2.2.1圆的标准方程-导学案
圆的标准方程
2.2.1圆的标准方程
一、教学目标：
知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
二、教学重点：圆的标准方程
教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
三、教学方法：学导式
四、教学过程
2021年高中数学第二章2.2.1圆的标准方程学案北师大版必修2
§2圆与圆的方程
2．1圆的标准方程
知识点一确定圆的条件
[填一填]
一个圆的圆心位置和半径一旦给定，这个圆就确定了，如图所示．
[答一答]
1．确定圆的标准方程需要具备的条件是什么？
提示：由标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 知确定圆的标准方程需要确定三个参数a、b、r.
其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定量条件．
知识点二圆的标准方程
[填一填]
(1)圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点叫作圆的圆心，定长称为圆的半径．
(2)圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(3)当圆心是坐标原点时，有a＝b＝0，那么圆的方程为x2＋y2＝r2
[答一答]
2．若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径一定是a吗？圆心坐标是(m，n)吗？
提示：圆的半径不一定是a，当a>0 时，半径是a；当a<0 时，半径是－a.圆心坐标不
是(m，n)，应是(－m，－n)，因为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2 化为标准结构是[x－(－m)]2＋[y－(－
n)]2＝|a|2.
3．圆的标准方程有哪些优点？确定圆的标准方程有几个基本要素？
提示：圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径．在圆的标准方程中有两个基本要素：圆心坐标和半径，只要a，b，r三个量确定了，且r>0，则圆的标准方程就确定了，这就是说要确定圆的标准方程，必须具备三个独立的条件，注意确定a，b，r，可以根据条件利用待定系数法来解决．
江苏省海门实验学校苏教版高中数学必修二：2.2.1圆的标准方程 导学案
第一课时圆的标准方程
编制：周英亮审核：邱明朗9。4【学习目标】
1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程；
2、会用待定系数法求圆的标准方程；
3、进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
【教学重点】圆的标准方程
【教学难点】会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。
【教学过程】[。Co
活动一:问题情境，感受数学
问题1:在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？
问题2：圆作为平面几何中的基本图形,确定它的要素又是什么呢？问题3:具有什么性质的点的轨迹称为圆？
问题4：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？
活动二：小组合作，建构数学
问题5：如何推导圆的标准方程?
圆的标准方程：
问题6:圆的标准方程有何特征？
活动三：学习展示，运用数学
例1．求下列各圆的标准方程:
(1)圆心在原点，半径是3;
（3)经过点P（5，1)，圆心在点C（8，—3);（4)圆心在点C(1，3)，并且和直线3x—4y—7=0相切．
例2．(1）已知两点
P(4，9)和2P（6,3）,求以1P2P为直径的圆的方程；
1
（2）试判断点M（6，9）、N（3，3)、Q（5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
问题7：如何判断点与圆的位置关系？
归纳总结：
例3．ABC的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),
--求它的外接圆的方
A B C
程。
变式：已知圆心为C的圆经过点(1,1)
圆的方程导学案
圆的方程导学案
一、学习项目
1.理解并且掌握圆的标准方程和一般方程
2.能够根据圆的方程找到圆心和半径
3.能够根据圆心和半径写出圆的标准方程
4.能够将一般方程转化为标准方程
二、知识链接
1.两点间的距离公式：
已知p1(x1,y1) , p(x2,y2) , 则|p1p2|=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2.如何配方：
x²+6x写成完全平方的形式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
y²-3y写成完全平方的形式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
三、项目解决
知识探究（一）
1.在平面直角坐标系中，确定一个圆需要知道哪些要素？答：＿＿＿＿＿＿＿＿
2.圆上任意一点到圆心的距离=＿＿＿＿＿
3.在平面直角坐标系中，圆心C(a,b),半径为r ,点M（x,y)为圆上任意一点，试推导出圆的标准方程（提示：使用两点间的距离公式）
结论1.
圆心C(a,b),半径为r的圆的标准方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿圆心为坐标为原点0（0,0），半径为r的圆的标准方程＿＿＿＿练习1：已知圆的标准方程求圆心和半径
（1）(x+3)²+(y-4)²=5 （2）(x-2)²+y²=3
（3）x²+(y+1)²=9 （4）(x+5)²+ (y-2)²=7
练习2：求符合下列条件圆的标准方程
（1）圆心坐标为（2,1），半径为3
（2）圆心坐标为（–4,–3），半径为根号5
（3）已知点A（2,1）、B（0,3），以AB为直径
知识探究（二）
1.将圆的标准方程展开同项归类整理：
（x-a）²+(y-b)²=r²
2.思考x²+y²+Dx+Ey+F=0是否一定是圆的方程？（结合书中66页的
新知识）
圆的方程导学案
学案47圆的方程
导学目标：1.掌握确定圆的几何要素；
2.掌握圆的标准方程与一般方程；
3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
自主梳理
1．圆的定义
在平面内，到________的距离等于________的点的________叫做圆．
2．确定一个圆最基本的要素是________和________．
3．圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，其中________为圆心，____为半径．
4．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是____________________，其中圆心为________________________，半径r＝________________________.
5．确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；
(3)解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．
6．点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种．
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，
(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2；
(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2；
(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2.
自我检测
1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆时，m的取值范围为______________．
2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是________．
圆的标准方程学案
(2) 圆心在 A( 3,4) ，半径长为 5 ； __________________________ (3) 圆心在 A( 3,2) ，半径长为 5； __________________________ 3、画出下列方程所表示的圆 2 2 2 ①x + y ＝4 y 1 O 【知识应用】 练习 1：判断下列各点是否在以 A(2,3) 为圆心，半径为 5 的圆上？ (1) M 1 (5,7) (2) M 2 (2,1) (3) M 3 (3,1) 1 x
1
(3) 数学建构 2 2 2 圆的标准方程：(x－a) + (y－b) ＝r 以 C(a，b)为圆心，r 为半径. 2 2 2 方法迁移：由一般到特殊：当圆心在坐标原点时，圆的方程是 x + y ＝r 单位圆：半径为 1 的圆 (4) 【练习强化】 1. 写出下列圆的圆心坐标和半径。 圆心坐标 半径
( x 4) 2 ( y 1) 2 6 ( x 1) 2 ( y 4) 2 4 ( x 2) 2 y 2 9 x 2 ( y 3) 2 8 x 2 y 2 (3) 2 ( x a) 2 y 2 a 2
__________ __________ ___________ __________ __________ ___________
例 2．求圆心是 C(2，－3)，且经过原点的圆的方程. 法一： 法二：
2014年人教A版数学必修二导学案：2.2.1圆的方程—圆的标准方程
5) 和 B(3， 7) ，且圆心在 x 轴上： （5）经过点 A(3，
， 5) 为圆心，并与 y 轴相切的圆的标准方程． 2．求以点 C (1
5) 和 B(6， 1) ，求以线段 AB 为直径的圆的标准方程． 3．已知点 A(4，
， 1) ， B(1， 1) ，且圆心 C 在直线 x y 2 0 上的圆的标准方程． 例 4、求过点 A(1
【学后反思】
课题:2.2.1 圆的方程—圆的标准方程检测案
班级： 姓名： 学号： 第 学习小组 【课堂检测】 1．圆 C ： ( x 3) 2 ( y 2) 2 9 的圆心坐标和半径分别为__________；__________．
0) 且与 y 轴切于原点的圆的标准方程． 5．求过点 P(12，
【课后巩固】
1．写出满足下列条件的圆的标准方程： （1）圆心在原点，半径为 6 ： ； ； ； ； ．
3) ，圆心为 C (2， 2) ： （2）经过点 P(6，
2) ，圆心为 C (3， 0) ： （3）经过点 P(2，
例 2、已知隧道的截面是半径为 4 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽 为 2.7 m ，高为 3m 的货车能不能驶入这个隧道？
思考：假设货车的最大宽度为 am 那么货车要驶入该隧道，限高为多少？
圆的标准方程导学案
《圆的标准方程》导学案
一、课前预习：自主学习
1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？
2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？
3.设圆心坐标为(,)C a b ，半径为r ，设),(y x P 为这个圆上任意一点，那么P ，C 与r 有什么关系？能用坐标表示吗？
4.圆心在(,)C a b ，半径为r 的圆的标准方程：________________
5.圆心为坐标原点、半径为r 的圆的方程是：
圆心在原点、半径为1的圆的方程：
思考：确定圆的标准方程的基本要素？
预习自测
1.写出下列各圆的方程：
（1） 以C(2，-1)为圆心，半径等于3；
（2） 圆心在圆点，半径为5；
（3） 经过点P(5,1)，圆心在点C(6，-2)；
（4） 以A(2,5)，B(0，-1)为直径的圆。
2.圆22
(3)(2)13x y -++=的圆心为 半径为
二、学习目标
1．知识目标：⑴ 掌握确定圆的几何要素
⑵ 掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程
⑶ 能从圆的标准方程中求出它的圆心和半径
2．水平目标：本节内容通过对直线的方程的回忆基础上，引导我们用方程语言刻画圆的特征，然后通过具体例题，解决思考、探究、练习中的问题。
3．情感目标：通过本节知识的学习，将培养我们联系旧知识、提出问题、解决问题的探究水平，进一步培养学生学习数学的兴趣。
三、重点难点
重点：1.对圆的方程的理解； 2.待定系数法求圆的方程。
2.2.1 圆的标准方程
2.2．1 圆的标准方程
教学分析
作为一般曲线的典型例子，课本安排了本节“圆的标准方程”．圆是学生比较熟悉的曲线，在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究它的方程，它与其他图形的位置关系及其应用．同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的标准方程，就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础，也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用．今天学习圆的标准方程，由于“圆的标准方程”一节内容的基础性和应用的广泛性，对圆的标准方程要求层次是“掌握”．为了激发学生的主体意识，教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的应用意识，本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计，所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机地结合起来．教师的每项教学措施，都是给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题．三维目标
1．使学生掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力．
2．会用待定系数法求圆的标准方程，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，形成代数方法处理几何问题的能力，从而激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生分析、概括的思维能力．
第五节圆的标准方程
(2)当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点；
(3)当D2＋E2－4F<0时，不表示任何曲线．
4．圆的一般方程的特点
(1)x2和y2的系数相等且不等于0；(2)不含有xy这样的二次项．
注：以上两点是二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的必要条件，但不是充分条件．
6．以(2，2)为圆心，且经过原点的圆的方程为( )
A．(x＋2)2＋y2＝4 B．(x－2)2＋(y－2)2＝8
C．(x＋2)2＋y2＝2 D．(x－2)2＋y2＝2
7．已知圆的方程为x2＋y2－2x－2y－8＝0，则该圆的一条直径所在直线的方程为( )
A．2x－y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．2x＋y＋1＝0 D．2x＋y－1＝0
《圆的标准方程》——课前导学案
教
学
目
标
知识目标
掌握圆的标准方程及与直线位置关系相关概念
能力目标
通过对概念的理解应用，提高学生分析问题、解决问题的能力。
情感目标
通过对知识的探究，掌握自主学习的方法，通过学习中的交流，形成合作学习的习惯。
知
识
梳
理
1．平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是_____，定点是_____，定长是_____．
2．关于方程x2＋y2＋2ax－b2＝0，下列说法正确的是( )
高一数学必修2第4章圆与方程的导学案
高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:
圆的标准方程
一、学习目标
学问与技能：1、驾驭圆的标准方程，能依据圆心、半径写出圆的标准方程。2、会用待定系数法求圆的标准方程。
过程与方法：进一步培育学生能用解析法探讨几何问题的实力，渗透数形结合思想，通过圆的标
准方
程解决实际问题的学习，留意培育学生视察问题、发觉问题和解决问题的实力。 情感看法与价值观：通过运用圆的学问解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热忱和爱好。
二、学习重点、难点： 学习重点: 圆的标准方程
学习难点: 会依据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。 三、运用说明及学法指导:
1、先阅读教材118—120页，然后细致审题，细致思索、独立规范作答。
2、不会的，模棱两可的问题标记好。
3、对小班学生要求完成全部问题，试验班完成90℅以上，平行班完成80℅以上 四、学问链接： 1．两点间的距离公式？
2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？
平面内与肯定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径. 五、学习过程：(自主探究)
A 问题1阅读教材118页内容，回答问题
已知在平面直角坐标系中，圆心A 的坐标用（a ，b ）来表示，半径用r 来表示，则我们如何写出圆的方程？
问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？
例1：1写出下列各圆的方程：
(1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是5 (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； 2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：
【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案)
1.圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，
而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆.
(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程.
2.点与圆的位置关系
(1)点在圆上
①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上.
②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上.
(2)点不在圆上
①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足
F(x，y)<0，则该点在圆内.
②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内.
注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：d max＝|PC|＋r；最小距离：
d min＝|PC|－r.
3.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方
程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断).
(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离.
(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形.
32.圆的标准方程导学案(原卷版)
2.4.1圆的标准方程
导学案
【学习目标】
1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点
2.会根据已知条件求圆的标准方程
3.能准确判断点与圆的位置关系
【自主学习】
知识点一圆的标准方程
(1)圆的定义：平面上到的距离等于的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
(2)确定圆的基本要素是和，如图所示．
(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以为圆心、半径为r的圆．
知识点二点与圆的位置关系
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，
设d＝|PC|＝(x0－a)2＋(y0－b)2.
【合作探究】
探究一 直接法求圆的标准方程
【例1】(1)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，
且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455
，则圆C 的方程为________． (2)与y 轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________．
归纳总结：
【练习1】以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的方程是( )
A ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10
B ．(x －1)2＋(y －2)2＝100
C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25
D ．(x －1)2＋(y －2)2＝25
探究二 待定系数法求圆的标准方程
【例2】求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程．归纳总结：
【练习2】已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．
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圆与圆的方程
2.1圆的标准方程（导学案）
使用说明：
1．用15分钟左右的时间，阅读课本内容，自主高效预习，理解公式中各量的含义。 2．限时完成导学案的预习案部分，找出自己的疑惑和需要解决的问题，准备课上讨论探究。
【学习目标】⑴ 掌握确定圆的几何要素
⑵ 掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程 ⑶ 能从圆的标准方程中求出它的圆心和半径
【重点难点】重点是圆的标准方程，难点是根据不同的条件求圆的标准方程
相关知识：
1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？
2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？
教材助读：
1.设圆心坐标为(,)C a b ，半径为r ，设),(y x P 为这个圆上任意一点，那么Ｐ，C 与r 有什么关系？能用坐标表示吗？
2.圆心在(,)C a b ，半径为r 的圆的标准方程：
___________________________________________________________________
3.圆心为坐标原点、半径为r 的圆的方程是： 圆心在圆点、半径为1的圆的方程： 思考：确定圆的标准方程的基本要素？
预习自测
1.写出下列各圆的方程：
（1） 以C(2，-1)为圆心，半径等于3； （2） 圆心在圆点，半径为5；
（3） 经过点P(5,1)，圆心在点C(6，-2)； （4） 以A(2,5)，B(0，-1)为直径的圆。
2.圆22(3)(2)13x y -++=的圆心为 半径为
基础知识探究
1.试由圆的标准方程的推导过程思考，若点P 在圆内，在圆上，在圆外时，00,x y 应满足怎
样的关系式P P P ⇒⎧⎪
⇒⎨⎪⇒⎩
点在圆内点在圆外点在圆上
2.若点),3(a 在圆1622=+y x 的内部，则a 的取值范围是
综合应用探究
1.已知ABC Rt ∆ 的斜边AB 的端点A 的坐标为（-2,1），B 的坐标为（4,3），直角顶点C 在什么曲线上？并求出它的方程？
预习案 探究案
2.求圆心在直线02=-+y x 上，且经过两点)2,1(),0,1(-Q P 的圆的方程。
当堂检测
1. 求满足下列条件的圆的方程
（1） 经过点C(-1,1)和D(1,3),圆心在x 轴上；
（2） 经过直线073=++y x 与01223=--y x 的交点，圆心为点C(-1,1);
2. 圆5)2(22=++y x 关于原点(0,0)对称的圆的方程是
3. 下列方程表示什么图形？ (1)022=+y x (2)22)2(8)1(+-=-y x (3)21x y -=
我的收获：