05二轮专题(解析几何)(抛物线)(师)02

二轮专题：解析几何（抛物线）（02）（师）

1. （2011福建文）（本小题满分12分）

如图，直线l ：y=x+b 与抛物线C ：x 2=4y 相切于点A 。 （1） 求实数b 的值；

（11） 求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程

.

2. （2012福建文）如图，等边三角形OAB

的边长为E ：x 2=2py （p ＞0）上。

（1） 求抛物线E 的方程；

（2） 设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y=-1相较于点Q 。证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点。 【解析】

（1

）依题意OB =30BOY ︒∠=设点B （x ，y ），则

x=sin 30︒

=

Y=cos30︒

=12 ，∴B

（12

）在抛物线上，∴2=2p ×12，∴p=2， 抛物线E 的方程为2

X =4y

（2）设点P （0X ,0Y ）,0X ≠0. ∵Y=

214X ,'1

2

Y x =, 切线方程：y-0y =001()2x x x -，即y=2

001124x x x -

由20011241y x x x Y =-=-⎧⎫⎨⎬⎩⎭200x -4x=2x Y=1-⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭

得 ∴Q （200x 4

2x -，-1）

设M （0，1y ）∴2000110

x 4(x y y =1y 2x MP MQ -=---，），（，）

，∵MP ·MQ =0

200

x 4

2x --0y -01y y +1y +21y =0，又20001y =x x 04≠（），∴联立解得1y =1

故以PQ 为直径的圆过y 轴上的定点M （0，1） 【答案】2x =4y

【考点定位】 本题主要考察抛物线的定义性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基本指导，考查运用求解能力、推理论证能力、数形结合思想、转化与化归思想、特殊与一般思想。

3．（2013福建文）如图，在抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ．点C 在抛物线E 上，以C 为

圆心OC 为半径作圆，设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N ． （1）若点C 的纵坐标为2，求MN ； （2）若2

AF

AM AN =⋅，求圆C 的半径．

本小题主要考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能

力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分． 解：（Ⅰ）抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2) 所以点C 到准线l 的距离2d =

，又||CO

所以||2MN ===.

（Ⅱ）设200(,)4y C y ，则圆C 的方程为24

222

0000()()416y y x y y y -+-=+，

即22

200202

y x x y y y -+-=. 由1x =-，得22

002102

y y y y -++= 设1(1,)M y -，2(1,)N y -，则：

2

220002

01244(1)240212y y y y y y ⎧∆=-+=->⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩

由2||||||AF AM AN =⋅，得12||4y y =

所以2

142

y +=

，解得0y =0∆> 所以圆心C

的坐标为3(2

或3

(,2

从而233

||4

CO =

，||CO =C

4． (2012省质检)平面内动点P 到点(1,0)F 的距离等于它到直线1x =-的距离，记点P 的轨迹为曲线Γ． （Ⅰ）求曲线Γ的方程；

（Ⅱ）若点A ，B ，C 是Γ上的不同三点，且满足FA FB FC ++=0．证明： ABC ∆不可能为直角三角形． 本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．

解法一：（Ⅰ）由条件可知，点P 到点(1,0)F 的距离与到直线1x =-的距离相等， 所以点P 的轨迹是以(1,0)F 为焦点，1x =-为准线的抛物线，其方程为2

4y x =．………4分

（Ⅱ）假设ABC ∆是直角三角形，不失一般性，设90A ∠=，

11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则由0AB AC ⋅=，

2121(,)AB x x y y =--，3131(,)AC x x y y =--，

所以21312131()()()()0x x x x y y y y --+--=．…………………………6分

因为2

4

i i y x =(1,2,3)i =，12y y ≠，13y y ≠， 所以1213()()160y y y y +++=．……………………………8分 又因为0FA FB FC ++=，所以1233x x x ++=，1230y y y ++=， 所以2316y y =-． ①

又2221231234()12y y y x x x ++=++=，

所以2222323()12y y y y --++=，即2223236y y y y ++=． ②………10分