的通解是A．c1y1+c2y2+y3B．c1y1+c2y2一(c1+c2)y3C．c1y1+c2y2一(1一c1—c2)y3D．c1y1+c2y2+(1一c1一c2)y3正确答案：D解析：由于(D)中的y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3=C1(y1—y3)+C2(y2一y3)+y3其中y1一y3和y2一y3是对应的齐次方程的两个解，且y1一y3与y2一y3线性无关．事实上，若令A(y1一y3)+B(y2—y3)=0即Ay1+By2一(A+B)y3=0由于y1，y2，y3线性无关，则A=0，B=0，一(A+B)=0因此y1—y3与y2一y3线性无关，故y=C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3是原方程通解。

知识模块：高等数学2．若连续函数f(x)满足关系式，则f(x)等于A．exln2B．e2xln2C．ex+ln2D．e2x+ln2正确答案：B解析：等式两边求导得f’(x)=2f(x)解此方程得f(x)=Ce2x由原方程可知f(0)=ln2，代入f(x)=Ce2x得C=In2．故f(x)=e2xln2 知识模块：高等数学3．设曲线积分与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于A．B．C．D．正确答案：B解析：知识模块：高等数学4．已知函数y=y(x)在任意点x处的增量，且当△x→0时，α是△x的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)等于A．2πB．πC．D．正确答案：D解析：知识模块：高等数学5．在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是A．y’’’+y”-4y’一4y=0．B．y’’’+y”+4y’+4y=0．C．y’’’一y”一4y’+4y=0．D．y’’’一y”+4y’一4y=0．正确答案：D解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1=1，ρ2，3=±2i则其特征方程为(ρ一1)(ρ2+4)=0，故所求方程应为y’’’一y”+4y’一4y=0故应选(D)．知识模块：高等数学6．设是二阶常系数非齐次线性微分方程y”+ay’+by=cex的一个特解，则A．a=一3，b=2，c=一1．B．a=3，b=2，c=一1．C．a=一3，b=2，c=1．D．a=3，b=2，c=1．正确答案：A解析：由是方程y”+ay’+by=cex的一个特解可知，y1=e2x，y2=ex是齐次方程的两个线性无关的解，y*=xex是非齐次方程的一个解．1和2是齐次方程的特征方程的两个根，特征方程为(ρ—1)(ρ一2)=0即p2—3ρ+2=0则a=-3，b=2将y=xex代入方程y”一3y’+2y=cex得c=一1．故应选(A)．知识模块：高等数学填空题7．微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=__________．正确答案：(x+c)cosx．解析：由线性方程通解公式得知识模块：高等数学8．y”一4y=e2x的通解为y=_____________．正确答案：解析：特征方程为λ2一4=0，则λ1=一2，λ2=2，从而齐次方程的解为知识模块：高等数学9．微分方程xy”+3y’=0的通解为___________．正确答案：解析：令y’=p，则y”=p’．代入原方程得解得因此知识模块：高等数学10．设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_____________．正确答案：y”一2y’+2y=0．解析：所求方程的特征根为λ1，2=1±i则其特征方程为λ2一2λ+2=0故所求方程为y”一2y’+2y=0 知识模块：高等数学11．微分方程yy”+y’2=0满足初始条件的特解是____________．正确答案：y2=x+1或解析：令y’=P，则，代入原方程得知识模块：高等数学12．欧拉方程的通解为____________．正确答案：解析：令x=et 代入原方程所得新方程的特征方程为ρ(ρ一1)+4ρ+2=0解得ρ1=一1，ρ2=一2则新方程通解为y=C1e-t+C2e-2t，将x=et代入得原方程通解为．知识模块：高等数学13．微分方程xy’+2y=xlnx满足的解为___________．正确答案：解析：方程xy’+2y=xlnx是一阶线性方程，方程两端同除以x得：，则通解为知识模块：高等数学14．二阶常系数非齐次线性微分方程y”一4y’+3y=2e2x的通解为y=___________．正确答案：y=C1ex+C2e3x一2e2x．解析：齐次方程特征方程为ρ2一4ρ+3=0解得ρ1=1，ρ2=3，则齐次方程通解为y=C1ex+C2e3x设非齐方程特解为，代入原方程得A=一2，则原方程通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x 知识模块：高等数学15．微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=____________．正确答案：解析：方程xy’+y=0是一个变量可分离方程，原方程可改写为知识模块：高等数学16．若二阶常系数线性齐次微分方程y”+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y”+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为y=___________．正确答案：y=一xex+x+2解析：由于y=(C1+C2z)ex是方程y”+ay’+by=0的通解，则该方程的两个特征根为λ1=λ2=1，故a=一2，b=1．设非齐次方程y”一2y’+y=x的特解为y*=Ax+B代入方程得A=1，B=2，则其通解为y=(C1+C2x)ex+x+2由y(0)=2，y’(0)=0得，C1=0，C2=一1．所以y=一xex+x+2 知识模块：高等数学17．微分方程y’+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=____________．正确答案：e-xsinx解析：由一阶线性方程的通解公式得由y(0)=0知，C=0，则y=e-xsinx 知识模块：高等数学18．若函数f(x)满足方程f”(x)+f’(x)一2f(x)=0及f”(x)+f(x)=2ex，则f(x)=___________正确答案：ex解析：知识模块：高等数学19．已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=____________．正确答案：C1ex+C2e3x—xe2x．解析：由题设知y1—y3=e3x，y2一y3=ex为齐次方程两个线性无关的特解，则非齐次方程的通解为y=C1ex+C2e3x—xe2x 知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

高数一试题及答案

A 1 B 2 C 4 D 08. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（）。

A. sin xB. 1x eC. 211x x +- D. arctan x9.已知'(3)=2f ，0(3)(3)lim2h f h f h→--=( ) 。

A. 32 B. 32- C. 1 D. -110. 设42()=35f x x x -+,则(0)f 为()f x 在区间[2,2]-上的（）。

A. 极小值B. 极大值C. 最小值D. 最大值11. 设函数()f x 在[1,2]上可导，且'()0,(1)0,(2)0,f x f f <><则()f x 在(1,2)内( )A.至少有两个零点B. 有且只有一个零点C. 没有零点D. 零点个数不能确定 12.[()'()]f x xf x dx +=⎰( ).A.()f x C +B. '()f x C +C. ()xf x C +D. 2()f x C +13. 已知22(ln )y f x =，则y '=( C )A.2222(ln )(ln )f x f x x 'B. 24(ln )f x x 'C. 224(ln )(ln )f x f x x 'D. 222(ln )()f x f x x '14. ()d f x ⎰=( B)A.'()f x C +B.()f xC.()f x 'D.()f x C +15.2ln xdx x =⎰( D )A.2ln x x C +B.ln xC x+ C.2ln x C + D.()2ln x C + 16. 211limln x x x→-=( ) A.2 B.3 C.4 D.517. 设函数0()(1)(2)xf x t t dt =-+⎰，则(2)f '-=（）A 1B 0C 2-D 2 18. 曲线3y x =的拐点坐标是( )A.(0,0)B.( 1,1)C.(2,2)D.(3,3)19. 已知(ln )y f x =，则y '=( A )A.(ln )f x x ' B.(ln )f x ' C.(ln )f x D.(ln )f x x20. ()d df x =⎰( A)A.()df xB.()f xC.()df x 'D.()f x C +21. ln xdx =⎰( A )A.ln x x x C -+B.ln x x C -+C.ln x x -D.ln x二、求积分（每题8分，共80分）1．求cos ⎰．2. 求dx x⎰． 3. 求arctan xdx ⎰．4. 求⎰5. 求2356x dx x x +-+⎰．6. 求定积分8⎰7. 计算20cos x xdx π⎰．8. 求2128dx x x +-⎰．9. 求11. 求2212x xe dx -⎰12. 求3x⎰13. 求21ln exdx x⎰14.求⎰三、解答题1. 若(1lim 36x x →∞=,求a2.讨论函数321()2333f x x x x =-+-的单调性并求其单调区间3. 求函数22()2x x f x x --=-的间断点并确定其类型4. 设2sin ,.xy xy x e y '+=求5.求y =6. 求由方程cos sin x a ty b t =⎧⎨=⎩ 确定的导数x y '.7. 函数1,0()1,0tan ,0xe xf x x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩在0x =处是否连续？8. 函数1,0()1,0tan ,0xe xf x x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩在0x =处是否可导？9. 求抛物线2y x =与直线y x =所围成图形D 的面积A .10. 计算由抛物线22y x =与直线4y x =-围成的图形D 的面积A .11. 设y 是由方程sin yy y xe =+确定的函数，求y '12.求证： ln 1,1x x x <->13. 设y 是由方程1yy xe =+确定的函数，求y '14. 讨论函数32()29123f x x x x =-+-的单调性并求其单调区间15.求证： 21,x e x >-16. 求函数3(1)()x x f x x x -=-的间断点并确定其类型五、解方程1. 求方程0)(22=-+dy xy x dx y 的通解.2.求方程20yy y '''+=的通解.3. 求方程22y y y x '''-+=的一个特解. 4. 求方程3595xy y y xe -'''-+=的通解.高数一复习资料参考答案一、选择题 1-5： DABAA 6-10：DBCDD 11-15： BCCBD 16-21：ABAAAA二、求积分1．求cos ⎰．解：322cos (sin )sin 3x x C C ==+=⎰2. 求．解：13(43ln )(ln )x d x x =+⎰⎰131(43ln )(43ln )3x d x =+⋅+⎰ 431(43ln )4x C =++． 3. 求arctan xdx ⎰．解：设arctan u x =，dv dx =，即v x =，则a r c t a n a r c t a n (a r cx d x x x x dx =-⎰⎰ 2arctan 1xx x dx x =-+⎰ 21arctan ln(1)2x x x C =-++．4. 求⎰解：32222e 33e 3e 3e 23e 6e t t t t t t x t t dt t dt t tdt t t dt ===-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰223e 6e 6e 3e 6e 6e t t t t t t t t dt t t C =-+=-++⎰2)C=+．5. 求2356xdxx x+-+⎰．解：由上述可知23565623xx x x x+-=+-+--，所以2356()5623xdx dxx x x x+-=+-+--⎰⎰115623dx dxx x=-+--⎰⎰5ln26ln3x x C=--+-+．6.求定积分8⎰解t=，即3x t=，则23dx t dt=，且当0x=时，0t=；当8x=时，2t=，于是28222000313ln(1)3ln312t dtt t tt⎡⎤==-++=⎢⎥+⎣⎦⎰⎰．7. 计算2cosx xdxπ⎰．解：令2u x=，cosdv xdx=，则2du xdx=，sinv x=，于是2220000cos sin(sin)2sin2sinx xdx x d x x x x xdx x xdxπππππ==-=-⎰⎰⎰⎰．再用分部积分公式，得2000cos2cos2(cos)cosx xdx xd x x x xdxππππ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰002(cos)sin2x x xπππ⎡⎤=-=-⎣⎦．8. 求2128dxx x+-⎰．解：221113(1)(1)ln28(1)963(1)xdx d x Cx x x x-+=+=++-+-++⎰⎰12ln64xCx-=++．9.求解：令u=32x u=-，23dx u du=，从而有22311311u udu duu u-+==++⎰⎰213(1)3(ln1)12uu du u u Cu=-+=-++++⎰11. 求2212xxe dx-⎰解：2222222411112x x xxe dx e dx e e e-----===-⎰⎰12.求3x⎰解：333223(3)(3)3x x x C=--=--+⎰13. 求21lne x dxx⎰解：22111ln111ln(ln)ln ln333ee exdx xd x x ex====⎰⎰14.求⎰解：3322222121(3)(3)(3)233x x C x C=--=-⋅-+=--+⎰三、解答题1.若(1lim36xx→∞=,求a解：因为223x=，所以9a=否则极限不存在。

考研高数1试题及答案

考研高数1试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数 \( f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1 \)，下列选项中，\( f(x) \) 的导数正确的是：A. \( 3x^2 + 4x - 5 \)B. \( x^3 + 2x^2 - 5 \)C. \( 3x^2 + 2x - 5 \)D. \( 3x^3 + 4x^2 - 5x \)答案：A2. 设 \( A \) 是 \( 3 \times 3 \) 矩阵，\( \det(A) = 2 \)，则\( \det(2A) \) 的值是：A. 4B. 8C. 16D. 32答案：B3. 计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是：A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{1}{3} \)答案：B4. 已知 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是：A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. 1D. 2答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 求定积分 \( \int_{0}^{1} (2x - 1) dx \) 的值是 _______。

答案：\( \frac{1}{2} \)2. 函数 \( y = \ln(x) \) 的定义域是 _______。

答案：\( (0, +\infty) \)3. 函数 \( y = e^x \) 的导数是 _______。

答案：\( e^x \)4. 已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值是 _______。

答案：1三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线方程。

高等教育自学考试《高等数学(一)》真题卷一

高等教育自学考试《高等数学（一）》真题卷一1. 【单选题】（江南博哥）下列函数为奇函数的是（）。

A. |x|sin2xB. |x|cos2xC. xsinxD. xcosx正确答案：D参考解析：D项中，-xcos(-x)=-xcosx，故D项中的函数为奇函数。

2. 【单选题】当x>0，y>0时，下列等式成立的是（）。

A. ln(xy)=lnx·lnyB. ln(x+y)=lnx+lnyC. ln(xy)=lnx+lnyD. ln(x/y)=lnx/lny正确答案：C参考解析：3. 【单选题】（）。

A. 1B. 2C. 3D. 4正确答案：B参考解析：4. 【单选题】（）。

A. 0B. 1/2C. 1D. 2正确答案：B参考解析：5. 【单选题】曲线y=2x2-x在点(1，1)处的切线方程为（）。

A. y=3x-2B. y=3x-4C. y=2x-2D. y=2x-4正确答案：A参考解析：(1，1)处的切线为y-1=3(x-1)，即y=3x-2。

6. 【单选题】设需求函数Q=35-P2，其中P和Q分别是价格与需求量，则P=5时的需求价格弹性为（）。

A. -9B. -7C. -5D. -3正确答案：C参考解析：7. 【单选题】函数f(x)=3x-3-x在（）。

A. (-∞，+∞)内单调增加B. (-∞，+∞)内有增有减C. (0，+∞)内单调减少D. (-∞，0)内单调减少正确答案：A参考解析：8. 【单选题】曲线y=x3-6x2+10x-1的拐点为（）。

A. (2，3)B. (3，2)C. (1，2)D. (2，1)正确答案：A参考解析：9. 【单选题】（）。

A. ln(x2+1)+CB. arctan(x2+1)+CC. 1/2ln(x2+1)+CD. 1/2arctan(x2+1)+C正确答案：C参考解析：10. 【单选题】设函数z=x2+xy+2y2，则全微分dz|（2，1）=（）。

高数1考研试题及答案

高数1考研试题及答案模拟试题：高等数学一一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，满足f(-x) = f(x)的是（）。

A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = sin(x)2. 曲线y = x^3在点（1,1）处的切线斜率为（）。

A. 0B. 3C. 2D. 13. 设函数f(x)在点x=a处连续且可导，若lim (x→a) [f(x) - f(a)]/(x-a) = 3，则f'(a)的值为（）。

A. 2B. 3C. 4D. 54. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值为（）。

A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/45. 设数列{an}满足a1 = 1，an+1 = √(an) + 1，若lim (n→∞) an = a，则a的值为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 46. 设函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，若f(x)在x=c处取得最大值，则c（）。

A. 一定等于aB. 一定等于bC. 属于区间(a, b)D. 可能属于[a, b]，也可能属于(a, b]7. 二阶常系数线性微分方程y'' - 3y' + 2y = 0的特征方程为（）。

A. r^2 - 3r + 2 = 0B. r^2 - 3r = 0C. r^2 + 2r - 3 = 0D. r^2 - 2r - 3 = 08. 设函数f(x)在点x=x0处可导，且f'(x0) ≠ 0，则f(x)在点x=x0处（）。

A. 一定连续B. 一定不可导C. 一定是极值点D. 一定是拐点9. 利用分部积分法计算定积分∫[0,π] sin(x) dx，得到的结果为（）。

A. -cos(x)|0^πB. 2C. -2D. π10. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，要使∫[a, b] f(x) dx存在，则必须有（）。

A. f(x)在[a, b]上可导B. f(x)在[a, b]上单调递增C. f(x)在[a, b]上无间断点D. f(x)在[a, b]上的每一点都有定义答案：1. B2. B3. B4. A5. B6. D7. A8. A9. A10. D二、填空题（每题4分，共20分）11. 设函数f(x) = x^2 - 4x，则f(x)的最小值是________。

北京 2023年历年真题考试：高等数学(一)历年真题汇编(共62题)

北京 2023年历年真题考试：高等数学（一）历年真题汇编（共62题）1、下列函数中在点x=0处导数不存在的是：（单选题）A. y=sinxB. y=tanxC. y=x1/3D. y=2x试题答案：C2、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：D3、微分方程sinxdx+cosydy=0的通解为：（单选题）A. cosy+sinx=CB. cosy-sinx=CC. siny+cosx=CD. siny-cosx=C试题答案：D4、函数y=2x+1的反函数是：（单选题）A. y=x/2+1/2B. y=x/2-1/2C. y=x/2+1D. y=x/2-1试题答案：B5、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：C6、函数的定义域是：（单选题）A. (-∞,-1]B. [1,+∞)C. [-1,1]D. (-∞,-1]U[1,+∞)试题答案：D7、下列函数中在点x=0处导数不存在的是：（单选题）A. y=sinxB. y=tanxC. y=x1/3D. y=2x试题答案：C8、当x→0时，下列变量中与tan(x2)等价的无穷小量是：（单选题）A. xB. 2xC. x2D. 2x2 试题答案：C9、下列函数中为奇函数的是：（单选题）A. (1+x²)/(1-x²)B. sin(x²)C. (ex-e-x)/2D. |x|试题答案：C10、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：D11、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：B12、微分方程2ydy-dx=0的通解为：（单选题）A.B.C. y²=-x+CD. y²=x+C试题答案：D13、设∫f(x)dx=sin2x+C,则f(0)=（单选题）A. 2B. 1/2C. -1/2D. -2试题答案：A14、设函数f(x,y)=y1nx+x2,则¶f/¶x|(2,-2)=（单选题）A. 0B. 1C. 2D. 3试题答案：D15、函数y=2x+1的反函数是：（单选题）A. y=x/2+1/2B. y=x/2-1/2C. y=x/2+1D. y=x/2-1试题答案：B16、设函数z=sin(2x+3y)，则全微分dz|(0,0)=（单选题）A. dx+dyB. 2dx+2dyC. 3dx+2dyD. 2dx+3dy试题答案：D17、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：B18、设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则下列等式正确的是: （单选题）A.B.C.D.试题答案：A19、设函数z=ln(x+y2), 则全微分dz=（单选题）A. 1/(x+y2) (dx+2ydy)B. 1/(x+y2) (2dx+dy)C. 1/(x+y2) (2xdx+dy)D. 1/(x+y2) (dx+2dy)试题答案：A20、设函数z=sin(2x+3y)，则全微分dz|(0,0)=（单选题）A. dx+dyB. 2dx+2dyC. 3dx+2dyD. 2dx+3dy试题答案：D21、设∫f(x)dx=sin2x+C,则f(0)=（单选题）A. 2B. 1/2C. -1/2D. -2试题答案：A22、不定积分∫(x2cosx)＇dx=（单选题）A. 2xcosx-x2sinx+C B. 2xcosx-x2sinx C. x2cosx+C D. x2cosx 试题答案：C23、下列各式中正确的是：（单选题）A.B.C.D.试题答案：D24、已知x=0是函数y=asinx＋1/3sin3x的驻点，则常数a=（单选题）A. -2B. -1C. 0D. 1试题答案：B25、设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f＇(x)<0,>0,则在[a,b]上:（单选题）A. f(x)>0B. f(x)<0C. f(x)=0D. f(x)的值有正有负试题答案：A26、方程x²+x-6=0的根是：（单选题）A. x=-2, x=3B. x=2, x=-3C. x=2, x=3D. x=-2, x=-3试题答案：B27、设函数f(x,y)=y1nx+x2,则¶f/¶x|(2,-2)=（单选题）A. 0B. 1C. 2D. 3试题答案：D28、（单选题）A. cos(ax²+b)B. cos(at²+b)C. sin(ax²+b)D. sin(at²+b)试题答案：C29、若f＇(x)=x1/2，则f(x)=（单选题）A. 2/3x2/3+CB. 3/2x2/3+CC. 2/3x3/2+CD. 3/2x3/2+C试题答案：C30、设函数f(x)=x2，g(x)=tanx，则当x→0时，（单选题）A. f(x)是比g(x)高阶的无穷小量B. f(x)是比g(x)低阶的无穷小量C. f(x)是比g(x)是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量D. f(x)是比g(x)是等价无穷小量试题答案：A31、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：A32、若极限，则常数k=（单选题）A. 1B. 2C. 3D. 4试题答案：B33、设函数y=x2+e2x,则二阶导数y"=2+2e2x（单选题）A. 2+2e2xB. 2+4e2xC. 2x+2e2xD. 2x+4e2x试题答案：B34、设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则下列等式正确的是:（单选题）A.B.C.D.试题答案：A35、下列无穷限反常积分收敛的是:（单选题）A.B.C.D.试题答案：A36、某产品的成本函数C(Q)=20+2Q+1/2Q²，则Q=298时的边际成本为:（单选题）A. 100B. 200C. 300D. 400试题答案：C37、某产品的成本函数C(Q)=20+2Q+1/2Q²，则Q=298时的边际成本为:（单选题）A. 100B. 200C. 300D. 400试题答案：C38、方程x²+x-6=0的根是：（单选题）A. x=-2, x=3B. x=2, x=-3C. x=2, x=3D. x=-2, x=-3试题答案：B39、若曲线y=x-e x在点(x0,y0)处的切线斜率为0,则切点(x0,y0)是：（单选题）A. (1,1-e)B. (-1,-1-e-1) C. (0,1)D. (0,-1)试题答案：D40、函数y=2x2 -4x +1的单调增加区间是:（单选题）A. (-∞,-1]B. (-∞,1]C. [-1,+∞)D. [1,+∞)试题答案：D41、微分方程sinxdx+cosydy=0的通解为：（单选题）A. cosy+sinx=CB. cosy-sinx=CC. siny+cosx=CD. siny-cosx=C试题答案：D42、若f＇(x)=x1/2，则f(x)=（单选题）A. 2/3x2/3+CB. 3/2x2/3+CC. 2/3x3/2+CD. 3/2x3/2+C试题答案：C43、函数y=x5+1在定义域内：（单选题）A. 单调增加B. 单调减少C. 不增不减D. 有增有减试题答案：A44、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：C45、函数的定义域是：（单选题）A. (-∞,-1]B. [1,+∞)C. [-1,1]D. (-∞,-1]U[1,+∞)试题答案：D46、曲线y=xe x+1在点(0,1)处的切线方程为（单选题）A. y=1B. y=xC. y=x+1D. y=x-1试题答案：C47、函数y=2x2 -4x +1的单调增加区间是:（单选题）A. (-∞,-1]B. (-∞,1]C. [-1,+∞)D. [1,+∞)试题答案：D48、（单选题）A. cos(ax²+b)B. cos(at²+b)C. sin(ax²+b)D. sin(at²+b)试题答案：C49、函数y=(x-2)/(x2-3x+2)的间断点是:（单选题）A. x=1,x=-2B. x=-1,x=2C. x=-1,x=-2D. x=1,x=2试题答案：D50、极限=（单选题）A. 0B. 1C. eD. +∞试题答案：B51、曲线y=xe x+1在点(0,1)处的切线方程为（单选题）A. y=1B. y=xC. y=x+1D. y=x-1试题答案：C52、若曲线y=x-e x在点(x0,y0)处的切线斜率为0,则切点(x0,y0)是：（单选题）A. (1,1-e)B. (-1,-1-e-1) C. (0,1)D. (0,-1)试题答案：D53、设函数z=ln(x+y2), 则全微分dz=（单选题）A. 1/(x+y2) (dx+2ydy)B. 1/(x+y2) (2dx+dy)C. 1/(x+y2) (2xdx+dy)D. 1/(x+y2) (dx+2dy)试题答案：A54、下列函数中为奇函数的是：（单选题）A. (1+x²)/(1-x²)B. sin(x²)C. (ex-e-x)/2D. |x|试题答案：C55、函数y=x5+1在定义域内：（单选题）A. 单调增加B. 单调减少C. 不增不减D. 有增有减试题答案：A56、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：A57、设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f＇(x)<0,>0,则在[a,b]上:（单选题）A. f(x)>0B. f(x)<0C. f(x)=0D. f(x)的值有正有负试题答案：A58、下列各式中正确的是：（单选题）A.B.C.D.试题答案：D59、当x→0时，下列变量中与tan(x2)等价的无穷小量是：（单选题）A. xB. 2xC. x2D. 2x2 试题答案：C60、若极限，则常数k=（单选题）A. 1B. 2C. 3D. 4试题答案：B61、不定积分∫(x2cosx)＇dx=（单选题）A. 2xcosx-x2sinx+C B. 2xcosx-x2sinx C. x2cosx+C D. x2cosx 试题答案：C62、设函数f(x)=x2，g(x)=tanx，则当x→0时，（单选题）A. f(x)是比g(x)高阶的无穷小量B. f(x)是比g(x)低阶的无穷小量C. f(x)是比g(x)是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量D. f(x)是比g(x)是等价无穷小量试题答案：A。

考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编5

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编5(总分：62.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.当x→1（分数：2.00）A.等于2．B.等于0．C.为∞．D.不存在但不为∞．√3.设，其中a 2 +c 2≠0，则必有（分数：2.00）A.b=4dB.b=一4dC.a=4cD.a=一4c √4.设{a n }，{b n }，{c n }均为非负数列，且（分数：2.00）A.a n＜b n对任意n成立．B.b n＜c n对任意n成立．√解析：解析：由于即极限故应选(D)．5.当x→0 +时，与等价的无穷小量是（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：直接法．(B)．6.设函数f(x)在(一∞，+∞)内单调有界，{x n }为数列，下列命题正确的是（分数：2.00）A.若{x n }收敛，则{f(x n )}收敛．B.若{x n )单调，则{f(x n )}收敛．√C.若{f(x n )}收敛，则{x n }收敛．D.若{f(x n )}单调，则{x n }收敛．解析：解析：由于f(x)在(一∞，+∞)上单调有界，若{x n}单调，则{f(x n)}是单调有界数列，故{f(x n)}收敛，事实上(A)(C)(D)都是错误的，若令，显然，即{x n }收敛，令，显然f(x)在(一∞，+∞)上单调有界，但{f(x n )}不收敛．由于f(x n )= ，所以不存在，故(A)不正确．若令x n =n，f(x)=arctanx．显然{f(x n )}收敛且单调，但x n =n不收敛，故(c)和(D)不正确. 7.当x→0时，f(x)=x—sinax与g(x)=x 2 ln(1一bx)是等价无穷小，则（分数：2.00）A.a=1，√B.a=1，C.a=一1，D.a=一1，解析：解析：由于当x→0时，f(x)=x—sinax与y(x)=x 2ln(1一bx)是等价无穷小，则(A)．8.（分数：2.00）A.1．B.e．C.e a-b．√D.e b-a．解析：解析：由于=e a-b9.k，c为常数，且c≠0，则（分数：2.00）A.k=2，B.k=2，C.k=3，D.k=3，√二、填空题(总题数：10，分数：20.00)10.设函数f[f(x)]= 1．（分数：2.00）解析：解析：由x有｜f(x)｜≤1，则f[f(x)]=1．11.设a（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：e 2a．）12.已知当x→0cosx一1是等价无穷小，则常数a= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由于x→0时则（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：e 6．）解析：解析：由于=6，则6．14.，则a= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析：由于又 e 3a =8 知a=ln2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3／2）16.（分数：2.00）填空项1:__________________解析：（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）。

高数1(精编高数真题)

1、下列各极限正确的是（） A .e xx x =+→)11(lim 0B .e xx x =+∞→1)11(lim C .11sinlim =∞→xx x D 、11sinlim 0=→xx x2;不定积分=-⎰dx x211（）A211x- B ,cx+-211 C ,x arcsinD ,c x +arcsin3、若)()(x f x f -=，且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ，则在)0,(-∞内必有（）A 、0)('<x f ,0)(''<x f B 、0)('<x f ,0)(''>x f C 、0)('>x f ,0)(''<x fD 、0)('>x f ,0)(''>x f4、=-⎰dx x 21 （） A 、0 B 、2 C 、－1 D 、15方程x y x 422=+在空间直角坐标系表示（）A ,圆柱面B ,点C ,圆D ,旋转抛物面二6,设⎩⎨⎧+==22tt y te x t则==0t dxdy 7,0136'''=+-y y y 的通解为8,交换积分次序=⎰⎰dy y x f dx x x22),( 9,函数y x z =的全微分=dz10、设)(x f 为连续函数，则=+-+⎰-dx x x x f x f 311])()([三、计算题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）11,已知5c o s )21l n (a r c t a nπ+++=xx y ，求dy . 12,计算xx dte x x tx sin lim22⎰-→.13,求)1(sin )1()(2--=x x x x x f 的间断点，并说明其类型. 15、计算dxeexx⎰+12.14、已知xy x y ln 2+=，求1,1==y x dxdy . 16、已知⎰∞-=+02211dx xk ，求k 的值.17、求x x y y sec tan '=-满足00==x y的特解.18、计算⎰⎰Ddxdy y 2sin ，D 是1=x 、2=y 、1-=x y 围成的区域.19,已知)(x f y =过坐标原点,并且在原点处的切线平行于直线32=-+y x ,若b ax x f +=2'3)(,)(x f 在1=x 处取得极值,确定a ,b 的值,并求出)(x f y =表达式.20、设),(2yx x f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求xz ∂∂、yx z ∂∂∂2.21,过)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线,求(1)切线方程,()由2-=x y ，切线及x 轴围成的平面图形面积,（3）该平面图形分别绕x 轴,y轴旋转一周的体积, 22、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00)()(x ax xx f x g ，其中)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(=f .（1）求a ，使得)(x g 在0=x 处连续；（2）求)('x g .23、设)(x f 在[]c ,0上具有严格单调递减的导数)('x f 且0)0(=f ；试证明：对于满足不等式c b a b a <+<<<0的a 、b 有)()()(b a f b f a f +>+. 24、一租赁公司有40套设备，若定金每月每套200元时可全租出，当租金每月每套增加10元时，租出设备就会减少一套，对于租出的设备每套每月需花20元的维护费。

高数1考研试题及答案

高数1考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+3，求f(2)的值为：A. 1B. -1C. 3D. 5答案：A2. 已知函数y=ln(x)的导数为：A. 1/xB. xC. ln(x)D. e^x答案：A3. 计算定积分∫(0到1) x dx的值为：A. 0B. 1/2C. 1D. 2答案：B4. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f'(x)的导数为______。

答案：3x^2-12x+112. 计算不定积分∫x^2 dx的值为______。

答案：x^3/3 + C3. 设函数g(x)=e^x，求g'(x)的导数为______。

答案：e^x4. 计算定积分∫(1到2) (x^2-2x) dx的值为______。

答案：2三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的切线方程。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-6x，然后计算f'(1)=-3，f(1)=0。

切线方程为y=-3(x-1)，即y=-3x+3。

2. 计算定积分∫(0到π) sin(x) dx。

答案：利用定积分的性质，∫(0到π) sin(x) dx = -cos(x)|_0^π = 2。

3. 已知函数y=x^2-4x+c，求c的值，使得曲线y=x^2-4x+c与x轴相切。

答案：令y=0，得到x^2-4x+c=0，判别式Δ=16-4c=0，解得c=4。

4. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x的值。

答案：利用指数函数极限的性质，lim(x→∞) (1+1/x)^x = e。

5. 计算二重积分∫∫D (x^2+y^2) dxdy，其中D为x^2+y^2≤1的区域。

答案：利用极坐标变换，得到∫∫D (x^2+y^2) dxdy = ∫(0到2π)∫(0到1) r^3 drdθ = π。