高中数学丨外接球与内切球解题方法,8大模型
高考数学复习八个无敌模型——全搞定空间几何外接球和内切球问题
高考数学复习八个无敌模型——全搞定空间几何外接球
和内切球问题
类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出例1（1）
已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面
积是（C）A．B．C．D．（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是解：（1），，，，选C；（2），（3）
在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积
是
解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：如图（3）-1，取
的中点，连接，交于，连接，则是底面正三角形的中心，平面，，，，，
平面，，同理：，，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2，，，，，平面，，，，，平面，，故三棱锥的三棱条侧棱两两互相垂直，，即，正三棱锥外接球的表面积是（4）在四面体中，，则该四面体
的外接球的表面积为（D）（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们
的面积分别为、、，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三
视图如图所示，三视图是腰长为的等腰直角三角形和边长为的正方形，则
该几何体外接球的体积为解析：（4）在中，，，的外接球直径为，，，
选D（5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为（），则，，，，，，，（6），，，类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个
平面）1．题设：如图5，平面解题步骤：第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用
外接球与内切八大模型—老师专用
外接球与内切八大模型—老师专用
类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
正三棱锥 S ABC 外接球的表面积是
。 36
解：引理： 正三棱锥的对棱互垂直 。证明如下： 如图（ 3）-1 ，取 AB,BC 的中点 D,E ，连接 AE,CD ，
AE,CD 交于 H ，连接 SH ，则 H 是底面正三角 形 ABC 的中心， SH 平面 ABC ， SH AB ，
AC BC ， AD BD ， CD AB ， AB 平面 SCD ，
AB SC ，同理： BC SA ， AC SB ，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图
如图（ 3）-2， AM MN ， SB// MN ，
AM SB ， AC SB ， SB 平面 SAC ， SB SA ， SB SC ， SB SA ， BC SA ， SA 平面 SBC ， SA SC ，
故三棱锥 S ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直，
（2R ）2 （2 3）2 （2 3）2 （2 3）2 36 ，即 4R 2 36，
正三棱锥 S ABC 外接球的表面积是 36
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式 (2R)2 a 2 b 2 c 2 ，即 2R a 2 b 2 c 2 ，求出 R 例 1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高
为
A ． 16
B ． 20
C ． 24
4 ，体积为 16，则这个球的表面积是（ D ． 32
2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为
3 ，则其外接球的表面积是
解：( 1)V a 2h 16， a 2， 4R 2 a 2 a 2 h 2 4 4 16 24， S 24 ，选 C ；
外接球与内切球八种类型，纯干货，用上就得分！
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说了很多的学习方法，今天给大家分享一个纯干货：外接球和内切球八种试题类型及其解题公式！秒杀此类题目，只需看这一篇文章即可，一起来看看吧！
类型一：墙角模型（三条线两两垂直）
类型二：垂面模型（一条直线垂直于一个平面）
类型三：切瓜模型（两个平面互相垂直）展开剩余74%
类型四：汉堡模型（直棱柱的外接球）
类型五：折叠模型
类型六：对棱相等模型
类型七：两直角三角形拼在一起模型
类型八：椎体的内切球问题
今天的干货分享就到这里，以上的内容真的纯干货，超级有用，考试直接套用公式，节省时间，提高正确率，同学们一定要好好利用起来，抓住每一个提分机会，把自己的成绩提上去！加油！
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八个无敌模型__全搞定空间几何的外接球和内切球问题
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球
类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
图1
图2
图3
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2
2
2
2
)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 π9 解：（1）162
==h a V ，2=a ，24164442
222=++=++=h a a R ，π24=S ，选C ； （2
）933342
=++=R ，ππ942
==R S
（3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 。π36 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：
如图（3）-1，取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥，
BC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ，
∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直，
本题图如图（3）-2， MN AM ⊥，MN SB //，
∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，
八个有趣模型搞定外接球内切球问题
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球
类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2
2
2
2
)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是
（3）在正三棱锥中，分别是棱的中点，且MN AM ⊥,若侧棱,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是
（4）在四面体中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒
AB AC SA BAC 则该四面体的外接
球的表面积为（ ）
π11.A π7.B π310.
C π3
40.D
（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是
图2
图3
S ABC -M N 、SC BC 、SA =S ABC -
（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为
1的正方形，则该几何体外接球的体积为
类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC 解题步骤：
第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；
第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半
径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得
立体几何外接内切球的八大模型
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球c
a
b
图1C
P A
B a b
c
图2
P
C B
A a b
c
图3
C B
P
A
a
b
c
图4
P
C
O2
B
A
类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
c a
b
图1
C
P
A B
a
b
c 图2
P
C
B
A
a
b
c 图3
C
B
P
A
a b
c 图4
P
C
O 2
B
A
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2
2
2
2
)2(c b a R ++=，即2
222c b a R ++=，求出R
例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ）
A ．π16
B ．π20
C ．π24
D ．π32
（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 π9 解：（1）162==h a V ，2=a ，24164442
222=++=++=h a a R ，π24=S ，选C ； （2）933342
=++=R ，ππ942
==R S
类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC 解题步骤：
第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；
第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半
径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得
r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 2
11=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①2
22)2()2(r PA R +=⇔2
八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题
精心整理
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球
类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（C ） A ．π16B ．π20C ．π24D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是π9 解：（1
（2）42R （3,如图（3）连接SH ∴SH ⊥ AC =∴AB ⊥直，
∴AM ⊥∴SB ⊥∴⊥SA 故三棱锥∴)2(2=R ∴（4）在四面体S ABC -中，A B C SA 平面⊥，
,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的
表面积
(3)题-2
为（D ）π11.A π7.B π310.
C π3
40.D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是 （6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，
则该几何体外接球的体积为
解析：（4）在ABC ∆中，7120cos 2222=⋅⋅-+= BC AB AB AC BC ，
7=BC ，ABC ∆的外接球直径为3
7
22
37sin 2=
=∠=
BAC BC r ， ∴
)2(2=R （5⎪⎩
⎪⎨⎧===ac bc ab π， （6）2(R π343=R V 1作小圆
的直
第二步：半
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八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球
类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
图1
图2
图3
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2
2
2
2
)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 π9 解：（1）162==h a V ，2=a ，24164442
222=++=++=h a a R ，π24=S ，选C ； （2
）933342
=++=R ，ππ942
==R S
（3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 。π36 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：
如图（3）-1，取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥，
BC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ，
∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直，
本题图如图（3）-2， MN AM ⊥，MN SB //，
∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，
高中数学解题指导八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题
高中数学解题指导八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球
类型一、墙角模型
墙角模型是指三条线段两两垂直的几何体，通过公式(2R) = a + b + c，即2R = a^2 + b^2 + c^2，可以求出其外接球半径R。
例1：
1）已知顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，求该球的表面积。
解：由V = ah = 16，得a = 2，4R = a + a + h = 4 + 4 + 16 = 24，S = 24π，答案为C。
2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，求其外接球的表面积。
解：由2R = a + b + c = 3 + 3 + 3 = 9，得R = 9/4，S =
4πR^2 = 9π。
3）在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA = 23，求正三棱锥S-ABC外接
球的表面积。
解：由墙角模型的特点可知，正三棱锥的对棱互垂直。连接AB、BC的中点D、E，连接AE、CD，交于H，则H是底面正三角形ABC的中心。由AM⊥MN，SB//MN，可得
AM⊥SB，AC⊥SB，故SB⊥平面SAC，SB⊥SA，SB⊥SC，即SB⊥SA，BC⊥SA，故SA⊥平面SBC，SA⊥SC。因此，
三棱锥S-ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，由2R^2 = 23^2 + 23^2 + 23^2 = 36，得R^2 = 9，S = 36π。
类型二、棱台模型
棱台模型是指上底面和下底面都是正多边形，且两底面中心连线与侧棱垂直的几何体。通过勾股定理和相似三角形，可以求出其外接球半径R和内切球半径r。
外接球与内切八大模型-老师专用Word版
外接球与内切八大模型—老师专用
类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
图2
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2
2
2
2
)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 π9 解：（1）162==h a V ，2=a ，24164442
222=++=++=h a a R ，π24=S ，选C ； （2
）933342
=++=R ，ππ942
==R S
（3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 。π36 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：
如图（3）-1，取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥，
BC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ，
∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直，
本题图如图（3）-2， MN AM ⊥，MN SB //，
∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，
外接球与内切八大模型—老师专用
外接球与内切八大模型—老师专用
类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
正三棱锥 S ABC 外接球的表面积是
。 36
解：引理： 正三棱锥的对棱互垂直 。证明如下： 如图（ 3）-1 ，取 AB,BC 的中点 D,E ，连接 AE,CD ，
AE,CD 交于 H ，连接 SH ，则 H 是底面正三角 形 ABC 的中心， SH 平面 ABC ， SH AB ，
AC BC ， AD BD ， CD AB ， AB 平面 SCD ，
AB SC ，同理： BC SA ， AC SB ，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图
如图（ 3）-2， AM MN ， SB// MN ，
AM SB ， AC SB ， SB 平面 SAC ， SB SA ， SB SC ， SB SA ， BC SA ， SA 平面 SBC ， SA SC ，
故三棱锥 S ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直，
（2R ）2 （2 3）2 （2 3）2 （2 3）2 36 ，即 4R 2 36，
正三棱锥 S ABC 外接球的表面积是 36
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式 (2R)2 a 2 b 2 c 2 ，即 2R a 2 b 2 c 2 ，求出 R 例 1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高
为
A ． 16
B ． 20
C ． 24
4 ，体积为 16，则这个球的表面积是（ D ． 32
2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为
3 ，则其外接球的表面积是
解：( 1)V a 2h 16， a 2， 4R 2 a 2 a 2 h 2 4 4 16 24， S 24 ，选 C ；
高中数学丨外接球与内切球解题方法，8大模型
高中数学I夕卜接球与内切球解题方法，8大模型
空间几何体的外接球与内切球
-、有关定义
1.球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球。
2.外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
3.内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
二、外接球的有关知识与方法
1.性质：
性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；
性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；
性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）;性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；
性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.
初图1初图2
2.结论：
结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；
结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；
结论3:长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；
结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；
结论5:圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；
外接球与内切八大模型—老师专用
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墙角模型
墙角模型是一种求解球半径的方法。只需找到三条两两垂直的线段，就可以使用公式(2R) = a + b + c 或 2R = a^2 + b^2 + c^2 来求出球半径R。
例如，已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是多少？解：V = ah = 16，a = 2，4R = a + a + h = 4 + 4 + 16 = 24，S = 24π。
在另一个例子中，若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是9π。解：4R = 3 + 3 + 3 = 9，S = 4πR = 9π。
正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：如图（3）-1，取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH，
则H是底面正三角形ABC的中心，因此SH垂直于平面ABC，又SH垂直于AB，因此SH垂直于平面SCD，即AB垂直于SC，同理可证BC垂直于SA，AC垂直于SB，即正三棱锥的
对棱互垂直。
在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM垂直于MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接
球的表面积是36π。解：由前面的证明可知，正三棱锥S-ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直，因此可以使用公式4R^2 = a^2 +
b^2 + c^2 来求解。由于SA=23，因此可以得到4R^2 = 36，即
R^2 = 9，因此R = 3，外接球的表面积为36π。
如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是多少？球的表面积为（D）11π。这个问题有误，因为三个侧面两两垂直的三棱锥不存在，因此无法回答这个问题。
外接球与内切八大模型—老师专用
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类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
图2
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 π9
解：（1）162==h a V ，2=a ，24164442
222=++=++=h a a R ，π24=S ，选C ；
（2）
933342
=++=R ，ππ942
==R S
（3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 。π36 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：
如图（3）-1，取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥，
BC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ，
∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直，
本题图如图（3）-2， MN AM ⊥，MN SB //，
∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，
(完整word版)高中数学八个有趣模型——搞定空间几何体外接球与内切球
八个风趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球
种类一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的地点即可求出球半径）
P
P
P
P
O 2
c
c
c
c
A
C
b
C
b
a C
b
B
C
a
b
A
A
a
B
B
a
B
A
图1
图2 图3 图 4
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式
(2R)2
a 2
b 2
c 2 ，即 2R a 2 b 2 c 2 ，求出 R
例 1 （1）已知各极点都在同一球面上的正四棱柱的高为 4 ，体积为 16，则这个球的表面积是（
C
）
A ． 16
B
． 20
C
． 24
D ． 32
（ 2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是
9
解：（ 1） V a 2 h 16 ， a 2， 4R 2 a 2 a 2 h 2
4 4
16 24 ， S 24 ，选 C ；
（ 2） 4R 2
3 3 3 9， S
4 R 2
9
（ 3）在正三棱锥 S ABC 中， M 、 N 分别是棱 SC 、BC 的中点，且 AM MN , 若侧棱 SA
2 3 , 则
正三棱锥 S
ABC 外接球的表面积是
。 36
解：引理： 正三棱锥的对棱互垂直 。证明以下：
如图（ 3）-1 ，取 AB , BC 的中点 D , E ，连结 AE, CD ， AE ,CD 交于 H ，连结 SH ，则 H 是底面正三角
形 ABC 的中心， SH 平面 ABC ， SH AB ，
AC BC ， AD BD ， CD
AB ， AB 平面 SCD ，
AB SC ，同理： BC SA ， AC
SB ，即正三棱锥的对棱互垂直，
此题图如图（ 3） -2 ，
AM MN ， SB// MN ，