线性代数09-10试卷A

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线性代数试题A及答案

线性代数试题（A ）一、选择题：（每小题3分，共18分）2、2、A 、B 均为n 阶方阵，则以下表达正确的是__ _ （A ） AB=BA （B ） AB=0，则A=0或B=0 （C ） ()111---=B A AB （D ） ()T T TA B AB =3、设矩阵A 的秩是r , 则（A ）A 中没有等于零的1-r 阶子式（B ）A 中至少有一个r 阶子式不等于零（C ）A 中有不等于零的1+r 阶子式（D ）A 中没有等于零的r 阶子式4、已知 )3,2,1(=a )31,21,1(=b ，且b a T A = 则4A =（A ） 27÷÷÷÷÷÷øöççççççèæ1233321231211（B ）÷÷÷÷÷÷øöççççççèæ1233321231211 （C ）9 (D) 81 5、设A 是可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则*-=A A A A 1)( *-=A A B 1)( *--=A AA C 11)( 11)()(-*-=A A D6、与对角矩阵D = úúúûùêêêëé211 相似的矩阵是 (A) úúúûùêêêëé100020101. (B) úúúûùêêêëé200110001. (C) úúúûùêêêëé200010011. (D) úúúûùêêêëé-111021001 二、填空题：（每小题4分，共20分）1、设A , B 为三阶矩阵, 2=A ,41=B , 则12-)(BA = 2、行列式8040703362205010的值为 3、设A 是n 阶方阵,若3-=n A R )(,则0=AX 的基础解系所含向量的个数为4、k= 时，向量)5,,1(k =b 能由向量)1,1,2(),2,3,1(21-=a -=a 线性表出。

《线性代数》模拟试卷(A)卷

厦门大学网络教育2008-2009学年第一学期《线性代数》模拟试卷（ A ）卷一、单项选择题(每小题3分，共24分).1. 若111221226a a a a =，则121122212020021a a a a --的值为( ). A ．12； B. －12； C. 18； D. 0. 2. 设A B 、为同阶方阵，则下面各项正确的是( ).A.若0AB =, 则0A =或0B =；B.若0AB =，则0A =或0B =；C.22()()A B A B A B -=-+；D.若A B 、均可逆，则111()AB A B ---=.3. 若方程组12312302403690x t x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭　的基础解系含有两个解向量，则 t =( ). A ．2； B ．4； C ．6； D ．8.4. 已知方程组A x b =对应的齐次方程组为0Ax =，则下列命题正确的是( ).A ．若0Ax =只有零解，则Ax b =一定有唯一解；B ．若0Ax =有非零解，则Ax b =一定有无穷解；C ．若Ax b =有无穷解，则0Ax =一定有非零解；D ．若Ax b =有无穷解，则0Ax =一定只有零解.5. 设12, u u 是非齐次线性方程组Ax b =的两个解，则以下结论正确的是( ).A ．12u u +是Ax b =的解；B ．12u u -是Ax b =的解；C ．1ku 是Ax b =的解（1k ≠）；D ．12u u -是0Ax =的解. 6. 设123,,a a a 线性相关，则以下结论正确的是( ).A ．12,a a 一定线性相关；B ．13,a a 一定线性相关；C ．12,a a 一定线性无关；D ．存在不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k a k a k a ++=.7. 若20000101A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与200010001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦相似，则x =( ). A ．-1； B ．0； C ．1； D ．2.8. 二次型f(x 1,x 2,x 3)=32232221x x 12x 3x 3x +++是( ).A. 正定的；B. 半正定的；C. 负定的；D. 不定的.二、填空题(每小题4分，共24分)1. 设802020301A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，*A 为A 的伴随矩阵，则*A =_________. 2. 非齐次线性方程组m n A x b ⨯=有唯一解的充分必要条件是_________.3. 设方程组123131232 1 2 53(8)8x x x x x x x a x ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩，当a 取__________时，方程组无解.4. 设向量组1(1,3,)a k =-，2(1,0,0)a =，3(1,3,2)a =-线性相关，则k =_________.5. 二次型3231212322213214225),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=为正定二次型，则t 的取值范围是_____________.6. 3阶方阵A 的特征值分别为1，-2，3，则21()A -的特征值为_________.三、计算题(共38分).1. (10分) 计算行列式 3112513420111533D ---=---.2. (10分) 求123221343A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵1A -.3. (10分)求向量组)11,9,5,8(),2,1,1,3(),10,7,1,1(),1,1,1,2(4321=--=-==αααα的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示.4. (8分)已知111131111A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求A 的特征值. 四、证明题(每小题7分，共14分).1. 设列矩阵12(,,,)T n X x x x = 满足1T X X =，E 为n 阶单位阵，2T H E XX =-，证明: H 是对称阵，且T HH E =.2. 证明二次型22256444f x y z xy xz =---++是负定的.答案：一．1．A 1211121112111112222122212221212220220(1)22122021a a aa a a a a a a a a a a a a =-=-==--2. B 由矩阵的理论可得选项B3. C 基础解系含有两个解向量3()2()1r A r A ⇒-=⇒=,12312324006369000A t t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,6t =时，()1r A =4. C 当()()r A r A =时，Ax b =有解5. D 1212()2A u u Au Au b b b +=+=+=，因此12u u +不是Ax b =的解，下面的选项类似讨论6. D 由线性相关的定义可得选项D7. B 相似矩阵具有相同的特征值8．D f 的矩阵是100036063A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，A 的各阶主子式为：1110a =>，103003=>，10003613366270063A ==⋅⋅-⋅=-<，因此f 为不定的二．1．16 8022016124301A ==-=， 33***416A A A E A AA A ====⇒=2. n A r =)( 由方程组解的理论可得3. 0 方程组无解可得()(,)r A r A b ≠11211121112110120111011153880223001a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦,(,)3r A b =，当0a =时，()2r A =。

101101线性代数(理工类)A09级期中A卷答案.docx

课程《线性代数（A ）》・A 卷□ B 卷任课教师 ____________一、选择题（本题20分〉1. 设A 为加XA ?矩阵，B 为EX #矩阵，C 为pxm 矩阵,m,n,p 互不相等，则下列运算没有意义的是（D ）(A)C + (AB)Z9、(B)ABC (C)(BC)‘ - A (D) BC-Ar 6 2.令 A = -2 57 的第三行元素的代数余子式分别为每,錢‘绻，则―yz 丿Al + 2人32 + 3^3 =〔 B)(A)-l(B)0(C)l (D)不确定3•设A 和B 均为n 阶矩阵，（AB『=E （E 为n 阶单位矩阵），则下列式子中必成立的是（A ）（A ） AB = B-]A-] （B ） AB = -E （C ） AB = E （D ） AB = ±E4.设A 为斤阶矩阵，B 是A 经过若干次矩阵初等变换后得到的矩阵，则有（C ）（A ）|A | = |B |（B ）|A |H |B |(C)若\A\ = 0,则一定有|B| = 0(D)若|A|>0,则一定有|B| > 0Q 人了衣京了悅试卷成绩2010-2011学年第一学期考试时长：120分钟f ■闭卷】5.四阶行列式°b3b2 0h\°的值等于（D ）(A) a }a 2a 3a 4 -b }b 2b 3b 4 . (B) a x a 2a 3a 4 +/?為伏乞•(C) (。

禺2 一妙2 ) ( a 3a4 一側4 ) • (D) (a 2a 3 - b 2b 3)(a y a 4 -)二、填空题（本题20分〉厂-8 2 -2、2.设4= 2 x -4不可逆，则兀二_______-2 -4 x ;\(() A \3.设A为分块矩阵,其中人2，人|均为可逆矩阵，则lAi ° 丿l ( 0每A = .E 0丿4.设是四维向量,已知,|人| = |%%,匕,人| = 5, 0| = |0,了2，匕,％| = 2贝iJ|A+ B\二56 ________‘0 1 1 ••• 1 P1 0 1 ••• 1 11 1 0 ••• 1 15.,2阶矩阵. ! ..,则內=(一1广匕7-1)•••••三、（10分）若力是3阶矩阵，|A| 解(3矿-2A”1.设A = (l,0,3,5)r,B = (-2,8,6,9)丁,则咼=61 , AB T< -2-6<-io824406183092745四、（10分）计算行列式D2354-57-961-1212472的值2354-57-96-12124721-121-57-96235424721-521112512263五、六、2111= -99.Q]+1（10分）计算n阶行列式a2a2d] +1-1••2•■… 色一]…0••••5•••-1■• •…(/1-1)•-1 0 … 0n+ 1 + 守+D -q-LiGT% + S -1)a n-X:的值l n4-/7斤+尹4+斗汕n-114+一7n-n\ 1 + ® +（10分）设人=…+心-431+他72)0、3，…(«-1) 0解原关系式可化为（A-2E ）B = A.由于<2 2 3 1 0 0、<1 0 0 1-4 -3、(A-2E £)= 1 -1 0 0 1 0 T 0 1 0 1-5 -3<-1 2 1 \ 0 0<0 0 1 -1 6 4丿故A-2E 是可逆的，H< 1 -4 -3、(A-2E)'1 = 1 -5 —3 .<-1 64 )/因此矩阵方程的解厂 1 -4 -3、 ‘ 4 2 3、‘3-8 -6B = (A-2E 『A =1 -5 -3 1 1 0 —2-9-6<-1 6 4 丿,一1 2 3,,-2 129（法 2:利用（A-2E|A ）,求（A-2E ）~l A,略）八、(10分)设方阵A 满足“―A — 2E = 0,证明矩阵A + 3E 可逆，并求其逆矩阵。

(完整版)线性代数测试试卷及答案

线性代数（A 卷）一﹑选择题（每小题3分，共15分)1。

设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ）（A ）AB BA = （B)222()AB A B = （C)222()2A B A AB B +=++ (D ）A B B A +=+2。

如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量，那么矩阵A 的秩为( ）(A) n (B) s (C ） n s - （D) 以上答案都不正确 3。

如果三阶方阵33()ij A a ⨯=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于（ ) (A) 10, 8 （B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8--4。

设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为A ,那么( ）(A) 2331A ⎛⎫=⎪-⎝⎭ （B) 2241A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ （C) 2121A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（D) 1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A ） A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B ）A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C ） A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D ）A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关二﹑填空题（每小题3分,共30分)1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于；2。

设100210341A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ; 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解，若λαμβ+也是它的解，那么λμ+= ; 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5。

设A 为正交矩阵,则A = ；6。

设,,a b c 是互不相同的三个数,则行列式222111ab c a b c = ； 7。

2019-2020-1《线性代数》期末试卷(A)答案及评分标准

A卷2019-2020-1《线性代数》期末试卷(A)答案及评分标准《线性代数》期末试卷答案（32学时必修）专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2016年1月15日题号一二三四五六七总分本题满分15 15 21 16 12 14 7本题得分阅卷人注意事项：1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共7页。

说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵；)(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按照前面5个题目给分）1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【负】.2.设1352413120101311--=D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式，则4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】.3．设102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，A 为34⨯矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【 2 】.4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【 1 】.5．设A 是3阶实的对称矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m m 11β是线性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【 1 】.6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式=+-|2|1E B 【 -8 】.二、选择题（共5个小题，每小题3分）1. 设A 为3阶矩阵，且21||=A ，则行列式|2|*-A 等于【 A 】.(A) 2-； (B) 21-； (C) 1-； (D) 2.2. 矩阵110120001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为【 A 】．(A) 210110001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； (B)210110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (C) 110120001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； (D) 110110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.3．设A 是n 阶非零矩阵，满足2A A =，若A E ≠，则【 A 】．(A) ||0A =； (B) ||1A =； (C) A 可逆； (D) A 满秩.4. 设300300026,110,001342A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1-=AB C ，则1C -的第3行第1列的元素为【D 】．(A) 4； (B) 8； (C) 0； (D) 1-.5．设323121232221321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=，a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数，则必有【 B 】．(A) 2=a ； (B) 1=a ； (C) 3=a ； (D) 以上选项都不对.三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)1. 若,,αβγ线性无关，2,αβ+2k βγ+，3βγ+线性相关，求k . 解：因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关，所以必定存在不全为零的数321，，λλλ，使得0=3+++2+2+321）（）（）（γβλγβλβαλk ----------2分整理得：0=3+++2+2+323211γλλβλλλαλ）（）（k 由于,,αβγ线性无关，因此可得=3+0=+2+20=323211λλλλλλk 由于321，，λλλ不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此0=30122001k ，由此得k = 6. ----------7分 2. 设()011201-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=03112211a B ，若2)(=+B AB R ，求a .解：由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ，由此可得 0=+B E A又 02=122010012=+≠--E A----------2分因此 0=B因此可得 5=-a . ----------7分3. 设矩阵2001000240021603,A a B t -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且,A B 相似，求a 与t 的值．解：由,A B 相似可知,A B 的特征值相同，而易知B 的特征值为 -1,t ,3，因此A 的特征值也为 -1,t ,3 利用特征值的性质可得21132(4)3t a t a ++=-++⎧⎨-=-⎩ ----------5分解得12a t ==,. ----------7分四、（共2小题，每小题8分）1．求向量组123410311301,,,217242140⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来.解：令()123410311301,,,217242140A αααα⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 把A 进行行变换，化为行最简形， ()123410300110~00010000A C ββββ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭----------6分则421，，βββ是C 的列向量组的一个最大无关组，且421303ββββ++=，故421，，ααα是A 的列向量组的一个最大无关组，且421303αααα++=.----------8分2. 问a 满足什么条件，才能使得21403003A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭共有两个线性无关的特征向量？解：由0=30030412=λλλλ----a E A ，得A 的特征值：3==2=321λλλ，要使A 有两个线性无关的特征向量，则特征值3对应一个线性无关的特征向量，即0=)3(x E A -的解空间的维数为1，则2=)3(E A R -， ----------6分而114300000A E a -⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此可知0≠a . ----------8分五、问λ为何值时，线性方程组13123123,4226423x x x x x x x x +=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩λλλ无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解．解：记方程组的增广矩阵为，则101412261423B ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭λλλ，对其进行行变换，化为行阶梯形：101012320001B λλλ⎛⎫ ⎪→--+ ⎪ ⎪-+⎝⎭，易知，当1≠λ时，3)(2)(=≠=B R A R ，方程组无解；当1=λ时，2)()(==B R A R ，方程组有无穷多解； ----------6分当1=λ时，101101210000B ⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭，与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+⎧⎨=-⎩，由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ----------12分六、求实二次型32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩，并求正交变换Py x =，化二次型为标准形．解：记二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=442442221A ,122~000,000A -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 故二次型f 的秩为1. ----------4分由0442442221=-------=-λλλλE A ，可得：0，9321===λλλ，当，91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11-211ξ，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3232-311p ,当，032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102-，01232ξξ，正交化：[][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==15452--，012222323322ηηηξηξηξη，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3515541552-15452-35，0125132p p ， ----------12分令()321p p p P =，则可得正交变换Py x =，二次型的标准形为：232221321009),,(y y y y y y f ++=. ----------14分七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）1. “设A 是n 阶实的反对称矩阵，则对于任何n 维实的列向量α，α和αA 正交，且E A -可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由. 解：该结论成立。

全校各专业《线性代数》课程试卷及答案A卷

全校各专业《线性代数》课程试卷及答案A 卷试卷 A 考试方式闭卷考试时间（120分钟）一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。

每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1、设A ，B 为n 阶方阵，满足等式0=AB，则必有（） (A)0=A 或0=B ; (B)0=+B A ；（C ）0=A 或0=B ; (D)0=+B A 。

2、A 和B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B +=++，则必有（） (A) A E =； (B)B E =；（C ） A B =. (D) AB BA =。

3、设A 为n m ⨯矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是（）(A) A 的列向量线性无关； (B) A 的列向量线性相关；（C ） A 的行向量线性无关； (D) A 的行向量线性相关. 4、 n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是（） (A) A 的秩小于n ； (B) 0A ≠；(C) A 的特征值都等于零； (D) A 的特征值都不等于零；二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）5、若4阶矩阵A 的行列式5A =-，A *是A 的伴随矩阵，则*A = 。

6、A 为n n ⨯阶矩阵，且220A A E --=，则1(2)A E -+= 。

7、已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+43121232121321x x x a a 无解，则a = 。

8、二次型2221231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的，则t 的取值范围是。

三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）9、计算行列式1111111111111111x x D y y+-=+-10、计算n 阶行列式121212333n n n n x x x x x x D x x x ++=+四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。

线性代数试卷A

嘉兴学院南湖学院试卷200 9 —2010 学年第一学期期末考试试卷N O A 卷课程名称：线性代数N(经管) 使用班级：N08级经管类考试形式：闭卷班级：姓名：学号：一、单项选择题(每小题2分，共14分)1、设A 为三阶矩阵，且A a =，则*A 行列式的值为 ( ) (A) a (B) 2a (C) 3a (D) 4a2、已知34⨯矩阵A 的行向量组线性无关，则()T r A 等于（） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 43、设A 、B 都是n 阶方阵, 下面结论正确的是 ( ) (A ) 若A 、B 均可逆, 则A + B 可逆 (B ) 若A + B 可逆, 则A , B 均可逆 (C ) 若A + B 可逆, 则A －B 可逆 (D ) 若A 、B 均可逆, 则AB 可逆4、设A 、B 都是n 阶非零矩阵, 且AB = 0, 则A 和B 的秩 ( )(A)都小于n (B ) 必有一个等于零 (C ) 一个小于n , 一个等于n (D ) 都等于n5、设向量组123,,ααα 线性无关, 则下列向量组线性相关的是（）(A ) 122331,,αααααα+++ (B ) 112123,,αααααα+++(C ) 122331,,αααααα--- (D ) 122331, 2, 3αααααα+++6、已知12ββ、是非齐次线性方程组A x b =的两个不同的解,12αα、是对应齐次方程组0A x =的基础解系，则A x b=的通解是（） (A)1211212()2k k ββααα-+++ (B) 1211212()2k k ββαββ-+++(C) 1211222k k ββαβ+++(D) 1211222k k ββαα+++7、下列矩阵中不能与对角矩阵相似的是（）（A ）123223333⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）123023003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）123013001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D) 113003001⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题（每小题2分，共12分）1、在函数211()12xf x xx x x-=--中，3x 的系数是。

2020-2021(1)《线性代数A》A卷参考答案

3 ,1)T . 2
(3) 当 k 1时 R( A) 1; 当 k 2 时 R( A) 2; 当 k 1且 k 2 时 R( A) 3.
(12 分) (15 分)
P5
x1 3x2 2x3 x4 3
得分
六、（12
分）求非齐次线性方程组
x1 x1
x2 x2
x4 x3
1 2
五
六
七
八
得分
阅卷人
得
一、填空题（共 24 分，每小题 3 分）
分
1． n 阶行列式
1
2
n ( n 1)
(1) 2 1n .
n
3 5 2 1
2. 已知 4 阶行列式 D 1 1 1 3
0 5 1 3 ,D 的 (i, j) 元的代数余子式记作 Aij ，则
2 4 1 3
学院
考专业装
生
信
息姓名
班级
栏学号线
订
集美大学试卷纸参考答案与评分标准
2020 — 2021 学年第一学期
课程名称
适用学院、专业、
年级
线性代数 A
试卷卷别
考试方式
A
闭卷 □√ 开卷 □
备注
1.本试卷共 8 页，答题前请检查；2.考试时间 120 分钟。
总分
题号
一
二
三
四
生
信
息姓名
班级
栏学号线
订
1 2 3k
得
五、（15
分）设矩阵
A
1 k
2k 2
3 3
，
分
（1）求行列式 A ；

线性代数a期末考试题及答案

线性代数a期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 对角矩阵D. 奇异矩阵答案：B2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行的最大数目D. 矩阵中非零列的最大数目答案：C3. 如果一个矩阵A的行列式为0，则：A. A是可逆的B. A是不可逆的C. A是正定的D. A是负定的答案：B4. 以下哪个选项不是线性方程组解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 零解D. 非零解答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 矩阵的________是矩阵中所有元素的和。

答案：迹2. 如果一个向量组线性无关，则该向量组的________等于向量的个数。

答案：秩3. 对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=0，则称x为矩阵A的________。

答案：零空间4. 一个矩阵的________是指矩阵中所有行向量或列向量的最大线性无关组的个数。

答案：秩三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，求A的行列式。

答案：\[ \text{det}(A) = 1*4 - 2*3 = 4 - 6 = -2 \]2. 设A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，B=\[\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\]，求AB。

答案：\[ AB = \begin{pmatrix} 1*2 + 2*1 & 1*0 + 2*3 \\ 3*2 +4*1 & 3*0 + 4*3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} \]3. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\]，求A的特征值。

高等数学A3复习题

09级《线性代数》（A ）阶段练习题（一）答案一、填空题1.行列式1234234134124123=160. 解：123410234123412342341103411341011310103412104121412022241231012311230111-===-----123401131016000440004-==--[2.]排列12345a a a a a 的逆序数等于3，排列54321a a a a a 的逆序数等于7. 解：排列12345a a a a a 排列54321a a a a a 的逆序数之和等于10.因此排列12345a a a a a 的逆序数等于3，则排列54321a a a a a 的逆序数等于7.[3.]已知四阶行列式D 中第三列元素依次为1,2,0,1-，它们的余子式依次为5,3,7,4-，则D =-15.4.矩阵132113411,212343341A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则35828359125A B ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭.5.A 为7阶方阵，且满足T A A=-,则A =0.解: 7(1)0T A A A A AA ==-=-=-⇒=.6.272132-⎛⎫= ⎪-⎝⎭2132-⎛⎫⎪-⎝⎭. 解:事实上2212110,323201E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭故272132-⎛⎫= ⎪-⎝⎭2132-⎛⎫⎪-⎝⎭.7.设n 阶方阵A 的行列式2A =，则1*A AA E -=. 解：事实上1***111()A AA AA A A AA E A A--====. 8.设矩阵100110111A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则()12A E -+=100110011⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 解:100100100100(2,)110010010110,111001001011A E E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 因此1100(2)110011A E -⎛⎫⎪+=- ⎪ ⎪-⎝⎭.9.设分块矩阵A B D O C ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中A ,C 可逆,则1D -=1111A A BC O C ----⎛⎫- ⎪⎝⎭. 10.设5421,3234BC ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，且BAC E =，则1A -=131034⎛⎫ ⎪--⎝⎭. 二、选择题1.如果11121311121321222313132333132332122232220,222222a a a a a a D a a a M D a a a a a a a a a ==≠=,则1()D D =. ()2;()2;()8;()8A M B M C M D M --.2.如果11121311111213212223121212223313233313132334231,423423a a a a a a a D a a a D a a a a a a a a a a a -===--，则1()D B =. ()8;()12;()24;()24A B C D --.3.下列行列式中(B )的值必为零.1();A n D n 阶行列式中零元素的个数多于 2();B n D 阶行列式中有两列对应元素成比例121112122123412200000();()00n nn n n n nna a a a a a a C D D D a a a a ==.[4.]如果线性方程组304050x ky z y z kx y z +-=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩有非零解，则()k C =. ()1;()0;()3;()2A B C D -.5.1111234549162582764125D =是一个范德蒙行列式，D 的第四行元素的代数余子式之和41424344()A A A A C +++=.()12;()12;()0;()5!A B C D -.解:41424344A A A A +++=1111234504916251111=.6.,A B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B +=++，则必有()D .();();();()A B E B A E C A B D AB BA ====.7.A 是n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则*()A A =.12();();();()n n n A AB AC AD A --.8.,A B 均为n 阶方阵，且0AB =，则必有()B .()00;()00;()||0;()0A A B B A B C A B D A B ====+=+=或或. 9.,A B 均为n 阶可逆矩阵，下列诸式()B 是正确的.()();()();T T T T T T A AB A B B A B A B =+=+ 111111()();()()C AB A B D A B A B ------=+=+.[10.]A 、B 、C 、E 均为同阶矩阵，E 为单位矩阵，若ABC E =，则下列诸式中()B 是正确的.();();();()A ACB E B BCA E C CBA E D BAC E ====.三、计算题 1.计算行列式x a a a a x a a D a a x a a a a x= .解:(1)(1)(1)(1)x a a ax n a a a aa x a a x n a x a a D a a x a x n a a x a a a a x x n a a a x+-+-==+-+-1110001100[(1)][(1)]1100110[(1)]()n a a a x a a x ax n a x n a a x a x a a a xx ax n a x a --=+-=+---=+--2.计算行列式123123123123n n n nb a a a a a b a a a D a a b a a a a a b a ++=++.解:231123112323123231123231nin i nn ii n n nn in i nnini b a a a a b a a a a b a a b a a a b a a a D a a b a a b a a b a a a a a b a b a a a b a ====+∑++∑++=+=+∑+++∑+232323112311110001100()1()1001100()n n nni n i i i nnn i i a a a b a a a bb a a b a a b a b a a b a bb a b ==-=+=+∑+=+∑+=+∑[3.]计算行列式1110110110110111D =.解：111011*********111011101(1)101110111011011111111111n n D n n n --===---2(1)21220001010(1)(1)(1)(1)(1)(1)01001111n n n n n n n n -+----=-=---=---.[4.]计算行列式123111000022000002011n n D n n n---=---.解：(1)123123121100001000022002200000200002011011n n n n n n D nn n nn n+------==------11(1)(1)!(1)(1)!(1)22n n n n n n --++=--=- [5.]当λ取何值时，齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ 有非零解?解：方程组的系数行列式1111(4)(1)112D λλλλ=-=--+-当1λ=-或4λ=时，0D =，方程组有非零解.6.设A 为三阶矩阵，*A 为A 的伴随阵.已知12A =,求1*(3)2A A --. 解：1*1****32124416(3)222()||333327A A A A A A A A ---=-=-=-=-=-. 或1*111311228116(3)2()||33327||27A A A A A A A ------=-=-=-=-⋅=-.7.已知三阶矩阵A 的逆矩阵1111121113A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,试求*1()A -.解：1***11111(),()2E A A A A A A A A A A A A A A---======故，求A . 1111100111100111100(,)12101001011001011011300100210111001022A E -⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭*15151100115212222010110,()21102201111101001002222A -⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.[8.]解矩阵方程AX B X =+,其中223231344A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,123111B ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭. 解：1()()(*)AX B X A E X B X A E B -=+⇒-=⇒=-,以下求1()A E --123100123100(,)221010025210343001001111A E E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭102110100132025210020365001111001111---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭110013213235350103,()3.2222001111111A E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭将1()A E --代入(*)式可得1132107123517()331102*********X A E B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭--⎝⎭⎝⎭. 9.已知A PQ =，其中12,(2,1,2)1P Q ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭,求10A .解：10()()()()()()()A PQ PQ PQ PQ P QP QP QP Q ==()999121222221224241212PQ -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.10.已知n 阶方阵A 满足232A A E O --=,试证A 可逆，并求1A -. 解：由2332(3)2()2A EA A E O A A E E A E ---=⇒-=⇒=.由定理2.2的推论知A 可逆，且132A EA --=. 四、证明题[1.],A B 是两个n 阶方阵，且AB A B =+，证明：AB BA =. 证明:()()AB A B A E B A A E B E A E =+⇒-=⇒--=-⇒()()()()(*)A E B A E E A E B E E ---=⇒--=.由(*)式知A E -与B E -互为逆矩阵，故A E -与B E -可交换.即有:()()()()A E B E B E A E --=--⇒AB A B E BA B A E AB BA --+=--+⇒=.[2.]A 为n 阶方阵，且有2A A =，证明：A E +可逆.证明: 22()2()(*)2AA A A E A A A A A E A =⇒+=+=⇒+=,另外还有()(**)A E E A E +=+.用(**)式减(*)式，可得:()()2AA E E E +-=，因此A E+可逆，且1()2AA E E -+=-.[3.]如果A 为非奇异的对称阵，则1A -也是对称阵. 证明:由于T A A =,因此有1111()()()T T T T E A A A A A A A A ----====由定理2.2的推论知11()T A A --=,即1A -是对称阵.4.A B 、均为n 阶矩阵，且A B A B +、、均可逆.证明：1111()()A B B A B A ----+=+.证明：由于有111111()[()]()()A B B A B A A B A B A A B A ------++=+++ 11111()()()()A B E A B A A B A A A B A -----=++=++ 11()()A A B A B A E --=++=根据定理2.2的推论知：1111()()A B B A B A ----+=+.5.已知A ,B 均为n 阶矩阵，||0B ≠,A E -可逆，且1()()T A E B E --=-,求证矩阵A 可逆.证明:由1()()T A E B E --=-,当有()()()()T T T T E A E B E A E B E AB A B E =--=--=--+因此()()(*)T T T T T T AB A B A B E B A B E B -=⇒-=⇒-=对(*)式两端取行列式有()00T T A B E B B A -==≠⇒≠.A 非奇必可逆.。

2009-2010学年第一学期线性代数A期末试卷A卷及参考答案

2.（6 分）设 n 阶方阵 A 满足 A2 + 9 A + 7 E = 0, ，求证 A − 2 E 可逆且求其逆．
⎛ 0 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 1 −4 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3、（8 分）解矩阵方程 ⎜ 1 0 0 ⎟ X ⎜ 0 0 1 ⎟ = ⎜ 2 0 −1 ⎟ ． ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ 1 −2 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
浙江科技学院 2009-2010 学年第一学期线性代数A考试试卷A卷一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
1. 已知 4 阶行列式 D 的第二行元素分别为 1、2、3、4，与它们对应的余子式依次为 4、 −3 、2、 −1 ，则 D =__________ . 2. 设 A 是三阶方阵, A* 是其伴随矩阵, | A |=
第 3 页
⎛1 0 0 ⎞ ⎛ 1 2 1⎞ ⎜ ⎟ ⎟ −1 5.（8 分）解： A= (α 1 , α 2 , α 3 )= ⎜ 1 2 3 ⎟ ， B= ( β1 , β 2 , β 3 )= ⎜ ⎜- 1 1 3 ⎟， P = A B ， ⎜1 3 4 ⎟ ⎜ 0 1 - 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ 由 ( A, B ) ⎯⎯ →( E , A B ), 求得P = A B = ⎜ 5 1 −14 ⎟ ⎜ −4 −1 10 ⎟ ⎝ ⎠
第 4 页
⎛ 1 0 5 ⎜ ⎜ 令 P = ( p1 , p2 , p3 ) = ⎜ −2 0 5 ⎜ 1 ⎜ 0 ⎝ 2 ⎞ 5⎟ 1 ⎟ ，则 P 为正交矩阵， 5⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎠
从而 x = Py 为正交变换，使 f = − y12 + 2 y2 2 + 4 y32 四、证明题（6 分）证：设 k1α1 + k 2α 2 + k3α 3 + k 4 (α 5 − α 4 ) = 0, 由 R(I)=R(II)=3，得 α 4 可由 α 1 ,α 2 ,α 3 惟一线性表示，设为 α 4 = l1α1 + l2α 2 + l3α 3 , 代入得 (k1 − l1 k 4 )α 1 + (k 2 − l 2 k 4 )α 2 + (k 3 − l3 k 4 )α 3 + k 4α 5 = 0, 因为 α1 , α 2 , α 3 , α 5 线性无关, 所以 k1 − l1 k 4 = k 2 − l 2 k 4 = k 3 − l 3 k 4 = k 4 = 0, 从而 k1 = k 2 = k 3 = k 4 = 0 ,得证。

(本科)线性代数期末考试题及答案AB卷

线性代数试题测试卷及答案2套一、填空题1.四阶行列式中含有因子112432a a a 的项为_________.2.行列式222111ab c a b c 的值为_________. 3.设矩阵1000010000210022⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，则1-=A _________.4.设四元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为1，则其解空间的维数为_________.5.设矩阵1234(,,,)=A αααα，其中234,,ααα线性无关，12342=-+αααα，向量41i i ==∑βα，则方程=AX β的通解为_________.6.已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,3，则32--=A A E _________.二、选择题1.若两个三阶行列式1D 与2D 有两列元素对应相同，且123,2D D ==-，则12D D +的值为( ).A.1B.6-C.5D.02.对任意的n 阶方阵,A B 总有 ( ). A.=AB BA B.=AB BA C.()111---=AB B A D.()222=AB A B3.若矩阵X 满足方程=AXB C ，则矩阵X 为（）.A.11--A B C B.11--A CB C.11--CA B D.条件不足，无法求解4.设矩阵A 为四阶方阵，且()3R =A ，则*()R =A （）. A.4 B.3 C.2 D.15.下列说法与非齐次线性方程组=AX β有解不等价的命题是（）.A.向量β可由A 的列向量组线性表示B.矩阵A 的列向量组与(,)A β的列向量组等价C.矩阵A 的行向量组与(,)A β的行向量组等价D.(,)A β的列向量组可由A 的列向量组线性表示6.设n 阶矩阵A 和B 相似，则下列说法错误的是（）. A.=A B B.()()R R =A BC.A 与B 等价D.A 与B 具有相同的特征向量7.设222123121323()224f x x x x ax x x x x x =+++-+为正定二次型，则a 满足（）.A.11a a ><-或B.12a <<C.11a -<<D.21a -<<- 三、计算题1.已知12111111111n na a D a ++=+，其中120n a a a ≠，求12n n nn A A A +++.2.设矩阵022110123⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，且2=+AX A X ，求X .3.求矩阵123451122102151(,,,,)2031311041⎛⎫ ⎪-⎪== ⎪- ⎪-⎝⎭A ααααα的列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量用最大无关组线性表示.4.求非齐次线性方程组12341234123431,3344,5980x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩的通解.5.求一个正交变换=X PY ，将二次型123121323(,,)222f x x x x x x x x x =--化成标准形.四、证明题已知n 阶方阵A 和B 满足124-=-A B B E ，证明2不是A 的特征值。

线性代数A模拟卷

=(-1,1,五、（16分）设向量组α1=(1,2,3,4)T, α2=(-1,1,-1,0)T, 分设向量组α α3=(2,-1,3,1)T, α4=(0,3,2,4)T,求L=L(α1,α2,α3,α4)的维数dim L =(2,L=L( 的维数dim 的一组基,并写出其余向量在这组基下的坐标. 及L的一组基,并写出其余向量在这组基下的坐标.
.
.
3.设矩阵 3.设矩阵
1 2 2 1 2 3 B= A= 4 5 6 4 5 10
. 关.
初等矩阵P满足：初等矩阵满足：AP=B,则P= 满足则
4. α1,α2,α3,α4均为3维向量，则向量组α1,α2,α3,α4必线性均为3维向量，则向量组α 5. R [ x ]2 中的基
.
,
二、（15分）选择题：、（分选择题：
1.设α=(1,2,3)T, β=(1,1/2,1/3)T,A=αβT,则A10=（设 αβ 则（
）.
1 1/ 2 1/ 3 9 （A）310; (B) 3 2 1 2 / 3 ） 3 3/ 2 1
1
;(C)
1 210 1 3 ( )10 2
210 310
(C)
a1 D = b1 c1
a2 b2 c2
.
x3 a1 y 3 + b1 z 3 c1
x2 y2 z2
a3 x1 b3 + y1 c3 z1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
2.设矩阵的秩设矩阵A的秩设矩阵的秩R(A)=r,则（则）. (A)A中只有一个阶子式不为零，其余的阶子式全为零；中只有一个r阶子式不为零阶子式全为零；中只有一个阶子式不为零，其余的r阶子式全为零 (B) A中存在一个阶子式不为零，其余的中存在一个r阶子式不为零阶子式（中存在一个阶子式不为零，其余的r+1阶子式（若有）全为零；阶子式若有）全为零； (C) A中所有的阶子式均不为零，而高阶子式全为零中所有的r阶子式均不为零中所有的阶子式均不为零，而高阶子式全为零. ax1 + x 2 + x3 = 1 3. 设线性方程组 x1 + ax 2 + x3 = a 有唯一解，则（有唯一解，）. x + x + ax = a 2 2 3 1 (A)a=1;(B)a=-2;(C)a≠1且a≠-2. 且 4.设向量组α1,α2,…，αs线性相关，则（线性相关， 4.设向量组α ）. 一定可由α 线性表示； (A) α1一定可由α2,α3,…，αs线性表示；一定不可由α 线性表示； (B) α1一定不可由α2,α3,…，αs线性表示；其中至少有一个向量可由其余s 个向量线性表示. (C) 其中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表示. 5.n阶方阵与对角阵相似，则（阶方阵A与对角阵相似阶方阵与对角阵相似，）. (A)A有n个不同的特征值；(B) A有n个相同的特征值；(C) A有n 个不同的特征值；个相同的特征值；有个不同的特征值有个相同的特征值有个线性无关的特征向量. 个线性无关的特征向量

(完整版)线性代数试题套卷及答案

（线性代数）（ A 卷）专业年级：学号：姓名：一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设n m A ⨯为实矩阵,则线性方程组0=Ax 只有零解是矩阵)(A A T为正定矩阵的(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 无关条件。

2．已知32121,,,,αααββ为四维列向量组，且行列式 4,,,1321-==βαααA ，1,,,2321-==βαααB ，则行列式 =+B A(A) 40； (B) 16-； (C) 3-； (D) 40-。

3．设向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，， 21线性表示，则以下结论中不能成立的是(A) 向量组s βββ，，，21线性无关； (B) 对任一个j α，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C) 存在一个j α，向量组s j ββα，，，2线性无关； (D) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价。

4．对于n 元齐次线性方程组0=Ax ，以下命题中，正确的是(A) 若A 的列向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (B) 若A 的行向量组线性无关，则0=Ax 有非零解； (C) 若A 的列向量组线性相关，则0=Ax 有非零解； (D) 若A 的行向量组线性相关，则0=Ax 有非零解。

5．设A 为n 阶非奇异矩阵)2(>n ，*A 为A 的伴随矩阵，则√√(A) A A A 11||)(-*-=； (B) A A A ||)(1=*-；(C) 111||)(--*-=A A A ； (D) 11||)(-*-=A A A 。

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6．列向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111α 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量. 则λ＝，a ＝，b ＝。

线性代数A卷

中国农业大学2014~2015学年秋季学期线性代数（B ）课程考试试题（A 卷）（）注；本试卷共八页、八道大题一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在每题的空中）1．设A 为3阶方阵，A 的第2行的元素分别为2,3,1-，其对应的余子式为3,2,3，则||A = ．2. 设矩阵1234(,,,)αααα=A ，秩()3R =A ，且234,--=αααβ12βαα=-+3α4α-，则方程组β=Ax 的通解为．3. 设向量组1234(1,2,1),(2,3,1),(,3,1),(2,,3)ααααT T T T x y ====的秩为2，则x = ．y = ．4．若2λ=为可逆矩阵A 的特征值，则1212A -⎛⎫⎪⎝⎭的一个特征值为．5．已知3阶矩阵A 与向量x 满足323A x Ax A x =-，且向量组2,,x Ax A x 线性无关，令2(x,2Ax x,A x),AP PB P =+=，则3阶方阵=B ．二、选择题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．设n 阶矩阵A ，B ，满足0AB =，,则下列结论不正确的是【】(A) 0A =或是0B =； (B) 0A =或是0B =；(C) ()()n R A R B +≤； (D) A 不可逆或是B 不可逆.考生诚信承诺1．本人清楚学校关于考试管理、考场规则、考试作弊处理的规定，并严格遵照执行． 2．本人承诺在考试过程中没有作弊行为，所做试卷的内容真实可信．学院：班级：学号：姓名：2.设111213212223313233⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭a a a A a a a aa a ，212223111213312132223323222⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭a a a B a a a a a a a a a ，1100010201⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭P ， 2100010021⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，3010100001⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭P ，则=B 【】 (A) 13P P A ； (B) 23P P A ； (C) 32AP P ； (D) 13AP P ．3.设123,,ααα是齐次线性方程组AX =0的基础解系，则下面不是基础解系的是【】(A) 122331,,+++αααααα； (B) 122331,,---αααααα； (C) 122331,,------αααααα； (D) 1233,3,3ααα.4．若二次型123(,,)f x x x 2221121322332426=+++++x x x x x ax x x x ，为正定二次型，则【】.(A) 1a >； (B) 32a >； (C) 1a <； (D) 32a <．5.矩阵1111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭a a b a a 与20000000⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭b 相似的充分必要条件为【】 (A) 0,a b =为任意常数； (B) =0a ， b=2；(C) 2,a b =为任意常数； (D) =2a ， b=0．三、（本题满分14分，每题7分）计算下列各题1. 设A 是4阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，12A =，求1(3)2*A A --.2. 计算n阶行列式1231231231231111 D.++++ =LLLM M M O MLnn n nna a a aa a a aa a a aa a a a学院：班级：学号：姓名：四、（本题满分8分）设4阶方阵A 和B ，满足126ABA AB E -=+，若1200130000020010A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪-⎝⎭求B .五、(本题满分20分)1．设向量组A ：123453112151342,,,,2011315334-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααααα，（1）求向量组A 的秩；（2）求向量组A 的极大线性无关组；2. 设有向量组12312:1,1,24510a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭--===αααA ，及向量11b β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，问,a b 为何值时 (1) 向量β不能由123,,ααα线性表示;(2) 向量β能由123,,ααα线性表示，且表示式惟一;(3) 向量β能由123,,ααα线性表示，且表示式不惟一，并求一般表示式．学院：班级：学号：姓名：六、（本题满分10分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1,2,3； A 的属于特征值1,2的特征向量为 T T )1,2,1(,)1,1,1(21--=--=αα，(1) 求A 的属于特征值3的特征向量.(2) 求方阵A .七、（本题满分12 分）二次型22221234123412(x ,x ,x ,x )x x x x 2x x f a =++++，经正交变换后可变为标准形22223423y y y ++，（1）求 a 的值；（2）求出该正交变换．学院：班级：学号：姓名：八、（本题满分6分）设12λλ，为方阵A 的两个不同特征值，12,αα为A 的相应于1λ的两个线性无关的特征向量，34,αα为A 的相应于2λ的两个线性无关的特征向量，证明：向量组1234,,,αααα线性无关。

32学时线性代数期末考试试题

线性代数试题（09-10）一填空题（每题3分，共30分）1 矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=3500240000130012A ，则-1A =__________. 2 设A 为3阶方阵，且3A =，则伴随矩阵的行列式=*A _____.3 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++=-+0002321321321x x x x x kx x x x 有非零解的充分必要条件是K=________.4 若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=201032021A 相似于对角阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=Λx 11，则x=______.5设A 为5阶方阵，R(A)=3,则齐次线性方程组AX=0的基础解系中所含解向量的个数为__________.6设向量组:)4,2,0(),,3,1(,)0,0,1(321=-==αααk 线性相关，则常数K=__________.7 设21,αα是n 维向量，令213212121,,2ααβααβααβ-=+=-=，则向量组321βββ，，的线性相关性是______.8已知A 有一个特征值-2，则E A B 2+=必有一个特征值______.9已知实二次型32212322213212224),,(x x x ax x x x x x x f ++++=正定，则常数a 的取值范围为______.10 设A 、B 都为n 阶可逆方阵，则10-⎥⎦⎤⎢⎣⎡AB A =______.二计算题（每题10分，共30分）1计算行列式：xy y x y x y x 00000000D =2 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----315241213124021X ，求矩阵X 3 求向量组)9,8,2,5(),3,1,1,1(),7,1,3,1(),1,3,1,1(4321--=--=-==αααα的秩及其一个最大无关组。

三线性方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++bx x x ax x x x x x 3213213214231202，问a ，b 各取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解。

线性代数考试题及答案解析

WORD 格式整理格式整理2009－2010学年第一学期期末考试《线性代数》试卷试卷答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，分，120120分钟完卷。

2、闭卷考试。

题号题号一二三四五总分总分分数分数评阅人评阅人:_____________ :_____________ 总分人：总分人：______________ ______________ 一、单项选择题。

(每小题3分,共24分)【】1.1.行列式行列式=----3111131111311113(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【】2.2.设设A 为3阶方阵，数2-=l ，3=A ，则=A l(A) 24 (B) 24- (C)6 (D) 6- 【】3.3.已知已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是阶方阵，则下列式子一定正确的是(A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+(C)BA AB = (D)22))((B A B A B A -=-+ 【】4.4.设设A 为3阶方阵阶方阵, , 0¹=a A ，则=*A(A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a【】5.5.设矩阵设矩阵A 与B 等价，则有等价，则有得分得分(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R >(C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小的大小【】6.6.设设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解的充分必要条件是的充分必要条件是(A) n r = (B) n r ³ (C) n r < (D) n r > 【】7. 向量组)2(,,,21³m a a a m线性相关的充分必要条件是线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示个向量线性表示【】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是与对角阵相似的充分必要条件是(A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 (D) (D)A 一定是对称阵一定是对称阵二、填空题。