第四章的作业

第三节 静电场对导体和电介质的作用
理解静电平衡状态的含义及条件 掌握导体的电荷分布特点，（尖端放电现象， 避雷针原理） 掌握典型电容器（同球心球壳，平行板及同轴 圆筒电容器）的电容计算
第一节 1.库仑定律 2.电场的计算
点电荷的电场
Eq
F12
1 4 π 0
F q0
U

r R2
E dr Q1
0
R1
R2

Q1 O
E
r
dr

E
R1
dr
E
R2

dr Q1 Q 2 R R 2 1
Ⅰ
R2

R1
4
r
2
dr

R2
Q1 Q 2 4 0 r
2
dr
1 4
0
Ⅱ
Ⅲ
区域Ⅱ的电势分布为
E 2 0 r
R2
l
r
可以解得 2 0 rE 于是，两圆柱间电压为
R2
U U 1 U 2

R1
E dr

2
0
ln
R2 R1
rE ln
R2 R1
即
E
r ln R 2 R 1
U1 U 2
则两个圆柱体的空隙中离轴为r处（R1<r<R2）的电势与外圆柱体 之间的电势差为
dq
2
0 r
dl
dq
: 电荷线密度
dS
dV
:电荷面密度 :电荷体密度
场强叠加是矢量叠加，场强方向不同时应先分解，在 同方向上积分求和，然后，用矢量和计算合场强。
3.高斯定理 电通量E 通过任一曲面的电力线条数
Ψ
E


E dS
S
高斯定理
在真空中的静电场内，通过任一闭合曲面的电通量 等于这闭合曲面所包围的电荷量的代数和除以 ε0

U

r R2
E dr Q1
R1
R2

E
r
dr
E
R1
dr
E
R2

dr
Q1 1 1 dr 2 R R 4 0 r 4 0 1 2 R1
区域Ⅱ的电势为

U

r
E dr
R2
R2
Ur U2

r
E dr
R2
r ln R
r
U1 U 2
2
R1
dr
ln R 2 R 1
U1 U 2
ln R 2 r
于是，两个圆柱体的空隙中离轴为r处（R1<r<R2）的电势为
Ur ln R 2 R 1 U1 U 2 ln R 2 r U 2
q1q2 0 r 12 2 r 12
q 0 r 2 40 r 1
点电荷系的电场（叠加原理）
E Ei
i i
qi 40 ri
2
0 ri
电荷连续分布体系的电场
dE dq 0 r 2 4 0 r 1
dE
r
dq
P
E
4 r
q 0
（2） kx 时
l
E
dE
0

4 b x
0 0
dx
2

k 4
l
0 0
b x
k 4
0
2
l bl ln b lb
4-7 图为两个分别带有电荷的同心球壳系统。设半径为R1和R2的 球壳上分别带有电荷Q1和Q2，求：（1）Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域中 的场强；（2）若Q1=Q2，各区域的电场强度又为多少？画出此时 的电场强度分布曲线（即E-r关系曲线）。 解：（1）在区域Ⅰ，做半径为r<R1的 球形高斯面。因为高斯面内无电荷， 根据高斯定理
n
U
P

U
i 1
Pi
电势----迭加原理
连续分布的带电体系 U
P


dU
Q
P


dq 4 0 r
Q
6.电场强度与电势的关系
El
dU dl
Ex Ey Ez
dU dx dU dy dU dz
E Ex i E y j Ez k U U U i j k x y z
W B AB
WB
A


E dl
E dl

B
3.电势
定义A 点的电势UA：
U
A

WA q0


"0" A
E dl
4.电势差（电压）
U U 1 U 2

r2
E dl
q 4πε 0 r
r1
5.电势的计算
1) 点电荷电场中的电势 2) 点电荷系电场中的电势 U P
第四章:静电场
第一节 电场强度
掌握库仑定律矢量式
掌握电场强度的计算
理解电通量的含义与高斯定理的内容
熟练掌握运用高斯定理计算球对称，柱对称分 布和无限大带电平面等带电模型的场强
第二节 电势
掌握场强积分法求电势和利用电势的叠加原理 求电势两种方法
理解静电场环路定理
掌握场强与电势的关系

U

r
E dr
R2
2
E
r
dr
E
R2
3
dr
1 4

0
Q1 Q 2 r R 2

区域Ⅲ的电势分布为
U

r
E dr
E
r
3
dr
Q1 Q 2 4 0 r
（2）若Q1=-Q2，则区域Ⅰ的电势为
ΨE

S
E dS
q
i
i内
0
第二节
1. 静电场的环路定理 静电场中场强沿任意闭合环路的线积分（环流）恒等于零。

结论： 2.电势能
E dl 0
静电场------保守力场
B A WA
q0
q0
L
静电力------保守力;
q 0 在 A、B 点处的电势能：
W A A A
2
在区域Ⅲ，做半径r>R2的球形高斯面。由于该高斯面内的电荷为 Q1+Q2，由高斯定理可解得该区域的电场强度为
E Q1 Q 2 4 0 r
2
（2）当Q1=-Q2时，根据以上结果易知
区域Ⅰ的场强为
区域Ⅱ的场强为
E 0
E Q1 4 0 r
2
R2
R1
E
Q1 4 0 R 1

r
Q1 1 1 E 2 dr r 4 0 R2
区域Ⅲ的电势为

U

r
E dr

E
r
3
dr 0
4-12 同轴电缆是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱体构成。 社内圆柱体的电势为U1，半径为R1；外圆柱体的电势为U2，外圆 柱体的内半径为R2，两圆柱体之间为空气。求两个圆柱体的空隙 R1 中离轴为r处（R1<r<R2）的电势。 解：设内圆柱体单位长度的电量为λ。在内外 圆柱体之间作半径为r （R1<r<R2）、长度为l 的圆柱闭合高斯面，应用高斯定理可得距轴 心为r处场强为
C q Ua Ub
平行板电容器
U Ed
q U
qd S 0
d
+q
S
U
C

0S
d
-q
球形电容器
C q U 4 0 R1 R2 R2 R1
b
a
R2 R1 +q R1
-q
圆柱形电容器
Q u 2 0l ln( R2 R1 )
R2
C

h
l
4-4 如图所示，长为l 的细直线OA，其电荷密度为λ，求下面两种 情况下在线的延长线上距线的端点O点为b的P点的电场强度（1） λ为常量，且λ>0；（2） kx ，k为大于零的常量 0 x l 。 dx O A 解：以O点为原点，OA方向为 x P x 方向，建立坐标系。选取距离 b l 原点O为 x 处的电荷元dq，
2
区域Ⅲ的场强为
E 0
0
R1
R2
r
4-9 一个细胞的膜电势差为50mV，膜厚度为 30 10 m 。若假 定膜中场强为匀强电场，问电场强度为多大？当一个钾离子（K+） 通过该膜时需做多少功？ 解：依题意得
E U d 50 10 30 10
3 10
10
1 . 67 10
dq dx
dE dq在P点产生的电场强度为dE， dq 4
l
（1）λ为常量时
l l
0
b x
2
2

dx
4
l
0
b x
2
E
dE
0 l

4 b x
0 0
dx
2


4
0 0
b x
xdx
dx