2013年高考真题解析分类汇编(文科数学)14：导数
2013年高考数学文科试题分类汇编导数 2
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编：导数一、选择题1 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是 （ ）A ．0x ∃∈R,0()0f x =B.函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x = 【答案】C2 ．（2013年高考大纲卷（文））已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（ ）A ．9B ．6C ．-9D ．-6 【答案】D3 ．（2013年高考湖北卷（文））已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞ 【答案】B4 ．（2013年高考福建卷（文））设函数)(x f 的定义域为R ,)0(00≠x x 是)(x f 的极大值点,以下结论一定正确的（ ）A ．)()(,0x f x f R x ≤∈∀B ．0x -是)(x f -的极小值点C ．0x -是)(x f -的极小值点D ．0x -是)(x f --的极小值点 【答案】D5 ．（2013年高考安徽（文））已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ,若112()f x x x =<,则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】A6 ．（2013年高考浙江卷（文））已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y =f’(x)的图像如右图所示,则该函数的图像是【答案】B 7．（2013年高考广东卷（文））若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a =___________【答案】12 8 ．（2013年高考江西卷（文））若曲线1y x α=+(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=_____【答案】2（2013年高考浙江卷（文））已知a∈R,函数f(x)=2x 3-3(a+1)x 2+6ax(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(Ⅱ)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.【答案】解:(Ⅰ)46(2)680y x x y -=-⇒--=; (Ⅱ)当1a>时,函数()y f x =最小值是233a a -;当1a <-时,函数()y f x =最小值是31a -;（2013年高考大纲卷（文））已知函数()32=33 1.f x x ax x +++(I)求()f ;a x =的单调性;(II)若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围【答案】(Ⅰ)当(1)x ∈-∞时,'()0f x >,()f x 在(1)-∞是增函数;当11)x ∈时,'()0f x <,()f x 在11)是减函数;当1,)x ∈+∞时,'()0f x >,()f x 在1,)+∞是增函数; (Ⅱ)a 的取值范围是5[,)4-+∞.（2013年高考课标Ⅱ卷（文））己知函数f(X) = x 2e -x(I)求f(x)的极小值和极大值;(II)当曲线y = f(x)的切线l 的斜率为负数时,求l 在x 轴上截距的取值范围.（2013年高考北京卷（文））已知函数2()sin cos f x x x x x =++.(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(,())a f a )处与直线y b =相切,求a 与b 的值.(Ⅱ)若曲线()y f x =与直线y b = 有两个不同的交点,求b 的取值范围.【答案】解:解得0a =,(0)1b f ==.(II)()y f x =与直线y b =有且只有两个不同交点,那么b 的取值范围是(1,)+∞.（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--,曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+.(Ⅰ)求,a b 的值;(Ⅱ)讨论()f x 的单调性,并求()f x 的极大值.【答案】121()()2 4.(0)4,(0)4,4,8,4;f x e ax a b x f f b a b a b =++--===+===（I ）由已知得故从而 (II) 当2=-2-2=41-)x f x f e -时，函数（）取得极大值，极大值为（）（.（2013年高考福建卷（文））已知函数()1x a f x x e=-+(a R ∈,e 为自然对数的底数). (1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求a 的值;(2)求函数()f x 的极值;(3)当1a =的值时,若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值.【答案】解:(Ⅰ)解得a e =.(Ⅱ)综上,当0a ≤时,函数()f x 无极小值; 当0a >,()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ,无极大值. (Ⅲ)综上,得k 的最大值为1.（2013年高考湖南（文））已知函数f(x)=x e x21x 1+-. (Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)证明:当f(x 1)=f(x 2)(x 1≠x 2)时,x 1+x 2<0.【答案】解: (Ⅰ) 所以,）上单调递减，上单调递增；在，在（∞+∈∞=0[]0-)(x x f y .(Ⅱ).0)()(212121<+≠=x x x x x f x f 时，且所以，当（2013年高考广东卷（文））设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈.(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间;(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ,()'2321f x x kx =-+【答案】(1)()f x 在R 上单调递增.(2)综上所述,当0k <时,()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=--（2013年高考山东卷（文））已知函数2()ln (,)f x ax bx x a b R =+-∈(Ⅰ)设0a ≥,求)(x f 的单调区间(Ⅱ) 设0a >,且对于任意0x >,()(1)f x f ≥.试比较ln a 与2b -的大小解答：当0a >时函数()f x 的单调递减区间是。
2013年全国大纲高考数学文科试卷带详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,U U A A ===集合则ð ( )A.{}1,2B.{}3,4,5C.{}1,2,3,4,5D.∅ 【测量目标】集合的补集.【考查方式】直接给出集合，用列举法求集合补集. 【参考答案】B【试题解析】依据补集的定义计算. {}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，∴ U A =ð{3,4,5}. 2．已知α是第二象限角，5sin ,cos 13αα==则 （ ） A.1213- B.513- C.513 D.1213【测量目标】同角三角函数基本关系.【考查方式】直接给出角的象限和正弦值，求余弦值. 【参考答案】A【试题解析】利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算.因为α为第二象限角，所以12cos .13α==-3．已知向量()()()()1,1,2,2,,=λλλ=+=++⊥-若则m n m n m n （ ）A.-4B.-3C.-2D.1- 【测量目标】平面向量的坐标运算与两向量垂直的坐标公式等.【考查方式】给出两向量的坐标表示，两向量坐标运算的垂直关系，求未知数.λ 【参考答案】B【试题解析】利用坐标运算得出+-与m n m n 的坐标，再由两向量垂直的坐标公式求λ， 因为()()23,3,1,1,λ+=+-=--m n m n 由()(),+⊥-m n m n 可得()()()()23,31,1260,λλ+-=+--=--= m n m n (步骤1)解得 3.λ=- (步骤2)4．不等式222x -<的解集是 （ ）A.()1,1-B.()2,2-C.()()1,00,1-D.()()2,00,2- 【测量目标】含绝对值的一元二次不等式的解.【考查方式】给出绝对值不等式，求出满足不等式的解集. 【参考答案】D【试题解析】将绝对值不等式转化为一元二次不等式求解.由222,x -<得2222,x -<-<即204,x <<(步骤1)所以20x -<<或02,x <<故解集为()()2,00,2.- (步骤2)5．()862x x +的展开式中的系数是 （ ）A.28B.56C.112D.224 【测量目标】二项式定理.【考查方式】由二项式展开式，求满足条件的项的系数. 【参考答案】C【试题解析】写出二项展开式的通项，从而确定6x 的系数.该二项展开式的通项为88188C 22C ,r r r r r r r T x x --+==(步骤1)令2,r =得2266382C 112,T x x ==所以6x 的系数是112. (步骤2)6．函数()()21log 10f x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数1()f x -= ( ) A.()1021x x >- B.()1021xx ≠- C.()21x x -∈R D.()210x x -> 【测量目标】反函数的求解方法，函数的值域求法. 【考查方式】给出函数的解析式，求它的反函数.. 【参考答案】A【试题解析】由已知函数解出,x 并由x 的范围确定原函数的值域，按照习惯把,x y 互换，得出反函数. 由21log 1y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭得112,yx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故1.21yx =-(步骤1)把x 和y 互换，即得()11.21x f x -=-(步骤2) 由0,x >得111,x+>可得0.y > 故所求反函数为()11(0).21xf x x -=>-(步骤3) 7．已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于 ( )A.()10613---B.()101139-- C.()10313-- D.()1031+3-【测量目标】等比数列的定义及等比数列前n 项和.【考查方式】给出一个数列{n a }、它的前后项的关系，判断是否为特殊数列，从而求出它的前n 项和. 【参考答案】C【试题解析】先根据等比数列的定义判断数列{}n a 是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算. 由130,n n a a ++=得11,3n n a a +=-故数列{}n a 是公比13q =-的等比数列. (步骤1)又24,3a =-可得1 4.a =(步骤2)所以()1010101413313.113S -⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭(步骤3)8．()()1221,0,1,0,F F C F x -已知是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为 ( )A.2212x y += B.22132x y += C.22143x y += D.22154x y += 【测量目标】椭圆的标准方程及简单几何性质.【考查方式】给出椭圆焦点，由椭圆与直线的位置关系，利用待定系数法求椭圆的标准方程. 【参考答案】C【试题解析】设出椭圆的方程，依据题目条件用待定系数法求参数.由题意知椭圆焦点在x 轴上，且1,c =可设C 的方程为()22221,1x y a a a +>-(步骤1)由过2F 且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长3,AB =知点21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭必在椭圆上，(步骤2)代入椭圆方程化简得4241740,a a -+=所以24a =或214a =（舍去）. (步骤3) 故椭圆C 的方程为221.43x y +=(步骤4) 9．若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2第9题图【测量目标】根据函数的部分图象确定函数解析式.【考查方式】给出正弦函数的未知解析式及正弦函数的部分图象.根据图象求出T ，确定ω的值.【参考答案】B【试题解析】根据图象确定函数的最小正周期，再利用2πT ω=求.ω设函数的最小正周期为T ，由函数图象可知0ππ=,244T x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭所以π.2T =(步骤1)又因为2π,T ω=可解得 4.ω=(步骤2)10．已知曲线()421128=y x ax a a =++-+在点，处切线的斜率为， ( )A.9B.6C.9-D.6- 【测量目标】导数的几何意义及求导公式等知识.【考查方式】已知曲线在未知点处的切线斜率，利用导数的几何意义求未知数a . 【参考答案】D【试题解析】先对函数求导，利用导数的几何意义得出点()1,2a -+处的切线斜率，解方程所得.342,y x ax '=+由导数的几何意义知在点(1,2)a -+处的切线斜率1|428,x k y a =-'==--=解得 6.a =-11．已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 ( )A.23 D.13 【测量目标】直线与平面所成角和线面垂直的判定.【考查方式】已知正四棱柱，利用其性质和几何体中的垂直关系求线面角的正弦值. 【参考答案】A【试题解析】利用正四棱柱的性质，通过几何体中的垂直关系，判断点C 在平面1BDC 上的射影位置，确定线平面角，并划归到直角三角形中求解.如图，连接AC ，交BD 于点O ，由正四棱柱的性质，有.AC BD ⊥ 因为1CC ⊥平面ABCD ，所以 BD ⊥（步骤1）又1,CC AC C = 所以BD ⊥平面 O （步骤2） 在平面1CC O 内作1,CH C O ⊥垂足为H ，则.BD CH ⊥又1,BD C O O = 所以CH ⊥平面1,BDC （步骤3） 第11题图 连接DH ，则DH 为CD 在平面1BDC 上的射影，所以CDH ∠为CD 与1BDC 所成的角.（步骤4）设12 2.AA AB ==在1Rt COC △中，由等面积变换易求得2,3CH =在Rt CDH △中，2sin .3CH CDH CD ∠==（步骤5） 12．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若0MA MB =，则k = ( )A ．12 D.2 【测量目标】直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识.【考查方式】已知抛物线标准方程,利用抛物线性质及直线与抛物线的位置关系求解过焦点的直线的斜率. 【参考答案】D【试题解析】联立直线与抛物线的方程，消元得一元二次方程并得两根之间的关系，由0MA MB =进行坐标运算解未知量k .抛物线C 的焦点为()2,0,F 则直线方程为()2,y k x =-与抛物线方程联立，消去y 化简得()22224840.k x k x k -++=(步骤1)设点()()1122,,,,A x y B x y 则1212284, 4.x x x x k +=+=所以()121284,y y k x x k k+=+-=()21212122416.y y k x x x x =-++=-⎡⎤⎣⎦(步骤2) ()()()()()()112212122,22,22222MA MB x y x y x x y y =+-+-=+++--()()121212122280,x x x x y y y y =+++-++=(步骤3)将上面各个量代入，化简得2440,k k -+=所以 2.k =(步骤4)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设()[)()21,3=f x x f x ∈是以为周期的函数，且当时， . 【测量目标】函数周期的应用及根据函数解析式求值.【考查方式】给出函数()f x 的周期及取值范围，代入解析式求函数值.【参考答案】1-【试题解析】利用周期将自变量转化到已知解析式中x 的范围内，代入解析式计算 . 由于()f x 的周期为2，且当[)1,3x ∈时，()2,f x x =-(步骤1)()2,f x x =-()()()112112 1.f f f -=-+==-=-(步骤2)14．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种.（用数字作答）【测量目标】简单的排列组合知识的应用. 【考查方式】直接利用排列组合知识列式求解. 【参考答案】60【试题解析】利用排列组合知识列式求解. 由题意知，所有可能的决赛结果有12365354C C C 61602⨯=⨯⨯=（种）.15．若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩………则z x y =-+的最小值为 .【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.【考查方式】直接给出函数的约束条件，利用线性规划性质及借助数形结合思想求z 的最小值.【参考答案】0【试题解析】作出定义域，借助数形结合寻找最优解.由不等式组作出可行域，如图阴影部分所示()包括边界，且()()41,1040,.3A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，由数形结合知，直线y x z =+过点()1,1A 时，min 110.z =-+= 16．已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K = ，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .【测量目标】球的大圆、小圆及球的截面性质，二面角的平面角，球的表面积公式等知识. 【考查方式】已知二面角的平面角，根据球的截面性质，直角三角形的性质，求出球的半径，并由球的表面积公式求球的表面积. 【参考答案】16π 【试题解析】根据球的截面性质以及二面角的平面角的定义确定平面角，把球的半径转化到三角形中计算，进而求得球的表面积.如图所示，公共弦为AB ，设球的半径为R ，则,AB R =取AB 为中点M ，连接OM 、,KM由圆的性质知,,OM AB KM AB ⊥⊥ 所以KMO ∠为圆O 与圆K 所在平面所成的一个二面角的平面角，则60.KOM ∠=(步骤1)Rt KOM △中，3,2OK =所以sin 60OK OM == (步骤2) 在Rt OMA △中，因为222,OA OM AM =+所以2213,4R R =+解得24,R =(步骤3)所以球O 的表面积为24π16π.R =(步骤4)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和 【测量目标】等差数列的通项公式、裂项相消法求数列的前n 项和.【考查方式】（1）根据等差数列的通项公式求出首项和公差，进而求出等差数列的通项公式.（2）已知通项公式，利用裂项相消法求和.【试题解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11.n a a n d =+-因为71994,2,a a a =⎧⎨=⎩所以()11164,1828.a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩(步骤1)解得11,1.2a d =⎧⎪⎨=⎪⎩所以{}n a 的通项公式为1.2n n a +=(步骤2) （2）因为()222,11n b n n n n ==-++所以2222222.122311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭(步骤3) 18．（本小题满分12分）设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()()a b c a b c ac ++-+=.（I ）求B（II）若1sin sin 4A C =，求C . 【测量目标】余弦定理解三角形，三角恒等变换公式及其应用.【考查方式】已知三角形的三边及三边关系.（1）由已知关系式展开，利用余弦定理求角. （2）三角形内角和得出A C +,由给出的sin sin A C 的形式，联想构造与已知条件相匹配的余弦公式,求出角C .【试题解析】（1）因为()(),a b c a b c ac ++-+=所以222.a c b ac +-=-(步骤1)由余弦定理得2221cos ,22a cb B ac +-==-因此120.B =(步骤2)（2）由（1）知60,A C +=所以()cos cos cos sin sin A C A C A C -=+cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+()11cos 2sin sin 2242A C A C =++=+⨯=(步骤1) 故30A C -=或30,A C -=- 因此15C =或45.C =(步骤2) 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，==90ABC BAD ∠∠，BC =2AD ,△P AB 与△PAD 都是边长为2的等边三角形. 图（1）（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离【测量目标】空间垂直关系的证明和点到平面距离的求解.第19题图【考查方式】已知四棱锥，底面为特殊的直角梯形，侧面为特殊三角形（1）借助线线、线面垂直求解.（2）通过做辅助线将点面距离转化为图形中的线段，再求解.【试题解析】（1）证明：取BC 的中点E ，连接DE ,则四边形ABCD 为正方形. 过点P 作PO ABCD ⊥平面，垂足为O .连接OA ,OB,OD ,OE . 图（2） 由PAB △和PAD △都是等边三角形知,PA PB PD ==(步骤1)所以,O A O B O D ==即O 为正方形ABED 对角线的交点，故 ,OE BD ⊥从而.P B O E ⊥(步骤2)因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE //CD .因此.PB CD ⊥(步骤3)(2)解：取PD 的中点F ，连接OF ，则//.OF PB 由（1）知，,PB CD ⊥故.OF CD ⊥(步骤4)又12OD BD ==OP ==故POD △为等腰三角形，(步骤5) 因此.OF PD ⊥又,PD CD D = 所以.OF PCD ⊥平面(步骤6)因为//,AE CD CD PCD ⊂平面，,AE PCD ⊄平面所以//.AE PCD 平面(步骤7) 因此点O 到平面PCD 的距离OF 就是点A 到平面PCD 的距离，(步骤8) 而112OF PB ==，所以点A 到平面PCD 的距离为1. (步骤9) 20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率. 【测量目标】相互独立事件同时发生的概率，互斥事件概率加法公式的应用.【考查方式】（1）直接利用独立事件的概率公式求解.（2）由已知，直接利用互斥事件的加法公式求解.【试题解析】（1）记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”，2A 表示“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”.则12.A A A = ()()()()12121.4P A P A A P A P A === (步骤1)(2)记1B 表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，2B 表示事件“第2局乙参加比赛，结果为乙胜”，3B 表示事件“第3局中乙参加比赛时，结果为乙胜”，B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”， 则1312312.B B B B B B B B =++ （步骤2）()()1312312P B P B B B B B B B =++=()()()1312312P B B P B B B P B B ++=()()()()()()()1312312P B P B P B P B P B P B P B ++=111+484+ =5.8(步骤3) 21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求();a f x =的单调性； （II ）若[)()2,0,x f x ∈+∞时，…求a 的取值范围. 【测量目标】导数在研究函数中的应用.【考查方式】已知含未知数a 的函数()f x （1）对()f x 求导，得出()f x =0时的根，根据导数性质讨论函数单调性.(2)利用特殊值法和放缩法求a 的范围.【试题解析】（1）当a =()3231,f x x x =-++()23 3.f x x '=-+(步骤1)令()0,f x '=得121, 1.x x ==(步骤2)当()1x ∈-∞时，()0,f x '>()f x 在()1-∞上是增函数；当)1x ∈时，()0,f x '<()f x 在)1上是减函数；当)1,x ∈+∞时，()0,f x '>()f x 在)1,+∞上是增函数. (步骤3) （2）由()20f …得4.5a -…当45a -…，()2,x ∈+∞时， ()()225321312f x x ax x ⎛⎫'=++-+ ⎪⎝⎭… =()1320,2x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭所以()f x 在()2,+∞上是增函数，(步骤4)于是当[)2+x ∈∞，时，()()20f x f 厖.综上，a 的取值范围是4,.5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(步骤5) 22．（本小题满分12分） 已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF = 证明：22AF AB BF 、、成等比数列.【测量目标】双曲线的方程、性质，直线与双曲线的位置关系，等比中项等性质.【考查方式】(1)由双曲线与直线的位置关系、双曲线的几何性质求出a,b 值.(2)由直线方程和双曲线方程，利用双曲线与直线的位置关系及两点间距离公式证明线段的等比关系.【试题解析】（1）解：由题设知3,c a =即2229,a b a+=故228.b a = 所以C 的方程为22288.x y a -=(步骤1)将y=2代入上式，求得x =(步骤2)由题设知，=解得2 1.a =所以1,a b ==(步骤3)（2）证明：由（1）知，()()123,0,3,0,F F -C 的方程为2288.x y -=○1(步骤4)由题设可设l 的方程为()3,y k x k =-<将其代入○1并化简，得 ()222286980.k x k x k --++=(步骤5)设()1122,,(,),A x y B x y 则22121212226981,1,,.88k k x x x x x x k k +-+==--剠(步骤6)于是()1131,AF x ==-+123 1.BF x ==+(步骤7)由11,AF BF =得()123131,x x -+=+(步骤8) 即2122262,,383k x x k +=-=--故 解得212419,.59k x x ==-从而(步骤9)由于2113,AF x ===-2231,BF x ===- 故()2212234,AB AF BF x x =-=-+=(步骤10)()221212=39116,AF BF x x x x +--= 因而222,AF BF AB = 所以22AF AB BF 、、成等比数列(步骤11).。
2013年高考真题——文科数学(四川卷)_解析版
绝密 启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（文史类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。
满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、设集合{1,2,3}A =，集合{2,2}B =-，则A B =I （ ） （A ）∅ （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）{2,1,2,3}-2、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ） （A ）棱柱 （B ）棱台 （C ）圆柱 （D ）圆台3、如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ） （A ）A （B ）B （C ）C （D ）D4、设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集。
若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ） （A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈ （B ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （C ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （D ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉5、抛物线28y x =的焦点到直线30x y -=的距离是（ ）（A ）23 （B ）2 （C ）3 （D ）1yxDBA OC6、函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ） （A ）2,3π-（B ）2,6π-（C ）4,6π-（D ）4,3π7、某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示。
以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是（ ）8、若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x =-的最大值为a ，最小值为b ，则a b -的值是（ ）（A ）48 （B ）30 （C ）24 （D ）169、从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//AB OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ） （A ）24 （B ）12（C ）22 （D ）3 10、设函数()x f x e x a =+-（a R ∈，e 为自然对数的底数）。
2013年高考真题——数学文(全国卷大纲版)解析版
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,u U A A ===集合则ð（A ）{}1,2 （B ）{}3,4,5 （C ）{}1,2,3,4,5 （D ）∅（2）已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13a a ==则 （A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213（3）已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（A ）4- （B ）3- （C ）-2 （D ）-1（4）不等式222x -<的解集是（A ）()-1,1 （B ）()-2,2 （C ）()()-1,00,1U （D ）()()-2,00,2U（5）()862x x +的展开式中的系数是（A ）28 （B ）56 （C ）112 （D ）224（6）函数()()()-121log 10=f x x f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数 （A ）()1021x x >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210xx ->（7）已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于（A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3（8）已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于 A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（A ）2212x y += （B ）22132x y += （C ）22143x y += （D ）22154x y +=（9）若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则 （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2（10）已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（A ）9 （B ）6 （C ）-9 （D ）-6（11）已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（A ）23 （B ）33 （C ）23 （D ）13（12）已知抛物线()2:82,2,C C y x M k C =-与点过的焦点，且斜率为的直线与交于,0,A B MA MB k ==u u u r u u u rg 两点,若则（A ）12（B ）22 （C 2 （D ）2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）设()[)()21,3=f x x f x ∈是以为周期的函数，且当时， .（14）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种.（用数字作答）（15）若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z x y =-+的最小值为.（16）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K =o ，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和18．（本小题满分12分）设()(),,,,,.ABC A B C a b c a b c a b c ac ∆++-+=的内角的对边分别为（I ）求;B（II ）若31sin sin , C.4A C -=求19．（本小题满分12分）如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆o中，，与都是边长为2的等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I）求第4局甲当裁判的概率；（II）求前4局中乙恰好当1次裁判概率.21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求()2f ;a x =时，讨论的单调性；（II ）若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围22．（本小题满分12分） 已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2 6.y C =与的两个交点间的距离为（I ）求,;a b ；（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且 11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列。
2013高考 数学(文)真题专业解析(湖北卷)汇总
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（文科）（湖北卷）解析本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．主题1．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}A =，{2,3,4}B =，则C U B A =（ ）A ．{2}B ．{3,4}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4,5} 答案：B 思路分析：考点解剖：本题主要考查集合的相关运算． 解题思路：先求C U A ，再去求C U BA ．解答过程：易知{}3,4,5A =C U ，所以(){}3,4BA =C U ．故选B ．规律总结：集合的基本运算是高考热点之一，要充分了解并、交、补集等的概念，一般较容易求解．主题2． 已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=的（ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等 答案：D 思路分析：考点解剖：本题主要考查双曲线的离心率等基本特征． 解题思路：根据双曲线的定义求解．解答过程：由04πθ<<，得cos 0,sin 0θθ>>．在双曲线1C 中,长半轴sin a θ=，短半轴cos b θ=，半焦距1c =，离心率为1sin c e a θ==； 在双曲线2C 中,长半轴'cos a θ=，短半轴'sin b θ=，半焦距'1c =，离心率为'1''cos c e a θ==； 故双曲线1C 与2C 的焦距相等．故选D ．规律总结：求解本题的关键是要深刻理解双曲线的性质，以及仔细审题，切忌疏忽大意． 主题3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）A ．()()p q ⌝∨⌝B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∨ 答案：A 思路分析：考点解剖：本题主要考查逻辑联结词、复合命题的判断．解题思路：“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲没有降落在指定范围或者乙没有降落在指定范围或者甲乙都没有降落在指定范围．”解答过程：“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：甲没有降落在指定范围或者乙没有降落在指定范围或者甲乙都没有降落在指定范围． 又命题p 是“甲降落在指定范围”，可知命题p ⌝是“甲没有降落在指定范围”； 同理，命题q ⌝是“乙没有降落在指定范围”，所以“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()()p q ⌝∨⌝． 故选A ．规律总结：对于逻辑联结词问题，关键是要明白各个常见的逻辑联结词所表示的含义，同时理解命题本身的意义．主题4．四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且 2.347 6.423y x =-； ②y 与x 负相关且 3.476 5.648y x =-+； ③y 与x 正相关且5.4378.493y x =+； ④y 与x 正相关且4.326 4.578y x =--．其中一定不正确．．．的结论的序号是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 答案：D 思路分析：考点解剖：本题主要考查线性相关的基本概念． 解题思路：根据正负相关时回归直线斜率的正负来判断．解答过程：当y 与x 正相关时，线性回归直线方程应满足斜率大于0； 当y 与x 负相关时，线性回归直线方程应满足斜率小于0， 故①④一定不正确． 故选D ．规律总结：对于回归直线方程y ax b=+，当y 与x 正相关时，应满足0a >；当y 与x 负相关时，应满足0a <．主题5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（ ）答案：C思路分析：考点解剖：本题主要考查函数所表示的实际意义．解题思路：分析匀速行驶、留了一段时间，加快速度行驶的速度变化．解答过程：由题目意图可知，最开始距离学校距离最大；随着匀速行驶，与学校间的距离慢慢减小，呈直线递减；中途交通堵塞，与学校间的距离不变；最后为了赶时间加快速度行驶，与学校间的距离减小至0，且距离减小的速率大于之前距离减小的速率，即直线的斜率大于之前直线的斜率，故C项符合．故选C．规律总结：对于函数实际应用问题，关键是弄清题意，将文字语言翻译成数学语言，然后列式或定性分析．主题6．将函数m m>个单位长度后，所得到的=+∈R的图象向左平移(0)y x x xsin()图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．π12B．π6C．π36答案：B 思路分析：考点解剖：本题主要考查三角函数图象的对称性、奇偶性、平移、辅助角公式等． 解题思路：先求出平移后函数的解析式，再根据奇偶性列式求解． 解答过程：将函数sin 2sin 3y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移m 个单位后，得到函数2sin 3y x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，由题意，函数2sin 3y x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭关于y 轴对称，所以函数2sin 3y x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，故()32m k k πππ+=+∈Z ，解得()6m k k ππ=+∈Z ．故当0k =时，m 取得最小正值6π．故选B ．规律总结：若三角函数()sin y a wx ϕ=+为偶函数，则()2k k πϕπ=+∈Z ；若三角函数()sin y a wx ϕ=+为奇函数，则()k k ϕπ=∈Z ．主题7．已知点(1,1)(1,2)(2,1)(3,4)A B C D ---、、、，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）AC．2D．2答案：A 思路分析：考点解剖：本题主要考查向量的基本运算、数量积和向量投影． 解题思路：先求出向量,AB CD 的坐标，然后运用cos AB θ求解．解答过程：由已知得()()2,1,5,5AB CD ==，所以2,15,5cos 5AB CD AB CDθ===．故向量AB 在CD 方向上的投影为cos AB θ==． 故选A ．规律总结：向量a 在b 方向上的投影为cos θ==a b a ba a ab b．主题8．x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数 答案：D 思路分析：考点解剖：本题主要考查新知识的接收及使用能力，及数形结合的思想方法． 解题思路：作出函数()[]f x x x =-的大致图象，利用图形直观判断．解答过程：作出函数()[]f x x x =-的大致图象如下：观察图象，易知函数()[]f x x x =-是周期函数．故选D ．规律总结：当通过函数的解析式不好判断函数的奇偶性、单调性、周期性等基本性质时，可通过数形结合作出函数的图象，通过图象来直观判断，既方便又快捷，一目了然．主题9．某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为（ ）A ．31200元B ．36000元C ．36800元D ．38400元 答案：C 思路分析：考点解剖：本题主要考查线性规划的实际应用．解题思路：将文字语言翻译成数学语言，再利用线性规划知识求解． 解答过程：设分别租,A B 两种型号的客车,x y 辆， 则7,3660900,21,,,y x x y x y x y ≤+⎧⎪+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩N N 即7,3575,21,,,y x x y x y x y ≤+⎧⎪+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩N N则租金为16002400z x y =+．作出不等式组7,3575,21,,y x x y x y x y ≤+⎧⎪+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩N N表示的可行域，如下图阴影部分中的整点（即横坐标、纵坐标分别为整数的点）所示． 易知当直线16002400z x y =+经过点()5,12M 时，16002400z x y =+取得最小值，且min1600524001236800z=⨯+⨯=．故租金最少为36800元．故选C ．规律总结：注意本题中的可行域可取的点必须是整点（即横坐标、纵坐标分别为整数的点），对于线性规划的实际问题，一般若,x y ∈∈N N ，且端点处不是整点，则最值不能在端点处取得；这时需要寻求离端点处最近的几个整点，来比较大小，从而求得最值．主题10．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞ B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞ 答案：B 思路分析：考点解剖：本题主要考查导数的应用，函数的极值，以及函数与方程思想，数形结合的数学思想等．解题思路：先求出极值点()1212,x x x x <所满足的方程；然后通过假设方程l n 21x a x -+()00x =>只有一根，来求出a 的范围；解答过程：()1'ln ln 21f x x ax x a x ax x ⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭,假设函数()()ln f x x x ax =-只有1个极值点，则方程()ln 2100x ax x -+=>只有一根，根据数形结合的思想可知：直线21y ax =-与曲线ln y x =相切．设切点为()00,ln x x ，则切线方程为()0001ln y xx x x -=-，即001ln 1y x x x =+-．又切线方程为21y ax =-， 对比得：012,1ln 1,a x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩解得01,21.a x ⎧=⎪⎨⎪=⎩故若要使直线21y ax =-与曲线ln y x =相交， 即函数()()ln f x x x ax =-有2个极值点，需满足102a <<．故选B ．规律总结：本题利用了假设相切法来推断极值点及常数a 的取值范围，实属经典解法；同时，数形结合将函数()()ln f x x x ax =-的极值点个数转化为直线与曲线的位置关系来求解，是一种转化与化归的体现． 也是一种比较灵活的技巧之法．第Ⅱ卷共12小题，共100分.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．主题11．i 为虚数单位，设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，若123i z =-，则2z = ．答案：23i -+思路分析：考点解剖：本题主要考查复平面、关于原点对称的性质．解题思路：利用点的对称性得到复数的实部与虚部分别互为相反数来求解． 解答过程：复数12,z z 在复平面内对应的点关于原点对称，且123i z =-，可知： 复数12,z z 的实部和虚部绝对值相等，符号相反，故223i z =-+．规律总结：处理有关复数基本概念的问题，关键是掌握复数的相关概念，找准复数的实部和虚部，从定义出发解决问题．两个复数关于原点对称等价于两个复数的实部与虚部分别互为相反数．主题12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为 ； （Ⅱ）命中环数的标准差为 ． 答案：（Ⅰ）7（Ⅱ）2 思路分析：考点解剖：本题主要考查平均数和标准差的计算． 解题思路：直接根据平均数、标准差公式求解．解答过程：（Ⅰ）平均命中的环数为78795491074710+++++++++=；（Ⅱ）由平均命中的环数为7，可知命中环数的标准差为：2=．规律总结：有关统计知识的问题，主要偏重实际应用，抓住你定义即可解题，要特别注意计算的准确性．主题13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入m 的值为2，则输出的结果i = ．答案：4 思路分析：考点解剖：本题主要考查程序框图．解题思路：分步求解,,i A B 的值，只到刚好满足A B <时，输出的i 值即为所求． 解答过程：根据本题算法知：当输入2m =， 第一次运行时：1,2,1i A B ===； 第二次运行时：2,4,2i A B ===； 第三次运行时：3,8,6i A B ===； 第四次运行时：4,16,24i A B ===, 此时刚好满足A B <，故输出i 4=．规律总结：算法问题尽管都给出了明确的步骤，但是每个步骤都是在特定的条件下才会执行，有些步骤还要重复执行．所以在解题时，要特别注意判断条件的成立与否，它对结论起到至关重要的作用．主题14．已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = ．答案：4 思路分析：考点解剖：本题主要考查圆与直线的位置关系、点到直线的距离以及转化和化归的思想方法．解题思路：利用点到直线的距离公式分类讨论求解． 解答过程： 解:不妨设点()00,x y 在圆O 上，且到直线l 的距离等于1，有220051x y ⎧+=⎪=，化简得2200005,cos sin 20,x y x y θθ⎧+=⎨+-=⎩或2200005,cos sin 0.x y x y θθ⎧+=⎨+=⎩所以点()00,x y 的个数即可转化为方程组225cos sin 20x y x y θθ⎧+=⎨+-=⎩或225cos sin 0x y x y θθ⎧+=⎨+=⎩的实数解的个数．又因为圆O 的圆心为()0,0而圆O 的圆心到直线:cos sin 20l x y θθ+-=的距离为2< 所以直线l 与圆O 相交，即方程组225cos sin 20x y x y θθ⎧+=⎨+-=⎩有两个解；同理可得方程组225cos sin 0x y x y θθ⎧+=⎨+=⎩也有两个解，所以满足条件的点有4个．规律总结：本题充分利用圆与直线的代数和几何性质的互化来解题，将点的个数问题最终归结为方程组的解的个数问题．主题15．在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为56，则m = ．答案：3思路分析：考点解剖：本题主要考查含绝对值的不等式，几何概型的应用． 解题思路：利用几何概型公式进行求解． 解答过程：因为x 满足||x m ≤的概率为56，所以由几何概型得，则()()25426m --=--，解得3m =．规律总结：与长度有关的概率问题，可以理解为该区间内的每一点被取到的机会是相等的，然后通过几何概型来求解．主题16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸） 答案：3思路分析：考点解剖：本题主要考查圆台知识在实际生活中的应用．解题思路：将文字语言翻译成数学语言，再与圆台的体积公式联系起来求解． 解答过程：由已知得，天池盆盆口的半径为14寸，盆底的半径为6寸， 则盆口的面积为196π*2寸，盆底的面积为36π*2寸． 又盆高18寸，积水深9寸， 则积水的水面半径为()146102+=寸，积水的水面面积为100π*2寸，积水的体积为1(36100)95883V πππ=⨯++⨯=*3寸， 所以平地降水量为32588*3196*ππ=寸寸寸．规律总结：本题是将实际生活中的现象构造成几何模型，同时利用圆台（棱台）的体积公式()1'3V S S h=+解题． 主题17．在平面直角坐标系中，若点(,)P x y 的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L ．例如图中△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =．（Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 分别是 ；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++，其中a ，b ，c 为常数．若某格点多边形对应的71N =，18L =，则S = （用数值作答）．答案：（Ⅰ）3，1，6（Ⅱ）79 思路分析：考点解剖：本题主要考查接收新知识并应用新知识解题的能力以及归纳、猜想、推理能力．解题思路：（Ⅰ）直接根据定义判断；（Ⅱ）由两个小正方形组成的格点多边形，图中的格点三角形ABC 及格点四边形DEFG 都满足S aN bL c =++，代入求解即可求出S 的表达式；然后代入71N =，18L =，即可求得S 的值．解答过程：（Ⅰ）根据题目给出的定义，易得3,1,6S N L ===．（Ⅱ）因为格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++,所以当由两个小正方形组成的格点多边形也满足S aN bL c =++,此时2,0,6S N L ===．结合图中的格点三角形ABC 及格点四边形DEFG ,可得14,3626,b c a b c b c =+⎧⎪=++⎨⎪=+⎩，解得1,1,21.a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩所以112S N L =+-．将71,18N L ==代入，得79S =． 规律总结：本题的难点在于S aN bL c =++的求解．根据已知条件巧妙代入特殊值是解决此类问题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 主题18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ．已知cos 23cos()1A B C -+=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积S =5b =，求sin sin B C 的值． 思路分析：考点解剖：本题主要考查三角恒等变换，正弦定理及余弦定理的应用． 解题思路：（Ⅰ）利用二倍角公式、和角公式进行恒等变换求解；（Ⅱ）先利用三角形的面积公式求得c ，再利用余弦定理求得a ，最后利用正弦定理求解．解答过程：解：（Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=, 即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）． 因为0πA <<，所以π3A =． （Ⅱ）由11sin 22S bc A bc ====得20bc =．又5b =，知4c =． 由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a = 又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=． 规律总结：解三角形问题主要考查正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变换的技能及运算能力，以化简、求值或判断三角形的形状为主，考查有关定理的应用、三角恒等变换、运算能力以及转化的数学思想，一般难度不大．主题19．（本小题满分13分）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-．（Ⅰ）求数列{}na 的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得2013nS ≥？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．思路分析：考点解剖：本题主要考查等比、等差数列的性质以及不等式的证明． 解题思路：（Ⅰ）利用等差、等比数列的性质和前n 项和求解； （Ⅱ）先求出n S 的表达式，再通过分类讨论解不等式解题．解答过程：解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，则10a ≠，0q ≠．由题意得:2432234,18,S S S S a a a -=-⎧⎨++=-⎩ 即23211121,(1)18,a q a q a q a q q q ⎧--=⎪⎨++=-⎪⎩ 解得13,2.a q =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为13(2)n n a -=-． （Ⅱ）由（Ⅰ）有3[1(2)]1(2)1(2)n n n S ⋅--==----． 若存在n ，使得2013n S ≥，则1(2)2013n --≥，即(2)2012.n -≤- 当n 为偶数时，(2)0n ->，上式不成立；当n 为奇数时，(2)22012n n -=-≤-，即22012n ≥，则11n ≥．综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{21,,5}n n k k k =+∈≥N ． 规律总结：解决数列与其他知识的综合应用问题应对等差、等比数列的概念、性质有深刻的理解，然后运用数列的性质进行分析、转化从而解题．主题20．（本小题满分13分）如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<．过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中．（Ⅰ）证明：中截面DEFG 是梯形；（Ⅱ）在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S ．在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =⋅估中来估算．已知1231()3V d d d S=++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明．思路分析：考点解剖：本题主要考查直三棱柱的性质，体积，线面关系以及空间想象能力． 解题思路：（Ⅰ）由已知条件，先证明//DE DF ，再证明DE DF ≠，从而得证； （Ⅱ）先求梯形DEFG 的高，进而求得梯形DEFG 的面积；再求近似体积V 估；而V =()12313d d d S++，利用12S ah=求解即可；最后利用123,,d d d 的大小关系判断V 与V 估的大小．解答过程：证明：（Ⅰ）依题意12A A ⊥平面ABC ，12B B ⊥平面ABC ，12C C ⊥平面ABC ， 所以12A A ∥12B B ∥12C C ．又121A A d =，122B B d =，123C C d =，且123d d d <<． 因此四边形1221A A B B 、1221A A C C 均是梯形．由2AA ∥平面MEFN ，2AA ⊂平面22AA B B ，且平面22AA B B平面MEFN ME =，可得2AA ∥ME ，即12A A ∥DE ．同理可证12A A ∥FG ，所以DE ∥FG ． 又M 、N 分别为AB 、AC 的中点，则D 、E 、F 、G 分别为11A B 、22A B 、22A C 、11AC 的中点，即DE 、FG 分别为梯形1221A A B B 、1221A A C C 的中位线．因此12121211()()22DE A A B B d d =+=+，12121311()()22FG A A C C d d =+=+，而123d d d <<，故DE FG <，所以中截面DEFG 是梯形． （Ⅱ）V V <估．证明如下：由12A A ⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，可得12A A MN ⊥． 而EM ∥12A A ，所以EM MN ⊥，同理可得FN MN ⊥． 由MN 是△ABC 的中位线，可得1122MN BC a ==即为梯形DEFG 的高， 因此13121231()(2)22228DEFG d d d d a aS S d d d ++==+⋅=++中梯形， 即123(2)8ahV S h d d d =⋅=++估中． 又12S ah =，所以1231231()()36ahV d d d S d d d =++=++．于是1231232131()(2)[()()]6824ah ah ahV V d d d d d d d d d d -=++-++=-+-估． 由123d d d <<，得210d d ->，310d d ->，故V V <估．规律总结：本题以现实生活中的问题作为数学模型，体现了数学知识的实用性．对于四边形的形状判断问题，空间立体几何问题要关键是充分利用线线、线面平行、垂直的判定定理及性质定理进行推理论证．主题21．（本小题满分13分） 设0a >，0b >，已知函数()1ax b f x x +=+．（Ⅰ）当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 的加权平均数． （i ）判断(1)f ,f ,()b f a 是否成等比数列，并证明()b f f a ≤；（ii ）a 、b 的几何平均数记为G ．称2ab a b +为a 、b 的调和平均数，记为H ．若()H f x G ≤≤，求x 的取值范围．思路分析：考点解剖：本题主要考查利用导数求函数的单调性，不等式，接受新知识并应用的能力． 解题思路：（Ⅰ）先求出()f x 的定义域及导函数，然后通过分类讨论求出()f x 的单调性；（Ⅱ）(i)先求出(1),()bf f f a的代数式，然后根据等比数列的定义以及不等式的性质解题；(ii)通过分类讨论求解．解答过程：解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞，22(1)()()(1)(1)a x ax b a b f x x x +-+-'==++．当a b >时，()0f x '>，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递增； 当a b <时，()0f x '<，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递减． （Ⅱ）（i ）计算得(1)02a b f +=>，2()0b ab f a a b=>+，0f =．故22(1)()[2b a b ab f f ab f a a b +=⋅==+,即2(1)()[b f f f a =． ①所以(1),()bf f f a成等比数列．因2a b +≥(1)f f ≥．由①得()b f f a ≤． （ii ）由（i ）知()b f H a=，f G =．故由()H f x G ≤≤，得()()b f f x f a ≤≤． ②当a b =时，()()b f f x f a a ===．这时，x 的取值范围为(0,)+∞；当a b >时，01b a<<，从而b a <()f x 在(0,)+∞上单调递增与②式，得bx a≤≤x的取值范围为,b a⎡⎢⎣； 当a b <时，1b a >，从而b a >()f x 在(0,)+∞上单调递减与②式，bx a ≤≤，即x的取值范围为b a ⎤⎥⎦． 规律总结：本题考查利用导数讨论函数的单调性以及不等式的证明．导数与函数以及不等式的综合考查几乎是每年高考必考题型，对考生的综合素质有较高要求．主题22．（本小题满分14分）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记m nλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S ．（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．思路分析：考点解剖：本题主要考查椭圆的性质、圆锥曲线的综合应用以及分类讨论的思想方法． 解题思路：（Ⅰ）方法一：先利用椭圆的代数性质求出12,S S 的值，然后利用方程12S S λ=求解；方法二：利用椭圆的几何性质求出12,S S 的值，然后利用方程12S S λ=求解．（Ⅱ）方法一：先假设存在λ，然后根据12S S λ=得出||||AD BC 关于λ的方程，同时利用直线与椭圆的性质，得出||||AD BC 关于椭圆代数式的方程，最后联立方程组求解；方法二：先假设存在λ，然后根据12S S λ=得出A Bx x 关于λ的方程，同时利用直线与椭圆的性质，得出A Bx x 关于椭圆代数式的方程，最后联立方程组求解．解答过程：解：依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为：1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n +=．其中0a m n >>>， 1.m n λ=> （Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =． 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-，于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---．若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=． 由1λ>，可解得1λ=．故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=．解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=．所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--．若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=．由1λ>，可解得1λ=．故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=．（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=．根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d ==，所以12d d =．第21题解答图1第21题解答图2又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=． 由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-， ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-． ①将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得：A x =，B x =．根据对称性可知C B x x =-，D Ax x =-，于是2||||2A B x AD BC x ==②从而由①和②式可得1(1)λλλ+-． ③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-．因为0k ≠，所以20k >．于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-，等价于2221(1)()0t t λ--<．由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=．解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=．根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d ==，所以12d d =．又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==．因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+==-，所以11AB xx λλ+=-．由点(,)A A A x kx ，(,)B BB x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B Bx k x a n +=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=， 依题意0A B x x >>，所以22A Bx x >． 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-．因为20k >，所以由2222222()0()A BB A m x x a x x λ->-，可解得1AB x x λ<<． 从而111λλλ+<<-，解得1λ>当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=．规律总结：圆锥曲线问题难度较大，同时计算量相当大，我们在求解过程中除了要寻找到最优的解题思路，还有特别注意计算的准确性，以免造成不必要的失分．。
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编14：导数
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编14：导数一、选择题1 ．〔2013年高考课标Ⅱ卷〔文〕〕函数32()f x x ax bx c =+++,以下结论中错误的选项是 〔 〕A ．0x ∃∈R,0()0f x =B ．函数()y f x =的图像是中心对称图形 C ．假设0x 是()f x 的极小值点,那么()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D ．假设0x 是()f x 的极值点,那么0'()0f x =【答案】C2 ．〔2013年高考大纲卷〔文〕〕曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为， 〔 〕A ．9B ．6C ．-9D ．-6【答案】D 3 ．〔2013年高考卷〔文〕〕函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,那么实数a 的取值围是〔 〕 A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞【答案】B 4 ．〔2013年高考卷〔文〕〕设函数)(x f 的定义域为R ,)0(00≠x x 是)(x f 的极大值点,以下结论一定正确的选项是〔 〕 A ．)()(,0x f x f R x ≤∈∀B ．0x -是)(x f -的极小值点C ．0x -是)(x f -的极小值点D ．0x -是)(x f --的极小值点 【答案】D5 ．〔2013年高考〔文〕〕函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ,假设112()f x x x =<,那么关于x的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为〔 〕 A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】A 6 ．〔2013年高考卷〔文〕〕函数y=f(x)的图像是以下四个图像之一,且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示,那么该函数的图像是【答案】B7 ．〔2013年高考卷〔文〕〕假设曲线2ln y axx =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,那么a =____________. 【答案】128 ．〔2013年高考卷〔文〕〕假设曲线1y xα=+(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,那么α=_________.【答案】2三、解答题 9 ．〔2013年高考卷〔文〕〕a∈R,函数f(x)=2x 3-3(a+1)x 2+6ax (Ⅰ)假设a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(Ⅱ)假设|a|>1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.【答案】解:(Ⅰ)当1a =时,32()266(2)1624124f x x x x f =-+∴=-+=,所以2()6126(2)242466f x x x f ''=-+∴=-+=,所以()y f x =在(2,(2))f 处的切线方程是:46(2)680y x x y -=-⇒--=; (Ⅱ)因为22()66(1)66[(1)]6(1)()f x x a x a x a x a x x a '=-++=-++=-- ①当1a >时,(,1][,)x a ∈-∞+∞时,()y f x =递增,(1,)x a ∈时,()y f x =递减,所以当 [0,2||]x a ∈时,且2||2a >,[0,1][,2||]x a a ∈时,()y f x =递增,(1,)x a ∈时,()y f x =递减,所以最小值是32223()23(1)63f a a a a a a a =-++=-; ②当1a <-时,且2||2a >,在[0,2||]x a ∈时,(0,1)x ∈时,()y f x =递减,[1,2||]x a ∈时,()y f x =递增,所以最小值是(1)31f a =-;综上所述:当1a>时,函数()y f x =最小值是233a a -;当1a <-时,函数()y f x =最小值是31a -;10．〔2013年高考卷〔文〕〕(本小题总分值12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r 米,高为h 米,体积为V 立方米.假设建造本钱仅与外表积有关,侧面积的建造本钱为100元/平方米,底面的建造本钱为160元/平方米,该蓄水池的总建造本钱为12000π元(π为圆周率).(Ⅰ)将V 表示成r 的函数()V r ,并求该函数的定义域;(Ⅱ)讨论函数()V r 的单调性,并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大.【答案】11．〔2013年高考卷〔文〕〕函数()e ,x f x x =∈R .(Ⅰ) 求f (x )的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线2112y x x =++有唯一公共点. (Ⅲ) 设a <b , 比拟2a b f +⎛⎫ ⎪⎝⎭与()()f b f a b a --的大小, 并说明理由. 【答案】解:(Ⅰ) f (x)的反函数x x g ln )(=,那么y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=(1)g'.1(1)g'x1(x)g'==⇒=k .过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 (Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线1212++=x x y 有唯一公共点,过程如下. 则令,,121121)()(22R x x x e x x x f x h x ∈---=---= 0)0('',0)0('0)0(,1)('')(',1)('===-=--=h h h e x h x h x e x h x x ，，且的导数此,单调递增时当单调递减时当)('0)(''0;)('0)(''0x h y x h x x h y x h x =⇒>>=⇒<<0)(,0)0(')('===≥=⇒x R x h y h x h y 个零点上单调递增，最多有一在所以所以,曲线y=f(x)与曲线1212++=x x y 只有唯一公共点(0,1).(证毕)(Ⅲ) 设)(2)()2()()2()()(2)()(a b b f a b a f a b a b a f b f b f a f -⋅⋅--+⋅+-=---+a ab b a e a b e a b a b a b e a b e a b ⋅-⋅⋅--++-=-⋅⋅--+⋅+-=-)(2)2()2()(2)2()2(令x x x e x e x x g x e x x x g ⋅-+=⋅-++=>⋅-++=)1(1)21(1)(',0,)2(2)(则.）上单调递增，在（的导函数∞+>⋅=⋅-+=0)('所以,0)11()('')('x g e x e x x g x g x x ,且,0)0(,),0()(0)('.0)0('=+∞>=g x g x g g 而上单调递增在，因此0)(),0(>+∞x g 上所以在.,0)2(2)(0b a e x x x g x x <>⋅-++=>且时，当0)(2)2()2(>⋅-⋅⋅--++-∴-a ab e a b e a b a b 所以a b a fb f b f a f -->+)()(2)()(,b <a 时当12．〔2013年高考大纲卷〔文〕〕函数()32=33 1.f x x ax x +++(I)求()f ;a x =的单调性;(II)假设[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围【答案】(Ⅰ)当a =,()32=3 1.f x x x ++'2()33f x x =-+.令'()0f x =,得,11x =,21x =.当(1)x ∈-∞时,'()0f x >,()f x 在(1)-∞是增函数;当11)x ∈时,'()0f x <,()f x 在11)是减函数;当1,)x ∈+∞时,'()0f x >,()f x 在1,)+∞是增函数;(Ⅱ)由(2)0f ≥得,54a ≥-. 当54a ≥-,(2,)x ∈+∞时, '2251()3(21)3(1)3()(2)022f x x ax x x x x =++≥-+=-->, 所以()f x 在(2,)+∞是增函数,于是当[2,)x ∈+∞时,()(2)0f x f ≥≥.综上,a 的取值围是5[,)4-+∞. 13．〔2013年高考卷〔文〕〕(I)证明:当[]0,1sin ;2x x x x ∈≤≤时， (II)假设不等式()[]3222cosx 40,12x ax x x x a ++++≤∈对恒成立，求实数的取值围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,那么按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.【答案】14．〔2013年高考卷〔文〕〕函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩,其中a 是实数.设11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为该函数图象上的两点,且12x x <.(Ⅰ)指出函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)假设函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直,且20x <,证明:211x x -≥;(Ⅲ)假设函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合,求a 的取值围.【答案】解:(Ⅰ)函数()f x 的单调减区间为)1,(--∞,单调增区间为)0,1(-,),0(+∞(Ⅱ)由导数的几何意义知,点A 处的切线斜率为)(1x f ',点B 处的切线斜率为)(2x f ',故当点,A B 处的切线互相垂直时,有)(1x f '1)(2-='⋅x f ,当x <0时,22)(+=x x f因为021<<x x ,所以 1)22()22(21-=+⋅+x x ,所以0221<+x ,0222>+x ,因此1)22()22()]22()22([21212112=+⋅+-≥+++-=-x x x x x x , (当且仅当122)22(21=+=+-x x ,即231-=x 且212-=x 时等号成立) 所以函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直时有211x x -≥.(Ⅲ)当021<<x x 或012>>x x 时,)(1x f ')(2x f '≠,故210x x <<.当01<x 时,()f x 的图象在点))(,(11x f x 处的切线方程为)()22()2(11121x x x a x x y -⋅+=++- 即 a x x x y +-+=211)22(.当02>x 时,()f x 的图象在点))(,(22x f x 处的切线方程为)(1ln 222x x x x y -⋅=- 即 1ln 122-+⋅=x x x y . 两切线重合的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=②①a x x x x 212121ln 221,由①与210x x <<知,2102<<x , 由①、②得 1)21(411ln 1)121(ln 222222--+-=--+=x x x x a , 令21x t =,那么20<<t ,且t t t a ln 412--= 设)20(ln 41)(2<<--=t t t t t h ,那么023)1(1121)(2<--=--='t t t t t h 所以)20()(<<t t h 为减函数,那么2ln 1)2()(--=>h t h ,所以2ln 1-->a ,而当)2,0(∈t 且t 趋向于0时,)(t h 无限增大,所以a 的取值围是),2ln 1(+∞--.故当函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合时,a 的取值围是),2ln 1(+∞--.15．〔2013年高考课标Ⅱ卷〔文〕〕己知函数f(X) = x 2e -x(I)求f(x)的极小值和极大值;(II)当曲线y = f(x)的切线l 的斜率为负数时,求l 在x 轴上截距的取值围.【答案】16．〔2013年高考卷〔文〕〕函数2()sin cos f x x x x x =++.(Ⅰ)假设曲线()y f x =在点(,())a f a )处与直线y b =相切,求a 与b 的值.(Ⅱ)假设曲线()y f x =与直线y b = 有两个不同的交点,求b 的取值围.【答案】解:由2()sin cos f x x x x x =++,得()(2cos )f x x x '=+.(I)因为曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切,所以()(2cos )0f a a a '=+=()b f a =,解得0a =,(0)1b f ==.(II)令()0f x '=,得0x =.()f x 与()f x '的情况如下:(,0)0(0,)()0()1x f x f x -∞+∞'-+所以函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减,在区间(0,)+∞上单调递增,(0)1f =是()f x 的最小值.当1b ≤时,曲线()y f x =与直线y b =最多只有一个交点;当1b >时,2(2)(2)421f b f b b b -=≥-->421b b b -->, (0)1f b =<, 所以存在1(2,0)x b ∈-,2(0,2)x b ∈,使得12()()f x f x b ==.由于函数()f x 在区间(,0)-∞和(0,)+∞上均单调,所以当1b >时曲线()y f x =与直线y b =有且只有两个不同交点.综上可知,如果曲线()y f x =与直线y b =有且只有两个不同交点,那么b 的取值围是(1,)+∞.17．〔2013年高考课标Ⅰ卷〔文〕〕(本小题总分值共12分)函数2()()4x f x e ax b x x =+--,曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+. (Ⅰ)求,a b 的值;(Ⅱ)讨论()f x 的单调性,并求()f x 的极大值.【答案】121()()2 4.(0)4,(0)4,4,8,4;f x e ax a b x f f b a b a b =++--===+===（I ）由已知得故从而(II) 由(I)知,2)4(1)4,xf x e x x x =+--（11()4(2)244(2)().2x x f x e x x x e =+--=+-令1()0=-1n2x=-2.f x x =得，或 从而当11(,2)(10;(22,),12))()x n f x x n f x >∈--+∞-∈-∞-当时，（时，<0.故()--2-12+-2-12f x n n ∞∞在（，），（，）单调递增，在（，）单调递减. 当2=-2-2=41-)x f x f e -时，函数（）取得极大值，极大值为（）（.18．〔2013年高考卷〔文〕〕设[2,0]a ∈-, 函数332(5),03,0(,).2x f a x x a x x x x x a -+≤+-+>⎧⎪=⎨⎪⎩(Ⅰ) 证明()f x 在区间(-1,1)单调递减, 在区间(1, + ∞)单调递增;(Ⅱ) 设曲线()y f x =在点(,())(1,2,3)i i i x f x i P =处的切线相互平行, 且1230,x x x ≠ 证明12313x x x ++>.【答案】19．〔2013年高考卷〔文〕〕函数()1x af x x e=-+(a R ∈,e 为自然对数的底数). (1)假设曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求a 的值; (2)求函数()f x 的极值;(3)当1a =的值时,假设直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值.【答案】解:(Ⅰ)由()1x a f x x e =-+,得()1xaf x e '=-. 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴,得()10f '=,即10ae-=,解得a e =. (Ⅱ)()1xa f x e '=-, ①当0a ≤时,()0f x '>,()f x 为(),-∞+∞上的增函数,所以函数()f x 无极值. ②当0a >时,令()0f x '=,得x e a =,ln x a =.(),ln x a ∈-∞,()0f x '<;()ln ,x a ∈+∞,()0f x '>.所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增,故()f x 在ln x a =处取得极小值,且极小值为()ln ln f a a =,无极大值. 综上,当0a ≤时,函数()f x 无极小值;当0a >,()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ,无极大值. (Ⅲ)当1a =时,()11x f x x e=-+令()()()()111x g x f x kx k x e=--=-+, 那么直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点, 等价于方程()0g x =在R 上没有实数解. 假设1k >,此时()010g =>,1111101k g k e -⎛⎫=-+<⎪-⎝⎭, 又函数()g x 的图象连续不断,由零点存在定理,可知()0g x =在R 上至少有一解,与“方程()0g x =在R 上没有实数解〞矛盾,故1k ≤. 又1k =时,()10x g x e=>,知方程()0g x =在R 上没有实数解. 所以k 的最大值为1. 解法二:(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一. (Ⅲ)当1a =时,()11xf x x e =-+. 直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点, 等价于关于x 的方程111xkx x e -=-+在R 上没有实数解,即关于x 的方程: ()11xk x e -=(*)在R 上没有实数解.①当1k =时,方程(*)可化为10x e =,在R 上没有实数解. ②当1k ≠时,方程(*)化为11x xe k =-.令()xg x xe =,那么有()()1xg x x e '=+.令()0g x '=,得1x =-,当x 变化时,()g x '的变化情况如下表:x (),1-∞-1-()1,-+∞()g x '-+()g x1e-当1x =-时,()min 1g x e=-,同时当x 趋于+∞时,()g x 趋于+∞, 从而()g x 的取值围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. [来源:]所以当11,1k e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时,方程(*)无实数解, 解得k 的取值围是()1,1e -. 综上,得k 的最大值为1.20．〔2013年高考〔文〕〕函数f(x)=xe x 21x 1+-. (Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)证明:当f(x 1)=f(x 2)(x 1≠x 2)时,x 1+x 2<0.【答案】解: (Ⅰ) .)123)12)1()1)11()('222222x x x xe x x e x x e x x f x x x ++--⋅=+⋅--+⋅-+-=（（（;)(,0)(']0-02422单调递增时，，（当x f y x f x =>∞∈∴<⋅-=∆单调递减）时，，当)(,0)('0[x f y x f x =≤∞+∈.所以,）上单调递减，上单调递增；在，在（∞+∈∞=0[]0-)(x x f y . (Ⅱ)由(Ⅰ)知,只需要证明:当x>0时f(x) < f(-x)即可.]1)1[(11111)()(2222x e x xe e x x e x x xf x f xx x x ---+=++-+-=----.1)21()('0,1)1()(22--=⇒>---=x x e x x g x x e x x g 令.,04)21()('1)21()(222<-=-=⇒--=x x x xe e x x h e x x h 令0)0()(0)(=<⇒∞+=⇒h x h x h y ）上单调递减，在（ 0)0()(0)(=<⇒∞+=⇒g x g x g y ）上单调递减，在（.000]1)1[(122==∞+---+=⇒-y x x e x xe y x x 时）上单调递减，但，在（ )()(0)()(xf x f x f x f -<⇒<--⇒.0)()(212121<+≠=x x x x x f x f 时，且所以，当21．〔2013年高考卷〔文〕〕设函数x kx x x f +-=23)(()R k ∈.(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间;(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ,()'2321f x x kx =-+【答案】(1)当1k =时()'2321,41280f x x x =-+∆=-=-<()'0f x ∴>,()f x 在R 上单调递增.(2)当0k <时,()'2321fx xkx =-+,其开口向上,对称轴3kx =,且过()01，(i)当(241240k k k ∆=-=+≤,即0k ≤<时,()'0f x ≥,()f x 在[],k k -上单调递增,从而当x k =时,()f x 取得最小值()m f k k== , 当x k=-时,()f x取得最大值()3332M f k k k k k k=-=---=--.(ii)当(241240k k k ∆=-=>,即k <,令()'23210f x x kx =-+=解得:221233,33k k k k x x +---==,注意到210k x x <<<, (注:可用韦达定理判断1213x x ⋅=,1223kx x k+=>,从而210k x x <<<;或者由对称结合图像判断) ()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==- ()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>()f x ∴的最小值()m f k k==,()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<()f x ∴的最大值()32M f k k k=-=--综上所述,当0k <时,()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=--解法2(2)当k <时,对[],x k k ∀∈-,都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥,故()()f x f k ≥32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++≤故()()f x f k ≤-,而 ()0f k k =<,3()20f k k k -=--> 所以 3max ()()2f x f k k k =-=--,min ()()f x f k k ==(1) 解法3:因为2()321f x x kx '=-+,22(2)4314(3)k k ∆=--⨯⨯=-;① 当0∆≤时,即30k -≤<时,()0f x '≥,()f x 在R 上单调递增,此时无最小值和最大值;② 当0∆>时,即3k <-时,令()0f x '=,解得222233k k k k x +-+-==或222233k k k k x ----==;令()0f x '>,解得23k k x --<或23k k x +->;令()0f x '<,解得223333k k k k x --<<;因为2230k k k k k +-+<=<-22323k k k k kk --->=>作()f x 的最值表如下:那么min (),3k m f k f ⎧⎫⎛+⎪⎪= ⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭,max (),3k M f k f⎧⎫⎛⎪⎪=-⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭; 因为21f k ⎡⎤⎢⎥=-⨯+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=; 32322(26)182(218()32727k k k kk k k k f f k ⎛⎫--------=> ⎪ ⎪⎝⎭2480279k k -==->,所以min (),()m f k f f k k ⎧⎫⎪⎪===⎨⎬⎪⎪⎝⎭⎩⎭; 因为213333k k k k f k ⎡⎤⎛⎛⎛⎛--⎢⎥=-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦322(2927k k k-+-=; ()f f k --=⎝⎭32352(26)36504202727k k k k k k +-++=<=<;所以233max (),()23k k M f k f f k k k ⎧⎫⎛⎫--⎪⎪=-=-=-- ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭; 综上所述,所以m k =,32M k k =--.22．〔2013年高考卷〔文〕〕函数2()ln (,)f x ax bx x a b R =+-∈(Ⅰ)设0a ≥,求)(x f 的单调区间(Ⅱ) 设0a >,且对于任意0x >,()(1)f x f ≥.试比拟ln a 与2b -的大小【答案】当0a >时函数()f x 的单调递减区间是23．〔2013年高考卷〔文〕〕设0a >,0b >,函数()1ax bf x x +=+. (Ⅰ)当a b ≠时,讨论函数()f x 的单调性;(Ⅱ)当0x >时,称()f x 为a 、b 关于x 的加权平均数. (i)判断(1)f , ()b f a ,()bf a是否成等比数列,并证明()()b b f f a a ≤; (ii)a 、b 的几何平均数记为G . 称2aba b+为a 、b 的调和平均数,记为H . 假设()H f x G ≤≤,求x 的取值围.【答案】(Ⅰ)()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞,22(1)()()(1)(1)a x ax b a bf x x x +-+-'==++.当a b >时,()0f x '>,函数()f x 在(,1)-∞-,(1,)-+∞上单调递增;当a b <时,()0f x '<,函数()f x 在(,1)-∞-,(1,)-+∞上单调递减. (Ⅱ)(i)计算得(1)02a b f +=>,2()0b abf a a b=>+,()0b f ab a =.2(1)()[b f f f a =. ①所以(1),()bf f f a成等比数列.因2a b+≥即(1)f f ≥. 由①得()b f f a ≤.(ii)由(i)知()bf H a=,f G =.故由()H f x G ≤≤,得()()b f f x f a ≤≤. ②当a b =时,()()b f f x f a a ===.这时,x 的取值围为(0,)+∞;当a b >时,01ba <<,从而b a <由()f x 在(0,)+∞上单调递增与②式,得bx a≤≤即x 的取值围为,b a ⎡⎢⎣;当a b <时,1ba>,从而b a >由()f x 在(0,)+∞上单调递减与②式,bx a ≤,即x 的取值围为b a ⎤⎥⎦.。
2013年山东省高考数学试卷(文科)答案与解析
2013年山东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本题共12个小题，每题5分，共60分．1．（5分）（2013•山东）复数z=（i为虚数单位），则|z|（）=，．2．（5分）（2013•山东）已知集合A、B全集U={1、2、3、4}，且∁U（A∪B）={4}，B={1，3．（5分）（2013•山东）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）4．（5分）（2013•山东）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（）4S=V=5．（5分）（2013•山东）函数f（x）=的定义域为（）=6．（5分）（2013•山东）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为﹣1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为（）7．（5分）（2013•山东）△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，Bb==得：===cosA=8．（5分）（2013•山东）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q．．．．x=时，10．（5分）（2013•山东）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（）B=91（．11．（5分）（2013•山东）抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，B求出函数在，得），得，则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为处的切线的斜率为由题意可知，得）．p=12．（5分）（2013•山东）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，代入=+，求得二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13．（4分）（2013•山东）过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为2．=，2=214．（4分）（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线|OM|的最小值为．=的最小值等于故答案为：15．（4分）（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中，已知，，若∠ABO=90°，则实数t的值为5．利用已知条件求出解：因为知，=，所以16．（4分）（2013•山东）定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：①若a＞0，b＞0，则ln+（a b）=bln+a；②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；③若a＞0，b＞0，则；④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．其中的真命题有①③④（写出所有真命题的序号），，．时，此时lnb=，此时则，此时，，＜三．解答题：本大题共6小题，共74分，17．（12分）（2013•山东）某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）2（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．p=p=18．（12分）（2013•山东）设函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，（Ⅰ）求ω的值（Ⅱ）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．[]﹣，故周期为，所以）时，，，[]上的最大值和最小值分别为：19．（12分）（2013•山东）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD（Ⅱ）求证：平面EFG⊥平面EMN．AB CD=20．（12分）（2013•山东）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．，+++，++时，=时，=）﹣（==，+++，T++T+++）﹣﹣﹣21．（12分）（2013•山东）已知函数f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）（Ⅰ）设a≥0，求f（x）的单调区间（Ⅱ）设a＞0，且对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与﹣2b的大小．时，．可得出﹣＜）上是减函数，在（），单调递增区间是（，，）上，导数小于在区间（，），单调递增区间是（，，），单调递增区间是（，）知，是函数的唯一极小值点故=1==0x=＜＜（22．（14分）（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设，求实数t的值．（Ⅰ）设椭圆的标准方程为的关系，再利用（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，焦距为，解得，∴椭圆的方程为．，另一方面，==，∴，，∴，，解得，或，∴综上可得：。
山东省2013模拟试题文科数学分类汇编14：导数
山东省2013届高三最新文科模拟试题精选分类汇编14：导数 1 ．设曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a =（ ）A ．-2B ．2C ．12- ( D)122 ．若曲线()cos f x a x =与曲线()21g x x bx =++在交点()0,m 处有公切线,则a b +=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．23 ．设函数()()3402f x x x a a =-+<<有三个零点1x 、x 2、x 3,且123,x x x <<则下列结论正确的是（ ）A ．11x >-B ．20x <C ．32x >D ．201x <<4 ．定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ,已知(1)f x +是偶函数，(1)'()0x f x -<. 若12x x <,且122x x +>,则1()f x 与2()f x 的 大小关系是 （ ）A ．12()()f x f x <B ．12()()f x f x =C ．12()()f x f x >D ．不确定5 ．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -,且当2x ≠时其导函数()f x '满足()2(),xf x f x ''>若24a <<则（ ）A ．2(2)(3)(log )af f f a << B ．2(3)(log )(2)af f a f << C ．2(log )(3)(2)af a f f <<D ．2(log )(2)(3)af a f f <<6 ．若直线l 与幂函数ny x =的图象相切于点A (2,8),则直线l 的方程为（ ）A ．12160x y --=B ．40x y -=C ．12160x y +-=D ．640x y --=7 ．已知f ′()x 是函数()f x 的导函数,如果f ′()x 是二次函数,f ′()x 的图象开口向上,顶点坐标为,那么曲线()y f x =上任一点处的切线的倾斜角α的取值范围是（ ）A ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦ D ．,3π⎡⎫π⎪⎢⎣⎭8 ．已知R 上可导函数()f x 的图象如图所示,则不等式2(23)()0x x f x '-->的解集为（ ）A ．(,1)(1,0)(2,)-∞-⋃-⋃+∞B ．(,1)(1,1)(3,)-∞-⋃-⋃+∞C ．(,2)(1,2)-∞-⋃D ．(,2)(1,)-∞-⋃+∞9 ．已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称,且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<成立a=(20.2)·0.2(2),(13)f b og π=·3(13),(19)f og c og π=·3(19)f og ,则a,b,c 的大小关系是（ ）A ．b a c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．a c b >>10．已知函数332y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个公共点,则c 的值为（ ）A ．2或2-B ．3-或1C ．1或1-D ．3或9-11．设曲线y=11x x +-在点(3,2)处的切线与直线ax+y+3=0垂直,则a= （ ）A ．2B ．-2C ．12D ．-1212．若曲线1f (x )x sin x =+在2x π=处的切线与直线a x +2y +1=0互相垂直,则实数a 的值为 （ ）A ．-2B ．-lC ．1D ．213．已知f(x)为R 上的可导函数,且x ∀∈R,均有f(x)()f x '>,则有（ ）A ．e 2013 f(-2013)<f(0),f(2013)>e 2013f(0)B ．e2013f(-2013)< f(0),f(2013)<e 2013f(0)C ．e 2013 f(-2013)>f(0),f(2013)>e 2013f(0)D ．e 2013 f(-2013)>f(0),f(2013)<e 2013f(0)14．若函数22()1xf x x =+在点(2,(2))f 处的切线为l ,则直线l 与y 轴的交点坐标为_____________. 15．直线l 过点(-1,3),且与曲线12y x =-在点(1,-1)处的切线相互垂直,则直线l 的方程为_______________________16．函数220410ln x x x,x f (x )x ,x ⎧-+>=⎨+≤⎩的零点个数是____.17．已知函数()3e xf x a =+(e 2.71828=是自然对数的底数)的最小值为3.(Ⅰ)求实数a 的值;10题(Ⅱ)已知b ∈R 且0x <,试解关于x 的不等式 22()3(21)3lnf x ln x b x b -<+--;(Ⅲ)已知m Z ∈且1m >.若存在实数[1,)t ∈-+∞,使得对任意的[1,]x m ∈,都有()3e f x t x +≤,试求m 的最大值.18．已知函数x a x g ln )2()(-=,2ln )(ax x x h +=)(R a ∈,令)()()('x h x g x f +=.(Ⅰ)当0=a 时,求)(x f 的极值; (Ⅱ)当2-<a 时,求)(x f 的单调区间;(Ⅲ)当23-<<-a 时,若对]3,1[,21∈∀λλ,使得3ln 2)3ln (|)()(|21-+<-a m f f λλ恒成立, 求m 的取值范围.19．已知函数()3213f x x ax bx =++()R a,b ∈.(Ⅰ)若曲线()C :y f x =过点()12P ,,曲线C 在点P 处的切线与直线2140x y +-=垂直,求a,b 的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,试求函数()()()2713g x m f x x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦(m 为实常数,1m ≠±)的极大值与极小值之差;(Ⅲ)若()f x 在区间()12,内存在两个不同的极值点,求证:02a b <+<.20．设21xf (x )e (ax x )=++.(I)若a>0,讨论f (x )的单调性;(Ⅱ)x =1时,f (x )有极值,证明:当θ∈[0,2π]时,2|f (cos )f (sin )|θθ-<21．已知函数()()()(),0ln xg x f x g x ax a x==->. (I)求函数()g x 的单调区间;(II)若函数()()1,f x +∞在上是减函数,求实数a 的最小值;(III)若212,,x x e e ⎡⎤∃∈⎣⎦,使()()12f x f x a '≤+成立,求实数a 的取值范围.22．已知函数21()122f x nx ax x =--(1)若函数()f x 在x=2处取得极值,求实数a 的值; (2)若函数()f x 在定义域内单调递增,求a 的取值范围; (3)若12a =-时,关于x 的方程1()2f x x b =-+在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b 的取值范围.23．某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为30元,并且每件产品须向总公司缴纳a 元(a 为常数,2≤a≤5)的管理费,根据多年的统计经验,预计当每件产品的售价为x 元时,产品一年的销售量为x ke(e 为自然对数的底数)万件,已知每件产品的售价为40元时,该产品一年的销售量为500万件.经物价部门核定每件产品的售价x 最低不低于35元,最高不超过41元.(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)万元与每件产品的售价x 元的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,该产品一年的利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值. 参考公式:24．已知函数()2ln g x ax x =-(I)若a>0,求函数()g x 的最小值 (Ⅱ) 若函数()()af xg x x=-在其定义域内为单调函数,求实数a 的取值范围; 25．已知函数()ln(1)(xf x e a a =++为常数)是实数集R 上的奇函数.(Ⅰ)求实数a 的值;(Ⅱ)若函数()()sin g x f x x λ=+在区间[]1,1-上是减函数,求实数λ的最大值; (Ⅲ)若关于x 的方程2ln 2()xx ex m f x =-+有且只有一个实数根,求m 的值. 26．设函数321()(4),()ln(1)3f x mx m xg x a x =++=-,其中0a ≠.( I )若函数()y g x =图象恒过定点P,且点P 在()y f x =的图象上,求m 的值;(Ⅱ)当8a =时,设()'()()F x f x g x =+,讨论()F x 的单调性;(Ⅲ)在(I)的条件下,设(),1()(),1f x x G xg x x ≤⎧=⎨>⎩,曲线()y G x =上是否存在两点P 、Q,使△OPQ(O 为原点)是以O 为直角顶点的直角三角形,且该三角形斜边的中点在y 轴上?如果存在,求a 的取值范围;如果不存在,说明理由.27．已知函数31()(2)3f x ax a x c =+-+的图象如右图所示.(1)求函数)(x f y =的解析式; (2)若()()2ln kf x g x x x'=-在其定义域内为增函数,求实数k 的取值范围.28．已知函数2(1)()a x f x x-=,其中0a >. (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线,求实数a 的值;(Ⅲ)设2()ln ()g x x x x f x =-,求()g x 在区间[1,e]上的最小值.(其中e 为自然对数的底数)29．设函数f(x)=m(x 1x -)-21nx,g(x)= 2e x(m 是实数,e 是自然对数的底数). (1)当m=2e 时,求f(x)+g(x)的单调区间;(2)若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与函数f(x)的图象相切于点(1,0),求m 的值.30．已知函数()ln ,()xf x ax xg x e =+=.(I)当0a ≤时,求()f x 的单调区间(Ⅱ)若不等式()g x <有解,求实数m 的取值菹围; (Ⅲ)证明:当a=0时,()()2f x g x ->.31．已知函数()()21.xf x ax x e =++(I)若曲线()1y f x x ==在处的切线与x 轴平行,求a 的值,并讨论()f x 的单调性;(2)当0a =时,是否存在实数m 使不等式()214121mx x x f x mx +≥-++≥+和对任意[)0,x ∈+∞恒成立?若存在,求出m 的值,若不存在,请说明理由32．已知函数a f (x )ln x x=-. (I)若a >0,试判断f (x )在定义域内的单调性; (Ⅱ)若f (x )在[1,e]上的最小值为32,求a 的值; (III)若2f (x )x <在(1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围33．已知函数x x a x f ln )1()(2++=.(Ⅰ)讨论函数)(x f 的单调性;(Ⅱ)若对任意)2,4(--∈a 及]3,1[∈x 时,恒有()2a x f ma >-成立,求实数m 的取值范围.34．设函数2()ln ()f x x a x a x=--∈R . (Ⅰ)当3a =时,求()f x 的极值;(Ⅱ)讨论函数()f x 的单调性.35．设1)(--=ax x f ex(Ⅰ)若0,()0a f x >≥对一切x R ∈恒成立,求a 的最大值. (Ⅱ)设()()xag x f x e =+,且112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠是曲线()y g x =上任意两点,若对任意的1a ≤-,直线AB 的斜率恒大于常数m ,求m 的取值范围;36．已知函数()ln (1)ln 2e f x x f x '=-⋅+,32()()2x g x f x x=--.(1)求()f x 的单调区间;(2)设函数2()4h x x mx =-+,若存在1(0,1]x ∈,对任意的2[1,2]x ∈,总有12()()g x h x ≥成立,求实数m 的取值范围.37．已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点,O 为坐标原点,记直线OP 的斜率()k f x =.(I)若函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0m >上存在极值,求实数m 的取值范围; (II)当 1x ≥时,不等式()1tf x x ≥+恒成立,求实数t 的取值范围. 38．已知函数21()(21)2ln 2f x ax a x x =-++,其中常数0a >. (1)求()f x 的单调区间;(2)如果函数(),(),()f x H x g x 在公共定义域D 上,满足()()()f x H x g x <<,那么就称()H x 为()f x 与()g x 的“和谐函数”.设2()4g x x x =-,求证:当522a <<时,在区间(0,2]上,函数()f x 与()g x 的“和谐函数”有无穷多个.39．某工厂共有10台机器,生产一种仪器元件,由于受生产能力和技术水平等因素限制,会产生一定数量的次品.根据经验知道,若每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量()()412x x ≤≤万件之间满足关系:20.1 3.2ln 3.P x x =-+已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元,但每产生1万件装次品将亏损1万元.(利润=盈利—亏损)(I)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y (万元)表示为x 的函数; (II)当每台机器的日产量x (万件)写为多少时所获得的利润最大,最大利润为多少?40．已知函数f(x)=a(x 2-2x +1)+1nx+1.(I)当a=14-时,求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若对[)1,()x f x x ∀∈+∞≥恒成立,求实数a 的取值范围.41．已知函数2()(1)xf x ax x e =+-,其中e 是自然对数的底数,a R ∈.(1)若1=a ,求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程; (2)若0<a ,求()f x 的单调区间;(3)若1-=a ,函数)(x f 的图象与函数m x x x g ++=232131)(的图象有3个不同的交点,求实数m 的取值范围.。
2013年高考真题——文科数学(全国卷大纲版)解析版
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,u U A A ===集合则ð（A ）{}1,2 （B ）{}3,4,5 （C ）{}1,2,3,4,5 （D ）∅（2）已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13a a ==则（A ）1213-（B ）513-（C ）513（D ）1213（3）已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（A ）4- （B ）3- （C ）-2 （D ）-1（4）不等式222x -<的解集是（A ）()-1,1 （B ）()-2,2 （C ）()()-1,00,1 （D ）()()-2,00,2（5）()862x x +的展开式中的系数是（A ）28 （B ）56 （C ）112 （D ）224（6）函数()()()-121log 10=f x x f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数（A ）()1021xx >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21xx R -∈ （D ）()210xx ->（7）已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于（A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3（8）已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于 A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为 （A ）2212xy += （B ）22132xy+= （C ）22143xy+= （D ）22154xy+=（9）若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则 （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2（10）已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（A ）9 （B ）6 （C ）-9 （D ）-6（11）已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（A ）23（B （C （D ）13（12）已知抛物线()2:82,2,C C y x M k C =-与点过的焦点，且斜率为的直线与交于,0,A B MA MB k ==两点,若则（A ）12（B （C （D ）2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）设()[)()∈是以为周期的函数，且当时，.f x x f x21,3=（14）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种.（用数字作答）（15）若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z x y =-+的最小值为.（16）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K =，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设{}1,.nn n nb b n S na =求数列的前项和18．（本小题满分12分）设()(),,,,,.ABC A B C a b c a b c a b c ac ∆++-+=的内角的对边分别为（I ）求;B（II ）若sin sin C.A C =求19．（本小题满分12分）如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆中，，与都是边长为2的等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,各局比赛的2结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I）求第4局甲当裁判的概率；（II）求前4局中乙恰好当1次裁判概率.21．（本小题满分12分）已知函数()32+++f x x ax x=33 1.（I）求()f;=的单调性；a x（II）若[)()时，求的取值范围∈+∞≥2,0,.x f x a22．（本小题满分12分） 已知双曲线()221222:10,0xy C a b F F a b -=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b ；（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列。
2013年全国统一高考大纲版文科数学试卷及参考答案与解析
2013年全国统一高考大纲版文科数学试卷及参考答案与解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合U＝{1,2,3,4,5},集合A＝{1,2},则∁UA＝( )A.{1,2}B.{3,4,5}C.{1,2,3,4,5}D.∅2.(5分)若α为第二象限角,sinα＝,则cosα＝( )A. B. C. D.3.(5分)已知向量＝(λ＋1,1),＝(λ＋2,2),若(＋)⊥(－),则λ＝( )A.－4B.－3C.－2D.－14.(5分)不等式|x2－2|＜2的解集是( )A.(－1,1)B.(－2,2)C.(－1,0)∪(0,1)D.(－2,0)∪(0,2)5.(5分)(x＋2)8的展开式中x6的系数是( )A.28B.56C.112D.2246.(5分)函数f(x)＝log2(1＋)(x＞0)的反函数f－1(x)＝( )A. B. C.2x－1(x∈R) D.2x－1(x＞0)7.(5分)已知数列{an }满足3an＋1＋an＝0,a2＝－,则{an}的前10项和等于( )A.－6(1－3－10)B.C.3(1－3－10)D.3(1＋3－10)8.(5分)已知F1(－1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点,且|AB|＝3,则C的方程为( )A. B. C. D.9.(5分)若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图,则ω＝( )A.5B.4C.3D.210.(5分)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1,a＋2)处切线的斜率为8,a＝( )A.9B.6C.－9D.－611.(5分)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,AA1＝2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A. B. C. D.12.(5分)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F,点M(－2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若,则k＝( )A. B. C. D.2二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)设f(x)是以2为周期的函数,且当x∈[1,3)时,f(x)＝x－2,则f(－1)＝.14.(5分)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖,2名二等奖,3名三等奖,则可能的决赛结果共有种.(用数字作答)15.(5分)若x、y满足约束条件,则z＝－x＋y的最小值为.16.(5分)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,,则球O的表面积等于.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)等差数列{an }中,a7＝4,a19＝2a9,(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)设bn ＝,求数列{bn}的前n项和Sn.18.(12分)设△ABC的内角A,B,C的内角对边分别为a,b,c,满足(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac. (Ⅰ)求B.(Ⅱ)若sinAsinC＝,求C.19.(12分)如图,四棱锥P－ABCD中,∠ABC＝∠BAD＝90°,BC＝2AD,△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形.(Ⅰ)证明：PB⊥CD；(Ⅱ)求点A到平面PCD的距离.20.(12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.(Ⅰ)求第4局甲当裁判的概率；(Ⅱ)求前4局中乙恰好当1次裁判概率.21.(12分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1. (Ⅰ)求a＝时,讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若x∈[2,＋∞)时,f(x)≥0,求a的取值范围.22.(12分)已知双曲线C：＝1(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y＝2与C的两个交点间的距离为.(I)求a,b；(II)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且|AF1|＝|BF1|,证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.2013年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.A＝( )1.(5分)设集合U＝{1,2,3,4,5},集合A＝{1,2},则∁UA.{1,2}B.{3,4,5}C.{1,2,3,4,5}D.∅A,即可选出正确选项【分析】由题意,直接根据补集的定义求出∁U【解答】解：因为U＝{1,2,3,4,5,},集合A＝{1,2}A＝{3,4,5}所以∁U故选：B.【点评】本题考查补集的运算,理解补集的定义是解题的关键2.(5分)若α为第二象限角,sinα＝,则cosα＝( )A. B. C. D.【分析】由α为第二象限角,得到cosα小于0,根据sinα的值,利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值.【解答】解：∵α为第二象限角,且sinα＝,∴cosα＝－＝－.故选：A.【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系,熟练掌握基本关系是解本题的关键.3.(5分)已知向量＝(λ＋1,1),＝(λ＋2,2),若(＋)⊥(－),则λ＝( )A.－4B.－3C.－2D.－1【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出.【解答】解：∵,.∴＝(2λ＋3,3),.∵,∴＝0,∴－(2λ＋3)－3＝0,解得λ＝－3.故选：B.【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键.4.(5分)不等式|x2－2|＜2的解集是( )A.(－1,1)B.(－2,2)C.(－1,0)∪(0,1)D.(－2,0)∪(0,2)【分析】直接利用绝对值不等式的解法,去掉绝对值后,解二次不等式即可.【解答】解：不等式|x2－2|＜2的解集等价于,不等式－2＜x2－2＜2的解集,即0＜x2＜4, 解得x∈(－2,0)∪(0,2).故选：D.【点评】本题考查绝对值不等式的解法,考查转化思想与计算能力.5.(5分)(x＋2)8的展开式中x6的系数是( )A.28B.56C.112D.224【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r＋1项,令x的指数为6求出x6的系数.【解答】解：(x＋2)8展开式的通项为Tr＋1＝C x 8－r2 r令8－r＝6得r＝2,∴展开式中x6的系数是2 2C82＝112.故选：C.【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.6.(5分)函数f(x)＝log2(1＋)(x＞0)的反函数f－1(x)＝( )A. B. C.2x－1(x∈R) D.2x－1(x＞0)【分析】把y看作常数,求出x：x＝,x,y互换,得到y＝log2(1＋)的反函数.注意反函数的定义域.【解答】解：设y＝log2(1＋),把y看作常数,求出x：1＋＝2y,x＝,其中y＞0,x,y互换,得到y＝log2(1＋)的反函数：y＝,故选：A.【点评】本题考查对数函数的反函数的求法,解题时要认真审题,注意对数式和指数式的相互转化.7.(5分)已知数列{an }满足3an＋1＋an＝0,a2＝－,则{an}的前10项和等于( )A.－6(1－3－10)B.C.3(1－3－10)D.3(1＋3－10)【分析】由已知可知,数列{an }是以－为公比的等比数列,结合已知可求a1,然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：∵3an＋1＋an＝0∴∴数列{an}是以－为公比的等比数列∵∴a1＝4由等比数列的求和公式可得,S10＝＝3(1－3－10)故选：C.【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题8.(5分)已知F1(－1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点,且|AB|＝3,则C的方程为( )A. B. C. D.【分析】设椭圆的方程为,根据题意可得＝1.再由AB经过右焦点F2且垂直于x轴且|AB|＝3算出A、B的坐标,代入椭圆方程得,两式联解即可算出a2＝4,b2＝3,从而得到椭圆C的方程.【解答】解：设椭圆的方程为,可得c＝＝1,所以a2－b2＝1…①∵AB经过右焦点F2且垂直于x轴,且|AB|＝3∴可得A(1,),B(1,－),代入椭圆方程得,…②联解①②,可得a2＝4,b2＝3∴椭圆C的方程为故选：C.【点评】本题给出椭圆的焦距和通径长,求椭圆的方程.着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质等知识,属于基础题.9.(5分)若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图,则ω＝( )A.5B.4C.3D.2【分析】利用函数图象已知的两点的横坐标的差值,求出函数的周期,然后求解ω.【解答】解：由函数的图象可知,(x0,y)与,纵坐标相反,而且不是相邻的对称点,所以函数的周期T＝2()＝,所以T＝＝,所以ω＝＝4.故选：B.【点评】本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法,考查学生的视图用图能力.10.(5分)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1,a＋2)处切线的斜率为8,a＝( )A.9B.6C.－9D.－6【分析】先求导函数,再利用导数的几何意义,建立方程,即可求得a的值.【解答】解：∵y＝x4＋ax2＋1,∴y′＝4x3＋2ax,∵曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1,a＋2)处切线的斜率为8,∴－4－2a＝8∴a＝－6故选：D.【点评】本题考查导数的几何意义,考查学生的计算能力,属于基础题.11.(5分)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,AA1＝2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A. B. C. D.【分析】设AB＝1,则AA1＝2,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,设＝(x,y,z)为平面BDC1的一个法向量,CD与平面BDC1所成角为θ,则sinθ＝||,在空间坐标系下求出向量坐标,代入计算即可.【解答】解：设AB＝1,则AA1＝2,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如下图所示：则D(0,0,2),C1(1,0,0),B(1,1,2),C(1,0,2),＝(1,1,0),＝(1,0,－2),＝(1,0,0),设＝(x,y,z)为平面BDC1的一个法向量,则,即,取＝(2,－2,1),设CD与平面BDC1所成角为θ,则sinθ＝||＝,故选：A.【点评】本题考查直线与平面所成的角,考查空间向量的运算及应用,准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键.12.(5分)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F,点M(－2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若,则k＝( )A. B. C. D.2【分析】斜率k存在,设直线AB为y＝k(x－2),代入抛物线方程,利用＝(x1＋2,y1－2)•(x2＋2,y2－2)＝0,即可求出k的值.【解答】解：由抛物线C：y2＝8x得焦点(2,0),由题意可知：斜率k存在,设直线AB为y＝k(x－2), 代入抛物线方程,得到k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0,△＞0,设A(x1,y1),B(x2,y2).∴x1＋x2＝4＋,x1x2＝4.∴y1＋y2＝,y1y2＝－16,又＝0,∴＝(x1＋2,y1－2)•(x2＋2,y2－2)＝＝0∴k＝2.故选：D.【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查向量的数量积公式,考查学生的计算能力,属于中档题.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)设f(x)是以2为周期的函数,且当x∈[1,3)时,f(x)＝x－2,则f(－1)＝－1 . 【分析】利用函数的周期,求出f(－1)＝f(1),代入函数的解析式求解即可.【解答】解：因设f(x)是以2为周期的函数,且当x∈[1,3)时,f(x)＝x－2,则f(－1)＝f(1)＝1－2＝－1.故答案为：－1.【点评】本题考查函数的周期的应用,函数值的求法,值域函数的定义域是解题的关键,考查计算能力.14.(5分)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖,2名二等奖,3名三等奖,则可能的决赛结果共有60 种.(用数字作答)【分析】6名选手中决出1名一等奖有种方法,2名二等奖,种方法,利用分步计数原理即可得答案.【解答】解：依题意,可分三步,第一步从6名选手中决出1名一等奖有种方法,第二步,再决出2名二等奖,有种方法,第三步,剩余三人为三等奖,根据分步乘法计数原理得：共有•＝60种方法.故答案为：60.【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题,掌握分步计数原理是解决问题的关键,属于中档题.15.(5分)若x、y满足约束条件,则z＝－x＋y的最小值为0 .【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC及其内部,再将目标函数z＝－x ＋y对应的直线进行平移,可得当x＝y＝1时,目标函数z取得最小值,从而得到本题答案.【解答】解：作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(1,1),B(0,),C(0,4)设z＝F(x,y)═－x＋y,将直线l：z＝－x＋y进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最小值∴z最小值＝F(1,1)＝－1＋1＝0故答案为：0【点评】题给出二元一次不等式组,求目标函数z＝－x＋y的最小值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题.16.(5分)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,,则球O的表面积等于16π.【分析】正确作出图形,利用勾股定理,建立方程,即可求得结论.【解答】解：如图所示,设球O的半径为r,AB是公共弦,∠OCK是面面角根据题意得OC＝,CK＝在△OCK中,OC2＝OK2＋CK2,即∴r2＝4∴球O的表面积等于4πr2＝16π故答案为16π【点评】本题考查球的表面积,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)等差数列{an }中,a7＝4,a19＝2a9,(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)设bn ＝,求数列{bn}的前n项和Sn.【分析】(I)由a7＝4,a19＝2a9,结合等差数列的通项公式可求a1,d,进而可求an(II)由＝＝,利用裂项求和即可求解【解答】解：(I)设等差数列{an}的公差为d∵a7＝4,a19＝2a9,∴解得,a1＝1,d＝∴＝(II)∵＝＝∴sn＝＝＝【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用,试题比较容易18.(12分)设△ABC的内角A,B,C的内角对边分别为a,b,c,满足(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac. (Ⅰ)求B.(Ⅱ)若sinAsinC＝,求C.【分析】(I)已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算,整理后得到关系式,利用余弦定理表示出cosB,将关系式代入求出cosB的值,由B为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；(II)由(I)得到A＋C的度数,利用两角和与差的余弦函数公式化简cos(A－C),变形后将cos(A ＋C)及2sinAsinC的值代入求出cos(A－C)的值,利用特殊角的三角函数值求出A－C的值,与A＋C的值联立即可求出C的度数.【解答】解：(I)∵(a＋b＋c)(a－b＋c)＝(a＋c)2－b2＝ac,∴a2＋c2－b2＝－ac,∴cosB＝＝－,又B为三角形的内角,则B＝120°；(II)由(I)得：A＋C＝60°,∵sinAsinC＝,cos(A＋C)＝,∴cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC＝cos(A＋C)＋2sinAsinC＝＋2×＝,∴A－C＝30°或A－C＝－30°,则C＝15°或C＝45°.【点评】此题考查了余弦定理,两角和与差的余弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.19.(12分)如图,四棱锥P－ABCD中,∠ABC＝∠BAD＝90°,BC＝2AD,△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形.(Ⅰ)证明：PB⊥CD；(Ⅱ)求点A到平面PCD的距离.【分析】(I)取BC的中点E,连接DE,则ABED为正方形,过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O,连接OA,OB,OD,OE,证明PB⊥OE,OE∥CD,即可证明PB⊥CD；(II)取PD的中点F,连接OF,证明O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离,即可求得点A到平面PCD的距离.【解答】(I)证明：取BC的中点E,连接DE,则ABED为正方形,过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O,连接OA,OB,OD,OE由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD∴OA＝OB＝OD,即O为正方形ABED对角线的交点∴OE⊥BD,∴PB⊥OE∵O是BD的中点,E是BC的中点,∴OE∥CD∴PB⊥CD；(II)取PD的中点F,连接OF,则OF∥PB由(I)知PB⊥CD,∴OF⊥CD,∵,＝∴△POD为等腰三角形,∴OF⊥PD∵PD∩CD＝D,∴OF⊥平面PCD∵AE∥CD,CD⊂平面PCD,AE⊈平面PCD,∴AE∥平面PCD∴O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离∵OF＝∴点A到平面PCD的距离为1.【点评】本题考查线线垂直,考查点到面的距离的计算,考查学生转化的能力,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.20.(12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.(Ⅰ)求第4局甲当裁判的概率；(Ⅱ)求前4局中乙恰好当1次裁判概率.【分析】(I)设A1表示事件“第二局结果为甲胜”,A2表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲负”,A表示事件“第四局甲当裁判”,可得A＝A1•A2.利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；(II)设B1表示事件“第一局比赛结果为乙胜”,B2表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”,B3表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”,B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”.可得B＝,利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可得出.【解答】解：(I)设A1表示事件“第二局结果为甲胜”,A2表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲负”,A表示事件“第四局甲当裁判”.则A＝A1•A2.P(A)＝P(A1•A2)＝.(II)设B1表示事件“第一局比赛结果为乙胜”,B2表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”,B3表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”,B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”. 则B＝,则P(B)＝P()＝＋＝＋＝.【点评】正确理解题意和熟练掌握相互独立事件和互斥事件的概率计算公式是解题的关键.21.(12分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.(Ⅰ)求a＝时,讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若x∈[2,＋∞)时,f(x)≥0,求a的取值范围.【分析】(I)把a＝代入可得函数f(x)的解析式,求导数令其为0可得x＝－,或x＝－,判断函数在区间(－∞,－),(－,－),(－,＋∞)的正负可得单调性；(II)由f(2)≥0,可得a≥,当a≥,x∈(2,＋∞)时,由不等式的证明方法可得f′(x)＞0,可得单调性,进而可得当x∈[2,＋∞)时,有f(x)≥f(2)≥0成立,进而可得a的范围.【解答】解：(I)当a＝时,f(x)＝x3＋3x2＋3x＋1,f′(x)＝3x2＋6x＋3,令f′(x)＝0,可得x＝－,或x＝－,当x∈(－∞,－)时,f′(x)＞0,f(x)单调递增,当x∈(－,－)时,f′(x)＜0,f(x)单调递减,当x∈(－,＋∞)时,f′(x)＞0,f(x)单调递增；(II)由f(2)≥0,可解得a≥,当a≥,x∈(2,＋∞)时,f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3()＝3(x－)(x－2)＞0,所以函数f(x)在(2,＋∞)单调递增,于是当x∈[2,＋∞)时,f(x)≥f(2)≥0,综上可得,a的取值范围是[,＋∞)【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,涉及函数的最值问题,属中档题.22.(12分)已知双曲线C：＝1(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y＝2与C的两个交点间的距离为.(I)求a,b；(II)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且|AF1|＝|BF1|,证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.【分析】(I)由题设,可由离心率为3得到参数a,b的关系,将双曲线的方程用参数a表示出来,再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；(II)由(I)的方程求出两焦点坐标,设出直线l的方程设A(x1,y1),B(x2,y2),将其与双曲线C的方程联立,得出x1＋x2＝,,再利用|AF1|＝|BF1|建立关于A,B坐标的方程,得出两点横坐标的关系,由此方程求出k的值,得出直线的方程,从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|,再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论.【解答】解：(I)由题设知＝3,即＝9,故b2＝8a2所以C的方程为8x2－y2＝8a2将y＝2代入上式,并求得x＝±,由题设知,2＝,解得a 2＝1所以a ＝1,b ＝2(II)由(I)知,F 1(－3,0),F 2(3,0),C 的方程为8x 2－y 2＝8 ① 由题意,可设l 的方程为y ＝k(x －3),|k|＜2代入①并化简得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1≤－1,x 2≥1,x 1＋x 2＝,,于是 |AF 1|＝＝－(3x 1＋1), |BF 1|＝＝3x 2＋1, |AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1,即故＝,解得,从而＝－ 由于|AF 2|＝＝1－3x 1,|BF 2|＝＝3x 2－1,故|AB|＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4,|AF 2||BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16 因而|AF 2||BF 2|＝|AB|2,所以|AF 2|、|AB|、|BF 2|成等比数列 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系,考查了运算能力,题设条件的转化能力,方程的思想运用,此类题综合性强,但解答过程有其固有规律,一般需要把直线与曲线联立利用根系关系,解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性,给以后解答此类题提供借鉴.。
2013年高考数学(全国卷)文科及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=n2，n∈A｝,则A∩B= ( ) （A）｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1} （D）｛-1，,0，1}（2）错误！未找到引用源。
= ( )（A）-1 - 错误！未找到引用源。
i （B）-1 + 错误！未找到引用源。
i （C）1 + 错误！未找到引用源。
i （D）1 - 错误！未找到引用源。
i（3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A）错误！未找到引用源。
（B）错误！未找到引用源。
（C）错误！未找到引用源。
（D）错误！未找到引用源。
（4）已知双曲线C：错误！未找到引用源。
= 1（a>0,b>0）的离心率为错误！未找到引用源。
，则C的渐近线方程为（）（A）y=±错误！未找到引用源。
x （B）y=±错误！未找到引用源。
x （C）y=±错误！未找到引用源。
x （D）y=±x（5）已知命题p：，则下列命题中为真命题的是：（）（A） p∧q （B）￢p∧q （C）p∧￢q （D）￢p∧￢q（6）设首项为1，公比为错误！未找到引用源。
的等比数列｛an ｝的前n项和为Sn，则（）（A）Sn =2an-1 （B）Sn=3an-2 （C）Sn=4-3an（D）Sn=3-2an（7）执行右面的程序框图，如果输入的t∈[-1，3]，则输出的s属于（A）[-3,4]（B）[-5,2]（C）[-4,3]（D）[-2,5]（8）O为坐标原点，F为抛物线C：y²=4x的焦点，P为C上一点，若丨PF丨=4，则△POF的面积为（A）2 （B）2（C）2（D）4（9）函数f（x）=（1-cosx）sinx在[-π，π]的图像大致为（10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b= （A）10 （B）9 （C）8 （D）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（A）18+8π（B）8+8π（C）16+16π（D）8+16π（12）已知函数f（x）= 若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（A）（-∞] （B）（-∞] (C)[-2,1] (D)[-2,0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2013年高考数学(文科)(课标I)真题及答案
2013年高考数学（文科）（课标I ）真题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x |x =n 2，n ∈A｝，则A∩B=（ ） （A ）｛1，4｝ （B ）｛2，3｝ （C ）{9，16} （D ）｛1，2} （2） 1＋2i (1－i)2＝ （ ）（A ）－1－12i （B ）－1＋12i （C ）1＋12i （D ）1－12i（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）（A ）12 （B ）13（C ）14 （D ）16（4）已知双曲线C:x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的离心率为52，则C 的渐近线方程为（ ）（A ）y =±14x （B ）y =±13x （C ）y =±12x （D ）y =±x（5）已知命题p ：∀x ∈R,2x ＞＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3=1－x 2，则下列命题中为真命题的是（ ）（A ） p∧q （B ）￢p∧q （C ）p∧￢q （D ）￢p∧￢q （6）设首项为1，公比为23的等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，则（ ）（A ）S n =2a n －1 （B ）S n =3a n －2 （C ）S n =4－（7）执行右面的程序框图，如果输入的 t ∈[－1，3]，则输出的s 属于（ ） （A ）[－3,4] （B ）[－5,2] （C ）[－4,3] （D ）[－2,5]（8）O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y ²=42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|=42，则△POF 的面积为（ ）（A ）2 （B ）2 2 （C ）2 3 （D ）4（9）函数f （x ）=（1－cos x ）sin x 在[－π，π]的图像大致为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）（10）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（ ）（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 （11（A ）16+8π （B ）8+8π （C ）16+16π （D ）8+16π（12）已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x x ≤0ln(x ＋1) x ＞0，若| f （x ）|≥ax ，则a 的取值范围是（ ）（A ）（－∞，0] （B ）（－∞，1] （C ）[－2，1] （D ）[－2，0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2013高考数学各省题目分类整理：函数导数综合
2013高考：函数导数综合【2013高考文科题组】1、（2013北京，文18）已知函数2()sin cos f x x x x x =++（I ）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处于直线y b =相切，求a 与b 的值； （II ）若曲线()y f x =于直线y b =有两个不同的交点，求b 的取值范围。
2、（2013全国大纲，文21）已知函数32()331f x x ax x =+++（I ）当a =()f x 的单调性；（II ）若[2,)x ∈+∞时，()0f x ≥，求a 的取值范围。
3、（2013全国课标I ，文20）已知函数2()()4xf x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为44y x =+ （I ）求a ，b 的值；（II ）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值。
4、（2013全国课标II ，文21）已知函数2()xf x x e -= （I ）求()f x 的极小值和极大值；（II ）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴截距的取值范围。
5、（2013山东，文21）已知函数2()ln f x ax bx x =+-（,a b R ∈） （I ）设0a ≥，求()f x 的单调区间；（II ）设0a >，且对任意0x >，()(1)f x f ≥，试比较ln a 与2b -的大小6、（2013江苏，20）设函数()ln f x x ax =-，()xg x e ax =-，其中a 为实数（I ）若()f x 在(1,)+∞上是单调减函数，且()g x 在(1,)+∞上有最小值，求a 的取值范围 （II ）若()g x 在(1,)-+∞上是单调增函数，试求()f x 的零点个数。
7、（2013安徽，文20）设函数22()(1)f x ax a x =-+，其中0a >，区间{|()0}I x f x => （I ）求I 的长度（注：区间(,)αβ的长度定义为βα-）；（II ）给定常数(0,1)k ∈，当11k a k -≤≤+时，求I 长度的最小值。
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编14：复数
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编14：复数1、（2013年高考（安徽卷））设是虚数单位，若复数10()3a a R i-∈-是纯虚数，则a 的值为 （）（A ）-3 （B ）-1 （C ）1 （D ）3 【答案】D2、（2013年高考（北京卷））在复平面内，复数(2)i i -对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A3、（2013年高考（福建卷））复数i z 21--=（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】本题考查的知识点是复数的几何意义．由几何意义可知复数在第三象限．4、（2013年高考（广东卷））若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】选D.5、（2013年高考（湖北卷））i 为虚数单位，设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，若123i z =-，则2z = .6、（2013年高考（湖南卷））复数z=i·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于___ B ____A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B7、（2013年高考（江苏卷））设2)2(i z -=(i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ .【答案】58、（2013年高考（江西卷））复数z=i （-2-i ）（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[答案]：D9、（2013年高考（辽宁卷））复数的11Z i =-模为（A ）12 （B（C（D ）2[答案]B10、（2013年高考（山东卷））复数)()2(2为虚数单位i i i z -=，则=||z(A)5 (B) 41 (C)6 (D) 5答案：A12、（2013年高考（陕西卷））设z 是复数, 则下列命题中的假命题是(A) 若20z ≥, 则z 是实数 (B) 若20z <, 则z 是虚数(C) 若z 是虚数, 则20z ≥ (D) 若z 是纯虚数, 则20z <【答案】C13、（2013年高考（上海卷））.设m ∈R,m 2+m-2+( m 2-1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m= .【答案】 -214、（2013年高考（四川卷））如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（）（A ）A （B ）B（C ）C （D ）D答案：B 15、（2013年高考（天津卷））i 是虚数单位. 复数(3 + i )(1－2i ) = .【答案】55i -16、（2013年高考（新课标II 卷））21i =+（ ）（A） （B ）2 （C（D ）【答案】C17、（2013年高考（新课标I 卷））212(1)ii +=-（ ）（A ）112i -- （B ）112i -+ （C ）112i + （D ）112i -答案：B18、（2013年高考（浙江卷））已知i 是虚数单位，则(2+i)(3+i)=A 、5-5iB 、7-5iC 、5+5iD 、7+5i【 答案】C19、（2013年高考（重庆卷））已知复数12z i =+（是虚数单位），则z = ．。
2013年高考文科函数及其导数真题(含答案)
2013年数学高考试题汇编-----函数与基本初等函数一. 选择题1.全国新课标(Ⅰ) （文）（9）函数f(x)=(1－cosx)sinx 在[－π，π]的图像大致为(C )A B C D2.全国新课标(Ⅰ) （文）（12）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x x≤0ln(x ＋1) x ＞0，若| f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是( D)（A ）（－∞，0] （B ）（－∞，1] (C)[－2，1] (D)[－2，0] 3. 新课标Ⅱ卷 (文)（11）已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c ，下列结论中错误的是（ C ） （A ）（B ）函数y=f （x ）的图像是中心对称图形（C ）若x0是f （x ）的极小值点，则f （x ）在区间（-∞，x0）单调递减 （D ）若x0是f(x)的极值点，则f ’（ x0）=04..北京（文）（3）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是（ C ）（A ）y=(B)y=e -x （C ）y=-x 2+1 (D)y=lg ∣x ∣5..上海（文）15．函数()()211f x x x =-≥的反函数为()1fx -，则()12f -的值是（ A ）（A（B ） （C ）1（D ）16..广东（文）2.函数lg(1)1x y x +=-的定义域是（ C ）A.(1,)-+∞B.[1,)-+∞C.(1,1)(1,)-+∞D. [)1,1(1,)-+∞7.广西（文）（6）函数()()()-121log 10=f x x f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数（ A ）（A ）()1021x x >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210xx -> 8..湖北（文）5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是 （ C ）9..湖北（文）8．x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为（ D ） A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ． 周期函数10..湖北（文）9．某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为（ C ）A ．31200元B ．36000元C ．36800元D ．38400元11..湖北（文）10．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ B ） A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞12..江西（文）10.如图。
2013年全国高考文科数学试题及答案-湖南卷
姓名 座位号绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、1、复数z=i·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2、“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件3、某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=A 、9B 、10C 、12D 、134、已知f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，且f （－1）+g （1）=2，f （1）+g （－1）=4，则g （1）等于A 、4B 、3C 、2D 、15、在锐角∆ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b 、 若2sinB=3b ，则角A 等于A 、3πB 、4πC 、6π D 、12π 6、函数f （x ）=㏑x 的图像与函数g （x ）=x 2-4x+4的图像的交点个数为A 、0B 、1C 、2D 、37、已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积等于A ．2 B 、1 C、12D8、已知a,b 是单位向量，a·b=0、若向量c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为A1 BC1 D29、已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB”发生的概率为28,04,03,x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则AD AB =A 、12B 、14 C、2 D、4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10、已知集合{2,3,6,8},{2,3},{2,6,8}U A B ===,则()C A B ⋃⋂=11、在平面直角坐标系xOy 中，若直线121,:x s l y s =+⎧⎨=⎩（s 为参数）和直线2,:21x at l y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行，则常数a 的值为________12、执行如图1所示的程序框图，如果输入a=1,b=2,则输出的a 的值为______13、若变量x,y 满足约束条件28,04,03,x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩则x+y 的最大值为________14、设F 1，F 2是双曲线C ，22221a x y b-= (a>0,b>0)的两个焦点.若在C 上存在一点P .使 PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为________________、15、对于E={a 1，a 2,…、a 100}的子集X={a 1，a 2,…,a n },定义X 的“特征数列”为x 1,x 2…,x 100,其中x 1=x 10=…x n =1、其余项均为0，例如子集{a 2，a 3}的“特征数列”为0，1，0，0，…,0(1) 子集{a 1,a 3,a 5}的“特征数列”的前三项和等于________________;(2) 若E 的子集P 的“特征数列”P 1，P 2，…,P 100 满足P 1+P i+1=1, 1≤i≤99;E 的子集Q 的“特征数列” q 1，q 2，q 100 满足q 1=1，q 1+q j+1+q j+2=1，1≤j≤98，则P∩Q 的元素个数为___________、三、解答题；本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16、（本小题满分12分）已知函数f(x)=（1）求2()3fπ的值；（2）求使1()4f x<成立的x的取值集合17、(本小题满分12分)如图2、在直菱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中点，点E在菱BB1上运动.（I）证明：AD⊥C1E；（II）当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三菱子C1-A2B1E的体积18、（本小题满分12分）某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.（Ⅰ）完成下表,并求所种作物的平均年收获量;(Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48kg 的概率、19、（本小题满分13分）设n S 为数列{n a }的前项和，已知01≠a ，2n n S S a a ∙=-11，∈n N *（Ⅰ）求1a ，2a ，并求数列｛n a ｝的通项公式；(Ⅱ)求数列｛n na ｝的前n 项和.20、（本小题满分13分） 已知1F ，2F 分别是椭圆15:22=+y x E 的左、右焦点1F ，2F 关于直线02=-+y x 的对称点是圆C 的一条直径的两个端点.（Ⅰ）求圆C 的方程；(Ⅱ)设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ，b .当ab 最大时，求直线l 的方程.21、（本小题满分13分）已知函数f （x ）=x e x 21x 1+-、 （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）证明：当f （x 1）=f （x 2）(x 1≠x 2)时，x 1+x 2＜0、答案：1、B2、A3、D4、B5、A6、C7、D8、C9、D10、{6,8} 11、4 12、9 13、614、13+ 15、(1)2 (2)1716、17、18、19、20、21、。
2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)14：导数与积分
2013高考试题解析分类汇编（理数）14：导数与积分一、选择题1 ．（2013年高考湖北卷（理））已知a 为常数,函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <,则（ ）A ．121()0,()2f x f x >>- B ．121()0,()2f x f x <<-C ．121()0,()2f x f x ><-D ．12()0,()f x f x <> D本题考查导数的应用，如何利用导数判断极值。
函数()(ln f x x x =12,x x 12()x x <，则12ln )('+-=ax x x f 有两个零点,即方程12ln -=ax x 有两个根,有数形结合易知210<<a 且2110x x <<<.因为在),(21x x 上)(x f 递增，所以)()1()(21x f f x f <<，即)()(21x f a x f <-<，所以121()0,()2f x f x <>-.故选D.2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是（ ）A ．0x ∃∈R,0()0f x =B ．函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x = C若0c =则有(0)f =，所以A 正确。
由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为（0,0），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ,所以B 正确。
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2013年高考解析分类汇编14：导数一、选择题1 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文11））已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） （A ）0x R ∃∈，0()0f x =（B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减 （D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 【答案】C 若0c =则有(0)f =，所以A 正确。
由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为（0,0），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ,所以B 正确。
由三次函数的图象可知，若0x 是f(x)的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间（-∞, 0x ）单调递减是错误的，D 正确。
选C.2．（2013年高考大纲卷（文10））已知曲线()421128=y x ax a a =++-+在点，处切线的斜率为， （ ）A ．9B ．6C ．-9D ．-6【答案】Dax x y 243+='，所以8)1(2)1(43=-+-⨯a ，所以6-=a ，故选D.3 ．（2013年高考湖北卷（文））已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞【答案】B本题考查导数的应用，如何利用导数判断极值。
函数的定义域为{0}x x >，导数为'()12ln f x ax x =-+，要使函数有两个极值点，则'()12ln 0f x ax x =-+=有两个根。
由'()12ln 0f x ax x =-+=得ln 21x ax =-，令l n ,21y x y a x ==-，当直线21y ax =-与ln y x =相切是的斜率为k ，则满足条件02a k <<。
1'y x =，由1'2y a x ==，得切点横坐标12x a=。
此时11ln21022a a a =⨯-=，解得112a=，即12a =，所以此时切线斜率为21k a ==，所以021a <<，即102a <<，选B.4 ．（2013年高考福建卷（文））设函数)(x f 的定义域为R ,)0(00≠x x 是)(x f 的极大值点,以下结论一定正确的是 （ ）A ．)()(,0x f x f R x ≤∈∀B ．0x -是)(x f -的极小值点C ．0x -是)(x f -的极小值点D ．0x -是)(x f --的极小值点【答案】D本题考查的是函数的极值．函数的极值不是最值，A 错误；因为)(x f --和)(x f 关于原点对称，故0x -是)(x f --的极小值点，D 正确．5 ．（2013年高考安徽（文））已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ,若112()f x x x =<,则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A6 ．（2013年高考浙江卷（文8））已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示,则该函数的图像是【答案】B由导函数图像可知函数的函数值在[-1,1]上大于零，所以原函数递增，且导函数值在[-1,0]递增，即原函数在[-1,1]上切线的斜率递增，导函数的函数值在[0,1]递减，即原函数在[0,1]上切线的斜率递减，所以选B二、填空题7 ．（2013年高考广东卷（文））若曲线2lny ax x=-在点(1,)a处的切线平行于x轴,则a=____________.【答案】12本题考查切线方程、方程的思想.依题意''112,210,xy ax y ax==-=-=所以12a=。
8 ．（2013年高考江西卷（文11））若曲线1y xα=+(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=_________.【答案】2本题考查导数的计算以及导数的几何意义。
函数的导数为1'y xαα-=，所以在点（1，2）处的切线斜率为kα=，则切线方程为2(1)y xα-=-，因为切线过原点，所以02(01)α-=-，解得2α=。
三、解答题9 ．（2013年高考浙江卷（文））已知a∈R,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(Ⅱ)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.【答案】解:(Ⅰ)当1a=时,32()266(2)1624124f x x x x f=-+∴=-+=,所以2()6126(2)242466f x x x f ''=-+∴=-+=,所以()y f x =在(2,(2))f 处的切线方程是:46(2)680y x x y -=-⇒--=;(Ⅱ)因为22()66(1)66[(1)]6(1)()f x x a x a x a x a x x a '=-++=-++=--①当1a>时,(,1][,)x a ∈-∞+∞ 时,()y f x =递增,(1,)x a ∈时,()y f x =递减,所以当[0,2||]x a ∈时,且2||2a >,[0,1][,2||]x a a ∈ 时,()y f x =递增,(1,)x a ∈时,()y f x =递减,所以最小值是32223()23(1)63f a a a a a a a =-++=-;②当1a <-时,且2||2a >,在[0,2||]x a ∈时,(0,1)x ∈时,()y f x =递减,[1,2||]x a ∈时,()y f x =递增,所以最小值是(1)31f a =-;综上所述:当1a >时,函数()y f x =最小值是233a a -;当1a <-时,函数()y f x =最小值是31a -;10．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r 米,高为h 米,体积为V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(Ⅰ)将V 表示成r 的函数()V r ,并求该函数的定义域;zhangwlx(Ⅱ)讨论函数()V r 的单调性,并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大.zhangwlx【答案】11．（2013年高考陕西卷（文））已知函数()e ,x f x x =∈R .(Ⅰ) 求f (x )的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线2112y x x =++有唯一公共点. (Ⅲ) 设a <b , 比较2a b f +⎛⎫⎪⎝⎭与()()f b f a b a --的大小, 并说明理由.【答案】解:(Ⅰ) f (x)的反函数x x g ln )(=,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=(1)g'.1(1)g'x1(x)g'==⇒=k .过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 (Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线1212++=x x y 有唯一公共点,过程如下.则令,,121121)()(22R x x x e x x x f x h x ∈---=---= 0)0('',0)0('0)0(,1)('')(',1)('===-=--=h h h e x h x h x e x h x x ，，且的导数 因此,单调递增时当单调递减时当)('0)(''0;)('0)(''0x h y x h x x h y x h x =⇒>>=⇒<<0)(,0)0(')('===≥=⇒x R x h y h x h y 个零点上单调递增，最多有一在所以所以,曲线y=f(x)与曲线1212++=x x y 只有唯一公共点(0,1).(证毕) (Ⅲ) 设)(2)()2()()2()()(2)()(a b b f a b a f a b a b a f b f b f a f -⋅⋅--+⋅+-=---+ aa b b a e a b e a b a b a b e a b e a b ⋅-⋅⋅--++-=-⋅⋅--+⋅+-=-)(2)2()2()(2)2()2(令x x x e x e x x g x e x x x g ⋅-+=⋅-++=>⋅-++=)1(1)21(1)(',0,)2(2)(则.）上单调递增，在（的导函数∞+>⋅=⋅-+=0)('所以,0)11()('')('x g e x e x x g x g x x ,且,0)0(,),0()(0)('.0)0('=+∞>=g x g x g g 而上单调递增在，因此0)(),0(>+∞x g 上所以在.,0)2(2)(0b a e x x x g x x <>⋅-++=>且时，当0)(2)2()2(>⋅-⋅⋅--++-∴-aa b e a b e a b a b所以a b a f b f b f a f -->+)()(2)()(,b <a 时当12．（2013年高考大纲卷（文））已知函数()32=33 1.f x x ax x +++(I)求()f ;a x 的单调性;(II)若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围【答案】(Ⅰ)当a =,()32=3 1.f x x x ++'2()33f x x =-+.令'()0f x =,得,11x =,21x .当(1)x ∈-∞时,'()0f x >,()f x 在(1)-∞是增函数;当11)x ∈时,'()0f x <,()f x 在11)是减函数;当1,)x ∈+∞时,'()0f x >,()f x 在1,)+∞是增函数; (Ⅱ)由(2)0f ≥得,54a ≥-. 当54a ≥-,(2,)x ∈+∞时, '2251()3(21)3(1)3()(2)022f x x ax x x x x =++≥-+=-->, 所以()f x 在(2,)+∞是增函数,于是当[2,)x ∈+∞时,()(2)0f x f ≥≥. 综上,a 的取值范围是5[,)4-+∞. 13．（2013年高考辽宁卷（文））(I)证明:当[]0,1sin ;2x x x x ∈≤≤时，(II)若不等式()[]3222cosx 40,12x ax x x x a ++++≤∈对恒成立，求实数的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.【答案】记F （x ）=1sin ,()cos 22x x x x -=-则F111(0,)044()44[0,1]()0.()sin,(0,1)()cos10sin.sin,2x F xx xx F xxH x x x x H x xx xx x xππππ∈∈∈≥≥=-∈=-≤≤≤当时，（）＞，F(x)在[0，]上试增函数；当（，1）时，F在[，1]上是减函数.又F(0)=0,F(1)＞0，所以当时，，即sinx记则当时，＜，所以，H(x)在[0,1]上是减函数，综上，x∈[0,1]（II）解法一因为当x∈[0,1]时.32322(2)cos42(2)4(2)sin22xax x x xx xa x x x++++-=+++-+322223232322(2)4()2(2).2.2(2)cos4[0,1].222(2)cos4[0,1].2[0,1].2(2)cos42(2)4(2)sin22xa x x x xa xaxax x x x xaxax x x x xxxax x x xx xa x x x≤+++-+=+≤-++++≤∈-++++≤∈∈+++--=+++-+所以，当时不等式对恒成立下面证明，当＞时，不等式对不恒成立因为当时2003200000323(2)232[(2)].2321(0,1)(322(2)cos 422(2)cos 40[0,1]2--2].a x x x x a a x x x ax x x x x x x x a ≥+-=--++∈++++-+++-≤∈∞所以存在例如取和中的较小值）满足＞0即当a ＞-2时，不等式ax+x 对不恒成立综上，实数的取值范围是（，解法二3221111()2(2)cos 4,23()22cos 2(2)sin .2(),()234sin 2(2)cos .1(0,1)cos 2()23(2)(20.x f x ax x x x x f x a x x x x x G x x x x x x x G x x x x x =++++-=+++-+=+--+∈+--+=-记则记G(x)=f 则当时，＞，因此＜＜于是1f (x)在[0,1]上试减函数，因此，当x ∈(0,1)时，1f (x)＜1f (0)=a+2,故当a ≤-2时，1f (x)<0，从而f(x)在[0,1]上试减函数，所以f(x)≤f(0)=0,即当a ≤-2时，不等式322(2)cos 4[0,1]2x ax x x x x ++++≤∈对恒成立.下面证明，当a >-2时，不等式322(2)cos 4[0,1].2x ax x x x x ++++≤∈对不恒成立 1()[0,1]f x 由于在上试减函数，且f(0)-a+2>2,1171=2cos16sin1.276sin12cos110(0,1)()[0,1]2f a a f x f x ++-≥--≥∈（）当时，（），所以当时，因此在上是增函数，故f(1)＞f(0)当-2<a <6sin1-2cos1-72时，11f （）<0，又1f （0）>0，故存在0(0,1)x ∈使10f （x ）=0，则当0<x <0x 时，1f （x ）>()0f x =，所以f(x)在[0,0x ]上试增函数，所以当0(0,)x x ∈时，()f x >(0)0f =.所以，当a >-2时，不等式322(2)4[0.1].2x ax x x x ++++≤∈对不恒成立--2].a ∞综上，实数的取值范围是（，14．（2013年高考四川卷（文））已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩,其中a 是实数.设11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为该函数图象上的两点,且12x x <.(Ⅰ)指出函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直,且20x <,证明:211x x -≥; (Ⅲ)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合,求a 的取值范围.【答案】解:(Ⅰ)函数()f x 的单调减区间为)1,(--∞,单调增区间为)0,1(-,),0(+∞(Ⅱ)由导数的几何意义知,点A 处的切线斜率为)(1x f ',点B 处的切线斜率为)(2x f ', 故当点,A B 处的切线互相垂直时,有)(1x f '1)(2-='⋅x f , 当x <0时,22)(+=x x f因为021<<x x ,所以 1)22()22(21-=+⋅+x x ,所以0221<+x ,0222>+x , 因此1)22()22()]22()22([21212112=+⋅+-≥+++-=-x x x x x x , (当且仅当122)22(21=+=+-x x ,即231-=x 且212-=x 时等号成立) 所以函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直时有211x x -≥. (Ⅲ)当021<<x x 或012>>x x 时,)(1x f ')(2x f '≠,故210x x <<. 当01<x 时,()f x 的图象在点))(,(11x f x 处的切线方程为)()22()2(11121x x x a x x y -⋅+=++- 即 a x x x y +-+=211)22(.当02>x 时,()f x 的图象在点))(,(22x f x 处的切线方程为)(1ln 222x x x x y -⋅=- 即 1ln 122-+⋅=x x x y . 两切线重合的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=②①a x x x x 212121ln 221,由①及210x x <<知,2102<<x , 由①、②得 1)21(411ln 1)121(ln 222222--+-=--+=x x x x a , 令21x t =,则20<<t ,且t t t a ln 412--= 设)20(ln 41)(2<<--=t t t t t h ,则023)1(1121)(2<--=--='t t t t t h所以)20()(<<t t h 为减函数,则2ln 1)2()(--=>h t h , 所以2ln 1-->a ,而当)2,0(∈t 且t 趋向于0时,)(t h 无限增大, 所以a 的取值范围是),2ln 1(+∞--.故当函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合时,a 的取值范围是),2ln 1(+∞--.15．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知函数2()x f x x e -=。