高一数学(3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式)
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
课堂练习
跟踪训练
5 10 变式: 已知 α、β 均为锐角，且 sinα＝ ，cosβ＝ ， 5 10 求 α－β 的值．
思路分析：可先求 cos(α－β)的值，再求角 α－β.
解：∵α、β 均为锐角， 且 sinα＝ 5 10 2 5 3 10 ，cosβ＝ ，∴cosα＝ ，sinβ＝ . 5 10 5 10 2 5 10 5 3 10 2 × ＋ × ＝ . 5 10 5 10 2
56 56 故得－sin(α＋β)＝－ ，即 sin(α＋β)＝ . 65 65
点评：利用三角函数化简求值时，首先分析已知角 与特殊角之间的关系，然后再利用相应的和(差)公式求解 ．这样处理的目的在于能较好地借助于已知角进行运算 ，从而可以简化运算步骤．
课堂练习
5.利用公式解决给值求角问题 (1)已知tan α＝2，tan β＝3，且α，β都是锐角，求α ＋β；
分析：本题考查三角函数公式在方程中的应用问 题．利用韦达定理求得根与系数的关系代入求解是常用 方法之一．
课堂练习
5.利用公式解决给值求角问题
1 13 π 已知 cos α＝ ，cos(α－β)＝ ，且 0<β<α< ， 7 14 2
(1)求tanα的值； (2)求β.
分析：本题中 β＝α－(α－β). 1 π 解析：(1)∵cos α＝ ，0<β<α< ， 7 2 4 3 ∴sin α＝ ， 7 sin α ∴tan α＝ ＝4 3； cos α
cos - cos cos sin sin
公式说明
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式知识梳理一、两角和与差的余弦公式【问题导思】1．把公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β用－β代替，结果如何？2．在cos(α±β)的公式中，α，β的条件是什么？二、两角和与差的正弦公式【问题导思】由公式C(α±β)可以得到sin(α＋β)的公式吗？1．公式2.y＝a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝aa2＋b2，sin θ＝ba2＋b2.三、两角和与差的正切公式【问题导思】1．利用两角和的正、余弦公式，能把tan(α＋β)用tan α，tan β表示吗？2．能用tan α，tan β表示tan(α－β)吗？3．公式中α，β为任意实数吗？例1化简求值：(1)sin π12－3cos π12；(2)sin 15°－cos 15°cos 15°＋sin 15°. 规律方法1．公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．变式 求下列各式的值：(1)sin 14° cos 16°＋sin 76°cos 74°； (2)tan 72°－tan 42°－33tan 72°tan 42°例2 已知α、β是锐角，且sin α＝437，cos(α＋β)＝－1114，求sin β的值．变式 将本例中条件“已知α、β是锐角”改为“α、β都是钝角”．仍求sin β的值．知识点三 给值求角 例3已知sin α＝55，sin β＝1010，且α，β为锐角，求α＋β的值．变式 若把本例题的条件改为“α∈(0，π2)，β∈(－π2，0)，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210”，试求角α的大小．知识点四 辅助角公式的应用例4 将下列各式写成A sin(ωx ＋φ)的形式：(1)3sin x －cos x ； (2)24sin(π4－x )＋64cos(π4－x )．变式 化简：(1)2(cos x －sin x )；(2)315sin x ＋35cos x .巩固练习1．sin 21°cos 39°＋cos 21°sin 39°等于( )A.22 B.12 C.32D ．1 2．若A 、B 是三角形ABC 的内角，并且(1＋tan A )(1＋tan B )＝2，则A ＋B 等于A.π4B.3π4C.5π4 D ．k π＋π4(k ∈Z ) 3．1＋tan 15°1－tan 15°的值等于__________． 4．已知α为锐角，sin α＝35，β是第四象限角，cos(π＋β)＝－45.求sin(α＋β)的值．知能检测一、选择题1．在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．无法确定2．已知tan(α＋π4)＝3，则tan α的值为( )A.12 B ．－12 C.14 D ．－14 3．函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32] 4．若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2 5．已知sin α＝12，α是第二象限的角，且tan(α＋β)＝－3，则tan β的值为( )A ．－ 3 B. 3 C ．－33 D.33二、填空题6．sin 7π18cos 2π9－sin π9sin 2π9＝________7．()()sin 30sin 30cos ααα+-- 的值为________．8．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tan αtan β＝______________.三、解答题9．已知α、β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝1213，求cos(α＋π4)的值．10．已知函数f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x .(1)求出f (x )的最大值、最小值；(2)求出f (x )的单调增区间．答案例1 (1)－ 2.(2)－33 变式 (1)12.(2)33. 例232. 变式 32. 例3 π4. 变式 π4.例4 (1)2sin(x －π6)．(2)22sin(x ＋5π12)． 变式 (1) 2cos(π4＋x )．(2) 65cos(x －π3)．巩固练习1．C 2．A 3． 3 4．0 知能检测一、选择题CABCC二、填空题6．12 7．1 8．12三、解答题9．【解】 ∵α、β∈(3π4，π)，∴α＋β∈(3π2，2π)．∴cos(α＋β)＝1－sin 2 α＋β ＝45.又β－π4∈(π2，3π4)，∴cos(β－π4)＝－513.∴cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4)＝45×(－513)＋(－35)×1213＝－5665.10．【解】 f (x )＝sin 2x ＋ 3 cos 2x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2x ＋32cos 2x ＝2⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)当2x ＋π3＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π12，k ∈Z 时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π3＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝k π－512π，k ∈Z 时，f (x )取得最小值－2.(2)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－512π≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－512π，k π＋π12，k ∈Z .。
3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式
复习引入
1,两角差与和的余弦公式: 两角差与和的余弦公式:
cos(α ± β ) = cosα cos β sinα sin β
2,诱导公式五: 诱导公式五:
sin ( cos (
π
2 π
2
-α) = cosα -α) = sinα
sin (α + β )
π π π sin 求: α , cos + α , tan(α ) 4 4 4
例3, , π 4 3 (1)α , β ∈ (0, ), cos α = , cos(α + β ) = ) 2 5 5 (2)tan(α + β ) = 3, tan(α β ) = 2 ) 求: tan 2α , tan 2 β
探求新知
= sin α cos β + cos α sin β
sin (α β ) = sin α cos β cos α sin β
sin (α ± β ) = sinα cosβ )
tan α + tan β = 1 tan α tan β
y = 4sin x + 3cos x
y = a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin( x + φ )
其中,cosφ = a a 2 + b2 , sinφ = b a 2 + b2
6 证法1: 证法1: 右边=2(sin π cos α + cos π sin α ) 6 6 1 3 =2( cos α + sin α ) 2 2 =cos α + 3 sin α =左边 1 3 证法2: 证法2:左边=2( cos α + sin α ) 2 2 π π =2(sin cos α + cos sin α ) 6 6 π =2sin( + α ) =右边 6 化为某个角的一个 一个三角函数形式 注:该题将 cos α + 3 sin α 化为某个角的一个三角函数形式 π 即 cos α + 3 sin α = 2sin( + α ) 6
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.12 两角和与差的正弦、余弦、正切公式知识点一 两角和的余弦公式解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子．分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．1．sin7°cos37°－sin83°sin37° 2.sin50°－sin20°cos30°cos20°3、sin14°cos16°＋sin76°cos74°4、sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin15°sin8°5、已知角α的终边经过点(－3,4)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为6．求函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域．类型二 给值求值1、已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)．2、已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，x ∈(0，π)，求sin x 的值。
3．已知锐角α，β满足sin α＝255，cos β＝1010，求α＋β。
类型三 辅助角公式对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx=bcosx =++++a b x a a bx b a b222222(sin cos )··。
上式中的a a b22+与b a b22+的平方和为1，故可记a a b22+=cos θ，b a b22+=sin θ，则。
)x sin(b a )sin x cos cos x (sin b a y 2222θ++=θ+θ+=1、求值（1）cos π12＋3sin π12 （2）sin π12－3cos π12（3）2cos π12＋6sin π12 （4）当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ≤2π)取得最大值时，求x.2、求周期求函数y x x x =+-+24432cos()cos()sin ππ的最小正周期。
课件9：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
类型 1 灵活应用和、差角公式化简三角函数式
例1
(1)
sin
47°－sin 17°cos cos 17°
30°＝(
)
A．－
3 2
B．－12
C．12
D．
3 2
【解析】sin
47°－sin 17°cos cos 17°
30°
＝sin（17°＋30c°o）s －17s°in 17°cos 30°
＝sin
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝45×7102＋35×－102＝
2 2.
又 α∈0，π2，∴α＝π4.
探究点 辅助角公式的应用 探究 1 函数 y＝sin x＋cos x(x∈Z)的最大值为 2 对吗？
为什么？
【提示】 不对．因为 sin x＋cos x
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
学习目标 1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、 余弦公式，并灵活运用．(重点) 2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角 与差的正切公式．(难点) 3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、 易错点)
基础·初探
教材整理 1 两角和与差的余弦公式
【解析】 逆用两角和的余弦公式可得 cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝ cos 90°＝0. 【答案】 0
教材整理 2 两角和与差的正弦公式
1．公式
名称
简记 符号
公式
两角和的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝
_s_i_n_α_c_o_s__β_＋__c_o_s_α_s_i_n_β_
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)一、知识要点1．两角和与差的余弦公式C (α－β)：cos(α－β)＝ . C (α＋β)：cos(α＋β)＝ . 2．两角和与差的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝ . S (α－β)：sin(α－β)＝ . 二、典型例题 例1 化简求值：(1)sin(x ＋27°)cos(18°－x )－sin(63°－x )sin(x －18°)； (2)(tan 10°－3)·cos 10°sin 50°.小结 解答此类题一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．跟踪训练1 (1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°； (2)sin(54°－x )cos(36°＋x )＋cos(54°－x )sin(36°＋x )； (3)sin π12－3cos π12.例2 已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210，求α.小结 此类题是给值求角题，步骤如下：(1)求所求角的某一个三角函数值；(2)确定所求角的范围，此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值． 跟踪训练2 已知sin α＝35，cos β＝－513，α为第二象限角，β为第三象限角．求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．例3 已知sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.小结 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、“往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、结构形式的差异．跟踪训练3 证明：sin 2α＋β sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.三、练一练1．sin 69°cos 99°－cos 69°sin 99°的值为 ( ) A ．12B ．－12C ．32D ．－322．在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C 等于( ) A ．255B ．－255C ．55D ．－553．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R)的值域是________． 4．已知锐角α、β满足sin α＝255，cos β＝1010，则α＋β＝_____. 四、课堂小结1．两角和差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝sin 3π2·cos α－cos 3π2sin α＝－cos α. 2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β) ＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．课外作业一、基础过关1． sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( )A ．－32B ．－12C.12D.32 2． 若锐角α、β满足cos α＝45，cos(α＋β)＝35，则sin β的值是( ) A.1725B.35C.725D.153． 已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1 4． 若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2C ．1＋ 3D ．2＋ 35． 在三角形ABC 中，三内角分别是A 、B 、C ，若sin C ＝2cos A sin B ，则三角形ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．正三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 6． 化简sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α的结果是________． 7． 已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则tan αtan β的值是______．8． 已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，求β.二、能力提升9． 在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365B.3365C ．－6365D.636510．式子sin 68°－cos 60°sin 8°cos 68°＋sin 60°sin 8°的值是________．11．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值．12．已知sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)．三、探究与拓展13．证明：sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β，并利用该式计算sin 220°＋sin 80°·sin 40°的值．。
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)
解:(2)函数 f ( x )
sin( 2 x ) 可将函数y=sinx 2 2 3 图像上所有的点向右平移 个单位长度，得到函数 3 2 2 ) 图象上所 y sin( x )的图象; 再将 y sin( x 3 3 1 有的点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变) ,得 2 2 2 y sin( 2 x ) 到函数 的图象; 最后将 y sin( 2 x ) 3 3 2 的图像上所有点的纵坐标缩短为原来 倍(横坐标不 2 变)得到函数 f(x) 的图象.
四、课时小函数公式,注意公式的灵活运用:
(1)注意已知式子的结构特征, 灵活运用公式(如 逆用公式);
( 2)掌握形如a sin x b cos x(a , b R, ab 0)的式子 如何化为一个角的一种三角函数的形式;
(3)注意知识的综合运用, 如结合同角三角函数的 基本关系式、诱导公式进行转化, 结合三角函数 的图象和性质解决相关问题.
2 6 若f ( x ) sin 2 x sin 2 x , x R. 4 3 4 6 ( 2)函数 f ( x )的图象可由函数 y sin x , x R的图象 经过怎样的平移和伸缩变换得到 ? 2 2
sin( 2 x ) 可将函数y=sinx 方法二:(2)函数 f ( x ) 2 3 1 图象上所有的点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不 2 变) ,得到函数 y sin 2 x 的图象;
2 6 若f ( x ) sin 2 x sin 2 x , x R. 4 3 4 6 (1)求函数 f ( x )的周期及最大值; 2x 2x
2 1 3 解 : (1) f ( x ) cos( 2 x ) sin( 2 x ) 2 2 3 2 3
3,1,2两角和与差的正弦,余弦,正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式[知识探究]1.两角和的余弦公式cos(α+β)= ,简记为C (α+β).思考1: C (α±β)公式有什么共同特征? (余弦在前,正弦在后,符号改变)2.两角和与差的正弦公式S (α+β):sin(α+β)= ;S (α-β):sin(α-β)= .思考2: S (α±β)有何特征?(异名乘,符号同)拓展提升:辅角公式(1)asin x+bcos x=ϕ)（其中tan ϕ=b a,ϕ为辅助角）; ϕ)（其中tan ϕ=a b,ϕ为辅助角）. 3.两角和与差的正切公式T (α+β):tan(α+β)= tan tan 1tan tan αβαβ+-;T (α-β):tan(α-β)= tan tan 1tan tan αβαβ-+. 思考3:使用T (α±β)的条件是什么?(公式T (α±β)只有在α≠π2+k 1π,β≠π2+k 2π,α±β≠π2+k 3π(k 1,k 2,k 3∈Z )时才成立,否则就不成立,这是由正切函数的定义域所决定的) 题型一 三角函数式的化简求值【例1】 (1)cos 105°;(2)sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°;(3)sin π12π12; (4)1tan 751tan 75+-. 名师导引:(1)将105°转化为两个特殊角的和或差,直接利用公式求解.(2)先利用诱导公式统一角度再逆用两角和的正弦公式 求解.(3)提取2后将12,逆用公式求解. (4)注意“1”的转化,逆用两角和的正切公式求解.解:(1)原式=cos(60°+45°)=cos 60°cos 45°-sin 60°sin 45°=12×22= (2)原式=sin 14°cos 16°+sin(90°-14°)cos(90°-16°)=sin 14°cos 16°+cos 14°sin 16°=sin(14°+16°)=sin 30°=12.(3)法一 原式=2（12sin π12cos π12） =2（sin π6sin π12-cos π6cos π12）=-2cos （π6+π12）=-2cos π4法二 原式=2（12sin π12π12） =2（cos π3sin π12-sin π3cos π12）=2sin （π12-π3）=-2sin π4 (4)原式=tan 45tan 751tan 45tan 75+-=tan(45°+75°)=tan 120°.题后反思 三角函数式的化简与求值主要是诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和差的正余弦、正切公式的正用、逆用和变形用,观察式子结构特点选取合适公式是解题的关键.转化过程中注意“1”与“tan π4”、“”与“tan π3”、“ 12”与“cos π3”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化. 跟踪训练11:(1)求sin(θ+75°)+cos(θ+45°)cos(θ+15°)的值;(2)(2014遵义四中期末)求tan 20°+tan 40°tan 20° tan 40°的值.解:(1)设α=θ+15°,则原式=sin(α+60°)+cos(α+30°α=（12sin αα）+cos α-12sin α）α =0.(2)原式=tan 60°(1-tan 20° tan 40°)+° tan 40°.题型二 三角函数的条件求值【例2】 已知π2<β<α<34π,cos(α-β)= 1213,sin(α+β)=- 35,求cos 2α的值. 名师导引:(1)寻找角的关系2α=(α+β)+(α-β);(2)借助同角三角函数关系及两角和的余弦公式求解.解:∵π2<β<α<34π,∴-34π<-β<-π2, ∴0<α-β<π4,π<α+β<32π,∴sin(α-β)=513,cos(α+β)=-45. ∴cos 2α=cos[(α-β)+(α+β)]=cos(α-β)cos(α+β)-sin(α-β)sin(α+β) =1213×（-45）-513×（-35）=-3365, 即cos 2α=-3365. 题后反思 (1)解决三角函数条件求值问题的关键是寻找已知角与所求角之间的关系,恰当地拆角凑角、合理地选用公式.(2)常见角的变换有α=(α+β)-β、α=β-(β-α)、2α=(α+β)+(α-β)等.跟踪训练21:(2014洛阳期末)已知tan （π4+α）=2,tan(α-β)= 12,α∈（0,π4）,β∈（-π4,0）. (1)求tan α的值;(2)求212sin cos cos ααα+的值; (3)求2α-β的值.解:(1)tan （π4+α）=1tan 1tan αα+-=2,得tan α=13; (2)212sin cos cos ααα+=222sin cos 2sin cos cos ααααα++ =2tan 12tan 1αα++=23; (3)因为tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]=tan tan()1tan tan()ααβααβ+---=1, 又α∈（0,π4）,β∈（-π4,0）,得2α-β∈（0, 3π4）,所以2α-β=π4. 题型三 辅角公式的应用【例3】 当函数≤x<2π)取得最大值时,x= .解析:函数为（x-π3）, 当0≤x<2π时,-π3≤x-π3<5π3, 所以当y 取得最大值时,x-π3=π2,所以x=5π6. 答案:5π6题后反思 辅角公式ϕ)(或asin x+bcos x=ϕ))可以将形如 asin x+bcos x(a,b 不同时为零)的三角函数式写成一个角的三角函数式.这样有利于三角函数式的化简求值,更有助于研究三角函数的性质.跟踪训练31:函数f(x)=sin x-cos （x+π6）的值域为( B )(A)[-2,2](C)[-1,1] ] 解析:f(x)=sin x-cos （x+π6）12sin x=32sin （x-π6）,所以函数f(x)的值域为,].故选B.【自主练习】1. 已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=13,求tan tan αβ的值. 解:∵sin(α+β)=12,∴sin αcos β+cos αsin β=12.①∵sin(α-β)=1 3 ,∴sin αcos β-cos αsin β=13.②由①,②解得sin αcos β=512, cos αsin β=112,∴tantanαβ=sin coscos sinαβαβ=512112=5.2.已知α,β都是锐角,且cos αsin β=12,求α-β的值.解:法一由α,β都是锐角及cos αβ=12,得sin αβ.所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.又由α,β都是锐角,即0<α<π2,0<β<π2,所以-π2<α-β<π2.所以α-β=π4 .法二由α,β都是锐角及cos αβ=12,得sin αβ.cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β1 2,3.（2014清远期末)化简:sin 21°cos 81°-cos 21° sin 81°等于( D )(A)12 (B)-12解析:原式=sin(21°-81°)=-sin 60°故选D. 4.已知α是锐角,sin α=35,则cos （π4+α）等于( B )(D) 解析:因为α是锐角,sin α=35, 所以cos α=45,所以cos （π4+α）×45×35.故选B. 5.sin 255°= .解析:sin 255°=-sin 75°=-sin(45°+30°)=-答案: 6.1tan12tan 72tan12tan 72--= .解析:1tan12tan 72tan12tan 72+-=-()1tan 7212-=-答案:5.已知α+β=45°,求(1+tan α)·(1+tan β)的值. 解: (1+tan α)·(1+tan β )=1+tan αtan β+tan α+tan β=1+tan αtan β+tan(α+β)(1-tan αtan β)=2。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式【知识导航】1.能根据两角差的余弦公式导出并记住两角和与差的正弦、余弦、正切公式,并灵活运用.2.能熟练地把a sin x+b cos x 化为A sin(ωx+φ)的形式. 【知识梳理】和角、差角公式如下表:归纳总结1.一般情况下,sin(α±β)≠sin α±sin β,cos(α±β)≠cos α±cos β,tan(α±β)≠tan α±tan β.2.和差角公式是诱导公式的推广,诱导公式是和差角公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcos α-cos2πsin α=0×cos α-1×sin α=-sin α.当α或β中有一个角是π2的整数倍时,通常使用诱导公式较为方便.3.使用公式时不仅要会正用,还要能够逆用公式,如化简sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β时,不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开,而应采用整体思想,进行如下变形:sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin[(α+β)-β]=sin α.这也体现了数学中的整体原则.4.注意公式的结构特征和符号规律. 对于公式C (α-β),C(α+β)可记为“同名相乘,符号反”;对于公式S(α-β),S(α+β)可记为“异名相乘,符号同”.【做一做1】若tan α=3,tan β=43,则tan(α−β)= ( ) A.-3B.−13C.3D.13解析:tan(α-β)=tan α-tan β=3-431+3×43=1.答案:D【做一做2】sin 75°的值为( ) A . 2-12 B. 2+12C.6-24D.6+24解析:sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=6+24.答案:D【做一做3】cos 75°=.解析:cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=22×32−22×12=6-24.答案:6-24化简a sin α±b cos α(ab≠0)剖析:逆用两角和与差的正弦公式,凑出sinαcosθ±cosαsinθ的形式来化简.a sinα±b cosα= a2+b2a2+b α±a2+bα ,∵a2+b22+a2+b22=1,∴可设cosθ=a2+b sinθ=a2+b则tanθ=b(θ又称为辅助角).∴a sinα±b cosα=2+b2(sinαcosθ±cosαsinθ)= a2+b2sin(α±θ).特别是当b=±1,±3,±3时,θ是特殊角,此时θ取±π,±π,±π.例如,3sinα-33cosα=9+279+27α39+27α=61sinα-3cosα=6sinαcosπ-cosαsinπ=6sin α-π.【例1】求下列各式的值:(1)sin 347°cos 148°+sin 77°cos 58°;(2) 3sinπ12+cos π12. 分析:本题(1)可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公式求解,本题(2)可构造两角和的正弦公式求解.解:(1)原式=sin(360°-13°)cos(180°-32°)+sin(90°-13°)cos(90°-32°) =sin13°cos32°+cos13°sin32°=sin(13°+32°) =sin45°= 22.(2)原式=2 32sin π12+12cos π12 =2 sinπ12cos π6+sin π6cos π12 =2si n π+π=2sin π= 2.反思解答此类题目的方法就是活用、逆用C (α±β),S(α±β)公式,在解答过程中常利用诱导公式实现角的前后统一.【变式训练1】求sin(x+27°)cos(18°-x )-cos(x+27°)·sin(x-18°)的值. 解:原式=sin(x+27°)cos(18°-x )+cos(x+27°)·sin(18°-x ) =sin(x+27°+18°-x )=sin45°=22.题型二给值(式)求值问题【例2】已知cos α=13,α∈ 0,π2 ,sin β=−35,β是第三象限角,求sin(α+β),sin(α−β)的值.分析:求出sin α,cos β的值,代入公式S (α±β)即可. 解:∵cos α=1,α∈ 0,π,∴sin α= 1-cos 2α=23 2. ∵sin β=−3,β是第三象限角, ∴cos β=− 1-sin 2β=−4. ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=23 2× -45 +13× -35 =−3+8 215. sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=23 2× -45 −13× -35 =3-8 215.反思分别已知α,β的某一三角函数值,求sin(α±β),cos(α±β),tan(α±β)时,其步骤:(1)利用同角三角函数基本关系式求出α,β其余的三角函数值;(2)代入公式S (α±β),C(α±β),T(α±β)计算即可.【变式训练2】(1)已知sin α=−35,α是第四象限角,则sin π4-α = . (2)已知锐角α,β满足tan(α-β)=13,tan β=12,求角α的值. (1)解析:由sin α=−3,α是第四象限角,得cos α=4,∴si n π-α =sin πcos α-co s πsin α=2×4− 2× -3 =7 2. 答案:7 2(2)解:tan α=tan[(α-β)+β]=tan (α-β)+tan β1-tan (α-β)tan β=13+121-13×12=1.∵α为锐角,∴α=π4.题型三利用角的变换求值【例3】已知cos(α+β)=4,cos(α−β)=−4,3π<α+β<2π,π<α−β<π,求cos 2α的值.分析:解答本题关键是探寻α+β,α-β与2α之间的关系,再利用两角和的余弦公式求解. 解:∵cos(α+β)=4,3π<α+β<2π,∴sin(α+β)=− 1- 4 2=−3. ∵cos(α-β)=−45,π2<α−β<π,∴sin(α-β)= 1- -45 2=35.∴cos2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=45× -45 − -35 ×35=−725. 反思解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来.(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式,如本题. (2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)角的拆分方法不唯一,可根据题目合理地选择拆分方式.【变式训练3】已知α,β∈3π4,π ,sin(α+β)=−35,sin β-π4=1213,求cos α+π4的值.解:∵α,β∈3π4,π ,sinα+β=−35,sin β-π4=1213,∴α+β∈3π2,2π ,β−π4∈π2,3π4,∴cos(α+β)=4,cos β-π=−5.则co s α+π4=cos(α+β)- β-π4=cos(α+β)co s β-π4+sinα+βsin β-π4=45×-513+-35×1213=−5665.题型四易错辨析易错点不能准确判断角的范围致错【例4】已知π<α<α+β<2π,且满足cos α=−12,cos(α+β)=172,求β.错解:∵cosα=−12,cos(α+β)=172,且π<α<α+β<2π,∴sinα=−5,sin(α+β)=−72.∴sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=22.∵π<α<α+β<2π,∴0<β<π.∴β=π或3π.错因分析:以上错解是由于求β的三角函数值时,函数选择不当所致.由于满足sinβ=2且β∈(0,π)的β有两值,两值的取舍就是个问题,事实上cosβ=−2,故β=3π,只有一值,故应计算角β的余弦值.正解:∵cosα=−12,cos(α+β)=172,且π<α<α+β<2π,∴sinα=−5,sin(α+β)=−7226.∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=−22.∵π<α<α+β<2π,∴0<β<π.∴β=3π.反思此类题目是给值求角问题,一般步骤是:(1)先确定角α的范围,且使这个范围尽量小;(2)根据(1)所得范围来确定求tanα,sinα,cosα中的一个值,尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数;(3)求α的一个三角函数值;(4)写出α的大小.。
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
利用公式求值
π π 3π π 3 已知 <α< ，0<β< ，cos 4－α ＝ ， 4 4 4 5 3π 5 sin 4 ＋β ＝ ，求 sin(α＋β)的值． 13
3π π π 分析： 4 ＋β － 4－α ＝ ＋(α＋β). 2
π 3π π π 解析：∵ <α< ，∴－ < －α<0， 4 4 2 4 π π 3 4 ∵cos 4－α ＝ ，∴sin 4－α ＝－ ； 5 5 π 3π 3π ∵0<β< ，∴ < ＋β<π， 4 4 4 3π 5 3π 12 ∵sin 4 ＋β ＝ ，∴cos 4 ＋β ＝－ ； 13 13
∴tan 23° ＋tan 37° ＝ 3－ 3tan 23° tan 37° ， 故得 tan 23° ＋tan 37° ＋ 3tan 23° tan 37° ＝ 3.
点评：化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量 之间的关系，以便于应用．对于三角函数式的化简，要求： (1)能求出值的应求出值；(2)使三角函数的种数最少；(3)使 项数尽量少；(4)尽量使分母不含有三角函数式；(5)尽量使被 开方数不含有三角函数式．
tan α－tan β 1＋tan αtan β 3 练习：5. 3
思考应用 3．两角和与差的正切公式的适用范围及公式的特 征有哪些？
解析：(1) 适用范围：限制条件：α、β、α＋β 均不为 π kπ＋ (k∈Z)；可以是数、字母和代数式．从公式推导过程进 2 π 行说理：cos(α＋β)≠0，则 α＋β≠kπ＋ ；同除 cos α、cos β， 2 π π 得 cos α≠0，cos β≠0，则 α≠kπ＋ ，cos β≠kπ＋ .cos x≠0， 2 2 保证了 tan x 有意义． (2)公式特征：同名；分子同号，分母异号；容易联想 到韦达定理．
(公开课)3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3
3
4
sin
1 cos2
1
(
2 3
)
2
5 3
sin( ) sin cos cos sin
1 ( 2) ( 2 2 ) 5
33
33
2 2 10
9
同步练习
2、已知 sin 1 , cos 2 ,且，均在第二象限，求
5
求sin( ), cos( ), tan( )的值.
4
4
4
解：
sin
=-
3 5
,
是第四象限角，
cos sin(
1 sin2
) sin
1
(
3 5
)2
cos cos
4, 5
sin
4
4
4
2 4 2 ( 3)
7 2 10
例题精析
例1 已知sin 3 ,是第四象限角, 公式的正向应用
5
求sin( ), cos( ), tan( )的值.
4
4
4
解：
sin =-
3 5
, cos
4， 5
tan sin 3 cos 4
tan(
4
)
=sin[x 27 (x 18)]
sin 45 2 2
同步练习
3、化简求值。
(1)sin(x 27) cos(18 x) sin(63 x)sin(x 18)
(2) cos 43 cos 77 sin 43 cos167
课件10：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3分
＝sin10°cocso6s100°°－cosisn6600°°cos10°·csoins5100°°
＝csoins1（0°－c5o0s°60）°·csoins5100°°
＝－cos610°＝－2.
6分
(2)∵tan(20°＋40°)＝1ta－n2ta0n°20＋°tatann4400°°，
∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)，
(1)(tan10°－ 3)csoins5100°°；
(2)tan20°＋tan40°＋ 3tan20°·tan40°.
【解】 (1)(tan10°－ 3)csoins5100°°＝(tan10°－tan60°)csoins5100°°
＝(csoins1100°°－csoins6600°°)csoisn1500°°
∴cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) ＝45×(－45)－(－35)×35＝－275. cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝45×(－45)＋(－35)×35＝－1.
互动探究 1.若本例条件不变，求sinαsinβ的值． 解：由 cos(α＋β)＝45，得 cosαcosβ－sinαsinβ＝45.① 由 cos(α－β)＝－45得 cosαcosβ＋sinαsinβ＝－45.② ②－①得 2sinαsinβ＝－2×45， ∴sinαsinβ＝－45.
题型二 和(差)角的正弦公式 例 2 已知 cosα＝13，α∈(0，π2)，sinβ＝－35，β 是第三象限角．求 sin(α＋β)， sin(α－β)的值． 【解】 ∵cosα＝13，α∈(0，π2)，∴sinα＝ 1－cos2α＝23 2. ∵sinβ＝－35，β 是第三象限角，
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、 两角和与差的正弦、 余弦、 余弦、正切公式
湖州市南浔中学 数学教研组制作
知识回顾: 知识回顾 差角的余弦公式, 简记为C 差角的余弦公式, 简记为Cα-β cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 巩固练习
探 究
你能根据正切函数与正弦、 你能根据正切函数与正弦、余弦函数 的关 出发， 系，从 C (α ± β ) , S(α ± β ) 出发，推导出用任意 角 α , β 的正切表示 tan(α + β ), tan(α − β ) 的公式吗? 的公式吗
分子分母都除以 cosα•cosβ α•cos cosα•cosβ
tan(α+β)=
sin(α+β) = sinαcosβ+ cosαsinβ sin(α cos(α cos(α+β) cosαcosβ- sinαsinβ tanα+tanβ = 1- tanαtanβ
称为和角的正切公式。 简记为Tα+β 称为和角的正切公式。 简记为Tα+β tanα-tanβ tan(α-β)= 1+tanαtanβ 称为差角的正切公式。 称为差角的正切公式。 简记为Tα-β 简记为T
练习一：
sin15°
⑵
cos75° ⑶ sin75° ⑷ tan15°
2− 3
150 750
α
sin α cosα tan α
例题讲解
3 例1 已知 sin α = − , α是第四象限角 , 5 求 sin(
π
4
− α ), cos(
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) )
思考:两角和与差的正切公式是怎样的呢?
sin 提示:tan cos
sin( ) tan( ) cos( )
(这里有什么要求?)
k ( k Z ) 2
7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的内在联系
-代
S(+)Байду номын сангаас
2
C(+)
S C
-代
C(-)
2
S(-)
S C
相除
相除
T(+)
-代
T(-)
8.例题讲解 例3 3 已知 sin , 是第四象限角,求 sin , 5 4
12 变式2：已知 cos( ) ， ， 4 13 4 2 求 sin 的值
变角是一种常用的技巧,如
( ) 2 ( ) ( )
2 4 4 3 ( ) ( ) ( ) 等, 4 4 2
3.1.2 两角和与差的 正弦、余弦、正切公式
1.复习 两角差的余弦公式 cos(-)= coscos+sinsin ( C(-) )
用- 代替看看有什么结果? cos[-(-)]= coscos(-)＋sinsin(-)
cos(＋) = coscos－sinsin
cos( ) cos sin( ) sin 2 2 4.两角差的正弦公式
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
一、复习引入
cos( ) coscos sinsin
cos cos[( ) ] cos( )cos sin( )sin
cos cos[( ) ] cos( )cos sin( )sin
一、复习引入 两角差的余弦公式C（α-β）
+
=(
-
)+(
-
)
2
2
2
三、例题分析 逆用公式
例4：利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）sin 720 cos 420 cos 720 sin 420;
（2）cos 200 cos 700 sin 200 sin 700;
1 tan150 (3) 1 tan150
解：（1)由公式得： sin72。cos 42。 cos 72。sin 42。
诱导公式五：cos( ) sin
2
二、基础知识讲解
sin( ) cos[ ( )]
2
cos[( ) ]
2
cos( ) cos sin( )sin
2
2
sin cos cos sin
sin( ) cos[ ( )]
2
cos[( ) ]
2
sin(
) a2 b2 2
2
三、例题分析
例5.已知sin( ) 2 , sin( ) 2 , 求 tan 的值.
3
5 tan
分析 : tan sin cos ,从已知条件中,应用方程 tan cos sin
的思想解出sin cos ,cos sin 代入即可.
三、例题分析
sin(72。 42。) sin 30。 1 ; (2) cos 20。cos 70。 sin 20。2sin 70。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式1
例题4
同步练习
若α，β均为钝角，且（1-tanα）（1-tanβ）=2， 求α+β
练习1
练习2
2.求值：（1+tan1°）（1+tan2°） …(1+tan43°）（1+tan44°）
本课小结： 在这节课中，我们研究了两个角的 和与差的正弦、余弦和正切公式， 这些公式在今后有大量的应用， 应熟练地、灵活地掌握
复习
回顾一下，两角差的余弦公式是什么？
c os( - ) c o s c o s sin sin
若把β换成-β，此两角差的余弦公式 会如何？
新知讲解： 1、两角和的余弦公式
cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ
这个公式对于任意角α、β都成立.
简记作C（α+β）
公式记忆 C C S S，符号相反，
即余余，正正，异相连
两角和的余弦公式等于这两个角的余弦之 积减去这两个角的正弦之积。
cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ.
（C（α+β））
cos(α –β) ＝cosα cosβ + sinα sinβ. 例如 cos(113° –27°) cos27° sin27°; + sin113° ＝cos113° cos(113° +27°) ＝cos113° sin27°; cos27°- sin113°
（C（α–β））
例题1
1.利用两角余弦的和与差公式，
求75°余弦值。
sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ,
在上式中用–β代替β，得 （S（α+β））
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式年级：高一 主备人：李波 审核人： 郭爱琴 编号：一、温故互查：（二人小组互述）(1) 你能说出两角和与差的余弦公式吗？cos (α –β )=(2) 你能说出诱导公式的内容吗？我们利用哪些公式能实现正弦、余弦的相互转化呢？二、设问导读：探究一：两角和与差的正弦公式问题1：由公式C (α-β)、及诱导公式 出发，你能将 转化为余弦吗？问题2：你能利用C (α-β)、在问题1的基础上推出两角和的正弦公式吗？1、 =问题3： 的范围是什么？能否用β-替换β？你能推导出两角差的正弦公式吗？ = （其中 的取值范围是 ）探究二：两角和与差的正切公式问题4：你能根据两角和的正弦、余弦公式推导出用有关αβ、的正弦、余弦表示的 展开式吗？问题5：在问题4的基础上，怎样将 展开式的右端转换成用αβ、的正切表示的关系式呢？2、 = 问题6：类比 的推导你能推出 的公式吗？=思考： 的取值范围是什么呢？三、自学检测：例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛απαπ4cos -4sin ，的值.例2、已知35sin ,cos 513αβ==-，且α为第一象限角，β为第二象限角。
求sin()αβ+和sin()αβ-变式2、已知443cos(),cos(),2552παβαβαβπ+=-=-<+<，,2παβπ<-<求cos 2α的值。
公式()θααα++=+sin cos sin 22b a b a 的应用例3、计算12cos12sin 3ππ+的值四、巩固训练：1 sin 7cos37sin83sin37︒︒-︒︒、的值为_______2、cos 20cos70sin 20sin 70-的值为3 sin 2sin 3cos 2cos3, ______x x x x x =、若则的值是 ()()._________sin sin cos cos 4=+++ββαββα、5、不查表分别求cos75°，sin75o，sin15o及tan15的值。
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1 + tan15 (3 ) o ; 1 - tan15
o
(4)tan17°+tan28°+tan17°tan28° tan17° tan28°+tan17°tan28°
3.公式都是有灵性的, 3.公式都是有灵性的,应用时不能生搬 公式都是有灵性的 硬套,要注意整体代换和适当变形. 硬套,要注意整体代换和适当变形.
�
a2 + b2 - 2 cos(a + b) = 2
思考2 思考2:若sinα+cosβ=a,cosα+sinβ= + = , + = b,则sin(α+β)等于什么? 等于什么? , + 等于什么
a2 + b2 - 2 sin(a + b) = 2
思考3 tanα+ 思考3:根据公式 Tα+β,tanα+tanβ 可变形为什么? 可变形为什么? tanα+tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ) + 1 思考4 思考4:在△ABC中,tanA,tanB,tanC ABC中 tanA,tanB, 三者有什么关系? 三者有什么关系? tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 思考5 sinx+cosx能用一个三角函数表 思考5:sinx+cosx能用一个三角函数表 示吗? 示吗? p sin x + cos x = 2 sin(x + ) 4
两角和与差的正弦, 3.1.2 两角和与差的正弦, 余弦,正切公式 余弦,
为方便起见, 为方便起见,公式S(a + b ), C(a + b ), T(a + b ) 称为和角公式,公式S(a - b ), Ca - b , 称为和角公式 和角公式, T(a - b ) 称为差角公式.怎样理解这6个公 称为差角公式 怎样理解这6 差角公式. 式的逻辑联系? 式的逻辑联系?
C(α-β) (α- T(α-β) (α- S(α-β) (α- S(α+β) (α+ C(α+β) (α+ T(α+β) (α+
两角和与差三角公式的变通 思考1 思考1:若cosα+cosβ=a,sinα-sinβ= + = , - = b,则cos(α+β)等于什么? 等于什么? , + 等于什么
小结作业
1.两角差的余弦公式 1.两角差的余弦公式 Cα β 是两角和与 差的三角系列公式的基础, 差的三角系列公式的基础,明确了各公 式的内在联系, 式的内在联系,就自然掌握了公式的形 成过程. 成过程.
C 2.公式 S(a + b ) 与 S(a- b ) , (a + b 与 Cα β 2.公式 ) T(a + b ) 与 T(a - b )的结构相同,但运算 的结构相同, 符号不同,必须准确记忆,防止混淆. 符号不同,必须准确记忆,防止混淆.