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2013真题数二答案

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、设cos 1sin ()x x x α-=⋅，()2x πα<，当0x →时，()x α（）（A ）比x 高阶的无穷小（B ）比x 低阶的无穷小（C ）与x 同阶但不等价的无穷小（D ）与x 是等价无穷小【答案】（C ）【考点】同阶无穷小【难易度】★★【详解】解析：cos 1sin ()x x x α-=⋅Q ，21cos 12x x --: 21sin ()2x x x α∴⋅-:，即1sin ()2x x α-:∴当0x →时，()0x α→，sin ()()x x αα:1()2x x α∴-:，即()x α与x 同阶但不等价的无穷小，故选（C ）.2、已知()y f x =由方程cos()ln 1xy y x -+=确定，则2lim [()1]n n f n→∞-=（）（A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2 【答案】（A ）【考点】导数的概念；隐函数的导数【难易度】★★【详解】解析：当0x =时，1y =.002()12(2)1(2)(0)lim [()1]lim lim 2lim 2(0)12n n x x f f x f x f n n f f n x xn→∞→∞→→---'-==== 方程cos()ln 1xy y x -+=两边同时对x 求导，得1sin()()10xy y xy y y''-++⋅-= 将0x =，1y =代入计算，得 (0)(0)1y f ''== 所以，2lim [()1]2n n f n→∞-=，选（A ）.3、设sin [0,)()2[,2]x f x πππ⎧=⎨⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（）（A ）x π=为()F x 的跳跃间断点（B ）x π=为()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续不可导（D ）()F x 在x π=处可导【答案】（C ）【考点】初等函数的连续性；导数的概念【难易度】★★【详解】解析：202(0)sin sin sin 2F tdt tdt tdt πππππ-==+=⎰⎰⎰Q ，(0)2F π+=，(0)(0)F F ππ∴-=+，()F x 在x π=处连续.()()()lim 0xx f t dt f t dtF x ππππ--→-'==-⎰⎰Q ，0()()()lim 2xx f t dt f t dtF x ππππ++→-'==-⎰⎰，()()F F ππ-+''≠，故()F x 在x π=处不可导.选（C ）.4、设函数1111(1)()1ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪=⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<<【答案】（D ）【考点】无穷限的反常积分【难易度】★★★ 【详解】解析：11()()()e ef x dx f x dx f x dx +∞+∞=+⎰⎰⎰由1()f x dx +∞⎰收敛可知，1()ef x dx ⎰与()ef x dx +∞⎰均收敛.1111()(1)eef x dx dx x α-=-⎰⎰，1x =是瑕点，因为111(1)e dx x α--⎰收敛，所以112αα-<⇒< 111()(ln )ln eeef x dx dx x x x ααα+∞+∞+∞-+==-⎰⎰，要使其收敛，则0α>所以，02α<<，选D.5、设()yz f xy x=，其中函数f 可微，则x z z y x y ∂∂+=∂∂（）（A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- 【答案】（A ）【考点】多元函数的偏导数【难易度】★★【详解】解析：22()()z y y f xy f xy x x x ∂'=-+∂，1()()z f xy yf xy y x ∂'=+∂ 221[()()][()()]x z z x y y f xy f xy f xy yf xy y x y y x x x∂∂''∴+=-+++∂∂ 11()()()()2()f xy yf xy f xy yf xy yf xy x x'''=-+++=，故选（A ）.6、设k D 是圆域{}22(,)1D x y x y =+≤位于第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > 【答案】（B ）【考点】二重积分的性质；二重积分的计算【难易度】★★【详解】解析：根据对称性可知，130I I ==.22()0D I y x dxdy =->⎰⎰（Q 0y x ->），44()0D I y x dxdy =-<⎰⎰（Q 0y x -<）因此，选B.7、设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则（）（A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价（B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价（C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价（D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价【答案】（B ）【考点】等价向量组【难易度】★★【详解】解析：将矩阵A 、C 按列分块，1(,,)n A αα=L ，1(,,)n C γγ=L由于AB C =，故111111(,,)(,,)n n n n nn b b b b ααγγ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭L L M M L L 即1111111,,n n n n nn n b b b b γααγαα=++=++L L L 即C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示.由于B 可逆，故1A CB -=，A 的列向量组可由C 的列向量组线性表示，故选（B ）.8、矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件是（）（A ）0,2a b == （B ）0,a b =为任意常数（C ）2,0a b == （D ）2,a b = 为任意常数【答案】（B ）【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件【难易度】★★【详解】解析：题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值.由20000000b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭的特征值为2，b ，0可知，矩阵1111a A a b a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值也是2，b ，0.因此，22111122022401120a a E A ab a b a a a aa-----=---=---=-=---0a ⇒= 将0a =代入可知，矩阵10100101A b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值为2，b ，0.此时，两矩阵相似，与b 的取值无关，故选（B ）.二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、10ln(1)lim(2)x x x x→+-= . 【答案】12e【考点】两个重要极限【难易度】★★ 【详解】解析：011ln(1)1ln(1)1ln(1)1ln(1)1(1)(1)lim (1)000ln(1)ln(1)lim(2)lim[1(1)]lim x x x x x xx x xx xxxx x x x x eex x→++++-⋅-⋅-⋅-→→→++-=+-==其中，20000111ln(1)ln(1)11lim(1)lim lim lim 22(1)2x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-+-++⋅-====+故原式=12e10、设函数()xf x -=⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== .【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数【难易度】★★【详解】解析：由题意可知，(1)0f -=1()y x dy dx dx dxf x dx dy dy dy==-'==⇒=⇒==.11、设封闭曲线L 的极坐标方程方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围平面图形的面积是 . 【答案】12π 【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积【难易度】★★ 【详解】解析：面积622666000611cos 61sin 6()cos 3()222612S r d d d πππππθθπθθθθθθ-+====+=⎰⎰⎰12、曲线arctan ,ln x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩1t =点处的法线方程为 .【答案】ln 204y x π+--=【考点】由参数方程所确定的函数的导数【难易度】★★★【详解】解析：由题意可知，12//1dy dy dt t dx dx dtt-===+，故11t dy dx ==曲线对应于1t =点处的法线斜率为111k -==-. 当1t =时，4x π=，ln 2y =.法线方程为ln 2()4y x π-=--，即ln 204y x π+--=.13、已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23xy xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件00x y ==，01x y ='=的解为y = . 【答案】32xx x y ee xe =--【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程【难易度】★★【详解】解析：312x xy y e e -=-，23x y y e -=是对应齐次微分方程的解.由分析知，*2xy xe =-是非齐次微分方程的特解. 故原方程的通解为3212()xx x x y C ee C e xe =-+-，12,C C 为任意常数.由00x y ==，01x y ='=可得 11C =，20C =. 通解为32xx x y ee xe =--.14、设()ij A a =是3阶非零矩阵，A 为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若0(,1,2,3)ij ij a A i j +==，则A = .【答案】-1【考点】伴随矩阵【难易度】★★★【详解】解析：**0T Tij ij ij ij a A A a A A AA AA A E +=⇒=-⇒=-⇒=-= 等式两边取行列式得230A A A -=⇒=或1A =- 当0A =时，00TAA A -=⇒=（与已知矛盾）所以1A =-.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）当0x →时，1cos cos2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 和a 的值. 【考点】等价无穷小；洛必达法则【难易度】★★★【详解】解析：00cos6cos 4cos 2111cos cos 2cos34lim lim n n x x x x x x x x ax ax→→+++--⋅⋅= 1003cos6cos 4cos 26sin 64sin 42sin 2lim lim 44n n x x x x x x x xax anx-→→---++== 2036cos 616cos 44cos 2lim4(1)n x x x xan n x -→++=-故20n -=，即2n =时，上式极限存在. 当2n =时，由题意得001cos cos 2cos336cos616cos 44cos 236164limlim 188n x x x x x x x x ax a a→→-⋅⋅++++==== 7a ⇒= 2,7n a ∴==16、（本题满分10分）设D 是由曲线13y x =，直线x a =(0)a >及x 轴所围成的平面图形，x V ，y V 分别是D 绕x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若10y x V V =，求a 的值. 【考点】旋转体的体积【难易度】★★【详解】解析：根据题意，15523330033()55a ax V x dx xa πππ===⎰ 177333066277aay V x x dx x a πππ=⋅==⎰.因10y x V V =，故7533631075a a a ππ=⨯⇒=17、（本题满分10分）设平面区域D 由直线3x y =，3y x =，8x y +=围成，求2Dx dxdy ⎰⎰【考点】利用直角坐标计算二重积分【难易度】★★【详解】解析：根据题意 3286y x x x y y ==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，16328x y x y x y ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎩故2368222233xxx xDx dxdy dx x dy dx x dy -=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰264340228132416()12833333x x x =+-=+=18、（本题满分10分）设奇函数()f x 在[1,1]-上具有二阶导数，且(1)1f =，证明：（Ⅰ）存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξ'=；（Ⅱ）存在(1,1)η∈-，使得()()1f f ηη'''+=. 【考点】罗尔定理【难易度】★★★【详解】解析：（Ⅰ）由于()f x 在[1,1]-上为奇函数，故(0)0f =令()()F x f x x =-，则()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且(1)(1)10F f =-=，(0)(0)00F f =-=.由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈，使得()0F ξ'=，即()1f ξ'=.（Ⅱ）考虑()()1(()())(())xxxxf x f x e f x f x e e f x e ''''''''+=⇔+=⇔=[()]0x x e f x e ''⇔-=令()()xxg x e f x e '=-，由于()f x 是奇函数，所以()f x '是偶函数，由（Ⅰ）的结论可知，()()1f f ξξ''=-=，()()0g g ξξ⇒=-=.由罗尔定理可知，存在(1,1)η∈-，使得()0g η'=，即()()1f f ηη'''+=.19、（本题满分10分）求曲线331(0,0)x xy y x y -+=≥≥上的点到坐标原点的最长距离和最短距离. 【考点】拉格朗日乘数法【难易度】★★★【详解】解析：设(,)M x y为曲线上一点，该点到坐标原点的距离为d =构造拉格朗日函数 2233(1)F x y x xy y λ=++-+-由22332(3)02(3)010x y F x x y F y y x F x xy y λλλ'⎧=+-=⎪'=+-=⎨⎪'=-+-=⎩ 得 11x y =⎧⎨=⎩点(1,1)到原点的距离为d ==，然后考虑边界点，即(1,0)，(0,1)，它们到原点的距离都是1.，最短距离为1. 20、（本题满分11分）设函数1()ln f x x x=+（Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）设数列{}n x 满足11ln 1n n x x ++<，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.【考点】函数的极值；单调有界准则【难易度】★★★【详解】解析：（Ⅰ）由题意，1()ln f x x x =+，0x >22111()x f x x x x-'⇒=-= 令()0f x '=，得唯一驻点1x =当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>.所以1x =是()f x 的极小值点，即最小值点，最小值为(1)1f =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知1ln 1n n x x +≥，又由已知11ln 1n n x x ++<，可知111n n x x +>，即1n n x x +> 故数列{}n x 单调递增.又由11ln 1n n x x ++<，故ln 10n n x x e <⇒<<，所以数列{}n x 有上界. 所以lim n n x →∞存在，设为A.在11ln 1n n x x ++<两边取极限得 1ln 1A A +≤ 在1ln 1n n x x +≥两边取极限得 1ln 1A A+≥ 所以1ln 11A A A+=⇒=即lim 1n n x →∞=.21、（本题满分11分）设曲线L 的方程为211ln (1)42y x x x e =-≤≤满足（Ⅰ）求L 的弧长；（Ⅱ）设D 是由曲线L ，直线1x =，x e =及x 轴所围平面图形，求D 的形心的横坐标. 【考点】定积分的几何应用—平面曲线的弧长；定积分的物理应用—形心【难易度】★★★ 【详解】解析：（Ⅰ）设弧长为S ，由弧长的计算公式，得1111S ====⎰⎰⎰⎰221111111()(ln )22424eee x dx x x x +=+=+=⎰ （Ⅱ）由形心的计算公式，得22111ln 242100111ln 24210011(ln )4211(ln )42ex x D ex x D xdxdyx x x dx dx xdy x dxdy x x dx dx dy ---===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 422423311111()3(23)16164221114(7)12122e e e e e e e ---+--==---. 22、（本题满分11分）设110a A ⎛⎫=⎪⎝⎭，011B b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当,a b 为何值时，存在矩阵C 使得AC CA B -=，并求所有矩阵C.【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件【难易度】★★★【详解】解析：由题意可知矩阵C 为2阶矩阵，故可设1234x x C x x ⎛⎫=⎪⎝⎭.由AC CA B -=可得 12123434101011011x x x x a x x x x b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 整理后可得方程组2312413423011x ax ax a ax x x x x ax b-+=⎧⎪-++=⎪⎨--=⎪⎪-=⎩ ① 由于矩阵C 存在，故方程组①有解.对①的增广矩阵进行初等行变换：01001011110111101010001001011101010000101000a a a a aa a a ab b b -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪---++⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组有解，故10a +=，0b =，即1a =-，0b =.当1a =-，0b =时，增广矩阵变为10111011000000000000--⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭34,x x 为自由变量，令341,0x x ==，代入相应齐次方程组，得211,1x x =-=令340,1x x ==，代入相应齐次方程组，得210,1x x ==故1(1,1,1,0)T ξ=-，2(1,0,0,1)T ξ=，令340,0x x ==，得特解(1,0,0,0)Tη= 方程组的通解为112212112(1,,,)Tx k k k k k k k ξξη=++=++-（12,k k 为任意常数）所以121121k k k C k k ++-⎛⎫=⎪⎝⎭.23、（本题满分11分）设二次型2123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记123a a a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123b b b β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅰ）证明二次型f 对应的矩阵为2T Tααββ+；（Ⅱ）若,αβ正交且均为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为22122y y +【考点】二次型的矩阵表示；用正交变换化二次型为标准形；矩阵的秩【难易度】★★★ 【详解】解析：（Ⅰ）证明：2123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++1111123212321232123233332(,,)(,,)(,,)(,,)a x b x x x x a a a a x x x x b b b b x a x b x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭112323(,,)(2)T T T x x x x x x Ax x ααββ⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭，其中2T T A ααββ=+所以二次型f 对应的矩阵为2TTααββ+. （Ⅱ）由于,αβ正交，故0TT αβαβ== 因,αβ均为单位向量，故1α==，即1T αα=.同理1T ββ=2(2)22T T T T T T A A ααββαααββααααββαα=+⇒=+=+=由于0α≠，故A 有特征值12λ=.(2)T T A βααββββ=+=，由于0β≠，故A 有特征值21λ=又因为()(2)(2)()()()1123T T T T T Tr A r r r r r ααββααββααββ=+≤+=+=+=<，所以0A =，故30λ=.三阶矩阵A 的特征值为2，1，0.因此，f 在正交变换下的标准形为22122y y +.。

2023年考研数学二真题及答案-完整版

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2023年考研数学二真题及答案一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1. 1ln(e )1y x x =+- 的斜渐近线为( ) A.e y x =+ B.1e y x =+ C.y x = D.1ey x =- 【答案】B.【解析】由已知1ln e 1y x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，则 1limlim ln e ln e 11x x y x x →∞→∞⎛⎫=+== ⎪-⎝⎭， 11lim lim ln e lim ln e 111x x x y x x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 1lim ln e ln e 1x x x →∞⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦ 1lim ln 1e(1)x x x →∞⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦1lime(1)ex x x →∞==-，所以斜渐近线为1ey x =+.故选B. 2.函数0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的一个原函数为（）.A．)ln ,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B．)ln 1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C．)ln ,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D．)ln 1,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩【答案】D.【解析】由已知0lim ()lim ()(0)1x x f x f x f +-→→===，即()f x 连续. 所以()F x 在0x =处连续且可导，排除A ，C.又0x >时，[(1)cos sin ]cos (1)sin cos (1)sin x x x x x x x x x '+-=-+-=-+，排除B.故选D.3.设数列{},{}n n x y 满足111111,sin ,22n n n n x y x x y y ++====,当n →∞时( ). A.n x 是n y 的高阶无穷小 B.n y 是n x 的高阶无穷小 C.n x 是n y 的等价无穷小D.n x 是n y 的同阶但非等价无穷小【答案】B. 【解析】在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭中，2sin x x π>，从而12sin n n n x x x π+=>.又112n n y y +=，从而 1111122444n nn n nn n n y y y y x x x x ππππ++⎛⎫⎛⎫<=<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，所以11lim0n n n y x +→∞+=.故选B. 4. 若0y ay by '''++=的通解在(,)-∞+∞上有界，这（）.A.0,0a b <>B.0,0a b >>C.0,0a b =<D.0,0a b =>【答案】D【解析】微分方程0y ay by '''++=的特征方程为20r ar b ++=.①若240a b -<，则通解为212()e(cos sin )22a x y x C x C x -=+；②若240a b ->，则通解为2212()eea a x x y x C C ⎛⎛ -- ⎝⎭⎝⎭=+；③若240a b -=，则通解为212()()e a x y x C C x -=+.由于()y x 在(,)-∞+∞上有界，若02a ->，则①②③中x →+∞时通解无界，若02a-<，则①②③中x →-∞时通解无界，故0a =.0a =时，若0b > ，则1,2r =，通解为12()()y x C C =+，在(,)-∞+∞上有界.0a =时，若0b <，则1,2r =12()e y x C C =+，在(,)-∞+∞上无界.综上可得0a =，0b >.故选D.5. 设函数()y f x =由参数方程2||||sin x t t y t t =+⎧⎨=⎩确定，则( ).A.()f x 连续，(0)f '不存在B.(0)f '存在，()f x '在0x =处不连续C.()f x '连续，(0)f ''不存在D.(0)f ''存在，()f x ''在0x =处不连续【答案】C【解析】0lim lim ||sin 0(0)x t y t t y →→===，故()f x 在0x =连续.0()(0)||sin (0)limlim 02||x t f x f t tf x t t →→-'===+. sin cos ,03()()00()sin cos 0t t tt y t f x t x t t t t t +⎧>⎪⎪''===⎨'⎪--<⎪⎩0t =时，0x =；0t >时，0x >；0t <时，0x <，故()f x '在0x =连续.00sin cos 0()(0)23(0)lim lim 39x t t t tf x f f x t +++→→+-''-''===, 00()(0)sin cos 0(0)lim lim 2x t f x f t t t f x t---→→''----''===-,故(0)f ''不存在.故选C.6. 若函数121()(ln )αα+∞+=⎰f dx x x 在0=αα处取得最小值，则0=α( ) A.1ln(ln 2)-B.ln(ln 2)-C.1ln 2- D.ln 2【答案】A. 【解析】已知112221d(ln )111()d (ln )(ln )(ln )(ln 2)a a a ax f a x x x x x aa +∞+∞+∞-++===-=⎰⎰，则 2111ln ln 2111()ln ln 2(ln 2)(ln 2)(ln 2)a a af a a a a a ⎛⎫'=--=-+ ⎪⎝⎭，令()0f a '=，解得01.ln ln 2a =-故选A.7.设函数2()()e x f x x a =+.若()f x 没有极值点,但曲线()y f x =有拐点,则a 的取值范围是( ). A.[0,1)B.[1,)+∞C.[1,2)D. [2,)+∞【答案】C.【解析】由于()f x 没有极值点,但曲线()y f x =有拐点，则2()(2)e x f x x x a '=++有两个相等的实根或者没有实根，2()(42)e x f x x x a ''=+++有两个不相等的实根.于是知440,164(2)0,a a -≤⎧⎨-+>⎩解得12a ≤<.故选C. 8. ,A B 为可逆矩阵，E 为单位阵，*M 为M 的伴随矩阵，则*⎛⎫= ⎪⎝⎭A E O BA.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B B A O B AB.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A A B O A B C.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A B A O A BD.****|||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B A B O B |A【答案】B 【解析】由于*||||||||⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E A E E O AB O O B O B O B O E O A B ，故*1||||||||-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E A B O O B O B OA B1111||||||||----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B O A A B O A B O B 1111||||||||||||----⎛⎫-= ⎪⎝⎭A A B A A B B O B A B ****||||⎛⎫-= ⎪⎝⎭A B A B OB A . 故选B. 9.222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--的规范形为A.2212y y +B.2212y y -C.2221234y y y +-D.222123y y y +-【答案】B 【解析】222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--222123121323233228x x x x x x x x x =--+++，二次型的矩阵为211134143⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，211210||134(7)131143141λλλλλλλ---=--=+-----A E210(7)210(7)(3)0141λλλλλλ-=+-=-+-=-， 1233,7,0λλλ==-=，故规范形为2212y y -，故选B.10.已知向量组121212212,1,5,03191⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ ，若γ 既可由12,αα 线性表示，又可由12,ββ线性表示，则=γ( )A.33,4k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭B.35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭C.11,2k k R -⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭D.15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设11223142k k k k =+=+γααββ，则11223142k k k k +--=0ααββ，对关于1234,,,k k k k 的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形，121212211003(,,,)2150010131910011--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ααββ，解得T T T T1234(,,,)(3,1,1,1)(3,1,1,0)(33,1,1,)k k k k C C C C C =--+-=--+-，故=γ11221211(33)(1)5(1)5,8(1)8C k k C C C k k R C -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=-+-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αααα.故选D.二、填空题：11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上. 11．当0x →时，2()ln(1)f x ax bx x =+++与2()e cos x g x x =-是等价无穷小，则ab =________.【答案】2-【解析】由题意可知，2200()ln(1)1lim lim ()e cos x x x f x ax bx x g x x →→+++==-222022221()2lim 11+()[1()]2x ax bx x x o x x o x x o x →++-+=+--+ 220221(1)()()2lim 3()2x a x b x o x x o x →++-+=+，于是1310,22a b +=-=，即1,2a b =-=，从而2ab =-. 12.曲线y =⎰的孤长为_________.【答案】43π【解析】曲线y =⎰的孤长为x x ==2= 2sin 233022cos d2sin 8cos d x tt t t t ππ==⎰⎰31cos 282tdt π+=⎰ 3014sin 22t t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭43π=+13. 设函数(,)z z x y =由方程e 2zxz x y +=-确定，则22(1,1)xz∂=∂_________.【答案】32-【解析】将点(1,1)带入原方程，得0z =. 方程e 2z xz x y +=-两边对x 求偏导，得e2zz zz x x x∂∂++=∂∂，两边再对x 求偏导，得22222e e 20zz z z z z x x x x x ∂∂∂∂⎛⎫+++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭，将1,1,0x y z ===代入以上两式，得(1,1)1z x ∂=∂，22(1,1)32xz∂=-∂.14. 曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为_________. 【答案】119-【解析】当1x =时，1y =.方程35332x y y =+两边对x 求导，得2429(56)x y y y '=+，将1x =，1y =代入，得9(1)11y '=.于是曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为119-. 15. 设连续函数()f x 满足(2)()f x f x x +-=，20()d 0f x x =⎰，则31()d f x x =⎰_________.【答案】12【解析】3323121111()d ()d ()d ()d ()d ()d f x x f x x f x x f x x f x x f x x =-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰312()d ()d f x x f x x=-⎰⎰111201(2)d ()d d 2x tf t t f x x x x -=+-==⎰⎰⎰. 16. 13123123121,0,20,2ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩ 有解，其中,a b 为常数，若0111412a a a = ，则11120a a ab =________. 【答案】8【解析】方程组有解，则0111101110||12211012001202a a a a a a a ab aa b ==-+=A ，故111280a a ab =.三、解答题：17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）设曲线):(e ()L y y x x =>经过点2(e ,0)，L 上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距，(Ⅰ)求()y x ；(Ⅱ)在L 上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积. 【解】(Ⅰ)曲线L 在点(,)P x y 处的切线方程为()()Y y y x X x '-=-，令0X =，则切线在y 轴上的截距为()Y y xy x '=-，则()x y xy x '=-，即11y y x'-=-，解得()(ln )y x x C x =-，其中C 为任意常数.又2(e )0y =，则2C =，故()(2ln )y x x x =-.(Ⅱ)设曲线L 在点(,(2ln ))x x x -处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程为(2ln )(1ln )()Y x x x X x --=--.令0Y =，则ln 1xX x =-；令0X =，则Y x =.故切线与两坐标轴所围三角形面积为211()22ln 12(ln 1)x x S x XY x x x ==⋅⋅=--，则2(2ln 3)()2(ln 1)x x S x x -'=-.令()0S x '=，得驻点32e x =. 当32e e x <<时，()0S x '<；当32e x >时，()0S x '>，故()S x 在32e x =处取得极小值，同时也取最小值，且最小值为332(e )e S =.18.（本题满分12分）求函数2cos (,)e2yx f x y x =+的极值. 【解】由已知条件，有cos (,)e y x f x y x '=+，cos (,)e (sin )y y f x y x y '=-.令(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==，解得驻点为1,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中k 为奇数；(e,)k π-，其中k 为偶数.(,)1xxf x y ''=，cos (,)e (sin )y xy f x y y ''=-，cos 2cos (,)e sin e cos y y yy f x y x y x y ''=-. 在点1,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭处，其中k 为奇数，1,1e xx A f k π⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，1,0e xy B f k π⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，21,e e yy C f k π-⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，由于20AC B -<，故1,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是极值点，其中k 为奇数.在点(e,)k π-处，其中k 为偶数，(e,)1xxA f k π''=-=，(e,)0xyB f k π''=-=，2(e,)e yyC f k π-''=-=，由于20AC B ->，且0A >，故(e,)k π-为极小值点，其中k 为偶数，且极小值为2e (e,)2f k π-=-.19.（本题满分12分）已知平面区域(,)|01D x y y x ⎧⎫=≤≤≥⎨⎬⎩⎭，（1）求平面区域D 的面积S .(2)求平面区域D 绕x 一周所形成的旋转体的体积.【解】(1)222144sec 1d d tan sec sin t S x t t t t tππππ+∞===⎰⎰⎰222244sin 1d d cos sin 1cos t t t t tππππ==--⎰⎰241cos 11ln2cos 12t t ππ-==+. (2) 222211111d d 1(1)14V x x x x x x ππππ+∞+∞⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰.20.（本题满分12分）设平面区域D 位于第一象限，由曲线221x y xy +-=，222x y xy +-=与直线,0y y ==围成，计算221d d 3Dx y x y +⎰⎰.【解】221d d 3Dx y x y +⎰⎰30d d πθρ=⎰32201d sin 3cos πθρθθ=+⎰322011ln 2d 2sin 3cos πθθθ=+⎰ 32011ln 2d tan 2tan 3πθθ=+⎰==.21.（本题满分12分）设函数()f x在[,]a a-上有二阶连续导数.（1）证明：若(0)0f=，存在(,)a aξ∈-，使得21()[()()]f f a f aaξ''=+-；（2）若()f x在(,)a a-上存在极值，证明：存在(,)a aη∈-，使得21|()||()()|2f f a f aaη''≥--.【证明】(1)将()f x在x=处展开为22()()()(0)(0)(0)2!2!f x f xf x f f x f xδδ''''''=++=+，其中δ介于0与x之间.分别令x a=-和x a=，则21()()(0)()2!f af a f aξ'''-=-+，1aξ-<<，22()()(0)()2!f af a f aξ'''=+，20aξ<<，两式相加可得212()()()()2f ff a f a aξξ''''+-+=，又函数()f x在[,]a a-上有二阶连续导数，由介值定理知存在ξ∈12[,](,)a aξξ⊂-，使得12()()()2f ffξξξ''''+=，即21()[()()]f f a f aaξ=-+.(2)设()f x在x处取得极值，则()0f x'=.将()f x在x处展开为22000000()()()() ()()()()()2!2!f x x f x xf x f x f x x x f xδδ''''--'=+-+=+，其中δ介于0x与x之间.分别令x a =-和x a =，则2100()()()()2!f a x f a f x η''+-=+，10a x η-<<， 2200()()()()2!f a x f a f x η''-=+，02x a η<<，两式相减可得222010()()()()()()22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-，所以222010()()()()|()()|22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-221020|()|()|()|()22f a x f a x ηη''''+-≤+220012|()|[()()](|()|max(|()|,|()|))2f a x a x f f f ηηηη''''''''≤++-= 2200|()|[()()]2|()|2f a x a x a f ηη''''≤++-=，即21|()||()()|2f f a f a aη''≥--.22.（本题满分12分）设矩阵A 满足对任意的123,,x x x 均有112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A .(1)求A(2)求可逆矩阵P 与对角阵Λ，使得1-=P AP Λ.【解】(1)由112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ，得112233*********x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，即方程组123111211011x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦0A 对任意的123,,x x x 均成立，故111211011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A . (2)111101||211(2)20011011λλλλλλλλ---=--=+-----A E ,(2)(2)(1)0λλλ=-+-+=,特征值为1232,2,1λλλ=-==-.3111002211011011000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,1011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α;1111042231013013000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E ,2431⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α;211201************⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,3102-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,令123041(,,)130112-⎛⎫⎪==- ⎪⎪⎝⎭P ααα ，则1200020001--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭P AP Λ.。

考研各科目示范答题卡考研数学(二)模拟卷--答题纸

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姓名 __________ __
招生单位______________
招生单位代码 _____________
准考证号_________________
××××××××××××××××××××××××××密封线内不要答题××××××××××××××××××××××× ×××××
考研数学二模拟卷数学答题纸三解答题15一选择题二填空题号证19考准210311412题513答码代要614位单不生7招内线8封密位单生招名姓12第页共8页第页共8页16181734第页共8页第页共8页19号证考准题答码21代要位单不生招内线封密20位单生招名姓56第页共8页第页共8页222378第页共8页第页共8页
二、填空题（9）_________ （10）_________ （11）_________ （12）_________ （13）__________ （14）__________
三、解答题 (15)
招生单位代码 _____________
招生单位______________
姓名 __________ __
××××××××××××××××××××××××××密封线内不要答题××××××××××××××××××××××××× ×××
准考证号_________________
考研数学（二）模拟卷
数学Ⅱ 答题纸
一、选择题（1）_________ （2）_________ （3）_________ （4）_________ （5）_________ （6）_________ （7）_________ （8）_________

考研数学二真题及解析

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1））若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则（） (A)12ab =(B)12ab =-(C)0ab = (D)2ab =【答案】A【解析】001112lim lim ,()2x x xf x ax ax a ++→→-==Q 在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A. （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（）【答案】B【解析】()f x 为偶函数时满足题设条件，此时011()()f x dx f x dx -=⎰⎰，排除C,D.取2()21f x x =-满足条件，则()112112()2103f x dx x dx --=-=-<⎰⎰，选B. （3）设数列{}n x 收敛，则（）()A 当limsin 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞=()B当lim(0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞=()C 当2lim()0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=()D 当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=【答案】D【解析】特值法：（A ）取n x π=，有limsin 0,lim n n n n x x π→∞→∞==，A 错；取1n x =-，排除B,C.所以选D. （4）微分方程的特解可设为（A ）22(cos 2sin 2)x x Ae e B x C x ++（B ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ （C ）22(cos 2sin 2)x x Ae xe B x C x ++（D ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ 【答案】A【解析】特征方程为：21,248022i λλλ-+=⇒=±故特解为：***2212(cos 2sin 2),x x y y y Ae xe B x C x =+=++选C. （5）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,0f x y f x y x y∂∂>>∂∂，则（A ）(0,0)(1,1)f f >（B ）(0,0)(1,1)f f <（C ）(0,1)(1,0)f f >（D ）(0,1)(1,0)f f < 【答案】C 【解析】(,)(,)0,0,(,)f x y f x y f x y x y∂∂><⇒∂∂是关于x 的单调递增函数，是关于y 的单调递减函数，所以有(0,1)(1,1)(1,0)f f f <<，故答案选D.（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（）（A ）010t =（B ）01520t <<（C ）025t =（D ）025t >【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为0120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得1012P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则123(,,)A ααα=（）（A ）12αα+（B ）232αα+（C ）23αα+（D ）122αα+ 【答案】B【解析】11231232300011(,,)(,,)12222P AP AP P A αααααααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⇒=⇒==+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,因此B 正确。

考研真题《数学二》2023年考试真题与参考答案

考研真题：2023年《数学二》考试真题与参考答案一、选择题1〜10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1-*="+［）的斜渐近线为（）A.》=x+e Q.y=x-\~-,eC J=x D.*=x-L.e答案：B"+L],则答案解析：由已知y^xlnhm—=hmm e+ X X-k —]=lne=l, x-ljlimy-x=lim xln|e+^—XToo XToo =lim x In X—00=lim x InX—00fe+^-lne=lim x In1+ 'Too1e(x-l)_X=lim」l1e(x-1)e所以斜渐近线为—4.故选B.,102.函数/(%)=UW的一个原函数为()・|^(x+l)cosx,x>0A.心=^/1+x2-x)x<0 (x+l)cosx-sin x,x>0 InB.心=In^/1+x2-x^-l,x<0 (x+l)cosx-sinx,x>0C.心=In+必_x)(x+l)sinx+cosx9x>0x<0D.心=In^/1+x2+1,x V0 (x+l)sinx+cosx,x>0答案：D答案解析：由已知lim/(x)=lim/(x)=/(O)=l,即/(x)连续.x—>0+xt O所以歹⑴在x=O处连续且可导，排除A, C.又x>0时，[(x+l)cosx-sinx]r=cosx-(x+l)sinx-cosx=-(x+l)sinx,排除B.故选D.3.设数列{》〃},{*〃}满足,^n+i=sin x n,y n+i=—y n,当〃t oo时().A.x〃是灯的高阶无穷小B.儿是％的高阶无穷小C・x〃是儿的等价无穷小 D.x〃是儿的同阶但非等价无穷小答案：B答案解析：在［yl中，sinx>—x,从而Xk2J71n+12=sin%>f.又片+i7112儿从而1以+i<，以=兀以<.£匕4%71所以=0.故选B.I00”4.若y,r+ay f+by-。

2020全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案解析

x
kx
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x
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1 e
x
lim
x
x
1
1 1
x
x
1
e
令t
1 lim
x t0
1
e 1t t
1
et 1 t t
1 e2
1ln(1t )
et lim
t 0
t
e
1 lim
e t0
1ln(1t )1
et
1
t
1 lim
1ln(1t )1 t
1 lim ln(1 t) t
.
答案： 1 ga3 3
【解析】 F
a
2 g(a y) ydy 2 g
a (ay y2 )dy 2 g(1 a3 1 a3) 1 ga3
0
0
23 3
13.设 y yx满足 y 2y y 0,
且
y0
0
，
y0
1
，则
0
yx
dx
.
答案：1
【解析】 y 2y y 0, 所以特解方程： 2 +2+1=0，（+1）2 =0 1=2 =-1； y通 =(C1 C2x)ex ； y通' ex (C2 C1 C2x) ；又 y(0) 0，y' (0) 1 ；
三、解答题：15～23 小题，共 94 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答．题．纸．指定位置上．
15.（本题满分 10 分）.
求曲线
y
x1 x
1 xx
x
0 的斜渐近线。
x1 x
【解析】：斜率 k
lim x

2006考研数二真题及解析

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：1-6小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为(2) 设函数2301sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续,则a =(3) 广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰(4) 微分方程(1)y x y x-'=的通解是(5) 设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定,则0x dy dx==(6) 设2112A ⎛⎫=⎪- ⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则B = .二、选择题：9-14小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(7) 设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0,f x f x x '''>>为自变量x 在点0x 处的增量,y 与dy 分别为()f x 在点0x 处对应增量与微分,若0x >,则( ) (A)0dy y << (B)0y dy <<(C)0y dy <<(D)0dy y <<(8) 设()f x 是奇函数,除0x =外处处连续,0x =是其第一类间断点,则0()xf t dt ⎰是( )(A)连续的奇函数 (B)连续的偶函数(C)在0x =间断的奇函数(D)在0x =间断的偶函数(9) 设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则(1)g 等于( )(A)ln 31-(B)ln 31--(C)ln 21--(D)ln 21-(10) 函数212x x x y c e c e xe -=++满足的一个微分方程是( ) (A)23xy y y xe '''--= (B)23xy y y e '''--=(C)23x y y y xe '''+-=(D)23xy y y e '''+-=(11) 设(,)f x y 为连续函数,则14(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于( )(A)(,)xf x y dy ⎰(B)(,)f x y dy ⎰(C)(,)yf x y dx ⎰(D)(,)f x y dx ⎰(12) 设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0,y x y ϕ'≠已知00(,)(,)x y f x y 是在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是( )(A)若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==则 (B)若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''=≠则(C)若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠=则 (D)若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠≠则(13) 设12,,,s ααα均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是( ) (A)若12,,,s ααα线性相关,则12,,,s A A A ααα线性相关. (B)若12,,,s ααα线性相关,则12,,,s A A A ααα线性无关.(C)若12,,,s ααα线性无关,则12,,,s A A A ααα线性相关. (D)若12,,,s ααα线性无关,则12,,,s A A A ααα线性无关.(14) 设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭,则( )(A)1.C P AP -=(B)1.C PAP -= (C).TC P AP =(D).TC PAP =三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)试确定常数,,A B C 的值,使得23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++,其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.(16)(本题满分10分)求arcsin xxe dx e ⎰ (17)(本题满分10分)设区域22{(,)|1,0}D x y x y x =+≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰ (18)(本题满分12分)设数列{}n x 满足10x π<<,1sin (1,2,)n n x x n +==(I) 证明lim n n x →∞存在,并求该极限;(II) 计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. (19)(本题满分10分)证明：当0a b π<<<时,sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++. (20)(本题满分12分)设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数,且Z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂(I)验证()()0f u f u u'''+=; (II)若(1)0,(1)1f f '==, 求函数()f u 的表达式. (21)(本题满分12分)已知曲线L 的方程221,(0),4x t t y t t⎧=+≥ ⎨=-⎩(I) 讨论L 的凹凸性;(II) 过点(1,0)-引L 的切线,求切点00(,)x y ,并写出切线的方程; (III) 求此切线与L (对应0x x ≤的部分)及x 轴所围成的平面图形的面积. (22)(本题满分9分)已知非齐次线性方程组1234123412341,4351,31x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有3个线性无关的解.(I) 证明此方程组系数矩阵A 的秩()2r A =; (Ⅱ) 求,a b 的值及方程组的通解. (23)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TTαα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(I) 求A 的特征值与特征向量;(II) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ.2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题 (1)【答案】15y =【详解】由水平渐近线的定义及无穷小量的性质----“无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量”可知4sin lim lim 52cos x x x x y x x →∞→∞+=-4sin 1lim2cos 5x xx x x→∞+=-10lim 50x →∞+=-15= 0x →时1x为无穷小量,sin x ,cos x 均为有界量. 故,15y =是水平渐近线.(2)【答案】13【详解】按连续性定义,极限值等于函数值,故lim ()x f x →203sin limx x t x →=⎰220sin()lim 3x x x →洛220lim 3x x x→=13= 注：00型未定式,可以采用洛必达法则；等价无穷小量的替换22sin x x(3)【答案】12【详解】222222001111(1)2(1)212xdx dx x x x +∞+∞+∞==-⋅=+++⎰⎰(4) 【答案】xCxe-.【详解】分离变量,(1)dy y x dx x -=⇒(1)dy x dx y x -=⇒1(1)dy dx y x =-⇒1dy dx dx y x=-⎰⎰⎰ ⇒ln ln y x x c =-+ ⇒ln ln y x x ce e -+= ⇒xy Cxe -=(5)【答案】e -【详解】题目考察由方程确定的隐函数在某一点处的导数.在原方程中令0(0)1x y =⇒= .将方程两边对x 求导得y y y e xe y ''=--,令0x =得(0)y e '=-(6) 【答案】 2【详解】由已知条件2BA B E =+变形得,2BA E B -=⇒()2B A E E -=, 两边取行列式, 得()244B A E E E -=== 其中,2110112120111A E ⎡⎤⎡⎤-=-==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦, 222E 4E == 因此,2422E B A E===-.二、选择题.(7)【答案】A 【详解】方法1：图示法.因为()0,f x '>则()f x 严格单调增加；因为()0,f x ''> 则()f x 是凹函数,又0x >,画2()f x x =的图形yy结合图形分析,就可以明显得出结论：0dy y <<. 方法2：用两次拉格朗日中值定理000()()()y dy f x x f x f x x '-=+--(前两项用拉氏定理)0()()f x f x x ξ''=- (再用一次拉氏定理)0()()f x x ηξ=-'', 其中000,x x x x ξηξ<<+<<由于()0f x ''>,从而0y dy ->. 又由于0()0dy f x x '=>,故选[]A 方法3：用拉格朗日余项一阶泰勒公式. 泰勒公式：000()()()()f x f x f x x x '=+-()20000()()()()2!!n n n f x f x x x x x R n ''+-++-+,其中(1)00()()(1)!n nn fx R x x n +=-+. 此时n 取1代入,可得20001()()()()()02y dy f x x f x f x x f x ξ'''∆-=+∆--∆=∆> 又由0()0dy f x x '=∆>,选()A .(8)【答案】(B ) 【详解】方法1：赋值法特殊选取1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩,满足所有条件,则0,0(),0x x x f t dt x x x ≥⎧==⎨-<⎩⎰ . 它是连续的偶函数. 因此,选(B )方法2：显然()f x 在任意区间[],a b 上可积,于是0()()xF x f t dt =⎰记处处连续,又()()()()()s txxxF x f t dt f t dt f s ds F x =----==--==⎰⎰⎰即()F x 为偶函数 . 选 (B ) .(9)【答案】(C )【详解】利用复合函数求导法1()()g x h x e +=两边对x 求导⇒1()()()g x h x g x e +''=将1x =代入上式,⇒1(1)12g e+=⇒1(1)ln 1ln 212g =-=--. 故选(C ).(10)【答案】(C )【详解】题目由二阶线性常系数非齐次方程的通解,反求二阶常系数非齐次微分方程,分两步进行,先求出二阶常系数齐次微分方程的形式,再由特解定常数项.因为212x x x y c e c e xe -=++是某二阶线性常系数非齐次方程的通解,所以该方程对应的齐次方程的特征根为1和-2,于是特征方程为2(1)(2)20λλλλ-+=+-=,对应的齐次微分方程为-20y y y '''+=所以不选(A )与(B ),为了确定是(C )还是(D ),只要将特解x y xe *=代入方程左边,计算得()()-23x y y y e ***'''+=,故选(D ). (11) 【答案】()C【详解】记140(cos ,sin )(,)Dd f r r rdr f x y dxdy πθθθ=⎰⎰⎰⎰,则区域D 的极坐标表示是：01r ≤≤ ,04πθ≤≤. 题目考察极坐标和直角坐标的互化问题,画出积分区间,结合图形可以看出,直角坐标的积分范围（注意 y x = 与 221x y += 在第一象限的交点是22（，）,于是:02D y y x ≤≤≤≤所以,原式0(,)yf x y dx =. 因此选 ()C(12) 【答案】D 【详解】方法1：化条件极值问题为一元函数极值问题。

2012年数二模拟5答题纸

您所下载的资料来源于考研资料下载中心姓名准考证号报考学校数二答题纸一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分（9）（10）（11）（12）（13）（14）三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) （本题满分9分）求2limln(1)x x x x →+-(16) （本题满分10分）设()f x 为微分方程xy y '-=满足初始条件(1)0y =的解，求定积分1()f x dx ⎰.(17) （本题满分10分）设(,,)x z f x y x y =+，其中f 有二阶偏导数，求dz 和2zx y∂∂∂(18) （本题满分10分）求0π⎰(19) （本题满分10分）求)Dy d σ⎰⎰，其中D 是由圆224x y +=和22(1)1x y ++=所围成的平面区域.(20) （本题满分11分）设连接两点(0,1),(1,0)A B 的一条凸弧，(,)P x y 为凸弧AB 上的任意点.已知凸弧与弦AP 之间的面积为3x ，求此凸弧的方程.(21) （本题满分12分）已知函数(,)z f x y =的全微分22dz xdx ydy =-，并且(1,1)2f =.求(,)f x y 在椭圆域22{(,)1}4y D x y x =+≤上的最大值和最小值.(22) （本题满分11分）已知n 维向量12,,n ααα 中，前1n -个向量线性相关，后1n -个向量线性无关，又12n βααα=+++ ，矩阵12[,,,]n A ααα= 是n 阶矩阵，证明方程组Ax β=必有无穷多解，且其任一解12(,,)T n a a a 中必有1n a =.(23) （本题满分11分）设二次型222123122313222f x x x ax x x x x x β=+++++经正交变换x Qy =，化成22232f y y =+，试求常数,αβ.。

2024年考研数学二真题及答案解析参考

2024年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析一、选择题:1~10小题，每小题5分,共50分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

（1）函数)2)(1(1)(--=x x xx f 的第一类间断点的个数是（）(A)3(B)2(C)1(D)0【答案】(C)【解析】无定义的点为1,2，0e xx x x =--→)2)(1(11lim ，+∞=--→-)2)(1(12lim x x x x，+∞=--→+)2)(1(1lim x x x x，所以第一类间断点的个数是1个，故选C.（2）设函数)(x f y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=231t ey tx 确定，则=-++∞→)]2()22([lim f x f x x （）(A)e 2(B)34e (C)32e (D)3e【答案】（B ）【解析】容易看出函数)(x f 可导，且232)(2t t e dtdx dt dyx f t =='，当1,2==t x 时，e t te f t t 3232)2(122=='=，所以e f xf x f f x f x x x 34)2(22)2(22lim 2)2(22lim ='=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+∞→，故选B（3）设函数⎰⎰==xxdt t f x g dt t x f 03sin 0)()(,sin )(，则（）(A))(x f 是奇函数，)(x g 是奇函数(B))(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数(C))(x f 是偶函数，)(x g 是偶函数(D))(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数【答案】（D ）【解析】令⎰=xdt t x h 03sin )(，此时)(x h 是一个偶函数，所以，)(sin )(x h x f =为偶函数，从而)(x g 为奇函数，故选D.（4）已知数列{})0(≠n n a a ，若{}n a 发散，则（）（A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a a 1发散（B ）⎭⎫⎩⎨⎧-n n a a 1发散（C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n na a e e1发散（D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n a a e e 1发散【答案】（D ）【解析】对于A 选项，令251,2,21,2=+=⋅⋅⋅=n n n n a a u a ，所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a a 1收敛；对于B 选项，令11--=n n a ）（，此时01=-=n n n a a u ，所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n a a 1收敛；对于C 选项，令11--+=+=-=e e e e u a n na a n n n ，）（收敛，故选D 。

2-附件二本科通识选修课程答题纸模板

文山学院 2015—2016学年第二学期通识选修课程人文社科类课程
《基础泰语》期末考试试卷A 答题纸
任课教师班级___________ 姓名______ 学号____________ 得分___ （说明：一级标题：（英语和越南语）采用罗马数字序号，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ，进行编号（泰语采用泰语相对应的序号），并给出该题每小题分值，及总分分值。

泰语和越南语选修课程，一级题目要求双语言（外语+汉语，分值只用外语），泰语用Angsana New, 小二号，加粗，汉语用黑体，四号；英语和越南语用Times New Roman 四号，加粗。

二级标题右缩进4个字符，汉语用小四黑体；泰语用Angsana New, 三号，加粗；英语和越南语用Times New Roman小四斜体。

正文左对齐，汉语用宋体小四；泰语用Angsana New, 三号；英语和越南语用Times New Roman小四。

此说明，答题纸和评分标准通用。

）๑. จงเขียนค ำตอบลงในช่องว่ำงโดยใช้ภำษำจีน(ช่องละ1คะแนน 10 คะแนน)填空题
《基础泰语》试卷A 答题纸第1页共1页。

福建师范大学2024年2月课程考试《常微分方程》作业考核试题

《常微分方程》期末考试答题纸姓名：专业：学号：学习中心：成绩：注意：全卷请在答题纸上作答，否则不得分！一、单项选择题1、6-=x y dydx ；将方程重写为：dy/dx = 6^(x-y)对方程两边取对数，得到：ln|dy/dx| = (x - y) ln6再对方程进行积分，得到：ln|y'| = (x - y) ln6 + C其中，y'表示y 关于x 的导数，C 为积分常数。

接下来需要解出y'，对上式两边同时取指数，得到：|y'| = e^[(x - y) ln6 + C]由于y'必须为正数，所以可去绝对值，得到：y' = e^[(x - y) ln6 + C]进一步化简和移项，得到：dy/e^[(x - y) ln6] = dx对于等式左边，进行变量代换，令u = x - y ，则du/dx = 1 - dy/dx = 1 - 6^(x-y)由于dy/dx = 6^(x-y)，所以可以将右边代入，得到：du/dx = 1 - dy/dx = 1 - y'将等式右边代入并移项，得到：dy/e^[uln6] + y'/e^[uln6] = 1再对等式两边进行积分，得到：∫[dy/e^[uln6]] + ∫[y'/e^[uln6]] = ∫dx对左边第一项进行换元，令t = e^[uln6] = 6^u ，则dt = 6^u du ，代入后得到：∫[1/t] dt = ln|t| + C1对左边第二项进行换元，令v = e^[uln6] = 6^u ，则dv = u' 6^u du ，代入后得到：∫[1/v]v dv = ∫u' 6^u du∫[1/v]v dv = ln|v| + C2由于v = e^[uln6]，所以v = 6^u ，代入得到：∫[1/6^u] 6^u du = ∫u' 6^u du化简可得：∫[1/6^u] 6^u du = u + C3将上述结果代回原方程中，得到：ln|t| + C1 + ln|v| - C2 + C3 = x + C4化简可得：ln(tv) = x + C5由于t = 6^u ，v = 6^u ，所以tv = (6^u)^2 = 6^(2u)因此，可得到最终结果为：ln(6^(2u)) = x + C6化简得到：2u ln6 = x + C6即最终的解为：u = (x + C6) / (2ln6)由于u = x - y ，所以可得到y = x - (x + C6) / (2ln6) = (C6 - x) / (2ln6)因此，dy/dx=6^(x-y)的通解为：y = (C6 - x) / (2ln6)，其中C6为任意常数。

2023考研数学二真题及解析答案

2023考研数学二真题及解析一、选择题：1~10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1．曲线1ln e 1y x x=+ −的斜渐近线方程为（）. （A ）e y x =+（B ）1ey x =+（C ）yx = （D ）1ey x =−【答案】（B ）【解析】方法1. 1ln e 11limlim x x y k x x →∞→∞=+==− ()()11lim lim ln e 1lim ln e ln 111e 1x x x b y x x x x x →∞→∞→∞=−=+−=++− −−()11lim e 1ex x x →∞=− 故曲线的斜渐近线方程为1ey x =+．故选（B ）方法2. ()()11ln e 11ln 1e 1e 1y x x x x=+=++−−()11ln 1e 1e x x x x α =++=++ −，其中lim 0x α→∞=，故1e y x =+为曲线的斜渐近线. 【评注】由()11lim ln 1e 1e x x x →∞+= − ，知()11ln 1e 1ex x α +=+ − 【评注】1.由()11lim ln 1e 1e x x x →∞ += − ，知()11ln 1e 1e x x α +=+ −2.本题属于常规题：《基础班》《强化班》的例子不再对应列举，《答题模版班》思维定势19【例13】2.函数() 0,()1cos ,0.x f x x x x ≤=+>的一个原函数是( )(A) ), 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x −≤= +−>(B))1, 0,()(1)cos sin ,0.x x F x x x x x +≤= +−>(C) ), 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −≤= ++>(D))1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x +≤= ++>【答案】 (D) .【分析】本题主要考查原函数的概念,分段函数不定积分的求法以及函数可导与连续的关系.【详解】由于当0x <时，)1()lnF xx x C ==++∫当0x >时，()()2()1cos d 1sin cos F x x x x x x x C =+=+++∫ 由于()F x 在0x =处可导性，故()F x 在0x =处必连续因此，有00lim ()lim ()x x F x F x −+→→=，即 121C C =+.取20C =得)1, 0,()(1)sin cos ,0.x x F x x x x x −+≤= ++> 应选(D) .【评注】此题考查分段函数的不定积分，属于常规题，与2016年真题的完全类似，在《真题精讲班》系统讲解过. 原题为已知函数2(1),1,()ln ,1.x x f x x x −< = ≥ 则()f x 的一个原函数是( )(A) 2(1),1,()(ln 1), 1.x x F x x x x −<=−≥ (B) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= +−≥ (C) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<=++≥ (D) 2(1),1,()(ln 1)1, 1.x x F x x x x −<= −+≥3.设数列{}{},n n x y 满足211111,sin ,2n n n n x y x x y y ++====()1,2,n = ，则当n →∞时（）（A ）n x 是n y 的高阶无穷小（B ）n y 是n x 的高阶无穷小（C ）n x 是n y 的等阶无穷小（D ）n x 是n y 的同阶但不等价无穷小【答案】（B ）【解析】由2111,,2n n y y y +==知2112nn y + =，则有112n n y y +<利用12sin n n n x x x π+=>，则1112n nx x π+<故21111111224444n n nn nn n n n n y y y y y x x x x x πππππ+−+− ≤=≤≤≤= 于是1110lim lim 04nn n n n y x +→∞→∞+ ≤≤= ，由夹逼准则lim 0nn ny x →∞=，选（B ）【评注】本题属于今年难度较大的题，涉及到两个递推数列确定的无穷小的比较，涉及到不等式的放缩，有一定的综合性.4．若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界，则（）（A ）00a b <>，（B ）00a b >>，（C ）00a b =>，（D ）00a b =<，【答案】（C ）【解析】特征方程为20r ar b ++=，解得1,2r =．记24a b ∆=−当0∆>时，方程的通解为1212()e e r x r x yx c c ⋅⋅=+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆=时，1202ar r −=<=，方程的通解为1112()e e r x r x yx c c x =+，当12,c c 不全为零时()y x 在(,)−∞+∞上无界.当0∆<时，1,22a r i β=−±,方程的通解为()212()e cos sin axy x c x c x ββ−=+．只有当0a =，且240a b ∆=−<，即0b >时，lim ()lim ()0x x y x y x →+∞→−∞==，此时方程的解在(,)−∞+∞上有界. 故选（C ）【评注】此题关于x →+∞方向的讨论，在《基础班》习题课上讲解过，见《基础班》习题课第八讲《常微分方程》第15题5.设()y f x =由2,sin ,x t t y t t =+=确定，则（）（A ）()f x 连续，(0)f ′不存在（B ）(0)f ′存在，()f x ′在0x =不连续（C ）()f x ′连续，(0)f ′′不存在（D ）(0)f ′′存在，()f x ′′在0x =不连续【答案】（C ）【解析】0t ≥时3,sin ,x t y t t == ，即有sin 33x xy =.0t <时,sin ,x t y t t = =−，即有sin y x x =−.sin ,033sin ,0x x x y x x x ≥= −< ,显然有()f x 在0x =不连续，且(0)0f = 0x >时，sin cos 33(3)9x x x xf x =+′；0x <时，sin ()cos x f x x x ′=−−，利用导数定义可得()0sin 0330lim 0x x xf x ++→−′==，()0sin 0lim 0x x x f x+−→−′==，即得(0)0f ′= 易验证()0lim ()lim ()00x x f x f x f +−→→′′===，即()f x ′在0x =连续()01sin cos 233930lim 9x x x xf x ++→+′′=，()0sin cos 0lim 2x x x x f x+−→−−′′==−，故(0)f ′′不存在，选（C ）【评注】此题考查参数方程确定的分段函数，只要在参数方程中去掉绝对值的过程，就成了我们常规的分段函数求导的问题，无论是《基础班》第二讲例24，《强化班》第二讲例17. 6.若函数()()121d ln f x x x αα+∞+=∫在0αα=处取得最小值，则0α=（）（A ）()1ln ln 2−（B ）()ln ln 2−（C ）1ln 2−（D ）ln 2【答案】（A ）【解析】反常积分的判别规律知11α+>，即0α>时反常积分()121d ln x x x α+∞+∫收敛此时()()()212111d ln ln f x x x x αααα+∞+∞+==−∫()11ln 2αα=令()()()2111ln ln 2ln 2ln 2f ααααα′=−−()2111ln ln 20ln 2ααα =−+= 得唯一驻点()1ln ln 2α=−，故选（A ）【评注】此题是属于由反常积分确定的函数求最值的问题，积分本身不难，积分结果再求导，找驻点得结果.难度不大，只要基本计算能力过关，可轻松应对.《基础班》《强化班》相应问题得组合而已. 7.设函数()()2e xf x xa =+，若()f x 没有极值点，但曲线()f x 有拐点，则a 的取值范围是（）（A ）[)0,1（B ）[)1,+∞ （C ）[)1,2 （D ）[)2,+∞【答案】（C ）【解析】()()2e xf x xa =+，()()22e x f x xa x ′=++，()()242e x f x xa x ′′=+++由()()211e x f x x a ′=++−，知10a −≥时，()0f x ′≥，此时()f x 无极值点.由()()222e x f x x a ′′=++−，知20a −<时，()f x ′′在2x =±的左右两侧变号，依题意有[)1,2a ∈，选（C ）【评注】本题考查了极值点、拐点的必要条件与判定，题目本身是常规的，分开对这两个考点出题，在《基础班》和《强化班》都讲过，但这种问法有些学生可能会觉得很别扭.8．设A,B 分别为n 阶可逆矩阵，E 是n 阶单位矩阵，*M 为M 的伴随矩阵，则AE OB 为（）（A ）*****−A B B A O A B （B ）****− A B A B O B A（C ）****−B A B A O A B （D ）**** −B A A B O A B 【答案】（D ）【解析】由分块矩阵求逆与行列式的公式，结合1∗−=A A A 得11111∗−−−−− − ==A E A E A E E A A AB B O B O B O B O B ∗∗∗∗−=B O A A A B B ，选（D ）【评注】这钟类型的题在02年，09年均考过完全类似的题，《基础班》第二讲也讲过，原题为【例1】设,A B ∗∗分别为n 阶可逆矩阵,A B 对应的伴随矩阵，∗∗=A O C O B9.二次型()()()222123121323(,,)4f x x x x x x x x x =+++−−的规范形为（）. （A ）2212y y +（B ）2212y y −（C ）222123y y y −−（D ）222123y y y +−【答案】（B ）【详解】因为123(,,)f x x x 222123121323233228x x x x x x x x x =−−+++方法1.二次型的矩阵为 211134143=− −A , 由()()211134730143λλλλλλλ−−−−=−+−=+−=−−+E A ，得特征值为0,7,3−，故选（B ）方法2.()222123123121323,,233228f x x x x x x x x x x x x =−−+++()()()22232322211232323233842x x x x x x x x x x x x ++=+++−−−+222222322332323126616222x x x x x x x x x x x +++++− =+− ()22231237222x x x x x +=+−− 故所求规范形为()2212312,,f x x x y y =−，故选（B ）【评注】本题考查二次型的规范形，与考查正负惯性指数是同一类题，在《基础班》《强化班》均讲过. 《解题模板班》类似例题为【11】设123123(,,),(,,)T T a a a b b b αβ==，,αβ线性无关，则二次型 123112233112233(,,)()()f x x x a x a x a x b x b x b x =++++的规范型为( )． (A)21y (B)2212y y + (C) 2212y y − (D) 222123y y y ++10．已知向量12121,,1222150390,1====ααββ，若γ既可由12,αα表示，也由与12,ββ表示，则=γ（）.（A ）334k （B ）3510k（C ）112k−（D ）158k【答案】（D ）【解析】由题意可设11212212x y x y +==+γααββ，只需求出21,x x 即可即解方程组112112220x y y x +−−=ααββ()121212211003,,2150010131910011,−−−−=−→− −−ααββ 得()()2211,,1,3,,1,1TTx k x y y =−−，k 为任意常数11221212133215318x k k k k k x+=−+=−+=−=γαααα，故选（D ）【评注】1.此题与《强化班》讲义第三讲练习第12题完全类似，原题为【12】(1)设21,αα，21,ββ均是三维列向量，且21,αα线性无关, 21,ββ线性无关，证明存在非零向量ξ，使得ξ既可由21,αα线性表出，又可由21,ββ线性表出．(2)当 =4311α，=5522α：1231β = − ，2343β−=−时，求所有既可由21,αα线性表出，又可21,ββ线性表出的向量。

2008考研数二真题及解析

1 6
。
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【法
2】 lim sin x0
x
sin(sin x4
x)sin
x
lim
x0
sin x
x
sin
x
sin(sin sin3 x
x)
sin3 x3
x
lim sin
x0
x
sin(sin sin3 x
x) tsin x
lim t0
t
sin t t3
lim
t0
1
cos 3t 2
y
e
1 x
dx
xe
xe
1 x
dx
dx
C
x
xe x
1 x
dx
C
x(e x
C)
。
(11) 曲线 sin xy ln y x x 在点 0,1 处的切线方程为 .
【答案】 y x 1
y cos(xy) 1 1
【详解一】设 F(x, y) sin(xy) ln( y x) x ，则 dy Fx
1】 lim [sin x0
x
sin(sin x4
x)]sin
x
lim
x0
sin
x
sin(sin x3
x)
，
且 sin(sin x) sin x 1 sin3 x o(x3) ， 6
所以，原
lim
x0
sin
x
sin
x
1 sin3 6 x3
x
o(
x3
)
lim
x0
1 6
sin3
x x3
o( x3 )
A 若xn 收敛，则 f (xn ) 收敛.

2022数学(二)试题及解析

2022年全国硕士研究生招生考试数学（二）（科目代码：302）考试时间：180分钟，试卷总分：150分考生注意事项1．答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。

2．选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。

超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。

3．填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。

4．考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。

(以下信息考生必须认真填写)考生编号考生姓名一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.当()()0,,x x x αβ→是非零无穷小量，给出以下四个命题.()()()()22,.x x x x αβαβ ①若则()()()()22.x x x x αβαβ ②若，则()()()()()(),.x x x x o x αβαβα-= ③若则()()()()()().x x o x x x αβααβ-= ④若，则所有真命题的序号：A. B. C. D.①③①④①③④②③④【答案】选C.【解析】①2200()()lim 1lim 1()()x x x x x x ααββ→→=⇒=，正确；③()()()()()0000()()()lim 1lim lim lim 110,()x x x x x x x x x x x x x αβααββααα→→→→-=⇒=-=-=正确④()()()()()()0000()()()lim0lim lim 0lim 1x x x x x x x x x x x x x αβαββαααα→→→→-=⇒-=⇒=,即()()x x αβ ,正确；而00()()(())limlim 1,()()x x x x o x x x αβαββ→→+==(),(),x x x x αβ==-取则②错误,故选C.2.22d d yy x =⎰⎰A.6B.13C.3D.23【答案】选D.【解析】()()()22201233221321d 211d 16112211.633xx y x xx x x -==⋅=++=⋅+=-=⎰⎰⎰⎰原式故选D.3.设函数()f x 在0x x =处有2阶导数，则A.当()f x 在0x 的某邻域内单调增加时，()00f x '>B.当()00f x '>时，()f x 在0x 的某邻域内单调增加C.当()f x 在0x 的某邻域内是凹函数时，()00f x ''>D.当()00f x ''>时，()f x 在0x 的某邻域内是凹函数【答案】B.【解析】由于()f x 在0x x =处有2阶导数，故()00lim ()0x x f x f x →''=>，()00,()ox U x f x δ'∈⇒>，()f x 在0x 的某邻域内单调增加，选择B4.设函数()f t 连续，令0(,)()()d x yF x y x y t f t t -=--⎰，则A.2222,F F F Fx y x y ∂∂∂∂==∂∂∂∂B.2222,F F F F x y x y ∂∂∂∂==-∂∂∂∂C.2222,F F F F x y x y ∂∂∂∂=-=∂∂∂∂D.2222,F F F F x y x y∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂【答案】选C.【解析】0(,)()d ()d ()d x yx yx yF x y xf t t y f t t t f t t---=--⎰⎰⎰0()d ()()()()()d x y x y F f t t xf x y yf x y x y f x y f t tx --∂=+------=∂⎰⎰22()Ff x y x∂⇒=-∂00()()d ()()()()d x y x y Fxf x y f t t yf x y x y f x y f t ty--∂=---+-+--=-∂⎰⎰22()Ff x y y∂⇒=-∂，故F F x y ∂∂=-∂∂，故选C.5.设p 为常数，若反常积分()110ln d 1ppx x x x --⎰收敛，则p 的取值范围是()()()()A.1,1B.1,2C.,1D.,2---∞-∞【答案】选A.【解析】11211102ln d d d (1)(1)p pp p x x x x x x x x --+--⎰⎰原式为100120ln (1)lim lim ln (0)011d 1p px x p p x x x x x x x p x εεεε++-→→++-=⋅>=⇒<⎰收敛12111ln 1(1)lim 1 d 1,1(1)(1)p pp x pxx x x p x x ---→---=⇒>----⎰与同收敛故选A.ππ6.{},22A.lim cos(sin )limB.lim sin(cos )limC.lim cos(sin )lim sin limD.lim sin(cos )lim cos lim n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞-≤≤已知数列则()当存在时，存在当存在时，存在当存在时，存在，但不一定存在当存在时，存在，但不一定存在【答案】选D 【解析】{}(1)4πnn n x x =-⋅⇒发散.()2cos sin cos,l 2im n n x →∞=()lim sin cos sin2n n x →∞=，lim sin (1π)4n n →∞⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭不存在，故选D.111123000123213132321ln(1)27.d ,d ,d .2(1cos )1cos 1sin A. B. C. D. x x x I x I x I x x x xI I I I I I I I I I I I +===+++<<<<<<<<⎰⎰⎰已知则【答案】选A 【解析】()ln(1)2xf x x =-+，111()0,(0,1)212(1)x f x x x x -'=-=<∈++(0)0f =12ln(1),.2xx I I ⇒≤+<现比较2I 和3I ，即比较2ln(1)22(1cos )1sin x xx x+++与22223cossin ,(0,1)222cos cos sin 2224cos 1sin 22(1cos )1sin 112(1cos )1sin 2ln(1)2(0,1).x xx x x x xxx x x xx x x I I >∈⎛⎫⎛⎫⇒>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒>++>+<+++<∈<即而则故选A.8.设A 为3阶矩阵，100010,000⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭Λ则A 的特征值为1，1-，0的充分必要条件是A.存在可逆矩阵P,Q ,使得=A P Q ΛB.存在可逆矩阵P ,使得-1=A P P ΛC.存在正交矩阵Q ,使得-1=A Q Q ΛD.存在可逆矩阵P ,使得T=A P P Λ【答案】选B【解析】根据相似对角化定义，B 选项可以直接推出A 的特征值为1，1-，0，又若A 的特征值为1，1-，0，互不相同，则A 一定可相似对角化，可推出B.故选B.9.设矩阵2211111,2,14a a b b b ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭A =则线性方程组x =b A 解的情况为A.无解B.有解C.有无穷多解或无解D.有唯一解或无解【答案】选D【解析】22111(,)1214b A b a a b b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()()()22111||1111A a a b a b a b b ==---()||0(,)3A r A r A b ≠⇒==，有唯一解()||0(,)A r A r A b =⇒≠无解，故选D.10.设123421111,,1,,11λααλααλλλ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪====⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭若向量组123124,,,,αααααα与等价，则λ的取值范围是{}{}{}{}A.0,1B.,2C.,1,2D.,1λλλλλλλλλλ∈≠-∈≠-≠-∈≠-R R R 【答案】选C 【解析】()222111111011110(2)(1)0()111λλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⇒--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭()()()12312412341,,,,,,, 1 r r r λαααααααααα=⇒===，等价()()()12312412340 ,,,,,,, 3 r r r λαααααααααα=⇒===，等价()()1231241 ,,3,, 2 r r λαααααα=-⇒==，，不等价()()1231242 ,,2,, 3 r r λαααααα=-⇒==，，不等价其他时，()()()1231241234,,,,,,, 3 r r r αααααααααα===，等价故{,1,2}λλλλ∈≠-≠-∣R ，故选C.二、填空题（11-16小题，每小题5分，共30分）11.cot 01e lim 2xx x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭.【答案】12e【解析】cos sin 0000cos 1e cot sin 200cos 1e cos (e 1)lim1limsin 22sin (e 1)1lim lim22212ln 1e 1e lim lim lim 22e eeeeeexx x x x x x x x x x xx x xx x x x x x xxx x→→→→⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭→→→⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭-⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====== 原式12.已知函数()y y x =由方程233x xy y ++=确定，则(1)y ''=.【答案】3132-【解析】223230()13,131,14x xy y y y x x xy y y x y y ''+++⋅==++=='===-①将代入得将代入,得对①两边求导：22630,31,1,,431(1)32++y xy y y y y y y y x y y ''''''''++⋅⋅+⋅='===-''=-代入解得13.1223d 1x x x x +=-+⎰.【答案】83π9【解析】()()1122001122200112200122023214d d 1114d 1d 111ln 14d 1114d 21322π.932x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +-+=-+-+=-++-+-+=-++-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎛⎫-+⎪⎝⎭⎝⎭==⎰⎰⎰⎰⎰⎰14.250,y y y ''''''-+=通解()y x =.【答案】123e (cos 2sin 2)xC C x C x ++【解析】特征方程为32250r r r -+=，分解因式，则2(25)0r r r -+=，得12,30,12r r i ==±，则通解为123e (cos 2sin 2)x y C C x C x =++.15.已知曲线L 的极坐标方程为sin 303r θθπ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，则L 围成有界区域的面积为.【答案】π12【解析】ππ2330π20211sin 3sin 3d32611π1πsin d 2662212S d u u θθθθ====⨯⨯⨯=⎰⎰⎰16.设A 为3阶矩阵，交换A 的第2行和第3行，再将第2列的1-倍加到第一列，得到矩阵211110100--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，则1-A 的迹()1tr -=A .【答案】1-【解析】100100211001110110010001100--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ()11100211100=001110110010100001211100111100110100110001010010001; 1.111tr ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭A A A 三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知函数()f x 在1x =处可导，且()()222e 31sin lim2,x x f f x x →-+=求(1).f '【解析】()()222e 31sin lim2→-+=x x f f x x 由题意，得：()()220lim e 31sin 0(1)0x x f f x f →⎡⎤-+=⇒=⎣⎦()()()()2222222022220e 31sin e (1)e 1limlim e 11sin (1)sin 3lim sin (1)3(1)2(1)1x x x x x x x f f x f f x x f x f x x x f f f →→→-+--=⋅-+--⋅''=-='⇒=-18.（本题满分12分）设函数()y x 是微分方程242ln 1,xy y x '-=-满足条件1(1)=4y 的解，求曲线()()1e y y x x =≤≤的弧长.【解析】22d d 2322ln 1e e d 22ln 1d 21ln 2x xx x x y x C x x x x C x x Cx -⎡⎤-⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=-+⎰⎰代入1=x ，得：14C =，所以：211ln 24=-+y x x .则：1e 1211d 2211e 44s x x x x =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=+⎰⎰19.（本题满分12分）已知平面区域{}(,)|22D x y y x y =-≤≤≤≤，计算y x y x y x I Dd d )(222⎰⎰+-=.【解析】已知平面区域{}(,)|22D x y y x y =-≤≤≤≤，计算222()d d Dx y I x y x y -=+⎰⎰.222222222d 21d 2d d D D D Dx xy y I x y xy x y xyx y σσσσ-+=+⎛⎫=- ⎪+⎝⎭=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰补线2+=x y （图中虚线），根据对称性2222220sin cos 2202202d d 2d 2cos sin d 424cos sin d (sin cos )2sin 222sin 2d d 1sin 22222 2.DD xyx yr rθθσσθθθθθθθθθθθθθπ+πππ=-+=π+-⎛⎫=π+-- ⎪+⎝⎭=π+-++=π+-+π-=π-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰20.（本题满分12分）已知可微函数(,)f u v 满足()()(,)(,)2e ,u vf u v f u v u v u v -+∂∂-=-∂∂且2(,0)e u f u u -=.（1）记(,)(,)g x y f x y x =-，求(,)g x y x∂∂；（2）求(,)f u v 的表达式和极值.【解析】(1)(,)2()e 2(2)e u v yyg x y f f xx y x x y --∂''=-∂=-+=-(2)2()(,)2(2)e d 2e 2e ()(,)2()e ()(,)(,)2e ()y y y y u v g x y x y xx xy y f x y x x x y y f x y x f u v uv u v ϕϕϕ-----+=-=-+=-=-+=-=-++⎰代入0v =，得2()euu u ϕ-=，有：()()2()22()(,)2e ()e e u v u v u v f u v uv u v u v -+-+-+=-++=+()()()22()()22()2e e 2e e u v u v u u v u v v f u u v f v u v -+-+-+-+'=-+'=-+22222020⎧--=⇒=⎨--=⎩u u v u v v u v 代回有：(1)0-=u u 得：0==u v 或 1==u v ()()()()()()()()22()22()()()22()22()22()2e 2e 2e e 24e 2e 2e e 22e 24e u v u v u v u v uuu v u v u v u v u v u v vvA f u u u v u u vB u v u v u v u vC f v v u -+-+-+-+-+-+-+-+-+-+''==--++=-++=--++=+--''==-++代入坐标有：()()()()()()20,021,100,001,12e 0,021,10-====-==A A B B C C 对于()0,0点，有240,0AC B A -=>>，这一点取得极小值0，对于()1,1点，有20AC B -<，不是极值.21.（本题满分12分）设函数()f x 在∞+∞（-，）内具有2阶连续导数，证明：()0f x ''≥的充分必要条件是对不同的实数,a b ，1(()d .2baa b f f x x b a +≤-⎰【解析】证明：由泰勒公式：()21()()()()()22222a b a b a b a b f x f f x f x ξ++++'''=+-+-，ξ介于x 与2a b +之间()()221()d (()((d 222221()()d 222ξξ++++⎡⎤'''=+-+-⎢⎥⎣⎦++⎡⎤''=-+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰bb aa b a a b a b a b a b f x x f f x f x xa b a b f b a f x x必要性：若()0f x ≥''，则()0f ξ≥''，有()1d 2()+⎛⎫≤⎪-⎝⎭⎰b aa b f f x x b a 充分性：若存在0x 使得0()0f x ''<，因为()f x 有二阶连续导数，故存在0δ>使得()f x ''在[]00,x x δδ-+内恒小于零，记00,a x b x δδ=-=+,此时：()21()d ()()()d ()()2222ξ+++⎡⎤''=-+-<-⎢⎥⎣⎦⎰⎰bb aa ab a b a bf x x f b a f x x f b a 矛盾，故()0f x ≥''.综上，充分性必要性均得证.22.（本题满分12分）已知二次型22212312313(,,)3432f x x x x x x x x =+++.(1)求正交变换x =Qy 将123(,,)f x x x 化为标准形;(2)证明()Tmin2f 0x x x x≠=.【解析】(1)已知：301040103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A()()222(30104010331(4)134)691(4)68(2)(4)λλλλλλλλλλλλλλλ=----=-----==--+---+---=-E A 2 λ=时，1011012020010101000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A ，解得：3101-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α；4λ=时，1014000000-⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭E A ，解得：121,01100⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα；已正交，直接单位化：3211232301,00,0⎛ ⎛⎫⎪===== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭=ααααββαβ令：01000⎛ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Q 得标准型：222123442=++f y y y (2)证明：因为Q 可逆：T T T002221232220123minmin()min 442min x y y y fffy y y y y y ≠≠≠≠==++=++x x y yy yQ Q 2222221231232222221231234422222++++=++++y y y y y y y y y y y y 令：21222301y y y ⎧=⎪=⎨⎪=⎩得：2=f 故最小值为2.。

2020年考研数学二试题及答案

全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C【考点】函数图形的渐近线【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：（i ）当曲线上一点M 沿曲线无限远离原点时，如果M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。

（ii ）渐近线分为水平渐近线（lim ()x f x b →∞=，b 为常数）、垂直渐近线（0lim ()x x f x →=∞）和斜渐近线（lim[()()]0x f x ax b →∞-+=，,a b 为常数）。

（iii ）注意：如果（1）()limx f x x→∞不存在；（2）()limx f x a x→∞=，但lim[()]x f x ax →∞-不存在，可断定()f x 不存在斜渐近线。

在本题中，函数221x xy x +=-的间断点只有1x =±.由于1lim x y →=∞，故1x =是垂直渐近线.（而11(1)1lim lim(1)(1)2x x x x y x x →-→-+==+-，故1x =-不是渐近线）.又211lim lim111x x x y x→∞→∞+==-，故1y =是水平渐近线.（无斜渐近线）综上可知，渐近线的条数是2.故选C.(2) 设函数2()(1)(2)()xxnx f x e ee n =---,其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -【答案】A【考点】导数的概念【难易度】★★【详解一】本题涉及到的主要知识点：00000()()()limlim x x f x x f x yf x x x→→+-'==. 在本题中，按定义200()(0)(1)(2)()(0)lim lim0x x nx x x f x f e e e n f x x →→----'==-1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--.故选A.【详解二】本题涉及到的主要知识点：()[()()]()()()()f x u x v x u x v x u x v x ''''==+.在本题中，用乘积求导公式.含因子1xe -项在0x =为0，故只留下一项.于是20(0)[(2)()]x x nx x f e e e n ='=--1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--故选（A ）.(3) 设0(1,2,)n a n >=，123n n S a a a a =++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )（A ）充分必要条件（B ）充分非必要条件（C ）必要非充分条件（D ）既非充分也非必要条件【答案】B【考点】数列极限【难易度】★★★【详解】因0(1,2,)n a n >=，所以123n n S a a a a =++++单调上升.若数列{}n S 有界，则lim n n S →∞存在，于是11lim lim()lim lim 0n n n n n n n n n a S S S S --→∞→∞→∞→∞=-=-=反之，若数列{}n a 收敛，则数列{}n S 不一定有界.例如，取1n a =(1,2,)n =，则n S n =是无界的.因此，数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的充分非必要条件.故选（B ）. (4)设20sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I << 【答案】D【考点】定积分的基本性质【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：设a c b <<，则()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.在本题中，210sin x I e xdx π=⎰，2220sin x I e xdx π=⎰，2330sin x I e xdx π=⎰222121sin 0x I I e xdx I I ππ-=<⇒<⎰，2332322sin 0x I I e xdx I I ππ-=>⇒>⎰，222323312sin sin sin x x x I I e xdx e xdx e xdx ππππππ-==+⎰⎰⎰2233()22sin()sin t x e t dt e xdx ππππππ-=-+⎰⎰223()312[]sin 0x x e e xdx I I πππ-=->⇒>⎰因此213I I I <<.故选D.（5）设函数(,)f x y 可微，且对任意的,x y 都有(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y ∂<∂，则使不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是( )（A ）12x x >，12y y < （B ）12x x >，12y y > （C ）12x x <，12y y < （D ）12x x <，12y y > 【答案】D【考点】多元函数的偏导数；函数单调性的判别【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：函数单调性的判定法设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导. ①如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； ②如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少. 在本题中，因(,)0f x y x∂>∂，当y 固定时对x 单调上升，故当12x x <时1121(,)(,)f x y f x y < 又因(,)0f x y y∂<∂，当x 固定时对y 单调下降，故当12y y >时2122(,)(,)f x y f x y < 因此，当12x x <，12y y >时112122(,)(,)(,)f x y f x y f x y << 故选D.（6）设区域D 由曲线sin y x =，2x π=±，1y =围成，则5(1)Dx y dxdy -=⎰⎰( )（A ）π（B ）2（C ）-2（D ）π-【答案】D【考点】二重积分的计算【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：10,(,)(,)2(,),(,)DD f x y x y f x y dxdy f x y dxdy f x y x y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰对或为奇函数，对或为偶函数在本题中，11555222sin sin 221(1)(1)()2x x Dx y dxdy dx x y dy x y y dx ππππ---=-=-⎰⎰⎰⎰⎰5222221(1sin )(1sin )2x x dx x dx πππππ--=---=-⎰⎰ 其中521(1sin )2x x -，sin x 均为奇函数，所以 52221(1sin )02x x dx ππ--=⎰，22sin 0xdx ππ-=⎰故选（D ）(7)设1100c α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311c α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411c α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα 【答案】C【考点】向量组的线性相关与线性无关【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：n 个n 维向量相关12,,,0n ααα⇔=在本题中，显然134123011,,0110c c c ααα-=-=，所以134,,ααα必线性相关.故选C.(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：设A 是一个m n ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵. 在本题中，由于P 经列变换为Q ，有12100110(1)001Q P PE ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么111112121212[(1)][(1)](1)()(1)Q AQ PE A PE E P AP E ----==100110011101110100120012⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故选B.二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则22x d ydx== .【答案】1【考点】隐函数的微分【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：隐函数求导的常用方法有：1. 利用复合函数求导法，将每个方程两边对指定的自变量求偏导数（或导数），此时一定要注意谁是自变量，谁是因变量，对中间变量的求导不要漏项。

数学二真题答案解析

数学二真题答案解析DOCUment number [SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一・选择题:1〜8小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)当X→O+时，若InΛ(1+2X), (I-COSXr均是比X高阶的无穷小，则&的取值范)(A)(2,+s) (B) (1,2) (C) (-J)2(D) (0,1)2(2)下列曲线中有渐近线的是()(A)y = x + Sin X(B)y = X2 + Sin X(C) y = x +sin—(D) y = x2 + sin —X X⑶ 设函数/3具有2阶导数，g(x) = /(0)(l-x) + ∕(l)Λ-,则在区间［0,1］上( )(A)当∕,(Λ-) ≥ 0 时，/(x) ≥ g(x)(B)当f,(x) ≥ 0 时，/W ≤ g(χ)(C)当∕ff(Λ-) ≥0 时，f(x)≥g(x)(D)当/"(X)AO 时，/W ≤ g(x)牙=f' + 7(4)曲线?上对应于的点处的曲率半径是y = Γ+4t + ∖(D)5√10(5) 设函数 f(x) = arctan X ,若 f(x) = xf ∖ξ),贝IJIim≥τ =t →0Jr( )(A)I (B) -(C)-32(D)I3(6) 设函数U(X i y)在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足Jk≠0及空+≤⅛=0,则6x ∂y∂x 2 ∂y 2( )(A) “(X, y)的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) “(X, y)的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C) u(x,y ｝的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D) ∕√x θ')的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得b _0 _Cl(C) 1O√1O0 U b ,、/m «00⑺仃列式OCdCOO( )(B)Od —be)2(C)a2d2-b2c2(D) b2c2 -Crd l(8)设αp α2,α3均为3维向量,贝IJ 对任意常数A√ ,向量组α∣ +ka 3,a 2 +化线性无关是向量组冬,冬,勺线性无关的 ( )(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件二、填空题：9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (⑼ ∫' —一ςdx = ------------ •JY X" +2x+5(10) 设/3是周期为4的可导奇函数，且∕,(x) = 2(x-l), "[0,2],则/(7) =(Il)设Z = Z(x,刃是由方程e 2γ +x+ y 2 +z=-确定的函数，则衣I I = ______________________4 (12) 曲线r = r(θ)的极坐标方程是一&,则厶在点(r,^) = (-,-)处的切线的直角坐2 2标方程是 ___________ .(13) 一根长为1的细棒位于X 轴的区间[0,1] ±,若其线密度P (Λ-) = -√+2X +1,则该细棒的质心坐标丘= ___________ .(14) 设二次型/(Λ1,X 2,X J ) = X 12 -X 22 +2ax y x 3 +4x 2x 3的负惯性指数为1,则Q 的取值范围为 _______ 三.解答题：15〜23小题,共94分•请将解答写在答题纸指定位置上•解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤・(15) (本题满分10分)(16) (本题满分10分)已知函数y = y(x)满足微分方程x 2+ ∕y = l -y,且y(2) = 0,求y(x)的极大值与极小值.求极限IimΛ→÷∞(17) (本题满分10分)XSin ∖πJx 2 + y 2)设平面区域 D = {(")∣1 ≤x 2 + y 2≤^x≥O.y≥θ}Λ∖n ∫∫ ----- —dxdy.D(18) (本题满分10分)设函数加具有二阶连续导数,—(CZ 满足务务(4十仏用, 若/(O) = OJ (O) = O,求/(M)的表达式.(19) (本题满分10分)设函数/(Xxg(X)的区间[a,b]±连续,且/(x)单调增加，OSg(X)≤1.证明：(I) 0 ≤ [ g ⑴df ≤ X -a,X ∈ [a,b]f(H) J ：吐/(x)dx≤∫^ f(x)g(x)√Λ-•(20) (本號满分11分) βY设函数/(X) = -——.X∈[OJ1,定义函数列Z(X) =/(χ)J(χ) = ∕(∕;(X)),…，l + xf n W = /(Λ-ι(X))‘…，记S”是由曲线y =九(X),直线％=1及兀轴所围成平面图形的面积，求极限UmnS n ・∕r→χ(21) (本题满分11分)已知函数f(x.y)满足生= 2(y + l),且/(y,y) = (y+ 1)?-(2-y)Iny,求曲线 f(χ.y) = 0所围成的图形绕直线y = -1旋转所成的旋转体的体积.(22) (本题满分11分)；1 -2 3 -4"设矩阵A= Ol-IlJ 2 0 —3,(I) 求方程组Ax=O 的一个基础解系; (II) 求满足AB = E 的所有矩阵. (23) (本题满分11分)x+ V E 为三阶单位矩阵.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一. 选择题：1〜8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在窖题纸指定位置上.丄(1)当Λ→0+时，若Ina(I+ 2x), (I-COSX)Q,均是比X 高阶的无穷小，则&的取值范围是证明〃阶矩阵.(D) (0,1)【答案】B【解析】由定义 IiIn In -(I -IV) = Iim= Iim2ΛX Λ^, = 0 Λ→O X .V→O X Λ→O所以a-∖>0,故a>∖.2 丄 W ?当x→0+时，(I-COSx)α -—是比X 的高阶无穷小，所以一-1 >0 ,即a <2. 2 了 a 故选B(2) 下列曲线中有渐近线的是()(A) y = x + Sin X (B) y = X 2+ Sin X (C) y = x +sin —(D) y = x 2+ sin —XX【答案】C・1 ・1 x + sin — Sln-【解析】关于C 选项：Iim ----- = Iiml+ Iim ----- = 1 + 0 = 1・X→∞ X X→∞ X→∞ Xlim[x + sin--x] = IimSin 丄=O ,所以y = x + sin 丄存在斜渐近线y = X ・λ→oc X TTOC X ' X故选C(3) 设函数/(x)具有2阶导数，g(x) = /(OXI-X) +/(l)x ,则在区间［0,1］上( )(A)当 rω≥o 时，f(x)≥ g(x) f(x)≤g(x) (C)当 rω ≥ O 时,f (X) ≥ g(x) /W ≤ g(χ)【答案】D⑷(2,+s)⑻(1,2)(C) (PI)⑻当f(χ)no 时,(D)当 f r (x)≥0 时,【解析】令 F(X) = g(x)- f(x) = /(0)(l -X) + /(l)x-/(x),则F(O) = F(I) = 0,F f (X) = -/(0) + /(1) - f ,(x), F ∖x)= 一厂(X).若 f ∖x)≥Q 9 则 F ∖x) ≤0 , F(x)在［0,1］上为凸的.又F(O) = F (1) = 0,所以当xe ［0,1］时，F(x)≥0,从而g(x)≥f(x). 故选D.X = f' + 7(4)曲线 ? 上对应于f = l 的点处的曲率半径是y =广 +4/ + 1( )(A)迥(B)迥(C) 10√1050100(D)5√10【答案】C 【解析】Iy MI Ik = —L__ = -------- ,Λ∕^ = - = 10√10(l + y 爭(1 + 疔 k故选CΛ2(5) 设函数 /(x) = arctanX ,若 f(x) = xf ∖ξ) > 贝IJIimT =.v→0 V -Jv 2r+ 4 dx z "1It(-1 d 2ydx 2=^=It3(D)-3【答案】D【解析】因为S = f(g) = 丄，所以=Xl + g-f(x)I__!_ Ii m t = Iim= Ii m v 7arctan γ = Ii m 1t χ2= 1χ→υjr x →0 X^f(X) r →0 arctan X ∙V →Υ3Λ'3故选D.(6) 设函数M (X,y)在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满口 C T7 6% ∂1U C m .∣ 足——≠0½-+ —= 0,贝IJ ∂x ∂y ∂x^ ∂y^ ( )(A) U(X y y)的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) H(Xoo 的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C) ∕√x,y)的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D) I t ^y)的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得【答案】A【解析】记4 =變』=工(?=字宀0,必相反数∂x~ ∂xcfy oy'则△:=ACB2 V 0,所以“(x,y)在D 内无极值，则极值在边界处取得.abθOOb _ c d O 一(C)I(A)I 故选A O(7)行列式秩Ood(D) b 1c 2 -a 1d 2【答案】B【解析】山行列式的展开定理展开第一列=-ad (ad _ be) + bc(ad _ be)⑻ 设6∕1√∕2√∕3均为三维向量，则对任意常数匕/,向量组5+g,6+g 线性无关是向量组线性无关的(A)必要非充分条件(C)充分必要条件非必要条件【答案】ArI 0、【解析】(Cr l +ka 3 a 2 +∕α3) = (αl a 2 a 3) 0 1T<=)i^A = (a l +ka y α2+∕αλ), B = ((Z l a 1 α5), C = 0性无关,则 r(A) = r(BC) = r(C) = 2 ,故 cη +ka 3.a 2 +/磅线性无关•=>)举反例・令a 3=09贝!∣QιS 线性无关,但此时a l ,a 2,a 3却线性相关.综上所述，对任意常数RJ T 向量a 】 +ka 3.a 2+la 3线性无关是向量αr α2,α3线性(A) (Ud-be)2(B) —(ad -he)2 (C) a 2d 2 -b 2c 2Oab «00 OCd COOhdO-CO(B)充分非必要条件(D)既非充分也0、1・若a^a 1.a y 线无关的必要非充分条件.故选A二、填空题：9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在客题纸指定位置上. ⑼ J*—~; dx = ---------------------- ■J-3c JT +2x + 53【答案】-∕r8【解析】r 11. f 11I1X +1- ------ ax = -------- : -- dx = - arctan ----JYx+2x + 5 J -X(X+ 1/+422(10)设/(x)是周期为4的可导奇函数，且∕f (x)=2(X-IX x∈[0,2],则/(7) =【答案】1【解析】/(x) = 2(x-l), xe[0,2]且为偶函数Jll l J / (x) = 2(-V-1), x∈[-2,θ]又/(A) = -X 2-2A -÷C 且为奇函数，故C=O.,./(X) = -X 2 — 2x, X ∈ [—2,0]XVy(X)的周期为 4, .∙.∕(7) = ∕(-l) = l仃1)设Z = z(x,y)是由方程严+x+ y 2 +z = -确定的函数,4【答案】一*("x + √y)【解析】对严+x+y^+z = L 方程两边同时对A , y 求偏导1 π2 4~ I 23 =_兀 842>z C 比(6ZCC・2 y 卜1H --- = O'∂x ∂x eυτ(2z + 2y-) + 2v + -= O• ∂y ・∂ySx=l σ = l w ,z=o 故条強一 2> ⅛气如(-l)φ' = -l(6∆∙ + CIy)厶乙乙(12) ____________ 曲线即S”的极坐标方程是十，贝忆在点Z)=(玮)处的切线的直角坐标方程是 ________ . 【答案】÷fX = ∕∙ cos8 = &cos& y = FsinB =Osine于是WH 雪),对应于(心十勻,(Iy 切线斜率© =庞=OcTsinGdx dx cos G-Gsin 8~dθ所以切线方程为y-- = --(x-O)2 Tr 即 y=- —X + —7T 2(13) 一根长为1的细棒位于X 轴的区间[0,1] ±,若其线密度P (Λ-) = -√+2Λ+1,则该细棒的质心坐标丘= ___________ . 【答案】—20【解析】质心横坐标-]± 加A)必故衣昙【解析】山直角坐标和极坐标的关系O.-∫' P £' (-x 2 + 2x +1) (IX =-XJ ： XP (X)JX=jθ x (-x 2 + 2x +1) 〃X = U∙∙-=⅞⅛(13)设二次型/(x p X 2,X 3) = X 12 -+-^3 + 4X 2X 3的负惯性指数是1，则d 的取值范围 __________ . 【答案】[-2,2]【解析】配方法：/(X PX 2,X 3) = (X I+ Cix 3Y 一/x ； -(x 2-2x^y +4xj由于二次型负惯性指数为1,所以4-√≥0,故-2≤6∕≤2.三、解答题：15〜23小题,共94分•请将解答写在答题纸指定位置上•解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤・ (15) (本题满分10分)J ： t 2e 7-l -/ Ch 求极限Ii m 「I 丿v→÷∞I I1 IJrIn 1 + -X )=lim[x 2(e r -l)-x].V→-HX(16) (本题满分10分)已知函数y = y(x)满足微分方程√ + ∕y = l -/,且y(2) = 0,求y(x)的极大值1 =5"3f X 4 2 3— _ + _ 1、对-L- ________ - I - Λ4 32丿【解析]Ii Jbej)「x 2ln(l + -) X .v→*∞dr —=Iim.v→÷xdrX -> —+ JT + JV3)11 12=Iim —=—・W 2t 2与极小值.【解析】由√ + y2y = ι-y^得(r +i)y = ι-√ ..............................................此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为-y^ + y = x--x3 +c3“ 32由y(2) =0得C =—乂由①可得/(A) =⅛-当y∖x) = O时，x = ±l,且有：x<-h∕(x)<O-l<x< l,∕(x)>0x>l,>z(x)<0所以y(x)在JV = _1处取得极小值，在X = 1处取得极大值X-I) = O,MD = I 即：y(χ)的极大值为1，极小值为0.(17)(本题满分10分)【解析】D关于y = χ对称，满足轮换对称性，则:『sin(切7)艸=『血(尺7)处.JJ Y 4- V JJ K4- V=—( -- )[rd COS πr4龙J∣=一一2 + 1一一sin πr If4∣. π ”」=_3(18) (本题满分10分)设函数/(")具有二阶连续导数，Z = f (e'cosy)满足⅛ + ⅛ = (4z + e v COS y)e 2x , ∂x^ 若/(0) = OJ (O) = O,求/3)的表达式.【解析】由 Z = f(e x COS y}, ? = f ∖e x COS y)・ e x ' Z OX=f f,(e xCOS y)・ e xCOS y ・ e xCOS y + f f(e xCOS y)心 COS y=J n ie X COS y)・(YX Sin y)・(YX Sin y) + f f (e x COS y) ∙(-e x COS y)由 ≤4 + ≤≡ = (4z + ^cosy)e 2v ,代入得，ox" ∂y^ V 7∕*(e tCOS y ) ∙ e lx = [4/ (e x COS y ) + e x COS y]e 2x即f(e x COS y )—4/(e x COS y) = e x COS y ,令 QCOSy=/,得 ∕ff (r)-4∕(r) = / 特征方程Z 2-4 = 0,2 = ±2得齐次方程通解+c 2^2z设特解y=at + b f 代入方程得a = --i b = 0,特解y=--t4 4则原方程通解为y=∕(f) = c l e 2t+c 2e-2,-γ1 Γ—COS πrCOS πrdrCOS y,— = f ,(e x COSy)∙(-e xSin y} ・ 6y、 r 7∂2z(19) (本题满分10分)设函数f(x ∖g(x)在区间归上]上连续，且/(x)单调增加，OSg(X)Sl,证明:(I)0≤ f g(t)dt ≤x -a.x^[a,b},Jrt (II) JJ +L/(X) dx≤∫"/(Λ-) g(Λ-)6∕x •【解析】(I)曲积分中值定理∫∖(r)√r = g(ξ)(x -a),ξ e[a,x]∙.∙0≤g(x)≤l, ∙∙.O≤gg)(-α)≤(xT) ∙∙∙O≤[g(f)∕<(x -α) (II)直接IIIO≤^(x)≤l,得到OS J'g(∕)d∕ ≤ ∫ k∕r=(x -w)(II)令 F(W) = ∫ /(x)(X)dx-广L'"M f (X yfdX Fm")g(")-∕(α + [g(∕)∕)∙g(") = g(") /(")-+由(I)知 OSJ g(t)dt ≤(u -a) ：.a ≤a + g(t)dt ≤u乂由于/(x)单增，所以/(“) —/(α + [g(f)∕)≥O ・・・F (W) ≥ O, A F(W)单调不减，・・・F(M) ≥ F (a) = O取M=/?,得F(Z7)≥0,即(II)成立.(20) (本题满分11分)设函数/(X) = -,xe[0,ll,定义函数列由 /(O) = OJ (O) = O,1--U则161 + x/1 (兀)=∕W√2(x) = /(/1 W)√∙∙>f n M= /(Λ-1 (功,…，记S ZI是由曲线y = f n(X),直线x = l及X轴所围成平面图形的面积，求极限Iiln∕r→ocX Y【解析】∕1(x) = ~√2W=T-Ξ-√3C V)=1 1∙∙s,严j>QM=［岛/=1 fι 1 rι 1 1 1=—IiZV—— -------dx =----- In(l + ∕7x)H JO H JO 1 + HX Il 1Γ=—-"vln(l + n)n Jr：.Iim nS ll = 1 -Iim In(I + Zr) = I-Iim j n(I~^V) = I-Iim丄=I-O = I∕z→χ *n→∞ IJ x→∞ X.v→χ ↑ + X(21)(本题满分11分)已知函数/(x,y)满足—= 2(y + l),且/(y,y) = (y+ 1)2-(2-y)ln ” 求曲线6/Uy) = 0所围成的图形绕直线y = -l旋转所成的旋转体的体积.【解析】因为—= 2(y + l),所以/(K y) = y2 + 2y + φ(x∖其中φ(x)为待定函数. 勿又因为/(y,y) = (y+l)2-(2-y)ln y,则^y) = I-(2-y)lny,从而f(x y y) = y2 +2y + ∖-(2-x)∖nx = (y+ 1)2 -(2-x)∖nx.令/(x,y) = 0,可得(y + lF =(2-%)lnx,当y = -l时，x = l或x = 2,从而所求的体积为V =穴［(y + l) = ^r J1(2-x)∖nxdxU ∖+nχ(22) (本题满分11分)U 2 O 一3丿(I) 求方程组AV = O 的一个基础解系; (II) 求满足AB = E 的所有矩阵B •【解析】T -2 3 -4 1 0 0、rI -2 3 -4 10 0、(AlE) = 0 1 -11 01 0 → 0 1 -11 01 0J 20 一3 0 0 1丿4 一31 -1 0 b5-23-410 (T"100126 -Γ→ Ol-IIO 1→ 0 10-2-1-31,001-3-1^1；、0 0 1-3-1-41丿⑴Av = O 的基础解系为g = (-l,2,3,l)'(ID q =(IQO)' ® =(0丄0)'Ar = ©的通解为 x = £g + (2,_l,_Ie)' =(2_你_1 + 2 心 _1 + 3化&)‘Ax = e 2 的通解为X = hg + (6,-3,r,0)' =(6-込,一3 + 2 Jr+ 3S 他)'∕U = y 的通解为X =心疳+ (TJ 丄0)' =(_1_人,1 + 2&,1 + 3他B = f2-k x —1 + 2& —1 + 6-匕-3÷2Z C 2 一4 + 3-7、 1 + 2他 1 + 3/(^1Λ2Λ3为任意常数)& k 2他)(23)(本题满分11分)<1 1 ...1「rO 01 1 ・・0 02证明〃阶矩阵 • • • • 与 • • •• 相似.,1 1…1丿\0・・• 0—=π In x(2x-才)-龙( 2^ir1 -2设矩阵A= O 1 E 为三阶单位矩阵.= π2∖n2-π(2x -^-)∖~-1 1■1), B= 2 (O O【解析】已知A= : （1■J>则A的特征值为一0 5-1重）・A属于λ = n的特征向量为（1丄…,I）? ；F（A） = I,故AX = O基础解系有力-1个线性无关的解向量，即A属于/1 = 0有川-1个线性无关的特征向量；故A相似于对角阵A=■< 0>B的特征值为“，0（π-l重），同理B属于2 = 0有“-1个线性无关的特征向量，故B相似于对角阵A.由相似关系的传递性，A相似于B .。