沪科版初中数学八年级下册《16.2.1二次根式的乘除》课堂教学课件 (1)
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沪科版八年级数学下册第十六章 《二次根式的乘法》公开课课件
27 1 9 3 3
分析
二次根式的乘法：根式和根式按公 式相乘。
manbmn a（ba≥0，b≥0）
根号外的系数与系数相乘，积 为结果的系数。
( 1 ). 3 • 6 ( 2 ). 3 2 • 5 8 ( 3 ). 5 x • 3 x 3 ( 4 ). 2 • 4 • 8
3x 15x
练习
计算：(1)5 124 27
(2) 6 15 10
化简 25x3 y4
解：由二次根式的意义可知
z2x5xxk3：y4 0, y4 0, x 0.
25x3 y4
25 y4 x3
5y2 x x
5xy2 x
课堂小结
1、二次根式的乘法法则：
a•ba; ( b a 0b , 0)
a 3ab
b3
a3
a
b
2 xy 1 x
a•ba; ( b a 0b , 0)
a b a •b ; ( 0 ab , 0)
例2：化简 ( 1 ). 12 ( 2 ). 4 a 3 ( 3 ). a 4 b
化简：
(1). 4 a 2 b 3
解：原 式 22•a2•b2•b 22• a2• b2 b2abb
解: 长方形的面积为 6 3
这个结果能否化简？如何化简？
计算
4 9
= 49
4 25
= 4 25
16 9
= 16 9
100 0 . 01 = 100 0 . 01
问:从上面的计算你发现了什么规律？如何 用a，b表示？成立的条件是什么?
•1、人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。 •2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/152021/10/152021/10/1510/15/2021 2:30:27 PM •3、意志教育不是发扬个人盲目的意志，而是培养合于社会历史发展的意志。 •4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、最有价值的知识是关于方法的知识。 •6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月2021/10/152021/10/152021/10/1510/15/2021 •7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021/10/152021/10/15October 15, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/152021/10/152021/10/152021/10/15
八年级数学下册16.2.1二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法课件新版沪科版
������ 2 =5 2×x2×(
-y
)=-5 2x2y.
综合能力提升练
14.计算:9×3-2+( π-5 )0-|- 9|+ 2 × 8. 1 解:原式=9×9+1-3+4=1+1-3+4=3. 15.已知 2=a, 3=b,用含 a,b 的代数式表示 150.
解: 150 = 2 × 3 × 25 = 2× 3× 25 = 2× 3×5=5ab.
6 6 . 35
������ ������ =n . ������2 -1 ������2 -1
������ + ������2 -1
=
������( ������2 -1 )+������ ������2 -1
=
������3 -������+������ ������2 -1
=
������3 ������ =n ������2 -1. ������2 -1
知识要点基础练
4.计算: ( 1 ) 5 × 45;
解:原式= 5×3 5=15.
( 2 )7 18 × ( 3 )2
6 ×( 5
1 ; 2
解:原式=21 2 ×
2 =21. 2
-3 30 ).
30 ×( 5
解:原式=2×
-3 30 )=-36.
知识要点基础练
知识点 2 二次根式乘法的逆用 5.下列变形正确的是( D ) A. ( -4 ) × ( -9 ) = -4 × -9 B. 52 + 72 =5+7=12 C. 16 4 = 16 ×
7.化简 9 × 36 × 121的结果为( C ) A.33 B.±33 C.198 D.±198 8.已知 m= ×( -2 21 ),则有( A ) 3 A.5<m<6 B.4<m<5 C.-5≤m≤-4 D.-6<m<-5 9.若 x+ = 5,则 x2+ 2=( B ) ������ ������ A.-3 B.3
数学(沪科)八年级下册《二次根式的乘法》教学课件
16.2 二次根式的运算
——二次根式的乘法
回顾
一般地，我们把形如 a（a≥0）的式子 叫做二次根式，“ ”称为二次根号.
性质1
2
a a
(a≥0)
性质2
a2
a
a a
(a 0) (a 0)
观察
计算下列各题，观察有何规律？
(1) 4 25 ___1_0_0____,
4 25 ___1_0_0____; (2) 0.25 100 ____2_5____,
A、x≠5
B、x≥3ຫໍສະໝຸດ C、x≥3且x≠5D、x>5
例1 计算: 1 6 27; 2(3 5) 2 10
解：1 6 27= 627=9 2
(2) (3 5) 2 10 (3) 5 2 10 = 6 5 10= 10 3 3 6 52 2 30 2
二次根式相乘，先按照法则进行运算，如果积中 含有二次根式，要将它化成最简二次根式.
0.25 100 _____2_5___ .
一般的，有
性质3
如果 a 0,b 0，那么有 a b ab.
因为当 a 0,b 0 时，
( ag b)2
a 2.
2
b ab
又Q ( ab)2 ab
∴ab的算术平方根只有一个，所以 ag b ab.
所以性质3 也可也成 ab a b a 0,b 0
1、如果 x x 10 x(x 10) ，那么（B ）
A、x≥0
B、x≥10
C、0≤x≤10 D、x为全体实数
2、下列各式计算正确的是（B ）
A、5a a 5a
C、8a9 4a3
B、a 1 1 a
D、x(x 5) x x 5
3、等式 x 3 x 3 成立的条件是（ D）
——二次根式的乘法
回顾
一般地，我们把形如 a（a≥0）的式子 叫做二次根式，“ ”称为二次根号.
性质1
2
a a
(a≥0)
性质2
a2
a
a a
(a 0) (a 0)
观察
计算下列各题，观察有何规律？
(1) 4 25 ___1_0_0____,
4 25 ___1_0_0____; (2) 0.25 100 ____2_5____,
A、x≠5
B、x≥3ຫໍສະໝຸດ C、x≥3且x≠5D、x>5
例1 计算: 1 6 27; 2(3 5) 2 10
解：1 6 27= 627=9 2
(2) (3 5) 2 10 (3) 5 2 10 = 6 5 10= 10 3 3 6 52 2 30 2
二次根式相乘，先按照法则进行运算，如果积中 含有二次根式，要将它化成最简二次根式.
0.25 100 _____2_5___ .
一般的，有
性质3
如果 a 0,b 0，那么有 a b ab.
因为当 a 0,b 0 时，
( ag b)2
a 2.
2
b ab
又Q ( ab)2 ab
∴ab的算术平方根只有一个，所以 ag b ab.
所以性质3 也可也成 ab a b a 0,b 0
1、如果 x x 10 x(x 10) ，那么（B ）
A、x≥0
B、x≥10
C、0≤x≤10 D、x为全体实数
2、下列各式计算正确的是（B ）
A、5a a 5a
C、8a9 4a3
B、a 1 1 a
D、x(x 5) x x 5
3、等式 x 3 x 3 成立的条件是（ D）
八年级数学下册课件：16.2 二次根式的乘除(第1课时) 公开课一等奖课件PPT
上海 2006 高考 理科 状元-武亦 文
武亦文 格致中学理科班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文127分 数学142分 英语144分 物理145分 综合27分 总分585分
“一分也不能少”
“我坚持做好每天的预习、复习，每 天放学回家看半小时报纸，晚上10： 30休息，感觉很轻松地度过了三年 高中学习。”当得知自己的高考成 绩后，格致中学的武亦文遗憾地说 道，“平时模拟考试时，自己总有 一门满分，这次高考却没有出现， 有些遗憾。”
二、探究新知 3.你能化简下列二次根式吗？
(1) 16 81
36；
(2) 4a b 2ab b.
2 3
三、巩固新知
1.请你计算.
(1) 14 7 ;
1 (3) 3x xy. 3
(2)3 5 2 10;
(1)7 2; (2)30 2; (3) x y .
三、巩固新知
2.做一做：教材第7页练习第1、2、3题.
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
【沪科版八年级数学下册】16.2.1 第2课时 二次根式的除法 PPT精品课件
81 (4) x 0 ; 2 25x
0.09 169 (5) . 0.64 196
7 25 25 5 (3) 2 ＝ ＝ ＝ . 解： 9 9 9 3
81 81 9 (4) . 2 25x 25x2 5x
0.09 169 0.09 169 0.3 13 39 (5) . 0.64 196 0.64 196 0.8 14 112
第16章
二次根式
16.2.1 二根次式的乘除
第2课时 二次根式的除法
学习目标
1.了解二次根式的除法法则.（重点） 2.会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算. （难点） 3.能将二次根式化为最简二次根式.（重点）
导入新课
情景引入 站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d
h 问题1 某一登山者爬到海拔100米处，即 20 时， 5
练一练 在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？ 对不是最简二次根式的进行化简．
(1) 45; 1 (2) ; 3 5 (3) ; 2 (4) 0.5; 4 (5) 1 . 5
解：只有(3)是最简二次根式；
(1) 45 3 5; 1 1 1 3 3 (2) ; 3 3 3 3 3 1 1 1 2 2 (4) 0.5 ; 2 2 2 2 2
6 36 ___ 7 6 ÷___=____; 7 49
4 9
=
2 3 _____;
(2)
(3)
4 16 = _____; 5 25
6 36 = _____. 7 49
观察两者有什么关系？
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式： (1)
4 4 = ； 9 9
16 16 = ； 特殊 25 25
沪科版八年级数学下册课件：16.2.1 二次根式的乘除 第1课时(共16张PPT)
讲授新课
例4 计算：
(1)
14 7
(2) 3 5 2 10
(3)
3x
1 xy 3
解： (1)
14 7 14 7
72 2
72 2 7 2
(2) 3 5 2 10 3 2 5 10 6 52 2 6 52 2 30 2
(3)
3
5
(2)
1 3
27
3
1 3
5
27
15
1 27 9 3 3
(2)
讲授新课 例2 计算：
（ 1）
16 ；（ 812）
；（3） 12
．
4 a 2b 3
解：（1） （ 2） （ 3）
16 ；81=36
12 = 4 3； =2 3
4 a 2 b 3 = 4 a 2b 2 b ． = 2ab b
（2）会利用
ab
a b (a进行二次根式 0, b 0)
的化简.
1 x
（ 2）
（ 4）
与
3
288
12
1 72
（3） 2 xy
2. 一个矩形的长和宽分别是 积. 解：
，求这个矩形的面 10cm 2 2cm
S矩 形 长 宽 2 2 10 4 5 （ cm 2 ）
课时小结
（1）二次根式的乘法法则：
a b
ab (a 0, b 0)
引入新课 问题1 当a 是正数或0 时，是实数吗？取a 值分 别为1，2，3，4，5试一试！ 类比有理数的运算，你认为任何两个实数之间可以进行哪些运算？ 加、减、乘、除四则运算
引入新课 问题2 两个二次根式能否进行加、减、乘、除运 算？怎样运算？让我们从研究乘法开始． 请写出两个二次根式，猜一猜，它们的积应该是多 少？
16.2.1二次根式的乘除课件
3
(3) 9 1 ( 4) 9 3 1
2
4
24
你发现了什么？用你发现的规律填空：
(1) 2 3 ６ =
(2) 5 7 35 =
探究
(4)(9) 4 9成立吗？
不成立！
4、 9没有意义。
一般情况下，a≥0，b≥0时， a 与b ab
有什么关系？
一般地，对于二次根式的乘法，有：
例题讲解
化简: (1)
3 (2) 100
25 y 9x2
解: (1) 3 3 3 100 100 10
(2)
25 y 9x2
25 y
9x2
52 y 5 y
32 x2 3x
计算：(1) 2 ( 2) 2 3 ( 3) 27
3
8
3x
解（1）解法一：
2 2 23 6 6 6 3 3 33 32 32 3 解法二：
25x3 y4 25 y4 x3
5y2 x x
5xy2 x
讨论
计算：
有什么发现？
(1) 4 2 ( 2) 4 2
93
93
(3) 16 4 ( 3) 16 4
25 5
25 5
根据你发现的规律填空：
(1)
2 3
=
2 3
(2)
5 7
= 75
一般地，对二次根式的除法，有：
（1） 8 （ 2 ）＝ 4
（ 5 ）＝（21）02 5
（3） a－1 •（ a－1）＝ a－1
（34）3
2＝
6
2.化简下列二次根式，使得分母中不含有根号：
（1）－8 3 （2）3 2
8
27
（3） 5a 10a
沪科版初二数学下册16.2.1 二次根式的乘除课件
x≥1 x≤1
∴x=1
3 x2 2 x为任何实数.
4 x 1 x为任何实数.
思考
1、一个长方形的长为 6cm，宽为 3cm， 这个长方形的面积是多少？
解 : 长方形的面积为 6 3
这个结果能否化简？如何化简？
讨论
2、计算: (1) 4 25 10 ( 2) 4 25 10
(1) 24; (2) 9 125; (3) 32 42 ;
(4) 292 212; (5) 4a2b3c;
(6)
4 4 ; (7) 9
a2b 8c2
.
2、计算：
(1) 7 3 14 3 2 1 ; 15 2 2
(2) ab3 (3 b ) (3 2a ). 2a
16.2.1 二次根式的乘除
复习回顾
二次根式 a
被开方数a≥0； 根指数为2.
性质1： a 2 a(a 0)
性质2：a2＝a a (a 0)
－a (a 0)
复习回顾
当x为怎样的实数时，下列各式有意义？
1 x 3
6 x
x≥3 x≤6
∴3≤x≤6
2 1 x x 1
20 (2 3 3)2 2018 360
解： (2) 6 15 10 6 15 10 233552
(235)2 302 30
讨论
计算：
有什么发现？
(1) 4 2 ( 2) 4 2
93
93
(3) 16 4 ( 3) 16 4
(3) 27 27 3x 9 x 3 x 3x 3x 3x 3x x
在二次根式的运算中，一般要求 最后结果的分母中不含根式.
沪科版八年级数学下册_16.2.1 二次根式的乘除
但必须满足a ≥ 0，b ＞ 0.
3.利用商的算术平方根的公式可以把被开方数中含有分
母的二次根式化成被开方数不含分母的二次根式.
感悟新知
例5
知4－讲
感悟新知
知4－讲
感悟新知
知4－讲
解题秘方：紧扣“商的算术平方根的性质” 进行化简.
感悟新知
方法点拨
利用商的算术平方根的性质化简二次根式的方法:
知4－讲
感悟新知
2. 把二次根式化简成最简二次根式的步骤
知5－讲
(1)“一分”，即利用因数(式)分解的方法把被开方数的
分子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式；
(2)“二移”，即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平
方根代替，移到根号外. 其中把根号内的分母中的因
数(式)移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
感悟新知
(3)
4 ( a － 1 ) 3b÷ (－
a
－ b
1)
=－
4
(a－
1)
3b÷
b a－
1
=－
4
(
a
－
1
)
3b·
a
b －
1
= － 4 ( a － 1 ) 2b2 = － 2b ( a － 1 ) .
知3－讲
感悟新知
知识点 4 商的算术平方根
知4－讲
1. 由等式对称性，性质 4 也可以写成
a b
感悟新知
知识点 3 二次根式的除法
知3－讲
1.性质 4
如果 a ≥ 0， b ＞ 0，那么有 a= b
ab，即两个二次
根式相除，把被开方数相除，根指数不变 .
感悟新知
沪科版八年级下册数学ppt课件16.2.1(2)---二次根式的除法
2023/9/25
17
2023/9/25
7
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• 第二级
• 第三级
解： • 第四级 • 第五级
2023/9/25
8
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活动2：探究商的算术平方根的性质及化简
• 单击此处编辑母版文本样式
• 第二级
• 第三级
• 第四级 • 第五级
2023/9/25
9
单击此处编母版标题样式 商的算术平方根:
1 你觉得这些结果能否再化简，它们已经是最简
二次根式了吗？
2 这些结果有什么共同特点，你认为一个二次根
式满足什么条件就可以说它是最简了？
2023/9/25
13
单击此处编母版标题样式
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简记为：分母 无根号，根号
• 第二级
无分母
可以•发第现三级这些式子有如下两个特点：
• 第四级
• 第（•二1第）级三级
；
；
• 第四级
• 第五级
（2）
；
；
（3）
；
．
2023/9/25
6
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归纳
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• 第二级
一般•地第，三级二次根式的除法法则
思考：等式中
的a和b有没有 条件的限制？
• 第四级
• 第五级
（a≥0，b＞0）
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为 商的被开方数.
• 第二级
=a • 第三级 • 第四级
(a ≥ 0)
• 第五级
a (a≥ 0) =∣a∣ =
沪科版八年级数学下册第16章《二次根式第一课时》公开课课件
正数有算术平方根；负数没有算术平方根。
4、 7 表 示 什 么 ？
表示7的算术平方根
平方根的性质： 正数有两个平方根且互为相反数；
0有一个平方根就是它本身； 负数没有平方根。
a 表示什么？a 需要满足什么条件？
代数式 a(a 0) 叫做二次根式，读作
“根号a”，其中a是被开方数。
下列哪些代数式是二次根式？
2, 2, a21, b24a(b c24a c0), 3
3, b(b0)
1(x2) x2
二次根式的被开方数为非负数 二次根式被开方数可为整式或分式
当堂训练
设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意 义？
(1) 2x 1 2 2 x
(3) 1 x
(4) 1 x2
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必
有意义，
字母 x的取值必须满足什么条件？
总结提升 本节课学习了哪些内容？你有什么收获？
教学反思
同学们对二次根式被开方数中的等 号容易忽视，教学中要反复强调。
布置作业
1、家庭作业：练习册第二页1—9题； 2、课堂作业：习题16.1第三题；第七题； 3、预学二次根式性质3。
• 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 • 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/5/52022/5/5May 5, 2022 • 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
2022/5/52022/5/5 • 16、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年5月2022/5/52022/5/52022/5/55/5/2022 17、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。
沪科版数学八年级下册课件16.2.1二次根式的乘除(1)
变 : 若（(32）)的条件为a 0,b 0呢?
(1) 6 7
(2) 1 32 2
解: (1) 6 7 6 7 42
(2)
1 2
32
1 32 2
16 4
思考：
（ 4）（ 9） 4 9对吗?
怎样化简（ 4）（ 9）呢？你有哪些方法？
思考： (4)(9) (4) (9) 成立吗？为什么？
2、 1 27 1 27 9 3
3
3
例2.化简： （1）16 81；（2） 4a2b3 ;
解 : (1) 1681 16 81
4 9 36
例2.化简： （1） 16 81；（2） 4a 2b3 ;
解：（2） 4a2b3 4 • a2 • b3
2•a • b2 •b
2a b2 b 2ab b
思考题 已知：
(99 x)(x 99) 99 x • x 99
求（x 1） x2 3x 2的值. x2 1
化简二次根式的步骤： 1.将被开方数尽可能分解成几个平方数.
2.应用 ab a b
3.将平方项应用 a2 a (a 0) 化简.
二次根式的定义:
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
二次根式的性质:
a 0, a 0（. 双重非负性）
2 a a(a 0) a (a≥ 0)
a2 =∣a∣ = -a (a≤0)
计算下列各式, 观察计算结果,你发现什么规律？
1、 4 × 9 =__6__ 4 9 __6___
2、 16 25 2__0_, 16 25 _2_0___
用你发现的规律填空,并用计算器验算
1、 2 3 _＝__ 6; 2、 2 5 _＝__ 10
一般地,对于二次根式的乘法规定:
(1) 6 7
(2) 1 32 2
解: (1) 6 7 6 7 42
(2)
1 2
32
1 32 2
16 4
思考：
（ 4）（ 9） 4 9对吗?
怎样化简（ 4）（ 9）呢？你有哪些方法？
思考： (4)(9) (4) (9) 成立吗？为什么？
2、 1 27 1 27 9 3
3
3
例2.化简： （1）16 81；（2） 4a2b3 ;
解 : (1) 1681 16 81
4 9 36
例2.化简： （1） 16 81；（2） 4a 2b3 ;
解：（2） 4a2b3 4 • a2 • b3
2•a • b2 •b
2a b2 b 2ab b
思考题 已知：
(99 x)(x 99) 99 x • x 99
求（x 1） x2 3x 2的值. x2 1
化简二次根式的步骤： 1.将被开方数尽可能分解成几个平方数.
2.应用 ab a b
3.将平方项应用 a2 a (a 0) 化简.
二次根式的定义:
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
二次根式的性质:
a 0, a 0（. 双重非负性）
2 a a(a 0) a (a≥ 0)
a2 =∣a∣ = -a (a≤0)
计算下列各式, 观察计算结果,你发现什么规律？
1、 4 × 9 =__6__ 4 9 __6___
2、 16 25 2__0_, 16 25 _2_0___
用你发现的规律填空,并用计算器验算
1、 2 3 _＝__ 6; 2、 2 5 _＝__ 10
一般地,对于二次根式的乘法规定:
八年级数学下册课件-16.2 二次根式的运算1-沪科版
(4) (9)
36 6
非 负
数
练习：
1.化简：
1 2 5
2 3 12
3 2 xy 1 4 288 1
x
72
2.化简:
（1） 49 121 （2） 225
（3） 4 y
（4） 16ab2c3
3.已知一个矩形的长和宽分别
是 10cm和2 2cm ，求这
个矩形的面积。
通过这节课的学习， 谈谈你的收获。
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, ≥a0 ( 双重非负性)
5.既可指开方运算,也可指运算的结果.
说一说:
例1、下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
1.求下列二次根式中字母的取值范围
x5 1 3 x
解： x 5 0 ① 3 x 0 ②
说明：二次根式被开方 数大于等于0，所以求二 次根式中字母的取值范
解得 5 x 3
围常转化为不等式(组)
2、已知 y x 7 7 x 9
求 ( xy 64)2 算术平方根。
题型2x:二次x4根,4式y的x2非x48负性y0的且0应2用x xyy0
(3) a2 a 0(a 0)
a(a 0)
注：若 a2 a则 a 0; 若 a2 a则 a ;0
例3、计算
(12)()(12 )2 6)2 23
计算： ( 10 8
(2) (5)2
化简下列各式:
(1) (5)2 ( 5)2 (2) m2 16m 64(m 8) (3) a2b2 (a 0,b 0)
沪科版八年级数学下册第1课时 二次根式的乘法课件
解： (1) 24 27
38 39
332 2 18 2.
(2) 6 ( 15)
615 2335 3 10.
(3) 18 20 75 ;
(4) 2 xy 1 1 ; 3x
解：(3) 18 20 75
2 9 4 5 3 25 3 22 5 5 3 30 30.
思考
(4) (9) (4) (9) 成立吗？为什么？
ab= a b a≥0，b≥0
非负数 (4)(9) 36 6.
随堂练习
1.化简 45= 5 9=3 5，同理可得 28 74 2 7 . 2.计算 12 8= 4 6 .
3.若直角三角形两条直角边的边长分别为 15 cm和
cm，那么此直角三角形的面积是 3 5 cm2 .
4.下列各式正确的是( D )
A. 25 9 5 9 45
B. (9)(4) 9 4
C. 72 242 7 24 31 D. 202 1225.化简或计算：
(1) 24 27 ; (2) 6 ( 15) ;
a b ab a≥0，b≥0
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
a、b 必须都是非负数！
例1 计算： （1） 6 27；
（2）3 5 2 10.
解 （1）6 27= 627= 2333
= 2 34 =9 2.
例1 计算： （1） 6 27；
（2）3 5 2 10.
解 （2）3 5 2 10= 3 5 2 10
= 6 510= 6 52 2
练一练 计算：
（1） 6 2；
（2）6 27 2 3 .
解
（2）6 27 2 3 =6 27 2 3
= 12 273= 12 33 3
沪科版八年级数学下册第16章-二次根式16.2.1 第1课时 二次根式的乘法课件
问题1 运用运载火箭发射航天行器时，火箭必须达
到一定的速度（第一宇宙速度），才能克服地球的
引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.第一宇宙
速度v与地球半径R之间存在如下关系：v12=gR，其 中g是重力加速度.请用含g，R的代数式表示出第一 宇宙速度v1. 第一宇宙速度v1可以表示为 gR .
问题2 飞行器脱离地心引力，进入围绕太阳运 行的轨道所需要的速度称为第二宇宙速度.第二宇 宙速度为v2= 2 v1，请结合问题1用含g，R的代数 式表示出第二宇宙速度v2.
3 3 2 3 6.
归纳 当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项 式乘单项式的法则计算，即 m a gn b mn ab a 0, b 0.
归纳总结
二次根式的乘法法则的推广： 多个二次根式相乘时此法则也适用，即
ag bg cg g n abc n a 0, b 0, c 0 n 0
试回顾如何计算3a2· 2a3= 例2 计算: 6a5 .
提示：可 类比上面 的计算哦
1 (2)4 27 3 . (1)2 5 3 7； 2 解:(1)2 5 3 7 2 3 5 7 =6 35.
1 1 (2)4 3 3 4 2 2
36 6 4 9 =_________;
400 20 =_________; 16 25 900 30 25 36 =_________.
观察两者有什么关系？
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4 9= 4 9；
(2) 16 25= 16 25； (3) 25 36= 25 36. 思考 你发现了什么规律？你能用字母表示你所 发现的规律吗？
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（1） 8 （ 2 ）＝ 4
（ 5 ）＝ 1（0 2）2 5
（3） a－1 •（ a－1）＝ a－1
（4）33
2＝
6
2.化简下列二次根式，使得分母中不含有根号：
（1）－8 3 （2）3 2
8
27
（3） 5a 10a
（4） 2 y 2 4xy
3.计算：
（1）－ 19 95
29 1 （－ 3 2 1）
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2a a
化简 25x3 y4
解：由二次根式的意义可知：
25x3 y4 0, y4 0, x 0.
25x3 y4 25 y4 x3
5y2 x x
5xy2 x
讨论
计算：
有什么发现？
(1) 4 2 ( 2) 4 2
93
93
(3) 16 4 ( 3) 16 4
(3) 27 27 3x 9 x 3 x 3x 3x 3x 3x x
在二次根式的运算中，一般要求 最后结果的分母中不含根式。
最简二次根式
1、被开方数不含分母； 2、被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式。 我们把满足上述两个条件的二次根 式，叫做最简二次根式。
二次根式的运算中，最后的结果中的二 次根式一般要写成最简二次根式的形式。
12 2 3
探究
把 a a 反过来，就可以得到: bb
a a （a≥0，b＞0） bb
利用它可以对二次根式进行化简.
例题讲解
化简: (1)
3 (2) 100
25 y 9x2
解: (1) 3 3 3 100 100 10
(2)
25 y 9x2
25 y
9x2
52 y 5 y
一般情况下，a≥0，b≥0时，a b 与 ab
有什么关系？
一般地，对于二次根式的乘法，有：
a b ab （a≥0，b≥0）
例题讲解
计算：
(1) 3 12 ( 2) x • x3
(3)2 ab • 3 b ( 4) 27 1
a
3
解：(1) 3 12 312 36 6
(2) x • x3 x • x3 x4 x2
课堂小结
1. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式.
2. 二次根式的除法有两种常用方法：
（1）利用公式：
；
（2）把除法先写成ba分式的ba (形a ≥式0， ，b再化0)简为最简二次
根式.
3. 在进行分母有理化之前，可以先把能化简的二次 根式化简，再考虑如何化去分母中的根号.
课堂知识反馈
1.在括号中填写适当的数或式子使等式成立。
32 x2 3x
计算：(1) 2 ( 2) 2 3 ( 3) 27
3
8
3x
解（1）解法一：
2 2 23 6 6 6 3 3 33 32 32 3 解法二：
2 2 3 6 6 3 3 3 ( 3)2 3
(2) 2 3 2 3 3 3 2 6 8 2 2 2 2 2 2
a a bb
a a（a≥0，b＞0） bb
最简二次根式。
巩固练习
1、化简：
(1) 24 (2) 9125 (3) 32 42
(4) 29 2 212 (5) 4a2b3c
(6)
4 4 (7) 9
a2b 8c 2
2、计算：
(1) 7 3 14 3 2 1 15 2 2
(2) ab3 (3 b ) (3 2a ) 2a
探究
下列根式中，哪些是最简二次根式？
12a , 18, x2 9, 5x3 y , 27abc,
×× √
××
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
练习
把下列各式化简：（1）－4 2 ；
解：
37
（2）
2a a＋b
；
（3） 3
2 40
.
（1）－4 2 ＝－4 2 7 ＝－4 14 ；
48
24
计算： 30 3 2 2 2 2 1
23
2
解 : 原式 3 30 8 2 5
2
32
二次根 式的混合
( 3 2)( 10 8 5 )
2
2
运算，从 左向右依 次计算。
( 3 1 )( 10 8 2 ) 3 4 2 3 2
22
54
梳理
a b ab ab a b（a≥0，b≥0）
25 5
25 5
根据你发现的规律填空：
(1)
2 3
=
2 3
(2)
5 7
= 75
一般地，对二次根式的除法，有：
a
a
（a≥0,b＞0）
bb
例题讲解Βιβλιοθήκη 计算：(1) 24 ( 2) 2 1
3
3 18
解: (1) 24 24 8 2 2
3
3
(2) 2 1 2 1 2 18 3 18 3 18 3
37
3 7 7
21
（2） 2a ＝ 2a a＋b ＝ 2a a＋b
a＋b
a＋b a＋b
a＋b
（3） 2 ＝
2 ＝ 2 10 ＝ 20 ＝ 2 5 ＝ 5
3 40 3 2 10 6 10 10 60 60 30
注意：要进行根式化简，关键是要搞清楚分式的分子和分 母都乘什么，有时还要先对分母进行化简。
这个结果能否化简？如何化简？
讨论
计算: (1) 4 25 1 0 ( 2) 4 25 10
(3) 9 1 3 ( 4) 9 1 3
42
42
你发现了什么？用你发现的规律填空：
(1) 2 3 = ６
(2) 5 7 = 35
探究
(4)(9) 4 9成立吗？
不成立！
4、 9没 有 意 义 。
解： (1)5 12 4 27 (5 4) 12 27 20 4 3 3 9
20 (2 3 3)2 2018 360
解： (2) 6 15 10 6 15 10 233552
(235)2 302 30
探究
把
a b ab
反过来，就可以
得到:
ab a b（a≥0，b≥0）
利用它可以对二次根式进行化简.
例题讲解
化简:
(1) 12 (2) 27 15
(3) 4a3
化简二次根式，就要把被开方数 中的平方数（或平方式）从根号里 开出来。
解: (1) 12 43 22 3 2 3 (2) 27 15 9 3 3 5
92 5 9 5
(3) 4a3 22 a2 a
(3)2 ab • 3 b (2 3) ab • b 6 b2 6b
a
a
(4) 27 1 27 1 9 3
3
3
分析
二次根式的乘法：根式和根式按公 式相乘。
m a n b mn ab
（a≥0，b≥0）
根号外的系数与系数相乘，积 为结果的系数。
练习
计算：
(1)5 12 4 27 (2) 6 15 10
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复习回顾
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2.
( a )2 a（a≥0）
a2 a a (a≥0)
-a (a＜0)
1、一个长方形的长为6cm，宽为 3cm， 这 个 长 方 形 的 面 积 是 多少 ？ 解:长方形的面积为 6 3