(新课标Ⅱ版)高考数学分项汇编 专题06 数列(含解析)理
2024全国卷真题分类汇编(教师版)(数列)
2024全国卷真题分类汇编（教师版）-数列1．（2024年新课标全国Ⅱ卷）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S =.【详解】因为数列n a 为等差数列，则由题意得()1111237345a d a d a d a d +++=⎧⎨+++=⎩，解得143a d =-⎧⎨=⎩，则()10110910104453952S a d ⨯=+=⨯-+⨯=.故答案为：95.2．（2024年高考全国甲卷数学（理））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（）A ．2-B ．73C ．1D ．2【详解】由105678910850S S a a a a a a -=++++==，则80a =，则等差数列{}n a 的公差85133a a d -==-，故151741433a a d ⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭.故选：B.3．（2024年高考全国甲卷数学（理））记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．【详解】（1）当1n =时，1114434S a a ==+，解得14a =．当2n ≥时，11434n n S a --=+，所以1144433n n n n n S S a a a ---==-即13n n a a -=-，而140a =≠，故0n a ≠，故13n n a a -=-，∴数列{}n a 是以4为首项，3-为公比的等比数列，所以()143n n a -=⋅-.（2）111(1)4(3)43n n n n b n n ---=-⋅⋅⋅-=⋅,所以123n n T b b b b =++++ 0211438312343n n -=⋅+⋅+⋅++⋅ 故1233438312343n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅所以1212443434343n n n T n --=+⋅+⋅++⋅-⋅ ()1313444313n n n --=+⋅-⋅-()14233143n n n -=+⋅⋅--⋅(24)32n n =-⋅-，(21)31n n T n ∴=-⋅+.4．（2024年新课标全国Ⅰ卷）设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．(1)写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；(2)当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；(3)从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．【详解】（1）首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k k a a a k m d-=+=+'，得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.（2）由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++，共3m -组.（如果30m -=，则忽略②）故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.（3）定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列：命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈；命题2：3j i -≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i -≠.此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+，即2114k k ->-，故21k k ≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+，共21k k -组；③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i -≠.此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124241k k +<+，即2114k k ->，故21k k >.由于3j i -≠，故()()2141423k k +-+≠，从而211k k -≠，这就意味着212k k -≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组；③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =-，共212k k --组；④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k --个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{}11241,42,...,42k k k +++中除开五个集合{}1141,42k k ++，{}121231,32k k k k ++++，{}1212221,222k k k k ++++，{}121231,32k k k k ++++，{}2241,42k k ++中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的142k +和241k +以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.至此，我们证明了：对142i j m ≤<≤+，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列.然后我们来考虑这样的(),i j 的个数.首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有1m +个元素，故满足命题1的(),i j 总共有()21m +个；而如果3j i -=，假设,i A j B ∈∈，则可设141i k =+，242j k =+，代入得()()2142413k k +-+=.但这导致2112k k -=，矛盾，所以,i B j A ∈∈.设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈，则()()2141423k k +-+=，即211k k -=.所以可能的()12,k k 恰好就是()()()0,1,1,2,...,1,m m -，对应的(),i j 分别是()()()2,5,6,9,...,42,41m m -+，总共m 个.所以这()21m +个满足命题1的(),i j 中，不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的(),i j 的个数为()21m m +-.当我们从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <时，总的选取方式的个数等于()()()()424121412m m m m ++=++.而根据之前的结论，使得数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个.所以数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率m P 一定满足()()()()()()()()()22221111124214121412142221218m m m m m m m m P m m m m m m m m ⎛⎫+++ ⎪+-++⎝⎭≥=>==++++++++.这就证明了结论.。
高考数学真题专题分类汇编专题六 数列(教师版)
专题六 数列真题卷题号 考点 考向2023新课标1卷7等差数列等差数列的判定、等差数列的性质 20 等差数列 求等差数列的通项公式及基本量计算2023新课标2卷8等比数列 等比数列的性质18等差数列、数列的综合应用 求等差数列的通项公式及前n 项和、数列的综合应用（不等式证明） 2022新高考1卷 17 数列的通项公式、数列求和 由递推公式求通项公式、裂项相消法求和 2022新高考2卷17 等差数列、等比数列 等差、等比数列的通项公式2021新高考1卷16数列的实际应用 错位相减法求和17 数列的通项公式、数列求和由递推公式求通项公式、公式法求和2021新高考2卷12等比数列 数列的新定义问题17 等差数列 求等差数列的通项公式、等差数列求和 2020新高考1卷14等差数列 等差数列的性质、等差数列求和 18 等比数列、数列求和求等比数列的通项公式、数列求和 2020新高考2卷15等差数列 求等差数列的通项公式、等差数列求和 18等比数列 求等比数列的通项公式、等比数列求和【2023年真题】1. （2023·新课标I 卷 第7题） 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列：乙：{}n sn 为等差数列，则( )A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等差数列的判定、等差数列前n 项和、充分必要条件的判定，属于中档题． 结合等差数列的判断方法，依次证明充分性、必要性即可. 【解答】 解：方法1:为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则1(1)2n n n S na d −=+，111222n S n d da d n a n −=+=+−，112n n S S d n n +−=+， 故{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件，， 反之，{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++−+−−==+++为常数，设为t 即1(1)n nna S t n n +−=+，故1(1)n n S na t n n +=−⋅+故1(1)(1)n n S n a t n n −=−−⋅−，2n … 两式相减有：11(1)22nn n n n a na n a tn a a t ++=−−−⇒−=，对1n =也成立，故{}n a 为等差数列， 则甲是乙的必要条件， 故甲是乙的充要条件，故选.C 方法2:因为甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为.d 即1(1)2n n n S na d −=+， 则11(1)222n S n d da d n a n −=+=+−，故{}n S n为等差数列，即甲是乙的充分条件．反之，乙：{}n S n为等差数列.即11n n S SD n n +−=+，1(1).n S S n D n =+−即1(1).n S nS n n D =+−当2n …时，11(1)(1)(2).n S n S n n D −=−+−− 上两式相减得：112(1)n n n a S S S n D −=−=+−， 所以12(1).n a a n D =+−当1n =时，上式成立． 又1112(2(1))2n n a a a nD a n D D +−=+−+−=为常数.所以{}n a 为等差数列． 则甲是乙的必要条件， 故甲是乙的充要条件，故选C .2. （2023·新课标II 卷 第8题） 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =−，6221S S =，则8S = ( ) A. 120 B. 85C. 85−D. 120−【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等比数列的基本性质，属于中档题.利用等比数列前n 项和之间差的关系可知2S ，42S S −，64S S −，86S S −成等比数列，列出关系式计算即可得解. 【解答】解：2S ，42S S −，64S S −，86S S −成等比数列，242224264264262(1)55(21)521S S q S q S S S q S S q S S S−= +=− −+⇒ −= = 从而计算可得24681,5,21,85S S S S =−=−=−=− 故选.C3. （2023·新课标I 卷 第20题）设等差数列{}n a 的公差为d ，且 1.d >令2n n n nb a +=，记n S ，n T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和.(1)若21333a a a =+，3321S T +=，求{}n a 的通项公式;(2)若{}n b 为等差数列，且999999S T −=，求.d【答案】解：因为21333a a a =+，故3132d a a d ==+， 即1a d =，故n a nd =，所以21n n n n b nd d++==，(1)2n n n d S +=，(3)2n n n T d +=，又3321S T +=，即34362122d d ××+=，即22730d d −+=，故3d =或1(2d =舍)， 故{}n a 的通项公式为：3.n a n =(2)方法一：(基本量法)若{}n b 为等差数列，则2132b b b =+，即11123123422a d a a d××××=+++，即2211320a a d d −+=，所以1a d =或12;a d =当1a d =时，n a nd =，1n n b d +=，故(1)2n n n d S +=，(3)2n n n T d+=，又999999S T −=， 即99100991029922d d ⋅⋅−=，即250510d d −−=，所以5150d =或1(d =−舍); 当12a d =时，(1)n a n d =+，n n b d =，故(3)2n n n d S +=，(1)2n n n T d+=，又999999S T −=， 即99102991009922d d ⋅⋅−=，即251500d d −−=，所以50(51d =−舍)或1(d =舍); 综上：51.50d = 方法二：因为{}n a 为等差数列且公差为d ，所以可得1n a dn a d =+−，则211(1)n n n n nb dn a d dn a d ++⋅==+−+− 解法一：因为{}n b 为等差数列，根据等差数列通项公式可知n b 与n 的关系满足一次函数，所以上式中的分母“1dn a d +−”需满足10a d −=或者11da d=−，即1a d =或者12;a d = 解法二：由211(1)n n n n nb dn a d dn a d++⋅==+−+−可得，112b a =，216b a d =+，31122b a d =+，因为{}n b 为等差数列，所以满足1322b b b +=， 即111212622a a d a d+=⋅++，两边同乘111()(2)a a d a d ++化简得2211320a a d d −+=， 解得1a d =或者12;a d =因为{}n a ，{}n b 均为等差数列，所以995099S a =，995099T b =，则999999S T −=等价于50501a b −=， ①当1a d =时，n a dn =，1(1)n b n d =+，则505051501a b d d−−，得 250510(5051)(1)0d d d d −−=⇒−+=，解得5150d =或者1d =−， 因为1d >，所以51;50d =②当12a d =时，(1)n a d n =+，1n b n d =，则505050511a b d d−=−=，化简得 251500(5150)(1)0d d d d −−=⇒+−=，解得5051d =−或者1d =，因为1d >，所以均不取; 综上所述，51.50d =【解析】本题第一问考查数列通项公式的求解，第二问考查等差数列有关性质，等差数列基本量的求解，计算量较大，为较难题.4. （2023·新课标II 卷 第18题）已知为等差数列，，记n S ，n T 分别为数列，的前n 项和，432S =，316.T =(1)求的通项公式；(2)证明：当5n >时，n S .n T >【答案】解：(1)设数列的公差为d ，由题意知：，即，解得52(1)2 3.n a n n ∴=+−=+(2)由(1)知23na n =+，，212121n n b b n −+=+，当n 为偶数时，当n 为奇数时，22113735(1)(1)4(1)652222n n n T T b n n n n n ++=−=+++−+−=+−， ∴当n 为偶数且5n >时，即6n …时，22371(4)(1)022222n n n nT S n n n n n n −=+−+=−=−>， 当n 为奇数且5n >时，即7n …时， 22351315(4)5(2)(5)0.22222n nT S n n n n n n n n −=+−−+=−−=+−>∴当5n >时，n S .n T >【解析】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式等.(1)由已知432S =，316T =，根据等差数列的前n 项和公式展开，即可得出等差数列的首项15a =，公差2d =，进而得出通项公式2 3.na n =+ (2)由(1)知23na n =+，可得(4)n S n n =+，数列的通项公式，进而212121n n b b n −+=+，分两情况讨论，当n 为偶数时，n T 中含有偶数项，相邻两项两两一组先求和，得出237.22nT n n =+当n 为奇数时，1n +为偶数，此时11.n n n T T b ++=−最后只需证明0n n T S −>即可.【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷 第17题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，n n S a是公差为13的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式; (2)证明：121112.na a a +++< 【答案】 解：1112(1)(1)33n n S S n n a a +=+−=，则23n n n S a +=①，1133n n n S a +++∴=②;由②-①得：111322;33n n n n n a n n n a a a a n++++++=−⇒=∴当2n …且*n N ∈时，13211221n n n n n a a a a a a a a a a −−−=⋅⋅ 1543(1)(1)1232122nn n n n n n a n n +++=⋅⋅⋅=⇒=−− ， 又11a =也符合上式，因此*(1)();2n n n a n N +=∈ 1211(2)2()(1)1n a n n n n ==−++ ，1211111111112()2(1)2122311n a a a n n n ∴+++=−+−++−=−<++ ， 即原不等式成立.【解析】本题考查了数列与不等式，涉及裂项相消法求和、等差数列的通项公式、根据数列的递推公式求通项公式等知识，属中档题.(1)利用11n n n a S S ++=−进行求解然后化简可求出{}n a 的通项公式; (2)由(1)可求出1112()1n a n n =−+，然后再利用裂项相消法求和可得. 6.（2022·新高考II 卷 第17题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为公比为2的等比数列，且223344.a b a b b a −=−=−(1)证明：11;a b =(2)求集合1{|,1500}km k b a a m =+剟中元素个数. 【答案】解：(1)设等差数列{}n a 公差为d由2233a b a b −=−，知1111224a d b a d b +−=+−，故12d b = 由2244a b b a −=−，知111128(3)a d b b a d +−−+，故11124(3);a d b d a d +−−+故1112a d b d a +−=−，整理得11a b =，得证.(2)由(1)知1122d b a ==，由1km b a a =+知：11112(1)k b a m d a −⋅=+−⋅+ 即111112(1)2k b b m b b −⋅=+−⋅+，即122k m −=，因为1500m 剟，故1221000k −剟，解得210k 剟， 故集合1{|,1500}km k b a a m =+剟中元素的个数为9个. 【解析】本题考查等差、等比数列的通项公式，解指数不等式，集合中元素的个数问题，属于中档题.【2021年真题】7.（2021·新高考II 卷 第12题）（多选）设正整数010112222k k k k n a a a a −−=⋅+⋅++⋅+⋅ ，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=+++ ，则( ) A.()()2n n ωω=B. ()()231n n ωω+=+C. ()()8543n n ωω+=+D. ()21nn ω−=【答案】ACD 【解析】 【分析】本题重在对新定义进行考查，合理分析所给条件是关键，属于拔高题.利用()n ω的定义可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误. 【解答】解：对于A 选项，010112222k k k k n a a a a −−=⋅+⋅++⋅+⋅ ，， 则12101122222kk k k n a a a a +−=⋅+⋅++⋅+⋅ ，，A 选项正确；对于B 选项，取2n =，012237121212n +==⋅+⋅+⋅，，而0120212=⋅+⋅，则()21ω=，即，B 选项错误；对于C 选项，34302340101852225121222k k n a a a a a ++=⋅+⋅++⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅+ 32k k a ++⋅， 所以，，23201230101432223121222k k n a a a a a ++=⋅+⋅++⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅+ 22k k a ++⋅，所以，，因此，，C 选项正确；对于D 选项，01121222n n −−+++ ，故，D 选项正确.故选.ACD8.（2021·新高考I 卷 第16题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20dm 12dm ×的长方形纸，对折1次共可以得到10dm 12dm ×，20dm 6dm ×两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ×，10dm 6dm ×，20dm 3dm ×三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为____________________；如果对折*()n n N ∈次，那么12n S S S ++= __________2dm . 【答案】5 ； 3240(3)2nn +×− 【解析】 【分析】本题考查实际生活中的数列问题，由特殊到一般的数学思想.根据题设列举，可以得到折叠4次时会有五种规格的图形.由面积的变化关系得到面积通项公式，从而由错位相减法得到面积和. 【解答】解：对折3次时，可以得到2.512dm dm ×，56dm dm ×，103dm dm ×，20 1.5dm dm ×四种规格的图形. 对折4次时，可以得到2.56dm dm ×，1.2512dm dm ×，53dm dm ×，10 1.5dm dm ×，200.75dm dm ×五种规格的图形.对折3次时面积之和23120S dm =，对折4次时面积之和2475S dm =，即12402120S ==×，2180360S ==×，3120430S ==×，475515S ==×，……得折叠次数每增加1，图形的规格数增加1，且()*12401,2nn S n n N =+×∈， 121111240[234(1)]2482n n S S S n ∴++=××+×+×++⋅+记231242n n n T +=+++ ，则112312482n n n T ++=+++ ， 11111111()224822n n n n n n T T T ++−==++++−113113322222n n n n n ++++=−−=−， 得332n n n T +=−， 123240(3)2n nn S S S +∴++=×−， 故答案为5；3240(3).2n n +×−9.（2021·新高考I 卷 第17题）已知数列{}n a 满足11a =，，记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式； 求{}n a 的前20项和.【答案】解：⑴12b a =，且21+1=2a a =，则1=2b ，24b a =，且4321215a a a +++，则25b =； 1222121213n n n n n b a a a b +++++++，可得13n n b b +−=，故{}n b 是以2为首项，3为公差的等差数列； 故()21331n b n n =+−×=−.数列{}n a 的前20项中偶数项的和为2418201210109=102+3=1552a a a ab b b ×++++=+++×× ， 又由题中条件有211a a =+，431a a =+， ，20191a a =+， 故可得n a 的前20项的和【解析】本题考查了数列递推关系式运用，等差数列通项公式求法，数列求和，考查了分析和运算能力，属于中档题.(1)结合题干给的递推关系，可以快速的算出1b 和2b ，同时利用1222121213n n n n n b a a a b +++++++可判(1)(2)(2)断出数列n b 为等差数列，即可求出数列通项公式;(2)n a 的前20项的和可分组求和，求出其对应的偶数项的和，再结合奇数项与偶数项的关系求解即可. 10.（2021·新高考II 卷 第17题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35a S =，244.a a S =(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)求使n n S a >成立的n 的最小值．【答案】解：(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则3335,0a a a ∴，设等差数列的公差为d ，从而有22433()()a a a d a d d =−+=−， 412343333(2)()()2S a a a a a d a d a a d d =+++=−+−+++=−，从而22d d −=−，由于公差不为零，故：2d =，数列的通项公式为：*3(3)26().n a a n d n n N =+−=−∈ (2)由数列的通项公式可得1264a =−=−， 则2(1)(4)252n n n S n n n −=×−+×=−， 则不等式n n S a >即2526n n n −>−，整理可得(1)(6)0n n −−>，解得1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7.【解析】本题考查等差数列基本量的求解，是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.(1)由题意首先求得3a 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值.【2020年真题】11.（2020·新高考I 卷 第14题、II 卷 第15题）将数列{21}n −与{32}n −的公共项从小到大排列得到数列{n a }，则{}n a 的前n 项和为__________.【答案】232n n −【解析】【分析】本题考查数列的特定项与性质以及等差数列求和.利用公共项构成首项为1 ，公差为6的等差数列，利用求和公式即可求出答案.【解答】解：数列 的首项是1，公差为2的等差数列；数列 的首项是1，公差为3的等差数列；公共项构成首项为1 ，公差为6的等差数列;故 的前n 项和S n 为：.故答案为232.n n − 12.（2020·新高考I 卷 第18题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8.a a a +== (1)求{}n a 的通项公式；(2)记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m N ∈中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100.S【答案】解：(1)设等比数列的公比为q ，且1q >，2420a a += ，38a =，，解得舍)或，∴数列{}n a 的通项公式为2;n n a =(2)由(1)知12a =，24a =，38a =，416a =，532a =，664a =，7128a =，{21}n −{32}n −{}n a则当1m =时，10b =，当2m =时，21b =，以此类推，31b =，45672b b b b ====， 815...3b b ===，1631...4b b ===，3263...5b b ===，64100...6b b ===，10012100...S b b b ∴=+++0122438416532637480.=+×+×+×+×+×+×=【解析】本题考查了数列求和及等比数列通项公式，属中档题．(1)根据等比数列通项公式列出方程，求出首项和公比，即可求出通项公式;(2)根据等比数列通项公式，归纳数列{}m b 的规律，从而求出其前100项和．13.（2020·新高考II 卷 第18题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38.a = (1)求{}n a 的通项公式；(2)求1223a a a a −+…11(1).n n n a a −++−【答案】解：(1)设等比数列{}n a 的公比为(1)q q >，则32411231208a a a q a q a a q +=+= ==， 1q > ，122a q = ∴ =， 1222.n n n a −∴=⋅=1223(2)a a a a −+…11(1)n n n a a −++−35792222=−+−+…121(1)2n n −++−⋅，322322[1(2)]82(1).1(2)55n n n +−−==−−−− 【解析】本题考查等比数列的通项公式，前n 项求和公式，考查转化思想和方程思想，属于基础题．(1)根据题意，列方程组32411231208a a a q a q a a q +=+= ==，解得1a 和q ，然后求出{}n a 的通项公式； (2)根据条件，可知12a a ，23a a −，…11(1)n n n a a −+−，是以32为首项，22−为公比的等比数列，由等比数列求和公式，即可得出答案．。
(2021-2023)新高考英语真题分项汇编专题06动词的时态语态和主谓一致(原卷版)
专题06 动词的时态、语态和主谓一致1.（2023年新高考II卷）As a little girl, I ________ (wish) to be a zookeeper when I grew up.2.（2023年浙江卷1月）Citizens of higher social classes (permit)to live closer to the center of the circles.3. （2023年浙江卷1月）The large siheyuan of these high-ranking officials and wealthy businessmen often______ (feature)beautifully carved and painted roof beams and pillars(柱子).1.(2022年全国高考新高考I卷语法填空) The plan will extend protection to a significant number of areas that ________ (be)previously unprotected, bringing many of the existing protected areas for giant pandas under one authority to increase effectiveness and reduce inconsistencies in management.2.(2022年全国高考新高考I卷语法填空) After a three-year pilot period, the GPNP will be officially set up next year. The GPNP ________ (design)to reflect the guiding principle of “protecting the authenticity and integrity (完整性) of natural ecosystems, preserving biological diversity, protecting ecological buffer zones,and leaving behind precious natural assets(资产)for future generations”.3. (2022年全国高考新高考II卷语法填空) Henry ___42___ (fix) his car when he heard the screams. He looked up and saw Eric hanging from the balcony. He quickly ___43___ (throw) his tools aside, and started running, arms out.4. （2022年浙江卷1月）But Cobb and others ________ (be) now questioning that idea pushing conferences to provide more chances to participate remotely, and ________ (change) their personal behavior to do their part in dealing with the climate change crisis. （所给词的适当形式填空）5. （2022年浙江卷1月）On a website called No Fly Climate Sci, for example, roughly 200 academics — many of the climate scientists ________ (promise) to fly as little as possible since the effort started two years ago. (所给词的适当形式填空)6.（2022年浙江卷1月）Travelling to conferences, lectures, workshops, and the like frequently by plane________(view) as important for scientists to get together and exchange information. （所给词的适当形式填空）7.（2022年浙江卷6月）When he felt a 3D version of Leonardo da Vinci’s “Mona Lisa” he ________ (notice)her smile right away. ”8.（2022年北京卷）This has been adopted to ensure easier detection of gas leaks. Gas naturally ________ (have) no recognizable smell.9.（2022年天津卷）Food and medical supplies________ to all the residents after the hurricane last Sunday.A. distributeB. distributedC. are distributedD. were distributed10.（2022年天津卷）Critical reasoning, together with problem-solving, ________ teenagers to make better decisions.A. prepareB. preparesC. is preparingD. are preparing1. （2021年新高考I卷）You can’t help wondering how hard it________ (be) for the people then to put all those rocks into place. (所给词的适当形式填空）2. （2021新课标II卷）Whenever I heard of businesses using plastic, I’d send an email. One of the biggest companies I wrote to ________ (be) Alaska Airlines Paris. (所给词的适当形式填空)3. （2021年浙江卷6月）It doesn't impress like George Washington's plantation on the Pohomac, but Lincoln's home in downtown Springfield, Illinois, ________ (prove) irresistible to visitors since it opened to the publie. （所给词的适当形式填空）4. （2021年浙江卷1月）Mary’s niece wrote, “The little home ________(paint) white. It was sweet and fresh. Mary loved it.” (所给词的适当形式填空)5. （2021年浙江卷1月）After Lincoln was elected President of the US in 1861, they rented the house and________ (sell) most of their furniture. （所给词的适当形式填空）6. （2021年浙江卷1月）It is calculated by dividing a person’s weight in kg by their height in meters squared, anda BMI of between 19 and 25 ________ (consider) healthy.(所给词的适当形式填空）7. （2021年浙江卷1月）The study found that between 1985 and 2017, average rural BMI increased by 2.1 in women and men. In cities, however, the gain ________ (be) 1.3 in women and 1.6 in men.(所给词的适当形式填空）8. （2021年北京高考）As it ________ (connect) things, your brain turns them into a story, and you get a dream.9. （2021年北京卷）There ________(be) a dramatic rise in the number of extreme weather events over the past 20 years, caused largely by rising global temperatures, according to a new report from the United Nations. （所给词的适当形式填空）10.（2021年天津卷）Mark is a genius. By the time he graduated, he ________ jobs by a dozen computer companies.A. has offeredB. has been offeredC. had offeredD. had been offered。
【备战2018】高考数学分项汇编 专题06 数列(含解析)文
专题06 数列一．基础题组1. 【2014上海,文10】设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q= .【考点】无穷递缩等比数列的和.2. 【2013上海,文2】在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝30，则a 2＋a 3＝______.【答案】15 3. 【2013上海,文7】设常数a ∈R .若25()a x x+的二项展开式中x 7项的系数为－10，则a ＝______.【答案】－2 4. 【2012上海,文7】有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V 2，…，V n ，…，则12lim ()n n V V V →∞+++=…__________.【答案】875. 【2012上海,文8】在(x －1x)6的二项展开式中，常数项等于__________．【答案】－206. 【2012上海,文14】已知1()1f xx=+，各项均为正数的数列{a n}满足a1＝1，a n＋2＝f(a n)．若a2010＝a2 012，则a20＋a11的值是__________．7. 【2012上海,文18】若π2ππsin sin sin777nnS=+++…(n∈N*)，则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是( )A．16 B．72 C．86 D．100【答案】 C 8. 【2008上海,文14】若数列{}n a 是首项为1，公比为32a =的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．12 Ｄ．54【答案】B9. 【2007上海,文14】数列{}n a 中，22211100010012n n n a n n n n⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-⎩，≤≤， 则数列{}n a 的极限值（ ）Ａ.等于0Ｂ.等于1Ｃ.等于0或1Ｄ.不存在【答案】B二．能力题组1. 【2014上海,文23】（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知数列{}n a 满足1113,*,13n n n a a a n N a +≤≤∈=.（1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是等比数列，且11000m a =，正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的仅比；（3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围.【答案】（1）[3,6]；（2）1[,2]3；（3）k的最大值为1999，此时公差为11999d=-.【考点】解不等式（组），数列的单调性，分类讨论，等差（比）数列的前n项和.2. 【2013上海,文22】已知函数f(x)＝2－|x|，无穷数列{a n}满足a n＋1＝f(a n)，n∈N*.(1)若a1＝0，求a2，a3，a4；(2)若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值；(3)是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．【答案】(1)a2＝2，a3＝0，a4＝2 ;(2)a1＝2-舍去)或a1＝2+(3) 当且仅当a1＝1时，a1，a2，a3，…构成等差数列3. 【2012上海,文23】对于项数为m的有穷数列{a n}，记b k＝max{a1，a2，…，a k}(k＝1,2，…，m)，即b k为a1，a2，…，a k中的最大值，并称数列{b n}是{a n}的控制数列．如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.(1)若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的{a n}；(2)设{b n}是{a n}的控制数列，满足a k＋b m－k＋1＝C(C为常数，k＝1,2，…，m)，求证：b k＝a k(k＝1,2，…，m)；(3)设m＝100，常数a∈(12，1)，若(1)22(1)n nna an n+=--，{b n}是{a n}的控制数列，求(b1－a1)＋(b2－a2)＋…＋(b100－a100)．【答案】(1)参考解析;(2) 参考解析;(3) 2 525(1－a)4.【2011上海,文23】已知数列{a n }和{b n }的通项公式分别为a n ＝3n ＋6，b n ＝2n ＋7(n ∈N *)．将集合{x |x ＝a n ，n ∈N *}∪{x |x ＝b n ，n ∈N *}中的元素从小到大依次排列，构成数列c 1，c 2，c 3，…c n ，….(1)求三个最小的数，使它们既是数列{a n }中的项又是数列{b n }中的项；(2) c 1，c 2，c 3，…，c 40中有多少项不是数列{b n }中的项？请说明理由；(3)求数列{a n }的前4n 项和S 4n (n ∈N *)．【答案】(1)9,15,21; (2)10; (3)241233n S n n=+5. 【2010上海,文21】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n －5a n －85，n ∈N *.(1)证明：{a n －1}是等比数列；(2)求数列{S n }的通项公式，并求出使得S n ＋1＞S n 成立的最小正整数n .【答案】(1)参考解析; (2) S n ＝n ＋75·(56)n －1－90, 最小正整数n ＝156. (2009上海,文23)已知{a n}是公差为d的等差数列,{b n}是公比为q的等比数列.(1)若a n=3n+1,是否存在m、k∈N*,有a m+a m+1=a k?请说明理由;(2)若b n=aq n(a,q为常数,且aq≠0),对任意m存在k,有b m·b m+1=b k,试求a、q满足的充要条件;(3)若a n=2n+1,b n=3n,试确定所有的p,使数列{b n}中存在某个连续p项的和是数列{a n}中的一项,请证明.【答案】(1)不存在m、k∈N*, (2) a=q c,其中c是大于等于-2的整数;(3) p为奇数7. 【2008上海,文21】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分４分，第2小题满分６分，第3小题满分8分．已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列{}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）．记112233n n n T b a b a b a b a =++++ ．（1）若1231264a a a a ++++= ，求r 的值；（2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；（3）已知0r >，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +， ，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并指出哪4项为100．【答案】（1）4;（2）参考解析;（3）293294297298,,,T T T T()1241.121,12241;123,12441;125,12645;127,1284;129,121044;m n n n n T m m n m m T m n m m T m r nn m m T m r n m m T m r n m m T m =-≥=++=+=++=-+-=++=+-=++=--=++=+当时，当时，当时，当时，当时，8. 【2007上海,文20】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.如果有穷数列123m a a a a ，，，，（m 为正整数）满足条件m a a =1，12-=m a a ，…，1a a m =，即1+-=i m i a a （12i m = ，，，），我们称其为“对称数列”. 例如，数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列”.（1）设{}n b 是7项的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b .依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是49项的“对称数列”，其中492625,,c c c ⋅⋅⋅是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n c 各项的和S ；（3）设{}n d 是100项的“对称数列”，其中5152100d d d ，，，是首项为2，公差为3的等差数列.求{}n d 前n 项的和n S (12100)n = ，，，.【答案】（1）25811852，，，，，，;（2）67108861;（3）参考解析9. 【2006上海,文20】（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
(湖北版)高考数学分项汇编 专题06 数列(含解析)理
2 D
D 究数。
比如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。
下列数中既是三角形数又是正方形数的是（
A.289
B.1024
C.1225
D.1378
年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷
；
形数。
如三角形数
，以下列出了部分
1
（ⅰ）当m
≥
（ⅱ）假设当时，不等式成立，即，则当时，
m k =(1)
1k
x kx ++≥1m k =+
下同解法4.【2008
且λ19】已知数列
n21
n+
11111
T
（Ⅰ）由题意可知，1
=
8.【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷18】已知等差数列{}n a 前三项的和为3 ，前三项的积为8.
（Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若2a ，3a ，1a 成等比数列，求数列{||}n a 的前n 项和.
、a
【考点定位】等差数列、等比数列通项公式，错位相减法求数列的前。
2017年高三数学(理)最新模拟调研试题精选分项汇编 专题06 数列(第01期) 含解析
一．基础题组1。
【湖南省长沙市长郡中学2017届高三摸底考试数学（理）试题】已知等差数列{}na 的前n 项和nS 满足350,5SS ==，数列21211{}n n a a -+的前2016项的和为 。
【答案】20164031-考点：等差数列的通项公式，裂项相消法求和．2. 【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一）(开学考试）】已知等比数列{}na 中,262,8a a ==，则345a a a =( ）A ．64±B ．64C ．32D ．16 【答案】B 【解析】试题分析：由等比数列的性质可知226416a a a ⋅==，而246,,a a a 同号,故44a =，所以3345464a a a a ==. 考点：等比数列的性质．3。
【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试（一)（开学考试）】 数列{}na 满足()121112n n an N a a *+=+=∈,记212n n n b a =，则数列{}nb 的前n 项和nS = ．【答案】2332nn +-【解析】 试题分析：11n a +=得221112n n a a +-=,且2111a =，所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，2为公差的等差数列，所以211(1)221nn n a =+-⨯=-，从而得到2121n a n =-，则212nnn b-=， 所以21321222nn n S-=+++，231113232122222nn n n n S +--=++++, 两式相减,得2111111121222222n n n n S -+-=++++-1111121323122222n n n n n -++-+=+--=- 所以2332nnn S+=-. 考点：错位相减法求和．【名师点睛】利用错位相减法求数列的前n 项和时，应注意两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，为避免出错，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项,另外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的1n -项是一个等比数列．4。
2017(新课标Ⅱ版)高考数学分项汇编 专题06 数列(含解析)理
专题06 数列一．基础题组1. 【2005全国2，理11】如果128,,,a a a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则（ ）(A)1845a a a a > (B) 1845a a a a < (C)1845a a a a +>+(D) 1845a a a a =2. 【2006全国2，理11】设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若63S S =31,则126S S等于（ ）A.103B.31C.81D. 913. 【2006全国2，理14】已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 成等差数列,且AB =1,BC =4,则边BC 上的中线AD 的长为 .4. 【2010全国2，理4】如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( )A ．14B ．21C ．28D ．355. 【2012全国，理5】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{11n n a a +}的前100项和为( )A ．100101B ．99101C ．99100D ．101100 6. 【2013课标全国Ⅱ，理3】等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-7. 【2013课标全国Ⅱ，理16】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为__________．8. 【2015高考新课标2，理16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．9. 【2006全国2，理22】设数列{a n }的前n 项和为S n ,且方程x 2-a n x -a n =0有一根为S n -1,n = 1,2,3,….(1)求a 1,a 2; (2)求{a n }的通项公式.10. 【2010全国2，理18】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n 2＋n )·3n. (1)求lim n →∞nna S ； (2)证明1222212n a a a n+++ ＞3n.11. 【2011新课标，理17】等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，23239a a a =. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列1{}nb 的前n 项和．12. 【2012全国，理22】函数f (x )＝x 2－2x －3，定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．(1)证明：2≤x n ＜x n ＋1＜3； (2)求数列{x n }的通项公式．13. 【2014新课标，理17】（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+.14、（2016年高考新课标Ⅱ卷理）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，． （Ⅰ）求111101b b b ，，；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．。
2021年高考试题分项版解析数学(理)专题06数列(Word精析版)
第六章 数列一．基础题组1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理zxxk 】等比数列x ，3x+3，6x+6，…的的第四项等于（）A.-24B.0C.12D.242.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理zxxk ）卷】等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1= （ ）（A ） 13（B ）- 13（C ） 19（D ）- 193.【2013年全国高考新课标（I ）理zxxk 科】若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n =______.4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理zxxk 】 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理zxxk 科】{}{}13n n n a S a n a a 已知等比数列是递增数列,是的前项和.若，是方程 26540x x S -+==的两个根，则 .二．能力题组6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理zxxk 科】下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p7.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理zxxk 科】已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，243a =-，则{}n a 的前10项和等于（ ） A ．106(13)--- B ．101(13)9- C ．103(13)-- D ．103(13)-+8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷理zxxk 】 已知等比数列{}n a 的公比为q ，记m n m n m n m n a a a b +-+-+-+⋅⋅⋅++=)1(2)1(1)1(，m n m n m n m n a a a b +-+-+-*⋅⋅⋅**=)1(2)1(1)1(，()*,N n m ∈，则以下结论一定正确的是（ ）A. 数列{}n b 为等差数列，公差为m qB. 数列{}n b 为等比数列，公比为m q 2C. 数列{}n c 为等比数列，公比为2m q D. 数列{}n c 为等比数列，公比为mm q9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2nn n n S a n N *=--∈则（1）3a =_____；（2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________.10.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理zxxk 】若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q = ；前n 项和S n = .12.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理zxxk 科】等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知232S a ，且124,,S S S 成等比数列，求{}n a 的通项公式.三．拔高题组13.【2013年全国高考新课标（I ）理zxxk 科】设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n =1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则( )A 、{S n }为递减数列B 、{S n }为递增数列C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列14.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】在正项等比数列{}n a 中，512a =，673a a +=. 则满足1212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅的最大正整数n 的值为 .15.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理zxxk 】 设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<.16.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】 设{}n a 是首项为a ，公差为d 的 等差数列（0d ≠），n S 是前n 项和. 记2n n nS b n c=+，n N *∈，其中c 为实数. （1）若0c =，且1b ，2b ，4b 成等比数列，证明：2(,)nk k S n S k n N *=∈； （2）若{}n b 是等差数列，证明0c =.17.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，221n n a a =+. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且12n n na T λ++= (λ为常数)，令()*2n n cb n N =∈，求数列{}nc 的前n 项和n R .所以11213111121311...4444n n n R --------=+++ 18.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理zxxk 】设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 推导{}n a 的前n 项和公式;(Ⅱ) 设q≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列.19.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理zxxk 】在公差为d 的等差数列}{n a 中，已知101=a ，且3215,22,a a a +成等比数列.（Ⅰ）求n a d ,;（Ⅱ）若0<d ，求.||||||||321n a a a a ++++20.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理zxxk 】正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）令221(2)n n n b n a +=+，数列{b n }的前n 项和为T n ．证明：对于任意n ∈ N*，都有T n ＜5.6421.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理zxxk 科】 已知等比数列{}n a 满足：23||10a a -=，123125a a a =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅰ）是否存在正整数m ，使得121111m a a a +++≥？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理zxxk 由.22.【2013年普通高等学校统一考试天津卷理zxxk 科】 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.23.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理zxxk 】 已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项1n a +，2n a +…的最小值记为B n ，d n =A n －B n .(I)若{a n }为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *，4n n a a +=)，写出d 1，d 2，d 3，d 4的值；(II)设d 为非负整数，证明：d n =－d (n =1,2,3…)的充分必要条件为{a n }为公差为d 的等差数列； (III)证明：若a 1=2，d n =1(n =1,2,3…)，则{a n }的项只能是1或2，且有无穷多项为1.假设{}n a (2)n ≥，中存在大于2的项，24.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理zxxk 】 给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+，数列123,,,a a a 满足*1(),n n a f a n N +=∈.（1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*1,n n n N a a c +∈-≥；（3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存在，说明理zxxk 由.25.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理zxxk 科】 在等差数列{}n a 中，138a a +=，且4a 为2a 和9a 的等比中项，求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和.。
高考十(理科)分项版 专题06 数列(浙江专版)(解析版)
一．基础题组1. 【2012年.浙江卷.理7】设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )A ．若d ＜0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d ＜0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n ＞0 D ．若对任意n ∈N *，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列 【答案】C【解析】 若{S n }为递增数列，则当n ≥2时，S n －S n －1＝a n ＞0，即n ≥2时，a n 均为正数，而a 1是正数、负数或是零均有可能，故对任意n ∈N *，不一定S n 始终大于0．2. 【2012年.浙江卷.理13】设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝__________．3. 【2010年.浙江卷.理3】设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S =( ) （A ）11 （B ）5 （C ）8- （D ）11- 【答案】D【解析】通过2580a a +=，设公比为q ，将该式转化为08322=+q a a ，解得q =-2，带入所求式可知答案选D ，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n 项和公式，属中档题4. 【2010年.浙江卷.理15】设1,a d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足56150S S +=，则d 的取值范围是__________________ . 【答案】(),2222,⎡-∞-+∞⎣【解析】：5. 【2009年.浙江卷.理11】设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44S a = ． 答案：15【解析】对于4431444134(1)1,,151(1)a q s q s a a q q a q q --==∴==--6. 【2008年.浙江卷.理6】已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =( )（A ）16（n --41） （B ）16（n --21） （C ）332（n --41） （D ）332（n--21）7. 【2006年.浙江卷.理11】设S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，若51010,5S S ==-,则公差为 （用数字作答）. 【答案】-1【解析】设首项为1a ，公差为d ，由题意得11115101022110455291a d a d d a d a d +=+=⎧⎧⇒⇒=-⎨⎨+=-+=-⎩⎩ 所以答案应填：-18. 【2015高考浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ）A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D.140,0a d dS <>9. 【2016高考浙江理数】如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ，1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）.若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则（ ）A ．{}n S 是等差数列B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列【答案】A 【解析】试题分析：n S 表示点n A 到对面直线的距离（设为n h ）乘以1n n B B +长度一半，即112n n n n S h B B +=，由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，那么我们需要知道n h 的关系式，过1A 作垂直得到初始距离1h ，那么1,n A A 和两个垂足构成了等腰梯形，那么11tan n n n h h A A θ+=+⋅，其中θ为两条线的夹角，即为定值，那么1111(tan )2n n n n S h A A B B θ+=+⋅，111111(tan )2n n n n S h A A B B θ+++=+⋅，作差后：1111(tan )2n n n n n n S S A A B B θ+++-=⋅，都为定值，所以1n n S S +-为定值．故选A ．考点：等差数列的定义．【思路点睛】先求出1n n n +∆A B B 的高，再求出1n n n +∆A B B 和112n n n +++∆A B B 的面积n S 和1n S +，进而根据等差数列的定义可得1n n S S +-为定值，即可得{}n S 是等差数列．10.【2016高考浙江理数】设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1= ，S 5= .二．能力题组1. 【2013年.浙江卷.理18】(本题满分14分)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；(2)若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.【答案】【解析】：(1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2， 即d 2－3d －4＝0， 故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *. (2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d ＜0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11. 则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝212122n n -+. 当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝212122n n -＋110. 综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝22121,11,22121110,12.22n n n n n n ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩ 三．拔高题组1. 【2014年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a nb n 221 .若{}na 为等比数列，且.6,2231b ba +==（1）求n a 与n b ； （2）设()*∈-=N n b a c nn n 11。
2024年高考数学一轮复习(新高考版) 第6章 数列的概念
§6.1数列的概念考试要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．知识梳理1．数列的有关概念概念含义数列按照确定的顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式数列{a n }的前n 项和把数列{a n }从第1项起到第n 项止的各项之和，称为数列{a n }的前n 项和，记作S n ，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n ＋1>a n 其中n ∈N *递减数列a n ＋1<a n 常数列a n ＋1＝a n摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列与函数的关系数列{a n }是从正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，n })到实数集R 的函数，其自变量是序号n ，对应的函数值是数列的第n 项a n ，记为a n ＝f (n )．常用结论1．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n 1，n ＝1，n －S n －1，n ≥2.2．在数列{a n }中，若a n 最大，n ≥a n －1，n ≥a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)；若a n 最小，n ≤a n －1，n ≤a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)数列的项与项数是同一个概念．(×)(2)数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列．(√)(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(×)(4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．(√)教材改编题1．(多选)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9＋12n ，则在下列各数中，是{a n }的项的是()A ．21B ．33C ．152D ．153答案ABD解析由数列的通项公式得，a 1＝21，a 2＝33，a 12＝153.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋n ，则a 2的值是()A ．2B ．4C ．5D ．6答案B解析由题意，S 2＝22＋2＝6，S 1＝1＋1＝2，所以a 2＝S 2－S 1＝6－2＝4.3．在数列1,1,2,3,5,8,13,21，x ,55，…中，x ＝________.答案34解析通过观察数列各项的规律，发现从第三项起，每项都等于它前两项之和，因此x ＝13＋21＝34.题型一由a n 与S n 的关系求通项公式例1(1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，S n ＋1＝2S n －1，则a 10等于()A ．128B ．256C ．512D ．1024答案B解析∵S n ＋1＝2S n －1，∴当n ≥2时，S n ＝2S n －1－1，两式相减得a n ＋1＝2a n .当n ＝1时，a 1＋a 2＝2a 1－1，又a 1＝2，∴a 2＝1.∴数列{a n }从第二项开始为等比数列，公比为2.则a 10＝a 2×28＝1×28＝256.(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2n ＋2－3，则a n ＝________.答案，n ＝1，n ＋1，n ≥2解析根据题意，数列{a n }满足S n ＝2n ＋2－3，当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋2－3)－(2n ＋1－3)＝2n ＋1，当n ＝1时，有a 1＝S 1＝8－3＝5，不符合a n ＝2n ＋1，故a n ，n ＝1，n ＋1，n ≥2.思维升华S n 与a n 的关系问题的求解思路(1)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解．(2)利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．跟踪训练1(1)已知正项数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (n ＋1)2，则数列{a n }的通项公式为()A ．a n ＝nB ．a n ＝n 2C ．a n ＝n 2D ．a n ＝n 22答案B解析∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (n ＋1)2，∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝n (n －1)2(n ≥2)，两式相减得a n ＝n (n ＋1)2－n (n －1)2＝n (n ≥2)，∴a n ＝n 2(n ≥2)，①又当n ＝1时，a 1＝1×22＝1，a 1＝1，适合①式，∴a n ＝n 2，n ∈N *.(2)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝__________.答案－1n解析因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1，所以由两式联立得S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.因为S n ≠0，所以1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1.又1S 1＝－1，1，公差为－1的等差数列．所以1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，所以S n ＝－1n .题型二由数列的递推关系求通项公式命题点1累加法例2设[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2023等于()A ．1B ．2C ．3D ．4答案A解析由a n ＋1＝a n ＋n ＋1，得a n －a n －1＝n (n ≥2)．又a 1＝1，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＝n (n ＋1)2(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝1满足上式，则1a n ＝2n (n ＋1)＝所以1a 1＋1a 2＋…＋1a 2023＝2－12＋12－13＋ (12023)＝2＝20231012.所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2023＝20231012＝1.命题点2累乘法例3在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．答案a n ＝1n 解析∵a n ＝n －1na n －1(n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，a n －2＝n －3n －2a n －3，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得，a n ＝a 1·12·23·…·n －1n＝a 1n ＝1n .当n ＝1时，a 1＝1，符合上式，∴a n ＝1n .思维升华(1)形如a n ＋1－a n ＝f (n )的数列，利用累加法．(2)形如a n ＋1a n ＝f (n )的数列，利用a n ＝a 1·a 2a 1·a3a 2·…·a n a n －1(n ≥2)即可求数列{a n }的通项公式．跟踪训练2(1)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋a n 等于()A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n答案A解析因为a n ＋1－a n ＝lnn ＋1n＝ln(n ＋1)－ln n ，所以a 2－a 1＝ln 2－ln 1，a 3－a 2＝ln 3－ln 2，a 4－a 3＝ln 4－ln 3，…a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)(n ≥2)，把以上各式相加得a n －a 1＝ln n －ln 1，则a n ＝2＋ln n (n ≥2)，且a 1＝2也满足此式，因此a n ＝2＋ln n (n ∈N *)．(2)已知数列a 1，a 2a 1，…，a n a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，则log 2a n ＝________.答案n (n －1)2解析由题意知，a 1＝1，a n a n －1＝1×2n －1＝2n －1(n ≥2)，所以a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1×a 1＝2n －1×2n －2×…×1＝122n n (-)(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝1适合此式，所以log 2a n ＝n (n －1)2.题型三数列的性质命题点1数列的单调性例4设数列{a n }的前n 项和为S n ，且∀n ∈N *，a n ＋1>a n ，S n ≥S 6.请写出一个满足条件的数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案n －6，n ∈N *(答案不唯一)解析由∀n ∈N *，a n ＋1>a n 可知数列{a n }是递增数列，又S n ≥S 6，故数列{a n }从第7项开始为正．而a 6≤0，因此不妨设数列是等差数列，公差为1，a 6＝0，所以a n ＝n －6，n ∈N *(答案不唯一)．命题点2数列的周期性例5若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n，则a 2024的值为()A ．2B ．－3C ．－12D.13答案D解析由题意知，a 1＝2，a 2＝1＋21－2＝－3，a 3＝1－31＋3＝－12，a 4＝1－121＋12＝13，a 5＝1＋131－13＝2，a 6＝1＋21－2＝－3，…，因此数列{a n }是周期为4的周期数列，所以a 2024＝a 505×4＋4＝a 4＝13.命题点3数列的最值例6已知数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －15，其最大项和最小项的值分别为()A ．1，－17B ．0，－17C.17，－17D ．1，－111答案A解析因为n ∈N *，所以当1≤n ≤3时，a n ＝12n －15<0，且单调递减；当n ≥4时，a n ＝12n －15>0，且单调递减，所以最小项为a 3＝18－15＝－17，最大项为a 4＝116－15＝1.思维升华(1)解决数列的单调性问题的方法用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列．(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．跟踪训练3(1)观察数列1，ln 2，sin 3,4，ln 5，sin 6,7，ln 8，sin 9，…，则该数列的第11项是()A ．1111B ．11C ．ln 11D ．sin 11答案C解析由数列得出规律，按照1，ln 2，sin 3，…，是按正整数的顺序排列，且以3为循环，由11÷3＝3余2，所以该数列的第11项为ln 11.(2)已知数列{a n }的通项a n ＝2n －192n －21，n ∈N *，则数列{a n }前20项中的最大项与最小项分别为________．答案3，－1解析a n ＝2n －192n －21＝2n －21＋22n －21＝1＋22n －21，当n ≥11时，22n －21>0，且单调递减；当1≤n ≤10时，22n －21<0，且单调递减．因此数列{a n }前20项中的最大项与最小项分别为第11项，第10项．a 11＝3，a 10＝－1.课时精练1．已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是()A ．递减数列B ．递增数列C ．常数列D ．摆动数列答案B 解析a n ＝1－2n ＋1，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N *，易知数列{a n }是递增数列．2．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n S 1＝S n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝2，那么a 7等于()A ．128B ．16C ．32D ．64答案D解析因为数列{a n }的前n 项和S n 满足S n S 1＝S n ＋1(n ∈N *)，a 1＝2，所以S n ＋1＝2S n ，即S n ＋1S n＝2，所以数列{S n }是以2为公比，以2为首项的等比数列，所以S n ＝2×2n －1＝2n .所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1.所以a 7＝26＝64.3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N *)，则a n 等于()A.n 2－n 2 B.n 2－n ＋22C.2n 2－nD.2n 2－n ＋2答案D解析由题意，得1a n ＋1－1a n ＝n ，则当n ≥2时，1a n －1a n －1＝n －1，1a n －1－1a n －2＝n －2，…，1a 2－1a 1＝1，所以1a n －1a 1＝1＋2＋…＋(n －1)＝n 2－n 2(n ≥2)，所以1a n ＝n 2－n2＋1＝n 2－n ＋22，即a n ＝2n 2－n ＋2(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝1适合此式，所以a n ＝2n 2－n ＋2.4．设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n 项之积为P n ，则P 2024等于()A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案C解析a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n ，得a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2，a 5＝12，…，所以数列{a n }是周期为3的周期数列．且P 3＝－1,2024＝3×674＋2，所以P 2024＝(－1)674×a 1a 2＝1.5．大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上第一道数列题，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．其前11项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60，则大衍数列的第41项为()A ．760B ．800C ．840D ．924答案C解析由题意得，大衍数列的奇数项依次为12－12，32－12，52－12，…，易知大衍数列的第41项为412－12＝840.6．(多选)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋，则下列说法正确的是()A ．数列{a n }的最小项是a 1B ．数列{a n }的最大项是a 4C ．数列{a n }的最大项是a 5D ．当n ≥5时，数列{a n }递减答案BCD解析假设第n 项为{a n }的最大项，n ≥a n －1，n ≥a n ＋1，n ＋2)≥(n ＋1)－1，n ＋2)≥(n ＋3)＋1，所以≤5，≥4，又n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5，故数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝6574，当n ≥5时，数列{a n }递减．7．S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为________.答案a n ，n ＝1，n ，n ≥2解析由log 2(S n ＋1)＝n ＋1，得S n ＋1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，显然当n ＝1时，不满足上式．所以数列{a n }的通项公式为a n ，n ＝1，n ，n ≥2.8．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________，数列{na n }中数值最小的项是第________项．答案2n －113解析∵S n ＝n 2－10n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －11；当n ＝1时，a 1＝S 1＝－9也适合上式．∴a n ＝2n －11(n ∈N *)．记f (n )＝na n ＝n (2n －11)＝2n 2－11n ，此函数图象的对称轴为直线n ＝114，但n ∈N *，∴当n ＝3时，f (n )取最小值．∴数列{na n }中数值最小的项是第3项．9．在①na n ＋1－(n ＋1)a n ＝n (n ＋1)；②S n ＝2n 2－1这两个条件中任选一个补充在下面的横线上，并解答．若数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{a n }满足________．(1)求a 2，a 3；(2)求数列{a n }的通项公式．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．解(1)选择①：a 2－2a 1＝1×2，则a 2＝4.2a 3－3a 2＝2×3，则a 3＝9.选择②：a 2＝S 2－S 1＝2×22－1－1＝6.a 3＝S 3－S 2＝2×32－1－2×22＋1＝10.(2)选择①：由na n ＋1－(n ＋1)a n ＝n (n ＋1)，得a n ＋1n ＋1－a nn＝1，所以a n n ＝a n n －a n －1n －1＋a n －1n －1－a n －2n －2＋…＋a22－a 1＋a 1＝n －1＋1＝n ，所以a n ＝n 2.选择②：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－1－[2(n －1)2－1]＝4n －2；当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，不符合上式，故{a n }的通项公式为a n ，n ＝1，n －2，n ≥2，n ∈N *.10．(2023·长沙模拟)已知数列{c n }满足c 1＝12，c n ＋1c n ＋1－1＝c 2nc n －1，n ∈N *，S n 为该数列的前n 项和．(1)(2)求证：S n <1.证明(1)因为c 1＝12，c n ＋1c n ＋1－1＝c 2nc n －1，所以c n ≠1，c n ≠0，两边分别取倒数可得1－1c n ＋1＝1c n －1c 2n，整理可得1c n ＋1－1c n＝>0，(2)由c n ＋1c n ＋1－1＝c 2nc n －1可得c n ＋1－1＋1c n ＋1－1＝c 2n －1＋1c n －1，即1c n ＋1－1＝c n ＋1c n －1，所以c n ＝1c n ＋1－1－1c n －1，所以S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1c 2－1－1c 1－1＋1c 3－1－1c 2－1＋…＋1c n ＋1－1－1c n －1＝1c n ＋1－1－1c 1－1＝1c n ＋1－1＋2，又1c n ≥1c1＝2，所以c n ＋1所以1c n ＋1－1<－1，即S n <1.11．在数列{a n }中，a 1＝1，a ＝(n ，a n )，b ＝(a n ＋1，n ＋1)，且a ⊥b ，则a 100等于()A.10099B ．－10099C ．100D ．－100答案D解析因为a ＝(n ，a n )，b ＝(a n ＋1，n ＋1)，且a ⊥b ，所以na n ＋1＋(n ＋1)a n ＝0，所以a n ＋1a n ＝－n ＋1n，所以a 2a 1＝－21，a 3a 2＝－32，…，a 100a 99＝－10099.以上各式左右分别相乘，得a100a 1＝－100，因为a 1＝1，所以a 100＝－100.12．(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{b n }：b 1＝1＋1α1，b 2＝1＋1α1＋1α2，b 3＝1＋1α1＋1α2＋1α3，…，依此类推，其中αk ∈N *(k ＝1,2，…)．则()A ．b 1<b 5B ．b 3<b 8C ．b 6<b 2D ．b 4<b 7答案D解析方法一当n 取奇数时，由已知b 1＝1＋1α1，b 3＝1＋1α1＋1α2＋1α3，因为1α1>1α1＋1α2＋1α3，所以b 1>b 3，同理可得b 3>b 5，b 5>b 7，…，于是可得b 1>b 3>b 5>b 7>…，故A 不正确；当n 取偶数时，由已知b 2＝1＋1α1＋1α2，b 4＝1＋1α1＋1α2＋1α3＋1α4，因为1α2>1α2＋1α3＋1α4，所以b 2<b 4，同理可得b 4<b 6，b 6<b 8，…，于是可得b 2<b 4<b 6<b 8<…，故C 不正确；因为1α1>1α1＋1α2，所以b 1>b 2，同理可得b 3>b 4，b 5>b 6，b 7>b 8，又b 3>b 7，所以b 3>b 8，故B 不正确；故选D.方法二(特殊值法)不妨取αk ＝1(k ＝1,2，…)，则b 1＝1＋11＝2，b 2＝1＋11＋11＝1＋1b 1＝1＋12＝32，b 3＝1＋11＋11＋11＝1＋1b 2＝1＋23＝53，所以b 4＝1＋1b 3＝1＋35＝85，b 5＝1＋1b 4＝1＋58＝138，b 6＝1＋1b 5＝1＋813＝2113，b 7＝1＋1b 6＝1＋1321＝3421，b 8＝1＋1b 7＝1＋2134＝5534.逐一判断选项可知选D.13．已知数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S n ＝n ＋23a n ，则a n a n －1的最大值为________．答案3解析∵S n ＝n ＋23a n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，可化为a n a n －1＝n ＋1n －1＝1＋2n －1，由函数y ＝2x －1在区间(1，＋∞)上单调递减，可得当n ＝2时，2n －1取得最大值2.∴a n a n －1的最大值为3.14．已知[x ]表示不超过x 的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.7]＝－2.在数列{a n }中，a n ＝[lg n ]，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则a 2024＝________；S 2024＝________.答案34965解析∵a n ＝[lg n ]，∴当1≤n ≤9时，a n ＝[lg n ]＝0；当10≤n ≤99时，a n ＝[lg n ]＝1；当100≤n ≤999时，a n ＝[lg n ]＝2；当1000≤n ≤9999时，a n ＝[lg n ]＝3.∴a 2024＝[lg 2024]＝3，S 2024＝9×0＋90×1＋900×2＋1025×3＝4965.15．(2023·郑州模拟)已知数列{a n }满足a 2＝2，a 2n ＝a 2n －1＋2n (n ∈N *)，a 2n ＋1＝a 2n ＋(－1)n (n ∈N *)，则数列{a n }第2024项为()A ．21012－2B ．21013－3C ．21011－2D ．21011－3答案B 解析由a 2n ＋1＝a 2n ＋(－1)n 得a 2n －1＝a 2n －2＋(－1)n －1(n ∈N *，n ≥2)，又由a 2n ＝a 2n －1＋2n 得a 2n ＝a 2n －2＋2n ＋(－1)n －1(n ∈N *，n ≥2)，所以a 4＝a 2＋22＋(－1)，a 6＝a 4＋23＋(－1)2，a 8＝a 6＋24＋(－1)3，…，a 2024＝a 2022＋21012＋(－1)1011，将上式相加得a 2024＝a 2＋(－1)1＋(－1)2＋…＋(－1)1011＋22＋23＋…＋21012＝2＋4×(1－21011)1－2－1＝21013－3.16．在数列{a n }中，已知a 1＝1，n 2a n －S n ＝n 2a n －1－S n －1(n ≥2，n ∈N *)，记b n ＝a n n 2，T n 为数列{b n }的前n 项和，则T 2025＝________.答案20251013解析由n 2a n －S n ＝n 2a n －1－S n －1(n ≥2，n ∈N *)，得n 2a n －(S n －S n －1)＝n 2a n －1，所以(n 2－1)a n ＝n 2a n －1，所以a n n ＝a n －1n －1×n n ＋1.令c n ＝a n n ，则c n ＝c n －1×n n ＋1，所以c n c n －1＝n n ＋1.由累乘法得c n c 1＝2n ＋1，又c 1＝a 1＝1，所以c n ＝2n ＋1，所以a n n ＝2n ＋1，所以a n ＝2n n ＋1，所以b n ＝a n n 2＝2n (n ＋1)＝2所以T 2025＝2－12＋12－13＋…＋12025－2＝20251013.。
全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编专题06立体几何解答题理
06 立体几何（解答题）（理科专用）1．【2022年全国甲卷】在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1 ,AB=2,DP=√3．(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)√5.5【解析】【分析】（1）作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，利用勾股定理证明AD⊥BD，根据线面垂直的性质可得PD⊥BD，从而可得BD⊥平面PAD，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点D为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.(1)证明：在四边形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，因为CD//AB,AD=CD=CB=1,AB=2，所以四边形ABCD为等腰梯形，所以AE=BF=1，2，BD=√DE2+BE2=√3，故DE=√32所以AD2+BD2=AB2，所以AD⊥BD，因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD=D，所以BD⊥平面PAD，又因PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA；(2)解：如图，以点D 为原点建立空间直角坐标系， BD =√3，则A(1,0,0),B(0,√3,0),P(0,0,√3)，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,√3),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√3,√3),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√3)， 设平面PAB 的法向量n⃗ =(x,y,z)， 则有{n →⋅AP →=−x +√3z =0n →⋅BP →=−√3y +√3z =0，可取n ⃗ =(√3,1,1)， 则cos〈n ⃗ ,DP⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=n⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗ ||DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√55， 所以PD 与平面PAB 所成角的正弦值为√55.2．【2022年全国乙卷】如图，四面体ABCD 中，AD ⊥CD,AD =CD,∠ADB =∠BDC ，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设AB =BD =2,∠ACB =60°，点F 在BD 上，当△AFC 的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为4√37【解析】 【分析】（1）根据已知关系证明△ABD ≌△CBD ，得到AB =CB ，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；（2）根据勾股定理逆用得到BE ⊥DE ，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可. (1)因为AD =CD ，E 为AC 的中点，所以AC ⊥DE ；在△ABD 和△CBD 中，因为AD =CD,∠ADB =∠CDB,DB =DB ，所以△ABD ≌△CBD ，所以AB =CB ，又因为E 为AC 的中点，所以AC ⊥BE ； 又因为DE,BE ⊂平面BED ，DE ∩BE =E ，所以AC ⊥平面BED ， 因为AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD . (2)连接EF ，由（1）知，AC ⊥平面BED ，因为EF ⊂平面BED ， 所以AC ⊥EF ，所以S △AFC =12AC ⋅EF ， 当EF ⊥BD 时，EF 最小，即△AFC 的面积最小. 因为△ABD ≌△CBD ，所以CB =AB =2， 又因为∠ACB =60°，所以△ABC 是等边三角形， 因为E 为AC 的中点，所以AE =EC =1，BE =√3， 因为AD ⊥CD ，所以DE =12AC =1,在△DEB 中，DE 2+BE 2=BD 2，所以BE ⊥DE . 以E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E −xyz ，则A (1,0,0),B(0,√3,0),D (0,0,1)，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0)， 设平面ABD 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z )， 则{n ⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +z =0n ⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√3y =0 ，取y =√3，则n ⃗ =(3,√3,3)，又因为C (−1,0,0),F (0,√34,34)，所以CF⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√34,34)，所以cos⟨n ⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=n ⃗ ⋅CF⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗ ||CF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√21×√74=4√37，设CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为θ(0≤θ≤π2)， 所以sinθ=|cos⟨n ⃗ ,CF⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩|=4√37， 所以CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为4√37.3．【2022年新高考1卷】如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积为4，△A 1BC 的面积为2√2．(1)求A 到平面A 1BC 的距离；(2)设D 为A 1C 的中点，AA 1=AB ，平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1，求二面角A −BD −C 的正弦值．【答案】(1)√2 (2)√32【解析】 【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得BC ⊥平面ABB 1A 1，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解. (1)在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设点A 到平面A 1BC 的距离为h ， 则V A−A 1BC =13S △A 1BC ⋅ℎ=2√23ℎ=V A 1−ABC =13S △ABC ⋅A 1A =13V ABC−A 1B 1C 1=43，解得ℎ=√2，所以点A 到平面A 1BC 的距离为√2； (2)取A 1B 的中点E ,连接AE ,如图，因为AA 1=AB ，所以AE ⊥A 1B , 又平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1，平面A 1BC ∩平面ABB 1A 1=A 1B ， 且AE ⊂平面ABB 1A 1，所以AE ⊥平面A 1BC ， 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，由BC ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面ABC 可得AE ⊥BC ，BB 1⊥BC ， 又AE,BB 1⊂平面ABB 1A 1且相交，所以BC ⊥平面ABB 1A 1，所以BC,BA,BB 1两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得AE =√2，所以AA 1=AB =2，A 1B =2√2，所以BC =2， 则A(0,2,0),A 1(0,2,2),B(0,0,0),C(2,0,0),所以A 1C 的中点D(1,1,1)， 则BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0), 设平面ABD 的一个法向量m ⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y +z =0m ⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0，可取m⃗⃗ =(1,0,−1)， 设平面BDC 的一个法向量n ⃗ =(a,b,c)，则{m ⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b +c =0m ⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a =0， 可取n⃗ =(0,1,−1)， 则cos〈m ⃗⃗ ,n ⃗ 〉=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=√2×√2=12，所以二面角A −BD −C 的正弦值为√1−(12)2=√32.4．【2022年新高考2卷】如图，PO 是三棱锥P −ABC 的高，PA =PB ，AB ⊥AC ，E 是PB 的中点．(1)证明：OE//平面PAC ；(2)若∠ABO =∠CBO =30°，PO =3，PA =5，求二面角C −AE −B 的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1113 【解析】 【分析】（1）连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，根据三角形全等得到OA =OB ，再根据直角三角形的性质得到AO =DO ，即可得到O 为BD 的中点从而得到OE//PD ，即可得证； （2）过点A 作Az//OP ，如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得； (1)证明：连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，因为PO 是三棱锥P −ABC 的高，所以PO ⊥平面ABC ，AO,BO ⊂平面ABC ， 所以PO ⊥AO 、PO ⊥BO ，又PA =PB ，所以△POA ≅△POB ，即OA =OB ，所以∠OAB =∠OBA ，又AB ⊥AC ，即∠BAC =90°，所以∠OAB +∠OAD =90°，∠OBA +∠ODA =90°， 所以∠ODA =∠OAD所以AO =DO ，即AO =DO =OB ，所以O 为BD 的中点，又E 为PB 的中点，所以OE//PD ， 又OE ⊄平面PAC ，PD ⊂平面PAC ， 所以OE//平面PAC(2)解：过点A 作Az//OP ，如图建立平面直角坐标系， 因为PO =3，AP =5，所以OA =√AP 2−PO 2=4，又∠OBA =∠OBC =30°，所以BD =2OA =8，则AD =4，AB =4√3，所以AC =12，所以O(2√3,2,0)，B(4√3,0,0)，P(2√3,2,3)，C (0,12,0)，所以E (3√3,1,32)， 则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3√3,1,32)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4√3,0,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,0)， 设平面AEB 的法向量为n ⃗ =(x,y,z )，则{n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3√3x +y +32z =0n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4√3x =0 ，令z =2，则y =−3，x =0，所以n ⃗ =(0,−3,2)；设平面AEC 的法向量为m⃗⃗ =(a,b,c )，则{m ⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3√3a +b +32c =0m ⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b =0 ，令a =√3，则c =−6，b =0，所以m ⃗⃗ =(√3,0,−6)； 所以cos ⟨n ⃗ ,m ⃗⃗ ⟩=n⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ |n ⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√13×√39=−4√313设二面角C −AE −B 为θ，由图可知二面角C −AE −B 为钝二面角， 所以cosθ=−4√313，所以sinθ=√1−cos 2θ=1113故二面角C −AE −B 的正弦值为1113；5．【2021年甲卷理科】已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小? 【答案】（1）证明见解析；（2）112B D = 【解析】 【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案； 【详解】（1）[方法一]：几何法 因为1111,//BFA B A B AB ⊥，所以BF AB ⊥．又因为1AB BB ⊥，1BF BB B ⋂=，所以AB ⊥平面11BCC B ．又因为2AB BC ==，构造正方体1111ABCG A B C G -，如图所示，过E 作AB 的平行线分别与AG BC ，交于其中点,M N ，连接11,A M B N ， 因为E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，所以N 是BC 的中点， 易证1Rt Rt BCF B BN ≅，则1CBF BB N ∠=∠．又因为1190BB N B NB ∠+∠=︒，所以1190CBF B NB BF B N ∠+∠=︒⊥，． 又因为111111,BFA B B N A B B ⊥=，所以BF ⊥平面11A MNB ．又因为ED ⊂平面11A MNB ，所以BF DE ⊥． [方法二] 【最优解】：向量法因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，1BB ∴⊥底面ABC ，1BB AB ∴⊥11//A B AB ，11BF A B ⊥，BF AB ∴⊥，又1BB BF B ⋂=，AB ∴⊥平面11BCC B ．所以1,,BA BC BB 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以1,,BA BC BB 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图．()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,B A C ∴()()()1110,0,2,2,0,2,0,2,2B A C ，()()1,1,0,0,2,1E F ．由题设(),0,2D a （02a ≤≤）． 因为()()0,2,1,1,1,2BF DE a ==--，所以()()0121120BF DE a ⋅=⨯-+⨯+⨯-=，所以BF DE ⊥．[方法三]：因为11BF A B ⊥，11//A B AB ，所以BF AB ⊥，故110BF A B ⋅=，0BF AB ⋅=，所以()11BF ED BF EB BB B D ⋅=⋅++()11=BF B D BF EB BB ⋅+⋅+1BF EB BF BB =⋅+⋅11122BF BA BC BF BB ⎛⎫=--+⋅ ⎪⎝⎭11122BF BA BF BC BF BB =-⋅-⋅+⋅112BF BC BF BB =-⋅+⋅111cos cos 2BF BC FBC BF BB FBB =-⋅∠+⋅∠1=2202-=，所以BF ED ⊥．（2）[方法一]【最优解】：向量法 设平面DFE 的法向量为(),,m x y z =， 因为()()1,1,1,1,1,2EF DE a =-=--，所以00m EF m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()0120x y z a x y z -++=⎧⎨-+-=⎩．令2z a =-，则()3,1,2m a a =+-因为平面11BCC B 的法向量为()2,0,0BA =， 设平面11BCC B 与平面DEF 的二面角的平面角为θ， 则cos m BA m BAθ⋅=⋅==当12a =时，2224a a -+取最小值为272， 此时cos θ=所以()minsin θ=112B D =． [方法二] ：几何法如图所示，延长EF 交11A C 的延长线于点S ，联结DS 交11B C 于点T ，则平面DFE平面11BB C C FT =．作1B H FT ⊥，垂足为H ，因为1DB ⊥平面11BB C C ，联结DH ，则1DHB ∠为平面11BB C C 与平面DFE 所成二面角的平面角．设1,B D t =[0,2],t ∈1B T s =，过1C 作111//C G A B 交DS 于点G ． 由111113C S C G SA A D ==得11(2)3C G t =-． 又1111BD B T C G C T=，即12(2)3t s s t =--，所以31ts t =+．又111B H B TC F FT =，即11B H =1B H =所以DH === 则11sin B D DHB DH∠===所以，当12t =时，()1min sin DHB ∠= [方法三]：投影法 如图，联结1,FB FN ，DEF 在平面11BB C C 的投影为1B NF ，记面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的平面角为θ，则1cos B NF DEFS Sθ=．设1(02)B D t t =≤≤，在1Rt DB F中，DF =在Rt ECF中，EF D作1B N 的平行线交MN 于点Q ．在Rt DEQ △中，DE =在DEF 中，由余弦定理得222cos 2DF EF DE DFE DF EF+-∠=⋅sin DFE ∠=1sin 2DFESDF EF DFE =⋅∠13,2B NFS = 1cos B NF DFES Sθ==，sin θ=当12t =，即112B D =，面11BBC C 与面DFE 【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维. 第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面DFE 在面11BB C C 上的投影三角形的面积与DFE △面积之比即为面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维．6．【2021年乙卷理科】如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）求BC ；（2）求二面角A PM B --的正弦值． 【答案】（1（2【解析】【分析】（1）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设2BC a =，由已知条件得出0PB AM ⋅=，求出a 的值，即可得出BC 的长； （2）求出平面PAM 、PBM 的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果. 【详解】（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，不妨以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系D xyz -，设2BC a =，则()0,0,0D 、()0,0,1P 、()2,1,0B a 、(),1,0M a 、()2,0,0A a ， 则()2,1,1PB a =-，(),1,0AM a =-，PB AM ⊥，则2210PB AM a ⋅=-+=，解得a =2BC a == [方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法如图，连结BD ．因为PD ⊥底面ABCD ，且AM ⊂底面ABCD ，所以PD AM ⊥． 又因为PB AM ⊥，PBPD P =，所以AM ⊥平面PBD ．又BD ⊂平面PBD ，所以AM BD ⊥．从而90ADB DAM ∠+∠=︒．因为90∠+∠=︒MAB DAM ，所以∠=∠MAB ADB ． 所以∽ADB BAM ，于是=AD BAAB BM．所以2112BC =．所以BC = [方法三]：几何法+三角形面积法 如图，联结BD 交AM 于点N ．由[方法二]知⊥AM DB ．在矩形ABCD 中，有∽DAN BMN ，所以2==AN DA MN BM，即23AN AM =．令2(0)=>BC t t ，因为M 为BC 的中点，则BM t =，DB AM由1122=⋅=⋅DABSDA AB DB AN ，得=t ，解得212t =，所以2==BC t（2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法设平面PAM 的法向量为()111,,m x y z =，则AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()AP =-， 由111120220m AMy m AP z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，取1x =()2,1,2m =，设平面PBM 的法向量为()222,,n x yz =，BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,1BP =--，由222220220n BM n BP y z ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=--+=⎩，取21y =，可得()0,1,1n =，3cos ,7m n m n m n ⋅===⋅⨯ 所以，270sin ,1cos ,14m n m n =-=， 因此，二面角A PM B --[方法二]：构造长方体法+等体积法如图，构造长方体1111ABCD A B C D -，联结11,AB A B ，交点记为H ，由于11AB A B ⊥，1AB BC ⊥，所以AH ⊥平面11A BCD ．过H 作1D M 的垂线，垂足记为G ．联结AG ，由三垂线定理可知1⊥AG D M ， 故AGH ∠为二面角A PM B --的平面角．易证四边形11A BCD 的正方形，联结1D H ，HM ． 111111111,2D HMD HMD A HHBMMCD A BCD SD M HG S S SSS=⋅=---正方形，由等积法解得=HG在Rt AHG 中，==AH HG =AG所以，sin AH AGH AG ∠==A PMB -- 【整体点评】（1）方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的判定定理，结合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明的基础上，利用三角形等面积方法求得.（2）方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清晰，运算简洁，为最优解；方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注意进行严格的论证.7．【2021年新高考1卷】如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.【答案】(1)证明见解析；【解析】 【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可. 【详解】（1）因为AB AD =，O 是BD 中点，所以OA BD ⊥， 因为OA ⊂平面ABD ，平面ABD ⊥平面BCD ， 且平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以OA ⊥平面BCD ． 因为CD ⊂平面BCD ，所以OA CD ⊥. （2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所示，以O 为坐标原点，OA 为z 轴，OD 为y 轴，垂直OD 且过O 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则1,0),(0,1,0),(0,1,0)2C D B -，设12(0,0,),(0,,)33A m E m ,所以4233(0,,),(,,0)3322EB m BC =--=，设(),,n x y z =为平面EBC 的法向量，则由00EB n EC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩可求得平面EBC 的一个法向量为2(3,1,)n m =--．又平面BCD 的一个法向量为()0,0,OA m=，所以cos ,2n OA ==，解得1m =．又点C 到平面ABD112132A BCD C ABD V V--==⨯⨯⨯=， 所以三棱锥A BCD - [方法二]【最优解】：作出二面角的平面角 如图所示，作EGBD ⊥，垂足为点G ．作GF BC ⊥，垂足为点F ，连结EF ，则OA EG ∥．因为OA ⊥平面BCD ，所以EG ⊥平面BCD ，EFG 为二面角E BC D --的平面角．因为45EFG ∠=︒，所以EG FG =． 由已知得1OB OD ==，故1OB OC ==．又30OBC OCB ∠=∠=︒，所以BC =因为24222,,,,133333GD GB FG CD EG OA ======，111122(11)13332A BCD BCDBOCV SO SOA A -==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=[方法三]：三面角公式考虑三面角B EDC -，记EBD ∠为α，EBC ∠为β，30DBC ∠=︒， 记二面角E BC D --为θ．据题意，得45θ=︒． 对β使用三面角的余弦公式，可得cos cos cos30βα=⋅︒，化简可得cos βα=．①使用三面角的正弦公式，可得sin sin sin αβθ=，化简可得sin βα=．② 将①②两式平方后相加，可得223cos 2sin 14αα+=，由此得221sin cos 4αα=，从而可得1tan 2α=±．如图可知π(0,)2α∈，即有1tan 2α=，根据三角形相似知，点G 为OD 的三等分点，即可得43BG =， 结合α的正切值，可得2,13EG OA ==从而可得三棱锥A BCD -【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.8．【2021年新高考2卷】在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若2,3AD QD QA QC ====．（1）证明：平面QAD ⊥平面ABCD ； （2）求二面角B QD A --的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【解析】 【分析】（1）取AD 的中点为O ，连接,QO CO ，可证QO ⊥平面ABCD ，从而得到面QAD ⊥面ABCD . （2）在平面ABCD 内，过O 作//OT CD ，交BC 于T ，则OT AD ⊥，建如图所示的空间坐标系，求出平面QAD 、平面BQD 的法向量后可求二面角的余弦值. 【详解】（1）取AD 的中点为O ，连接,QO CO . 因为QA QD =，OA OD =，则QO ⊥AD ，而2,AD QA ==2QO ==.在正方形ABCD 中，因为2AD =，故1DO =，故CO =因为3QC =，故222QC QO OC =+，故QOC 为直角三角形且QO OC ⊥， 因为OCAD O =，故QO ⊥平面ABCD ，因为QO ⊂平面QAD ，故平面QAD ⊥平面ABCD .（2）在平面ABCD 内，过O 作//OT CD ，交BC 于T ，则OT AD ⊥， 结合（1）中的QO ⊥平面ABCD ，故可建如图所示的空间坐标系.则()()()0,1,0,0,0,2,2,1,0D Q B -，故()()2,1,2,2,2,0BQ BD =-=-. 设平面QBD 的法向量(),,n x y z =，则00n BQ n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即220220x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩，取1x =，则11,2y z ==，故11,1,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭.而平面QAD 的法向量为()1,0,0m =，故12cos ,3312m n ==⨯.二面角B QD A --的平面角为锐角，故其余弦值为23.9．【2020年新课标1卷理科】如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO上一点，PO ．（1）证明：PA ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC E --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】 【分析】（1）要证明PA ⊥平面PBC ，只需证明PA PB ⊥，PA PC ⊥即可；（2）方法一：过O 作ON ∥BC 交AB 于点N ，以O 为坐标原点，OA 为x 轴，ON 为y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面PCB 的一个法向量n ，平面PCE 的一个法向量为m ，利用公式cos ,||||n mm n n m ⋅<>=计算即可得到答案. 【详解】（1）[方法一]：勾股运算法证明由题设，知DAE △为等边三角形，设1AE =， 则DO =，1122CO BO AE===，所以PO ==PC PB PA ====又ABC 为等边三角形，则2sin 60BA OA =，所以BA = 22234PA PB AB +==，则90APB ∠=，所以PA PB ⊥， 同理PA PC ⊥，又PC PB P =，所以PA ⊥平面PBC ；[方法二]：空间直角坐标系法 不妨设AB =4sin 60==︒=ABAE AD ，由圆锥性质知DO ⊥平面ABC ，所以==DO ==PO O 是ABC 的外心，因此AE BC ⊥．在底面过O 作BC 的平行线与AB 的交点为W ，以O 为原点，OW 方向为x 轴正方向，OE 方向为y 轴正方向，OD 方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,2,0)A -，B ，(C ，(0,2,0)E ，P ．所以(0,AP =，(=--BP ，(3,=-CP ． 故0220⋅=-+=AP BP ，0220⋅=-+=AP CP ． 所以AP BP ⊥，AP CP ⊥．又BP CP P =，故AP ⊥平面PBC ．[方法三]：因为ABC 是底面圆O 的内接正三角形，且AE 为底面直径，所以AE BC ⊥． 因为DO （即PO ）垂直于底面，BC 在底面内，所以PO BC ⊥． 又因为PO ⊂平面PAE ，AE ⊂平面PAE ，PO AE O =，所以BC ⊥平面PAE ．又因为PA ⊂平面PAE ，所以PA BC ⊥．设AE BC F =，则F 为BC 的中点，连结PF ．设DO a =，且PO ，则AF =，PA =，12PF a =． 因此222+=PA PF AF ，从而PA PF ⊥． 又因为PFBC F =，所以PA ⊥平面PBC ．[方法四]：空间基底向量法如图所示，圆锥底面圆O 半径为R ，连结DE ，AE AD DE ==，易得OD =，因为=PO ，所以=PO ． 以,,OA OB OD 为基底，OD ⊥平面ABC ，则66=+=-+AP AO OP OA OD ， 66=+=-+BP BO OP OB OD ，且212OA OB R ⋅=-，0OA OD OB OD ⋅=⋅=所以6666⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AP BP OA OD OB OD26610666⋅-⋅-⋅+=OA OB OA OD OB OD OD ． 故0AP BP ⋅=．所以AP BP ⊥，即AP BP ⊥． 同理AP CP ⊥．又BP CP P =，所以AP ⊥平面PBC ． （2）[方法一]：空间直角坐标系法过O 作ON ∥BC 交AB 于点N ，因为PO ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，OA 为x 轴，ON 为y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则111(,0,0),((,244E PB C ---，1(,44PC =--，1()44PB =-，1(,0,24PE =--，设平面PCB 的一个法向量为111(,,)n x y z =，由00n PC n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得11111100x x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令1x 111,0z y =-=，所以(2,0,1)n =-，设平面PCE 的一个法向量为222(,,)m x y z =由00m PC m PE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22222020x x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令21x =，得22z y ==所以3(1,3m =故2cos ,||||3n mmn n m ⋅<>===⋅⨯设二面角B PC E --的大小为θ，由图可知二面角为锐二面角，所以cos θ=[方法二]【最优解】：几何法 设=BCAE F ，易知F 是BC 的中点，过F 作∥FG AP 交PE 于G ，取PC 的中点H ，联结GH ，则∥HF PB ．由PA ⊥平面PBC ，得FG ⊥平面PBC ． 由（1）可得，222BC PB PC =+，得PB PC ⊥． 所以FH PC ⊥，根据三垂线定理，得GH PC ⊥． 所以GHF ∠是二面角B PC E --的平面角． 设圆O 的半径为r ，则3sin602︒==AF AB r ，2AE r =，12=EF r ，13EF AF =，所以14=FG PA ，1122==FH PB PA ，12=FG FH ． 在Rt GFH 中，1tan 2∠==FG GHF FH ，cos ∠=GHF ． 所以二面角B PC E --．[方法三]：射影面积法如图所示，在PE 上取点H ，使14HE PE =，设BC AE N =，连结NH ．由（1）知14NE AE =，所以∥NH PA ．故NH ⊥平面PBC ． 所以，点H 在面PBC 上的射影为N ．故由射影面积法可知二面角B PC E --的余弦值为cos PCN PCHS θS=．在PCE中，令==PC PE 1CE =，易知=PCES ．所以335416PCH PCES S ==．又1328PCNPBCSS ==，故3cos PCN PCHS θS ===所以二面角BPC E --．【整体点评】本题以圆锥为载体，隐含条件是圆锥的轴垂直于底面，（1）方法一：利用勾股数进行运算证明，是在给出数据去证明垂直时的常用方法；方法二：选择建系利用空间向量法，给空间立体感较弱的学生提供了可行的途径；方法三：利用线面垂直，结合勾股定理可证出；方法四：利用空间基底解决问题，此解法在解答题中用的比较少；（2）方法一：建系利用空间向量法求解二面角，属于解答题中求角的常规方法；方法二：利用几何法，通过三垂线法作出二面角，求解三角形进行求解二面角，适合立体感强的学生；方法三：利用射影面积法求解二面角，提高解题速度.10．【2020年新课标2卷理科】如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A1AMN ⊥EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】 【分析】（1）由,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN CC ，根据条件可得11//AA BB ，可证1MN AA //，要证平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，只需证明EF ⊥平面1A AMN 即可；（2）连接NP ，先求证四边形ONPA 是平行四边形，根据几何关系求得EP ，在11B C 截取1B Q EP =，由（1）BC ⊥平面1A AMN ，可得QPN ∠为1B E 与平面1A AMN 所成角，即可求得答案. 【详解】 （1）,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB ∴，又11//AA BB ， 1//MN AA ∴，在ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM ⊥， 又侧面11BB C C 为矩形， 1BC BB ∴⊥， 1//MN BB ，MN BC ⊥，由MN AM M ⋂=，,MN AM ⊂平面1A AMN ， ∴BC ⊥平面1A AMN ，又11//B C BC ，且11B C ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，11//B C ∴平面ABC ，又11B C ⊂平面11EB C F ，且平面11EB C F ⋂平面ABC EF =11//B C EF ∴ ，//EF BC ∴，又BC ⊥平面1A AMN ， ∴EF ⊥平面1A AMN ，EF ⊂平面11EB C F ， ∴平面11EB C F ⊥平面1A AMN .(2)[方法一]：几何法如图，过O 作11B C 的平行线分别交1111,A B AC 于点11,E F ，联结11,,,AE AO AF NP ， 由于//AO 平面11EB C F ，11//E F 平面11EB C F ，11=AOE F O ，AO ⊂平面11AE F ，11E F ⊂平面11AE F ，所以平面11//AE F 平面11EB C F ．又因平面11AE F 平面111=AA B B AE ，平面11EB C F ⋂平面111=AA B B EB ，所以11∥EB AE ．因为111B C A N ⊥，11B C MN ⊥，1A N MN N =，所以11B C ⊥面1AA NM ．又因1111∥E F B C ，所以11⊥E F 面1AA NM ， 所以1AE 与平面1AA NM 所成的角为1∠E AO ．令2AB =，则11=NB ，由于O 为111A B C △的中心，故112233==OE NB ． 在1Rt AE O 中，122,3===AO AB OE ，由勾股定理得1==AE所以111sin ∠==E O E AO AE 由于11∥EB AE ，直线1B E 与平面1A AMN[方法二]【最优解】：几何法 因为//AO 平面11EFC B ，平面11EFC B 平面1=AMNA NP ，所以∥AO NP ．因为//ON AP ，所以四边形OAPN 为平行四边形．由（Ⅰ）知EF ⊥平面1AMNA ，则EF 为平面1AMNA 的垂线． 所以1B E 在平面1AMNA 的射影为NP ． 从而1B E 与NP 所成角的正弦值即为所求．在梯形11EFC B 中，设1EF =，过E 作11EG B C ⊥，垂足为G ，则3==PN EG ． 在直角三角形1B EG中，1sin ∠==B EG [方法三]：向量法由（Ⅰ）知，11B C ⊥平面1A AMN ，则11B C 为平面1A AMN 的法向量．因为∥AO 平面11EB C F ，AO ⊆平面1A AMN ，且平面1A AMN ⋂平面11EB C F PN =， 所以//AO PN ．由（Ⅰ）知11,=∥AA MN AA MN ，即四边形APNO 为平行四边形，则==AO NP AB ． 因为O 为正111A B C △的中心，故13==AP ON AM ． 由面面平行的性质得111111,33=∥EF B C EF B C ，所以四边形11EFC B 为等腰梯形．由P ，N 为等腰梯形两底的中点，得11PN B C ⊥，则11110,⋅==++=PN B C EB EP PN NB 111111111623+-=-B C PN B C PN B C ． 设直线1B E 与平面1A AMN 所成角为θ，AB a ，则21111111sin θ⋅===aEB B C EB B C a 所以直线1B E 与平面1A AMN[方法四]：基底法不妨设2===AO AB AC ，则在直角1AA O 中，1AA =以向量1,,AA AB AC 为基底， 从而1,2π=AA AB ，1,2π=AA AC ，,3π=AB AC ．1111123=++=+EB EA AA A B AB AA ，BC AC AB =-， 则12103=EB ，||2BC =． 所以112()3⎛⎫⋅=+⋅-= ⎪⎝⎭EB BC AB AA AC AB 2224333⋅-=-AB AC AB ．由（Ⅰ）知BC ⊥平面1A AMN ，所以向量BC 为平面1A AMN 的法向量． 设直线1B E 与平面1A AMN 所成角θ，则11110sin cos ,10||θ⋅===EB BC EB BC EB BC 故直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值为sin θ= 【整体点评】(2)方法一：几何法的核心在于找到线面角，本题中利用平行关系进行等价转化是解决问题的关键；方法二：等价转化是解决问题的关键，构造直角三角形是求解角度的正弦值的基本方法； 方法三：利用向量法的核心是找到平面的法向量和直线的方向向量，然后利用向量法求解即可；方法四：基底法是立体几何的重要思想，它是平面向量基本定理的延伸，其关键之处在于找到平面的法向量和直线的方向向量.11．【2020年新课标3卷理科】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】 【分析】（1）方法一:连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；（2）方法一：以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值，进而可求得二面角1A EF A --的正弦值. 【详解】（1）［方法一］【最优解】：利用平面基本事实的推论在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，如图1所示.在长方体1111ABCD A B C D -中，//,BF CG BF CG =，所以四边形BCGF 为平行四边形，则//,BC FG BC FG =，而,//BC AD BC AD =，所以//,AD FG AD FG =，所以四边形DAFG 为平行四边形，即有//AF DG ，同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG ∴，1//C E AF ∴，因此点1C 在平面AEF 内.［方法二］：空间向量共线定理以11111,,C D C B C C 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图2所示． 设11111,,3C D a C B b C C c ===，则1(0,0,0),(,0,2),(0,,),(,,3)C E a c F b c A a b c ．所以1(,0,2),(,0,2)C E a c FA a c ==．故1C E FA =．所以1AF C E ∥，点1C 在平面AEF 内． ［方法三］：平面向量基本定理同方法二建系，并得1(0,0,0),(,0,2),(0,,),(,,3)C E a c F b c A a b c ， 所以111(,0,2),(0,,),(,,3)C E a c C F b c C A a b c ===．故111C A C E C F =+．所以点1C 在平面AEF 内． ［方法四］：根据题意，如图3，设11111,2,3A D a A B b A A c ===．在平面11A B BA 内，因为12BF FB =，所以1111133B F B B A A ==．延长AF 交11A B 于G ，AF ⊂平面AEF ，11A B ⊂平面1111D C B A ．11,G AF G A B ∈∈，所以G ∈平面,AEF G ∈平面1111D C B A ①．延长AE 交11A D 于H ，同理H ∈平面,AEF H ∈平面1111D C B A ②． 由①②得，平面AEF平面1111A B C D GH =．连接11,,GH GC HC ，根据相似三角形知识可得11,2GB b D H a ==．在11Rt C B G 中，1C G =同理，在11Rt C D H 中，1C H =如图4，在1Rt A GH 中，GH = 所以11GH C G C H =+，即G ，1C ，H 三点共线． 因为GH ⊂平面AEF ，所以1C ⊂平面AEF ，得证． ［方法五］：如图5，连接11,,DF EB DB ，则四边形1DEB F 为平行四边形，设1DB 与EF 相交于点O ，则O 为1,EF DB 的中点．联结1AC ，由长方体知识知，体对角线交于一点，且为它们的中点，即11AC B D O =，则1AC 经过点O ，故点1C 在平面AEF 内．（2）［方法一］【最优解】：坐标法以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -，如图2.则()2,1,3A 、()12,1,0A 、()2,0,2E 、()0,1,1F ，()0,1,1AE =--，()2,0,2AF =--，()10,1,2A E =-，()12,0,1A F =-，设平面AEF 的一个法向量为()111,,m x y z =，由00m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-，得111x y ==，则()1,1,1m =-，设平面1A EF 的一个法向量为()222,,n x y z =，由1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取22z =，得21x =，24y =，则()1,4,2n =，3cos ,3m n m n m n⋅<>===⨯⋅ 设二面角1A EF A--的平面角为θ，则cos θ=sin7θ∴=. 因此，二面角1A EF A--. ［方法二］：定义法在AEF 中，AE AF EF ====即222AE EF AF +=，所以AE EF ⊥．在1A EF 中，11A E A F =6，设,EF AF 的中点分别为M ，N ，连接11,,A M MN A N ，则1,A M EF MN EF ⊥⊥，所以1AMN ∠为二面角1A EFA --的平面角．在1AMN 中，1122MN A M A N ====所以1175cos A MN+-∠==1sin A MN∠==［方法三］：向量法由题意得11AE AF AF AE EF==，由于222AE EF AF+=，所以AE EF⊥．如图7，在平面1A EF内作1A G EF⊥，垂足为G，则EA与1GA的夹角即为二面角1A EF A--的大小．由11AA AE EG GA=++，得22221111222AA AE EG GA AE EG EG GA AE GA=++++⋅⋅+⋅．其中，1EG AG==11AE GA⋅=，1cos,AE GA〉〈=所以二面角1A EF A--．［方法四］：三面角公式由题易得，11EA FA FE EA FA===所以2221111cos2EA EA AAAEAEA EA+-∠===⋅．222cos0,sin12EA EF AFAEF AEFEA EF+-∠===∠=⋅．22211111cos2EA EF A FA EF A EFEA EF+-∠===∠=⋅设θ为二面角1A EF A--的平面角，由二面角的三个面角公式，得111cos cos cos cos sin sin AEA AEF A EF AEF A EF θ∠-∠⋅∠==∠⋅∠sin θ=【整体点评】（1）方法一：通过证明直线1//C E AF ，根据平面的基本事实二的推论即可证出，思路直接，简单明了，是通性通法，也是最优解；方法二：利用空间向量基本定理证明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：利用平面的基本事实三通过证明三点共线说明点在平面内；方法五：利用平面的基本事实以及平行四边形的对角线和长方体的体对角线互相平分即可证出． （2）方法一：利用建立空间直角坐标系，由两个平面的法向量的夹角和二面角的关系求出；方法二：利用二面角的定义结合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的两个向量夹角和二面角的关系即可求出，为最优解；方法四：利用三面角的余弦公式即可求出． 12．【2020年新高考1卷（山东卷）】如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）证明见解析；（2【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得AD ⊥平面PDC ，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得//AD l ，从而得到l ⊥平面PDC ；（2）方法一：根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点(,0,1)Q m ，之后求得平面QCD 的法向量以及向量PB 的坐标，求得cos ,n PB <>的最大值，即为直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值. 【详解】 （1）证明：在正方形ABCD 中，//AD BC ，因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以//AD 平面PBC ，又因为AD ⊂平面PAD ，平面PAD 平面PBC l =，所以//AD l ，因为在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，所以,,AD DC l DC ⊥∴⊥且PD ⊥平面ABCD ，所以,,AD PD l PD ⊥∴⊥因为CD PD D =，所以l ⊥平面PDC ．（2）［方法一］【最优解】：通性通法因为,,DP DA DC 两两垂直，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示：因为1PD AD ==，设(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0)D C A P B ， 设(,0,1)Q m ，则有(0,1,0),(,0,1),(1,1,1)DC DQ m PB ===-， 设平面QCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00DC n DQ n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00y mx z =⎧⎨+=⎩，令1x =，则z m =-，所以平面QCD 的一个法向量为(1,0,)n m =-，则 1cos ,3n PB n PB n PB⋅+<>==根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值等于|cos ,|n PB <>====当且仅当1m =时取等号，所以直线PB 与平面QCD ［方法二］：定义法如图2，因为l ⊂平面PBC ，Q l ∈，所以Q ∈平面PBC ．。
2024—2024年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——数列
2024—2024年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——数列2024—2024年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——数列一、数列概述数列是数学中的一个重要概念，它是一组有序的数字排列，具有一定的规律性和周期性。
数列可以通过公式、图表和计算机程序等方式来表示。
数列在数学、物理、化学、生物、经济、计算机科学等多个领域都有广泛应用。
二、数列的性质1、有序性：数列中的每个元素都有一个确定的位置，不能随意改变。
2、周期性：数列中的元素按照一定的周期重复出现。
3、单调性：数列中的元素按照一定的顺序排列，具有一定的单调性。
4、有界性：数列中的元素不会无限增大或减小，有一定的上下界。
三、常见的数列类型1、等差数列：每个元素与前一个元素的差相等，如1, 2, 3, ...2、等比数列：每个元素与前一个元素的比值相等，如1, 2, 4, ...3、平方数列：每个元素是前一个元素的平方，如1, 4, 9, ...4、立方数列：每个元素是前一个元素的立方，如1, 8, 27, ...四、数列的应用1、在数学分析中，数列常常被用来研究函数的极限、导数和积分等概念。
2、在物理学中，数列被用来描述周期性变化的现象，如声音、光、电磁波等。
3、在计算机科学中，数列常常被用来进行数据压缩和加密等操作。
4、在经济学中，数列被用来描述经济增长和通货膨胀等经济现象。
五、总结数列是数学中的一个重要概念，它具有有序性、周期性、单调性和有界性等性质。
常见的数列类型包括等差数列、等比数列、平方数列和立方数列等。
数列在数学、物理、化学、生物、经济、计算机科学等多个领域都有广泛应用。
在未来的学习和工作中，我们需要进一步掌握数列的基本概念和性质，并能够灵活运用数列解决实际问题。
2020高考数学分项汇编专项06数列(含解析)理
题，重 点是对知识本
44
1 ， S2
2
a3 ，那么 a2 =_______。
考点：等差数列的通项公式 , 前 n 项和 . 10. 【 2019 高考北京理第 10 题】假设等比数列 { an} 满足 a2 ＋ a4＝ 20，a3＋ a5 ＝40，那么公比 q＝ __________； 前 n 项和 Sn＝ __________.
〔 D〕 2 (8n 4 1) 7
2. 【 2018 高考北京理第 6 题】数列 an 对任意的 p， q
*
N 满足
ap
q
ap
aq ，且 a2
于〔
〕
A、 165
【答案】 C
B、 33
C、 30
D、 21
6 ，那么 a10 等
考点：数列
3. 【 2018 高考北京理第 2 题】在等比数列 { an} 中，a1＝ 1，公比 | q| ≠1. 假设 am＝ a1a2a 3a4a5，那么 m等于 (
8. 【 2018 高考北京理第 11 题】在等比数列 { an} 中，假设 a1
1 ， a4
2
| a1 | | a2 |
| an | ________.
【答案】 2
2n 1 1 2
4 ，那么公比 q ________；
9. 【 2019 高考北京理第 10 题】 { an} 等差数列 Sn 为其前 n 项和。 假设 a1 【答案】 a2 1 ， Sn 1 n 2 1 n
〔Ⅲ〕求
lim
n
(b1
b2
bn ).
【答案】
13. 【 2006 高考北京理第 20 题】〔本小题共 14 分〕
在数列 { an} 中，假设 a1,a2 是正整数，且 an | an 1 an 2 |,n 3, 4,5, ，那么称 { an} 为〝绝对差
高考数学中的数列与等比数列题解析
高考数学中的数列与等比数列题解析数列是高考数学中常见的概念，它在数学理论中有着广泛的应用。
其中，等比数列作为数列中的一种特殊形式，也是高考数学中的重要考点。
在本文中，将对高考数学中的数列与等比数列进行解析和讲解。
一、数列的定义和性质数列是一系列按照特定规律排列的数的集合。
一般表示为{a1，a2，a3，…，aa}，其中aa表示数列中的第a个数。
数列的性质包括公差、通项公式等。
二、数列的表示方法1. 通项公式通项公式是指通过数列的某种规律得到数列中的第a个数的公式。
我们以等差数列为例，其通项公式为：aa = a1 + (a-1)a，其中a1表示首项，a表示公差。
2. 递推公式递推公式是指通过数列前一项的值得到下一项的值的公式。
我们以等差数列为例，其递推公式为：aa = aa−1 + a，其中aa表示数列的第a个数。
三、等比数列等比数列是一种数列，其特点是每一项与它的前一项的比都相等。
通常用a n来表示等比数列中的第a个数。
等比数列的通项公式为：aa = a1 * a^(a−1)，其中a1表示首项，a表示公比。
四、等比数列的性质等比数列具有一些重要的性质，包括公比的绝对值小于1时等比数列的收敛性、等比数列的前a项和等等。
五、在高考数学中，数列与等比数列的题目常见且普遍。
以下我们通过几个例题来解析和讲解。
例题一：已知等比数列{a₁，a₂，a₃，…，a_10}的首项为2，公比为0.5，求该等比数列的前10项的和。
解析：根据等比数列的通项公式，我们可以求得前十项的值：2，1，0.5，0.25，…，0.0009765625。
然后，利用等比数列的前a项和公式aa = a (1-aⁿ)/(1-a)，其中aa表示前a项的和，a表示公比。
代入数据计算得：aa= 2 (1−0.5^10)/(1−0.5) ≈ 2.048。
因此，该等比数列的前10项的和约为2.048。
例题二：数列{a₁，a₂，a₃，…，aa}的项数为a，且首项为1，已知数列的前a项和为(3a²+a) / 2，求数列的通项公式。
高考数学分项汇编 专题06 数列(含解析)理科
专题06 数列一．基础题组1. 【2006高考陕西版文第3题】已知等差数列{a n }中，a 2+a 8=8，则该数列前9项和S 9等于( )A ．18B ．27C ．36D ．45【答案】C考点：等差数列，容易题.2. 【2007高考陕西版理第5题】各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S n =2,S 3n =14,则S 4n 等于（A ）80 （B ）30 (C)26 (D)16 【答案】B考点：等比数列，容易题.3. 【2008高考陕西版理第4题】已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ） A ．64 B ．100C ．110D ．120【答案】B考点：等差数列，容易题.4. 【2009高考陕西版理第13题】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6312a S ==，则2limnn S n →∞= ．5. 【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ． 【答案】5【考点定位】等差中项．二．能力题组1. 【2006高考陕西版理第20题】已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1，a 3，a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n ． 【答案】a n =5n －3考点：等比数列.2. 【2007高考陕西版理第22题】已知各项全不为零的数列{a k }的前k 项和为S k ,且S k ＝∈+k a a k k (211N *),其中a 1=1.(Ⅰ)求数列{a k }的通项公式;(Ⅱ)对任意给定的正整数n (n ≥2),数列{b k }满足11++-=b k k a nk b b （k =1,2,…，n -1）,b 1=1.【答案】(Ⅰ) *()k a k k =∈N ;Z (Ⅱ)1n.考点：等差数列、数列求和.3. 【2008高考陕西版理第22题】已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n na a a +=+，12n =L ，，．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x >，21121(1)3n na x x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥，12n =L ，，； （Ⅲ）证明：2121n n a a a n +++>+L ．【答案】（Ⅰ）332nn n a ∴=+；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析．【解析】试题分析：解法一：（Ⅰ）1321n n n a a a +=+Q ，112133n n a a +∴=+，1111113n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭， 又1213n a -=，11n a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭是以23为首项，13为公比的等比数列．∴原不等式成立．解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）设2112()1(1)3n f x x x x ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭，考点：数列与不等式.4. 【2010高考陕西版理第9题】对于数列｛a n｝，“a n+1＞∣a n∣（n=1，2…）”是“｛a n｝为递增数列”的(A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件(C) 必要条件 (D) 既不充分也不必要条件【答案】B考点：数列的性质5. 【2010高考陕西版理第16题】已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n}的通项; （Ⅱ）求数列{2an}的前n项和S n.【答案】（Ⅰ）a n＝1+（n－1）×1＝n.(Ⅱ)S m=2n+1-2.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得121d+＝1812dd++，考点：等差数列与等比数列.6. 【2011高考陕西版理第14题】植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为（米）．【答案】2000考点：数列求和.7. 【2011高考陕西版理第19题】如图，从点1(0,0)P 做x 轴的垂线交曲线xy e =于点1(0,1),Q 曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ，再从2P 做x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：1122,;,......;,,n n P Q P Q P Q 记kP 点的坐标为(,0)(1,2,...,)k x k n =.（Ⅰ）试求1x 与1k x -的关系(2)k n ≤≤ （ Ⅱ）求112233...n n PQ PQ PQ PQ ++++． 【答案】（Ⅰ）11(2)k k x x k n -=-≤≤。
高考数学分项汇编 专题06 数列(含解析)文
专题06 数列1. 【2008高考北京文第7题】已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ） A ．30 B ．45C ．90D ．186【答案】 C2. 【2012高考北京文第6题】已知{a n }为等比数列．下面结论中正确的是( )A ．a 1＋a 3≥2a 2B ．2221322a a a ≥＋C ．若a 1＝a 3，则a 1＝a 2D ．若a 3＞a 1，则a 4＞a 2 【答案】B3. 【2006高考北京文第6题】如果-1,a ,b ,c ,-9成等比数列,那么 A.b =3,ac =9B.b =-3,ac =9C.b =3,ac =-9D.b =-3,ac =-9【答案】B4. 【2007高考北京文第10题】若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=L ，，，，则此数列的通项公式为．5. 【2013高考北京文第11题】若等比数列{a n}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝__________；前n 项和S n＝__________.【答案】2 2n＋1－26. 【2012高考北京文第10题】已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若11 2a=，S2＝a3，则a2＝________，S n＝________．【答案】121() 4n n+7. 【2009高考北京文第10题】若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则5a= ；前8项的和8S = .（用数字作答）8. 【2011高考北京文第12题】在等比数列{}n a 中，若141,4,2a a ==则公比q = ；12n a a a ++⋯+= 【答案】2 2121--n 【解析】：由{}n a 是等比数列得341a a q =，又141,4,2a a == 所以31422q q =⇒= 112(1)1nn a q a a a q -++⋯+=-11(12)122122nn --==--9．【2005高考北京文第17题】数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113n n a S +=，n =1，2，3，……，求 （I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式； （II ）2462n a a a a ++++L 的值.10. 【2006高考北京文第20题】设等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都为整数,前n 项和为S n . (1)若a 11=0,S 14=98,求数列{a n }的通项公式;(2)若a 1≥6,a 11>0,S 14≤77,求所有可能的数列{a n }的通项公式.11.【2007高考北京文第16题】（本小题共13分）数列{}n a 中，12a =1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =L ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． （I ）求c 的值； （II ）求{}n a 的通项公式．12. 【2008高考北京文第20题】（本小题共13分）数列{}n a 满足11a =，21()n n a n n a λ+=+-（12n =L ，，），λ是常数． （Ⅰ）当21a =-时，求λ及3a 的值；（Ⅱ）数列{}n a 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由； （Ⅲ）求λ的取值范围，使得存在正整数m ，当n m >时总有0n a <．13. 【2009高考北京文第20题】（本小题共13分）设数列{}n a 的通项公式为(,0)n a pn q n N P *=+∈>. 数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值. （Ⅰ）若11,23p q ==-，求3b ； （Ⅱ）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式；（Ⅲ）是否存在p 和q ，使得32()m b m m N *=+∈？如果存在，求p 和q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.14. 【2014高考北京文第15题】(本小题共13分) 已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.15. 【2010高考北京文第16题】（13分） 已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0. (1)求{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和公式．16. 【2013高考北京文第20题】(本小题共13分)给定数列a1，a2，…，a n，对i＝1,2，…，n－1，该数列的前i项的最大值记为A i，后n－i项a i＋1，a i＋2，…，a n的最小值记为B i，d i＝A i－B i.(1)设数列{a n}为3,4,7,1，写出d1，d2，d3的值；(2)设a1，a2，…，a n(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1＞0.证明：d1，d2，…，d n－1是等比数列；(3)设d1，d2，…，d n－1是公差大于0的等差数列，且d1＞0.证明：a1，a2，…，a n－1是等差数列．17. 【2015高考北京，文16】（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？。
高考数学分项汇编 专题6 数列(含解析)文
第六章 数列一．基础题组1.【2007四川，文7】等差数列{}n a 中，1351,14a a a =+=，其前n 项和100n S =，则n =( ) (A)9(B)10(C)11(D)12【答案】()B2.【2009四川，文3】等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是( )A . 90B . 100C . 145D . 190 【答案】B3.【2011四川，文9】数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6=（ ） （A ）3 × 44（B ）3 × 44+1（C ）44（D ）44+1【答案】A4. 【2015高考四川，文16】设数列{a n }(n ＝1，2，3…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 3，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式； (Ⅱ)设数列1{}na 的前n 项和为T n ，求T n .【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n 项和等基础知识，考查运算求解能力. 二．能力题组1.【2008四川，文16】设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a = ___________。
【答案】：()112n n ++【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住11n n a a n +=++中1,n n a a +系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；2.【2012四川，文12】设函数3()(3)1f x x x =-+-，{}n a 是公差不为0的等差数列，127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则127a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A 、0B 、7C 、14D 、21三．拔高题组1.【2007四川，文22】 (本小题满分14分)已知函数()24f x x =-，设曲线()y f x =在点()(),n n x f x 处的切线与x 轴的交点为()()*1,0n x n N+∈，其中1x 为正实数. （Ⅰ）用n x 表示1n x +. （Ⅱ）若14x =，记2lg2n n n x a x +=-，证明数列{}n a 成等比数列，并求数列{}n a 的通项公式.（Ⅲ）若14x =，2n n b a =-，n T 是数列{}n b 的前n 项和，证明：3n T <【答案】（Ⅰ）122n n n x x x +=+；（Ⅱ）证明略，()112223131n n n x --+=-；（Ⅲ）证明略. 【试题分析】（Ⅰ）由题可得()'2f x x =所以过曲线上点()(),n n x f x 的切线方程为()()()'n n n y f x f x x x -=-， 即()()242n n n y x x x x --=-令0y =，得()()2142n n n n x x x x +--=-，即2142n n n x x x ++=显然0n x ≠ ∴122n n nx x x +=+ （Ⅱ）由122n n n x x x +=+，知()21222n n n x x x +++=，同理，()21222n n nx x x +--= 故2112222n n n n x x x x ++⎛⎫++= ⎪--⎝⎭从而1122lg2lg 22n n n n x x x x ++++=--，即12n n a a +=所以，数列{}n a 成等比数列，故111111222lg2lg 32n n n n x a a x ---+===-， 即12lg2lg 32n n n x x -+=-，从而12232n n n x x -+=- 所以()112223131n n n x --+=-（Ⅲ）由（Ⅱ）知()112223131n n n x --+=-∴1242031n n n b x -=-=>-∴111112122223111113313133n n n n n n b b ----+-==<≤=-+当1n =时，显然1123T b ==<当1n >时，21121111333n n n n b b b b ---⎛⎫⎛⎫<<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L∴n n b b b T +⋅⋅⋅++=2111111133n b b b -⎛⎫<+++ ⎪⎝⎭L 1113113n b ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-13333n⎛⎫=-< ⎪⎝⎭ 综上，()*3n T n N <∈【考点】本题综合考察数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力.2.【2008四川，文21】（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为22nn n S a =-，（Ⅰ）求14,a a（Ⅱ）证明： {}12n n a a +-是等比数列； （Ⅲ）求{}n a 的通项公式【答案】：（Ⅰ）12a =，440a =；（Ⅱ）证明略；（Ⅲ）()112n n a n -=+⋅. 【解析】：（Ⅰ）因为1111,22a S a S ==+， 所以112,2a S ==由22nn n a S =+知11122n n n a S +++=+112n n n a S ++=++ 得12n n n a S +=+ ①所以222122226,8a S S =+=+== 3332228216,24a S S =+=+==443240a S =+=（Ⅱ）由题设和①式知()()11222n n n n n n a a S S ++-=+-+ 122n n +=- 2n =所以{}12n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列。
高考数学压轴真题汇编 专题06数列(文理合卷)(解析版)
2020年高考数学压轴必刷题专题06数列(文理合卷)1．【2019年浙江10】设a，b∈R，数列{a n}满足a1＝a，a n+1＝a n2+b，n∈N*，则（）A．当b时，a10＞10B．当b时，a10＞10C．当b＝﹣2时，a10＞10D．当b＝﹣4时，a10＞10【解答】解：对于B，令0，得λ，取，∴，∴当b时，a10＜10，故B错误；对于C，令x2﹣λ﹣2＝0，得λ＝2或λ＝﹣1，取a1＝2，∴a2＝2，…，a n＝2＜10，∴当b＝﹣2时，a10＜10，故C错误；对于D，令x2﹣λ﹣4＝0，得，取，∴， (10)∴当b＝﹣4时，a10＜10，故D错误；对于A，，，，a n+1﹣a n＞0，{a n}递增，当n≥4时，a n1，∴，∴（）6，∴a1010．故A正确．故选：A．2．【2018年浙江10】已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4＝ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a 1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4【解答】解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1＞1，设公比为q，当q＞0时，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4＝ln（a1+a2+a3），不成立，即：a1＞a3，a2＞a4，a1＜a3，a2＜a4，不成立，排除A、D．当q＝﹣1时，a1+a2+a3+a4＝0，ln（a1+a2+a3）＞0，等式不成立，所以q≠﹣1；当q＜﹣1时，a1+a2+a3+a4＜0，ln（a1+a2+a3）＞0，a1+a2+a3+a4＝ln（a1+a2+a3）不成立，当q∈（﹣1，0）时，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，并且a1+a2+a3+a4＝ln（a1+a2+a3），能够成立，故选：B．3．【2017年新课标1理科12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．110【解答】解：设该数列为{an}，设b n2n+1﹣1，（n∈N+），则a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n＝21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1＝2n+1﹣n﹣2，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由435，440＝435+5，可知S440＝T29+b5＝230﹣29﹣2+25﹣1＝230，故A项符合题意．B项，仿上可知325，可知S330＝T25+b5＝226﹣25﹣2+25﹣1＝226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知210，可知S220＝T20+b10＝221﹣20﹣2+210﹣1＝221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知105，可知S110＝T14+b5＝215﹣14﹣2+25﹣1＝215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N＝1+2+3+…+n，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1＝（21+22+23+…+2n）﹣n n＝2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝1，总共有2＝3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝5，总共有3＝18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝13，总共有4＝95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）＝0，解得：n＝29，总共有5＝440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选：A．4．【2017年上海15】已知a、b、c为实常数，数列{x n}的通项x n＝an2+bn+c，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）A．a≥0B．b≤0C．c＝0D．a﹣2b+c＝0【解答】解：存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列，可得：2[a（200+k）2+b（200+k）+c]＝a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化为：a＝0．∴使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0．故选：A．5．【2016年浙江理科06】如图，点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上，且|A n A n+1|＝|A n+1A n+2|，A n≠A n+1，n∈N*，|B n B n+1|＝|B n+1B n+2|，B n≠B n+1，n∈N*，（P≠Q表示点P与Q不重合）若d n＝|A n B n|，S n为△A n B n B n+1的面积，则（）A．{S n}是等差数列B．{S n2}是等差数列C．{d n}是等差数列D．{d n2}是等差数列【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|＝a，|OB1|＝c，|A n A n+1|＝|A n+1A n+2|＝b，|B n B n+1|＝|B n+1B n+2|＝d，由于a，c不确定，则{d n}不一定是等差数列，{d n2}不一定是等差数列，设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n，由三角形的相似可得，，两式相加可得，2，即有h n+h n+2＝2h n+1，由S n d•h n，可得S n+S n+2＝2S n+1，即为S n+2﹣S n+1＝S n+1﹣S n，则数列{S n}为等差数列．另解：可设△A1B1B2，△A2B2B3，…，A n B n B n+1为直角三角形，且A1B1，A2B2，…，A n B n为直角边，即有h n+h n+2＝2h n+1，由S n d•h n，可得S n+S n+2＝2S n+1，即为S n+2﹣S n+1＝S n+1﹣S n，则数列{S n}为等差数列．故选：A．6．【2016年新课标3理科12】定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m＝4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．7．【2016年上海理科17】已知无穷等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且S，下列条件中，使得2S n＜S（n∈N*）恒成立的是（）A．a1＞0，0.6＜q＜0.7B．a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6C．a1＞0，0.7＜q＜0.8D．a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7【解答】解：∵，S，﹣1＜q＜1，2S n＜S，∴，若a1＞0，则，故A与C不可能成立；若a1＜0，则q n，在B中，a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6故B成立；在D中，a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7，此时q2，D不成立．故选：B．8．【2015年上海理科17】记方程①：x2+a1x+1＝0，方程②：x2+a2x+2＝0，方程③：x2+a3x+4＝0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根【解答】解：当方程①有实根，且②无实根时，△1＝a12﹣4≥0，△2＝a22﹣8＜0，即a12≥4，a22＜8，∵a1，a2，a3成等比数列，∴a22＝a1a3，即a3，则a32＝（）2，即方程③的判别式△3＝a32﹣16＜0，此时方程③无实根，故选：B．9．【2015年上海理科18】设P n（x n，y n）是直线2x﹣y（n∈N*）与圆x2+y2＝2在第一象限的交点，则极限（）A．﹣1B．C．1D．2【解答】解：当n→+∞时，直线2x﹣y趋近于2x﹣y＝1，与圆x2+y2＝2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点P n（x n，y n）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2＝2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1．∴1．故选：A．10．【2013年新课标1理科12】设△A n B n∁n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n∁n的面积为S n，n＝1，2，3…若b1＞c1，b1+c1＝2a1，a n+1＝a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【解答】解：b1＝2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1＝2a1﹣c1﹣a1＝a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n（b n+c n﹣2a n），∵b1+c1＝2a1，∴b1+c1﹣2a1＝0，∴b n+c n﹣2a n＝0，∴b n+c n＝2a n＝2a1，∴b n+c n＝2a1，由此可知顶点A n在以B n、c n为焦点的椭圆上，又由题意，b n+1﹣c n+1，∴a1﹣b n，∴b n+1﹣a1，∴b n﹣a1，∴，c n＝2a1﹣b n，∴[][][]单调递增（可证当n＝1时0）故选：B．11．【2012年浙江理科07】设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是（）A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若对任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列D．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n＞0【解答】解：由等差数列的求和公式可得S n＝na1d n2+（a1）n，选项A，若d＜0，由二次函数的性质可得数列{S n}有最大项，故正确；选项B，若数列{S n}有最大项，则对应抛物线开口向下，则有d＜0，故正确；选项C，若对任意n∈N*，均有S n＞0，对应抛物线开口向上，d＞0，可得数列{S n}是递增数列，故正确；选项D，若数列{S n}是递增数列，则对应抛物线开口向上，但不一定有任意n∈N*，均有S n＞0，故错误．故选：D．12．【2012年上海理科18】设a n sin，S n＝a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（）A．25B．50C．75D．100【解答】解：由于f（n）＝sin的周期T＝50由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a25＝0，a26，a27，…，a49＜0，a50＝0且sin，sin但是f（n）单调递减a26…a49都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24∴S1，S2，…，S25中都为正，而S26，S27，…，S50都为正同理S1，S2，…，s75都为正，S1，S2，…，s75，…，s100都为正，故选：D．13．【2012年北京理科08】某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（）A．5B．7C．9D．11【解答】解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率由图易得当n＝9时，直线OP的斜率最大即前9年的年平均产量最高，故选：C．14．【2011年上海理科18】设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i+1的矩形的面积（i＝1，2，…），则{A n}为等比数列的充要条件是（）A．{a n}是等比数列B．a1，a3，…，a2n﹣1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同【解答】解：依题意可知A i＝a i•a i+1，∴A i+1＝a i+1•a i+2，若{A n}为等比数列则q（q为常数），则a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比均为q；反之要想{A n}为等比数列则需为常数，即需要a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相等；故{A n}为等比数列的充要条件是a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同．故选：D．15．【2018年江苏14】已知集合A＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}，记S n为数列{a n}的前n项和，则使得S n＞12a n+1成立的n的最小值为．【解答】解：利用列举法可得：当n＝26时，A∪B中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{a n}，所以数列{a n}的前26项分成两组：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23.25，…41；2，4，8，16，32．S26，a27＝43，⇒12a27＝516，不符合题意．当n＝27时，A∪B中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{a n}，所以数列{a n}的前27项分成两组：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，…41，43；2，4，8，16，32．S27546，a28＝45⇒12a28＝540，符合题意，故答案为：27．16．【2017年上海10】已知数列{a n}和{b n}，其中a n＝n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则．【解答】解：∵a n＝n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，∴．∴b1＝a1＝1，b4，b9，b16．∴b1b4b9b16．∴2．故答案为：2．17．【2016年浙江理科13】设数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝4，a n+1＝2S n+1，n∈N*，则a1＝，S5＝．【解答】解：由n＝1时，a1＝S1，可得a2＝2S1+1＝2a1+1，又S2＝4，即a1+a2＝4，即有3a1+1＝4，解得a1＝1；由a n+1＝S n+1﹣S n，可得S n+1＝3S n+1，由S2＝4，可得S3＝3×4+1＝13，S4＝3×13+1＝40，S5＝3×40+1＝121．故答案为：1，121．18．【2016年上海理科11】无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为．【解答】解：对任意n∈N*，S n∈{2，3}，可得当n＝1时，a1＝S1＝2或3；若n＝2，由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1；若n＝3，由S3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1；若n＝4，由S3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1；或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1；或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1；…即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4，不同的四个数均为2，0，1，﹣1．故答案为：4．19．【2015年江苏11】设数列{a n}满足a1＝1，且a n+1﹣a n＝n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．【解答】解：∵数列{a n}满足a1＝1，且a n+1﹣a n＝n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n＝（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1＝n+…+2+1．当n＝1时，上式也成立，∴a n．∴2．∴数列{}的前n项的和S n．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．20．【2015年新课标2理科16】设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝﹣1，a n+1＝S n+1S n，则S n＝．【解答】解：∵a n+1＝S n+1S n，∴S n+1﹣S n＝S n+1S n，∴1，又∵a1＝﹣1，即1，∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1的等差数列，∴n，∴S n，故答案为：．21．【2013年江苏14】在正项等比数列{a n}中，，a6+a7＝3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最大正整数n的值为．【解答】解：设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得，解之可得：a1，q＝2，故其通项公式为a n2n﹣6．记T n＝a1+a2+…+a n，S n＝a1a2…a n＝2﹣5×2﹣4…×2n﹣6＝2﹣5﹣4+…+n﹣6．由题意可得T n＞S n，即，化简得：2n﹣1，即2n1，因此只须n，（n＞1），即n2﹣13n+10＜0，解得n，由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12．故答案为：1222．【2013年新课标2理科16】等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10＝0，S15＝25，则nS n的最小值为．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，∵S10＝10a1+45d＝0，S15＝15a1+105d＝25，∴a1＝﹣3，d，∴S n＝na1d n2n，∴nS n n3n2，令nS n＝f（n），∴f′（n）＝n2n，∴当n时，f（n）取得极值，当n时，f（n）递减；当n时，f（n）递增；因此只需比较f（6）和f（7）的大小即可．f（6）＝﹣48，f（7）＝﹣49，故nS n的最小值为﹣49．故答案为：﹣49．23．【2012年新课标1理科16】数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前60项和为．【解答】解：∵a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，故有a2﹣a1＝1，a3+a2＝3，a4﹣a3＝5，a5+a4＝7，a6﹣a5＝9，a7+a6＝11，…a50﹣a49＝97．从而可得a3+a1＝2，a4+a2＝8，a7+a5＝2，a8+a6＝24，a9+a11＝2，a12+a10＝40，a13+a11＝2，a16+a14＝56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8）＝183024．【2011年江苏13】设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是．【解答】解：方法1：∵1＝a1≤a2≤…≤a7；a2，a4，a6成公差为1的等差数列，∴a6＝a2+2≥3，∴a6的最小值为3，∴a7的最小值也为3，此时a1＝1且a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，必有q＞0，∴a7＝a1q3≥3，∴q3≥3，q，方法2：由题意知1＝a 1≤a2≤…≤a7；中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，得，所以，即q3﹣2≥1，所以q3≥3，解得q，故q的最小值是：．故答案为：．25．【2011年上海理科14】已知点O（0，0）、Q0（0，1）和点R0（3，1），记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足（|OQ1|﹣2）（|OR1|﹣2）＜0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足（|OQ2|﹣2）（|OR2|﹣2）＜0．依次下去，得到P1，P2，…，P n，…，则．【解答】解：由题意（|OQ1|﹣2）（|OR1|﹣2）＜0，所以第一次只能取P1R0一条，（|OQ2|﹣2）（|OR2|﹣2）＜0．依次下去，则Q1、R1；Q2、R2，…中必有一点在（）的左侧，一点在右侧，由于P1，P2，…，P n，…，是中点，根据题意推出P1，P2，…，P n，…，的极限为：（），所以|Q0P1|，故答案为：．26．【2010年浙江理科14】设n≥2，n∈N，（2x）n﹣（3x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，将|a k|（0≤k ≤n）的最小值记为T n，则T2＝0，T3，T4＝0，T5，…，T n…，其中T n＝．【解答】解：根据Tn的定义，列出Tn的前几项：T0＝0T1T2＝0T3T4＝0T5T6＝0…由此规律，我们可以推断：T n故答案：27．【2010年浙江理科15】设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S5S6+15＝0，则d的取值范围是．【解答】解：因为S5S6+15＝0，所以（5a1+10d）（6a1+15d）+15＝0，整理得2a12+9a1d+10d2+1＝0，此方程可看作关于a1的一元二次方程，它一定有根，故有△＝（9d）2﹣4×2×（10d2+1）＝d2﹣8≥0，整理得d2≥8，解得d≥2，或d≤﹣2则d的取值范围是．故答案案为：．1．【2012年新课标1文科12】数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690B．3660C．1845D．1830【解答】解：由于数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，故有a2﹣a1＝1，a3+a2＝3，a4﹣a3＝5，a5+a4＝7，a6﹣a5＝9，a7+a6＝11，…a50﹣a49＝97．从而可得a3+a1＝2，a4+a2＝8，a7+a5＝2，a8+a6＝24，a11+a9＝2，a12+a10＝40，a15+a13＝2，a16+a14＝56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8）＝1830，故选：D．2．【2014年新课标2文科16】数列{a n}满足a n+1，a8＝2，则a1＝．【解答】解：由题意得，a n+1，a8＝2，令n＝7代入上式得，a8，解得a7；令n＝6代入得，a7，解得a6＝﹣1；令n＝5代入得，a6，解得a5＝2；…根据以上结果发现，求得结果按2，，﹣1循环，∵8÷3＝2…2，故a1故答案为：．3．【2010年天津文科15】设{a n}是等比数列，公比，S n为{a n}的前n项和．记．设为数列{T n}的最大项，则n0＝．【解答】解：因为≧8，当且仅当4，即n＝4时取等号，所以当n0＝4时T n有最大值．故答案为：4．。
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专题06 数列
一．基础题组
1. 【2013课标全国Ⅱ，理3】等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )． A ．
13 B ．13- C ．19 D ．19
- 【答案】：
C
2. 【2012全国，理5】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1
1
n n a a +}的前100项和为( ) A ．
100101 B ．99101
C ．99100
D ．101
100 【答案】
A
＝1100
1101101
-
=.
3. 【2010全国2，理4】如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( )
A ．14
B ．21
C ．28
D ．35 【答案】：C
4. 【2006全国2，理14】已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 成等差数列,且AB =1,BC =4,则边BC 上的中线AD 的长为 . 【答案】:3
5. 【2014新课标，理17】（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.
（Ⅰ）证明{
}
12
n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）证明：1231112
n
a a a ++<…+.
【解析】：（Ⅰ）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，所以11
2312
n n a a ++
=+
，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项为11322a +=，公比为3，所以12n a +=1332n -⋅，解得n a =31
2
n -.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：n a =312n -，所以12
31
n
n a =-， 因
为
当
1
n ≥时，
1
3123n n --≥⋅
，所
以
1
11
3123n n -≤
-⋅，于是
11a +21a +L
1
n
a 111133n -≤+++L =31(1)23n -32<， 所以
11a +21a +L
1
n a 32
<. 6. 【2011新课标，理17】等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，23239a a a =. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列1
{
}n
b 的前n 项和．
7. 【2015高考新课标2，理16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． 【答案】1
n
-
【解析】由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，两边同时除以1n n S S +⋅，得
111
1n n S S +=--，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则
1
1(1)n
S n n =---=-，所以1n S n =-．
【考点定位】等差数列和递推关系． 8.
二．能力题组
1. 【2013课标全国Ⅱ，理16】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为__________． 【答案】：－
49
2. 【2010全国2，理18】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n 2＋n )·3n
. (1)求lim n →∞
n
n
a S ； (2)证明
1222212n a a a n
+++ ＞3n
. 【解析】： (1)解：lim n →∞
n n a S ＝1lim n n n n S S S -→∞-＝1lim(1)n n n
S
S -→∞-
＝1－1
lim
n n n
S S -→∞，
1
lim
n n n
S S -→∞＝11lim 13n n n →∞-+＝13， 所以lim
n
n n
a S →∞＝23.
3. 【2005全国3，理20】(本小题满分12分)
在等差数列}{n a 中，公差412,0a a a d 与是≠的等差中项.已知数列 ,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列，求数列}{n k 的通项.n k
4. 【2005全国2，理18】(本小题满分12分)
已知{}n a 是各项为不同的正数的等差数列，1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列．又21
n
n b a =，1,2,3,n = ． (Ⅰ) 证明{}n b 为等比数列；
(Ⅱ) 如果无穷等比数列{}n b 各项的和1
3S =，求数列{}n a 的首项1a 和公差d ．
(注：无穷数列各项的和即当n →∞时数列前n 项和的极限)
三．拔高题组
1. 【2006全国2，理11】设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若
63S S =31,则12
6S S
等于（ ） A.
10
3
B.
3
1
C.
8
1
D.
9
1 【答案】:A
【解析】:由已知设a 1+a 2+a 3=T ,a 4+a 5+a 6=2T ,a 7+a 8+a 9=3T ,
a 10+a 11+a 12=4T .
∴
126
S S =10
34322=+++t t t t t t ＋.
∴选A.
2. 【2005全国2，理11】如果128,,,a a a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则（ ）
(A)1845a a a a > (B) 1845a a a a <
(C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a =
【答案】
B
3. 【2012全国，理22】函数f (x )＝x 2
－2x －3，定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)，Q n (x n ，
f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．
(1)证明：2≤x n ＜x n ＋1＜3； (2)求数列{x n }的通项公式．
由归纳假设知12113455
4432223
k k k k x x x x +++++=
=-<-=+++；
x k ＋2－x k ＋1＝
111
(3)(1)
02k k k x x x +++-+>+，
即x k ＋1＜x k ＋2.
所以2≤x k ＋1＜x k ＋2＜3，即当n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②知对任意的正整数n,2≤x n ＜x n ＋1＜3.
4. 【2006全国2，理22】设数列{a n }的前n 项和为S n ,且方程x 2
-a n x -a n =0有一根为S n -1,n = 1,2,3,…. (1)求a 1,a 2; (2)求{a n }的通项公式.
由①可得S 3=
43
. 由此猜想S n =1
+n n
,n =1,2,3,….
下面用数学归纳法证明这个结论. (ⅰ)n =1时已知结论成立. (ⅱ)假设n =k 时结论成立,即S k =
1
+k k ,
当n =k +1时,由①得S k+1=
k
S -21
,
即S k+1=
2
1
++k k ,故n=k +1时结论也成立. 综上,由(ⅰ)(ⅱ)可知S n =1
+n n
对所有正整数n 都成立.
于是当n ≥2时,a n =S n -S n-1=
1+n n -n n 1-=()
11+n n ,
又n =1时,a 1=
21=211⨯,所以{a n }的通项公式为a n =()
11
+n n ,n =1,2,3,….。