2017届天津市南开区高三二模文科数学试卷及答案精品

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南开区2019届高三二模数学(文)试题及答案

2018—2019学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(二)数学试卷（文史类）2019.05本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．本卷共8小题，每小题5分，共40分．参考公式：·球的表面积公式S球=4πR2，其中R表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设全集为R，若集合A={x|(x+2)(x–3)≥0}，集合B={x|x＞1}，则(∁R A)∪B=（）．（A）[3，+∞)（B）(1，3]（C）(1，3)（D）(–2，+∞)（2）已知实数x，y满足约束条件503-+⎧⎪+⎨⎪⎩≥，≥，≤，x yx yx则z=2x+4y的最小值是（）．（A）5（B）–6（C）10（D）–10（3）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为13，输出S的值是46，则a的取值范围是（）．（A）9≤a＜10（B）9＜a≤10（C）10＜a≤11（D）8＜a≤9（4）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p 是q 的（）．（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知a=132-，b=21log 3，c=121log 3，则（）．（A ）a ＞b ＞c （B ）a ＞c ＞b （C ）c ＞a ＞b（D ）c ＞b ＞a （6）设f (x )=sin3x –cos3x ，把y=f (x )的图象向左平移ϕ（ϕ＞0）个单位长度后，恰好得到函数g (x )=–sin3x+cos3x 的图象，则ϕ的值可以为（）．（A ）6π （B ）4π （C ）2π （D ）π （7）已知F 1，F 2分别为双曲线3x 2–y 2=3a 2（a ＞0）的左、右焦点，P 是抛物线y 2=8ax与双曲线的一个交点，若|PF 1|+|PF 2|=12，则抛物线的准线方程为（）．（A ）x=–4 （B ）x=–3 （C ）x=–2 （D ）x=–1（8）已知函数f (x )=21011>0⎧⎪-⎨⎪-⎩，≤，，，x x x x 若关于x 的不等式|f (x )–a –12|≤12有且仅有两个不同的整数解，则实数a 的取值范围是（）．（A ）[–32，–43) （B ）[–12，–13) （C ）[–1，–12] （D ）[0，3]第 Ⅱ 卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；2．本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。

【天津市南开区】2017年高考模拟数学试卷(附答案与解析)

U AB ð等于（{0,1,2}．已知(3,1)a =，(2,5)b =-，则32a b -=（）B ．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）答案一、选择题.每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1~5．ABCBD 6~10．ABABA 11~15．CADDB 16~20．BBACD 21~25．CCBCD 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请将答案填在题中横线上. 26．③． 27．36，24． 28．2． 29．1．30．30x +=或34150x y ++=．解析一、选择题.每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先由补集的定义求出C U B再利用交集的定义求A∩C U B【解答】解：∵U={0，1，2，3}，B={0，2，3}，∴C U B═{1}，∴A∩C U B={1}，故选A．2．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由条件利用函数y=Acos（ωx+φ）的周期为，求得结果．【解答】解：∵y=cos（2x﹣），∴函数y=cos（2x﹣）的最小正周期T==π．故选：B．3．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】由=（3，1），=（﹣2，5），利用平面向量坐标运算法则能求出3﹣2．【解答】解：∵=（3，1），=（﹣2，5），∴3﹣2=（9，3）﹣（﹣4，10）=（13，﹣7）．故选：C．4．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用分式的分母平方，复数分母实数化，运算求得结果．【解答】解：====﹣1+i．故选B．5．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据对数函数、指数函数、幂函数和反比例函数的单调性，便可找出在区间（0，+∞）上是减函数的选项．【解答】解：函数在区间（0，+∞）上都是增函数；函数y=x﹣1在（0，+∞）上为减函数．故选D．6．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由题意求出cosα的值，然后求出正切值．【解答】解：∵sinα=，且α为锐角，∴cosα===，∴tanα===．故选：A．7．【考点】程序框图．【分析】通过框图的要求；将第一次循环的结果写出，通过判断框；再将第二次循环的结果写出，通过判断框；输出结果．【解答】解；经过第一次循环得到a=12+2=3经过第一次循环得到a=32+2=11不满足判断框的条件，执行输出11故选B8．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+2y过点O（0，0）时，z最大值即可．【解答】解：作出可行域如图，由z=x+2y知，y=﹣x+z，所以动直线y=﹣x+z的纵截距z取得最小值时，目标函数取得最小值．由得O（0，0）．结合可行域可知当动直线经过点O（0，0）时，目标函数取得最小值z=0+2×0=0．故选：A．9．【考点】二倍角的余弦．【分析】利用二倍角公式把要求的式子化为cos45°，从而可得结果．【解答】解：由二倍角公式可得1﹣2sin222.5°=cos（2×22.5°）=cos45°=，故选B．10．【考点】椭圆的标准方程．【分析】根据椭圆=1的长轴在x轴上，焦距为4，可得10﹣m﹣m+2=4，即可求出m的值．【解答】解：∵椭圆=1的长轴在x轴上，焦距为4，∴10﹣m﹣m+2=4，解得m=4，满足题意．故选：A．11．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的准线方程求解即可．【解答】解：抛物线y=ax2的准线方程为y=1，∴﹣=1，解得a=﹣4，故选：C12．【考点】等比数列的性质．【分析】根据等比数列的性质得到a8等于a5的与q3的积，把已知的a5和a8的值代入即可求出q3的值，然后再利用等比数列的性质得到a11为a8与q3的积，将a8及求出的q3的值代入即可求出值．【解答】解：根据等比数列的性质得：a8=a5q3，由a5=﹣16，a8=8，得到q3==﹣，则a11=a8q3=8×（﹣）=﹣4．故选A13．【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到．【解答】解：由双曲线的离心率为，则e==，即c=a，b===a，由双曲线的渐近线方程为y=x，即有y=x．故选D．14．【考点】等差数列的前n项和．【分析】结合已知条件，利用等差数列的前n项和公式列出关于d的方程，解出d，代入公式，即可求得s6．【解答】解：∵，S4=20，∴S4=2+6d=20，∴d=3，∴S6=3+15d=48．故选D．15．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】首先计算出所以基本事件总数为：C52=10，再计算出这两个数字之和为奇数的取法，进而计算出事件发生的概率．【解答】解：由题意可得：从数字1，2，3，4，5中，随机抽取2个数字共有不同的取法有：C52=10．则这两个数字之和为奇数的取法有：（1，2），（1，4）．（2，3），（2，5），（3，4），4，5）；共有6中取法．所以这两个数字之和为奇数的概率为：．故选B．16．【考点】斜率的计算公式．【分析】因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．【解答】解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选B．17．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】先管仔细观察给出几何体的主视图和侧视图便可知该几何体为圆锥，根据圆锥表面积公式的求法便可求出该几何体的全面积．【解答】解：仔细观察几何体的主视图侧视图可知该几何体为圆锥，由图象可知：圆锥的圆心角为60°，圆锥的母线L长为2，半径为1．根据圆锥表面积公式的求法：S=πRL+πRR=π×1×2+π×1×1=3π，故选B．18．【考点】充要条件．【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．19．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，得到的新函数的解析式要在x上减去平移的大小，再用诱导公式得到结果．【解答】解：∵将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，∴解析式为y=cos2（x﹣）=cos（）=sin2x故选C．20．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A，B，C，写出所有可能，对于D，根据线面垂直的性质，可得a∥b．【解答】解：若a∥b、a∥α，则b∥α或b⊂α，故A错误；如果a⊥l，b⊥l，则a∥b或a，b相交、异面，故B错误；如果a∥α，b⊥a，则b⊥α、相交、平行，都有可能，故C错误；如果a⊥α，b⊥α，根据线面垂直的性质，可得a∥b，故D正确．故选：D．21．【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算法则、对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵b=（）﹣0.2=20.2＜21.2=a，∴a＞b＞1．∵c=2log52=log54＜1，∴a＞b＞c．故选：C．22．【考点】几何概型．【分析】本题是几何概型问题，欲求点M在球O内的概率，先由正方体ABCD﹣A1B1C1D1内的内切球O，求出其体积，再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法易求解．【解答】解：本题是几何概型问题，设正方体的棱长为：2．正方体ABCD﹣A1B1C1D1内的内切球O的半径是其棱长的一倍，其体积为：V1=π×13=，则点M在球O内的概率是=故选：C．23．【考点】圆的一般方程．【分析】设出圆的圆心与半径，利用已知条件，求出圆的圆心与半径，即可写出圆的方程．【解答】解：圆心在y轴上且过点（3，1）的圆与x轴相切，设圆的圆心（0，r），半径为r．则：=r．解得r=5．所求圆的方程为：x2+（y﹣5）2=25．即x2+y2﹣10y=0．故选：B．24．【考点】直线与平面所成的角．【分析】要求线面角，先寻找斜线在平面上的射影，因此，要寻找平面的垂线，利用已知条件可得．【解答】解：由题意，连接A1C1，交B1D1于点O∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=4∴C1O⊥B1D1∴C1O⊥平面DBB1D1在Rt△BOC1中，∴直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为故选C．25．【考点】函数的图象；二次函数的性质．【分析】若函数f（x）=kx2﹣3x+1的图象与x轴在原点的右侧有公共点，则函数有正数零点，结合一次函数和二次函数的图象和性质，分类讨论，可得答案．【解答】解：当k=0时，函数f（x）=﹣3x+1的图象与x轴在原点的右侧有公共点满足条件；当k≠0时，若函数f（x）=kx2﹣3x+1的图象与x轴在原点的右侧有公共点，则函数有正数零点，当k＜0时，函数f（x）=kx2﹣3x+1的图象开口朝下，且过（0，1）点，此时必有正数零点，当k＞0时，函数f（x）=kx2﹣3x+1的图象开口朝上，且过（0，1）点，对称轴在y轴右侧，若函数有正数零点，则，解得：a∈（0，]，综上可得：实数k的取值范围为（﹣∞，]，故选：D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请将答案填在题中横线上.26．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】根据所给的线性回归方程，当x增加1时，y要增加90元，当劳动效率增加1000元时，工资提高90元，这里的值是平均增加90元．【解答】解：∵回归直线方程为=60+90x，∴当x增加1时，y要增加90元，∴当劳动效率增加1000元时，工资提高90元，故答案为：③．27．【考点】基本不等式．【分析】利用导数研究函数f（x）的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：f′（x）=4﹣==，（x＞0，a＞0）．可知：x=时，函数f（x）取得最小值，∴3=，解得a=36．f（3）=12+=24．故答案为：36，24．28．【考点】余弦定理．【分析】由题设条件知，直接利用余弦定理建立方程求出b即可．【解答】解：由余弦定理可知b2=a2+c2﹣2accosB=22+﹣2×2×2×=4．因为b是三角形的边长，所以b=2．故答案为：2．29．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】通过对函数f（x）求导，根据函数在x=1处有极值，可知f'（1）=0，解得m的值，再验证可得结论．【解答】解：求导函数可得f'（x）=3x2﹣4mx+m2，∴f'（1）=3﹣4m+m2=0，解得m=1，或m=3，当m=1时，f'（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），函数在x=1处取到极小值，符合题意；当m=3时，f'（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），函数在x=1处取得极大值，不符合题意，∴m=1，故答案为：1．30．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程找出圆心的坐标及半径，由直线被圆截得的弦长，利用垂径定理得到弦的一半，弦心距及圆的半径构成直角三角形，再根据勾股定理求出弦心距，一下分两种情况考虑：若此弦所在直线方程的斜率不存在，显然x=﹣3满足题意；若斜率存在，设出斜率为k，由直线过P点，由P的坐标及设出的k 表示出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d，让d等于求出的弦心距列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，进而得到所求直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线方程．【解答】解：由圆的方程，得到圆心坐标为（0，0），半径r=5，∵直线被圆截得的弦长为8，∴弦心距==3，若此弦所在的直线方程斜率不存在时，显然x=﹣3满足题意；若此弦所在的直线方程斜率存在，设斜率为k，∴所求直线的方程为y+=k（x+3），∴圆心到所设直线的距离d==3，解得：k=﹣，此时所求方程为y+=﹣（x+3），即3x+4y+15=0，综上，此弦所在直线的方程为x+3=0或3x+4y+15=0．故答案为：x+3=0或3x+4y+15=0。

2017年天津高考文科数学真题及答案

2017年天津高考文科数学真题及答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么P (A ∪B )=P (A )+P (B )．·棱柱的体积公式V =Sh . 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高． ·球的体积公式34π3V R =.其中R 表示球的半径. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}A B C ===，则()A B C =U I （A ）{2}（B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{1,2,3,4,6} （2）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（A ）45（B ）35（C ）25（D ）15（4）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（A ）221412x y -=（B ）221124x y -=（C ）2213x y -=（D ）2213y x -= （6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）c a b << （7）设函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><.若5π11π()2,()0,88f f ==且()f x 的最小正周期大于2π，则（A ）2π,312ωϕ==（B ）211π,312ωϕ==-（C ）111π,324ωϕ==-（D ）17π,324ωϕ== （8）已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（A ）[2,2]-（B ）[23,2]-（C ）[2,3]-（D ）[3,3]-第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2020届天津市南开区2017级高三下学期二模考试数学试卷参考答案

当 k=0 时，可得 m=0，综上，m∈[0， 1 )．
2 （ⅱ）依题意有|QF1|=|QA|=|QB|，且 F1(–1，0)，
…………11 分
∴由
(
x
m)2 x2
y2 2y
(m 2 2，
1)2，消去
y，得
x2–4mx2–4m=0，
…………12 分
∴x1，x2 也是此方程的两个根．
∴x1+x2=4m=
i 1
pq p2n1
2n1
(1)i1 p q 2n1i i1 ] 2m–1
i 1
[1 ( q )2m1 ] 2n–1＞[1 ( q )2n1 ] 2m–1
p
p
[1
(
q
)2
1
m1]2m1
＞[1
(
q
1
)2n1]2n1
p
p
1 ln[1 ( q )2m1]＞ 1 ln[1 ( q )2n1]．
2m 1
p
2n 1
南开区高三年级模拟考试(二)参考答案第 4 页（共 8 页） 2020届天津市南开区2017级高三下学期二模考试数学试卷
解得 d=2，q=2 或 d= 1 ，q=5， 2
由于{an}是各项都为整数的等差数列，所以 d=2，q=2． ………………4 分
从而 an=2n–1，bn=2n–1．（Ⅱ）∵log2bn=n–1，
（10）(0，2]；（11）2；（12）4；
（13）3，1；（第一个空 2 分，第二个空 3 分）（14）4；
（15）[0，2]，(–∞，–1]∪(3，+∞)．（第一个空 2 分，第二个空 3 分）
三、解答题：（其他正确解法请比照给分）

2017届高考数学仿真卷：文科数学试卷(2)(含答案解析)

2017高考仿真卷·文科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数=()A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()A.[-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,2]3.采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落入区间[1,400]上的人做问卷A,编号落入区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.( p)∧( q)C.( p)∧qD.p∧( q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A. B. C. D.6.某产品的广告费用x(单位:万元))的统计数据如下表:根据表中数据求得回归直线方程为=9.5x+,则等于()A.22B.26C.33.6D.19.57.设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对边的边长,则直线sin A·x-ay-c=0与bx+sin B·y+sin C=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直8.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V =,则球O的表面积是()正四棱锥P-ABCDA.4πB.8πC.12πD.16π9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>1C.-1<k<1D.-3<k<110.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A. B. C. D.11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()A.26B.32C.36D.4812.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.其中是“商高线”的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m的值是.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:①函数f(x)的最大值为;②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x的图象;③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有个.16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”,方案要求以学校为单位组织实施.某校对高一(1)班的同学按照“国家学生体质健康数据测试”的项目进行了测试,并对测试成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若分数在[90,100]上的人数为2.(1)请求出分数在[70,80)内的人数;(2)现根据测试成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次分为第一组,第二组,…,第五组)中任意选出2人,形成搭档小组.若选出的2人成绩差大于30,则称这2人为“互补组”,试求选出的2人为“互补组”的概率.19.(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BB1的中点.(1)求证:EF⊥平面A1D1B;(2)若AA1=2,求三棱锥D1-DEF的体积.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|P A|2+|PB|2为定值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=.(1)求证:f(x)在(0,1)和(1,+∞)内都是增函数;(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案2017高考仿真卷·文科数学(二)1.B解析(方法一)=i.(方法二)=i.2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落入区间[1,400]上的有20人,编号落入区间[401,750]上的有18人,所以做问卷C的有12人.4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以( p)∧q为真命题.5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为.所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.所以=2,所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线的离心率为.6.B解析由题意知=2,=45.又由公式,得=26,故选B.7.C解析因为,所以两条直线斜率的乘积为=-1,所以这两条直线垂直.8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=,所以·2R2·R=,解得R=2,所以球O的表面积是16π.9.D解析如图,作出不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y 仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k 满足-3<k<1.10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.可知P A2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时P A=,AC=.所以该几何体的体积V=×1×.11.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.故(x+y+z)=1+4+9+≥14+4+6+12=36,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m的值为0.14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.15.2解析因为f(x)=2sin x·cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.16.a n=解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以,所以.所以,…,.所以.所以.所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.所以a n=.17.解(1)∵A=,∴B+C=.∴sin=3sin C.∴cos C+sin C=3sin C.∴cos C=sin C.∴tan C=.(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2×(3c)×c×=7c2.∵a=,∴c=1,b=3.∴△ABC的面积为S=bc sin A=.18.解(1)由频率分布直方图可知分数在[50,60)内的频率为0.1,[ 60,70)内的频率为0.25,[80,90)内的频率为0.15,[90,100]上的频率为0.05.故分数在[70,80)内的频率为1-0.1-0.25-0.15-0.05=0.45.因为分数在[90,100]上的人数为2,频率为0.05,所以参加测试的总人数为=40.所以分数在[70,80)内的人数为40×0.45=18.(2)因为参加测试的总人数为=40,所以分数在[50,60)内的人数为40×0.1=4.设第一组[50,60)内的同学为A1,A2,A3,A4;第五组[90,100]上的同学为B1,B2,则从中选出2人的选法有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),( A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15种,其中2人成绩差大于30的选法有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),共8种,则选出的2人为“互补组”的概率为.19.(1)证明如图,连接AB1.因为E,F分别为AB与AB1的中点,所以EF∥AB1.因为AB1⊥A1B,所以EF⊥A1B.又因为D1A1⊥平面ABB1A1,平面ABB1A1⊃EF,所以D1A1⊥EF.又因为A1B∩D1A1=A1,所以EF⊥平面A1D1B.(2)解如图,连接DB.因为BB1∥DD1,所以.所以=S△DEB·DD1=×2=.20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.所以x1+x2=m,x1x2=.所以|P A|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.所以|P A|2+|PB|2为定值.21.(1)证明由题意可得f'(x)==(x>0,x≠1).令g(x)=2ln x-,则g'(x)=.当0<x<1时,g'(x) <0,g(x)是减函数,g(x)>g(1)=0.于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(0,1)内为增函数.当x>1时,g'(x)>0,g(x)是增函数,g(x)>g(1)=0,于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内为增函数.(2)解af(x)-x=-x=.令h(x)=-ln x(x>0),则h'(x)=.令φ(x)=ax2-x+a,当a>0,且Δ=1-4a2≤0,即a≥时,此时φ(x)=ax2-x+a>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,所以当a≥时,h'(x)>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内是增函数,若0<x<1,则h(x)< h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0;若x>1,则h(x)>h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0,所以当x>0,x≠1时都有af(x)>x成立.当0<a<时,h'(x)<0,解得<x<,所以h(x)在内是减函数,h(x)<h(1)=0.故af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.当a≤0时,x∈(0,1)∪(1,+∞),都有h'(x)<0,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内为减函数,同理可知,在(0,1),(1,+∞)内,af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.综上所述,a≥,即a的取值范围是.22.解(1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)由Δ=8a(4+a)>0,可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0.则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.因为a>0,所以a=1.23.解(1)原不等式等价于解得x≤-或x≥.故原不等式的解集为.(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,则g(x)=当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).。

天津市南开区高三第二次模拟考试数学(文)试题含答案

天津南开区2013届高三模拟考数学（文科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合{}5,2=A ，集合{}2,1=B ，集合{}7,5,2,1=C ，则()C B A ⋂⋃为A. {}5,2,1 B. {}5,2,1- C. {}7,5,2 D. {}5,2,7-2. 不等式()2152≥-+x x 的解集是A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,3B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,21C. ]3,1(1,21⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡D. ]3,1(1,21⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡-3. 已知函数()x f 是定义在R 上的偶函数，且当0>x 时，()()1ln +=x x f ，则函数()x f 的大致图象为4. 函数()xx x f 1log 2-=的零点所在区间为A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 B. ⎪⎭⎫⎝⎛1,21 C. ()2,1 D. ()3,25. 等差数列{}n a 的公差0<d ，且21123a a =，则该数列的前n 项和取得最大值时，=nA. 6B. 7C. 6或7D. 7或86. 已知正整数b a ,满足304=+b a ，使得ba 11+取最小值时，则实数对()b a ,是A. （5，10）B. （6，6）C. （10，5）D. （7，2）7. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2:1:510=S S ，则=515:S SA. 2：3B. 3：4C. 1：2D. 1：38. 如果01,0<<-<b a ，那么下列不等式中正确的是 A. ab ab a <<2B. ab a ab <<2C. 2ab ab a <<D. a ab ab <<2第II 卷（非选择题共110分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9. 函数()ax x f y +-==|1|1定义域为R ，则a 的取值范围是__________。

2017年高考天津文科数学试题及答案(word解析版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2017年天津，文1，5分】设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}1,2,3,4C =，则()A B C =（）（A ）{}2 （B ）{}1,2,4 （C ）{}1,2,3,4 （D ）{}1,2,3,4,6 【答案】B【解析】{}1,2,4,6A B =，(){1,2,4,6}{1,2,3,4}{1,2,4}A B C ==，故选B ．（2）【2017年天津，文2，5分】设x R ∈，则“20x -≥”是“11x -≤”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】20x -≥解得：2x ≤；11x -≤解得：02x ≤≤，2x ≤⇐02x ≤≤，故选B ．（3）【2017年天津，文3，5分】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）（A ）45 （B ）35 （C ）25 （D ）15【答案】C【解析】“从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔”基本事件总个数：25C ，而事件“取出的2支彩笔中含有红色彩笔”包含基本事件个数：14C ；42105P ==，故选C ．（4）【2017年天津，文4，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的N 的值为19，则输出的N 的值为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】C【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始化数值为19N =，第一次循环：118N N =-=，不满足3N ≤；第二次循环：63NN ==，不满足3N ≤；第三次循环：23NN ==，满足3N ≤；此时跳出循环体，输出3N =，故选C ．（5）【2017年天津，文5，5分】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（）（A ）221412x y -= （B ）221124x y -= （C ）2213x y -= （D ）2213y x -=【答案】D【解析】因为OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点）所以2OF =，60AOF ∠=︒，所以直线OA 方程为3y x =，所以渐近线方程by x a=±其中一条为3y x =，所以，23c ba=⎧⎪⎨=⎪⎩，解之得：1,3,2a b c ===，故选D ．（6）【2017年天津，文6，5分】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21(log )5a f =-，2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =，则,,a b c 的大小关系为（）（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b << 【答案】C【解析】因为()f x 在R 上是奇函数，所以有()()f x f x -=-，即21(log )5a f =-2(log 5)f =；又因为()f x 在R 上是增函数，且0.8122222log 4log 4.1log 5<=<<，所以c b a <<，故选C ．（7）【2017年天津，文7，5分】设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><，若511()2,()088f f ππ==，且()f x 的最小正周期大于2π，则（）（A ）2,312πωϕ== （B ）211,312πωϕ==- （C ）111,324πωϕ==- （D ）17,324πωϕ==【答案】A【解析】函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，511()2,()088f f ππ==，振幅为2，所以如图所示：若函数图象如图表1所示，3115488T ππ=-，解得T π=，不满足最小正周期大于2π，所以函数图象如图表2所示，115488T ππ=-，解得3T π=，23ω=，又因为5()28f π=，所以25382ππϕ⨯+=，所以12πϕ=，故选A ．（8）【2017年天津，文8，5分】已知函数2,1()2,1x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，设a R ∈，若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（）（A ）[2,2]- （B ）[23,2]- （C ）[2,23]- （D ）[23,23]- 【答案】A【解析】函数()f x 的图象如下图（左），若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，则不妨设()2x g x a =+，“()2xf x a ≥+在R 上恒成立”表示()y f x =图象与()yg x =图象应如下图（右）所示找到两个临界位置: ①()f x 与()g x 相切时，1x >，221'()12f x x =-=，解得02x =，03y =，代入(2)3g =，解得232a +=，2,4a a ==-（舍）；②()g x 过点(0,2)，代入(0)2g =，2a =，解得2,2a a =-=（舍），故a 的取值范围在2-与2之间，故选A ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2017年天津，文9，5分】已知a R ∈，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为．【答案】2-【解析】解法一：i (i)(2i)21(2)i2i (2i)(2i)5a a a a -----+==++-为实数，所以20a +=，2a =-．解法二：i2ia -+为实数⇔i a -与2i +成比例，比例为1-，所以2a =-．（10）【2017年天津，文10，5分】已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为．【答案】1【解析】函数()f x 的导函数1'()f x a x=-，所以(1),'(1)1f a f a ==-，切点(1,)a ，斜率为1a -，所以代入切线点斜式：(1)(1)y a a x -=--，l 在y 轴上的截距为：0,1x y ==，所以答案为1．（11）【2017年天津，文11，5分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．【答案】92π 【解析】球的表面积公式2618S a ==，所以棱长3a =，计算得：233R a ==，32R =，34932V R ππ==．（12）【2017年天津，文12】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ，若120FAC ∠=︒，则圆的方程为．【答案】22(1)(3)1x y ++-=【解析】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线为:1l x =-，所以可设(1,)C b -，OA b =，120FAC ∠=︒，所以60AFH ∠=︒，在直角三角形OAF 中，1OF =，所以3OA =，所以圆的圆心(1,3)-，半径等于1，所以圆22:(1)(3)1C x y ++-=．（13）【2017年天津，文13，5分】若,a b R ∈，0ab >，则4441a b ab++的最小值为．【答案】4【解析】4422414144a b a b abab ab ab+++≥≥=（0ab >），当且仅当“444a b =”、“2241a b =”同时成立时，等号成立，解之得：13442,2a b --==．（14）【2017年天津，文14，5分】在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =，若2BD DC =，AE AC AB λ=- ()R λ∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为．【答案】311【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+，则122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）【2017年天津，文15，13分】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A B =，2225()ac a b c =--．（1）求cos A 的值；（2）求sin(2)B A -的值．解：（1）sin 4sin a A b B =可化为224a b =，解得：2a b =，余弦定理：222cos 2b c a A bc +-=25bc=5=-．（2）根据5cos A =-，解得25sin A =，所以5sin B =，25cos B =，4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos22cos 15B B =-=，sin(2)B A -45325sin 2cos cos2sin ()55B A B A =-=⨯--⨯10525--==．（16）【2017年天津，文16，13分】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告，已知连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）甲 70 5 60 乙 60 5 25分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用,x y 表示每周计划播出的甲、乙两套电视剧的次数．（1）用,x y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：（1）分别用,x y 表示每周计划播出的甲、乙两套电视剧的次数766062,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≥⎪⎨≤⎪⎪∈⎩．（2）设总收视人次为z 万，则目标函数为6025z x y =+．考虑6025z x y =+，将它变形为12525z y x =-+，这是斜率为125-，随z 变化的一族平行直线．25z为直线在y 轴上的截距，当25z 取得最大值时，z 的值最大．又因为,x y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线6025z x y =+经过可行域上的点M 时，截距25z最大，即z 最大．解方程组766020x y x y +=⎧⎨-=⎩，得点M 的坐标为()6,3．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．（17）【2017年天津，文17，13分】如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =．（1）求异面直线AP 与BC 所成的角的余弦值；（2）求证：PD ⊥平面PBC ；（3）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．解：（1）因为AD ∥BC ，所以PAD ∠等于异面直线AP 与BC 所成的角，AD ⊥平面PDC ，所以90PDA ∠=︒，5PA =，5cos 5AD PAD AP ∠==．（2）因为AD ⊥平面PDC ，所以AD PD ⊥，又因为AD ∥BC ，所以PD BC ⊥，PD PB ⊥，且PB BC B =，所以PD ⊥平面PBC ．（3）取BC 上三分点，3BE BC =，//BE AD ，1AD BE ==，PD ⊥平面PBC ，所以DEP ∠等于直线AB 与平面PBC 所成角90DPE ∠=︒，25AB =，25DE =，4PE =，25sin 525PD DEP DE ∠===．（18）【2017年天津，文18，13分】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为n S *()n N ∈，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}2n n a b 的前n 项和*()n ∈N ．解：（1）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，所以1(1)n a a n d =+-，1112n n n b b q q --==，22212q q +=，解之得：2,3q q ==-（舍），118311(5)1116a da d =-+⎧⎨+=⨯⎩，解之得：11,3a d ==所以31n a n =-，2n n b =．（2）2(62)2n n n a b n =-⨯，不妨设数列{}2n n a b 的前n 项和为n T ，2142632212n n n n n T a b a b a b a b a b --=+++++，123142102162(68)2(62)2n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯① 2n T =231142102(614)2(68)2(62)2n n n n n n -+⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯ ②①-②得：123142626262(62)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯，整理得：216(34)2n n T n +=+-⨯．（19）【2017年天津，文19，14分】设,a b R ∈，1a ≤，已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()x g x e f x =．（1）求()f x 的单调区间；（2）已知函数()y g x =和函数x y e =的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线．（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）若关于x 的不等式()x g x e ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围．解：（1）32'()()'6()'3(4)'f x x x a a x =---，2'()3123(4)f x x x a a =---，2'()3123(4)3()(4)f x x x a a x a x a =---=-+-，因为1a ≤，所以4a a <-，ABCDP E所以，()f x 的单调增区间(,),(4,)a a -∞-+∞，()f x 的单调减区间[,4]a a -．（2）（i ）()()x g x e f x =与x y e =在公共点00(,)x y 处有相同的切线，首先，00()x g x e =；其次，00'()x g x e =，0()1f x =，00()'()1f x f x +=，所以0'()0f x =．（ii ）()x g x e ≤等价于()1f x ≤，0'()0f x =，0()1f x =，所以0x a =极大值点，若关于x 的不等式()x g x e ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，等价于()1f x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，等价于max ()1f x ≤，00[1,1]x x x ∈-+，当0x a =，()f x 在[1,]a a -递增，在[,1]a a +递减，()f a 为最大值， ()1f a =，32261a a b -++≤，32261b a a ≤-+，令32()261h x x x =-+，2'()6126(2)h x x x x x =-=-，()h x 在[1,0]-递增，在[0,1]递减，所以7()1h x -≤≤，71b -≤≤．（20）【2017年天津，文20，14分】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为(,0)F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA ∆的面积为22b．（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段PQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为，四边形PQNM 的面积为3c ；（i ）求直线FP 的斜率；（ii ）求椭圆的方程．解：（1）12AEF S AF OE ∆=⨯⨯21()22b a c c =+⨯=，因为222b a c =-，所以c a c =-，故2a c =，12c e a ==．（2）（i ）45EFO ∠=︒，设1EQ EA λλ=+(01)λ<<，所以(1)FQ FE FA λλ=-+，2FE c =，3FA c =，因为32c FQ =，两边平方，解之得：910λ=，32λ=（舍）代入(1)FQ FE FA λλ=-+，得69(,)510c c FQ =，直线FP 的斜率等于34y x =（ii ）直线FP 的方程：30()4y x c -=-；为求点P 的坐标，联立方程解方程组：2224333412y x c x y c=-⎧⎨+=⎩，解之得：13,7c x c x ==-（舍），所以3(,)2c P c ，因为69(,)510c c FQ =，所以9(,)510c cQ ，即PQ c =，而PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，所以直线PM 与直线QN 垂直于PF ，由（i ）直线FP 的斜率等于34，可得335154428c c PM PF ==⨯=，33394428c cQN FQ =⨯=⨯=， MNPQ FPM FQN S S S ∆∆=- 1()2PM PF QN QF =⨯⨯-⨯232c =，所以2332c c =，解之得2c =，所以4,23a b ==，所以2211612x y +=．。

天津市南开区2015～2016学年度第二学期高三数学质量检测文科(二模)试卷

南开区2015～2016学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）数学试卷（文史类） 2016.05本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．祝各位考生考试顺利！第 Ⅰ 卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．本卷共8小题，每小题5分，共40分．参考公式：·球的表面积公式S 球=4πR 2，其中R 表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设全集为R ，集合A={x ∈Z |–1＜x ≤3}，集合B={1，2}，则集合A ∩∁R B=（）．（A ）{0，3} （B ）(–1，1)∪(2，3] （C ）(0，1)∪(1，2)∪(2，3] （D ）{–1，0}（2）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≤，，，02021y y x x 则z=x –2y –3的最小值为（）．（A ）–6 （B ）–3（C ）–1 （D ）1（3）下列结论错误的是（）．（A ）命题“若p ，则¬q ”与命题“若q ，则¬p ”互为逆否命题（B ）命题p ：∀x ∈[0，1]，e x ≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2+x +1＜0，则p ∧q 为真（C ）“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”为真命题（D ）“a ＞0，b ＞0”是“2ba +≥ab （4）如图所示的程序框图的运行结果为（）．（A ）–1 （B ）21（C ）1 （D ）2（5）“五一”小长假期间，甲、乙两人一起去游玩，他们约定各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观一小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（）．（A ）361（B ）91（C ）365（D ）61（6）已知l 1，l 2分别为双曲线22x a –22y b=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线，且右焦点关于l 1的对称点在l 2上，则双曲线的离心率为（）．（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）5（7）若函数f (x )=|x |+2x a -–2（a ＞0）没有零点，则a 的取值范围是（）．（A ）(2，+∞) （B ）(2，+∞) （C ）(0，1)∪(2，+∞) （D ）(0，1)∪(2，+∞) （8）若函数f (x )=2cos2x cos ϕ–4sin x cos x sin ϕ（ϕ＞0）的图象关于直线x=3π对称，且当ϕ取最小值时，∃x 0∈⎪⎭⎫⎝⎛20π，，使得f (x 0)=a ，则a 的取值范围是（）．（A ）(–1，2] （B ）[–2，–1)（C ）(–1，1) （D ）[–2，1)南开区2015～2016学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）答题纸（文史类）第 Ⅱ 卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2．本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。

2017年天津市部分区高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2017年天津市部分区高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知全集U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，3}，B＝{0，1，4}，则（∁U A）∩B＝（）A．{0，1，2，4}B．{2，3}C．{2，4}D．{0，4}2．（5分）某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）一个由底面是正三角形的三棱柱和三棱锥组成的组合体，其三视图如图所示，则该组合体的体积为（）A．B．C．D．54．（5分）已知a＝log0.50.3，b＝log30.5，c＝0.50.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a5．（5分）设x∈R，则“x＜4”是“x2﹣2x﹣8＜0”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，点P（2，1）在双曲线的渐近线上，则ab的值为（）A．2B．C．8D．7．（5分）定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，0）上递增，f（2）＝1，则满足|f（x）|＞1的x的取值范围是（）A．（，4）B．（0，）C．（0，）∪（2，+∞）D．（0，）∪（4，+∞）8．（5分）平面内三点A，B，C满足||＝3，||＝4，＝0，M，N为平面内的动点，且为单位向量，若＝2，则||的最大值与最小值的和为（）A．10B．8C．7D．5二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）i是虚数单位，复数z＝的虚部是．10．（5分）已知函数f（x）＝，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为．11．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应程序，输出s的值为．12．（5分）过点P（﹣1，2），圆心在直线x﹣y+2＝0上，且与直线2x+y＝0相切的圆的方程为．13．（5分）函数f（x）＝2sin x sin（﹣x）﹣2cos2x+在[0，]上的最大值为．14．（5分）已知函数f（x ）＝若关于x的方程f（x）﹣m＝0有三个不相等的实数解x1，x2，x3，则x1•x2•x3的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c ，已知sin2C+cos （A+B）＝0．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若a＝4sin A，求△ABC面积的最大值．16．（13分）某机械厂组装A，B两种类型机械，每组装1台A或B所需要的配件材料费和工人数如下表所示．已知该机械厂现有工人32人，可用资金55万元，组装1台A类型机械可获纯利润4万元，组装1台B类型机械可获纯利润2万元，设该机械厂计划组装A，B两种类型机械分别为x台，y台．（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）问该机械厂分别组装A，B两种类型机械各多少台，才能获得最大利润？并求出此最大纯利润．17．（13分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AC交BC于点O，△SBD是边长为2的正三角形，SA＝，E，F分别是CD，SB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面SAD；（Ⅱ）求证：BD⊥平面SAC；（Ⅲ）求直线AB与平面SBD所成角的正弦值．18．（13分）已知正项数列{a n}的前n项和S n满足S n＝（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（﹣1）n a n+（﹣1）n a n2，求数列{b n}的前2n项和T2n．19．（14分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，上顶点与右焦点的距离为2，（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线y＝kx+2与椭圆C交于A．B两点，点D（t，0）满足|DA|＝|DB|，且t∈[﹣，﹣]，求实数k的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）＝x3﹣3a2x+2a2+1（a≥0）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（﹣2，3）内极值点的个数；（Ⅲ）证明：当0≤x≤1时，f（x）+|1﹣a2|≥1．2017年天津市部分区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知全集U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，3}，B＝{0，1，4}，则（∁U A）∩B＝（）A．{0，1，2，4}B．{2，3}C．{2，4}D．{0，4}【解答】解：∵U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，3}，∴∁U A＝{0，2，4}，∵B＝{0，1，4}，∴（∁U A）∩B＝{0，4}．故选：D．2．（5分）某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：随机选派2人参加象棋比赛，有＝10种，选出的2人中恰有1人是女队员，有＝6种，∴所求概率为＝，故选：B．3．（5分）一个由底面是正三角形的三棱柱和三棱锥组成的组合体，其三视图如图所示，则该组合体的体积为（）A．B．C．D．5【解答】解：该组合体为由底面是正三角形的三棱柱和三棱锥组成的，由侧视图可得底面正三角形的高为，可得底面边长为2，由正视图可得三棱柱的高为3，三棱锥的高为2，则该组合体的体积为××2××2+×2××3＝．故选：A．4．（5分）已知a＝log0.50.3，b＝log30.5，c＝0.50.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【解答】解：∵a＝log0.50.3＞1，b＝log30.5＜0，0＜c＝0.50.3＜0.50＝1∴b＜c＜a．故选：A．5．（5分）设x∈R，则“x＜4”是“x2﹣2x﹣8＜0”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：x2﹣2x﹣8＜0，解得﹣2＜x＜4．∴“x＜4”是“x2﹣2x﹣8＜0”的必要不充分条件．故选：A．6．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，点P（2，1）在双曲线的渐近线上，则ab的值为（）A．2B．C．8D．【解答】解：根据题意，抛物线y2＝4x的焦点为（，0），则双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为（，0），即c＝则有a2+b2＝5，①双曲线＝1的渐近线为y＝±x，又由P（2，1）在双曲线的渐近线上，则＝2，②，联立①、②可得a＝2，b＝1，则有ab＝2，故选：A．7．（5分）定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，0）上递增，f（2）＝1，则满足|f（x）|＞1的x的取值范围是（）A．（，4）B．（0，）C．（0，）∪（2，+∞）D．（0，）∪（4，+∞）【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，0）上递增，∴f（x）在（0，+∞）上也单调递增，又f（2）＝1，∴f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣1．由|f（x）|＞1，得|f（﹣log2x）|＞1，即|﹣f（log2x）|＞1，∴|f（log2x）|＞1，得f（log2x）＞1或f（log2x）＜﹣1，由f（log2x）＞1，得f（log2x）＞f（2），即log2x＞2，得x＞4；由f（log2x）＜﹣1，f（log2x）＜f（﹣2），即log2x＜﹣2，得0＜x＜．∴x的取值范围是（0，）∪（4，+∞）．故选：D．8．（5分）平面内三点A，B，C满足||＝3，||＝4，＝0，M，N为平面内的动点，且为单位向量，若＝2，则||的最大值与最小值的和为（）A．10B．8C．7D．5【解答】解：∵＝0，∴BA⊥BC，∵||＝1，∴M在以A为原点，1为半径的圆A上，∵＝2，∴N是MC的中点，以BC，BA为坐标轴建立坐标系，如图：则B（0，0），C（4，0），A（0，3），设M（cosθ，3+sinθ），则N（cosθ+2，sinθ+），∴||＝＝＝，∴||的最大值为＝3，最小值为＝2，∴||的最大值与最小值的和为5．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）i是虚数单位，复数z＝的虚部是．【解答】解：∵z＝＝，∴复数z＝的虚部是．故答案为：．10．（5分）已知函数f（x）＝，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为1．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，则f′（x）＝＝，则f′（1）＝＝1；故答案为：1．11．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应程序，输出s的值为87．【解答】解：模拟程序的运行，可得s＝1，k＝4执行循环体，s＝6，k＝5不满足条件k＞7，执行循环体，s＝17，k＝6不满足条件k＞7，执行循环体，s＝40，k＝7不满足条件k＞7，执行循环体，s＝87，k＝8满足条件k＞7，退出循环，输出s的值为87．故答案为：87．12．（5分）过点P（﹣1，2），圆心在直线x﹣y+2＝0上，且与直线2x+y＝0相切的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5．【解答】解：因为圆心在直线x﹣y+2＝0上，所以设圆心坐标为（a，2+a）设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣2﹣a）2＝r2，圆经过点P（﹣1，2），和直线2x+y＝0相切，所以有（﹣1﹣a）2+（2﹣2﹣a）2＝r2且＝r解得r＝，a＝1，所以圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5，故答案为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5．13．（5分）函数f（x）＝2sin x sin（﹣x）﹣2cos2x+在[0，]上的最大值为2．【解答】解：函数f（x）＝2sin x sin（﹣x）﹣2cos2x+化简可得：f（x）＝2sin x cos x﹣cos2x＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣）当x在[0，]上时，可得2x﹣∈[﹣，]，当2x﹣＝时，函数f（x）取得最大值为2．故答案为2．14．（5分）已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）﹣m＝0有三个不相等的实数解x1，x2，x3，则x1•x2•x3的取值范围是（4，5）．【解答】解：f（x）＝，作出f（x）的函数图象如图所示：不妨设x1＜x2＜x3，则0＜x1＜1，1＜x2＜4，x3＞4由图象可知4＜x3＜5，且﹣log4x1＝log4x2，∴log4x2+log4x1＝log4（x1x2）＝0，即x1x2＝1，∴x1x2x3＝x3．∴x1•x2•x3的取值范围是（4，5）．故答案为：（4，5）．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sin2C+cos （A+B）＝0．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若a＝4sin A，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由sin2C+cos（A+B）＝0，得sin C cos C﹣cos C＝0．∵C为锐角，∴cos C＞0，∴sin C＝，∴C＝；（Ⅱ）由正弦定理可得＝＝4，∴c＝4×＝6，由余弦定理可得36＝a2+b2﹣2ab×，∴36＝a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab＝ab，当且仅当a＝b时取等号，∴S△ABC＝ab sin C＝ab≤×36＝9，故△ABC面积的最大值为9．16．（13分）某机械厂组装A，B两种类型机械，每组装1台A或B所需要的配件材料费和工人数如下表所示．已知该机械厂现有工人32人，可用资金55万元，组装1台A 类型机械可获纯利润4万元，组装1台B 类型机械可获纯利润2万元，设该机械厂计划组装A ，B 两种类型机械分别为x 台，y 台．（Ⅰ）用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）问该机械厂分别组装A ，B 两种类型机械各多少台，才能获得最大利润？并求出此最大纯利润．【解答】解：（Ⅰ）由已知x ，y 满足生产条件的数学关系式，，即，画出相应的平面区域；图中阴影部分．（Ⅱ）设纯利润为z 万元，则目标函数为：z ＝4x +2y ，直线的斜率为﹣2，随z 变化的一系列直线，求出直线的截距的最大值，即可得到z 的最大值，由图象可知直线经过M 时取得最大值，由解得M （2，3）．所以Z 的最大值为：4×2+2×3＝14．所以，该机械厂分别组装A ，B 两种类型机械各2台，3台，才能获得最大利润14万元．17．（13分）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AC 交BC于点O，△SBD是边长为2的正三角形，SA＝，E，F分别是CD，SB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面SAD；（Ⅱ）求证：BD⊥平面SAC；（Ⅲ）求直线AB与平面SBD所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：取SA得中点为G，连接GD，GF，∵E，F分别是CD，SB的中点．∴GF∥AB，GF＝AB，DE∥AB，DE＝AB．∴GF∥DE，GF＝DE，∴四边形DEFG为平行四边形．∵DG⊂面SAD，EF⊄面SAD，∴EF∥面SAD．（Ⅱ）证明：连接SO，因为，△SBD是边长为2的正三角形，O为中点，∴SO⊥BO．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．又SO∩AC＝O，∴BD⊥平面SAC．（Ⅲ）如图2过A作AH⊥SO与H，由（Ⅱ）得面SAC⊥面SDB．∴AH⊥面SDB，∴∠ABH就是AB与平面SBD所成角．四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，△SBD是边长为2的正三角形，∴AB＝2，AO＝SO ＝，∵SA＝，∴△SAO是边长为的正三角形．又因为AH⊥SO，∴H时SO得中点，∴AH＝，在Rt△ABH中，sin．∴直线AB与平面SBD所成角的正弦值为．18．（13分）已知正项数列{a n}的前n项和S n满足S n＝（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（﹣1）n a n+（﹣1）n a n2，求数列{b n}的前2n项和T2n．【解答】解：（Ⅰ）由S n＝，得当n＝1时，，得a1＝1；当n≥2时，，化简得：（a n﹣a n﹣1﹣2）（a n+a n﹣1）＝0，得a n﹣a n﹣1＝2（n≥2）．∴数列{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（Ⅱ）∵b n＝（﹣1）n a n+（﹣1）n a n2，∴T2n＝b1+b2+b3+b4+…+b2n＝（﹣1﹣12）+（3+32）+（﹣5﹣52）+（7+72）+…+[（4n﹣1）+（4n﹣1）2]＝（﹣1+3）+（﹣5+7）+…+[﹣（4n﹣3）+（4n﹣1）]+（﹣12+32）+（﹣52+72）+…+[﹣（4n﹣3）2+（4n﹣1）2]＝2n+8[1+3+5+…+（2n﹣1）]＝2n+8•＝8n2+2n．19．（14分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，上顶点与右焦点的距离为2，（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线y＝kx+2与椭圆C交于A．B两点，点D（t，0）满足|DA|＝|DB|，且t∈[﹣，﹣]，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：e＝＝，则a＝2c，由上顶点与右焦点的距离为2，则a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．，整理得：（3+4k2）x2+16kx+4＝0，由x1+x2＝﹣，x1x2＝，由△＝256k2﹣4×4（3+4k2）＞0，解得：k＜﹣，k＞，∵|DA|＝|DB|，则（+）•＝0，解得：t＝﹣，t∈[﹣，﹣]，则﹣≤﹣≤﹣，整理得：，由k＜﹣，k＞，则＜k≤，∴实数k的取值范围（，]．20．（14分）已知函数f（x）＝x3﹣3a2x+2a2+1（a≥0）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（﹣2，3）内极值点的个数；（Ⅲ）证明：当0≤x≤1时，f（x）+|1﹣a2|≥1．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝3（x﹣a）（x+a），（a≥0），a＝0时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R递增，无递减区间；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣a），（a，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣a，a）时，f′（x）＜0，故f（x）在（﹣∞，﹣a）递增，在（﹣a，a）递减，在（a，+∞）递增；（Ⅱ）由（Ⅰ），a＝0时，f（x）在R递增，函数无极值点，a＞0时，由（Ⅰ）得：x＝﹣a是极大值点，x＝a是极小值点，当即0＜a＜2时，f（x）在（﹣2，3）内有2个极值点，当或即2≤a＜3时，f（x）在（﹣2，3）内有1个极值点，a≥3时，x＝a和x＝﹣a均不在区间（﹣2，3）内，此时f（x）无极值点，综上，a＝0或a≥3时，f（x）在（﹣2，3）无极值点，2≤a＜3时，f（x）在（﹣2，3）内有1个极值点，0＜a＜2时，f（x）在（﹣2，3）内有2个极值点；（Ⅲ）证明，a＝0时，∵0≤x≤1，∴f（x）+|1﹣a2|＝x3+2＞1，0＜a＜1时，由（Ⅰ）（Ⅱ）得，f（x）在（﹣a，a）递减，在（a，1）递增，且x＝a是极小值点，故0≤x≤1时，f（x）+|1﹣a2|≥f（a）+|1﹣a2|＝﹣2a3+a2+2＝（1﹣a3）+（a2﹣a3）+1＞1，a≥1时，由（Ⅱ）得，f（x）在（﹣a，a）递减，故0≤x≤1时，f（x）+|1﹣a2|≥f（1）+|1﹣a2|＝1，综上，0≤x≤1时，f（x）+|1﹣a2|≥1．。

【天津市南开区】2017届高三上学期期末(文科)数学试卷

2 20．（14 分）已知函数 f x x ax ln x ， a R ．

（Ⅰ）当 a 1 时，求 f x 的单调区间；（Ⅱ）当函数 f x 在 1, 2 上是减函数，求实数 a 的取值范围；
2 （Ⅲ）令 g x f x x ，是否存在实数 a ，当 x 0, e （ e 是自然对数的底数时，函数 g x 的最小值
7．如图，正方形 ABCD 中， M 是 BC 的中点，若 AC AM BD ，则（
-1-/4
A．
4 3
B．
5 3
C．
15 8
D．2
2 x 2, x 0,1 8．已知函数 f x 的定义域为 R ，且 f x ， f x 1 f x 1 ，则方程 2 2 x , x 1, 0
U
S
T 等于（
）
D． 2, 4, 6
1 i3 （ i 是虚数单位）的虚部是（ 1 i B．1
3．如果命题“ ￢ p q ”为假命题，则（ A． p 、 q 均为真命题 C． p 、 q 至少有一个为真命题
4．在等差数列 an 中，若前 10 项的和 S10 60 ，且 a7 7 ，则 a4 （ A．4 B． 4 C．5
5．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
A． πcm3
6 5
B． 3πcm3
C． πcm3
2 3
D． πcm3
7 3
6．从抛物线 y 2 4 x 上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M ，且 PM 5 ，设抛物线的焦点为 F ，则
△MPF 的面积为（

2017年天津市高考数学(文科)真题试卷

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件A，B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．·棱柱的体积公式V=Sh．其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．·球的体积公式V=43π3R．其中R表示球的半径．一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合A=｛1，2，6｝，B=｛2，4｝，C=｛1，2，3，4｝，则（A B） C=（）A.｛2｝B.｛1，2，4｝C.｛1，2，4，6｝D.｛1，2，3，4，6｝【答案】B【解析】由题意可得A B=｛1，2，4，6｝，所以（A B） C=｛1，2，4｝．选B．2.设x∈R，则“2－x≥0”是“1x－≤1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由2－x≥0，可得x≤2，由1x－≤1，可得－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，因为{}02x x ≤≤⊂{}2x x ≤，所以“2－x ≥0”是“1x －≤1”的必要而不充分条件，故选B ．3.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A.45B.35C.25D.15【答案】C【解析】选取两支彩笔的方法有：红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，含有红色彩笔的选法有：红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，由古典概型的概率计算公式，可得所求概率P =410=25.故选C. 4.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为( )(ZZ15)第4题图A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】初始N =19，进入循环后N 的值依次为N =18，N =6，N =2，结束循环，输出N =2，故选C ．5.已知双曲线22x a－22y b =1（a >0，b >0）的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（）A.24x －212y =1 B.212x －24y =1 C.23x －2y =1D.2x －23y =1【答案】D【解析】由题意可得2222tan 60c c a b ba ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=⎩ ，解得2a =1，2b =3，故双曲线方程为2x －23y =1．故选D ． 6.已知奇函数f （x ）在R 上是增函数．若a =－f （21log 5），b =f （2log 4.1），c =f （0.82），则a ，b ，c 的大小关系为（） A.a <b <c B.b <a <cC.c <b <aD.c <a <b【答案】C【解析】由题意可得a =f （－21log 5）=f (2log 5)，且2log 5>2log 4.1>2，1<0.82<2，所以2log 5>2log 4.1>0.82，结合函数的单调性可得f (2log 5)>f （2log 4.1）> f （0.82），即a >b >c ，即c <b <a .故选C.7.设函数f （x ）=2sin(ωx +ϕ)，x ∈R ，其中ω>0，ϕ<π．若f （5π8）=2，f （11π8）=0，且f （x ）的最小正周期大于2π，则（）A.ω=23，ϕ=π12 B.ω=23，ϕ=－π1211 C.ω=13，ϕ=－11π24D.ω=13，ϕ=7π24【答案】A【解析】由题意得125ππ+=2π8211π+=π8k k ωϕωϕ⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩，其中1k ，2k ∈Z ，所以ω=43（2k －21k ）－23，又T =2πω>2π，所以0<ω<1，所以ω=23，ϕ=21k π+112π，由ϕ<π，得ϕ=π12，故选A ．8.已知函数f （x ）=212 1.x x x x x ⎧+<⎪⎨+⎪⎩，，，≥设a ∈R ，若关于x 的不等式f （x ）≥2x a +在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A.[－2,2]B.[－C.[－D.[－【答案】A【解析】当a =±x =0时，f （x ）≥2xa +即2≥±，即2≥上式不成立，由此可排除选项B 、C 、D ，故选A ．第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2017年天津市十二重点中学高考数学二模试卷(文科)(解析版)

sinA．
16．（13 分）某钢厂打算租用 A，B 两种型号的火车车皮运输 900 吨钢材，A，B 两种车皮的载货量分别为 36 吨和 60 吨，租金分别为 1.6 万元/个和 2.4 元/个，钢厂要求租车皮总数不超过 21 个，且 B 型车皮不多于 A 型车皮 7 个，分别用 x，y 表示租用 A，B 两种车皮的个数．（Ⅰ）用 x，y 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）分别租用 A，B 两种车皮的个数是多少，才能使得租金最少？并求出此最小租金． 17．（13 分）如图，点 P 是菱形 ABCD 所在平面外一点，∠BAD＝60°，△PCD 是等边三角形，AB＝2，PA＝2 ，M 是 PC 的中点．
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2017 年天津市十二重点中学高考数学二模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1．（5 分）已知 i 是虚数单位，则 A．1 【解答】解：由题意，故选：C． 2．（5 分）为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，则选中的花中没有红色的概率为（ A． B．） C． D． B．﹣1 ＝＝i，＝（） C．i D．﹣i
（Ⅲ）Pn 为数列{
}的前 n 项和，比较 Pn 与
的大小．
19．（14 分）已知椭圆 C：
+
＝1（a＞b＞0）与 y 轴交于 B1，B2 两点，F1 为椭圆 C
的左焦点，且△F1B1B2 是边长为 2 的等边三角形．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
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（Ⅱ）设直线 x＝my+1 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，点 P 关于 x 轴的对称点为 P1（P1 与 Q 不重合），则直线 P1Q 与 x 轴交于点 H，求△PQH 面积的取值范围． 20．（14 分）已知函数 f（x）＝ax +|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）若 a＝﹣1，求函数 y＝f（x）在[0，+∞）的单调区间；（Ⅱ）方程 f（x）＝x 有 3 个不同的实根，求实数 a 的取值范围；（Ⅲ）当 a＞0 时，若对于任意的 x1∈[a，a+1]，都存在 x2∈[a+1，+∞]，使得 f（x1）f（x2）＝1024，求满足条件的正整数 a 的取值的集合．

天津市十二区县重点学校2017-2018学年高考数学二模试卷(文科) Word版含解析

天津市十二区县重点学校2017-2018学年高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．B．C．1﹣2i D．﹣1﹣2i2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值是（）A．3B．4C．5D．63．（5分）已知p：∀x＞0，总有（x+1）lnx＞1，则¬p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）lnx0≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）lnx0≤1C．∃x0＞0，总有（x0+1）lnx0≤1 D．∃x0≤0，总有（x0+1）lnx0≤14．（5分）已知，，，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b5．（5分）将的图象上所有点向左平移后得到y=f（x）的图象，则y=f （x）在[﹣，0]上的最小值为（）A．﹣1 B．C．0D．6．（5分）已知抛物线y2=4x与双曲线的一条渐近线交于点M （M异于原点），且点M到抛物线焦点的距离等于3，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若a，b 均为不等于1的正实数，则a＞b是成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=2，CD=1，P为线段BC 上一个动点，设，则当取得最小值时λ的值是（）A．B．C．0D．1二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．（5分）设集合，T={2，4，6}，则集合S∩T中元素个数为．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是．12．（5分）已知a，b均为正整数，圆x2+y2﹣2ax+a2（1﹣b）=0与圆x2+y2﹣2y+1﹣a2b=0外切，则ab的最小值为．13．（5分）如图AB是圆O的直径，过B作圆O的切线交弦AD的延长线于点P，M为AD 上一点，且PB=PM=6，PD=4，连接BM并延长交圆O于点C，连接OC交AD于点N，则CN=．14．（5分）已知函数，若函数y=f（x）﹣kx+2恰有3个零点，则实数k的取值范围为．三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）某市为缓解交通压力，计划在某路段实施“交通限行”，为了解公众对该路段“交通限行”的态度，某机构从经过该路段的人员中随机抽查了40人进行调查，将调查情况进行整理，制成如表：年龄（岁）[15，30）[30，45）[45，60）[60，75）人数12 13 8 7赞成人数 5 7 x 3（Ⅰ）如果经过该路段人员对“交通限行”的赞成率为0.45，则x的值为；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若从年龄在[45，60），[60，75）两组赞成“交通限行”的人中再随机选取2人进行进一步的采访，记选中的2人至少有1人来自[60，75）年龄段为事件M，求事件M的概率．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知asinC=2csinB，b=2，．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求．17．（13分）如图四边形PDCE是正方形，四边形ABCD为直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，且平面PDCE⊥平面ABCD．（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（Ⅱ）求证：直线PC⊥平面ADE；（Ⅲ）若正方形PDCE边长为2a，AB=AD=a，求直线BE与平面PDCE所成角的余弦．18．（13分）己知数列{a n}前n项的和为S n，且满足S n﹣n=2（a n﹣2）（n∈N*）．（Ⅰ）证明数列{a n﹣1}为等比数列．（Ⅱ）若b n=a n•log2（a n﹣1），求数列{b n}的前n项和T n．19．（14分）已知椭圆的离心率为，其左顶点到上顶点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l是过椭圆右焦点F且斜率为k的直线，已知直线l交椭圆于M，N两点，若椭圆上存在一点P，满足，求当时，k的值．20．（14分）已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）已知f′（x）是f（x）的导函数，若∃x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）≤f′（x2）+3x2﹣2a，求实数a的取值范围．天津市十二区县重点学校2015届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．B．C．1﹣2i D．﹣1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解答：解：=，故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值是（）A．3B．4C．5D．6考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即看得到z的最小值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+3y得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（2，1），代入目标函数得z=2+3×1=5．即z=x+3y的最小值为5．故选：C．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．3．（5分）已知p：∀x＞0，总有（x+1）lnx＞1，则¬p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）lnx0≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）lnx0≤1C．∃x0＞0，总有（x0+1）lnx0≤1 D．∃x0≤0，总有（x0+1）lnx0≤1考点：的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称的否定是特称写出结果即可．解答：解：因为特称的否定是全称，所以p：∀x＞0，总有（x+1）lnx＞1，则¬p为∃x0＞0，使得（x0+1）lnx0≤1．故选：B．点评：本题考查的否定，特称与全称的否定关系，基本知识的考查．4．（5分）已知，，，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：判断三个数值的大小范围，即可推出结果．解答：解：∈（0，1），＞1，＜0，∴b＞a＞c．故选：C．点评：本题考查对数值以及指数大小比较，是基本知识的考查．5．（5分）将的图象上所有点向左平移后得到y=f（x）的图象，则y=f （x）在[﹣，0]上的最小值为（）A．﹣1 B．C．0D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由调价根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得f（x）=sin（2x+），再根据正弦函数的定义域和值域求得y=f（x）在[﹣，0]上的最小值．解答：解：将的图象上所有点向左平移后得到y=f（x）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）的图象．在[﹣，0]上，2x+∈[﹣，]，故当2x+=﹣时，f（x）取得最小值为﹣1，故选：A．点评：本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．6．（5分）已知抛物线y2=4x与双曲线的一条渐近线交于点M （M异于原点），且点M到抛物线焦点的距离等于3，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题设条件，利用抛物线的定义，确定M的坐标，再由双曲线的渐近线方程能求出=，从而能求出双曲线的离心率．解答：解：由题设知，抛物线y2=4x的准线方程x=﹣1，∵点M到抛物线焦点的距离为3，∴M到抛物线的准线的距离为3，∴M的横坐标为2，代入抛物线方程，解得y=±2，∴M（2，），∵抛物线y2=4x与双曲线的一条渐近线交于点M（M异于原点），∴=，∴e===．故选：D．点评：本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，涉及到抛物线、双曲线、渐近线等知识点．7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若a，b 均为不等于1的正实数，则a＞b是成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：先求出函数f（x）在R上的单调性，再结合对数函数的性质，从而判断出成立的充要条件，进而得到答案．解答：解：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，∴函数f（x）在R上单调递增，若，则f（）＞﹣f（﹣）=f（），则＞，则a＞b，故选：C．点评：本题考查了充分必要条件，考查了对数函数的性质，考查函数的单调性，本题是一道基础题．8．（5分）已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=2，CD=1，P为线段BC 上一个动点，设，则当取得最小值时λ的值是（）A．B．C．0D．1考点：向量在几何中的应用．专题：综合题；平面向量及应用．分析：由余弦定理可得4=AP2+DP2﹣2AP•DPcos∠APD=AP2+DP2﹣2，即=，利用基本不等式可得当最小时，点P是AD的中垂线和BC 的交点，即可得出结论．解答：解：∵=PD•PA cos∠APD，△PDA中，由余弦定理可得4=AP2+DP2﹣2AP•DPcos∠APD=AP2+DP2﹣2，∴=≥，当且仅当AP=DP时，等号成立．故当最小时，点P是AD的中垂线和BC的交点，∵，∴λ=故选：A．点评：本题考查余弦定理，基本不等式，考查学生分析解决问题的能力，正确运用余弦定理是解题的关键，属于中档题．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．（5分）设集合，T={2，4，6}，则集合S∩T中元素个数为2．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：先求出集合S中的元素，从而求出其交集的元素的个数．解答：解：集合={1，2，3，4，5}，T={2，4，6}，∴S∩T={2，4}，故答案为：2．点评：本题考查了集合的运算问题，求出集合S中的元素的个数是解题的关键．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体左边为一个四棱锥、右边为一个直三棱柱．即可得出．解答：解：由三视图可知：该几何体左边为一个四棱锥、右边为一个直三棱柱．∴该几何体的体积V=+=．故答案为：．点评：本题考查了三视图的有关知识、四棱锥与直三棱柱的体积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i的值，当i=4时，不满足条件i＜4，退出循环，输出s的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得s=0，i=1满足条件i＜4，s=，i=2满足条件i＜4，s=，i=3满足条件i＜4，s=，i=4不满足条件i＜4，退出循环，输出s的值为．故答案为：．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的s，i的值是解题的关键，属于基础题．12．（5分）已知a，b均为正整数，圆x2+y2﹣2ax+a2（1﹣b）=0与圆x2+y2﹣2y+1﹣a2b=0外切，则ab的最小值为．考点：基本不等式在最值问题中的应用；圆与圆的位置关系及其判定．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：通过圆的位置关系，推出ab关系，然后利用基本不等式求出最值即可．解答：解：圆x2+y2﹣2ax+a2（1﹣b）=0的圆心（a，0），半径：；圆x2+y2﹣2y+1﹣a2b=0的圆心（0，1），半径：；两个圆外切，可得a2+1=4a2b，可得ab==≥=，当且仅当a=1时等号成立．故答案为：．点评：本题考查圆的位置关系的应用，基本不等式的应用，考查计算能力．13．（5分）如图AB是圆O的直径，过B作圆O的切线交弦AD的延长线于点P，M为AD 上一点，且PB=PM=6，PD=4，连接BM并延长交圆O于点C，连接OC交AD于点N，则CN=．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：先证明∠MNC=90°，即OC⊥AD，再计算AB，AD，即可得出结论．解答：解：由题意，∠PBM=∠PMB=∠CMN，∠OCB=∠OBC，因为AB是圆O的直径，过B作圆O的切线交弦AD的延长线于点P，所以∠ABP=90°，所以∠MNC=90°，即OC⊥AD因为PB=PM=6，PD=4，所以62=4PA所以PA=9，所以AB=3，AD=5，所以ON==，所以CN==．故答案为：．点评：本题考查圆的切线的性质，考查切割线定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（5分）已知函数，若函数y=f（x）﹣kx+2恰有3个零点，则实数k的取值范围为{k|﹣3＜k≤0或k=e}．考点：分段函数的应用．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：作函数与函数y=kx﹣2的图象，结合图象写出实数k的取值范围．解答：解：作函数与函数y=kx﹣2的图象如下，结合图象可知，由l1与y=lnx相切，设切点为（x，lnx）；则=；解得，x=；故=e；=0，=﹣3；故实数k的取值范围为{k|﹣3＜k≤0或k=e}；故答案为：{k|﹣3＜k≤0或k=e}．点评：本题考查了函数的零点与函数的图象的关系应用，同时考查了导数的几何意义及数形结合的思想应用，属于中档题．三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）某市为缓解交通压力，计划在某路段实施“交通限行”，为了解公众对该路段“交通限行”的态度，某机构从经过该路段的人员中随机抽查了40人进行调查，将调查情况进行整理，制成如表：年龄（岁）[15，30）[30，45）[45，60）[60，75）人数12 13 8 7赞成人数 5 7 x 3（Ⅰ）如果经过该路段人员对“交通限行”的赞成率为0.45，则x的值为；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若从年龄在[45，60），[60，75）两组赞成“交通限行”的人中再随机选取2人进行进一步的采访，记选中的2人至少有1人来自[60，75）年龄段为事件M，求事件M的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）通过样本中的赞成率在求解即可．（2）设年龄在[45，60]的3位被调查者为A，B，C，年龄在[65，75]的3位被调查a，b，c，写出所有基本事件，事件M的个数，然后求解概率．解答：解：（1）经过该路段人员中赞成的人数为5+7+x+3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）因此，样本中的赞成率为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）解得x=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）设年龄在[45，60]的3位被调查者为A，B，C，年龄在[65，75]的3位被调查a，b，c，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）则从6位调查者中抽出2人包括：（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（a，C），（b，C），（b，A），（b，B），（b，C），（c，A），（c，B），（c，C），（A，B），（A，C），（B，C）共15个基本事件，且每个基本事件等可能．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）其中事件M包括（a，A），（a，B），（a，C），（b，A），（b，B），（b，C），（c，A），（c，B），（c，C），（a，b），（a，c），（b，c）共12个基本事件，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）根据古典概率模型公式得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）点评：本题考查古典概型概率公式的求法，基本知识的考查．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知asinC=2csinB，b=2，．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）通过正弦定理化简asinC=2csinB，推出a、b关系，求出a、b通过余弦定理求出c．（Ⅱ）在△ABC中，求出A的二倍角的增函数余弦函数值，利用两角差的余弦函数求解即可．解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，由asinC=2csinB得ac=2cb，∴a=2b，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又b=2，∴a=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵∴由a2=b2+c2﹣2bccosA得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴c2+c﹣12=0，又c＞0，∴c=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）在△ABC中，由得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）点评：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查计算能力．17．（13分）如图四边形PDCE是正方形，四边形ABCD为直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，且平面PDCE⊥平面ABCD．（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（Ⅱ）求证：直线PC⊥平面ADE；（Ⅲ）若正方形PDCE边长为2a，AB=AD=a，求直线BE与平面PDCE所成角的余弦．考点：直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）连接PC∩DE=O，连接MO，证明MO∥AC，利用直线与平面平行的判定定理证明AC∥平面MDE．（2）证明AD⊥DC，AD⊥PC，通过直线与平面垂直的判定定理证明直线PC⊥平面ADE．（3）取AD的中点N，连接BN，连接NE，说明∠BEN是直线BE与平面PDCE所成角，通过解三角形求解即可得到直线BE与平面PDCE所成角的余弦．解答：证明：（Ⅰ）连接PC∩DE=O，连接MO，因为四边形PDCE是正方形，所以O是PC的中点，M为PA中点，则MO∥AC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）又MO⊂平面MDE，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）AC⊄平面MDE，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以AC∥平面MDE．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）平面PDCE⊥平面ABCD，平面PDCE∩平面ABCD=CD．∠ADC=90°所以AD⊥DC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）所以AD⊥平面PDCE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）又PC⊂平面PDCE，所以AD⊥PC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）又正方形PDCE中PC⊥DE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）DE∩AD=D所以直线PC⊥平面ADE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（3）取AD的中点N，连接BN，则BN∥AD则BN⊥平面PDCE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）连接NE，则NE是BE在平面PDCE内的射影，所以∠BEN是直线BE与平面PDCE所成角﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）Rt△BCN中Rt△BCE中所以Rt△BEN中﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）直线BE与平面PDCE所成角的余弦为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）点评：本题考查直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，看空间想象能力以及计算能力．18．（13分）己知数列{a n}前n项的和为S n，且满足S n﹣n=2（a n﹣2）（n∈N*）．（Ⅰ）证明数列{a n﹣1}为等比数列．（Ⅱ）若b n=a n•log2（a n﹣1），求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）通过S n﹣n=2（a n﹣2）写出S n﹣1﹣（n﹣1）的表达式，推出a n=2a n﹣1﹣1，然后证明{a n﹣1}是等比数列．（II）求出通项公式，得到，利用错位相减法求解数列的和．解答：解：（Ⅰ）∵S n﹣n=2（a n﹣2）∴n≥2时S n﹣1﹣（n﹣1）=2（a n﹣1﹣2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）两式相减得a n﹣1=2a n﹣2a n﹣1∴a n=2a n﹣1﹣1∴a n﹣1=2（a n﹣1﹣1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）又由a1﹣1=2（a1﹣2）得a1=3，a1﹣1=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所以{a n﹣1}是以2为首项，2为公比的等比数列．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（II）由（Ⅰ），∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）又b n=a n•log2（a n﹣1）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴T n=（1×2+2×22+…+n•2n）+（1+2+…+n）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）设M n=1×2+2×22+…+n•2n则2M n=1×22+2×23+…+n•2n+1两式相减得﹣M n=2+22+…+2n﹣n•2n+1==﹣2+2n+1﹣n•2n+1∴M n=（n﹣1）•2n+1+2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）又1+2+…+n=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴T n=（n﹣1）•2n+1+2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）点评：本题考查数列求和，等比数列的判断，数列递推关系式的应用，考查分析问题解决问题的能力．19．（14分）已知椭圆的离心率为，其左顶点到上顶点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l是过椭圆右焦点F且斜率为k的直线，已知直线l交椭圆于M，N两点，若椭圆上存在一点P，满足，求当时，k的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用已知条件通过椭圆的几何量的关系求出a、b，即可求解椭圆方程．（Ⅱ）直线l的方程为y=k（x﹣1），设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，通过韦达定理，以及向量关系，即可求解k的值．解答：解：（Ⅰ）依题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以椭圆方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知F（1，0），所以直线l的方程为y=k（x﹣1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）设M（x1，y1），N（x2，y2），由（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴，y1+y2=k（x1+x2﹣2）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以==﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）由点P在椭圆上得，即…（1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）由得，即…（2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）由（1）（2）消去λ2得：，∴8k4+4k2=4k2+1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．20．（14分）已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）已知f′（x）是f（x）的导函数，若∃x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）≤f′（x2）+3x2﹣2a，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求出函数f（x）的导数，解方程f′（x）=0，从而得到函数的单调区间和极值；（2）问题转化为f（x）在[0，1]上最小值M与g（x）在[0，1]上最大值N满足M≤N，通过讨论a的范围，结合函数的单调性，从而得到答案．解答：解：（1）由已知，有f′（x）=3x2﹣3ax=3x（x﹣a），（a＞0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）令f′（x）=0，解得x=0或x=a．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，0）0 （0，a） a （a，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）单增Φ0 Γ单减单增Φ所以，f（x）的单调递增区间是（﹣∞，0），（a，+∞）；单调递减区间是（0，a）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）当x=0时，f（x）有极大值，且极大值f（0）=0；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）当x=a时，f（x）有极小值，且极小值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）法1：∃x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）≤f'（x2）+3x2﹣2a，等价于f（x）在[0，1]上最小值M与在[0，1]上最大值N满足M≤N．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）由函数y=f（x）的变化情况及y=g（x）在上单减，在上单增；（a）当0＜a＜1时，f（x）在[0，a]上为减函数，在[a，1]上为增函数，，由于当0＜a＜1时，g（x）在[0，1]上为增函数，N=g（1）=6﹣5a，由M≤N得，即a3﹣10a+12≥0，因为a3+10（1﹣a）+2＞0（或）所以M≤N对任意的0＜a＜1成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（也可以对ϕ（a）=a3﹣10a+12求导，判定ϕ（a）=a3﹣10a+12≥0在0＜a＜1上恒成立）（b）当1≤a＜3时，f（x）在[0，1]上为减函数，g（x）在[0，1]上先减后增，，N=g（0）=﹣2a或者N=g（1）=6﹣5a，由M≤N得，只需满足或者，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）（c）当a≥3时，，f（x），g（x）均在[0，1]上均为减函数，N=g（0）=﹣2a，由M≤N得，即a≤﹣2舍﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）由（a），（b），（c）得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）方法二：∃x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）≤f'（x2）+3x2﹣2a，等价于f（x）在[0，1]上最小值M与在[0，1]上最大值N满足M≤N．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）由函数y=f（x）的变化情况及y=g（x）在上单减，在上单增；（a）当0＜a＜1时，f（x）在[0，a]上为减函数，在[a，1]上为增函数，，由于当0＜a＜1时，g（x）在[0，1]上为增函数，N=g（1）=6﹣5a，由M≤N得，即a3﹣10a+12≥0，因为a3+10（1﹣a）+2＞0（或）所以M≤N对任意的0＜a＜1成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（也可对ϕ（a）=a3﹣10a+12求导，判定ϕ（a）=a3﹣10a+12≥0在0＜a＜1上恒成立）（b）当a≥1时，f（x）在[0，1]上为减函数，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）因为g（x）是开口向上的二次函数且对称轴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）所以N=g（0）=﹣2a或者N=g（1）=6﹣5a，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）由M≤N得，只需满足或者，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）由（a），（b）得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，考查分类讨论思想，本题有一定的难度．。

2017-2018届天津市南开区高三二模文科数学试卷及答案

南开区2017-2018-2018学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）数学试卷（文史类） 05本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第I 卷l 至2页，第II 卷3至9页．祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：l.答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科p 涂在答题卡上；2．每小题选出答案赢，翊铅笔把答题．f 上对应题翻的答案标号涂关．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3.本卷共8小题，每小题5分，共40分，参考公式：一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)i 是虚数单位，复数242(1)12ii i+---=（）．(A)0 (B)2 (C) -4i (D) 4i(2)如果实数x ，y 满足条件 101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x-y 的最大值为( )(A)2 (B)l(C) -2 (D) -3(3)如果执行右面的程序框图，那么输出的S=( )。

(A) 22 (B) 46(c) 94 (D)190 (4)设 0.3113211log 2,log ,()32a b c ===,则 ( ).(A)a<b<c (B)b<a<c (C)b<c<a (D)a<c<b(5)“1sin 2a =”是“1cos 22a =”的( )，(A)充分丽不必要条件 (B)必要两不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(6)下列函数既是奇函数，又在区间(-1，1)内是减函数的是( )． (A) ()f x x =- (B)()lg(1)lg(1)f x x x =--+ (C) ()22x x f x -=+ (D) 3()sin 2f x x x =--(7)已知函数 ()sin f x x ω=在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且在这个区间上的最大值为2，实数ω的一个值可以是( )．(A)23(B)43(C)83 (D)103(8)如图，在△ABC 中，2CM MB =，过点M 的直线分别交射线AB 、AC 于不同的两点P 、Q ，若,AP mAB AQ nAC ==，则mn+m 的最小值为( )．(A)(B) (C)6 (D)2第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题：2．本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分请将答案填在题中横线上．(9)不等式lx+l l-lx-3 l ≥2的解集是________． (10) 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为____．(l l)过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，则11AF BF+=_________.(12)若直线:220(0,0)l ax by a b -+=>>与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于B ，被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则 OA OB +（O 为坐标原点）的最小值为_________．(13)如右图，AB 是圆O 的切线，A 是切点，AD 与OE垂直，垂足是D ．割线EC 交圆D 于B ，C ，且62BDC ∠= ，108DBE ∠= ，则∠OEC=_______．(14)设函数[]()1210,1f x x x =--∈．函数()(())g x f f x ax =-有4个零点．则实数a 的取值范围是__________． (15)（本小题满分13分）“五一”小长假期间，某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0，l ，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中_等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖． (I)求中三等奖的概率：(II)求中奖的概率， (16)（本小题满分13分）已知△ABC 中，AB=4，AC=2，ABC S ∆=(I)求△ABC 外接圆面积； (II)求cos(2)3B π+的值．(17)（本小题满分913分）四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面PBC ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PB ，AD 的中点．已知45,2,ABC AB BC PA PB ∠===== (I)证明：EF ∥平面PCD; ( II)证明：PA ⊥BC:(III)求直线PD 与平面PAB 所成角的正弦值．(18)（本小题满分13分）若数列{}n a 满足点111(,)()n n n N a a *+∈在函数()2f x x n =+的图象上，且14a =． (I )求数列{}n a 的通项公式。

天津市南开中学2017届高三第五次月考数学文试题含答

天津市南开中学2017届高三第五次月考数学试题（文史类）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、复数z 满足：()(2)5z i i --=，则z =A ．22i --B ．22i -+C ．22i -D ．22i + 2、函数()21log f x x x=-+的一个零点所在区间为 A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 3、若0.30.33,log 3,log a b c e π===，则A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>4、若2223340a b c +-=，则直线0ax by c ++=被圆221x y +=所截得的弦长为 A ．23 B ．1 C ．12 D ．345、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为6、如图，12,F F 是椭圆2214:1x C y a+=与双曲线2C 的公共点，,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是A ．32 D7、设,,1,1x y R a b ∈>>，若3,x y a b a b ==+=11x y+ 最大值为A ．2B ．32 C ．1 D ．128、设()32log (f x x x =+，则对任意实数,,0a b a b +≥是()()0f a f b +≥的A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.. 9、已知全集,{|21},{|12}x U R A y y B x x ===+=-<，则()U C A B = 10、下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是11、设函数()y f x =在区间[]0,1上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有()01f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算由曲线()y f x =及直线0,1,0x x y ===所围成部分的面积S ，现产生两组（每组N 个）区间[]0,1上均匀随机数12,,,N x x x 和12,,,N y y y ，由此得到N 个点(,)(1,2,3,,)i i x y i N = ，再数出其中满足()(1,2,,)i i y f x i N ≤= 的点数N 1，那么由随机模拟方法可得S 的近似值为12、已知{}m a 是首项为的对边数列，n S 是它的前n 项和，且369S S =，则数列1{}na 的前5项的和为13、如图，在四边形ABCD 中，,3,4,AB BC AB BC ACD ⊥==∆是等边三角形，则AC BD ⋅的值为14、已知函数()2ln xf x a x x a =+-，对任意的12,[0,1]x x ∈，不等式12()()1f x f x a -≤-恒成立，则实数a 的取值范围为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，若()2,1,22Af b c ===，求a 的值.18、（本小题满分13分）某家具厂有方木料903m ，五合板6002m ，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.13m ，五合板22m ；生产每个书橱需要方木料0.23m 、五合板12m ，出售一张书桌可获利80元，出售一个书橱可获利润120元，怎样安排生产科获所得利润最大？最大利润为多少？17、（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11,2AC BC AA D ==是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥. （1）证明：1DC BC ⊥；（2）求二面角11A BD C --的大小.18、（本小题满分12分）椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为1F ，右焦点2F ，离心率12e =，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为8.（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相较于点Q ，试探究：在坐标平面内是否在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.已知数列{}n a 的前n 项和11()2(2n n n S a n -=--+为正整数）.（1）令2n n n b a =，证明数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）令121,n n n n n c a T c c c n+==+++ ，是否存在最小的正整数m ，使得对于n N +∈都有24n T m <-恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.20、已知函数()2ln ()f x x x ax a R =+-∈. （1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1(0,1]x ∈，证明：123()()ln 24f x f x -≥-+.。

2016~2017天津市南开区高三上期末数学试卷(文科)(解析版)

2016-2017学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,3,5S =，{}3,6T =，则)(U S T ð等于（）．A ．∅B ．{}4C ．{}2,4D ．{}2,4,6【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵{}1,3,5S =，{}3,6T =， ∴{}1,3,5,6S T = ，则{}2,()4U S T = ð，故选C ．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据补集，并集的定义是解决本题的关键．2．复数31i 1i --（i 是虚数单位）的虚部是（）．A ．iB ．1C ．i -D ．1-【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵321i 1i (1i)2ii 1i 1i (1i)(1i)2-++====---+， ∴复数31i 1i--的虚部是1．故选B ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．如果命题“)p q ⌝∧(”为假命题，则（）． A ．p 、q 均为真命题B ．p 、q 均为假命题C ．p 、q 至少有一个为真命题D ．p 、q 至多有一个为真命题【答案】A【考点】复合命题的真假．【分析】利用“或”“且”“非”命题的真假判断方法即可得出．【解答】解：∵命题“)p q ⌝∧(”为假命题， ∴命题“p q ∧”为真命题，∴命题p 、q 均为真命题．故选A ．【点评】本题考查了“或”“且”“非”命题的真假判断方法，属于基础题．4．在等差数列{}n a 中，若前10项的和1060S =，且77a =，则4a =（）．A ．4B ．4-C ．5D ．5-【答案】C【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知列关于首项和公差的方程组，求解方程组得到首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案．【解答】解：在等差数列{}n a 中， ∵1060S =，77a =，∴1110456067a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1323a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴41233353a a d =+=+⨯=．故选C ．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和，是基础的计算题．5．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）．A ．36πcm 5B ．33πcmC ．32πcm 3D ．37πcm 3【答案】D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，此几何体为底面半径为1cm 、高为3cm 的圆柱上部去掉一个半径为1cm 的半球，据此可计算出体积．【解答】解：由三视图可知，此几何体为底面半径为1cm 、高为3cm 的圆柱上部去掉一个半径为1cm 的半球，所以其体积为233227ππ3πππ(cm )333V r h r =-=-=．故选D ．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．6．从抛物线24y x =上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线的焦点为F ，则MPF △的面积为（）．A ．5B ．10C ．20D【答案】B【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设处P 点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P 点横坐标，代入抛物线方程求得P 的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：设00)(,P x y ，依题意可知抛物线准线1x =-， ∴0514x =-=，∴0||4y ，∴MPF △的面积为154102⨯⨯=，故选B ．【点评】本题主要考查了抛物线的应用．解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．7．如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（）．M C BADA ．43B ．53C ．158D ．2【答案】B【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出12AM AB AD =+ ，BD AD AB =-，带入AC AM BD λμ=+ 并进行向量的数乘运算便可得出()2AC AB AD λλμμ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，而AC AB AD =+ ，这样根据平面向量基本定理即可得出关于λ，μ的方程组，解出λ，μ便可得出λμ+的值．【解答】解：AC AB AD =+ ，12AM AB BM AB AD =+=+ ，BD AD AB =-；∴AC AM BD λμ=+1()2AB AD AD AB λμ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭()2AB AD λλμμ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭；∴由平面向量基本定理得：112λμλμ-=⎧⎪⎨+=⎪⎩；解得43λ=，13μ=； ∴53λμ+=．故选B ．【点评】考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理．8．已知函数()f x 的定义域为R ，且222,[0,1]()2,(1,0)x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，(1)(1)f x f x +=-，则方程21()x f x x +=在区间[]3,3-上的所有实根之和为（）．A ．0B ．2-C ．8-D ．8【答案】A【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】可判断函数()f x 的周期为2，从而化简可得1()2f x x -=，作函数()2f x -与1y x=在[]3,3-上的图象，从而结合图象解得．【解答】解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的周期为2，∵21()x f x x +=， ∴1()2f x x -=，∵222,[0,1]()2,(1,0)x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩， ∴22,[0,1]()2,(1,0)x x f x x x ⎧∈⎪-=⎨-∈-⎪⎩，作函数()2y f x =-与1y x=在[]3,3-上的图象如下，易知点A 与点C 关于原点对称，故方程21()x f x x+=在区间[]3,3-上的所有实根之和为0，故选：A ．【点评】本题考查了数形结合的思想应用及方程与函数的关系应用．二、填空题：本大题共6大题，每小题5分，共30分.9．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：每一组[13,14)；第二组[14,15)，，第五组[17,18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是__________．频率【答案】27【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．⨯+⨯，这是频率，【分析】根据频率分步直方图做出这组数据的成绩在[14,16)内的人数为500.16500.38频数和样本容量之间的关系．【解答】解：由频率分布直方图知，成绩在[14,16)内的⨯+⨯=（人）人数为500.16500.3827∴该班成绩良好的人数为27人．故答案为：27．【点评】解决此类问题的关键是准确掌握利用频率分布直方图进行分析并且运用公式进行正确运算．10．阅读下列程序框图，该程序输出的结果是__________．【答案】729【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出999S =⨯⨯的值．【解答】解：分析框图可得该程序的作用是计算并输出999S =⨯⨯的值． ∵999729S =⨯⨯=，故答案为：729．【点评】要判断程序的运行结果，我们要先根据已知判断程序的功能，构造出相应的数学模型，转化为一个数学问题．11．定义在R 上的奇函数()f x ，当(0,)x ∈+∞时，2()log f x x =，则不等式()1f x <-的解集是__________．【答案】1(,2)0,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【考点】对数函数的单调性与特殊点；奇函数．【分析】设0x <，则0x ->，代入解析式后，利用奇函数的关系式求出0x <时的解析式，再对x 分两种情况对不等式进行求解，注意代入对应的解析式，最后要把解集并在一起．【解答】解：设0x <，则0x ->， ∵当(0,)x ∈+∞时，2()log f x x =， ∴2()lo (g )f x x --=， ∵()f x 是奇函数，∴2()()log )(f x f x x =----=，①当(0,)x ∈+∞时，()1f x <-，即1222log 1log x <-=，解得102x <<， ②当(,0)x ∈-∞时，()1f x <-，即2log )(1x --<-，则222log )1log (x >=-，解得2x <-，综上，不等式的解集是1(,2)0,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ ．故答案为：1(,2)0,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【点评】本题考查了求定区间上的函数解析式，一般的做法是“求谁设谁”，即在那个区间上求解析式，x 就设在该区间内，再利用负号转化到已知的区间上，代入解析式进行化简，再利用奇函数的定义()f x ，再求出不等式的解集．12．曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为__________．【答案】43y x =-【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程．【解答】解：求导函数，可得3ln 4y x '=+，当1x =时，4y '=，∴曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为14(1)y x -=-，即43y x =-．故答案为：43y x =-．【点评】本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题．13．已知圆22:680C x y x -++=，若直线y kx =与圆C 相切，且切点在第四象限，则k =__________．【答案】【考点】圆的切线方程．【分析】求出圆心C 的坐标和圆的半径，根据直线与圆相切，1=，解得k = 【解答】解：∵圆22:680C x y x -++=的圆心为(3,0)，半径1r =， ∴当直线y kx =与圆C 相切时，点(3,0)C 到直线的距离等于1，1=，解之得k =， ∵切点在第四象限，∴当直线的斜率k =直线的斜率k =时，切点在第四象限．因此，k =故答案为：．【点评】本题给出直线与圆相切，在切点在第四象限的情况下求直线的斜率k ，着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．14．设函数ππ()sin()0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭，给出以下四个论断：①它的周期为π；②它的图象关于直线π12x =对称； ③它的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称；④在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，以其中两个论断为条件，另两个论断作结论，写出你认为正确的一个命题，条件__________结论__________．（注：填上你认为正确的一种答案即可）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】若①()f x 的周期为π，则函数()sin(2)f x x ϕ=+，若再由②，可得π3ϕ=，π()sin 23f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，显然能推出③④成立．【解答】解：若①()f x 的周期为π，则2ω=，函数()sin(2)f x x ϕ=+．若再由②()f x 的图象关于直线π12x =对称，则πsin 212ϕ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭取最值，又∵ππ22ϕ-<<，∴ππ2122ϕ⨯+=， ∴π3ϕ=．此时，π()sin 23f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，③④成立，故由①②可以推出 ③④成立．故答案为：①②，③④．另：①③⇒②④也正确．【点评】本题考查正弦函数的对称性，三角函数的周期性与求法，确定出函数的解析式，是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或验算过程．15．（13分）（2012•集美区校级模拟）在ABC △中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a cb aa b c+-=+，（Ⅰ）求角B 的大小．（Ⅱ）若ABC △sin 2sin C A =，求最小边长．【答案】见解析【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）把题设中的等式整理得即222ac c b a +=-，进而代入余弦定理求得cos B 的值，进而求得B ．（Ⅱ）根据B 为钝角可推断出b 为最长边，根据sin 2sin C A =，利用正弦定理可知2c a =，进而推断a为最小边，进而利用余弦定理求得a ．【解答】解：（Ⅰ）由a c b aa b c+-=+，整理得()()()a c c b a a b +=-+，即222ac c b a +=-，∴2221cos 222a cb ac B ac ac +-==-=-， ∵0πB <<，∴2π3B =．（Ⅱ）∵2π3B =， ∴最长边为b ， ∵sin 2sinC A =， ∴2c a =，∴a 2214222a a a a ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪⎝⎭，解得21a =， ∴1a =，即最小边长为1．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．正弦定理和余弦定理及其变形公式是解三角形问题中常用的公式，故应熟练记忆．16．（13分）（2016秋•南开区期末）电视台应某企业之约播放两套连续剧．其中，连续剧甲每次播放时间为80min ，广告时间为1min ，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40min ，广告时间为1min ，收视观众为20万．已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6min 广告，而电视台每周播放连续剧的时间不能超过320分钟．问两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收视率？【答案】见解析【考点】简单线性规划的应用．【分析】先设每周播放连续剧甲x 次，播放连续剧乙y 次，收视率为z ．写出约束条件与目标函数，欲求两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收视率，即求可行域中的最优解，在线性规划的解答题中建议使用直线平移法求出最优解，即将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z 与直线截距的关系，进而求出最优解．【解答】解：将所给信息用下表表示．则目标函数为6020z x y =+，约束条件为804032060x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥≥，作出可行域如图．作平行直线系320z y x =-+，由图可知，当直线过点A 时纵截距20z最大．解方程组80403206x y x y +=⎧⎨+=⎩，得点A 的坐标为(2,4)，max 6020200z x y =+=（万）．所以，电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率．【点评】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z 与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．属于基础题．17．（13分）（2016秋•南开区期末）如图所示，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，1DD ⊥平面ABCD ，2AB AD =，11AD A B =，60BAD ∠=︒．（Ⅰ）证明：BD ⊥平面11ADD A ．（Ⅱ）证明：1CC ∥平面1A BD ．（Ⅲ）若1DD AD =，求直线1CC 与平面11ADD A 所成角的正弦值．CBADA 1B 1D 1C 1【答案】见解析【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理和已知条件求得BD 和AD 的关系，进而求得222AD BD AB +=，推断出AD BD ⊥，依据1DD ⊥平面ABCD ，可知1DD BD ⊥，进而根据线面垂直的判定定理证明出BD ⊥平面11ADD A ．（Ⅱ）连接AC ，11AC ，设A C B D E = ，连接1EA ，根据四边形ABCD 是平行四边形，推断出12EC AC =，由棱台定义及1122AB AD A B ==知11AC EC ∥，且11AC EC =，进而推断出四边形11A ECC 是平行四边形，因此11CC EA ∥，最后利用线面平行的判定定理推断出1CC ∥平面1A BD ．（Ⅲ）直线1EA 与平面11ADD A 所成角=直线1CC 与平面11ADD A 所成角．【解答】（Ⅰ）证明：∵2AB AD =，60BAD ∠=︒，在ABD △中，由余弦定理得 22222cos603BD AD AB AD AB AD =+⋅︒=-，∴222AD BD AB +=， ∴AD BD ⊥，∵1DD ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ． ∴1DD BD ⊥，又1AD DD D = ， ∴BD ⊥平面11ADD A ．（Ⅱ）证明：连接AC ，11AC ，设AC BD E = ，连接1EA， ECBADA 1B 1D 1C 1∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴12EC AC =，由棱台定义及1122AB AD A B ==知 11AC EC ∥，且11AC EC =，∴四边形11A ECC 是平行四边形，因此11CC EA ∥，又∵1EA ⊂平面1A BD ，∴1CC ∥平面1A BD ．（Ⅲ）解：直线1EA 与平面11ADD A 所成角=直线1CC 与平面11ADD A 所成角， ∵BD ⊥平面11ADD A ，∴1A D 为1EA 在平面11ADD A 上的射影， ∴1EA D ∠是直线1EA 与平面11ADD A 所成角，∵1DD AD =，2AB AD =，1160AD A B M BAD =∠=︒，∴11A D AD =，DE，1A E ，∴1sin EA D ∠=， ∴直线1CC 与平面11ADD AC 1D 1B 1A 1DABC【点评】本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定，考查线面角．考查了学生对立体几何基础知识的掌握．18．（13分）（2016秋•南开区期末）在等差数列{}n a 中，首项11a =，数列{}n b 满足12na nb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且123164bb b =．（1）求数列{}n a 的通项公式．（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．【答案】见解析【考点】数列的求和．【分析】（1）由11a =，12n an b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且1231331231112264a a a a db b b +++⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭，可求得公差，即可求出n a ．（2）由（1）得12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2n n n n a b =，∴数列{}n n a b 的前n 项和n S 可用错位相减法求得．【解答】解：（1）设等差数列数列{}n a 的公差为d ， ∵11a =，12n an b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且1231331231112264a a a a db b b +++⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1336a d +=， ∴1d =，1(1)1n a n n =+-⨯=．（2）由（1）得12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2n n n n a b =，∴数列{}n n a b 的前n 项和n S231123122222n n n n nS --=+++++ ，234111*********n n n n n S +-=+++++ ， ∴231111111111221222222212n n n n n n n S ++⎛⎫- ⎪⎝⎭=++++-=-- ， ∴2222n n nn S =--．【点评】本题考查了等差数列的计算，及错位相减法求和，属于中档题．19．（14分）（2016秋•南开区期末）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>．（1）椭圆的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 是椭圆上的一点，且点A 到此两焦点的距离之和为4，求椭圆的方程．（2）求b 为何值时，过圆222x y t +=上一点M 处的切线交椭圆于1Q 、2Q 两点，且12OQ OQ ⊥．【答案】见解析【考点】椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知得24c e a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，由此能求出椭圆的方程．（2）过圆222x y t +=上一点M处切线方程为260x -=，令111(,)Q x y ，222(,)Q x y，则22226022x x y b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，化为225243620x x b -+-=，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出b 的值．【解答】解：（1）∵椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，椭圆上的一点A 到两焦点的距离之和为4，∴24c e a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2a =，b =∴椭圆的方程为22142x y +=．（2）过圆222x y t +=上一点M处切线方程为260x -=，令111(,)Q x y ，222(,)Q x y ，则22226022x x y b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，化为225243620x x b -+-=，由0∆>，得b >， 12245x x +=，2123625b x x -=，212121218426(15)8b y y x x x x -=++=-，由12OQ OQ ⊥，知12120x x y y +=，解得29b =，即3b =±，∵b >， ∴3b =．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．20．（14分）（2014•河北区一模）已知函数2()ln f x x ax x =+-，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间．（Ⅱ）当函数()f x 在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．（Ⅲ）令2()()g x f x x =-，是否存在实数a ，当e](0,x ∈（e 是自然对数的底数时，函数()g x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由2()l n f xx x x =+-，0x >，得(21)(1)()x x f x x -+'=，从而()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增；（Ⅱ）由221()x ax f x x+-'=，当函数()f x 在[1,2]上是减函数时，得(1)210f a '=+-≤①，(2)0f '≤得a 范围是7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）∵2()ln f x x ax x =+-，求出函数的导数，讨论0a ≤，10e a <<，1e a≥的情况，从而得出答案．【解答】解：（Ⅰ）1a =时，2()ln f x x x x =+-，0x >，∴(21)(1)()x x f x x-+'=，令()0f x '>，解得：12x >，1x <-（舍），令()0f x '<，解得：102x <<，∴()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增．（Ⅱ）∵221()x ax f x x+-'=，当函数()f x 在[1,2]上是减函数时，得(1)210f a '=+-≤①，(2)8210f a '=+-≤②，由①②得：72a -≤，∴a 的范围是7,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．（Ⅲ）∵2()ln f x x ax x =+-，∴2()()ln g x f x x ax x =-=-，e](0,x ∈． ∴11()(0e)ax g x a x x x-'=-=<<， ①当0a ≤时，()g x 在(0,e]上单调递减，min ()(e)e 13g x g a ==-=，解得4ea =（舍去）； ②当10e a <<时，()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ∴min 1()1ln 3g x g a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，解得2e a =，满足条件；③当1e a ≥时，()g x 在(0,e]上单调递减，min ()(e)e 13g x g a ==-=，解得4e a =（舍去）；综上，存在实数2e a =，使得当e](0,x ∈时，()g x 有最小值3．【点评】本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，考查分类讨论思想，是一道综合题．。

2017年高考文科数学天津卷及答案

数学试卷第1页（共14页）数学试卷第2页（共14页）绝密★启用前天津市2017年普通高等学校招生考试数学(文史类)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷参考公式：如果事件A ,B 互斥,那么()()()P AB P A P B =+.棱柱的体积公式V Sh =.其中S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高. 球的体积公式343V R π=.其中R 表示球的半径. 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}1,2,6A =,{}2,4B =，{}=1,2,4C ，则()C A B =( ) A .{}2B .{}1,2,34，C .{}1,246，，D .{}1,2,346，， 2.设x R ∈,则“20x -≥”是“11x -≤”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A .45 B .35 C .25D .154.阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入的值为19,则输出的值为( )A .0B .1C .2D .35.已知双曲线2222=1(0,)x y a b a b-＞＞0的右焦点为F ,点A 在双曲线的渐近线上,OAF△是边长为2的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为( )A .22=1412x y - B .22=1124x y - C .22=13x y - D .22=13y x - 6.已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221=(log ),=(log 4.1),=(2)5a fb fc f -,则a ,b ,c 的大小关系为( )A .a b c ＜＜B .b a c ＜＜C .c b a ＜＜D .c a b ＜＜7.设函数()=2sin()R f x x x ωϕ+∈,,其中0ωϕπ＞，＜.若5π()=28f ,11π()=08f ,且()f x 的最小正周期大于2π，则( )A .2π=,=312ωϕ B .211π=,=312ωϕ- C .111π=,=324ωϕ- D .17π=,=324ωϕ8.已知函数2,1,2, 1.()=x x x x x f x ++≥⎧⎨⎩＜设a R ∈,若关于x 的不等式在x()a 2f x ≥+上恒成立,则a的取值范围是( )A .[]2,2-B.⎡⎤-⎣⎦C.2,⎡-⎣D.⎡-⎣毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第3页（共14页）数学试卷第4页（共14页）第Ⅱ卷二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.已知R α∈,i 为虚数单位,若i2iα-+为实数,则a 的值为 .10.已知R α∈,设函数()=ln f x x x α-的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 .11.已知一个正方形的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .12.设抛物线2=4y x 的焦点为F ,准线为l .已知点C 在l 上,以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若120FAC ∠=,则圆的方程为 .13.若,a b R ∈,0ab ＞,则4441a b ab++的最小值为 .14.在ABC △中,60A ∠=,3AB =,2AC =.若=2BD BC uu u r uu u r ,AE AC AB λ=-uu u r uuu r uu u r(R λ∈),且=4AD AE ⋅-uuu r uu u r，则λ的值为 .三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知s i n =4s i na Ab B,222)ac a b c --.(I )求cos A 的值；(II )求sin(2)B A -的值.16.(本小题满分13分)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ,y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(I )用x ,y 列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域；(II )问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使收视人次最多？17.(本小题满分13分)如图,在四棱锥P ABCD -中,AD PDC ⊥平面,AD BC ∥,PD PB ⊥,=1AD ,3BC =,4CD =,2PD =.(I )求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； (II )求证：PD PBC ⊥平面；(III )求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.数学试卷第5页（共14页）数学试卷第6页（共14页）18.(本小题满分13分)已知{}n a 为等差数列,前n 项和为*n (N )S n ∈,{}n b 是首项为2的等比数列,且公比大于0,2312b b +=,3412b a a =-,114=11S b . (Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}2n n a b 的前n 项和*(N )n ∈.19.(本小题满分14分)设,R a b ∈，a 1≤.已知函数32()=63(4)b f x x x a a x ---+,()=()xg x e f x .(Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ)已知函数=()y g x 和=xy e 的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线，(i )求证：()f x 在0=x x 处的导数等于0；(ii )若关于x 的不等式()xg x e ≤在区间[]001,1x x -+上恒成立,求b 的取值范围.20.(本小题满分14分)已知椭圆()2222=10x y a b a b+＞＞的左焦点为(,0)F c -,右顶点为A ,点E 的坐标为(0,)c ,EFA △的面积为22b .(I )求椭圆的离心率； (II )设点Q 在线段AE 上,3=2FQ c ,延长线段FQ 与椭圆交于点P ,点M ,N 在x 轴上,PM QN ∥,且直线PM 与直线QN 间的距离为c ,四边形PQNM 的面积为3c .(i )求直线FP 的斜率； (ii )求椭圆的方程.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题-----------------无---------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________。

2017年数学真题及解析_2017年天津市高考数学试卷(文科)

2017年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C=（）A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，6}D．{1，2，3，4，6}2．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为（）A．0 B．1 C．2 D．35．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为．10．（5分）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为．11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．12．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为．13．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为．14．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．16．（13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．18．（13分）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．19．（14分）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g （x）=e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为．（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，|FQ|=c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N 在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程．2017年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C=（）A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，6}D．{1，2，3，4，6}【分析】由并集定义先求出A∪B，再由交集定义能求出（A∪B）∩C．【解答】解：∵集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，∴（A∪B）∩C={1，2，4，6}∩{1，2，3，4}={1，2，4}．故选：B．【点评】本题考查并集和交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集和交集定义的合理运用．2．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2，由|x﹣1|≤1得﹣1≤x﹣1≤1，得0≤x≤2．则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键．3．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出基本事件总数n==10，再求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m==4，由此能求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率．【解答】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，基本事件总数n==10，取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m==4，∴取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为p==．故选：C．【点评】本小题主要考查概率、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是基础题．4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．【解答】解：第一次N=19，不能被3整除，N=19﹣1=18≤3不成立，第二次N=18，18能被3整除，N==6，N=6≤3不成立，第三次N=6，能被3整除，N═=2≤3成立，输出N=2，故选：C．【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c=2，求解a，b，然后等到双曲线的方程．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），可得c=2，，即，，解得a=1，b=，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【分析】根据奇函数f（x）在R上是增函数，化简a、b、c，即可得出a，b，c 的大小．【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，∴a=﹣f（）=f（log25），b=f（log24.1），c=f（20.8），又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25，∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），即c＜b＜a．故选：C．【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题．7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=【分析】由题意求得，再由周期公式求得ω，最后由若f（）=2求得φ值．【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）=，得sin（φ+）=1．∴φ+=，k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴，φ=．故选：A．【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．C．D．【分析】根据题意，作出函数f（x）的图象，令g（x）=|+a|，分析g（x）的图象特点，将不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立转化为函数f（x）的图象在g （x）上的上方或相交的问题，分析可得f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得a 的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=的图象如图：令g（x）=|+a|，其图象与x轴相交与点（﹣2a，0），在区间（﹣∞，﹣2a）上为减函数，在（﹣2a，+∞）为增函数，若不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则函数f（x）的图象在g（x）上的上方或相交，则必有f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得﹣2≤a≤2，故选：A．【点评】本题考查分段函数的应用，关键是作出函数f（x）的图象，将函数的恒成立问题转化为图象的上下位置关系．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为﹣2．【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：a∈R，i为虚数单位，===﹣i由为实数，可得﹣=0，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题．10．（5分）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为1．【分析】求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程，推出l在y轴上的截距．【解答】解：函数f（x）=ax﹣lnx，可得f′（x）=a﹣，切线的斜率为：k=f′（1）=a﹣1，切点坐标（1，a），切线方程l为：y﹣a=（a﹣1）（x﹣1），l在y轴上的截距为：a+（a﹣1）（﹣1）=1．故答案为：1．【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为a，∵这个正方体的表面积为18，∴6a2=18，则a2=3，即a=，∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，即a=2R，即R=，则球的体积V=π•（）3=；故答案为：．【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键．12．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为（x+1）2+=1．【分析】根据题意可得F（﹣1，0），∠FAO=30°，OA==1，由此求得OA的值，可得圆心C的坐标以及圆的半径，从而求得圆C方程．【解答】解：设抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线l：x=﹣1，∵点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切与点A，∵∠FAC=120°，∴∠FAO=30°，∴OA===1，∴OA=，∴A（0，），如图所示：∴C（﹣1，），圆的半径为CA=1，故要求的圆的标准方程为，故答案为：（x+1）2+=1．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，抛物线的简单几何性质，属于中档题．13．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为4．【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．【方法二】将拆成+，利用柯西不等式求出最小值．【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．【解法二】a，b∈R，ab＞0，∴=+++≥4=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．14．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．【分析】（Ⅰ）由正弦定理得asinB=bsinA，结合asinA=4bsinB，得a=2b．再由，得，代入余弦定理的推论可求cosA的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，代入asinA=4bsinB，得sinB，进一步求得cosB．利用倍角公式求sin2B，cos2B，展开两角差的正弦可得sin（2B﹣A）的值．【解答】（Ⅰ）解：由，得asinB=bsinA，又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，两式作比得：，∴a=2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入asinA=4bsinB，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，，故．【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．16．（13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？【分析】（Ⅰ）直接由题意结合图表列关于x，y所满足得不等式组，化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面区域；（Ⅱ）写出总收视人次z=60x+25y．化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】（Ⅰ）解：由已知，x，y满足的数学关系式为，即．该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：（Ⅱ）解：设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25y．考虑z=60x+25y，将它变形为，这是斜率为，随z变化的一族平行直线．为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．又∵x，y满足约束条件，∴由图可知，当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．解方程组，得点M的坐标为（6，3）．∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．【点评】本题考查解得线性规划的应用，考查数学建模思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）由已知AD∥BC，从而∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，由此能求出异面直线AP与BC所成角的余弦值．（Ⅱ）由AD⊥平面PDC，得AD⊥PD，由BC∥AD，得PD⊥BC，再由PD⊥PB，得到PD⊥平面PBC．（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，由PD⊥平面PBC，得到∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角，由此能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．在Rt△PDA中，由已知，得，故．所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为．证明：（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．解：（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC﹣BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得．所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．【点评】本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，是中档题．18．（13分）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．通过b2+b3=12，求出q，得到．然后求出公差d，推出a n=3n﹣2．（Ⅱ）设数列{a2n b n}的前n项和为T n，利用错位相减法，转化求解数列{a2n b n}的前n项和即可．【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得，而b1=2，所以q2+q﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8．由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，{b n}的通项公式为．（Ⅱ）解：设数列{a2n b n}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，有，，上述两式相减，得=．得．所以，数列{a2n b n}的前n项和为（3n﹣4）2n+2+16．【点评】本题考查等差数列以及等比数列通项公式的求法，数列求和，考查转化思想以及计算能力．19．（14分）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g （x）=e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得f（x）的单调区间；（Ⅱ）（i）求出g（x）的导函数，由题意知，求解可得．得到f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）由（I）知x0=a．且f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0=a时，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e x在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．构造函数t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，利用导数求其值域可得b的范围．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f'（x）=3x2﹣12x ﹣3a（a﹣4）=3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），令f'（x）=0，解得x=a，或x=4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），单调递减区间为（a，4﹣a）；（Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）=e x（f（x）+f'（x）），由题意知，∴，解得．∴f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）解：∵g（x）≤e x，x∈[x0﹣1，x0+1]，由e x＞0，可得f（x）≤1．又∵f（x0）=1，f'（x0）=0，故x0为f（x）的极大值点，由（I）知x0=a．另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4﹣a，由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0=a时，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e x在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．令t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，∴t'（x）=6x2﹣12x，令t'（x）=0，解得x=2（舍去），或x=0．∵t（﹣1）=﹣7，t（1）=﹣3，t（0）=1，故t（x）的值域为[﹣7，1]．∴b的取值范围是[﹣7，1]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴题．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为．（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，|FQ|=c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N 在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程．【分析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．通过．转化求解椭圆的离心率．（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为．通过a=2c，可得直线AE的方程为，求解点Q的坐标为．利用|FQ|=，求出m，然后求解直线FP的斜率．（ii）求出椭圆方程的表达式，求出直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立通过，结合直线PM和QN都垂直于直线FP．结合四边形PQNM的面积为3c，求解c，然后求椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．由已知，可得．又由b2=a2﹣c2，可得2c2+ac﹣a2=0，即2e2+e﹣1=0．又因为0＜e＜1，解得．所以，椭圆的离心率为；（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为．由（Ⅰ）知a=2c，可得直线AE的方程为，即x+2y﹣2c=0，与直线FP 的方程联立，可解得，即点Q的坐标为．由已知|FQ|=，有，整理得3m2﹣4m=0，所以，即直线FP的斜率为．（ii）解：由a=2c，可得，故椭圆方程可以表示为．由（i）得直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立消去y，整理得7x2+6cx﹣13c2=0，解得（舍去），或x=c．因此可得点，进而可得，所以．由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP．因为QN⊥FP，所以，所以¡÷FQN的面积为，同理¡÷FPM的面积等于，由四边形PQNM的面积为3c，得，整理得c2=2c，又由c＞0，得c=2．所以，椭圆的方程为．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．。