3第三章 概率及概率分布

不论第一次抽样结果，第二次抽样中，得到雌
性或雄性的概率仍是50／100。
这两次试验是独立的
第一次抽样后不放回，再做第二次抽样。 抽到雄性的概率是49／99
雄性动物
抽到雌性的概率是50／99 抽到雄性的概率是50／99
雌性动物
抽到雌性的概率是49／99
这两次试验是非独立的
放回式抽样 非放回式抽样
二项分布 超几何分布
λ
无限增大时，泊松分布接近正态分布。
二Байду номын сангаас泊松分布
e x P( x) x!
1
对于小概率事件，可用泊松分布描述 其概率分布。
2
二项分布当p<0.1和np<5时，可用泊松
分布来近似。
n大 二项分布 p与1-p接近 λ 大 泊松分布 正态分布
正态分布是生物统计学的重要基础。
三、正态分布 正态分布（normal distribution)
此表列出了该鱼群年龄构成的全部，称为该
鱼群年龄的概率分布。
三、概率分布
（一）离散型变量的概率分布 表3-3 离散型变量的概率分布
变量(x) 概率(P) x1 p1 x2 p2 x3 p3 x4 p4 …….. ……. xn pn
P( x xi ) pi (i 1,2,3,, n)
设离散型变量x的所有一切可能值xi(i=1,2,3…), 取相应值的概率为pi，则pi称为离散型随机变 量x的概率函数。
二、概率的计算 （一）事件的相互关系
完全事件系
如果多个事件A1、A2、A3、…、An两两互斥，
且每次试验结果必然发生其一，则称事件A1、 A2、A3、…、An为完全事件系。
（二）概率的计算法则
二、概率的计算
1 互斥事件加法定理 若事件A与B互斥，则 P(A+B)=P(A)+P(B)
推理1 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) 推理2 P(A)=1-P(A) 推理3 完全事件系的和事件的概率为1。


概率密度函数f(x)与x轴所围成的面积为1。
频率W(A) n 值大
概率P(A)
统计数
参 数
四、大数定律
大数定律：概率论中用来阐述大量随机
现象平均结果稳定性的一系列定律的总称。 样本容量越大，样本统计数与总体参数
之差越小。
四、大数定律
贝 努 里 大 数 定 律
设m是n次独立试验中事件A出现的次数， 而p是事件A在每次试验中出现的概率， 则对于任意小的正数ε
一、二项分布
p(3)＝ C103p3(1-p)7
p(x)＝ Cnxpx(1-p)n-x
二项式[p+(1-p)]n展开式的第x+1项，因此称为“二项分布”
[p+(1-p)]n=1 p(0) +p(1) +p(2) + … + p(x) + … + p(n) =1
Σ p(x) =1
p(0) =0.0009766
m lim P{ p } 1 n n
设x1,x2,x3,…,xn是来自同一总体的 变量，对于任意小的正数ε
lim P{ x } 1
n
辛 钦 大 数 定 律
四、大数定律
只要从总体中抽取的随机变量次数相当多，
就可以用样本的统计数来估计总体的参数。
统计数 参数
A
B
A
B
二、概率的计算 （一）事件的相互关系
积事件
事件A和事件B中同时发生而构成的新事件称 为事件A和事件B的积事件，记作AB。
n个事件的积，可表示为A1A2…An。
A
B
二、概率的计算 （一）事件的相互关系
互斥事件
事件A和事件B不能同时发生，则称这两个事
件A和B互不相容或互斥。
n个事件两两互不相容，则称这n个事件互斥。
n
P(x)为随机变量x的二项分布，记作 B(n,p) （二）二项分布的形状和参数
二项分布的形状由n和p两个参数决定。
(1)当p值较小且n不大时，分
布是偏倚的。随n的增大，分
布趋于对称；
（2）对于固定的n和p，当x增 加时，P(x)先随之增加并达到 极大值，以后又下降。 （3）当p值趋于0.5时，分布
随机抽样
样本
统计推断
总体
第三章
概率与概率分布
第一节：概率基础知识
一、概率的基本概念 二、概率的计算 三、概率的分布 四、大数定律
一、概率基本概念
（一）事件
必然事件（U）：一定条件下必然出现。 不可能事件（V）：一定条件下必然不出现。
随机事件（A）：一定条件下可能出现。
生物统计学只讨论随机事件。
一、概率基本概念
（二）频率 设事件A在n次重复试验中发生了m次,其比值m/n 称为事件A发生的频率(frequency)，记为W(A)=m/n。
0 W ( A) 1
（三）概率（probability, P) 事件A在n次重复试验中，发生了m次，当试验次 数n不断增大时，事件A发生的频率W(A)就越来越
接近某一确定值p，于是定义p为事件Ａ发生的概
率（probability）,记为 P(A) = p
0≤P(A)≤1
P(U)=1
P(V)＝0
二、概率的计算 （一）事件的相互关系
和事件 积事件 互斥事件
对立事件
独立事件 完全事件系
二、概率的计算 （一）事件的相互关系
和事件
事件A和事件B中至少有一个发生而构成的新事 件称为事件A和事件B的和事件，记作A+B。 n个事件的和，可表示为A1+A2+…+An。
抽样间相互独立，每次抽到雄性动物的概率是p，
抽到雌性动物的概率是1-p P(mmmfffffff)=p3(1-p)7
一、二项分布
P(mmmfffffff)=p3(1-p)7 mmfmffffff, mfmmffffff, fmmmffffff, ffmmmfffff, …… 在10次抽样中，抽到3只雄性动物的所有方式数， 相当于从10个元素中，取3个元素的组合数C103 抽到3只雄性动物的概率 p(3)＝ C103p3(1-p)7
三、概率分布 （二）连续型变量的概率分布
P(a x b) f ( x)dx
a
b
a
b
连续型随机变量的概率由概率分布密度函数所确定。
三、概率分布 （二）连续型变量的概率分布
对于随机变量在区间 ( , ) ，则该事件 为必然事件。
P( x ) f ( x)dx 1
趋于对称。
一、二项分布
（二）二项分布的形状和参数
服从二项分布B(n,p)的随机变量所构成的 总体的平均数μ 、标准差σ 与n、p这两个 参数有关。
np
np(1 p)
显微镜视野内染色体有变异的细胞计数
抽检大量产品中出现次品的件数
田间小区内出现变异植株的计数
n 很大，p值很小。
二、泊松分布

x
λ 为参数，λ ＝n p
P(x) 1
P( x) C p (1 p)
x n x
n x
P( x)
e


x
x!
np



2
np(1 p)
np(1 p) np
2

二、泊松分布
P(λ )的形状由λ 确定
λ λ
较小时，泊松分布偏倚。 增大时，泊松分布趋于对称。
特点
围绕在平均值左右，由平均值到 分布的两侧，变量数减少，即两 头少，中间多，两侧对称。 正态分布也称为高斯分布。
三、正态分布
（一）正态分布的概率函数
f ( x) 1

e 2

(x)
2
2

2
( x )
N (μ，σ2)
f(x) 为正态分布的概率密度函数，表示某一定x值 出现的概率密度函数值。 μ 总体平均数 σ 总体标准差
二、概率的计算 （一）事件的相互关系
对立事件
事件A和事件B必有一个发生，但二者不能同 时发生，且A和B的和事件组成整个样本空间。 即A+B=U，AB=V。我们称事件B为事件A的 对立事件。
B= A
对立 事件
互斥事件
二、概率的计算 （一）事件的相互关系
独立事件
事件A和事件B的发生无关，事件B的发生 与事件A的发生无关，则事件A和事件B为 独立事件。
p(1) =0.0097656 p(2) =0.0439453 p(3) =0.1171876 F(3)= p(0) +p(1) +p(2) + p(3) =0.1718751
一、二项分布
（一）二项分布的概率函数
x表示在n次试验中事件A出现的次数
xpxx n-xx ( n x ) 概率分布函数为 P P(x)=C q ( x) nC p q
定义
三、概率分布 （二）连续型变量的概率分布
n 增加 组距减少 分组多 直方条 增加
阶梯形曲线趋于光滑
（二）连续型变量的概率分布
当n无限大时，频率转化为概率，频率密度也 转化为概率密度，阶梯形曲线也就转化为一条 光滑的连续曲线，这时频率分布也就转化为概 率分布了，此曲线为总体的概率密度曲线。 曲线函数用f(x)表示。
第二节：几种常见的理论分布
随机变量的分布可用分布函数来表述概率
离散型变量
二项分布 泊松分布 正态分布
变 量
(discrete random variable)
连续型变量
(continuous random variable)
一、二项分布
离散型随机变量的分布
雄性 发芽 有芒 成活 哺乳动物 种子 穗子 生物个体 雌性 不发芽 无芒 死亡
对离散型变量x的一切可能值xi(i=1,2,3…) 及
其对应的概率pi。
P( x xi ) pi (i 1,2,3,, n)
三、概率分布 （一）离散型变量的概率分布 表3-2 年龄(x) 1 2 某鱼群的年龄组成 3 4 5 6 7
频率(W) 0.4597 0.3335 0.1254 0.0507 0.0215 0.0080 0.0012
一、二项分布
在放回式抽样中，若抽样试验共进行10次， 其中包括3只雄性动物的概率是多少？
包括3只及3只以下的概率是多少？
在10次试验中，抽到雄性动物的只数是一随机变 量，记为X，X的可能值是0，1，2， …，10。
现在要求出X＝3和X≤ 3的概率。
n=试验次数（或样本含量）
x=在n次试验中事件A出现的次数
对立事件
“非此即彼”事件所构成的总体 二项总体 概率分布 二项分布
一、二项分布
（一）二项分布的概率函数
试验只有两个对立结果
二 项 总 体
重复性
独立性
试验的条件不变，即在每次试验中事 件A出现的概率皆为p。 任何一次试验中，事件A的出现与其 余各次试验中出现何种结果无关。
从雌雄各半的100只动物中，做一抽样试验。 第一次从这100只动物中随机抽取1只，记下性 别后放回，再做第二次抽样。
n=10
x=3
p=事件A发生的概率（每次试验是恒定的） p=0.5 1-p=事件A不发生的概率 p(x)=X的概率函数=P(X=x) F(x)=P(X ≤3) 1-p=0.5 p(3) F(3)
一、二项分布
m表示雄性动物 f表示雌性动物
mmmfffffff 表示在10次抽样中，前3次抽中的都是雄 性动物。
泊松分布(Poisson distribution)是一种可以用 来描述和分析随机地发生在单位空间或时间
里的稀有事件的概率分布。 泊松分布是二项分布的一种特殊类型。
二、泊松分布
概率函数可由二项分布概率函数推导出来。
P( x) C p (1 p)
x n x
n x
e P( x) x!
A:第一粒种子发芽 P( A) 0.9 B:第二粒种子发芽 P( B) 0.9
P( A) 0.1 P( B) 0.1
C A B C:两粒种子均发芽 P(C ) P( A) P( B) 0.81
D:一粒种子发芽
D A B A B
P(D) P( AB) P( AB) 0.18
π 圆周率，3.14159
e为自然对数底，2.71828
（二）正态分布的特征
f ( x) 1
三、正态分布

e 2
(x)
二、概率的计算 （二）概率的计算法则 2 独立事件乘法定理
事件A和事件B为独立事件，则事件A与事 件B同时发生的概率为各自概率的积。 P(AB)=P(A)P(B) 推理：A1、A2、…An彼此独立，则 P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)
播种玉米，两粒种子，种子的发芽率为90%
E A B
E:两粒种子均不发芽
P(E) P( A)P( B) 0.1 0.1 0.01
P(C D E) P(C ) P( D) P( E ) 1
三、概率分布 （一）离散型变量的概率分布
要了解离散型随机变量x的统计规律，必须知 道它的一切可能值xi及取每种可能值的概率pi。