第2章_弹性力学问题有限单元的一般原理

平面应力 E0 E, 0
平面应变 E0
平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式 利用最小位能原理建立有限元方程
最小位能原理的泛函总位能
1 T p ε Dεtdxdy uT ftdxdy uT Ttds 2 S
对离散模型，系统位能是各单元位能的和．
线性代数方程系数行列式
1 D1 1
xi xj xm
ui
yi y j =2A ym
xi xj xm yi
A是三角形单元的面积
1 1 uj D um
1 yj = 2A ym
ai ui a j u j
am um
平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式
1 2 1 D 1 1 3 1 D 1 1 1 ui uj um xi xj xm
0 ci ci 1 0 bi 2
Sj
Sm
S 称为应力矩阵，其分块矩阵为
bi E0 Si DBi 2 0bu 2 1 0 A 1 0 2 ci
i, j , m
E , 0 1 1 2
平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式 单元刚度矩阵特征
对称性
Ksr
T
Krs
单元刚度矩阵元素的物理意义
利用最小位能原理建立单元的平衡方程
K eae Pe
a ui
e
vi a2 P iy P 2
uj a3 Pjx P 3
vj a4
um a5
vm
T T
a1 P P ix
bj ci bi cj cj bj
bm cm
cm bm
平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式 应变矩阵和应力矩阵 x 单元应力 σ y Dε DBae Sae xy
其中
S DB D Bi
Bj
Bm Si
单元刚度分块矩阵
K1 E0t Krs B DBs tA 2 4 1 0 A K2
T r
K3 K4
r , s i, j , m
1 0 K1 br bs cr cs 2 1 0 K3 0br cs cr bs 2
1 0 K2 0cr bs br cs 2 1 0 K4 cr cs br bs 2
ai
1 yj = 2A ym 1 uj = 2A um
xj xm 1 1 xj xm yj ym yj ym
yi
bi ui bj u j bmum ci ui c j u j cmum
ui
=x j ym xm y j =y j ym
其中
bi ci 1 1
INi
IN j
ai IN m a j a m ai N m a j Na e a m
Ni
Nj
N 称为插值函数矩阵或形函数矩阵
平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式 形函数性质
结点上形函数的值
Ni xi , yi 1 ij 0 if if i j i j (i , j , m )
T
整体刚度矩阵 结构结点荷载列阵
K GT K eG
e
P GT Pe
e
平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式 利用最小位能原理建立有限元方程 1 T p a Ka aT P 2
离散形式的总位能 p 的未知变量是结构的结点位移 a，泛函 p 取驻值的条件为
p 0
平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式 单元位移模式及插值函数 典型 3 结点三角形单元结点编 码为 i, j, m (逆时针方向为正) 每个结点的位移( 2 个)
ui ai Βιβλιοθήκη Baidu vi
(i , j , m )
每个单元的结点位移( 6 个) ai e a a j = ui vi u j a m
e
a6 P mx P 6
Pjy P 4 P 5
P my
T
T
P 1
平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式 单元刚度矩阵特征
单元刚度矩阵元素的物理意义
K11 K 21 K61
令
K12 K16 a1 P 1 a P K22 K26 2 2 K62 K66 a6 P 6
Kii 0
分块矩阵 Krs 当 r=s=i,j,m 时，主元 K1 和 K4 恒正．
1 0 K1 br bs cr cs 2
1 0 K4 cr cs br bs 2
物理解释：要使结点位移 ai=1 ,施加在 ai 方向的结点力必须 与位移 ai 同向．
单元中任一点各形函数之和等于 1
Ni N j Nm 1
x 方向有刚体位移 u0 ,则 ui u j um u0
u Ni ui N j u j Nmum Ni N j Nm u0 u0
若形函数不满足此要求，则不能反映单元的刚体位移，用这 形函数求解就得不到正确结果． 3 结点三角形单元的形函数是线性的，在单元内部及边界上的 位移可由结点位移唯一确定．相邻单元公共边界上位移连续．
i,
j, m
Ni
1 ai bi x ci y 2A
Ni 1 b, x 2A i
Ni 1 c y 2A i
bi 1 Bi 0 2A ci
0 ci bi
i,
j, m
B Bi
Bj
bi 1 Bm 2A ci
第2章 弹性力学问题有限单元法 一般原理和表达式
第 2 章弹性力学问题有限单元法一般原理和表达式
本章要点 通过弹性力学平面问题和三角形单元阐述 构造广义坐标有限元并建立其位移插值函数的步骤, 以及插值函数的基本性质. 基于弹性力学最小位能原理,建立有限元求解方程的 步骤.
有限元方程求解前引入位移边界条件的必要性和方法. 有限元方法的收敛准则. 有限元方法求解弹性力学问题的一般原理和步骤.
a u1 v1 u2 v2 ui vi un vn
1 2
T
2i 1 2i 2m 1 2m 2 j 1 2 j 2n
0 0 0 G62 n 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
vj
um
vm
T
平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式 单元的位移模式及插值函数 3 结点三角形单元位移模式选取一次多项式
u 1 2 x 3 y v 4 5 x 6 y
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 是待定系数,称为广义坐标,可以用单
i, j , m
Ni , N j , Nm 称为单元的插值函数或形函数,是 x, y 的一
次函数.
平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式 结点位移表示的位移函数
u Ni u v 0 0 Ni Nj 0 0 Nj Nm 0 ui v i 0 uj Nm v j um vm
平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式 应变矩阵和应力矩阵
应变矩阵 B 的分块子矩阵
x Bi LNi = 0 y 0 Ni y 0 x Ni x 0 0 Ni Ni y 0 Ni y Ni x
1 T eT e p a B DBtdxdya e 2 e
e
aeT N T ftdxdy aeT e N T TtdS
e e S



结构结点位移
ae Ga
平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式 利用最小位能原理建立有限元方程
即
p 0 a
有限元求解方程
Ka P
平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式 单元刚度矩阵特征
对称性 3 结点三角形单元的应变矩阵是常量阵

e
BT DBtdxdy K e
Kii K e T K B DBtA ji K mi
Kij K jj K mj
K im K jm K mm
i,
j, m
= x j xm
下标可以轮换
平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式
结点 i ( xi,yi )的y方向位移vi
结点位移表示的位移函数
u Ni ui N j u j Nmum v Ni vi N j v j Nm vm
4 , 5 , 6
1 其中 Ni 2 A ai bi x ci y
平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式 单元刚度矩阵特征
单元刚度矩阵元素的物理意义 单元在结点力作用下处于平衡状态 x 方向 y 方向
K11 K31 K51 0 K21 K41 K61 0
元素 Kij 的物理意义:当单元的第 j 个结点位移为单位位移 而其他结点位移为零时，需要在单元第 i 结点方向上施加 的结点力的大小．
单元结点平衡方程
a1 1(ui 1), a2 a3 a6 0
K11 P 1 K P 21 2 K61 a1 1 P 6
第一列元素的物理意义:当a1=1 时，其他结点位移为零，需要 在单元各结点位移方向上施加 结点力的大小．
元的 6 个结点位移表示 结点 i ( xi,yi )的x方向位移ui 同理
ui 1 2 xi 3 yi
u j 1 2 x j 3 y j
um 1 2 xm 3 ym
平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式
求广义坐标 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6
平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式 应变矩阵和应力矩阵
单元位移 单元应变
几何方程 物理方程
应力和应变
x ε x Lu LNae L N i xy
Bi Bj Bm ae = Bae
Nj
N m ae
B 称为应变矩阵，L 是平面问题的微分算子．
其中 n 为结构的结点数
平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式 利用最小位能原理建立有限元方程
单元刚度矩阵

e
BT DBtdxdy K e
单元等效结点荷载列阵
Pe Pbe Pse N T ftdxdy + e N T TtdS
e S
离散形式的总位能
1 p a GT K eG a aT GT P e 2 e e
平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式 单元刚度矩阵特征
奇异性 单元刚度矩阵是奇异的，不存在逆矩阵． 物理解释：单元平衡时，结点力相互不独立，必须满足三个 平衡方程．
单元的平衡方程
K eae Pe
任意刚体位移
Pe
ae
平面问题 3 结点三角形单元的有限元格式 单元刚度矩阵特征
主元恒元