无失效数据的失效概率的E_Bayes估计

下 , p i 的似然函数
为 L ( 0 |p i ) i。 (p i | a) L ( 0 | p i )
s
根据 Bayes定理 , 则 p i 的后验密度函数为 h( p i | si ) =
0
∃(p
1 1
=
i
| a) L ( 0 | p i ) dp i
( a+ 1 ) si- 1 ( a+ 1) s - 1
估计 !, 其中 p ^ i ( a ) 为 p i 的 B ayes 估计 ( 用超参数 a 表示 ), D = { a: 1< a < c, c > 1 为常数 }, D 上的密度函数。 从 p i 的 E Bayes 估计的定义可以看出, p i 的 E ( a) 是 a 在
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科
学
技
术
( D epartm ent of Found at ion, Jin ing V ocat ional Techno logy C ollege, Jin ing 272037 , P R Ch ina)
Failure Data
[ Ab stract]
A new m ethod of param eter esti m ation is developed , wh ich is nam ed as E Bayesian esti m at io n m eth fa ilure data , the def in ed o f E Bayesian esti m ation of the fa ilu re probab ility is prov ided. And zero failu re data fa ilu re probab ility E Bayesian esti m ation hierarch ica l
j= i
[ asi + si ] ( 1 - p i ) 其中 0< p i < 1 。
(p i )由 ( 2 )式给出 , 而在无失效数据
[ 5]
情形下, p i 的似然函数
为 L ( 0 |p i ) i。
s
则在平方损失下 , p i 的 Bayes估计为 p ^ iB ( a ) = p i ( a + 1) si ( 1 - p i ) 0 1 。 asi + 1 + si ( 2) 若 a 的先验分布为 D 上的均匀分布, 根据 p i 的 E Bayes估计的定义 , 则 p i 的 E Bayes估计为
csi + si - 1 ) 2 si
1 M artz H F, W aller R A. A B ayes zero
d emonstrat ion testing procedure . Jou rnal of Q uality Technology, 1979 ; 11( 3) : 128 137 19
1 1 i 0 i
da = dp i } da
si+ asi- 1
16 期
鞠瑞年 , 等 : 无失效数据的失效概率的 E Bayes 估计
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as ( 1 - p ) ∃
c 1 i i
a si+ si- 1
da
参
考
文
献
fai lure ( BA ZE ) reliab ility
c - 1 - ln ( 其中 0< p i < 1 。
超参数 a 的先验分布为 ( 1 , c) 上的均匀分布 ( 其中 c > 1为常数 ), 则 p i 的多层先验密度函数为 ( pi ) = as ( 1 - p ) da = ∃ c- 1 1 as ( 1- p ) da c- 1 ∃
c 1 i i asi- 1
1
c
1
i
i
a si- 1
( 2)
第 9 卷 第 16 期 2009 年 8 月 1671 1819( 2009) 16 4757 03
科
学
技
术 与
工
程
Sc ience T echno logy and Eng inee ring
V ol 9 N o 16 A ug . 2009 2009 Sci T ech Engng
无失效数据的失效概率的 E Bayes估计
其中 0< p i < 1 。由此可得 定理 2 对某产品进行 m 次定时截尾试验 , 结 果所有样品无一失效, 获得的无失效数据为 ( ti , ni ) ( i= 1 , 2 , ∀, m ), 记 si = 的先验密度函数
m
( 1 )对某产品进行 m 次定时截尾试验 , 结
m
果所有 样品 无 一失 效, 获得 的无 失 效数 据 为 ( ti , ni ), 记 si = 函数
鞠瑞年 赵春颖 杨 芳
( 济宁职业技术学院 基础部 , 山东 济宁 272037)
摘
要
提出了参数的一种新 估计方法
E Bay es估计法 。 在无失效数据情形下 , 给出了失效概 率的 E Bayes 估计的定 义 , E Bayes估计 多层 Bayes估计
在此基础上给出了失 效概率的 E Bayes估计 。 关键词 可靠性 无失效数据 O 213 2 ; 失效概率 文献标志码
2009 年 5月 9日收到 第一作者简介 : 鞠瑞年 ( 1981 研究方向 : 无失效数据。 ) , 男 , 汉族 , 山东临 沂人 , 硕士研 究生 ,
( 1)
( 1 )式中 1< a < c( 其 中 1< c 为常数 ), 0 < p i p ^ (a) ∃
i
( a ) da 为 p i 的 E Bayes
D a si - 1
。
关于可靠性参数估计 , 近年来用 B ayes 方法取 得了一些进展。特别是在文献 [ 3] 中提出了多层先 验分布的想法、 文献 [ 4] 中提出了多层先验分布的 构造方法以来 , 多层 Bayes方法在无失效数据的处 理上取得了一些进展。但用多层 Bayes方法得到的 结果一 般 都 要 涉 及 积 分 的 计 算 , 虽 然 有 M C MC ( M arkov ChainM onte C arlo) 等计算方法, 但在有些 问题的应用上还是不太方便。本文提出的 参数的 一种新估计方法 E Bayes估计法 !, 正是为了解 决这些问题而提出来的。 本文给出了失效概率的 E Bayes估计的定义和
[ 2]
1 p i 的 E Bayes估计
对某产品进行 m 次定时截尾试验, 在第 i 次定 时截尾试验中 ( i = 1, 2 , ∀, m ), 截尾时间为 ti ( t1 < t2 < ∀ < tn ), 相应试验样品数为 n i, 若试验的结果是 所有样品无一失效 , 则称 ( n i, ti ) 为无失效数据。 在文献 [ 5 ] 中提出了处理无失效数据的一种方 法一配分布曲线法, 后来曾多次被引用。该方法的 关键是要给出时刻 ti 处失效概率 p i = P (T # ti )的估 计, 其中 T 是产品的寿命。 以下给出时刻 ti 处失效概率 p i = P ( T # ti ) 的 E Bayes估计的定义, 然后在此基础上给出 p i 的 E B ayes估计。 1 . 1 pi 的 E Bayes估计的定义 若 p i 的先验分布的密度函数为 ( p i |a ) = asi ( 1- p i ) < 1 。 定义称 p ^ iEB =
根据 Bayes定理, 则 p i 的多层后验密度函数为 dp i = h (p i | si ) = ( p i | a )L ( 0 | p i )
0
∃
1
( a + 1) si- 1
∃
1 c
=
( p i | a )L ( 0 | p i ) dp i
c i i a si+ si- 1
1
as (1- p ) ∃ as { ∃ (1- p ) ∃
csi + si + 1 csi + si ( si + 1 ) ln - si ln 2si + 1 2si 。 csi + si - 1 ( c- 1 ) si - si ln 2si
4 韩 明 . 多层 先 验分 布 的构 造 及其 应用 . 运 筹与 管 理 , 1997; 6 ( 3) : 31 40
%
nj, i = 1 , 2 , ∀, m。若 p i
j= i
%
n j, i= 1 , 2 , ∀, m 。若 p i 的先验密度
( p i ) 由 ( 2 ) 式给出, 则在平方损失
j= i
(p i | a) ) 由 ( 1) 式给出, 而在无失效数据情形
[ 5]
下, p i 的多层 Bayes估计为 ( si + 1 ) ln p ^ iHB = csi + si + 1 csi + si - si ln 2si + 1 2si 。 csi + si - 1 ( c- 1 ) si - si ln 2si
则在平方损失下 , p i 的多层 Bayes估计为 p ^ iHB = p h( p ∃
1 0 i i
2 韩 明 . 无失效数据可靠性进展 . 数学进展 , 2002; 31 ( 1) : 7 3
| si ) dp i =
L indley D V, Sm ith A F M . Bayes esti m aters for the linear mode1 . Journal of the R oyal S tat ist ical Society, Series B, 1999; 34 : 1 41
m
p ^ ( a) ( a) da = ∃ 1 1 da = as + 1 + s c- 1 ∃
D iB c 1 i i
( c + 1 ) si + 1 1 ln 。 ( c - 1 ) si 1 + 2 si
2 p i 的多层 B ayes估计
若 p i 的先验密度函数 ( p i | a ) 由 ( 1 ) 式给出 ,
i
证
对某产品进行 m 次定时截尾试验 , 结果所
m
( 1 - pi)
0
有样品无一失效, 获得的无失效数据为 ( ti , ni ) ( i= = dp i
asi+ s i- 1
( 1- p ) ∃
i
1 , 2 , ∀, m ), 记 si = 。 先验密度函数
%
nj, i = 1 , 2 , ∀, m。若 p i 的
与
工
程ຫໍສະໝຸດ Baidu
9卷
Bayes估计 p ^ iEB =
D
p ^ ( a) ∃
i
p ^ iEB = ( a) da = E [ p ^i ( a ) ]
是 p i 的 Bayes估计 p ^ i ( a ) 对超参数 b 的数学期望。 应该说 明, 这 里 p i 的 E Bayes 估计不 是 B ayes 估计 (或多层 Bayes估计 ), 它可以看作是多层 B ayes 估计的一种修正。 1 . 2 pi 的 E Bayes估计 定理 1 对某产品进行 m 次定时截尾试验 , 结 果所有样品无一失效 , 获得的无失效数据为 ( ti, n i ) ( i= 1 , 2 , ∀, m ), 记 si = % n j, i = 1 , 2 , ∀, m 。若 p i 的 j= i 先验密度函数 1 ; asi + 1 + si ( 2) 若 a 的先验分布为 D 上的均匀分布 , 则 p i 的 E B ayes估计为 p ^ iEB 证 ( c+ 1 ) si + 1 1 = ln 。 ( c - 1 ) si 1+ 2 si (p i | a) 由 ( 1 ) 式给出, 则 ( 1 )在平方损失下, p i 的 Bayes估计为 p ^ iB ( a) =
5 茆诗松 , 罗朝斌 . 无 失效数据 的可靠性 分析 . 数 理统计与 应用概 率 , 1989; 4 ( 4) : 489 506
Expected Bayesian E sti m ation of Failure P robability of Z ero
JU Rui nian , ZHAO Chun y ing, YANG Fang
中图法分类号
A E Bayes估计和失效概率的多层 Bayes估计。
随着科学技术的进步 , 产品的质量 不断提高 , 在可靠性试验中常会得到各种截尾数据 , 特别是在 定时截尾可靠性试验中, 有时会遇到无 失效数据。 无失效数据问题 , 对于建立在失效数据分析基础上 的现有可 靠性理 论来说 , 是 一个 有一定 难度 的问 题。对无失效数据问题的研究, 是近些年来遇到的 一个新问题 , 在实际问题中 迫切需要解决 , 这项工 作具有重要的理论意义和应用价值。自从文献 [ 1] 发表以来, 对无失效数据问题的研究已经有二十多 年的历史了 , 现在已引起国内外的重视。关于无失 效数据问题的研究进展情况