Leggendre多项式球函数 - 欢迎来到重庆邮电大学理学院 …
《复变函数》教学大纲-欢迎来到重庆邮电大学理学院首页
《复变函数》教学大纲-欢迎来到重庆邮电大学理学院首页一、考试目的、要求：《复变函数》考试的目的是测试学生对《复变函数》知识的掌握情况以及运用《复变函数》知识解决实际问题的能力。
根据本门课程各章节内容、难度、深度不一，对考试要求由低到高分为了解、理解、掌握与综合运用四个层次。
1、了解：对知识的涵义有感性的、初步的认识，能够说出这一知识是什么，能在有关的问题中识别它们。
2、理解：对概念或指令、程序达到了理性的认识，不仅“知其然”而且“知其所以然”。
3、掌握：是在理解的基础上通过练习，形成技能，能运用它去解决一些问题。
三、考试类型与方法本课程的考试为理论型，采取闭卷考试方式。
时间为2小时。
四、考试大纲细则本课程的考试题型有选择、填空、计算、证明等题型，试卷总分100分，各层次约占的分数为：了解约10%，理解约25%，掌握为50%，综合运用约15%。
难度系数约为0.65～0.80。
五、复变函数试卷题型分布表题型分值填空题20选择题30证明题10计算题40六、《复变函数》考查知识点教学内容第一章第二章考查知识点与要求复数各种表示方法的相互转化，主辐角，模与共轭复数的性质；复数平面、复球面、区域、多连通区域等概念；能用不等式表示区域；复变函数的极限与连续的概念。
理解复变函数的导数及复变函数解析的概念；掌握复变函数解析的充要条件；了解指数函数、三角函数、双曲函数、对数函数及幂函数的定义及主要性质（包括单值域中的解析性）。
了解复变函数积分的定义其性质；会利用曲线的参数方程计算复变函数积分；理解柯西积分定理，掌握柯西积分公式和高阶导数公式（证明不作要求）；了解解析函数的无限次可导的性质；了解调和函数与解析函数的关系，切实掌握从已知的调和函数u(某,y)或v(某,y)出发，求解析函数函数u(某,y)+iv(某,y)。
理解复数项级数收敛、发散及绝对收敛等概念；了解幂级数的收敛的概念，会求幂级数的收敛半径；理解泰勒定理（证明不作要求）；了解马克罗林展开式，并会利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数。
6勒让德多项式
x cos ( ) y(x)
d sin dy
d
dx
d2
d 2
cos
dy dx
sin 2
d2 y dx2
(1
x2
)
y
2
xy
n(n
1)
1
m2 x2
y
0
连带的勒让德方程
(1 x2 ) y 2xy n(n 1) y 0 勒让德方程
西安理工大学应用数学系
2. Legendre方程的解 (1 x2 ) y 2xy n(n 1) y 0
xk2
k0
(k
1)(k
2)ak 2
xk
西安理工大学应用数学系
{(k k0
1)(k
2)ak 2
[k(k
1) n(n 1)]ak }xk
0
于是由幂级数展式的唯一性，有
(k 1)(k 2)ak2 [k(k 1) n(n 1)]ak
(k n)(k n 1)ak
(k n)(k n 1) ak2 (k 1)(k 2) ak
a2m
(1)m
n(n
2)L
(n
2m
2)(n 1)(n (2m)!
3)L
(n
2m
1) a0
a2m1
(1)m
(n 1)(n 3)L
为零，这时 y1( x), y2 ( x) 均为无穷级数，且收敛域为（-1, 1）
情形（２） 当n取整数（包括零）时，y1( x), y2 ( x) 中有 一个是多项式，另一个是无穷级数。 举例分析
西安理工大学应用数学系
(k n)(k n 1) ak2 (k 1)(k 2) ak
k 0,1, 2,L
Legendre多项式及推广
定理 １只∽在实数域上有／ ： ／ ， 个零点 ， 且全部是在 区间［１ １ － ， １
内部 相 异 的 。
１５ 年 ， ９ ６ 莫叶曾用Ｌ ｇｎｒ． 数 ｅｅｄｅ ￣
∑ （ ）
） 都有实根 １ 和
（） ９
证明 ： 引入 函数ｇ ∞＝ （ －） ￣ ｍ－，，， ｎ １ ， ｘ １ ， ｉ － １ …，一 时 各 Ｚ ＂ Ｏ ２
（） ４
定 ２ ＜ ， 触 Ｅ 则 Ｌ ｅ ｒ 数 乎 理： 若｛ ＊ 且 ） ， 它的 ｅ ｎｅ 几 处 ｇ ｄ级
处收敛。
证 明 见Ｈ 。 ５ 整 函 数
递 推 公 式嘲 （＋）＋ ） （ ＋） （ 一 一 ） ＝，… ５ ： １ ． ＝２ １ １ ，）（ ） 只（ ） （ ２
（ ）已知函数如何求它的Ｌ ｇｎｒ￣数展开式 ； １ ｅｅｄｅ
（） ２ 已知Ｌ ｇｎｒ级数如何求它所表示的函数 的性质。 ｅｅｄｅ 设 函数 ） 实 数轴 的闭 区间 ［１１上 可积 ， 在 － ，】 － 贝 Ｌ ｇｎｒ级数展开式如下 ： ｅｅｄｅ
（） ２
ｌ ｎ ， 正 数。 １ 为 奇 １ 二
ｅ ｄｅ ｎ ｒ￣项 式 的运 算和 插 值提 供 方便 。 对 ｇｎ ｒ级 数进 行 一 个概 括 的讲 述 ， 结 关 于此 的 结 果 ， 对 用Ｌ ｇｎ ｒｔ￣ 表 示 ｅｄｅ 总 并 ｅｅ ｄｅ ：
整 函数 进 行 系统 的论 述 。 最后 介 ． Ｌ ｇ ｎ ｒ ￣ ｅ ｅ ｄｅ多项 式 的推 广 和 其 应 用 。
它 的 Ｌｐａｅ 分 表 示 是 ａｌｃ积
确定 （ ） 即要 确定系数 ｃ ， ７， ｎ 上式 两端 同乘尸 ∽并 在 区间 ｍ
关于拉革尔多项式的研究
南京理工大学理学院认识实习报告班级：08115901学号：0811590121姓名：施彬彬关于Laguerre 多项式的研究摘要：本文从Laguerre 方程出发，利用幂级数解法，得到laguerre 多项式的一般形式，接着介绍了了广义的laguerre 多项式，以及它的一系列的性质：微分表示形式、积分表示形式、多项式的正交性、母函数以及递推关系等，最后介绍了laguerre 多项式在量子力学中的应用（关于氢原子函数方面的知识）。
关键字：Laguerre 多项式，正交性，母函数，氢原子方程1. laguerre 方程及其求解。
一般的laguerre 方程：'''(1)0x y s x y y λ++-+= 我们讨论当s=0的拉盖尔方程'''(1)0xy x y y λ+-+= ，（0<x<∞）因为x=0是方程的正则奇点，则方程的解可表达为 如下级数形式：0()k c k k y x a x ∞+==∑ 0a ≠0代入原方程，得 2c =0所以 c=0以及递推关系式为12k-(k+1)k ka a λ+=k=0,1,2……….于是方程的解为2022(-1)(-1)......(-k+1)()[1........(1)......(2!)(k!)kk y x a x x x λλλλλλ=-+-+-+ 由上式可知当λ=n 时，原方程的解为一个多项式，其中0a 为任意常数，我们 选取a=n ！，则可使多项式最高次项的系数为(1)n -，这样得到的多项式称为拉盖尔多项式，记为()Ln x22212n n (1)()(1)[..........(1)!]1!2!n n n n n n Ln x x x x n ---=--+-+-2. 拉盖尔多项式的生成函数 因为函数xz1-z(,)1-zeG x z -=，在z=0的领域上的解析，所以可在该领域上展开为泰勒级数，即xz 1-zz ()1-zn!n n n eC x -∞==∑由复变函数理论知，其系数为：x 1-1n!()2(1-)n n CeC x d i ξξξπξξ-+=⎰作自变量变换()/z x z ξ=-则''1()()121zzz n!x n!x ()()2i (z-x)z 2i (z-x)n z x z x x n x n n n n n CC ee C x dz e dz e x e ππ+----++===⎰⎰即d ()()dxn xn xn nC x e x e -=因此，如果能能证明d ()dx n xn x nex e -正是拉盖尔方程多项式的解，则它就是拉盖尔多项式，这样，拉盖尔多项式的母函数及其微分表达式便一并证明 令n xux e-=则'()0xu x n u +-= 将此式对x 求n+1阶导数，得(2)(1)()(1)(1)0n n n xu x u n u ++++++=即函数v=()n u满足"'(1)(1)0xv x v n v ++++=由d ()()dx n xn x n nC x ex e -=，有()()x n v x e C x -=代入上式得"'()(1)()()0n n n xC x x C x nC x +-+=是拉盖尔方程，所以()()n C x Ln x =得d ()()dx n xn x nLn x e x e -=因此，我们称函数xz exp(-)1-z (,)1-zG x z =为拉盖尔多项式的生成函数 称d ()()dx n xn x nLn x e x e -=为拉盖尔多项式的微分表达式3. 广义laguerre 多项式（Sonine 多项式） 广义拉盖尔多项式：(u+1+n)()(,1,)n!(u+1)u n S z F n u z Γ=-+Γ其中u 是不等于负整数的任意实数或负数()u n S z 的特殊情形：0()()n n L z L z =称为拉盖尔多项式积分表示：(0)1(-1)()(1)2in uzt u n n nS z e t t dt π++--=-⎰微商表示：d ()(1)()dzm m m nm n mS z L z +=-()un S z 是z 的n 次多项式。
北科大数理方程 4+ch4+勒让德(Legendre)多项式
dy dx
d ( sin
2
d (sin dx
dy dx
d dx
)
(sin
)
dx d
dx
dy dx ] d dx
2
( sin )
[(co s 1)
]
d dx
[(1 co s )
[(1 x )
dy dx
]
12
方程
d d 2 2 sin sin l ( l 1) sin m 0 d d 有限值 0 ,
2
2
0
d dr
r
(r
2
dR dr
) R r
1
2
sin
d
(sin
d d
) R r
2
sin
2
d
2
0,
2
以
R
1 d R dr (r
乘上式，得
2
dR dr
)
1
d
sin d
(sin
d d
)
1 sin
2
d
2
d
2
0,
4
1 d R dr
第四章 勒让德多项式
本章介绍另一类重要的特殊函数—勒让德函数。 勒让德函数是勒让德方程
(1 x )
2
d y dx
2
2
2x
dy dx
y 0
的解。 勒让德方程在区间[-1,1]上的有界解组成一类用途广泛的 正交函数系―勒让德多项式。 利用勒让德多项式，可以求出许多数学物理问题的解。
初等多值函数 - 欢迎来到重庆邮电大学理学院首页
3
z
的三个单值分支完全分开了。
需要注意的是 把 个多值函数划分为单值分支是与支割线密切相关 需要注意的是，把一个多值函数划分为单值分支是与支割线密切相关 的，对应于不同的支割线，多值函数各单值分支的定义域和值域也不同。
12
1 补充例题. 试解方程 1 sin z 2, 2 ln z i . 2
13
The End
14
例 2.8 计算 ii.
解: 根据定义,有:
i i exp iLni e
1 i 2 k i 2
e
1 2 k 2
, k 0, 1, 2,.
（计算 3i , e 2i ）
11
4 反三角函数 4.
由 z sin w及z cos w 定义的函数，分别叫做反正弦函 数和反余弦函数，记为 w Arc sin z 及 w Arc cos z.
3
z
的另外 个支点 的另外一个支点。
图 2.2 多值函数的支点
4
(iii)支割线
在 z 平面上从支点 z 引一条射线，将 条射线，将 z 平面隔开 0 到支点 z 引
（ 如 取 正 实轴 ） ， 并 规 定 当 z 连 续 变 化 时 不 得越 过 支 割线 ， 即 规 定
0 arg z 2 。 这就使得在割开的平面上，任何闭曲线都不包含
rei eu iv eu eiv ，
于是有 u ln r ln z , v Argz 2k . 即：
工程数学2010-CH10-勒让德多项式和球谐函数-2010
若y (0) = c0 , y′(0) = c1 已知, 则 (−l )(l + 1) c2 = c0 , 2 ⋅1 (2 − l )(l + 3) c4 = c2 4⋅3 (2 − l )(−l )(l + 1)(l + 3) = c0 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
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试解 R = r m 代入欧拉型方程 r 2 R′′ + 2rR′ − l (l + 1) R = 0 得
[ m(m − 1) + 2m − l (l + 1)] r m = 0
即 m(m + 1) − l (l + 1) = 0 解得m1 = l , m2 = −(l + 1). 由此得R (r )的通解 R (r ) = Ar + B
k =0 ∞
(2k − 2 − l )(2k − 4 − l ) ⋅⋅⋅ (−l )(l + 1)(l + 3) ⋅⋅⋅ (l + 2k − 1) . uk = (2k )! 对级数 y1 (±1) = ± ∑ vk ,
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Θ = 0
球 坐 标 下 的 薛 定 谔 方 程
v 根据量子力学, 质量为m的微观粒子在势场V (r )中的 行为由薛定谔(Schrodinger)方程给出 h2 2 ∂ψ v ih =− ∇ ψ + V (r )ψ 2m ∂t h r 其中ψ ( r , t )为粒子的波函数,h = , h为普朗克常数. 2π v v 若V (r ) = V ( r ) = V ( r ), 可以在球坐标下分离变量. 令 v ψ (r , t ) = ψ ( r ,θ , ϕ , t ) = R (r )Y (θ , ϕ )T (t ) 代入薛定谔方程, 得到
高等数学选讲 - 欢迎来到重庆邮电大学理学院首页
高等数学选讲48 学时2013.09 李清旭 数理学院 liqx@, 25231师资队伍 教师名录 李清旭应用物理教学部 教师资料下载QQ: 453042412课程概况¾ 上课时间、地点 (256 、434单， 3208) ¾参考书 1. 高等数学，修订版，文丽，吴良大编著，北京 大学出版社，2005.8。
2. 高等数学 (第六版). 同济大学数学系编, 2007.4. 3.高等数学导论，中科大出版社，2008.2. ¾最终成绩 = 平时成绩(30%) + 期末考试成绩(70%)3课程内容1. 重积分 (16学时，33%) 2. 曲线与曲面积分 ( (16学时，33%) ) 3 微分方程 (16学时， 3. 学时 33%)4第七章 重积分7.1 二重积分7.2 三重积分 7.3 重积分的应用5第 节 第一节二重积分的定义及性质6曲顶柱体的体积考察一柱体：底是 xOy 面上的 闭区域 D, 侧面是以 D 的边界曲线 为准线, 且母线平行于 z 轴的柱面, 它 的顶是曲面 z = f (x,y ), z = f (x,y )≥ 0 是 D 上的连续函数，称这样的柱体 上的连续函数 称这样的柱体 为曲顶柱体.Ozyx问题：曲顶柱体的体积如何计算？7根据求曲边梯形面积的经验，不难想到如下方法：(1)分割 用曲线网将 xOy 面上的闭区域 D 划分为 n 个 小的区域: Δσ1, Δσ2 ,L, Δσn ; Δσ i 同时记为它们的面积。
分别以各小闭区域的边界曲线为准线,作母线平行 z 轴 的柱面 , 这些柱面把原曲顶柱体分为 n 个小曲顶柱体 . 当这些小闭区域直径很小时, 连续函数 f(x,y) 的变化很 小, 这时小曲顶柱体可近似地看作平顶柱体。
8(2)求和 在 Δ σ i 中任取一点 (ξ i ,η i ) , 以 f (ξ i ,η i ) 为高的平顶柱 体的体积为 : f (ξ i ,η i ) Δ σ i . 整个曲顶柱体的体积可以近似 为:∑ f ( ξ ,η ) Δ σi =1 i ini.(3)取极限 记 λ = max{λ1 , λ2 ,L , λn }, } 其中 λi 为第 i 个小区域内两点 间距的最大值(称为该区域的直径), ) 则上述求和的极限定义为曲顶 柱体的体积:V ≡ lim ∑ f (ξi ,ηi ) Δσ i .λ →0i =19n平面薄片的质量 薄片的设有一平面薄片，占有 xOy 面上的闭区域 D,在 点( x,y)处的面密度为 ρ(x,y), 假定 ρ(x,y) 在 D上连续, 则平面薄片的质量为多少？ 和求曲顶柱体体积的方法类似，我们采用“分 割、求和、取极限”的步骤来计算平面薄片的质量。
Legendre多项式
1 / 21
Legendre 方程 L-多项式的表示和性质 L-多项式的应用 连带 Legendre 方程 连带 L-多项式的表示和性质 球函数
.
.....
......
.
...
...
目录
1. Legendre 方程
2. L-多项式的表示和性质
3. L-多项式的应用
4. 连带 Legendre 方程
Legendre 方程 L-多项式的表示和性质 L-多项式的应用 连带 Legendre 方程 连带 L-多项式的表示和性质 球函数
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.....
......
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...
...
《数学物理方法：特殊函数》 § 2.6 球函数: Legendre 多项式
主讲人：卢东强
上海大学 上海市应用数学和力学研究所
/portals/419/dqlu /dqlu
Pnl (x) 的微分表示 (Rodrigues 公式):
Pnl (x)
=
(1
−
x2)n/2
1 2ll!
dl+n dxl+n
(x2
−
1)l.
Pnl (x) 的复积分表示 (Schl¨afli 公式):
Pnl (x)
=
(1
−
x2)n/2 (l
+ n)! l!
1 2πi
∮
C
2l
(z2 − 1)l (z − x)l+n+1
.Fourier 级数.
解: f (x) 为三次多项式, 应表示成 P0(x), P1(x), P2(x), P3(x) 的线性组合:
∑3 2x3 + 3x + 4 = flPl(x)
勒让德多项式球函数
第十一章勒让德多项式球函数本章讨论三维拉普拉斯方程在球坐标下的分离变量法，由此得到特殊函数：勒让德多项式、连带勒让德多项式和球谐函数，然后讨论它们的性质，最后讨论球函数的应用。
大纲要求：1.掌握球坐标下拉普拉斯方程的分离变量法2.掌握常点邻域的幂级数解法。
3.掌握勒让德多项式连带勒让德多项式，球函数的定义及基本性质4.掌握球函数在求解数理方程中的应用重点难点：1.球坐标下的分离变量法2.勒让德多项式的定义和基本性质3.连带勒让德多项式，球函数的定义4.球函数的应用第一节勒让德微分方程及勒让德多项式一、勒让德微分方程的导出考察三维拉普拉斯方程采用球坐标系，即：拉氏方程就变为：(1)首先，用分离变数法把表示距离的变数r与表示方向的变数θ和分离。
为此令代入(1)式得：用r2/RY遍乘各项并适当移项，即得：左边是r的函数，跟θ和无关。
右边定θ和的函数，跟r无关，两边相等。
只有同时等于一个常数，记为n(n+1)，这就分离出两个方程：(2)(3)微分方程(2)即为欧勒型常微分方程，其解为：偏微分方程(3)叫做球函数方程，Y(θ,)称为球函数，进一步分离变数，以：代入球函数方程(3)得：用遍乘各项并适当移项，即得：左边是θ的函数，与无关，右边定的函数，跟θ无关，两边相等，只有等于一常数，记为l。
这样就分解为两个常微分方程。
(4)(5)先看关于Φ的方程，注意到自然周期条件：(6)方程(4)与自然周期条件(6)构成本征值问题，本征值是l=m2(m=0,1,2,3……)本征函数是：这样方程(5)应为：(7)通常令而代入(7)得：(8)一般将记为y(x).方程(8)为连带(缔合)勒让德微分方程。
如果球坐标的极轴是对称轴，则u与无关，从而Φ()与无关，即：m=0．在m=0的情况下，方程(8)成为：(9)这叫勒让德方程。
二、幂级数解和勒让德多项式的定义1、常点邻域上的级数解法在常微分方程理论中，对于二阶常微方程是存在一种解法，称为级数解法，把二阶常微分方程的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数，这是一个比较普遍的方法，对方程并无特殊要求。
数学物理方法
数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第八章 Legendre多项式球函数——球坐标系下的分离变量法及其应用引言前几章中，已经应用分离变量法求解了一些定解问题。
分离变量法实质上是将偏微分方程化为常微分方程，经过分离变量法后出现的常微分方程有时是变系数的方程。
变系数的常微分方程的求解一般来说是困难的，但在求解数理方程时出现的变系数ODE有时往往有一些特殊性，这使得可以求出它们的通解。
在采用极坐标系求解区域内的Laplace方程时就得到Euler方程，其通解易求得。
除此之外，在另一些使用分离变量法的场合，也会得到一些别的规律形式的变系数常微分方程。
如在球坐标系下分离变量法可引出Legendre方程。
而在柱坐标系下分离变量法可得到Bessel方程，而一般情况下这些特殊方程的解不能用初等函数来表示，从而引入一类函数称为特殊函数，从本章开始将讨论这些问题。
在球坐标系中求解数理方程时会遇到一类特殊函数，这些函数的多项式形式最早由法国数学家Legendre(1752-1833)专门进行研究过，故命名这类函数为Legendre函数及Legendre多项式，目前Legendre 函数在解方程式中的应用已极其普遍，我们有必要对其进行详细研究，主要讨论方程的导出，性质以及在解数理方程中的应用。
8.1 Legendre 方程的导出球形区域上Legendre 方程的Dirichlet 问题22220(,,)xx yy zz x y z R u u u u f x y z ++=++=⎧⎪⎨=⎪⎩ R z y x <++222 其中R 为球半径，f 为已知三元连续函数，以其为模型在球坐标系下进行推导即可得出Legendre 方程。
引入球坐标变换sin cos sin cos cos x r y r z r θφθφθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩πφπθ2000<≤≤≤∞<≤r 则球坐标系下的Legendre 方程为：2222222111sin 0sin sin u u ur r r r r r θθθθθθ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 边界条件变为(,)Ruf τθφ==应用分离变量法求上述定解问题令()()(),,,u r R r y θφθφ=，则代入球坐标系下Legendre 方程有2222222111sin 0sin sin R yr y R R r r r r y r θθθθφ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 两边同时乘以2r Ry有：2222111sin sin sin R y y r R r r θθθθθφ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭10y = 即22221111sin sin sin R y y r R r r y θλθθθθφ⎡⎤∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦左端只是r 的函数，右端只是,r θ的函数，要相等只有它们全等于常数。
legendre正交多项式的权函数是
legendre正交多项式的权函数是Legendre正交多项式是一种常见的多项式，它在数学和物理学中都有广泛的应用。
与其他多项式不同的是，Legendre正交多项式具有特殊的正交性质，这使得它在一些问题中非常有用。
在这篇文章中，我们将介绍Legendre正交多项式的权函数，这是影响这些多项式正交性质的关键因素。
我们将讨论权函数的定义、性质和应用，以及如何选择合适的权函数以获得所需的正交性质。
1.定义在介绍权函数之前，我们需要先了解一下Legendre正交多项式的基本定义。
Legendre多项式是满足以下条件的多项式：1) 在区间[-1, 1]上连续。
2) 在区间[-1, 1]上具有n个不同的实根。
3) 在区间[-1, 1]上满足正交条件，即∫-1^1Pn(x)Pm(x)dx=0 (n≠m)其中Pn(x)是n次Legendre多项式。
在上述定义中，第三个条件是Legendre多项式的最重要的性质之一，它表明了不同次数的Legendre多项式在[-1, 1]上相互正交。
这个性质在很多应用中非常有用，例如在数值积分、微分方程求解和物理学中。
2.权函数的定义Legendre多项式的正交性质与权函数密切相关。
权函数是一个非负、可积的函数，它在Legendre多项式的正交条件中起到关键作用。
在一般情况下，权函数的形式是w(x)=1/√(1-x^2)其中x∈[-1, 1]。
这个权函数在Legendre多项式的正交条件中是非常重要的。
事实上，它是Legendre多项式的正交条件的必要和充分条件。
换句话说，如果我们使用这个权函数，那么Legendre多项式就满足正交条件。
这个结果是由Chebyshev于1859年首先证明的。
3. 权函数的性质权函数w(x)=1/√(1-x^2)具有很多有趣的性质。
其中一些最重要的性质如下：1) 权函数在[-1, 1]上是非负的，并且在区间端点处没有奇点。
2) 权函数在[-1, 1]上是可积的，即∫-1^1w(x)dx<∞3) 权函数在[-1, 1]上是对称的，即w(x)=w(-x)。
基于拟Legendre多项式求解Klein-Gordon方程的数值方法
D O I :10.3969/j.i s s n .1001-5337.2023.2.035 *收稿日期:2021-11-11作者简介:焦倩,女,1998-,硕士研究生;研究方向:计算数学;E -m a i l :178********@163.c o m.基于拟L e ge n d r e 多项式求解K l e i n -G o r d o n 方程的数值方法焦 倩(东北大学理学院,110004,辽宁省沈阳市) 摘要:利用拟L e g e n d r e 多项式算法研究一类K l e i n -G o r d o n 方程的数值解法.首先利用拟L e g e n d r e 多项式逼近未知函数;其次推导出未知函数的微分算子矩阵,再将所求解的偏微分方程离散化为易于求解的代数方程组;最后通过最小二乘法求得数值解.文章给出数值算例来验证所提算法的有效性和高效性,尤其是对于线性的问题,具有更好的逼近效果.关键词:拟L e ge n d r e 多项式;函数逼近;K l e i n -G o r d o n 方程;微分算子矩阵;最小二乘法中图分类号:O 241.82 文献标识码:A 文章编号:1001-5337(2023)02-0035-08非线性发展方程可以用来描述自然科学和应用科学中许多复杂现象[1].其中K l e i n -G o r d o n 方程是一类重要的双曲型偏微分方程,可以用来研究在不可积系统中动力学的经典孤波演化问题.由于这类偏微分方程在实际工程中应用广泛,特殊初边值的精确解远不能满足要求,对于一般初边值问题,更多需要数值求解.函数逼近这一概念最早是被C h e b ys h e v 提出的.后来,德国数学家W e i e r s t r a s s 研究了连续函数的逼近问题,证实了在预先给定精度下的任何连续函数都可以用多项式一致的近似表示[2].L e g e n d r e 多项式是数学物理问题中最重要的函数系之一.通过对L e g e n d r e 多项式进行变换得到的移位L e ge n d r e 多项式㊁分数阶L e g e n d r e 多项式均具有许多重要的应用[3].本文中所应用的拟L e g e n d r e 多项式是由C h e l ys h k o v 提出[4],这类多项式函数具有一些良好的性质.本文将拟L e ge n d r e 多项式结合着微分算子矩阵及配置点法把K l e i n -G o r d o n 方程离散化为代数方程组,进而完成求解.1 预备知识1.1 拟L e ge n d r e 多项式定义在[0,1]区间的拟L e ge n d r e 多项式为[5]L n ,i (x )=ðn -ik =0(-1)k n -i k æèçöø÷n +i +k +1n -i æèçöø÷x i +k ,i =0,1, ,n . 拟L e ge n d r e 多项式在[0,1]区间满足如下正交性:L n ,i (x ),L n ,j (x )()=ʏ10L n ,i (x )L n ,j (x )d x =12i +1,i =j ,0,i ʂj .ìîíïïï 令ψn (x )=[L n ,0(x ),L n ,1(x ), ,L n ,n (x )]T.则ψn (x )为拟L e g e n d r e 多项式的向量函数.1.2 函数逼近1.2.1 内积和范数在L 2[0,1]空间内定义内积和相应的范数为(u ,v )=ʏ1u (x )v (x )d x , v 2=(v ,v ). 第49卷 第2期2023年4月 曲阜师范大学学报J o u r n a l o f Q u f u N o r m a l U n i v e r s i t yV o l .49 N o .2A p r .2023 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.1.2.2 一元函数的逼近对于任意的u (x )ɪL 2[0,1],可以用拟L e g e n d r e 多项式表示为u (x )=l i m n ңɕðni =c i L n ,i (x ).假设X 1=s p a n L n ,0(x ),L n ,1(x ), ,L n ,n (x ){},那么X 1是L 2[0,1]的一个有限维子空间,因此u (x )在空间X 1中有最佳逼近函数u n (x ),故存在唯一确定的常数c 0,c 1, ,c n 满足[5]u (x )ʈu n (x )=ðni =0c i L n ,i (x ).(1)将式(1)用矩阵运算表示为u n (x )=ðni =0c i L n ,i (x )=C T ψn (x ),其中C =[c 0,c 1, ,c n ]T.利用拟L e g e n d r e 多项式的正交性得c i =(2i +1)(u (x ),L n ,i (x )),i =0,1,2, ,n .1.2.3 二元函数的逼近类似于一元函数逼近,对于任意的u (x ,t )ɪL 2([0,1]ˑ[0,1])可以用拟L e ge n d r e 多项式表示为u (x ,t )=l i m n ңɕl i m m ңɕðn j =0ðmi =0c i L m ,i (x )()d j L n ,j (t ).假设X 2=s p a n L m ,0(x ),L m ,1(x ), ,L m ,m (x ){}ˑs p a n {L n ,0(t ),L n ,1(t ), ,L n ,n (t )},那么u (x ,t )在空间X 2中有最佳逼近函数u m ,n (x ,t ),所以存在唯一确定的常数c i 和d j (i =0,1, ,m ;j =0,1, ,n )满足[5]u (x ,t )ʈu m ,n (x ,t )=ðn j =0ðmi =0c i L m ,i (x )()d j L n ,j (t ).(2)令U =u 00u 01u 10u 11u 0n u 1n ︙︙u m 0u m 1⋱︙ u m n éëêêêêêùûúúúúú,其中u i j =c i d j ,i =0,1, ,m ;j =0,1, ,n .则可将式(2)用矩阵运算表示为u m ,n (x ,t )=ðn j =0ðmi =0c i L m ,i (x )()d j L n ,j (t )=ψTm (x )U ψn (t ),其中ψm (t )=[L m ,0(x ),L m ,1(x ), ,L m ,m (x )]T ,ψn (t )=[L n ,0(t ),L n ,1(t ), ,L n ,n (t )]T.利用拟L e ge n d r e 多项式的正交性得u i j =c i d j =(2i +1)(2j +1)((u (x ,t ),L m ,i (x )),L n ,j (t )),i =0,1,2 ,m ;j =0,1,2 ,n . 在本文中,为了计算简便,取m =n ,此时将函数u m ,n (x ,t )表示为u n (x ,t ),从而二元函数可近似表示为u (x ,t )ʈu n (x ,t )=ψTn (x )U ψn (t ).(3)1.3 误差分析假设u (x ,t )ɪC n +1([0,1]ˑ[0,1]),u n (x ,t )是空间X 2中逼近未知函数u (x ,t )的最佳逼近函数,此时函数逼近的误差界为 u (x ,t ) 2= u (x ,t )-u n (x ,t ) 2<H(n +1)!2n +1(2n +3)(n +2),其中H 是一个有界量,上式的具体推导过程可参考文献[6].1.4 微分算子矩阵1.4.1 拟L e ge n d r e 多项式向量函数的矩阵表示拟L e ge n d r e 多项式向量函数可以表示为ψn (x )=W T n (x ),(4)其中W 为上三角矩阵,即W =[w i j ]n i ,j =0,w i j =0,0ɤj <i ,(-1)j -i n -i j -i æèçöø÷n +j +1n -i æèçöø÷,i ɤj ɤn ,ìîíïïïïT n (x )=[1,x ,x 2, ,x n ].由于W 是可逆的,所以有T n (x )=W -1ψn (x ).1.4.2 拟L e ge n d r e 多项式向量函数的微分算子矩阵基于式(4),拟L e ge n d r e 多项式向量函数的一阶和二阶微分算子矩阵为63 曲阜师范大学学报(自然科学版) 2023年Copyright ©博看网. All Rights Reserved.D ψn (x )=D (W T n (x ))=W D T n (x )=W E T n (x )=W E W -1ψn (x )=G 1ψn (x ),(5)D 2ψn (x )=D (D ψn (x ))=D (W E T n (x ))=W E D T n (x )=W E E T n (x )=W E 2W -1ψn (x )=G 2ψn (x ),(6)其中G 1=W E W -1,G 2=W E 2W -1,E =00000100 0020 0︙︙︙⋱︙0n0éëêêêêêêêùûúúúúúúú.1.4.3 未知函数的微分算子矩阵根据式(3)㊁式(5)和式(6),未知函数u (x ,t )的微分可以近似转换为∂2u ∂t 2ʈ∂2u n ∂t 2=∂2∂t2(ψT n (x )U ψn (t ))=ψT n (x )U (D 2ψn (t ))=ψTn (x )U G 2ψn (t ).(7)类似地可得∂2u ∂x 2ʈ∂2u n ∂x 2=∂2∂x2ψT n (x )U ψn (t )()=ψTn (x )G 2T U ψn (t ),(8)∂u ∂t ʈ∂u n ∂t =∂∂tψT n (x )U ψn (t )()=ψTn (x )U G 1ψn (t ).(9)2 应用拟L e ge n d r e 多项式算法求解K l e i n -G o r d o n 方程2.1 方程转化应用拟L e ge n d r e 多项式算法求解如下K l e i n -G o r d o n 方程的初值问题:u t t -u x x =F (u ,x ,t ),u (x ,0)=φ1(x ),u t (x ,0)=φ2(x ).(10) 基于式(3)㊁式(7)㊁式(8)和式(9),方程(10)可以近似表示为ψT n (x )U G 2ψn (t )-ψT n (x )G 2T U ψn (t )=F (ψTn (x )U ψn (t ),x ,t ),ψT n (x )U ψn (0)=φ1(x ),ψTn (x )U G 1ψn (0)=φ2(x ).(11)在区间[0,1]ˑ[0,1]上取配置点为[X ,T ]={(x i ,t j )}x i =i m ,t j =j m,i ,j =1,2, ,m æèçöø÷,矩阵方程组(11)可离散化为代数方程组ψT n (x i )U G 2ψn (t j )-ψT n (x i )G 2T U ψn (t j )=F (ψTn (x i )U ψn (t j ),x i ,t j ),ψT n (x i )U ψn (0)=φ1(x i ),ψTn (x i )U G 1ψn (0)=φ2(x i ),(i ,j =1,2, ,m ).(12) 为方便叙述,将代数方程组(12)记成形式P ң(u 00,u 01, ,u n n )=q ң,其中P ң(u 00,u 01, ,u n n )=p 1(u 00,u 01, ,u n n )p 2(u 00,u 01, ,u n n )︙p m 2+2m (u 00,u 01, ,u n n )éëêêêêêùûúúúúú,q ң=q 1q 2︙q m 2+2m éëêêêêêùûúúúúú,pi (i =1,2, ,m 2+2m )是关于u 00,u 01, ,u n n 的多项式函数,q j (j =1,2, ,m 2+2m )是常数.记f u 00,u 01, ,u n n ()= P ңu 00,u 01, ,u n n ()-q ң22.下面利用最小二乘法来求解代数方程组(12),等价于求多元函数f u 00,u 01, ,u n n ()= P ңu 00,u 01, ,u n n ()-q ң22的最小值.由多元函数极值的必要条件∂f ∂u i j=0i ,j =0,1, ,n (),(13)从而得到关于u 00,u 01, ,u n n 的方程组(13).利用MA T L A B 求得方程组(13)的解,即求得系数矩阵U *,因此可得方程的近似解析解为u (x ,t )=ψT n (x )U *ψn (t ).2.2 最小二乘法2.2.1 超定线性方程组解的判定超定方程组是指方程个数大于未知量个数的方程组.若方程组有精确解,则称为是相容的;若没有精确73第2期 焦倩:基于拟L e ge n d r e 多项式求解K l e i n -G o r d o n 方程的数值方法 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解,则称为是不相容的.设方程组A x =b ,(14)其中,矩阵A 是m ˑn 阶矩阵,x 和b 是m ˑ1维的列向量,m >n .关于该方程组的解有以下相关结论:1)若r a n k (A ,b )ʂr a n k (A ),则方程组(14)是不相容的,无解;2)若r a n k (A ,b )=r a n k (A )=n ,则方程组(14)是相容的,有唯一解;3)若r a n k (A ,b )=r a n k (A )<n ,则方程组(14)是相容的,有无穷解.对于超定不相容线性方程组,即没有精确解的情况1),可以利用最小二乘法求解其近似解,即求其最小二乘解.2.2.2 最小二乘解假设超定线性方程组(14)是无解的[7],下面求其最小二乘解.设方程组(14)的具体形式为a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =b 1,a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n =b 2, a m 1x 1+a m 2x 2+ +a m n x n =b 1m .ìîíïïïïï记每个方程的误差为δ1=b 1-(a 11x 1+a 12x 2+ +a 1nx n ),δ2=b 2-(a 21x 1+a 22x 2+ +a 2nx n ),δm =b m -a m 1x 1+a m 2x 2+ +a m n x n ().令δ=δ21+δ22+ +δ2m ,其中δ是关于x 1,x 2, ,x n 的函数.利用最小二乘法就是让误差的平方和δ最小,即求多元函数δ的最小值,利用多元函数极值的必要条件∂δ∂x i=0(i =1, ,n ),整理可得ðmi =1a i 1a i 1x 1+a i 2x 2+ +a i n x n ()]=ðmi =1a i 1b i ,ðmi =1a i 2a i 1x 1+a i 2x 2+ +a i n x n ()=ðm i =1a i 2b i , ðmi =1a in a i 1x 1+a i 2x 2+ +a i n x n ()]=ðm i =1a i nb i .ìîíïïïïïïïï用矩阵表示即为A T A x =A T b .以下是2个有关最小二乘解的结论:1)x *是A x =b 的最小二乘解的充分必要条件是x *是A T A x =A T b 的解.2)若矩阵A 是列满秩的,则A T A x =A T b 的解存在且唯一.由以上结论可知,当矩阵A 是列满秩时,超定不相容线性方程组A x =b 存在唯一的最小二乘解x =(A T A )-1A T b .2.3 算法建议本文在利用MA T L A B 求解由多元函数极值的必要条件得到的方程组(13)时,采用了f s o l v e 函数进行求解.MA T L A B 的f s o l v e 函数可以用来求解线性和非线性方程组,但是由于它采用的是局部最优算法,且依赖初值,所以在使用上有一定的局限性.在应用拟L e g e n d r e 多项式求解K l e i n -G o r d o n 方程的具体计算过程中,针对线性和非线性两种情况,分别有一些计算技巧,恰当选择计算方式,有助于我们高效地进行求解.2.3.1 线性K l e i n -G o r d o n 方程对于线性K l e i n -G o r d o n 方程,将得到的方程组(13)转化为超定线性方程组A x =b 求解,这要比直接求解方程组(13)思路更清晰,过程更方便.由式(3)可知待求系数矩阵U 中未知量的个数是(n +1)2,由配置点取法可知配置点的个数是m 2,再考虑式(10)的初值条件,那么根据配置点取法所得方程个数为m 2+2m .因83 曲阜师范大学学报(自然科学版) 2023年Copyright ©博看网. All Rights Reserved.此求解式(10)类型的线性K l e i n -G o r d o n 方程的初值问题时,关于n 和m 的选取,应满足m 2+2m >(n +1)2,即方程个数大于未知量个数.此时,经转化得到的代数方程组(12)便是超定线性方程组A x =b .在求解过程中,可以利用MA T L A B 计算系数矩阵A 的秩,如果A 是列满秩,那么此时A x =b 存在唯一的最小二乘解x =(A T A )-1A T b .2.3.2 非线性K l e i n -G o r d o n 方程对于非线性K l e i n -G o r d o n 方程,因为由多元函数极值的必要条件得到的方程组(13)是非线性的,所以无法采取和上述线性问题一样的处理方式.而且非线性K l e i n -G o r d o n 方程的方程组(13)往往要更加复杂,有时无法用f s o l v e 函数完成求解,所以本文中求解非线性问题的精度远不如线性问题.对于进一步提高非线性问题解的精度问题,还需进一步探索.3 数值算例3.1 应用拟L e ge n d r e 多项式算法求解线性K l e i n -G o r d o n 方程例1 考虑如下线性K l e i n -G o r d o n 方程的初值问题u t t -u x x =20s i n x +10t 2s i n x ,u (x ,0)=0,u t (x ,0)=0.(15)上述方程的精确解为u (x ,t )=10t 2s i n x .取n =3,m =6,依据式(11),取配置点后,方程组(15)可离散化为代数方程组ψT 3(x i )U G 2ψ3(t j )-ψT 3(x i )G T 2U ψ3(t j )=20s i n x i +10t j 2s i n x i ,ψT 3(x i )U ψ3(0)=0,ψT3(x i )U G 1ψ3(0)=0,(i ,j =1,2, ,6),(16)其中G 1=A E A -1,G 2=A E 2A -1,E =0001000200000030éëêêêêêùûúúúúú,U =u 00u 01u 10u 11u 02u 03u 12u 13u 20u 30u 21u 31u 22u 23u 32u 33éëêêêêêêùûúúúúúú,A =4-30-60-35010-3021006-70001éëêêêêêùûúúúúú.利用MA T L A B 将代数方程组(16)转化为矩阵形式A x =b .该线性方程组含有48个线性方程,16个未知数,而且可以验证其系数矩阵A 是列满秩的,所以由2.2.2中关于最小二乘解的结论可知,该线性方程组存在唯一的最小二乘解x =(A T A )-1A T b .求得此最小二乘解,即可得到待求系数矩阵为U *=000.00690.0113000.18001.2049000.82855.8491002.069714.5692éëêêêêêùûúúúúú,从而求得方程(15)的近似解析解u (x ,t )=ψT 3(x )U *ψ3(t ).取100个配置点[X ,T ]={(x i ,t j )}x i =i 10,t j =j 10,i ,j =1,2, ,10æèçöø÷,对比精确解和近似解析解在这些配置点上的值,来验证拟L e ge n d r e 多项式算法的有效性.由于篇幅所限,下面只列出了部分配置点处的结果.表1 当n =3,m =6时,方程(15)的精确解㊁数值解与绝对误差xt精确解数值解绝对误差0.20.20.0821892660.0794677320.0027215330.20.60.7328079340.7152095910.0175983430.50.20.1915280690.191770215-0.0002421460.50.61.7306912411.7259319390.0047593020.80.20.2871586650.2869424360.0002162280.80.62.5932510702.5824819270.010769143 可以发现,当n =3,m =6时,由拟L e ge n d r e 多项式算法求得的数值解的近似效果比较一般,只是一种93第2期 焦倩:基于拟L e g e n d r e 多项式求解K l e i n -G o r d o n 方程的数值方法 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.粗略的近似,精度并不高.为了获得更好的逼近效果,可以取不同的n 和m ,具体计算过程同上.取不同n 和m 的数值解与精确解的绝对误差见表2,同样只列出了部分配置点处的结果.表2 不同n 和m 的数值解与精确解的绝对误差xtn =3n =3n =4n =4n =4n =5n =5m =8m =10m =6m =8m =10m =6m =80.20.20.0021468220.0018507263.19126ˑ10-42.14035ˑ10-41.59688ˑ10-4-2.67601ˑ10-5-1.44482ˑ10-50.20.60.0135341090.0114649470.0048512840.0037750240.003231961-4.80778ˑ10-4-3.39059ˑ10-40.50.2-2.75363ˑ10-4-2.88045ˑ10-4-3.86478ˑ10-5-3.72756ˑ10-5-3.41233ˑ10-5-1.22415ˑ10-5-9.24096ˑ10-60.50.60.0036021020.0030164653.43376ˑ10-41.91775ˑ10-41.23057ˑ10-4-8.01123ˑ10-5-4.82167ˑ10-50.80.24.23677ˑ10-45.26114ˑ10-4-7.03958ˑ10-5-4.77961ˑ10-5-3.57326ˑ10-5-7.35642ˑ10-6-4.65519ˑ10-60.80.60.0105380080.010327577-0.002562384-0.0024639-0.002429995-2.03441ˑ10-4-1.82028ˑ10-4xtn =5n =6n =6n =6n =7n =7m =10m =7m =8m =10m =8m =100.20.2-9.22046ˑ10-6-2.00085ˑ10-6-1.4543ˑ10-6-8.60591ˑ10-78.98034ˑ10-84.93553ˑ10-80.20.6-2.74666ˑ10-4-8.86332ˑ10-5-7.66224ˑ10-5-6.30484ˑ10-55.64203ˑ10-64.34535ˑ10-60.50.2-7.82921ˑ10-6-3.46238ˑ10-7-2.59592ˑ10-7-1.73294ˑ10-74.56782ˑ1082.64815ˑ10-80.50.6-3.45378ˑ10-5-3.26195ˑ10-6-2.40858ˑ10-6-1.50336ˑ10-63.47328ˑ10-72.14389ˑ10-70.80.2-3.14891ˑ10-61.24325ˑ10-69.78071ˑ10-76.61037ˑ10-74.72777ˑ10-83.0072ˑ10-80.80.6-1.73333ˑ10-43.86103ˑ10-53.80574ˑ10-53.80824ˑ10-52.06968ˑ10-61.93536ˑ10-6结合表1和表2中的数据,可以发现在一般情况下有以下结论成立:1)当n 固定时,随着m 增大,绝对误差逐渐减小;2)当m 固定时,随着n 增大,绝对误差逐渐减小;3) 增加n 使绝对误差减小的效果要优于 增加m .例如当n =4,m =6时,一方面增加.配置点的个数,取m =10;另一方面增加拟L e g e n d r e 多项式的个数,取n =5.对比两种情况的绝对误差,可以发现取n =5的绝对误差更小,从而该情况下数值解的精度更高.也就是说, 增加n 和 增加m 均可以提高精度,但相比之下, 增加n 提高精度的效果更佳.结合以上计算结果可知,当n =7,m =10时,由拟L e ge n d r e 多项式算法求得的数值解已具有较好的逼近效果,而且求解过程的运行速度较快,从而证实了该算法的有效性.值得注意的是,随着拟L e g e n d r e 多项式和配置点的数目的增加,虽然数值解的精度在不断提高,但是运行时间会越来越长.3.2 应用拟L e ge n d r e 多项式算法求解非线性K l e i n -G o r d o n 方程例2 考虑如下非线性K l e i n -G o r d o n 方程的初值问题[8-10]:u t t -u x x +u 2=-x c o s t +x 2(c o s t )2,u (x ,0)=x ,u t (x ,0)=0.(17)上述方程的精确解为u (x ,t )=x c o s t .取n =3,m =6,依据式(11),取配置点后,方程组(17)可离散化为代数方程组ψT 3(x i )U G 2ψ3(t j )-ψT 3(x i )G 2T U ψ3(t j )+(ψT 3(x i )U ψ3(t j ))2=-x i c o s t j +x 2i (c o s t j )2,ψT 3(x i )U ψ3(0)=x i ,ψT3(x i )U G 1ψ3(0)=0,(i ,j =1,2, ,6)(18)其中G 1=A E A -1,G 2=A E 2A -1,E =0001000200000030éëêêêêêùûúúúúú,U =u 00u 01u 10u 11u 02u 03u 12u 13u 20u 30u 21u 31u22u 23u 32u 33éëêêêêêêùûúúúúúú,A =4-3060-35010-3021006-70001éëêêêêêùûúúúúú. 利用MA T L A B 中的f s o l v e 函数求解上述的非线性方程组(18),即可得到待求系数矩阵为04 曲阜师范大学学报(自然科学版) 2023年Copyright ©博看网. All Rights Reserved.U *=-15/111932-18/41207-109/18402-312/7567162/6355499/65091217/11187148/3559174/1403448/120543/75360/629617/1764853/8131805/1089875/467éëêêêêêùûúúúúú,从而求得方程(17)的近似解析解u (x ,t )=ψT 3(x )U *ψ3(t ).取100个配置点[X ,T ]={(x i ,t j )}x i =i 10,t j =j 10,i ,j =1,2, ,10æèçöø÷,对比精确解和近似解析解在这些配置点上的值,由于篇幅所限,下面只列出部分配置点处的计算结果.表3 当n =3,m =6时,方程(17)的精确解㊁数值解与绝对误差xt精确解数值解绝对误差0.20.20.1960133160.194502898-0.0015104180.20.60.1650671230.140498277-0.024*******.50.20.4900332890.488120917-0.0019123720.50.60.4126678070.4154619090.0027941020.80.20.7840532620.7848076450.0007543830.80.60.6602684920.6923111970.032042705类似于例1的做法,可以再取不同n 和m 分别进行计算,其具体计算过程与n =3,m =6是几乎一样的,故此处不再赘述,下面仅列出不同n 和m 在部分配置点处的计算结果.表4 不同n 和m 的数值解与精确解的绝对误差xtn =2n =2n =2n =2n =3m =5m =6m =7m =8m =50.20.20.0427287240.0377148020.0342892280.031770836-0.002167060.20.60.1167427520.109968720.1054289660.102125608-0.029*******.50.2-0.014417275-0.017324569-0.019496257-0.021237793-0.0015990580.50.60.0667210660.0628516340.0601550380.058101358-0.0001468880.80.2-0.024955244-0.026641788-0.028148258-0.029*******.0002180490.80.60.0641986650.0620469750.0604310970.0590914210.029138944 结合表3和表4中的数据可知,在一般情况下, 增大n 和 增大m 均可以使绝对误差减小,而且 增加n 使绝对误差减小的效果要优于 增加m ,这与4.1中所得结论是一致的.对于非线性K l e i n -G o r d o n 方程(17),由于得到的代数方程组(18)是非线性的且比较复杂,所以当拟L e ge n d r e 多项式或配置点的数目增多时,使得方程组(18)中的方程过于复杂,进而无法用f s o l v e 函数完成求解,所以本例中数值解的精确度还比较低.为了提高数值解的精度,作者曾在配置点数目固定的情况下,尝试了配置点的不同取法,但结果并没有得到显著的改善,相关问题有待进一步的研究.4 小 结本文应用拟L e ge n d r e 多项式算法尝试求解了K l e i n -G o r d o n 方程的数值解,并对所得结果进行了仔细地对比和分析.该算法的核心在于提出简易高效的拟L e g e n d r e 多项式微分算子矩阵,进而得到未知函数的微分算子矩阵,在所提算子矩阵的作用下,所要求解的偏微分方程可以离散化为易于计算机操作的代数方程组,然后通过最小二乘法完成对代数方程组的求解.通过数值算例的结果进行分析不难发现,在一般情况下,增加拟L e ge n d r e 多项式和配置点的数目均会提高数值解的精度,但相比之下,前者对精度提高的效果要优于后者,所以在提高精度时,可先尽量提高拟L e g e n d r e 多项式的数目,即增大n .由于增加拟L e g e n d r e 多项式和配置点的数目均会增加计算的复杂程度,进而影响程序的运行速度,所以在实际操作中,对于拟L e g e n d r e 多项式和配置点的数目选取也是有一定限度的,可以根据自身问题对精度的要求,来恰当选择二者的数目,以便完成高效地数值求解.14第2期 焦倩:基于拟L e g e n d r e 多项式求解K l e i n -G o r d o n 方程的数值方法 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.24曲阜师范大学学报(自然科学版)2023年同时,通过给出的数值算例也可以看出,对于线性问题,可借助超定不相容线性方程组的理论来完成求解,这不仅在理论思路上更加清晰,而且在运用计算机求解时也更加方便,此外,拟L e g e n d r e项式算法对于求解线性问题已具有较高的精度,并且整个运行求解的过程比较高效.但对于非线性问题,由于得到的方程过于复杂无法在计算机上进行求解,所以精度无法的得到进一步的提升,目前只能做粗略的近似.在理论上,利用拟L e g e n d r e多项式算法求解一些其他类型的非线性偏微分方程也是可行的,但是当拟L e g e n d r e多项式或配置点的数目增多时,它也面临着无法进一步提升精度的问题.因此,对于如何进一步提高非线性问题解的精度的问题,还需进一步研究.参考文献:[1]D E B T N A T H L.N o n l i n e a r P a r t i a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s f o r S c i e n t i s t s a n dE n g i n e e r s[M].2n dE d.B o s t o n:B i r k häu s e r,2005.[2]王仁宏.数值逼近[M].2版.北京:高等教育出版社,2012.[3]K A Z E M S,A B B A S B A N D Y S,K UMA R S.F r a c t i o n a l-o r d e rL e g e n d r ef u n c t i o n sf o rs o l v i n g f r a c t i o n a l-o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s[J].A p p l i e d M a t h e m a t i c a lM o d e l l i n g,2013,37:5498-5510.[4]C H E L Y S H K O V VS.A l t e r n a t i v e o r t h o g o n a l p o l y n o m i a l s a n d q u a d r a t u r e s[J].E l e c t r o n i cT r a n s a c t i o n s o nN u m e r i c a l A n a l-y s i s,2006,25:17-26.[5]B A Z M S,HO S S E I N IA.N u m e r i c a l s o l u t i o no fn o n l i n e a r i n t e g r a l e q u a t i o n su s i n g a l t e r n a t i v eL e g e n d r e p o l y n o m i a l s[J]. 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1.3球函数
∫∫
0
π
2π
0
yl ,m (θ, ϕ) yk ,n (θ, ϕ)sin θdϕdθ = δ kl δ nm
yl , − m (θ , ϕ ) = (−1) m yl ,m (θ , ϕ )
y0 , 0
15 1 3 ± iϕ y = sin 2 θ e ± i 2 ϕ = , y1, ±1 = ± sin θ e , 2, ±2 32π 8π 4π
m l −1
二、缔合Legendr函数的性质 1 (l + m )! 2 δ m m 3、正交性 ∫−1 Pl (x )Pk (x )dx = (l − m)! 2l + 1 kl 1 m 记 I l ,k = ∫ Pl m (x )Pkm ( x )dx 证明： −1
= ∫ 1− x
−1 1
(
2 m
u = ∑∑ Alm cos mϕ + Blm sin mϕ r l Pl m (cos θ )
l =0 m =0 ∞
l
∞
l
(
1 = u0 sin θ cos 2ϕ = u0 P22 (cos θ ) cos 2ϕ 3 1 m l 2 2 ∴ A2 a = u0 , Al a = 0(m, l ≠ 2 ), Blm a l ≡ 0 3 u0 u0 r 2 2 m m 即 A2 = 2 , Al = 0(l , m ≠ 2), Bl ≡ 0 → u (r , θ , ϕ ) = 2 sin 2 θ cos 2ϕ 3a a Wuhan University
Pl ( x ) = Pl ( x )
0
(
)
(
)
(
)
(
)
Wuhan University
数学物理方法4-2Legendre函数
mn
第四章 特殊函数 第二节 Legendre多项式
n n 1 d 1 2 2 n d n ( 1 ) dx ( x 1 ) x P n ( x ) dx 2 1 n n 1 2n dx dx 2 n! n 1 d 1 d n 1 2 2 n n 2n 2 ( x 1 ) d ( x 1 ) n dx n 1 2 n! 1 dx n 1 n 1 1 d 1 2 2 n d n 2n 2 ( x 1 ) ( x 1 ) dx n 1 n 1 1 dx dx 2 n!
d 2 d d 2 2 cos sin 2 2 d dx dx
连带的勒让德方程 n次的勒让德方程
(1 x 2 ) y 2 xy n(n 1) y 0
第四章 特殊函数 第二节 Legendre多项式
二 勒让德方程求解
设具有级数解 带入方程得:
a2 m (1) m
x cos (2n)! P n ( x ) dx 2 1 2 2 n n!
1 2
x
0
2
1 (1) n sin 2 n
2 n 1
n
sin
(2n)! d 2 2 2 n 1 n!
/2
0
sin 2 n 1 d
第四章 特殊函数 第二节 Legendre多项式
第四章 特殊函数 第二节 Legendre多项式
性质4 正交性和模值
1
0, mn 2 1 Pm ( x) Pn ( x)dx , mn 2n 1
1
先证明： 1 x k Pn ( x)dx 0 k n
1 dn 2 1 1 k d n 1 2 n n x n ( x 1 ) d x n x d n 1 ( x 1) 1 2 n! dx n 2 n! 1 dx 1 n 1 n 1 1 d 1 d n k 1 n 2 k 2 ( x 1) x dx n x n 1 ( x 1) k n 1 1 dx 2 n! dx 1 n 1 k 1 k 1 d n 2 n x ( x 1 ) dx n 1 1 2 n! dx
基于Legendre多项式函数系的齐次扩容精细算法
基于Legendre多项式函数系的齐次扩容精细算法第22卷第3期2005年6月计算力学ChineseJournalofComputationalMechanicsVO1.22.NO.3June2005文章编号:1007—4708(2005)03—0335—04基于Legendre多项式函数系的齐次扩容精细算法时小红,周钢,付召华(上海交通大学数学系,上海200240)摘要:基于Legendre多项武函数系的特点,设计了求解非齐次线性定常系统的一种新的精细算法——基于Legendre正交多项式系的齐次扩容精细算法(HHPD—L).这一算法不仅避免了HPD—F算法ee的矩阵求逆,还克服了HHPD—F算法中非齐次函数周期性要求的限制;不仅计算量小,设计合理,还易于推广和实现.两个典型算例表明,HHPD—L算法的数值结果更为理想.关键词:精细算法;非齐次动力系统;齐次扩容精细算法中图分类号:0241.4文献标识码:A1引言动力响应的求解是动力系统分析的重要内容之一.20世纪90年代初,钟万勰创立了数值求解线性定常动力系统的精细算法HighPreciseDirect(HPD),克服了传统的以逐步积分法为代表的诸如R—K方法,Newmark方法存在的问题,使对于合理范围内的步长,算法不再具有敏感性,且具有非常高的计算精度,因而具有非常重要的工程实用价值.对于非齐次线性定常系统,钟万勰口]设想了在一个积分步长r内将激励项线性化的处理方法LHPD;林家浩J贝U基于Fourier级数展开和常微分方程的理论解,提出HPD—F精细算法.这两种算法有一个共同点,即算法的实现需要求解系统矩阵及相关矩阵的逆矩阵.一方面,矩阵求逆工作量大;另一方面,HPD—F方法要求矩阵和(志一A)的可逆性限制了其应用范围.文献[4,5]分别提出了基于Fourier级数及Taylor级数的齐次扩容精细算法HHPD—F与HHPD—T,主要特点是避免了矩阵求逆.缺点是:分别要求非齐次函数厂(f)为周期函数或充分光滑.本文基于Legendre多项式函数系的特点,设计了求解非齐次线性定常系统的一种新的精细算——基于Legendre正交多项式系的齐次扩容精细算法(HHPD—I).这一算法不仅避免了HPD—F算法中的矩阵求逆,还克服了对非齐次函数的过多收稿日期:2003—07—29;修改稿收到日期:2004—06—24. 基金项目:国家自然科学基金(50376039);国家教育部科学技术重点项目资助项目.作者简介:时小红.(1981.),女,硕士.要求与限制;不仅计算量小,设计合理,还易于推广,易于实现.两个典型算例表明,HHPD—L算法的数值结果更为理想.2基于Legendre多项式函数系的HHPD—L算法考察如下含有激励厂(f)的线性定常系统l(f)一)+厂(f),0≤f≤T(o)【yc(t.)一.0≤t≤T其中∈R为阶方阵,.,量(f)ER为维向量;厂(f)∈为维分段实连续向量函数,71> 0是某个确定的正数.令一2t一1(01)一一lU1记一一():凡一(一等一(0)则当tEEo,丁]时,有E[一1,1],不难看出:求解系统fz(s)一Ax(s)+厂(s),一1≤s≤1【(.)一.与求解系统(0)等价.为讨论方便,本文下面就系统(1)讨论新算法的建立.2.1预备定理定理ir当区间为[一1,1],权函数.D(s)三1时,由{1,s,…,,…)正交化得到的多项式就称336计算力学第22卷为勒让德(Legendre)多项式,并用P.(s),P(),…,P(s),…表示.定理2[6]P.(s),P(s),…,P(s),…,为勒让德(Iegendre)多项式,则r1f0,71'2≠}P(s)P(s)ds一{2(2)【丽,定理3对于m+1次勒让德多项式P+l(s)有(+1)P+l(s)一(2m+1)sP,(5)一mP一l(s) (一1,2,…)(3)不难得到:推论设Y一(P(s),P一(s),…,P.(s)),其中P(s)为勒让德多项式,则y—DY.D02m一102m一502m一9…002m一302m一7O…0002扰一502m一9…●●●●●●:::'.'.'.…000000…(4)定理4['设函数厂(s)∈c[一1,1],记其沿勒让德正交多项式系展开的+1项截断为Q(s)一口oPo(s)+口lPl(s)+…+口P(s) (5)则一一f(s)l一-'k(s')d's吼一一TJ(6)且liralI/(s)一Q(s)lI.一o(7)定理5'设函数厂(s)∈C.[一1,1],Q(s)由定理4给出,则VS∈[一1,1]和V e>0,当充分大时,有l厂()一Q(s)l≤—(8)~/m2.2一个新的齐次扩容精细算法(HHPD—L)在系统(1)中,如下引人齐次化技巧.步骤1:将非齐次函数厂(s)沿Legendre多项式系展开以f()一口.P.()+...+口P(5)+ (9)的m+1项截断Q(s)替代,(),可以得到:z(s)一Ax()+口0Po()+口lP2)+…+口P(s)(1O)步骤2:记Y一(P(s),P(s),…,P.(s)),式(10)可改写为fz(s)一Ax(s)+BY(s),So≤S≤1(11)lz(so)一孟.此系统称为(1)的非齐次替代系统.步骤3:由式(4),y—DY,式(11)可齐次扩容为IZf—KZ1z(0)一0Z2)IZ(0)一其中z一[;j],K一[:],z.:f)]式(12)就称作系统(1)的Legendre齐次扩容系统. 步骤4:设置积分步长r,划分[5.,1]为S.<S<…<S肘一1满足:S+l—S一r(一1～M一1)设置精细参数Ⅳ,调用HPD方法高精度计算式(12).算法为dr一2一?r～?(～A一1drKdr0D0D]d一?一?Il—lJ\/IJfork一1:N a=2a'+dz=[A0+Bl+2DDBl.]I+Jk—k+1End:+一.1+AiB1+B1Dl1【02D+D+JZ(s)的数值解满足:Z+一W?Z(五一0,1,2,…).不难看出:Legendre齐次扩容系统(12)在各离散点S上的数值解Z(—o,1,…,)也是替代系统(11)的解;又由定理(4),系统(11)的解就是系统(1)的+1阶近似解,因此系统(12)的解z.的前规个元素为系统(1)的m+1阶高精度数值解(一0,1,…,).若按(0)式变回t域,就得到系统(0)的数值解.3数值算例例1口]方程z一4x"+5x一2x一昔f.+t+寺(13)初始条件z(O)一z(O)一z(0)一o第3期时小红,等:基于Legendre多项式函数系的齐次扩容精细算法337 其解析解为z一詈e2+(一号t+7)e,一号t2一t一警(14)下面,引入变量Y一,Y.一,则式(13)可等价地改写为一阶方程组形式:100100YlY201002—5000000111P2P1P0.ZY1Y2+(15)得应用§2的齐次扩容技巧,式(15)升高三维,01002—5000000000011300100(16)初值为,,.,P.,P,p…T:.一(.,.,.,一,.,).取步长r一0.1,精细参数N一20,表1是本文齐次扩容精细算法HHPD—L的计算结果与精确解及R—K二阶,三阶,四阶数值解的比较.表1HHPD—L算法及R—K算法的计算结果与精确解结果的比较Tab.1ComparisonofresultbyHHPD—L,R—Kandtheanalyticsolutionresults 例2E考察边值问题:j+2.)+..一f.(17)【(0)一0,(0)一0参数取为P一1.0,一0.05载荷厂(￡)取为一{2.0005t01.(1.一f).≤≤1.解析解为z(￡)一0.2e一COS17￡——1.9925e一sinrlt+2f一0.2(￡∈Eo,0.53)(19)求导,有z(f)一一2e一COS,It一0.0012e一sin7]t+2 (20)则x(t)=0.2406e一COS,It——1.7493e一sin7]t+2￡一0.2(￡∈Eo.5,1.o3)(21).1其中一(1一)取r一0.25,q为展开项系数.表2是HHPD—L算法(Ⅳ一50,q一2)和HPD—F算法(q—lO)的计算值与精确解及误差的比较.由表2可见,在文献[3]给出的有效数字范围内,这两种算法的计算精度相差明显,另外由于HPD—F算法涉及了矩阵的求逆运算,且截断项又多,非常耗时,因而计算效率也要比HHPD—L算法差许多.338计算力学第22卷表2算例2中各算法的计算结果及误差比较E2] Tab.2ComparisonofHHPD—L,HPD—Fand theanalyticsolutionaboutexample24结语HHPD—I算法为含有激励项的非齐次线性定常系统进行高效率,高精度的计算提供了可能.虽然HHPD—L算法首先需要采用齐次扩容处理,增加了计算量,但是,齐次扩容仅使系统增加了m+1阶,增加这样的计算量而节省矩阵求逆是十分合算的.又HHPD—L算法仅要求激励项厂(f)为分段连续函数,因此此算法的适用范围较E4,s]的算法更广.参考文献(References):[1]钟万勰.暂态历程的精细算法EJ].计算结构力学与应用,1995,12(1):1—6.(zHONGWan—xie.Precise computationfortransientanalysis[J].Journalof ComputationalStructuralMachanicsandApplica—tions,1995,12(1):1—6.(inChinese))[3]E4]E5][6]E73钟万勰.计算结构力学与最优控制EM].大连:大连理工大学出版社,1993.(ZH0NGWan—xie. ComputationalStructuralMechanicsandOptimal Control[M].DalianUniversityofTechnologyPress, 1993.(inChinese))LINJH,SHENWP,WILLIAMSFW.Ahigh precisedirectintegrationschemeforstructures subjectedtotransientdynamicloadingEJ].Comput andStruct.1995,56(2):113—12O.王跃先,周钢.齐次扩容精细算法EJ].计算力学学报,2001,18(3):339—344.(W ANGYue—xian,ZHOU Gang.Homogenizationhighprecisiondirect integrationEJ].ChineseJournalofComputational Mechanics,2001,18(3):339—344.(inChlnese))周钢,等.一种基于Taylor级数的齐次扩容精细算法EJ].上海交通大学,2001,35(12):1916-1919.(ZH0UGang,eta1.Ahomogenizedhighprecise directintegrationbasedontaylorserialsEJ].Journal ofShanghaiJiaotongUniversity,2001,35(12):1916—1919.(inChinese))李庆扬,等.数值分析[M].北京:清华大学出版社,2001.(LIQing—yang,eta1.NumericalAnalysis[M].Beijing:TuPandSpringer,2001.(inChinese))王高雄,等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1983.(W ANGGao—xiong,eta1.Ordinaryl~'fferenceEquation[M].Beijing:HigherEducationPress,1983.(inChinese))Ahomogeneoushighprecisedirectintegrationbased oniegendrepolynomialseriesSHIXiao—hong,ZHOUGang,FUZhao—hua (DepartmentofMathematics,ShanghaiJiaotongUniversity,Shanghai200240,China) Abstract:ThisarticledevisesthemethodofHHPD—I(HomogenizedHighPreciseDirect—Legendre)by employingthetechnologyofhomogenizationandlinearizingstimulus厂(t)basingonLegendrePolynomialserieswithineveryr.whichavoidsinversingmatrixesfromwhichHHPD—Fsuffersandincreasesefficiencygreatly.Meanwhile,HHPD—Lconqueredtherestrictionthatstimulus 厂(f)mustbeperiodicorcontinuous,whichHHPD—FandHHPD—Tsuffersrespectively.Inaddition,HHPD—Lhasseveralotheradvantages,suchassimplerindesigning,easiertogeneralizeandimplement.Ad hoc,itcanbeusedinanycasseswhenthestimulus厂(f)isacontinuousfractionalfunction,whichbroadensthe rangewherethismethodscouldbeeffective.Theresultsofthetwoexamplesdiscussedinthisp apershowthattheHHPD—Iismoreefleetive.Keywords:HighPreciseDirect(HPD);non—homogenouslineardynamicsystem;HHPD —L。
Legendre多项式的微积分关系式及其简单应用
Legendre多项式的微积分关系式及其简单应用
曹虎周
【期刊名称】《榆林学院学报》
【年(卷),期】2001(011)002
【摘要】由连带Legendre函数的Rodrigues公式,可导出1阶Legendre多项式P1(x)的m重积分与m阶导数间的一个关系式,从而给Legendre多项式的运算提供方便.
【总页数】3页(P47-49)
【作者】曹虎周
【作者单位】榆林高等专科学校物理系,陕西,榆林,719000
【正文语种】中文
【中图分类】O411.1
【相关文献】
1.Matlab在微积分中的一个简单应用 [J], 刘希强;滕兴虎;吴欧;颜超
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3.麦克斯韦关系式速记方法及简单应用 [J], 李强;张民;代凯;李宏;朱光平
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Legendre函数
Legendre函数阿德利昂·玛利·埃·勒让德（公元1752─公元1833）为法国数学家，生于巴黎，卒于巴黎。
约1770年毕业于马扎兰学院。
1775年任巴黎军事学院数学教授。
1782年以《关於阻尼介质中的弹道研究》获柏林科学院奖金，次年当选为巴黎科学院院士。
1787年成为伦敦皇家学会会员。
勒让德 (Legendre)曾与拉格朗日（Lagrange）、拉普拉斯（Laplace）并列为法国数学界的“三L”，为18世纪末19世纪初法国数学的复兴，做出了卓越的贡献。
勒让德的主要研究领域是分析学(尤其是椭圆积分理论)、数论、初等几何与天体力学，取得了许多成果，导致了一系列重要理论的诞生。
勒让德是椭圆积分理论奠基人之一。
在L.欧拉提出椭圆积分加法定理后的40年中，他是仅有的在这一领域提供重大新结果的数学家。
但他未能像N.H.阿贝尔和C.G.J.雅可比那样洞察到关键在于考察椭圆积分的反函数，即椭圆函数。
在关于天文学的研究中，勒让德引进了著名的“勒让德多项式”，发现了它的许多性质。
他还研究了B函数和Γ函数，得到了Γ函数的倍量公式。
他陈述了最小二乘法，提出了关于二次变分的“勒让德条件”。
勒让德对数论的主要贡献是二次互反律，这是同余式论中的一条基本定理。
他还是解析数论的先驱者之一，归纳出了素数分布律，促使许多数学家研究这个问题。
在物理大地测量中，Legendre函数主要是伴随着球坐标系中求解Laplace方程而出现的，通过分离变量的方法得到，这里主要叙述一些Legendre函数的性质。
此方程即为勒让德方程。
假设勒让德方程的解为级数形式，通过求解得到具体前5项表达式形式：勒让德多项式还可以用另外我们熟知的形式：此公式成为罗德里格斯（Rodrigues-罗巨格）公式，比较常用。
勒让德多项式的积分表达形式为：下面再简单的给出其性质，最重要的要算递推公式了。
一阶导数的递推公式：一些特殊取值的性质：勒让德多项式的零点：Pn(x)的n个零点都是实的，且在(-1,1)内；Pn-1(x)的零点与Pn(x)的零点相互分离。
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第十五章
g多项式球函数Legendre
1
几点说明
1.这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出，但
可用幂级数解法解出．
2所谓幂级数解法的邻域上把待求2.所谓幂级数解法，就是在某个任意点z0 的邻域上，把待求
的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数．3.幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可借
助于解析函数的理论进行讨论
助于解析函数的理论进行讨论．
4.求得的解既然是级数，就有是否收敛以及收敛范围的问题.
5.尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程问
中
题的求解中．
3
The End The End
40。