数学知识点人教A版高中数学必修四 第一章 三角函数 《三角函数的图像与性质》 学习过程-总结

1.4三角函数的图像与性质

学习过程

知识点1：正弦函数余弦函数的图象 （1）函数y=sinx 的图象

第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）. 第二步：在单位圆中画出对应于角6

,

0π，

3π，2

π

,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.

第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．

根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.

把角x ()x R ∈的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象.

（2）余弦函数y=cosx 的图象

用几何法作余弦函数的图象，可以用“反射法”将角x 的余弦线“竖立”[把坐标轴向下平移，过1O 作与x 轴的正半轴成

4

π

角的直线，又过余弦线1O A 的终点A 作x 轴的垂线，它与前面所作的直线交于A ′，那么1O A 与AA ′长度相等且方向同时为正，我们就把余弦线

1O A “竖立”起来成为AA ′，用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们平移，使起点与x 轴上相应的点x 重合，则终点就是余弦函数图象上的点．]

也可以用“旋转法”把角 的余弦线“竖立”（把角x 的余弦线O 1M 按逆时针方向旋转2

π到O 1M 1位

置，则O 1M 1与O 1M 长度相等，方向相同.）根据诱导公式cos sin()2

x x π

=+,还可以把正弦函数

x=sinx 的图象向左平移

2

π单位即得余弦函数y =cosx 的图象.

（1） 正切函数y=tanx 的图像：

知识点2：五点法作图

用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：

(0,0) (2π,1) (,0) (2

3π

,-1) (2,0)

余弦函数y=cosx x [0,2]的五个点关键是

(0,1) (2π,0) (,-1) (23π

,0) (2,1)

只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握． 知识点3：奇偶性

请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？ (1)余弦函数

当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。 例如：

f(-3π)=21,f(3π)=21 ,即f(-3π)=f(3π

)；……

由于cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x).

以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y )也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是偶函数。

定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

例如：函数f(x)=x2+1, f(x)=x4-2等都是偶函数。 (2)正弦函数

观察函数y=sinx 的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？ 这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。

也就是说，如果点（x,y ）是函数y=sinx 的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y ）也在函数y=sinx 的图象上，这时，我们说函数y=sinx 是奇函数。

定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有 f(－x)=－f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数。

例如：函数y=x, y=x 1

都是奇函数。

如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。 注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数： （1）其定义域关于原点对称；

（2）f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。

首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于- f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。 知识点4：.单调性

从y ＝sinx ，x ∈［－23,

2

π

π］的图象上可看出：

当x ∈［－2π，2π

］时，曲线逐渐上升，sinx 的值由－1增大到1.

当x ∈［2π

，23π

］时，曲线逐渐下降，sinx 的值由1减小到－1.

结合上述周期性可知：

正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2

π

＋2k π］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；

在每一个闭区间［2π＋2k π，23π

＋2k π］(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.

余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1. 有关对称轴：

观察正、余弦函数的图形，可知

y=sinx 的对称轴为x=

2π

π+

k k ∈Z

y=cosx 的对称轴为x=πk k ∈Z 学习结论

1．正弦函数余弦函数的图象

2．五点法作图

正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：

(0,0) (2π,1) (,0) (2

3π

,-1) (2,0)

余弦函数y=cosx x [0,2]的五个点关键是

(0,1) (2π,0) (,-1) (23π

,0) (2,1)

3．性质：

（1）周期性：正余弦函数都是周期函数，2k π (k ∈Z)都是它的周期，最小正周期是2π； 正切函数π=T 。

（2）奇偶性：函数y=sinx 是奇函数，函数y=cosx 是偶函数；正切函数是奇函数。

（3）单调性：正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2

π

＋2k π］(k ∈Z)上都是增函数，其值从

－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π

＋2k π］(k ∈Z)上都是减函数，其 值从1减

小到－1.

余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.