研究性学习10 函数的图像的相关问题研究
研究性学习课题报告[高中函数解题]
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研究性学习报告课题：高中函数解题技巧摘要：本文是我们小组11位同学综合实践活动的成果，阐述了高中函数的知识点、基本题型和部分结题技巧。
关键词：数学 函数 解题技巧 知识点梳理 正文：1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
2．进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
3. 用补集思想解决问题（排除法、间接法）4. 映射f ：A →B ， A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性。
（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。
）注意映射个数的求法。
如集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到B 的映射个数有n m个。
5. 函数的三要素（定义域、对应法则、值域）6. 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 7．函数定义域求法： ● 分式中的分母不为零； ● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
●正切函数x y tan = ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且 8．求复合函数的定义域已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。
9．函数值域的求法【1】直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 求函数y=x1的值域 【2】配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。
【3】判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面 【4】反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
初中数学_函数的图象教学设计学情分析教材分析课后反思
《函数的图象》教学设计教学目标1．通过画图象，理解并感知函数图象的定义。
2.会观察、分析函数图象信息，解决实际问题。
3.提高识图能力、分析函数图象信息能力。
教学重点:把实际问题转化为函数图象，再根据函数图象来研究实际问题。
教学难点：通过观察实际问题的函数图象,使学生感受到解析法和图象法表示函数关系的相互转换这一数形结合的思想．教学过程设计：（一）知识背景导入变化与对应（二）展示学习目标（三）复习巩固1.课件出示问题2.引导学生回顾知识点（四）创设情境，感觉新知（1）函数的图象的定义1.活动一：出示摩天轮，让学生思考如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？2.动画播放：将每对t和h的数据作为点的坐标，在以t为横轴、h为纵轴的直角坐标系中描出各点，并将描出的点用平滑的曲线依次连接起来3.学生思考：其中对于给定的每一个时间 t，高度 h对应有几个值？4.从而总结函数图像定义：归纳总结：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的_________．5.巩固练习达标测试第4题（2）函数图像的意义活动二：下图是下图反映了旋转时间t（分）与摩天轮上一点的高度h（米）之间的关系．你从图象中得到了哪些信息？思路导引：找出函数的图象所要表达的数字信息．【规律总结】读取图象所表达的信息应注意：(1)弄清坐标轴和图象上的点所表示的意义．(2)图象上的最高点和最低点往往有特殊意义．(3)上升(下降)线表示函数值随自变量的增大而增大(减小)，水平线表示函数值不随自变量的变化而变化．（在本次活动中教师应重点关注：(1)有些问题中的函数关系很难列式子表示，但是可以用图像直观地来反映。
(2)看图象时应注意的问题。
）活动三：分析图象解决实际问题如图所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上。
小明从食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家。
数学教案：函数的应用与图像研究
数学教案：函数的应用与图像研究一、函数的应用与图像研究导读数学作为一门重要的基础学科，广泛应用于各个领域。
在数学的学习中，函数作为一个基本概念，具有着重要的作用。
通过理解和掌握函数的性质和特点，我们可以将其运用于实际生活中，解决各种问题。
本文将深入探讨函数的应用与图像研究，并分析其中相关概念、性质及其应用。
二、函数及其性质介绍1. 函数的定义与表示方法函数是自变量和因变量之间存在确定关系的规则。
通常表示为f(x)，其中x 为自变量，f(x)为因变量。
2. 函数的分类常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
每种类型都有不同的特点和图像表现形式。
3. 函数的定义域和值域函数在定义时需要明确其定义域（自变量的取值范围）和值域（因变量可能取到的值）。
合理确定定义域和值域有助于准确描述函数。
4. 函数的奇偶性与周期性奇偶性指在关于y轴对称时称为偶函数，在关于原点对称时称为奇函数。
周期性则表示函数图像在一定区间内具有重复的规律性。
三、函数的应用1. 经济学中的函数应用在经济学领域，函数常常用于描述供求关系、成本与收益关系等。
例如，利润函数可以通过成本和收入之间的关系来表示，这有助于企业在决策中进行有效的利润优化。
2. 物理学中的函数应用函数在物理学中也具有广泛应用。
例如，位移-时间函数可用于描述物体在一定时间内的位置变化；速度-时间函数则可以帮助我们了解物体在不同时间段内运动速度的变化情况。
3. 生命科学中的函数应用函数在生命科学领域也有着重要作用。
例如，在基因组研究中，我们可以利用某些特定类型的信号来构建基因表达水平与其调控元素之间的关系，并形成一个函数模型。
4. 社会科学中的函数应用社会科学研究中，人口增长率、失业率等指标常常可以通过数学模型及相应的函数公式进行表达和分析。
这种方法能够更加准确地预测和评估相关社会问题。
四、函数图像的研究1. 函数的图像表示通过绘制函数曲线可以直观地观察和分析函数的性质和特点。
高中生函数研究性课题研究报告
高中生函数研究性课题研究报告高中生函数研究性课题研究报告摘要：本研究旨在探究函数的基本概念、性质以及在实际生活中的应用。
通过对函数定义、图像、性质等方面的深入研究，我们得出了一些结论。
通过此研究，我们提高了对函数的理解，增强了数学思维能力，培养了实践应用数学知识的能力。
一、引言函数作为数学的一门基础理论，其在实际生活中的应用非常广泛。
在我们学习过程中，我们常常接触到各种函数，如一元一次函数、二次函数、正弦函数等。
通过学习函数，我们能够更好地了解数学，提高数学思维，同时也对实际问题的分析与解决有着重要的作用。
二、函数的基本概念1. 函数的定义：函数是一个用来将一个集合的每一个元素（叫函数的自变量或自变量值）对应到另一个集合的一个元素的规则。
2. 定义域与值域：函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是函数所有可能的结果的集合。
3. 函数图像：函数的图像是指函数在坐标系中的表示，横坐标为自变量取值，纵坐标为函数对应的因变量值。
三、函数图像的性质1. 奇偶性：函数若满足f(x) = f(-x)（对所有x∈定义域），则称这个函数为偶函数；若满足f(x) = -f(-x)（对所有x∈定义域），则称这个函数为奇函数。
2. 单调性：函数若满足对于任意的x1 < x2，有f(x1) <f(x2)（递增）或者f(x1) > f(x2)（递减），则称这个函数为单调函数。
3. 极值点：函数在定义域内某一点f(x0)处的函数值为f(x0)，若存在ε > 0，使得当x≠x0时，有f(x) < f(x0)（或f(x) > f(x0)），则称f(x0)是函数的一个极值点。
四、函数在实际生活中的应用1. 函数在物理学中的应用：物体的运动、速度、加速度等问题中运用了函数的概念与相关计算。
2. 函数在经济学中的应用：经济学中的供求关系、价格变化等也需要使用函数的概念与相关计算。
五、结论和启示通过本次研究，我们对函数的定义、图像、性质以及在实际生活中的应用有了更深入的理解。
函数的性质与图像的研究解读
函数的性质与图像的研究数学教研组 王晓芸【复习要求】1． 复习巩固常见函数的性质与图像，独立的开展函数性质的相关研究。
2． 灵活的运用观察、类比、联想、归纳等的数学思维方法。
3． 在探索活动中能在教师引导下体验数学研究活动的一般过程。
【要点回顾】1． 一次函数)0k (b kx y ≠+=、二次函数)0a (c bx ax y 2≠++=、幂函数α=x y 的有关性质与图像。
2． 指数函数)1a ,0a (a y x≠>=、对数函数)1a ,0a (x log y a ≠>=有关性质与图像。
3． 三角函数与反三角函数的性质与图像。
4． 函数性质的研究包括定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、周期性、对称性及图像等方面。
【头脑体操】1． 若二次函数bx x 2y 2+=与函数4)2x (1y -=的具有相同的对称轴，则二次函数的最小值为_____。
2． 定义在),0(+∞上的函数f(x)满足0)1(f =，且f(x 1x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)，写出 )x (f 的的一个解析式_____。
3． 二次函数)x (f y =满足：①定义域为]1,1[-；②关于直线0x =对称；③值域为]2,2[-，则=)x (f _____。
4． 若函数)1a ,0a (|x |log )x (f a ≠>=递增区间为)0,(-∞，则当)0,(x -∞∈时)x (f 的反函数是=-)x (f 1_____________________。
【例题精讲】例题1． (1)函数)x (f 是奇函数；(2)对于任意R x ∈，都有)x 1(f )x 1(f -=+；(3)函数)x (f 在]1,(-∞上单调递减；(4))0(f 不是函数的最小值。
根据以上条件，写出一组能满足其中三条性质的函数)x (f 的解析式。
例题2． 对于任意定义在区间D 上的函数)x (f ，若存在实数D x 0∈，满足00x )x (f =，则称0x 是函数)x (f 在区间D 上一个不动点．．．。
高中数学函数图像的分析与解题方法
高中数学函数图像的分析与解题方法一、引言函数图像是高中数学中的重要内容，它直观地展示了函数的性质和规律。
通过对函数图像的分析，我们可以深入理解函数的特点，解决各种与函数相关的问题。
本文将介绍一些常见的函数图像分析与解题方法，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用函数。
二、函数图像的基本特点1. 函数的定义域和值域：在分析函数图像之前，我们首先需要了解函数的定义域和值域。
定义域是指函数的自变量的取值范围，值域是指函数的因变量的取值范围。
通过确定函数的定义域和值域，我们可以确定函数图像的横纵坐标轴的范围。
2. 函数的奇偶性：奇函数是指满足f(-x)=-f(x)的函数，它的图像关于原点对称；偶函数是指满足f(-x)=f(x)的函数，它的图像关于y轴对称。
通过判断函数的奇偶性，我们可以简化函数图像的分析过程。
三、常见函数图像的分析与解题方法1. 一次函数一次函数的一般形式为y=ax+b，其中a和b为常数，a不为零。
一次函数的图像是一条直线，其斜率a决定了直线的倾斜程度，常数b决定了直线与y轴的交点。
例题1：已知函数y=2x+3，求函数图像的斜率和与y轴的交点。
解析：根据函数的一般形式，斜率为2，与y轴的交点为(0,3)。
因此，函数图像的斜率为2，与y轴的交点为(0,3)。
2. 二次函数二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数，a不为零。
二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向和开口程度由系数a的正负和绝对值大小决定。
例题2：已知函数y=x^2+2x+1，求函数图像的开口方向和顶点坐标。
解析：根据函数的一般形式，系数a为1，正数a表示抛物线开口向上，负数a表示抛物线开口向下。
顶点坐标可以通过求解二次函数的最值来得到。
对于y=x^2+2x+1，可以将其化简为y=(x+1)^2，因此顶点坐标为(-1,0)。
因此，函数图像的开口方向为向上，顶点坐标为(-1,0)。
3. 指数函数指数函数的一般形式为y=a^x，其中a为常数，且a大于0且不等于1。
探究函数的图像与性质
探究函数的图像与性质函数是数学中的重要概念，它描述了不同数值之间的关系。
在数学中，函数可以通过绘制图像来进行可视化呈现，这样有助于我们更好地理解函数的性质和特点。
本文将探究函数的图像与性质，从图像的形状、变化趋势以及函数的奇偶性、单调性等方面展开讨论。
1. 图像的形状：函数的图像通常可以通过绘制函数的曲线来表示。
曲线的形状可以告诉我们函数的类型和特点。
例如，对于一元一次函数y=ax+b，其图像是一条直线，具有特定的斜率和截距；而对于二次函数y=ax^2+bx+c，其图像是一个抛物线，可以是开口向上或者向下。
此外，对于三角函数和指数函数等特殊函数，它们的图像也有着独特的形状。
2. 变化趋势：通过观察函数的图像，我们可以了解函数在定义域内的变化趋势。
函数的图像可能是上升的，下降的，或者在某些区间上上升或下降。
例如，如果函数的图像在整个定义域上都是上升的，我们可以说该函数是递增的；如果图像在整个定义域上都是下降的，我们可以说该函数是递减的。
此外，当图像在某些区间上上升或下降时，我们可以称之为局部递增或局部递减。
3. 函数的奇偶性：函数的奇偶性可以通过观察函数的图像来确定。
如果函数的图像关于y轴对称，即在y轴上下对称，那么我们可以称该函数为偶函数；如果函数的图像关于原点对称，则称其为奇函数。
对于偶函数，其性质是在自变量取相同绝对值的两个点上得到相同的函数值；而对于奇函数，则是在自变量取相反值的两个点上函数值相等。
4. 函数的单调性：函数的单调性也可以通过观察函数的图像来判断。
如果函数的图像在整个定义域上都是上升的，那么我们可以说该函数是严格递增的；如果图像在整个定义域上都是下降的，我们则称该函数是严格递减的。
此外，如果函数的图像在某些区间上是递增或递减的，我们可以称之为非严格递增或非严格递减。
通过以上的探究，我们可以发现函数的图像与性质之间存在紧密的联系。
函数的图像能够帮助我们直观地理解函数的性质，从而更好地解决各类数学问题。
初中数学_函数的图像教学设计学情分析教材分析课后反思
19.1.2函数的图像（一）教学目标1、理解函数图像的意义，会对实际生活中的例子用变量之间关系的图像进行描述表达，初步认识函数与图像的对应关系。
2、学会观察图像，能从图像中获得所需要的信息，理解图像所表示的含义及其与实际轨道之间的关系和区别。
3、渗透数形结合思想，体会到数学来源于生活，又应用于生活。
培养学生的团结协作精神、探索精神和合作交流的能力。
教学重点与难点从函数图像中获取所需要的信息。
教学过程一、创设情境。
乌龟与兔子赛跑。
领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉。
当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但已经来不及了,乌龟先到达了终点………师：同学们，上一节课，我们学习了函数的定义，并初步掌握了函数关系式的确立方法．但有些函数问题很难用函数关系式表示出来，然而可以通过图来直观反映．例如用心电图直观的表示了心脏的生物电流与时间的关系．因此，即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示则会使函数关系更直观．我们这节课就首先来如何如何解读函数图象信息．二、探究新知活动一：自学课本，回答下列问题：1、什么叫函数图像？函数图像上点的横坐标和纵坐标与函数的关系是什么？2、如何判断图像是否是函数图像？3、下列图象中，表示y是x的函数的是（）A B C D活动二：自学课本，回答下列问题1、例1中函数图像的最高点和最低点分别表什么实际意义？从函数图像的变化趋势中你获得了哪些信息？你是怎样分析的？2、例2中各“拐”点的坐标的实际意义是什么？图像中两段与X轴平行的线段的实际意义是什么？三、课堂练习：试一试1、（1）在___点和___点的时候,两地气温相同;（2）在___点到___点和___点到___点之间,（3）上海的气温比北京的气温要高.（4）在__点到__点之间,上海的气温比北京的气温要低.2、小芳今天到学校参加初中毕业会考，从家里出发走10分到离家500米的地方吃早餐，吃早餐用了20分；再用10分赶到离家1 000米的学校参加考试．下列图象中，能反映这一过程的是（）．3、下图为世界总人口数的变化图.根据该图回答：(1)从1830年到1998年，世界总人口数呈怎样的变化趋势？(2)在图中，显示哪一段时间中世界总人口数变化最快？4、周末，小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里．他离开家后的距离S（千米）与时间t（时）的关系可以用图中的曲线表示．根据这个图象回答下列问题：(1)小李到达离家最远的地方是什么时间？(2)小李何时第一次休息？(3)10时到13时，小骑了多少千米？(4)返回时，小李的平均车速是多少？y/15001010 20/AO Oy/B1510 20y/CO10 2015y/15001010 20 30DO四、中考实战(2016宜宾)如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（）A．乙前4秒行驶的路程为48米。
函数的图像与性质研究
函数的图像与性质研究函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个集合之间的一种对应关系。
函数的图像是函数在坐标系中的表示，通过研究函数的图像，我们可以深入了解函数的性质和特点。
一、函数的图像函数的图像是函数在坐标系中的表示，通常用曲线来表示。
在笛卡尔坐标系中，自变量通常表示在横轴上，因变量表示在纵轴上。
通过将自变量的取值代入函数中，计算出对应的因变量的值，然后将这些点连接起来，就可以得到函数的图像。
函数的图像可以呈现出不同的形状和特点。
例如，线性函数的图像是一条直线，指数函数的图像是一条逐渐上升或下降的曲线，三角函数的图像是一条周期性波动的曲线等等。
通过观察函数的图像，我们可以大致了解函数的增减性、奇偶性、周期性等基本性质。
二、函数的增减性函数的增减性描述了函数在定义域内的变化趋势。
当函数的图像在某一区间上升时，我们称该函数在该区间上是增函数；当函数的图像在某一区间下降时，我们称该函数在该区间上是减函数。
通过观察函数的图像，我们可以判断函数的增减性。
当函数的图像从左向右逐渐上升时，函数为增函数；当函数的图像从左向右逐渐下降时，函数为减函数。
如果函数的图像在某一区间上升，而在另一区间下降，我们称该函数在这两个区间上是增减函数。
三、函数的奇偶性函数的奇偶性描述了函数在定义域内的对称性。
当函数的图像关于y轴对称时，我们称该函数为偶函数；当函数的图像关于原点对称时，我们称该函数为奇函数。
通过观察函数的图像，我们可以判断函数的奇偶性。
如果函数的图像关于y轴对称，那么函数为偶函数；如果函数的图像关于原点对称，那么函数为奇函数。
对于其他情况，函数既不是奇函数也不是偶函数。
四、函数的周期性函数的周期性描述了函数在定义域内的重复性。
当函数的图像在一定的区间内重复出现时，我们称该函数是周期函数。
通过观察函数的图像，我们可以判断函数的周期性。
如果函数的图像在一定的区间内重复出现，那么函数为周期函数。
例如，正弦函数和余弦函数的图像在一定的区间内重复出现，因此它们都是周期函数。
函数的图像及其性质研究与应用
函数的图像及其性质研究与应用函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了两个集合之间的一种对应关系。
在实际应用中，函数的图像是我们研究和分析函数性质的重要工具之一。
本文将从几个方面来探讨函数的图像及其性质的研究与应用。
一、函数的图像函数的图像是指函数在坐标系中的表示形式。
通常我们用平面直角坐标系来表示函数的图像，其中横轴表示自变量，纵轴表示因变量。
函数的图像可以通过绘制函数的关系式来得到。
例如，对于一元函数y=f(x)，我们可以通过给定自变量x的值，计算相应的因变量y的值，然后在坐标系中绘制这些点，最终得到函数的图像。
函数的图像可以帮助我们直观地理解函数的性质。
通过观察函数的图像，我们可以了解函数的增减性、奇偶性、周期性等特征。
例如，对于增函数来说，函数的图像随着自变量的增大而上升；对于周期函数来说，函数的图像在一个周期内重复出现。
二、函数的性质研究函数的性质研究是数学中的一个重要分支，它帮助我们深入理解函数的行为规律。
函数的性质包括但不限于增减性、奇偶性、周期性、单调性等。
1. 增减性函数的增减性描述了函数在定义域内的增减趋势。
对于一元函数来说，如果函数在某个区间内的导数大于零，则函数在该区间内是增函数；如果函数在某个区间内的导数小于零，则函数在该区间内是减函数。
通过研究函数的增减性，我们可以确定函数的极值点和拐点，进而帮助解决最优化问题。
2. 奇偶性函数的奇偶性描述了函数的对称性。
对于一元函数来说，如果函数满足f(-x)=-f(x)，则函数是奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)，则函数是偶函数。
奇函数的图像关于原点对称，而偶函数的图像关于纵轴对称。
奇偶性的研究有助于简化函数的运算和化简复杂的表达式。
3. 周期性周期函数是一类具有重复性质的函数。
对于周期函数来说，存在一个正数T，使得对于任意的x，函数满足f(x+T)=f(x)。
周期函数的图像在一个周期内重复出现，因此我们只需要研究一个周期内的行为即可。
分析初中数学中的函数像绘制与性质研究
分析初中数学中的函数像绘制与性质研究函数是初中数学中的重要内容之一，它是数学的基础概念之一，也是高中数学的重点内容。
函数的研究涉及到函数的绘制与性质研究两个方面。
本文将就这两个方面进行分析与探讨。
一、函数的绘制函数的绘制是指根据函数的定义和性质，用图形的形式来表示函数的变化规律。
函数的绘制通常需要利用坐标系和点的连结来完成。
具体步骤如下：1. 确定坐标系：首先确定坐标系的原点、横轴和纵轴的正向，并将坐标轴上的刻度标明。
2. 确定函数的定义域和值域：根据函数的定义确定函数的定义域和值域，并在坐标系上标出。
3. 选择若干个自变量的值：根据函数的定义域，选择一些合适的自变量的值，作为函数的输入。
4. 计算相应的函数值：根据函数的定义，计算出选择的自变量对应的函数值。
5. 在坐标系上标出所选择的点：将选择的自变量和相应的函数值对应起来，用点的形式在坐标系上标出。
6. 用线段将所选择的点连结起来：将相邻的点用线段连结起来，可以得到函数的图形。
二、函数性质的研究函数的性质研究主要包括函数的增减性、奇偶性、周期性、有界性等方面。
1. 函数的增减性：对于给定函数上的两个点，如果自变量增加时，函数值也增加，则称该函数在这两个点之间是增函数；如果自变量增加时，函数值减少，则称该函数在这两个点之间是减函数。
2. 函数的奇偶性：若对于函数上的任意一点(x, y)，函数满足关系f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；若对于函数上的任意一点(x, y)，函数满足关系f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
3. 函数的周期性：若存在一个常数T，使得对于函数上的任意一点(x, y)，函数满足关系f(x+T) = f(x)，则称该函数具有周期T。
4. 函数的有界性：对于定义在区间[a, b]上的函数，如果存在常数M，对于区间上的任意一点x，恒有|f(x)| ≤ M 成立，则称该函数在区间上有界。
函数的性质研究对于理解函数的变化规律、解决数学问题具有重要意义。
初中生解决函数图像问题的调查研究
初中生解决函数图像问题的调查研究江苏南京东山外国语学校（211103）吴三俊［摘要］函数内容是初中数学知识体系的重要组成部分，函数图像问题在中考数学试题中占有重要位置.要提高九年级学生解决函数问题的能力，需要教师有针对性地训练.对九年级学生解决函数图像问题实际情况进行调研，是有针对性地训练的基础.［关键词］初中数学；函数图像；问题；调查［中图分类号］G 633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2021）05-0029-02函数是初中数学知识体系的重要组成部分，函数图像问题在中考数学试题中占有重要位置.下面笔者在调查初中生解决函数图像问题实际情况的基础上，对如何提高学生解决函数图像问题的能力进行简单论述.一、问题研究的背景1.解决生活问题需要《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：“数学是对现实世界的抽象.”在信息技术迅猛发展的今天，各种各样的图像充斥着我们的生活.例如，工厂出勤表和产值利润表、股票和期货市场走势图、拱桥的拱形抛物线等.在不知不觉中，无数种不同形式函数图像渗透在人们生活的每个角落，有的人们已经发现，但有的人们还没有发现，正期待着人们去探索.生活中存在着各种各样的变量，而函数是揭示这些变量间本质关系的重要工具，可以运用函数图像来解决生活中遇到的实际问题.2.教学策略实施的需要“思维可视化”教学策略，是指借助各种可视化技术把本来具有个体性、内隐性的思维过程显化出来，使其成为清晰可见的显性过程的一种教学手段或策略.被显性化的“思维方法和思维过程”有利于知识的记忆和理解，在改变信息传递的方式中提高信息加工的效能.函数关系的表达形式有三种：解析法、图像法和列表法.在这三种表达式中，函数图像是最为直观形象的表达方法.函数图像能够动态反映函数的变量之间的相互依存关系，能较好地反映该函数的性质，是研究函数性质的重要工具.3.函数图像是函数的重要组成部分函数图像是函数的重要组成部分.图像法作为函数的一种常见表达方式，是从“形”角度描述函数，用图像法表示函数关系，可以从整体上直观形象地研究函数的变化情况.函数图像的直观性，易于帮助学生理解函数概念和基本性质.初中数学教材研究函数性质都是先从画函数图像开始的，函数在初中数学中特定的地位，函数图像内容自然成了中考的重点.鉴于此，研究函数图像很有必要.二、主要表现及分析很多优秀教师认为，初中生对函数图像的认识没有对函数解析式的认识深入，原因有三个：①教师过多地倾向于对函数的“数”的研究和考核，轻视“形”的重要作用；②学生重视函数“规律”的识记，轻视利用“图像”的理解.学生在学习函数的知识时，认为只需死记硬背概念、公式与性质，就能完成学习任务，没有必要花大量的时间，利用函数图像去理解与掌握这些知识；③教师重视函数“应试”方法的传授，轻视“函数图像”的应用教学.对学生进行问题调查与测试得到如下结论：①学生对函数图像问题条件中的关键字、词、句不能深刻理解，同时对其之间关系不能牢固掌握；②学生对函数图像所隐含的性质内容理解不透，运用不熟练；③学生不能深刻“提取”函数图像丰富信息隐含内容；④学生分析函数图像问题中的各个量之间的变化范围以及内在关系具有一定困难；⑤学生综合运用函数图像性质有困难.存在上述五个不足的主要原因：一是函数图像性质未能深刻理解和掌握；二是解决函数图像问题的能力（如数形结合）较差；三是对相关函数基础知识的掌握程度较浅；四是综合应用、概括归纳等数学能力水平较弱.问题解决是一个分步的、多阶段的过程.学生的已有知识对于新的学习起着至关重要的作用.在分析学生的原有知识、学习任务时，应特别注意知识的结构性，关注问题图式的形成与发展.在教育情境中讨论学生的问题解决能力，不仅需要关注学生的思维活动，还应该关注学生在问题解决过程中的具体行动.三、提高学生的解读函数图像能力的建议良好的识图能力是解决函数图像问题的基础与先决条件.在调查问卷和测试试卷中发现学生在通过函数图像识别函数性质和确定解析式方面能力较强，但在解读与实际生活相联系的函数图像方面存在缺陷.学生主要表现在识图顺序错乱，无法将图像上的特殊点和每段函数图像与实际相联系，并将这些特殊数学·解题研究点和每段函数图像的实际含义解读出来.根据学生识图容易出错和遗漏的特点，我们设计了读图三步骤，并在教学中不断修改，发现效果较好.三步骤具体内容：第一步，了解直角坐标系中横轴和纵轴表示两变量的实际含义；第二步，将函数图像中的特殊点所表示的实际含义翻译成文字语言，翻译时，只要将横坐标后面加上横轴表示变量的含义，纵坐标后面加上纵轴表示变量的含义，这个点表示的实际含义就能被翻译出来；第三步，分析每段函数表示的实际意义.通过这三个步骤，学生基本上能将函数图像中蕴含的条件全部解读出来.具体操作方法见例题.例题：甲、乙两地之间有一条笔直的公路，小明从甲地出发沿公路步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路骑自行车前往甲地，小亮到达甲地停留一段时间，原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地.设小明与甲地的距离为y1米，小亮与甲地的距离为y2米，小明与小亮之间的距离为y3米，小明行走的时间为x分钟.y1、y2与x之间的函数图像如图1，y3与x之间的函数图像（部分）如图2.（l）求小亮从乙地到甲地过程中y1（米）与x（分钟）之间的函数关系式；（2）求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中y3（米）与x（分钟）之间的函数关系式；（3）在图2中，补全整个过程中y3（米）与x（分钟）之间的函数图像，并确定a的值.图1图2这是中考数学中常见的函数图像信息题，这道题学生得分率较低，主要是因为不会识图.这里主要介绍运用“识图三步骤”来识别图1.第一步，了解y1、y2和x的含义.x是表示小亮和小明出发的时间，y1、y2是表示小明和小亮到甲地的距离，y3表示小明与小亮之间的距离.第二步，理解特殊点的含义.小明：（0，0）是表示小明出发0分钟时，离甲地0米，（40，2000）是表示小明出发40分钟时，离甲地2000米.小亮：（0，2000）是表示小亮出发0分钟时，离甲地2000米，（10，0）是表示小亮出发10分钟时，离甲地0米.第三步，整体了解每段函数的含义.小明：图像是一条线段，说明小明在匀速运动，匀速运动的速度是2000÷40=50米/分钟.小亮：第一段函数图像是线段，说明小亮在匀速运动，匀速运动的速度是2000÷10=200米/分钟；第二段函数图像是水平线段，说明小明没有运动；第三段函数图像是线段，说明小明在按原速运动；第四段函数图像是线段，表示小亮和小明同速度一同匀速行驶.通过上面的三步骤读图，可以将图像中的条件都提取出来，接下来是运用这些信息和结合图像解题.对于函数图像信息题，如果学生会读图，能够将图像中的信息读出来，并充分运用这些信息，就基本可以解决问题了.比如上面的例题，我们调查发现会读图的学生中，第一小问几乎全对，第二小问虽然很难，也有一部分的学生做出来.因为会读图的学生能够将图中的信息提取出来，运用这些信息求解就不会太难.教给学生一套行之有效的识图方法，多加练习，能很快地提高学生的识图能力.实践证明，发现“识图三步骤”在解决函数图像信息题时效果很好.生活的丰富多彩，是我们学习函数知识的源泉.函数知识的取得也是从生活中来的.原本函数知识因生活的需要而产生，又因学习而加深了对函数图像的认识.函数图像问题是初中数学问题教学的重点，也是教师贯彻落实新课改要求的有效载体.教师应根据年级阶段特殊实际，注重函数图像知识的系统讲解，强化函数图像问题的专题训练，传授有效解决方法，提升学生的数学素养.［参考文献］［1］杜国平.图形推理及其社会文化功能［J］.徐州师范大学学报（哲学社会科学版），2011（1）：123-126.［2］吴涌泉.浅谈运用反比例函数图像解决实际问题［J］.课外阅读（中学版），2010（6）：112-114.（责任编辑黄桂坚）数学·解题研究。
函数及其图像探究
函数及其图像探究一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握函数的基本概念，理解函数的定义及其表达方式。
2. 使学生掌握一次函数、二次函数的图像特征及其性质。
3. 帮助学生理解函数图像与函数表达式之间的关系。
技能目标：1. 培养学生运用数学语言描述函数及其图像的能力。
2. 培养学生运用坐标系绘制函数图像，并能从图像中分析出函数的性质。
3. 提高学生解决实际问题时运用函数及其图像进行数据分析和预测的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对函数及其图像的兴趣，激发学生主动探究数学问题的热情。
2. 培养学生具备良好的合作意识和团队精神，学会在小组讨论中倾听、交流、互助。
3. 培养学生严谨、细致的学习态度，养成勤奋、刻苦的学风。
课程性质分析：本课程为中学数学课程，以探究性学习为主，注重理论与实践相结合。
学生特点分析：学生处于八年级，具备一定的数学基础和逻辑思维能力，但空间想象力和抽象思维能力有待提高。
教学要求：1. 结合课本内容，注重启发式教学，引导学生主动探究函数及其图像的规律。
2. 注重培养学生的动手操作能力，通过绘制函数图像，加深对函数性质的理解。
3. 关注学生的个体差异，针对不同学生的学习需求进行分层教学，确保每个学生都能达到课程目标。
二、教学内容本课程依据课程目标，结合教材内容，安排以下教学大纲：1. 函数的基本概念- 函数的定义与表达方式- 函数的三要素：定义域、值域、对应关系2. 一次函数及其图像- 一次函数的图像特征- 一次函数的性质：斜率、截距- 图像与斜率、截距的关系3. 二次函数及其图像- 二次函数的图像特征- 二次函数的性质：开口方向、顶点、对称轴- 图像与二次项系数、一次项系数、常数项的关系4. 函数图像的绘制方法- 坐标系的使用- 利用描点法绘制函数图像- 从图像分析函数性质5. 函数图像在实际问题中的应用- 数据分析与预测- 实际问题中的函数建模教学内容安排与进度：第一课时：函数的基本概念第二课时：一次函数及其图像第三课时：二次函数及其图像第四课时：函数图像的绘制方法第五课时：函数图像在实际问题中的应用教学内容与教材关联性：本教学内容紧密围绕教材中关于函数及其图像的知识点，确保科学性和系统性，帮助学生扎实掌握函数相关知识。
初中数学函数图形与性质学生的难点分析与对策
初中数学“函数图形与性质”学生的难点分析与对策开远九中 沈江艳在初中的教学中，函数知识主要为：一次函数、反比例函数、二次函数三种类型的函数。
对于函数问题，一直以来都是学生学习的障碍，都是难点知识点，特别是函数图象与性质部分更是学生的难点之一，。
在初中的函数学习中，学生最难把握与理解的部分主要为一下几个方面：一、一次函数方面：1、一次函数图象与不等式、方程之间的关系，即根据图像和性质直接写出点的坐标或者是写出对应的方程组的解获不等式的解。
例如，例1、如图，从图中可以看出，x=6是方程 的解，x ＞6是不等式 的解集。
例2、x 2y 5⎧=⎨=⎩是方程组y 2x 1y 3x 1⎧=+⎨=-⎩的解，直线y=2x+1与直线y=3x-1的交点坐标是 。
等此类型的题。
2、借组性质来确定图象所经过的象限，例如，例3、已知函数n mx y -=1与函数m nx y -=2的图象在同一直角坐标系中的图象大致为 。
等此类型的题。
3、利用一次函数图象和性质，求函数和自变量的取值范围。
例如，例4、一次函数k x k y -+-=3)1(的图象经过一、二、三象限，则k 的取值范围是 。
例5、若正比例函数x m y )21(-=的图象经过点),(11y x A 和点),(22y x B ，当21x x <时，21y y >则m 的取值范围是 等题型。
4、利用函数图像与性质，比较两个量的大小关系。
例如，例6、已知点)b ,4(-A 和点),2(a B -在一次函数k x y +-=2（0≠k 的常数），比较a 和b 的大小关系。
5、利用一次函数的图象及性质求图形的面积等。
二、反比例函数方面1、反比例函数比例系数k与图像上某一点与坐标轴围成的矩形的面积之间的关系；2、利用反比例函数图象与性质求图形的面积；3、反比例函数与一次函数图象的综合应用，根据图象确定自变量的取值范围和比较函数值得大小关系等都是学生难以理解和掌握的。
函数与图像的关系研究
函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了数之间的关系。
而图像是用来展示这种关系的一种可视化工具。
函数与图像之间的关系的研究，不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还可以帮助我们解决各种实际问题。
首先，函数与图像之间的关系可以帮助我们更好地理解函数的性质。
通过观察函数的图像，我们可以了解函数的增减性、最值、极限等重要的性质。
例如，如果一个函数在某个区间上的图像是递增的，我们就可以推断这个函数在该区间上是严格递增的。
而如果一个函数在某个点上取得最小值，我们就可以通过观察图像得到这个点的横坐标。
其次，函数与图像之间的关系可以帮助我们解决各种实际问题。
在物理学、经济学、生态学等应用领域中，我们经常需要通过函数来描述一些实际问题的规律。
而函数的图像可以帮助我们更直观地理解这种规律。
例如，在经济学中，我们可以通过绘制供需函数的图像来分析市场的均衡价格和数量。
而在生态学中，我们可以通过绘制物种数量随时间变化的函数图像来研究物种的生态演替过程。
此外，函数与图像之间的关系还可以帮助我们发现数学中的一些重要定理。
例如，通过研究连续函数的图像，我们可以发现介值定理和零点定理。
介值定理告诉我们，如果一个连续函数在一个闭区间上取得两个不同的函数值，那么它必然在这个闭区间上取得介于这两个函数值之间的所有函数值。
而零点定理告诉我们，如果一个连续函数在一个闭区间的两个端点上取得不同的函数值，那么它在这个闭区间内至少有一个零点。
函数与图像的关系研究既是纯粹数学的研究领域，也是应用数学的重要组成部分。
通过研究函数与图像之间的关系，我们可以更好地理解函数的性质，解决实际问题，并发现数学中的一些重要定理。
因此，函数与图像的关系的深入研究具有重要的理论和实际意义。
总之，函数与图像之间的关系是数学中一个非常重要的研究领域。
通过研究函数的图像，我们可以更好地理解函数的性质，解决实际问题，并发现数学中的一些重要定理。
因此，我们应该重视函数与图像的关系的研究，并在教学和研究中加以应用。
数学中的函数图像与性质探究
04 函数图像与性质在实际问题中的应用
利用函数图像解决最优化问题
最值问题
通过观察和分析函数的图像，可以确定函数的最大值和最小值，从 而解决一系列最值问题，如求利润最大、成本最低等实际问题。
区间选择问题
借助函数图像，可以直观地选择在某一区间内函数值满足特定要求 的区间，用于解决选址、资源分配等问题。
不同类型函数的图像特点
线性函数：图像为一条直线，斜率表示函数的增减程度 。
指数函数：图像在坐标系中呈指数增长或衰减的趋势， 底数的大小决定了函数的增减速度。
三角函数：正弦函数图像呈周期性波动，余弦函数图像 与正弦函数相似但相位不同，正切函数图像在周期内从 负无穷增长到正无穷。
二次函数：图像为一个抛物线，对称轴为y轴或平行于 y轴的直线。开口方向（向上或向下）决定了函数的增 减性。
数学中的函数图像与性质探究
• 函数图像概述 • 常见函数的图像与性质 • 函数图像的变换 • 函数图像与性质在实际问题中的
应用
01 函数图像概述
函数图像的定义与重要性
定义
函数图像是表示函数关系的一种图形，通常是在坐标系中画 出。它形象地展示了函数自变量与因变量之间的关系。
重要性
函数图像在数学研究和应用中具有重要意义。通过观察和分 析函数图像，我们可以直观地理解函数的性质，如单调性、 极值、周期性等，为后续的数学推理和计算提供便利。
指数函数
图像特点
指数函数的图像是一条从左下方向右上方无限延伸的曲线。当底数大于1时，函数随着自变量的增加而增加；当 底数在(0,1)之间时，函数随着自变量的增加而减小。
性质
指数函数具有正值性和过定点性。即当底数大于0且不等于1时，函数值恒为正；所有指数函数的图像都经过点 (0,1)。此外，当两个指数函数的底数互为倒数时，它们的图像关于y轴对称。
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2013届高三理科数学研究性学习（10）
专题七：函数图象的相关问题研究
探究1：对x y =的进一步探究
变式1：设函数a x x x f -++=1)(的图像关于直线1=x 对称，则a 的值为________； 变式2：（2009上海）某地街道呈现东-西、南-北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相
交的点称为格点，若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点）（2,2-、
）（1,3、）（4,3、），（32-、）（5,4、）（6,6为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）_______ 为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.
变式3：能否利用我们之前研究平底型折线的方法（从特殊到一般的数学思想）来研究 )()(2121n n a a a a x a x a x x f <<<++++++= （且{}n a 是等差数列） 的图像和性质呢？它的图像一定是平底型折线吗？一定是轴对称图像吗？
变式4：函数∑=-=19
1)(i n x x f 的最小值为__________
变式5：变式4：（2011年淮安市高三调研）已知201121)(++++++=x x x x f )(201121R x x x x ∈-++-+-+ ，且)1()23(2-=+-a f a a f ，则满足条件的所有整数a 的和是__________________
变式6：（改编）下列命题中真命题的序号是 _．
（1）()f x 是偶函数；
（2）()f x 在()0,+∞上是增函数；
（3）不等式()20102011f x <⨯的解集为∅；
（4）方程2
(32)(1)f a a f a -+=-有无数个实数解．
探究2：什么是牛顿三叉曲线？
研究1：研究函数x x x f 4)(2+
=的性质和图象；
研究2：研究函数x x x f 4)(2-
=的性质和图象；
在数学史上，)0(2≠+=a x
a x y 成为牛顿三叉曲线. 总结研究“牛顿三叉”函数的图像和性质
探究3：利用图像解决问题
研究1：若函数,0,00,11)(⎪⎩
⎪⎨⎧≠≠-=x x x
x f 则方程[]0)()(2=++c x bf x f 有7个根的充要条 件是___________________________
研究2：已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下图表示：
给出下列四个命题：
①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根； ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根； ③方程0)]([=x f f 有且仅有5个根； ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根； 其中正确命题的是_____ _____(注：把你认为是正确的序号都填上).
研究3：关于x 的方程01)1(222=+---k x x ，给出下列四个命题：
（1）存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；（2）存在实数k ，使得方程恰有4个 不同的实根；（3）存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；（4）存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数为__________________
变式：8．已知函数1)(-=x x f ，关于x 的方程0)()(2=+-k x f x f ，给出下列四个命题：
① 存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；
② 存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；
③ 存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；
④ 存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根.
其中真命题的序号为______▲_①②③④______．。