云南省曲靖市高一下学期期中数学试卷
云南省曲靖市高一数学下学期期中试题
云南省曲靖市2016-2017学年高一数学下学期期中试题第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若点),4(a 在21x y =的图像上，则π6tan a的值为 （ ）A ．0B ．33 C ．1D ．32．下列函数中，周期为π，且在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上为减函数的是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin πx yB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos πx yC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22sin πx yD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22cos πx y3．下列四种变换方式，其中能将x y sin =的图象变为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42sin πx y 的图象的是（ ）①向左平移4π，再将横坐标缩短为原来的21； ②横坐标缩短为原来的21，再向左平移8π；③横坐标缩短为原来的21，再向左平移4π； ④向左平移8π，再将横坐标缩短为原来的21．A ．①和②B ．①和③C ．②和③D ．②和④4．已知点),(b a M 在直线02043=-+y x 上，则22b a +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．两直线21,l l 的方程分别为0cos 1=+-+b y x θ和0cos 1sin =-++a y x θθ（b a ,为实常数），θ为第三象限角，则两直线21,l l 的位置关系是（ ） A ．相交且垂直 B ．相交但不垂直 C ．平行 D ．不确定6．集合{}{}0),(,4),(2=+-=-==m y x y x N x y y x M ，若N M 的子集恰有4个，则m的取值范围是（ ）A ．(﹣22, 22)B ．[﹣2，22）C ．(﹣22, ﹣2]D ．[2，22）7．右图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m ，圆上最低点与地面距离为0.8m ，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ(0>θ)角到OB ，设B 点与地面距离为h ，则h 与θ的关系式为（ ） A ．θsin 8.46.5+=h B ．θcos 8.46.5+=hC ．)2cos(8.46.5πθ++=h D ．)2sin(8.46.5πθ-+=h8．如果圆222x y n += 至少覆盖曲线()()xf x x R nπ=∈的一个最高点和一个最低点，则正整数n 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 9．直线012=-+y nmx 在y 轴上的截距是1-，且它的倾斜角是直线0333=--y x 的倾斜角的2倍，则（ ）A ．2,3==n mB ．2,3-=-=n mC ．2,3-==n mD ．2,3=-=n m10．设D 为ABC ∆所在平面内一点，CD BC 3=，则（ ）A ．3431+-= B ．3431-= C ．3134+= D ．3134-=11．下列结论中错误的是（ ）A ．若20πα<<，则ααtan sin <B ．若α是第二象限角，则2α为第一象限或第三象限角 C ．若角α的终边过点)4,3(k k P （0≠k ），则54sin =αD ．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度12．设函数)(x f ，R x ∈满足x x f x f sin )()(+=-π，当π≤≤x 0时1)(=x f ，则⎪⎭⎫⎝⎛-613πf =（ ） A ．21 B ．21- C ．23D ．23-第II 卷（非选择题，共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．给出下列四个命题：①若b a =，则b a=； ②向量不可以比较大小；③若b a =，c b =，则c a =； ④b a b a =⇔=，b a//．其中正确的命题为___________．（填正确命题的序号）14．在空间直角坐标系中，已知点)1,2,1(A ，)0,1,1(B ，)0,2,0(C ，则以三点为顶点构成的三角形的形状是 ．15．设光线从点)2,2(-A 出发，经过x 轴反射后经过点)1,0(B ，则光线与x 轴的交点坐标为． 16．函数12cos 21log 13---=x x y 的定义域是 ．（用区间表示）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分） （Ⅰ）已知75sin 3cos 5cos 2sin 4=+-αααα，求ααcos sin ⋅的值；（Ⅱ）求170cos 110cos 10cos 10sin 212---的值．18．（本小题满分12分）已知ABC ∆的顶点坐标为)5,1(-A ，)1,2(--B ，)3,4(C ． （Ⅰ）求AB 边上的高线所在的直线方程； （Ⅱ）求ABC ∆的面积．19．（本小题满分12分）如下图为函数c x A y ++=)sin(ϕω（0>A ，0>ω，20πϕ<<）图像的一部分．（Ⅰ）求此函数的解析式；（Ⅱ）求此函数的单调增区间及对称中心．20．（本小题满分12分）已知圆0342:22=+-++y x y x C ．（Ⅰ）设不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线l 的方程；（Ⅱ）从圆C 外一点),(y x P 向圆C 引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，OP MP =，求点P 的轨迹方程．21．（本小题满分12分）已知圆C 过两点)3,3(-M ，)5,1(-N ，且圆心C 在直线022=--y x 上． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线l 过点)5,2(-且与圆C 有两个不同的交点A ，B ，若直线l 的斜率k 大于0，求k 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在直线l 使得弦AB 的垂直平分线过点)1,3(-P ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数b x x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 3)(πω（0>ω），且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为4π，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx 时，)(x f 的最大值为1．（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式； （Ⅱ）将函数)(x f 的图象向右平移12π个单位长度得到函数)(x g 的图象，若3)(3)(+≤-x g x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,0πx 上恒成立，求实数m 的取值范围．数学试卷答案一、选择题1.D2.C3.A4.B5.A6. D7. D8.B9.B 10.A 11.C 12. C 二、填空题13.②③ 14.等边三角形 15.)0,32(- 16.]3,65()6,0(ππ三、解答题 17.解：（Ⅰ）∵75tan 352tan 4sin 3cos 5cos 2sin 4=+-=+-αααααα，∴3tan =α．∴1031331tan tan cos sin cos sin cos sin 2222=+=+=+⋅=⋅αααααααα； （II）==1．18.解：（I）由题意可得，∴AB 边高线斜率k=61-， ∴AB 边上的高线的点斜式方程为)4(613--=-x y ， 化为一般式可得x+6y ﹣22=0；（II ）由（Ⅰ）知直线AB 的方程为y ﹣5=6（x+1），即6x ﹣y+11=0，∴C 到直线AB 的距离为d=，又∵|AB|==，∴三角形ABC 的面积S=19.11(42)3(42)12233223124=431633sin() 1.1639=3sin(12)1sin()=10164299119103==;3sin()144444416:4A c T T T y x y x ππωωπϕπππϕϕϕππππππππϕϕϕπ=+==-==-∴==∴=++∙++∴+<<⎛⎫∴+∈∴+=++ ⎪⎝⎭；；，，又，；（1）解由图可把（12,4）代人得 4，，又，，，，故（知2）令-；33243222,4,216423333243243333164164=,=,1.1643333k kk x k x k k k Z k k x k x k Z ππππππππ+≤+≤++≤≤+⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦+--∈得-故此函数的单调递增区间是-，令则故此函数的对称中心为（，） 20.解： （I ）∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零， 设直线方程x+y=a ，∵由圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4y+3=0，得：（x+1）2+（y ﹣2）2=2， ∴圆心坐标C （﹣1，2），半径r=，∴圆心C （﹣1，2）到切线的距离等于圆半径，即：∴a=﹣1或a=3，所求切线方程为：x+y+1=0或x+y ﹣3=0； （II ）∵切线PM 与半径CM 垂直， ∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2=|OP|2 ∴（x+1）2+（y ﹣2）2﹣2=x 2+y 2所以点P的轨迹方程为2x﹣4y+3=0．21.解：（I）MN的垂直平分线方程为：x﹣2y﹣1=0与2x﹣y﹣2=0联立解得圆心坐标为C（1，0）R2=|CM|2=（﹣3﹣1）2+（3﹣0）2=25∴圆C的标准方程为：（x﹣1）2+y2=25（II）设直线l的方程为：y﹣5=k（x+2）即kx﹣y+2k+5=0，设C到直线l的距离为d，则d=由题意：d＜5 即：8k2﹣15k＞0∴k＜0或k＞又因为k＞0∴k的取值范围是（，+∞）（III）设符合条件的直线l存在，则AB的垂直平分线方程为：y+1=﹣（x﹣3）即：x+ky+k ﹣3=0∵弦的垂直平分线过圆心（1，0）∴k﹣2=0 即k=2∵k=2＞故符合条件的直线存在，l的方程：x+2y﹣1=022.解：（I）∵函数f（x）=sin（ωx﹣）+b（ω＞0），且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为，∴=，可得：T=π，由=π，可得：ω=2，∴f（x）=sin（2x﹣）+b，∵当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，∴由于y=sinx在[﹣，]上单调递增，可得当2x﹣=，即x=时，函数f（x）取得最大值f（）=sin+b，∴sin+b=1，解得b=﹣，∴f（x）=sin（2x﹣）﹣（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到的图象的函数解析式为：g（x）=sin[2（x﹣）﹣]﹣=sin（2x﹣）﹣，∵当x∈[0，]时，可得：2x﹣∈[﹣，]，g（x）=sin（2x﹣）﹣∈[﹣2，1]，∴g（x）﹣3∈[﹣5，﹣2]，g（x）+3∈[1，4]，∵g（x）﹣3≤m≤g（x）+3在x∈[0，]上恒成立，∴m∈[﹣2，1]．。
2023-2024学年云南省曲靖市高一下学期期中考试数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年云南省曲靖市高一下册期中考试数学模拟试题一、单选题1．设()()i i 2i ,a b a b -=+∈R ，则（）A ．2a =，1b =B ．2a =，1b =-C ．2a =-，1b =-D ．2a =-，1b =【正确答案】A【分析】由复数乘法运算和复数的相等可直接求得结果.【详解】由()()i i 2i ,a b a b -=+∈R 得：1i 2i a b +=+，2a ∴=，1b =.故选：A.2．cos 20cos 40sin 20sin 40︒︒-︒︒等于（）A ．-2B ．-12C．2D ．12【正确答案】D【分析】利用余弦两角和公式求解即可.【详解】()1cos 20cos 40sin 20sin 40cos 20402︒︒-︒︒=︒+︒=.故选：D3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．若4A π=，6B π=，4a =，则b =（）A ．1B．C ．2D【正确答案】B【分析】利用正弦定理解三角形求解即可.【详解】在ABC 中，4A π=，6B π=，4a =，由正弦定理得：sin sin a bA B=，所以4sinsin 6sin sin4a B b A ππ===故选：B4．已知集合{}12M x x =-<，(){}ln 1N x y x ==+，则（）A ．N M ⊆B ．M N⊆C ．M N ⋂=∅D ．M N =R【正确答案】B【分析】化简集合，判断两个集合之间的关系即可得答案.【详解】由题可得{}13M x x =-<<，{}1N x x =>-，所以M N ⊆，且M N ，M N M =≠∅I ，R M N N =≠ .故选：B.5．已知角α的终边经过点()1,2P -，则()cos απ+的值为（）A B ．5-C D ．5-【正确答案】A【分析】先根据角α的终边，可求出cos α，再利用诱导公式化简求解出结果.【详解】由角α的终边经过点()1,2P -，利用三角函数的定义求出cos α==所以()cos cos 5παα+=-=，故选：A6．已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥ ，则实数k =A ．92-B ．0C ．3D ．152【正确答案】C【详解】试题分析：由题意得，23(23,6),(2,1)a b k c-=--=，因为(23)a b c -⊥ ，所以(23)4660a b c k -⋅=--=，解得3k =，故选C.向量的坐标运算.7．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()22f x f x +=-，且在区间[]2,0-上递增，则（）A ．()216log 63f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．()2166log 3f f f⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．()216log 63f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．()2166log3f ff ⎛⎫<< ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】由条件求出函数的周期，再根据函数的单调性结合条件即得.【详解】∵定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x -=，又()f x 满足()()22f x f x +=-，所以()()()()()42222f x f x f x f x f x +=++=--=-=，所以()f x 是周期为4的函数，又函数()f x 在区间[]2,0-上递增，所以()f x 在区间[]0,2上递减，所以()()62f f =，()2222161616log log 4log log 3333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为3223<，3223<，所以322222log 4log 3l 3g 202o ==>>>>，所以()()22log 3f f f <<，即()2166log 3f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.故选：B ．8．正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC AM BN λμ=+，则λμ+=（）A ．65B ．85C ．2D ．83【正确答案】B【分析】以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，由AC AM BN λμ=+转化为坐标的运算可得答案.【详解】以AB ，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：设正方形边长为1，则11,2AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ，1,12BN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，()1,1AC =u u u r．因为AC AM BN λμ=+ ，所以11,211,2λμλμ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得6525λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以85λμ+=．故选：B ．9．如图，在O 中，向量,,OB OC AO是（）A ．有相同起点的向量B ．共线向量C ．模相等的向量D ．相等向量【正确答案】C【分析】向量是既有大小又有方向的量，通过大小和方向两个方面逐一判断即可.【详解】解：,,OB OC AO起点并不全相同，故A 错误；,,OB OC AO的方向均不相同，也不相反，故BD 错误；||||||OB OC AO ===圆的半径，故C 正确，故选C ．本题考查向量的概念，是基础题.二、多选题10．已知()0,πθ∈，1sin cos 5θθ+=，则下列结论正确的是（）A ．12sin cos 25θθ=-B ．π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．7sin cos 5θθ-=-D ．4tan 3θ=-【正确答案】ABD【分析】对于AC ，利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可求得所求，从而得以判断；对于B ，结合选项A 中结论，判断得cos 0θ<，从而求得θ的取值范围，由此判断即可；对于D ，利用选项C 中的结论求得sin ,cos θθ，进而求得tan θ，据此解答即可.【详解】对于A ，因为1sin cos 5θθ+=，所以()2221sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 25θθθθθθθθ+=++=+=，所以12sin cos 25θθ=-，故A 正确；对于B ，由选项A 知12sin cos 025θθ=-<，因为()0,πθ∈，所以sin 0θ>，故cos 0θ<，所以ππ2θ<<，即π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，由选项B 可知，sin 0θ>，cos 0θ<，所以sin θcos θ0->，因为()2221249sin cos sin 2sin cos cos 122525θθθθθθ⎛⎫-=-+=-⨯-= ⎪⎝⎭，所以7sin cos 5θθ-=，故C 错误；对于D ，因为1sin cos 5θθ+=，7sin cos 5θθ-=，所以43sin 55θθ==-，故sin 4tan cos 3θθθ==-，故D 正确.故选：ABD.11．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b =3c =，30B =︒，则=a （）AB ．C ．D ．【正确答案】AB【分析】由正弦定理可得sin 2C =，根据C 的范围得出60C =︒或120C =︒.分类讨论，根据三角形的内角和定理得出A ，即可得出答案.【详解】由正弦定理sin sin b cB C=可得，13sin 2sin c B C b ⨯===因为c b >，0180C ︒<<︒，所以60C =︒或120C =︒.当60C =︒时，91800A A B =︒--=︒，此时有22212a b c =+=，所以a =；当120C =︒时，31800A A B B =︒--=︒=，所以a b ==综上所述，a =或a 故选：AB.12．已知函数())ln1f x x x =++.则下列说法正确的是（）A ．()1lg3lg 23f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的图象关于点()0,1对称C ．函数()f x 在定义域上单调递减D ．若实数a ，b 满足()()2f a f b +>，则0a b +>【正确答案】ABD【分析】利用函数解析式，求解可得()1lg3lg 23f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可判断A ，利用()()2f x f x -+=可判断B ，根据函数的奇偶性和复合函数的单调性可判断C ，根据函数的单调性和对称中心可判断D.【详解】对于A 选项，对任意的x ∈R 0x x x >+≥，所以函数())ln1f x x x =+++的定义域为R ，又因为()())()1]ln()1f x f x x x x x -+=+-++++22ln(1)22x x =+-+=，所以()()()1lg3lg lg3lg323f f f f ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B 选项，因为函数()f x 满足()()2f x f x -+=，故函数()f x 的图象关于点()0,1对称，故B 正确；对于C 选项，对于函数())lnh x x =，该函数的定义域为R ，()()))()22ln ln ln 10h x h x x x x x -+=++=+-=，即()()h x h x -=-，所以函数()h x 为奇函数，当0x ≥时，内层函数u x =为增函数，外层函数ln y u =为增函数，所以函数()h x 在[)0,∞+上为增函数，故函数()h x 在(],0-∞上也为增函数，因为函数()h x 在R 上连续，故函数()h x 在R 上为增函数，又因为函数1y x =+在R 上为增函数，故函数()f x 在R 上为增函数，故C 不正确；对于D 选项，因为实数a ，b 满足()()2f a f b +>，则()()()2f a f b f b >-=-，可得a b >-，即0a b +>，故D 正确.故选：ABD.三、填空题13．在ABC 中，若()()2sin sin sin sin sin A B A B C +-=，则A =__________．【正确答案】2π/90︒【分析】根据正弦定理边化角，整理化简即可得出222a b c =+，即可得出答案.【详解】由已知结合正弦定理边化角可得，()()2a b a b c +-=，即222a c b -=，所以有222a b c =+，所以π2A =.故答案为.π214．已知复数()()2232310i z m m m m =-+++-是纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数m 的值为__________．【正确答案】1【分析】根据纯虚数的概念，列出关系式，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，223203100m m m m ⎧-+=⎨+-≠⎩，解得1m =.故1.15．已知()2,1a =r ，(),2b k =- ，k ∈R ，a 与b 的夹角为θ．若θ为钝角，则k 的取值范围是__________．【正确答案】()(),44,1∞--⋃-【分析】由已知可得0a b ⋅<，且,a b 不共线.根据向量的坐标运算，列出不等式求解，即可得出答案.【详解】因为θ为钝角，所以cos 0θ<且cos 1θ≠-.所以有，cos 0a b a b θ⋅=< ，且,a b不共线.由0a b ⋅<，可得220k -<，所以1k <.由,a b不共线可得，()2210k ⨯--⨯≠，所以4k ≠-.所以，k 的取值范围是1k <且4k ≠-.故答案为.()(),44,1∞--⋃-16．拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在ABC 中，已知30ACB ∠=︒，且1=-AB ，现以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '，则A B C ''' 的面积最大值为______.【正确答案】3【分析】设ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，连接,A C B C ''，则90A CB ''∠=︒，由等边三角形的性质可求出,A C B C ''，从而可求出A B ''，在ABC 中，利用余弦定理结合基本不等式可得224a b +，从而可求出A B C ''' 的面积最大值【详解】设ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .连接,A C B C ''，则由题设得，90A CB ''∠=︒，因为以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '，所以2 233A C b b =⨯='，3B C a '=，所以A B =''在ABC 中，由余弦定理可得2222cos30a b ab c +-︒=即224a b +=-又222a b ab +222242a b a b +--+即224a b +（等号当a b ==，由题意可得A B C ''' 为等边三角形，故243A B C S A B ''''='=△四、解答题17．设a 是实数，复数112z i =+，()()2i 12i z a =+-（i 是虚数单位）．(1)若2z 在复平面内对应的点在第二象限，求a 的取值范围；(2)求12z z +的最小值．【正确答案】(1)2a <-【分析】（1）根据复数的几何意义，列出不等式组，求解即可得出答案；（2）由已知可得()12=312i z z a a ++-+，根据复数的模的公式化简，结合二次函数的性质，即可得出答案.【详解】（1）由已知可得，()()()2i 12i 212i z a a a =+-=++-.因为2z 在复平面内对应的点在第二象限，所以有20120a a +<⎧⎨->⎩，解得2a <-.（2）由已知可得，112i z =-，所以12z z +()12i 212i a a =-+++-()=312i a a +-+，所以，12z z +===≥所以，当1a =-时，12z z +18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c cos sin C c B =．(1)求角C ；(2)若b =，ABC 的面积为c ．【正确答案】(1)π3C =【分析】（1cos sin sin B C C B =，进而得tan C 得答案；（2）由面积公式得8ab =，进而根据题意得b =，a =.【详解】（1cos sin C c B =，cos sin sin B C C B =，因为()0,πB ∈，则sin 0B ≠，sin C C =，即tan C 因为()0,πC ∈，所以π3C =.（2）因为ABC 的面积为π3C =，所以1sin 2S ab C ab ==8ab =，因为b =，所以a =所以2222341cos 2162a b c c C ab +--===，解得c =所以c =19．已知向量a ，b ，若1a = ，2b = ，a 与b的夹角为60︒．(1)求2a b + ；(2)当λ为何值时，向量a b λ- 与向量3a b +互相垂直？【正确答案】(2)134【分析】（1）由已知可求得21a = ，24b = ，1a b ⋅= ，然后根据数量积的运算律即可求出22a b + 的值，开方即可得出答案；（2）由已知可得()()30a a b b λ⋅+=-，展开代入已知，即可得出答案.【详解】（1）由已知可得，221a a == ，224b b == ，1cos 121602a b a b ⋅=︒=⨯⨯= ，所以，()2222a b a b +=+ 2244144421a a b b =+⋅+=++⨯= ，所以，2a b +=.（2）由已知可得()()30a a b b λ⋅+=-，即()223130a a b b λλ+-⋅-= ，所以有31120λλ+--=，解得134λ=.20．已知函数()()()2571x f x a a a =-+⋅-是指数函数.(1)求实数a 的值；(2)已知()()()223g f x x x f =-+，[]1,2x ∈-，求()g x 的值域.【正确答案】(1)3a =(2)[]2,11【分析】（1）根据指数函数的定义可得出关于实数a 的等式与不等式，即可解得实数a 的值；（2）令()t f x =，1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出函数()223h t t t =-+在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，即可得出函数()g x 的值域.【详解】（1）解：由题意可得25711011a a a a ⎧-+=⎪->⎨⎪-≠⎩，解得3a =.（2）解：由（1）可得()2x f x =，因为[]1,2x ∈-，令()t f x =，1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()()222312h t t t t =-+=-+，则()()min 12g x h ==，()()max 411g x h ==，因此，函数()g x 的值域为[]2,11.21．已知函数()3sin 6f x x ωπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其中0ω>．(1)求ω的值；(2)当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的单调区间；(3)求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎣⎦上的值域．【正确答案】(1)2ω=(2)函数()f x 的单调减区间为ππ,46⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，单调增区间为ππ,64⎡⎤-⎢⎣⎦(3)3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用2ππT ω==求得ω.（2）根据三角函数单调区间的求法，求得()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间.（3）根据三角函数值域的求法，求得()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【详解】（1）由函数()f x 的最小正周期为π，0ω>，所以2ππT ω==，可得2ω=，（2）由（1）可知()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，有ππ222x -≤≤，2πππ2363x -≤-≤，当226πππ3x -≤-≤，可得ππ64x -≤≤，故当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的单调减区间为ππ,46⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，单调增区间为ππ,64⎡⎤-⎢⎣⎦．（3）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有02πx <≤，ππ5π2666x -≤-≤，可得1πsin 2126x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，有()332f x -≤≤，故函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．22．在ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知22sin sin 2sin c b c B a C c A a a ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，(1)求C 的大小；(2)若ABC2cos 22sin 1A B -+的值．【正确答案】(1)π3(2)16-【分析】（1）结合已知式子，利用余弦定理和三角恒等变换即可求出cos C ，从而求出C ；（2）利用余弦二倍角公式将2cos 22sin 1A B -+中cos2A 化为sin A ，再利用正弦定理将sin A 和sin B 化为a 、b ，利用三角形面积公式可求ab ，利用余弦定理可求22a b +，代入化简的式子即可计算；【详解】（1）在ABC 中，22sin sin 2sin c b c B a C c A a a ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，即222sin sin 2sin a c b c B C c A a+-⋅+⋅=⋅，由余弦定理得2cos sin sin 2sin ac B c B C c A a⋅+⋅=⋅，即sin 2cos sin 2sin B B C A +=，即()sin 2cos sin 2sin 2sin cos 2cos sin B B C B C B C B C +=+=+，即sin 2sin cos B B C =，在ABC 中，sin 0B ≠，则1cos 2C =，又∵()0,πC ∈，∴π3C =；（2）因为ABC S = 1sin 2ab C =4ab =，由正弦定理得2sin c R C==，∴3c =，则222cos 22sin 112sin 2sin 1A B A B -+=--+()2222sin sin A B =-+()22221222226a b a b R R ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由余弦定理得222222cos 94c a b ab C a b =+-⇒=+-⇒2213a b +=，∴26cos 22sin 11A B -=-+；。
云南省曲靖市高一下学期数学期中考试试卷
云南省曲靖市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2018 高一下·汪清期末) 下列各角中，与角 330°的终边相同的是（ ）A . 150°B . －390°C . 510°D . －150°2. （2 分） 函数的最小正周期是（）A. B. C. D.3. （2 分） (2016 高二上·黄石期中) 双曲线 为倒数，那么以 a，b，m 为边长的三角形是（ ）A . 锐角三角形 B . 钝角三角形 C . 直角三角形 D . 等腰三角形=1 和椭圆=1（a＞0，m＞b＞0）的离心率互4. （2 分） 已知 A.，则（）第 1 页 共 10 页B.C.D.5. （2 分） 已知向量 ＝（3，4）， ＝（2，－1），如果向量与 垂直，则实数 k 的值为（ ）A. B. C.2 D. 6. （2 分） 若将函数 重合，则 的最小值为（ ） A.1 B.2 C. D. 7. （2 分） 已知向量 满足 A.的图象向右平移 个单位长度后与函数的图象，且， 则向量 的夹角是（ ）B.C.D.第 2 页 共 10 页8. （2 分） (2018·河南模拟) 函数的图像与函数A . 有相同的对称轴但无相同的对称中心B . 有相同的对称中心但无相同的对称轴C . 既有相同的对称轴也有相同的对称中心D . 既无相同的对称中心也无相同的对称轴9. （2 分） (2018·山东模拟) 下列命题中，真命题是（ ）A.，使得B.C.D.是的充分不必要条件10.（2 分）(2018 高三上·贵阳月考) 在平面直角坐标系 若 ， ， 三点能构成三角形，则（ ）A. B. C. D.中，向量11. （2 分） 已知角 的终边过点，则（）A.或B.C.或第 3 页 共 10 页的图像（ ），，D.或12. （2 分） (2016 高二上·山东开学考) 已知 角是（ ）=2，=3，A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)= ，则向量 与向量 的夹13. （1 分） 已知函数， 则 f（﹣5）=________14. （ 1 分 ） (2019 高 三 上 · 城 关 期 中 ) 已 知 向 量，则的最大值为________.满足15. （1 分） (2018·南宁模拟) 已知向量 为________.，且 在 上的投影为 3，则 与 角16. （1 分） 函数 y=（acosx+bsinx）cosx 有最大值 2，最小值﹣1，则实数 a=________，b=________．三、 解答题 (共 6 题；共 47 分)17. （5 分） (2017 高一下·荔湾期末) 已知平面向量 ， 满足| |=1，| |=2．（1） 若 与 的夹角 θ=120°，求| + |的值；（2） 若（k + ）⊥（k ﹣ ），求实数 k 的值．18.（10 分）(2018 高一下·福州期末) 已知 ， ， 是不共线的三点，且.（1） 若，求证： ， ， 三点共线；第 4 页 共 10 页（2） 若 ， ， 三点共线，求证：.19. （10 分） (2017 高一上·如东月考) 某港口水的深度作.下面是某日水深的数据：是时间，单位： 的函数，记经长期观察，的曲线可以近似地看成函数的图象.一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为 或 以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）.（1） 求 与 满足的函数关系式；（2） 某船吃水程度（船底离水面的距离）为，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问它同一天内最多能在港内停留多少小时？（忽略进出港所需的时间）.20. （10 分） (2017 高二下·盘山开学考) 在△ABC 中，a、b 是方程 x2﹣2 =﹣1（1） 求角 C 的度数； （2） 求 c； （3） 求△ABC 的面积．+2=0 的两根，且 2cos（A+B）21. （2 分） (2019 高三上·北京月考) 函数 所示， 为图象的最高点， 、 为图象与 轴的交点，且在一个周期内的图象如图 为正三角形.（1） 求 的值及函数的值域；（2） 若，且，求的值.第 5 页 共 10 页22. （10 分） (2018 高三上·沧州期末) 已知函数为 ，将函数的图象向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，得到函数的最小正周期 的图象.（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为.若，，求面积的最大值.第 6 页 共 10 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 10 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 47 分)17-1、 17-2、18-1、18-2、 19-1、第 8 页 共 10 页19-2、20-1、 20-2、 20-3、21-1、第 9 页 共 10 页21-2、 22-1、第 10 页 共 10 页。
云南省曲靖市高一数学下学期期中试卷(含解析)
2016-2017学年云南省曲靖市高一（下）期中数学试卷一.选择题（本大题共12小题，每题5分共60分）1．sin15°cos15°的值是（）A．B．C．D．2．已知角α的终边过点P（1，2），则tan（）=（）A．B．﹣ C．3 D．﹣33．已知向量，的夹角为120°，且||=1，||=2，则•（﹣2）=（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．34．已知正方形ABCD的边长为1，则|﹣|=（）A．1 B．2 C．D．25．设向量的模为，则cos2α=（）A．B．C．D．6．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A．y=sinx+cosx B．y=cos4x﹣sin4xC．y=cos|x| D．y=7．如图，已知△ABC， =3， =， =，则=（）A．+B．+C．+D．+8．函数y=﹣xcosx的部分图象是（）A．B．C．D．9．若函数f（x）=cos（2x+θ）（0＜θ＜π）的图象关于（π，0）对称，则函数f（x）在[﹣，]上的最小值是（）A．﹣B．﹣1 C．﹣ D．﹣10．已知向量，的夹角为，||=1，||=，若=+， =﹣，则在上的投影是（）A．﹣B．C．﹣2 D．211．若直线xcosα+ysinα﹣1=0与圆（x﹣1）2+（y﹣sinα）2=相切，α为锐角，则斜率k=（）A．﹣B．C．﹣D．12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，在[0，+∞）上是增函数，若a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a二．填空题（本大题共4小题，每题5分共20分）13．已知，是两个不共线的非零向量，若2+k与k+共线，则k的值是．14．计算﹣= ．15．若函数y=sinx+cosx的图象向左平移φ＞0个单位后，所得图象关于y轴对称，则φ的最小值是．16．已知函数y=cos2x+2cos（x+），则y的取值范围是．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（cosφ，sinφ），其中0＜φ＜π．（Ⅰ）若•=，求sin2φ的值；（Ⅱ）若|+|=，求与的夹角θ．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，．（Ⅰ）求sin（α﹣β）的值；（Ⅱ）求α+2β的值．19．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x+α的最大值与最小值之和为﹣2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求使得函数f（x）≥0成立的x的集合．20．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），对于任意x ∈R满足f（﹣x）=f（x），且相邻两条对称轴间的距离为．（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数的单调减区间．21．已知f（x）=（1+）sin2x﹣2sin（x+）sin（x﹣）．（Ⅰ）若sinθ+cosθ=，其中，求f（θ）的值；（Ⅱ）当≤x时，求函数f（x）的值域．22．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜0）的图象上任意两点（x1，f（x1），（x2，f（x2）），且φ的终边过点（1，﹣），若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若对于任意的x∈[0，]，不等式mf（x）=2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年云南省曲靖市宣威九中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每题5分共60分）1．sin15°cos15°的值是（）A．B．C．D．【考点】GS：二倍角的正弦．【分析】根据二倍角的正弦公式将sin15°cos15°化为sin30°，再进行求值．【解答】解：sin15°cos15°=sin30°=，故选B．2．已知角α的终边过点P（1，2），则tan（）=（）A．B．﹣ C．3 D．﹣3【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】直接利用任意角的三角函数，求出tanα，根据二倍角求解即可．【解答】解：角α的终边为点P（1，2），即x=1，y=2，∴tanα=．tan（）==故选：A．3．已知向量，的夹角为120°，且||=1，||=2，则•（﹣2）=（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】将式子展开计算即可．【解答】解： =1， =4， =1×2×cos120°=﹣1，∴则•（﹣2）=﹣2=1﹣2×（﹣1）=3．故选D．4．已知正方形ABCD的边长为1，则|﹣|=（）A．1 B．2 C．D．2【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】作出图形，利用平面向量加法的三角形法及向量的模的几何意义即可求得|﹣|=||=，从而可得答案．【解答】解：正方形ABCD的边长为1，如图：则|﹣|=|+|=||=，故选：C．5．设向量的模为，则cos2α=（）A．B．C．D．【考点】GT：二倍角的余弦；93：向量的模．【分析】由向量的模为，可求出sinα的平方，代入cos2α=1﹣2sin2α可求出cos2α的值．【解答】解：∵向量的模为，∴+cos2α=，cos2α=，∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣，故选B．6．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A．y=sinx+cosx B．y=cos4x﹣sin4xC．y=cos|x| D．y=【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用三角函数的奇偶性和周期性，判断各个选项中的函数的奇偶性和周期性，从而得出结论．【解答】解：由于y=sinx+cosx=sin（x+），故它的最小正周期为2π，故排除A；由于y=cos4x﹣sin4x=（cos2x﹣sin2x）•（cos2x+sin2x）=cos2x，故它的最小正周期为π，且它是偶函数，故B满足条件；由于y=cos|x|=cosx，它的最小正周期为2π，故排除C；由于y==•tan2x，故该函数为奇函数，不满足条件，故排除D，故选：B．7．如图，已知△ABC， =3， =， =，则=（）A．+B．+C．+D．+【考点】9F：向量的线性运算性质及几何意义．【分析】利用三角形法则得出结论．【解答】解： ====．故选C．8．函数y=﹣xcosx的部分图象是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】由函数奇偶性的性质排除A，C，然后根据当x取无穷小的正数时，函数小于0得答案．【解答】解：函数y=﹣xcosx为奇函数，故排除A，C，又当x取无穷小的正数时，﹣x＜0，cosx→1，则﹣xcosx＜0，故选：D．9．若函数f（x）=cos（2x+θ）（0＜θ＜π）的图象关于（π，0）对称，则函数f（x）在[﹣，]上的最小值是（）A．﹣B．﹣1 C．﹣ D．﹣【考点】H7：余弦函数的图象．【分析】利用余弦函数的图象对称性，诱导公式，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在[﹣，]上的最小值．【解答】解：∵函数f（x）=cos（2x+θ）（0＜θ＜π）的图象关于（π，0）对称，故有f（π）=cos（2π+θ）=0，故有θ=kπ+，k∈Z，∴θ=，f（x）=﹣sin2x．在[﹣，]上，2x∈[﹣，]，故当2x=﹣时，f（x）取得最小值是﹣1，故选：B．10．已知向量，的夹角为，||=1，||=，若=+， =﹣，则在上的投影是（）A．﹣B．C．﹣2 D．2【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】依题意，可求得•=，•=（+）•（﹣）=﹣2，及||=1，于是可求在上的投影==﹣2．【解答】解：∵向量，的夹角为，||=1，||=，∴•=||||cos=1××=，又=+， =﹣，∴•=（+）•（﹣）=﹣=1﹣3=﹣2，又=﹣2•+=1﹣2×1××+3=1，∴||=1，∴在上的投影为==﹣2，故选：C．11．若直线xcosα+ysinα﹣1=0与圆（x﹣1）2+（y﹣sinα）2=相切，α为锐角，则斜率k=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】根据圆心到直线的距离等于半径即可求解．【解答】解：直线xcosα+ysinα﹣1=0，圆（x﹣1）2+（y﹣sinα）2=，可知圆心为（1，sinα）．半径r=．圆心到直线的距离d=．可得：cos2a﹣cosα±=0，∵α为锐角，∴cosα=．∴sin α=．那么斜率k==﹣．故选：A ．12．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，在[0，+∞）上是增函数，若a=f （sin ），b=f （cos），c=f （tan），则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a 【考点】3N ：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，由三角函数的诱导公式可得a=f （sin ）=f （﹣sin），b=f （﹣cos），结合函数的奇偶性可得a=f （sin），b=f （cos），结合三角函数的定义分析可得0＜cos ＜sin＜1＜tan，结合函数的奇偶性即可得答案．【解答】解：根据题意，sin =sin （2π﹣）=﹣sin ，则a=f （sin ）=f （﹣sin ），cos=cos （π﹣）=﹣cos，b=f （﹣cos），又由函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，则a=f （sin ）=f （﹣sin ）=f （sin ），b=f （﹣cos ）=f （cos ），又由＜＜，则有0＜cos ＜sin＜1＜tan， 又由函数在[0，+∞）上是增函数， 则有c ＞a ＞b ； 故选：B ．二．填空题（本大题共4小题，每题5分共20分）13．已知，是两个不共线的非零向量，若2+k 与k +共线，则k 的值是．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】2+k与k+共线，可得存在实数λ使得2+k=λ（k+），又，是两个不共线的非零向量，根据平面向量基本定理即可得出．【解答】解：∵2+k与k+共线，∴存在实数λ使得2+k=λ（k+），又，是两个不共线的非零向量，∴2=λk，k=λ，解得k=．故答案为：．14．计算﹣= ．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】将切化弦，通分，利用和与差公式换化角度相同，可得答案．【解答】解：由﹣====．故答案为：．15．若函数y=sinx+cosx的图象向左平移φ＞0个单位后，所得图象关于y轴对称，则φ的最小值是．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的最小值．【解答】解：把函数y=sinx+cosx=2sin（x+）的图象向左平移φ＞0个单位，所得的图象对应的函数的解析式为y=2sin（x++φ），再根据所得图象关于y轴对称，可得+φ=kπ+，k∈z，可得：φ=kπ+，k∈z，则m的最小值为，故答案为：．16．已知函数y=cos2x+2cos（x+），则y的取值范围是[﹣3，] ．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用二倍角，诱导公式化简，转化为二次函数即可求y的取值范围．【解答】解：函数y=cos2x+2cos（x+）=1﹣2sin2x﹣2sinx=1﹣2（sin2x+sinx+）+=﹣2（sinx+）2．当sinx=时，y可取得最大值为．当sinx=1时，y可取得最小值为sinx==﹣3．则y的取值范围是[﹣3，]．故答案为：[﹣3，]．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（cosφ，sinφ），其中0＜φ＜π．（Ⅰ）若•=，求sin2φ的值；（Ⅱ）若|+|=，求与的夹角θ．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】（I）=（cosφ+2，sinφ），=（cosφ，sinφ+2），利用•=，可得cosφ+sinφ=，两边平方即可得出．（II）由|+|=，可得=，化为：cosφ=，0＜φ＜π．解答φ．利用cosθ=，即可得出．【解答】解：（I）=（cosφ+2，sinφ），=（cosφ，sinφ+2），•=，∴cosφ（cosφ+2）+sinφ（sinφ+2）=，∴cosφ+sinφ=，两边平方可得：sin2φ=﹣．（II）∵|+|=，∴=，化为：cosφ=，∵0＜φ＜π．∴φ=．∴C．∴cosθ===﹣，∴θ=．即与的夹角为．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，．（Ⅰ）求sin（α﹣β）的值；（Ⅱ）求α+2β的值．【考点】GI：三角函数的化简求值；G9：任意角的三角函数的定义．【分析】（Ⅰ）由已知求出cosα，cosβ的值，再由平方关系求出sinα，sinβ的值，结合两角差的正弦求得sin（α﹣β）的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出sin（α+β）、cos（α+β）的值，利用拆角配角思想求得sin（α+2β），结合角的范围求得α+2β的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得，，∵α，β为锐角，∴sinα=，sinβ=．∴sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=﹣=；（Ⅱ）sin （α+β）=sin αcos β+cos αsin β=+=，cos （α+β）==．∴sin （α+2β）=sin[（α+β）+β]=sin （α+β）cos β+cos （α+β）sin β==．又0＜α+2β＜，∴α+2β=．19．已知函数f （x ）=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x+α的最大值与最小值之和为﹣2．（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）求使得函数f （x ）≥0成立的x 的集合．【考点】GL ：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin （ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质，求出f （x ）的最大值和最小值，可得a 的值，即得到f （x ）的解析式．（Ⅱ）函数f （x ）≥0，结合三角函数的图象和性质，求解即可． 【解答】解：函数f （x ）=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x+α．化简可得：f （x ）=cos2x+sin2x+cos2x++a=cos2x+sin2x+2+a=2sin （2x+）+2+a ．（Ⅰ）∵sin （2x+）的最大值为1，最小值为﹣1．∴4+2a=﹣2， 则 a=﹣3．∴函数f （x ）的解析式为f （x ）=2sin （2x+）﹣1．（Ⅱ）函数f （x ）≥0，即2sin （2x+）﹣1≥0．得：sin （2x+）．∴≤2x+≤．k∈Z．解得：kπ≤x≤，故得使得函数f（x）≥0成立的x的集合为{x|kπ≤x≤，k∈Z}．20．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），对于任意x ∈R满足f（﹣x）=f（x），且相邻两条对称轴间的距离为．（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数的单调减区间．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，相邻两条对称轴间的距离为．根据周期公式，可得ω，f（﹣x）=f（x），函数f（x）是偶函数，可得φ．即得f（x）的解析式；（Ⅱ）函数，将f（x）代入化简，求解函数y，结合三角函数的图象和性质，可得单调减区间．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），化简可得：f（x）=2sin（ωx+φ）（Ⅰ）∵f（﹣x）=f（x），即函数f（x）是偶函数．∴φ=，k∈Z．∵0＜φ＜π∴φ=．相邻两条对称轴间的距离为．即T=．∵T=．∴ω=2．故得f（x）=2f（x）=2sin（2x+）=2cos2x．（Ⅱ）函数，f（x）=2cos2x．∴y=2cos2x+2cos2（x+）=2cos2x﹣2sin2x=﹣2sin（2x﹣）令2x﹣，k∈Z．得：≤x≤∴函数y的单调减区间：[，]，k∈Z．21．已知f（x）=（1+）sin2x﹣2sin（x+）sin（x﹣）．（Ⅰ）若sinθ+cosθ=，其中，求f（θ）的值；（Ⅱ）当≤x时，求函数f（x）的值域．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）切化弦，利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，利用sinθ+cosθ=，其中，转化思想构造出f（θ），即可求解．（Ⅱ）当≤x时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即得到f（x）的值域．【解答】解：函数f（x）=（1+）sin2x﹣2sin（x+）sin（x﹣）．化简可得：f（x）=sin2x+2sin（x+）cos（x+）=sin2x+sinxcosx+sin2（x+）=cos2x+sin2x+cos2x═cos2x+sin2x+=sin（2x+）．（Ⅰ）∴f（θ）=sin（2θ+）．∵sinθ+cosθ=，其中，∴1+sin2θ=，即sin2θ=．∴cos2θ=．∴f（θ）=sin（2θ+）=（sin2θ+cos2θ）+=（Ⅱ）当≤x时，可得： 2x+≤．当2x+=时，f（x）取得最大值为=．当2x+=时，f（x）取得最大值为=0．故得当≤x时，函数f（x）的值域为[0，]．22．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜0）的图象上任意两点（x1，f（x1），（x2，f（x2）），且φ的终边过点（1，﹣），若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若对于任意的x∈[0，]，不等式mf（x）=2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．【考点】H2：正弦函数的图象；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由函数的图象经过定点求得φ，由函数的最大值和最小值求出ω，可得函数的解析式．（2）条件即等价于，利用正弦函数的定义域和值域求得函数1﹣的最大值，可得m的范围．【解答】解：（1）角φ的终边经过点，，∵，∴．由|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为，得，即，∴ω=3，∴．（2）当时，3x ﹣∈[﹣，]，sin （3x ﹣）∈[﹣，]，∴，于是，2+f （x ）＞0，即mf （x ）+2m ≥f （x ），等价于，由，得的最大值为，所以，实数m 的取值范围是．。
云南曲靖市数学高一下期中经典练习卷(提高培优)
一、选择题1．(0分)[ID ：12425]设曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（ ）A ．-4B ．14-C ．14D ．42．(0分)[ID ：12421]设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 3．(0分)[ID ：12407]下列命题正确的是（ ） A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面4．(0分)[ID ：12383]直线(2)4y k x =-+与曲线0x =有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．53(,]124B ．51(,]122C ．13(,]24D ．1[,)2+∞ 5．(0分)[ID ：12382]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为，则球O 的半径为( ) A ．3 B ．1 C ．2 D ．46．(0分)[ID ：12377]<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π7．(0分)[ID ：12376]设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//；②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③8．(0分)[ID ：12372]已知正四面体ABCD 中，M 为棱AD 的中点，设P 是BCM ∆（含边界）内的点，若点P 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，则符合条件的点P （ ）A ．仅有一个B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在9．(0分)[ID ：12331]矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ）A ．12512πB ．1259πC ．1256πD ．1253π 10．(0分)[ID ：12396]若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b11．(0分)[ID ：12395]正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（ ）A ．62+45B ．62+25C ．32+45D ．32+2512．(0分)[ID ：12347]若直线20ax y +-=和直线()2140x a y +-+=平行，则a 的值为（ ）A ．1-或2B ．1-C ．2D ．不存在13．(0分)[ID ：12339]某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A ．1763B ．1603C ．1283D ．3214．(0分)[ID ：12337]若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心 B ．相交但不过圆心 C ．相切 D ．相离15．(0分)[ID ：12360]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．64B ．643C ．16D ．163二、填空题16．(0分)[ID ：12493]设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，则球O 的表面积为____________.17．(0分)[ID ：12492]已知平面α与正方体的12条棱所成角相等，设所成角为θ，则sin θ=______.18．(0分)[ID ：12462]若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 .19．(0分)[ID ：12509]已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ∆是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为_______.20．(0分)[ID ：12464]如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .21．(0分)[ID ：12455]已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱1BB 的中点，则点1B 到平面ADE 的距离为__________.22．(0分)[ID ：12439]三棱锥A BCD -中，E 是AC 的中点，F 在AD 上，且2AF FD =，若三棱锥A BEF -的体积是2，则四棱锥B ECDF -的体积为_______________．23．(0分)[ID ：12436]如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD 内接于底面圆O ，则四棱锥P ABCD -侧面积为__________．24．(0分)[ID ：12494]已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的半焦距为c ，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线y 2=4cx 的准线被双曲线截得的弦长是2√23be 2（e 为双曲线的离心率），则e 的值为__________．25．(0分)[ID ：12429]已知点()1,0A -，()2,0B ，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得2229PA PB +=成立，则实数k 的取值范围是______.三、解答题26．(0分)[ID ：12627]已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)74l m x m y m +++--=0，（m ∈R ）．（1）证明：无论m 取何值，直线l 过定点；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最短时m 的值及最短弦长．27．(0分)[ID ：12626]如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，//AB CD ，且22,22CD AB BC ===，90ABC ∠=︒，M 为BC 的中点．（1）求证：平面PDM ⊥平面PAM ；（2）若二面角P DM A --为30，求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值． 28．(0分)[ID ：12585]如图，ABCD 是正方形，O 是该正方体的中心，P 是平面ABCD 外一点，PO ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点.（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）求证：BD ⊥平面PAC .29．(0分)[ID ：12611]已知过点()0,2P -的圆M 的圆心(),0a 在x 轴的非负半轴上，且圆M 截直线20x y +-=所得弦长为22（1）求M 的标准方程；（2）若过点()0,1Q 且斜率为k 的直线l 交圆M 于A 、B 两点，若PAB △的面积为33l 的方程．30．(0分)[ID ：12532]如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，A 1A 6，M 是CC 1的中点．(1)求证：A1B⊥AM；(2)求二面角B--AM--C的平面角的大小．.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．B3．C4．B5．C6．C7．B8．A9．C10．B11．A12．C13．B14．B15．D二、填空题16．【解析】【分析】利用条件两两垂直且把三棱锥扩展为正方体球的直径即是正方体的体对角线长由球的表面积公式求解【详解】先把三棱锥扩展为正方体则正方体的体对角线的长为所以球的半径为所以球的表面积为【点睛】本17．【解析】【分析】棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一设出棱长即可求出【详解】因为棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的条棱的夹角均为的平面设棱长为：易知故答案18．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r高为h底面积为S体积为V则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积19．【解析】【分析】如图所示根据外接球的球心O恰好是的中点将棱锥的高转化为点到面的距离再利用勾股定理求解【详解】如图所示：设球O的半径为R球心O到平面的距离为d由O是的中点得解得作平面ABC垂足为的外心20．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因21．【解析】【分析】点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于证得平面利用等面积法求得点到平面的距离也即点到平面的距离【详解】由于是的中点故点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于由于故平面在直角三角22．【解析】【分析】以B为顶点三棱锥与四棱锥等高计算体积只需找到三角形AEF与四边形ECDF的面积关系即可求解【详解】设B到平面ACD的距离为h三角形ACD面积为因为是的中点在上且所以所以又=2所以所以23．【解析】分析：设圆锥底面半径为则高为母线长为由圆锥侧面积为可得结合利用三角形面积公式可得结果详解：设圆锥底面半径为则高为母线长为因为圆锥侧面积为设正方形边长为则正四棱锥的斜高为正四棱锥的侧面积为故答24．62【解析】试题分析：由题意得抛物线的准线为x=-c它正好经过双曲线的左焦点所以准线被双曲线截得的弦长为2b2a所以2b2a=223be2即ba=23e2所以整理得2e4-9e2+1=0解得e=6225．【解析】【分析】先求出直线经过的定点设直线上的点坐标由可求得点的轨迹方程进而求得斜率的取值范围【详解】解：由题意得：直线因此直线经过定点；设点坐标为；化简得：因此点为与直线的交点所以应当满足圆心到直三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到函数在2x =时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值．【详解】 解：由31x y x +=-，得()()2213411x x y x x ---=---'=， ∴2'|4x y ==-， 又曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行， ∴4a -=-，即4a =．故选D ．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．2．B解析：B【解析】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内.【考点定位】点线面的位置关系3．C解析：C【解析】【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出.【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.4．B解析：B【解析】【分析】利用数形结合，作出图象，计算得直线1l 与直线2l 的斜率，即可得到结论.【详解】曲线可化简为()22(1)40x y x +-=≤，如图所示：直线()1:24l y k x =-+23221kk -=+，解得512k =， 直线()2:24l y k x =-+，此直线与曲线有两个交点，此时有12k =. 所以，过点()2,4的直线与该半圆有两个交点，数形结合，解得51122k <≤. 故选：B.【点睛】 本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键．5．C解析：C【解析】【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题．【详解】解：根据题意作出图形：设球心为O ，球的半径r ．SC OA ⊥，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和．2343123S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥， 2r ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．6．C解析：C【解析】【分析】先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得.【详解】三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC 是直角三角形，且2ABC π∠=，2223BC AC AB ∴=-=，又PA ⊥平面ABC ，且PAC 是直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC ==++2025==，5R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.故选：C【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.7．B解析：B【解析】【分析】【详解】①a∥α，a⊥b⇒b与α平行，相交或b⊂α，故①错误；②若a∥b，a⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得b⊥α，故②正确；③a⊥α，a⊥b⇒b与α平行，相交或b⊂α，故③错误；④若a⊥α，b⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a∥b，故④正确．故选B．8．A解析：A【解析】【分析】根据正四面体的对称性分析到平面ABC，平面ACD，平面ABD的距离相等的点的轨∆所在平面的公共部分即符合条件的点P.迹，与BCM【详解】在正四面体ABCD中，取正三角形BCD中心O，连接AO，根据正四面体的对称性，线段AO上任一点到平面ABC，平面ACD，平面ABD的距离相等，到平面ABC，平面ACD，平面ABD的距离相等的点都在AO所在直线上，AO与BCM∆所在平面相交且∆内部，所以符合题意的点P只有唯一一个.交于BCM故选：A【点睛】此题考查正四面体的几何特征，对称性，根据几何特征解决点到平面距离问题，考查空间想象能力.9．C解析：C【解析】【分析】由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解.【详解】因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且球的半径为AC长度的一半，即22115222r AC AB BC ==+=，所以334451253326V r πππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭.故选：C 【点睛】本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.10．B解析：B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.11．A解析：A 【解析】 【分析】利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可. 【详解】 作图如下:因为,E F 是棱1,AD DD 的中点, 所以11////EF AD BC ,因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B , 所以//EF 平面11BCC B ， 由线面平行的性质定理知,过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF , 结合图形知,l 即为直线1BC ,过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC , 因为正方体的棱长AB ＝4,所以1122,25,42EF BE C F BC ==== 所以所求截面的周长为2+5 故选:A 【点睛】本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.12．C解析：C 【解析】 【分析】直接根据直线平行公式得到答案. 【详解】直线20ax y +-=和直线()2140x a y +-+=平行，则()12a a -=，解得2a =或1a =-.当1a =-时，两直线重合，排除. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据直线平行求参数，意在考查学生的计算能力，多解是容易发生的错误.13．B解析：B 【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为4，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是32116042433-⨯⨯=，选B. 点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．14．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交． 【详解】根据题意，圆的参数方程为1232x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），则圆的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.直线的方程为2161x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即320y x --=，圆心不在直线上.∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为25d ==<，即直线与圆相交. 故选A. 【点睛】本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程.15．D解析：D 【解析】根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积1164433V =⨯⨯=，故选D.二、填空题16．【解析】【分析】利用条件两两垂直且把三棱锥扩展为正方体球的直径即是正方体的体对角线长由球的表面积公式求解【详解】先把三棱锥扩展为正方体则正方体的体对角线的长为所以球的半径为所以球的表面积为【点睛】本解析：3π【解析】 【分析】利用条件PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===把三棱锥P ABC -扩展为正方体，球的直径即是正方体的体对角线长，由球的表面积公式求解． 【详解】先把三棱锥P ABC -3,所以球的半径为3 所以球的表面积为234π3π2⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了球的体积公式：343V r π=球（其中r 为球的半径）及长方体的体对角线长公式：222l a b c =++,,a b c 分别是长方体的长、宽、高）．17．【解析】【分析】棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一设出棱长即可求出【详解】因为棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的条棱的夹角均为的平面设棱长为：易知故答案 3【解析】 【分析】棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一，设出棱长，即可求出sin θ. 【详解】因为棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面，1A AO θ∠=，设棱长为：1，126,22AO AO ==，易知232sin 6θ== 3【点睛】本题考查了线面所成的角，解题的关键是作出线面角，属于基础题.18．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r 高为h 底面积为S 体积为V 则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积 解析：2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，底面积为S ，体积为V ，则有2πr =2⇒r =1π，故底面面积S =πr 2=π×(1π)2=1π，故圆柱的体积V =Sh =1π×2=2π. 考点：圆柱的体积19．【解析】【分析】如图所示根据外接球的球心O 恰好是的中点将棱锥的高转化为点到面的距离再利用勾股定理求解【详解】如图所示：设球O 的半径为R 球心O 到平面的距离为d 由O 是的中点得解得作平面ABC 垂足为的外心解析：523π【解析】 【分析】如图所示，根据外接球的球心O 恰好是CD 的中点，将棱锥的高，转化为点到面的距离，再利用勾股定理求解. 【详解】 如图所示：设球O 的半径为R ，球心O 到平面ABC 的距离为d ， 由O 是CD 的中点得2213222322D ABC O ABC V V d --==⨯⨯⨯=， 解得3d =作1OO ⊥平面ABC ，垂足1O 为ABC ∆的外心， 所以1233CO =， 所以22223133)3R =+=⎝⎭，所以球O 的表面积为25243R ππ=. 故答案为：523π【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的体积，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20．【解析】中因为所以由余弦定理可得所以设则在中由余弦定理可得故在中由余弦定理可得所以过作直线的垂线垂足为设则即解得而的面积设与平面所成角为则点到平面的距离故四面体的体积设因为所以则（1）当时有故此时因 解析：12【解析】ABC ∆中，因为2,120AB BC ABC ==∠=，所以30BAD BCA ∠==.由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2222222cos12012=+-⨯⨯=，所以23AC =.设AD x =，则023t <<，23DC x =-.在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅22222cos30x x =+-⋅2234x x =-+.故2234BD x x =-+.在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.由余弦定理可得2222222(234)3cos 2222PD PB BD x x x BPD PD PB x +-+--+∠===⋅⋅⋅， 所以30BPD ∠=.过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d = 则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠， 2112342sin 3022x x d x -+=⋅， 解得2234d x x =-+.而BCD ∆的面积111sin (23)2sin 30(23)222S CD BC BCD x x =⋅∠=⋅=. 设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=. 故四面体PBCD 的体积211111sin (23)33332234BcD BcD BcD V S h S d S d x x x θ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯-+ 21(23)6234x x x x -=-+设22234(3)1t x x x =-+=-+023x ≤≤12t ≤≤.则x -=（1）当0x ≤≤时，有x x ==故x =此时，V =21414()66t t t t-=⋅=-. 214()(1)6V t t=--'，因为12t ≤≤，所以()0V t '<，函数()V t 在[1,2]上单调递减，故141()(1)(1)612V t V ≤=-=.（2x <≤x x =-=故x =此时，V =21414()66t t t t-=⋅=-. 由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V <=-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为12. 21．【解析】【分析】点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于证得平面利用等面积法求得点到平面的距离也即点到平面的距离【详解】由于是的中点故点到平面的距离等价于点到平面的距离过作交于由于故平面在直角三角【解析】 【分析】点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，证得BF ⊥平面ADE ，利用等面积法求得点B 到平面ADE 的距离，也即点1B 到平面ADE 的距离. 【详解】由于E 是1BB 的中点，故点1B 到平面ADE 的距离等价于点B 到平面ADE 的距离，过B 作BF AE ⊥，交AE 于F ，由于BF AD ⊥，AD AE E ⋂=，故BF ⊥平面ADE .在直角三角形ABE 中，151,,22AB BE AE ===，所以1122AB BE AE BF ⋅⋅=⋅⋅,解得55BF =.【点睛】本小题主要考查点到面的距离，考查等面积法求高，考查线面垂直的证明，属于基础题.22．【解析】【分析】以B 为顶点三棱锥与四棱锥等高计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解【详解】设B 到平面ACD 的距离为h 三角形ACD 面积为因为是的中点在上且所以所以又=2所以所以解析：【解析】 【分析】以B 为顶点，三棱锥B AEF -与四棱锥B ECDF -等高，计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解. 【详解】设B 到平面ACD 的距离为h ，三角形ACD 面积为S ，因为E 是AC 的中点，F 在AD上，且2AF FD =，所以16AEF ACD S AE AF S AC AD ∆∆⋅==⋅,16AEF S S ∆=，所以56ECDF S S =，又A BEF V -=2，所以⨯=11236Sh ，36Sh =，所以153610318B ECDF ECDF V S h -==⋅=. 故答案为10. 【点睛】本题考查空间几何体的体积计算，考查空间想象能力和运算能力，属于基础题.23．【解析】分析：设圆锥底面半径为则高为母线长为由圆锥侧面积为可得结合利用三角形面积公式可得结果详解：设圆锥底面半径为则高为母线长为因为圆锥侧面积为设正方形边长为则正四棱锥的斜高为正四棱锥的侧面积为故答解析：655. 【解析】分析：设圆锥底面半径为r ，则高为2r ，母线长为5r ， 由圆锥侧面积为π，可得255r =，结合2a r =，利用三角形面积公式可得结果. 详解：设圆锥底面半径为r ，则高为2h r =，母线长为5r ， 因为圆锥侧面积为π，5r r ππ∴⨯⨯=，255r =， 设正方形边长为a ，则2224,2a r a r ==，正四棱锥的斜高为()223242a h r +=，∴正四棱锥的侧面积为21365426225a r r ⨯⨯⨯==，故答案为655. 点睛：本题主要考查圆锥的性质、正四棱锥的性质，以及圆锥的侧面积、正四棱锥的侧面积，属于中档题，解答本题的关键是求得正四棱锥底面棱长与圆锥底面半径之间的关系.24．62【解析】试题分析：由题意得抛物线的准线为x=-c 它正好经过双曲线的左焦点所以准线被双曲线截得的弦长为2b2a 所以2b2a=223be2即ba=23e2所以整理得2e4-9e2+1=0解得e=62 解析：√62【解析】试题分析：由题意，得抛物线的准线为x =−c ，它正好经过双曲线的左焦点，所以准线被双曲线截得的弦长为2b 2a，所以2b 2a=2√23be 2，即ba=√23e 2，所以，整理，得2e 4−9e 2+1=0，解得e =√62或e =√3．又过焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，所以e =√62． 考点：1、抛物线与双曲线的几何性质；2、直线与双曲线的位置关系．【方法点睛】关于双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中a,b,c 的关系式，求值问题就是建立关于a,b,c 的等式，求取值范围问题就是建立关于a,b,c 的不等式．25．【解析】【分析】先求出直线经过的定点设直线上的点坐标由可求得点的轨迹方程进而求得斜率的取值范围【详解】解：由题意得：直线因此直线经过定点；设点坐标为；化简得：因此点为与直线的交点所以应当满足圆心到直解析：,1515⎡-⎢⎣⎦【解析】 【分析】先求出直线l 经过的定点，设直线上的p 点坐标，由2229PA PB +=可求得点P 的轨迹方程，进而求得斜率k 的取值范围． 【详解】解：由题意得：直线:(5)l y k x =-， 因此直线l 经过定点(5,0)；设点P 坐标为0(x ，0)y ；2229PA PB +=，∴22220000(1)22(2)9y x y x +++++=化简得：2200020x y x +-=，因此点p 为2220x y x +-=与直线:(5)l y k x =-的交点．所以应当满足圆心(1,0)到直线的距离小于等于半径∴1解得：[k ∈故答案为[k ∈ 【点睛】本题考查了求轨迹方程，一次函数的性质，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．三、解答题 26．（1）证明见解析；（2）34m =-， 【解析】 【分析】（1）直线方程可化为()2740x y m x y +-++-=，令27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解方程组可求出定点坐标；（2）当圆心与定点所在直线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，求解即可. 【详解】（1）证明：直线:(21)(1)74l m x m y m +++--=0可化为()2740x y m x y +-++-=，令27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得3,1x y ==，所以直线l 过定点()3,1.（2）直线l 过定点()3,1A ，22(31)(12)525-+-=<，故点()3,1A 在圆的内部，直线l与圆C 相交，圆C 的圆心为()1,2，半径为5，AC ==当l AC ⊥时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，211132AC k -==--，直线l 的斜率为2，即2121m m +-=+，解得34m =-，此时弦长为=故当34m =-时，直线l 被圆C 截得的弦长最短为 【点睛】本题考查了动直线过定点问题，考查了圆的弦长，考查了学生的计算能力，属于中档题.27．（1）详见解析；（2）30． 【解析】 【分析】（1）在直角梯形ABCD 中，由条件可得222AD AM DM =+，即DM AM ⊥．再由PA ⊥面ABCD ，得DM PA ⊥，利用线面垂直的判定可得DM ⊥平面PAM ，进一步得到平面PDM ⊥平面PAM ；（2）由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角为30，求得tan301PA AM =⋅︒=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出PC 的坐标及平面PDM 的一个法向量，由PC 与n 所成角的余弦值可得直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值． 【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，由已知可得，1,2,2AB CD BM CM ====可得223,6AM DM ==，过A 作AE CD ⊥，垂足为E ，则1,22DE AE ==29AD =， 则222AD AM DM =+，∴DM AM ⊥． ∵PA ⊥面ABCD ， ∴DM PA ⊥， 又PAAM A =，∴DM ⊥平面PAM ，∵DM ⊂平面PDM ， ∴平面PDM ⊥平面PAM ；（2）解：由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角为30，则tan301PA AM =⋅︒=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,1P ，(22,1,0)D -，(22,1,0)C ，(2,1,0)M ，(22,1,1),(22,1,1),(2,1,1)PC PD PM =-=--=-．设平面PDM 的一个法向量为(,,)n x y z =，由22020n PD x y z n PM x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1x =，得2321,,22n ⎛= ⎝⎭．∴直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值为：||230|cos ,|30||||106PC n PC n PC n ⋅<>===⋅⋅．【点睛】向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法.28．证明见解析． 【解析】试题分析：（1）要证PA 与平面EBD 平行，而过PA 的平面PAC 与平面EBD 的交线为EO ，因此只要证//PA EO 即可，这可由中位线定理得证；（2）要证BD 垂直于平面PAC ，就是要证BD 与平面PAC 内两条相交直线垂直，正方形中对角线BD 与AC 是垂直的，因此只要再证BD PO ⊥，这由线面垂直的性质或定义可得． 试题解析：证明：（1）连接EO ，∵四边形ABCD 为正方形， ∴O 为AC 的中点，∵E 是PC 的中点，∴OE 是APC ∆的中位线.∴//EO PA ，∵EO ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， ∴//PA 平面BDE .（2）∵PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PO BD ⊥，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AC BD ⊥，∵PO AC O ⋂=，AC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ， ∴BD ⊥平面PAC .考点：线面平行与线面垂直的判断．29．（1）224x y +=；（2）1y =. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得圆M 的方程为()2224x a y a -+=+，求出圆心到直线20x y +-=的距离，结合M 截直线20x y +-=所得弦长为22利用勾股定理列方程可得a 的值，代入圆M 的方程即可得结果；（2）设直线l 的方程为1y kx =+，结合直线与圆的位置关系可得AB 的值，求出点P 到直线AB 的距离，由三角形面积公式可得。
云南省曲靖市麒麟高级中学高一数学下学期期中试题
云南省曲靖市麒麟高级中学2016-2017学年高一数学下学期期中试题考试时间：120分钟；一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合M={x|x2-3x＜0}，N={x|1≤x≤4}，则M∩N=（）A.[1，3）B.（1，3）C.（0，3]D.（-∞，-5]∪[6，+∞）2.在△ABC中，a=2，c=2，A=60°，则C=（）A.30°B.45°C.45°或135°D.60°3.在等比数列{a n}中，a2=2，a5=16，记{a n}的前n项和为S n，则S10=（）A.1024B.1023C.2048D.20464.在等比数列{a n}中，a1，a4是方程x2-2x-3=0的两根，则a2•a3=（）A.2B.-2C.3D.-35.设=（1，x），=（2，x-3），若当x=m时，∥，当x=n时，⊥．则m+n=（）A.-2B.-1C.0D.-2或-16.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且，则∠C=（）A. B. C. D.7.已知△ABC中，A：B：C=1：1：4，则a：b：c等于（）A.1：1：B.2：2：C.1：1：2D.1：1：48.已知为非零不共线向量，向量与共线，则k=（）A. B. C. D.89.数列1，，，…，的前n项和为，则正整数n的值为（）A.6B.8C.9D.1010.设a、b、c＞0，若（a+b+c）（+）≥k恒成立，则k的最大值是（）A.1B.2C.3D.411.在△ABC中，边a、b、c所对角分别为A、B、C，且，则△ABC的形状为（）A.等边三角形B.有一个角为30°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一个角为30°的等腰三角形12.已知数列{a n}满足，S n是数列{a n}的前n项和，若S2017+m=1010，且a1•m＞0，则的最小值为（）A.2B.C.D.二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8= ______ ．14.不等式的解集是 ______ ．15.已知向量=（3，-2），=（x，y-1），且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是 ______ ．16.△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为BC边上一动点，则的最小值为____________．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.已知在等差数列{a n}中，a2=4，a5+a6=15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2+n，求b1+b2+…+b10．18.已知数列{a n}中，，其前n项和为S n，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令，求数列{b n}的前n项和为T n．19.数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n∈N*），等差数列{b n}满足b3=3，b5=9．（1）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=（n∈N*），求{c n}的前n项和为T n．20.已知不等式ax2+3x-2＜0的解集为{x|x＜1或x＞b}．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）解不等式ax2+（b-ac）x-bc＞0．21.设数列{a n}的n项和为S n，若对任意∈N*，都有．S n=3a n-5n（1）求数列{a n}的首项；（2）求证：数列{a n+5}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（3）数列{b n}满足b n=，问是否存m在，使得b n＜m恒成立？如果存在，求出m的值，如果不存在，说明理由．22.已知向量=（cosx，-1），=（sinx，-），设函数f（x）=（+）•．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知a，b，c分别为三角形ABC的内角对应的三边长，A为锐角，a=1，c=，且f（A）恰是函数f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和三角形ABC的面积．高一年级春季学期期中测试卷答案和解析【答案】1.A2.B3.B4.D5.D6.C7.A8.C9.B 10.D 11.C 12.A13.1014.15.816.17.解：（1）∵由题意可知，解得a1=3，d=1，∴a n=n+2；（2）∵∴．18.解：（1）数列{a n}中，∵，∴数列{a n}是公差d=2，首项a1=4-2=2的等差数列，∴a n=2n．（2）由（1）知，∴==，∴T n=（1-）+（）+…+（）=1-=．19.解：（1）由a n+1=2S n+1，①得a n=2S n-1+1（n≥2），②①-②得a n+1-a n=2（S n-S n-1）=2a n，∴a n+1=3a n，即=3，又当n=1时，=3也符合上式，∴a n=3n-1．由数列{b n}为等差数列，b3=3，b5=9，设{b n}公差为d，∴b5-b3=9-3=2d，∴d=3，∴b n=3n-6．（2）由（1）知：a n+2=3n+1，b n+2=3n，∴c n===．∴{c n}的前n项和为T n=+…+，∴=++…++，∴=+…+-=-=，∴T n=-．20.解：（Ⅰ）因为不等式ax2+3x-2＜0的解集为{x|x＜1或x＞b}所以ax2+3x-2=0的根为1，b．x=1时，a+3-2=0，a=-1；所以-x2+3x-2=0，所以x2-3x+2=0，（x-1）（x-2）=0，所以x=1，2，所以b=2综上知a=-1，b=2；（Ⅱ）不等式为-x2+（c+2）x-2c＞0，即x2-（c+2）x+2c＜0，即（x-c）（x-2）＜0，当c＞2时，不等式的解集为{x|2＜x＜c}，当c=2时，（x-2）2＜0，不等式的解集为φ，当c＜2时，不等式的解集为{x|c＜x＜2}21.解：（1）∵a1=3a1-5∴a1=（2）∵S n=3a n-5n∴S n-1=3a n-1-5（n-1）n≥2）∴a n=a n-1+∴a n+5=a n-1+=（a n-1+5）∴=（为常数）（n≥2）∴数列{a n+5}是以为公比的等比数列∴a n=•（）n-1-5（3）∵b n=∴b n=∴===-1==∴当n≥3时，＜1；n=2时，＞1∴当n=2时，b n有最大值b2=∴（b n）max=∴m＞=22.解：（1）函数f（x）=（+）•=（cosx+sinx，-）•（cosx，-1）=（sinx+cosx）•cosx+=sin2x++=sin（2x+）+2，故函数f（x）的最小正周期为=π．（2）∵a，b，c分别为三角形ABC的内角对应的三边长，A为锐角，a=1，c=，且f（A）恰是函数f（x）在[0，]上的最大值，∴f（A）=sin（2A+）+2=3，∴A=．由正弦定理可得=，∴sin C=，∴C=或C=．当C=时，B=，由正弦定理可得=，b=2，三角形ABC的面积为ac=．当C=时，B=A=，b=a=1，三角形ABC的面积为ab•sin C=×1×1×=．【解析】1. 解：因为集合M={x|x2-3x＜0}={x|0＜x＜3}，N={x|1≤x≤4}，所以M∩N=[1，3）．故选：A通过二次不等式求解推出集合M，然后直接求解M∩N．本题考查集合的交集的运算，确定集合的公共元素，是求解集合交集的关键．2. 解：∵a=2，c=2，A=60°，∴由正弦定理可得：sin C===，∵c＜a，可得：0＜C＜60°，∴C=45°．故选：B．由已知即正弦定理可得sin C==，利用大边对大角可得0＜C＜60°，即可得解C的值．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．3. 解：等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2=2，a5=16，可得q3=8，q=2，∴a1=1．∴S10==1023．故选B．求出等比数列的公比，即可求出S10．本题考查数列求和，等比数列的性质的应用，考查计算能力．4. 解：∵a1，a4是方程x2-2x-3=0的两根，∴由韦达定理可得a1a4=-3，又∵{a n}是等比数列，∴a1a4=a2a3=-3故选：D．由韦达定理和等比数列的性质易得答案．本题考查等比数列的性质和韦达定理，属基础题．5. 解：∵当x=m时，∥，∴2m-（m-3）=0，解得m=-3．∵当x=n时，⊥．∴=2+n（n-3）=0，解得n=1或2．则m+n=-1或-2，故选：D．利用向量共线定理、向量垂直与数量积的关系即可得出．本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6. 解：∵a2=c2-b2+ba，即a2+b2-c2=ab，∴cos C==，∵C为三角形内角，∴C=．故选：C．利用余弦定理表示出cos C，将已知等式变形后代入求出cos C的值，即可确定出C的度数．此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．7. 解：△ABC中，∵A：B：C=1：1：4，故三个内角分别为30°、30°、120°，则a：b：c=sin30°：sin30°：sin120°=1：1：，故选：A．利用三角形内角和公式求得三个内角的值，再利用正弦定理求得a：b：c的值．本题主要考查三角形内角和公式、正弦定理的应用，属于基础题．8. 解：∵向量8-k与-k+共线，∴存在实数λ，使=，∵、为非零不共线向量∴解得，k=±．故选：C．用向量共线的充要条件是存在实数λ，使8-k=λ（-k+），及向量相等坐标分别相等列方程解得本题主要考查了向量共线的条件，属于基础题．9. 解：∵最大角的余弦值为，则最大角为（不满足三角形），不妨设三边长为x，x+2，x+4，则由余弦定理可得：（舍），故周长为3+5+7=15．故选：B．由已知可求最大角的值，设三边长为x，x+2，x+4，利用余弦定理即可解得边长，从而可求周长．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．10. 解：a，b，c∈R+，∵（a+b+c）（+）=2++≥2+2=4，等号当且仅当=时成立又a，b，c∈R+，若（a+b+c）（+）≥k恒成立，∴k≤4，∴k的最大值是4故选：D．将（a+b+c）（+）展开，利用基本不等式求出其最小值，即得k的最大值．本题考查基本不等式在最值问题中的应用，解题的关键是对不等式左边进行恒等变形构造出积为定值的形式，利用基本不等式求出左侧的最小值，根据恒成立的关系得到参数的最大值11. 解：在△ABC中，由正弦定理可得，又，∴sin B=cos B，且sin C=cos C，故B=C=，A=，故△ABC的形状为等腰直角三角形，故选C．在△ABC中，由正弦定理和条件可得sin B=cos B，且sin C=cos C，从而得到B=C=，A=，故△ABC的形状为等腰直角三角形．本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，判断三角形的形状的方法，属于中档题．12. 解：数列{a n}满足，可得a2+a3=3cosπ=-3，a4+a5=5cos2π=5，a6+a7=7cos3π=-7，…，a2016+a2017=2017cos1008π=2017，则S2017-a1=（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2016+a2017）=-3+5-7+9-…+2017=1008，又S2017+m=1010，所以a1+m=2，由a1•m＞0，可得a1＞0，m＞0，则=（a1+m）（）=（2++）≥（2+2）=2．当且仅当a1=m=1时，取得最小值2．故选：A．由S2017-a1=（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2016+a2017），结合余弦函数值求和，再由S2017+m=1010，可得a1+m=2，由a1•m＞0，可得a1＞0，m＞0，运用乘1法和基本不等式即可得到所求最小值．本题考查数列与三角函数的结合，注意运用整体思想和转化思想，考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．13. 解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，则a2+a8=2a5=10．故答案为：10．根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求答案．本题主要考查了等差数列性质的简单应用，属于基础题．14. 解：由得，，则（3x-2）（5-3x）＞0，即（3x-2）（3x-5）＜0，解得，所以不等式的解集是，故答案为：．先化简分式不等式，再等价转化为一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出解集．本题考查分式不等式的解法，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．15. 解：∵向量=（3，-2），=（x，y-1），且∥，∴3（y-1）+2x=0，即2x+3y=3；又x，y均为正数，∴+=+=4++≥4+2=8，当且仅当=，即2x=3y=时取“=”；∴+的最小值是8．故答案为：8．根据向量∥，得出2x+3y=3，再根据基本不等式求出+的最小值．本题考查了基本不等式的应用问题，也考查了平面向量的共线问题，是基础题目．16. 解：因为△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，所以三角形是直角三角形，以A为顶点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，设P(a，3-)，a∈(0，4)，B(4，0)，C(0，3)，所以=(-a，-3)，，所以===3，当a==时，模取得最小值，最小值为：=．故答案为：．17.（1）由等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．（2）由，利用分组求和法能求出结果．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前10项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．18.（1）利用已知条件得到数列{a n}是公差d=2，首项a1=4-2=2的等差数列，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由数列{a n}是公差和首项均为2的等差数列，先求出S n，进而求出b n，由此利用裂项求和法能求出数列{b n}的前n项和为T n．本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要熟练掌握等差数列的性质，要注意等价转化思想和裂项求和法的合理运用．19.（1）利用递推关系、等比数列与等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.（Ⅰ）根据由不等式ax2+3x-2＜0的解集为{x|x＜1或x＞b}，根据三个二次之间的对应关系，我们易得a，b的值，（Ⅱ）根据不等式为-x2+（c+2）x-2c＞0，即x2-（c+2）x+2c＜0，即（x-c）（x-2）＜0，分类讨论即可求出答案．本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及三个二次之间的关系，其中根据三个二次之间的关系求出a，b的值，是解答本题的关键21.（1）根据S n=3a n-5n，令n=1，即可求数列的首项．（2）根据S n=3a n-5n，再写一式S n-1=3a n-1-5（n-1）n≥2，两式相减，进而两边同加5，即可证得数列{a n+5}是以为公比的等比数列，从而可求数列{a n}的通项公式；（3）根据数列的通项，可求其最大值，从而求出使得b n＜m恒成立m的值．本题以数列为素材，考查等比数列，考查构造法，考查恒成立问题，有一定的综合性．22.（1）由条件利两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+）+2，再利用正弦函数的周期性求得函数f（x）的最小正周期．（2）由题意f（A）=sin（2A+）+2=3，求得A的值．由正弦定理求得C的值，可得B的值，再利用正弦定理求得b的值，从而求得三角形ABC的面积．本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦定理，属于中档题．。
2016-2017年云南省曲靖一中高一(下)期中数学试卷和答案
2016-2017学年云南省曲靖一中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若点（4，a）在y=的图象上，则tanπ的值为（）A．0B．C．1D．2．（5分）下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（）A．B．C．D．3．（5分）下列四种变换方式，其中能将y=sinx的图象变为y=sin（2x+）的图象的是（）①向左平移，再将横坐标缩短为原来的；②横坐标缩短为原来的，再向左平移；③横坐标缩短为原来的，再向左平移；④向左平移，再将横坐标缩短为原来的．A．①和②B．①和③C．②和③D．②和④4．（5分）已知点M（a，b）在直线3x+4y﹣20=0上，则的最小值为（）A．3B．4C．5D．65．（5分）两直线l1，l2的方程分别为x+y+b=0和xsinθ+y﹣a=0（a，b为实常数），θ为第三象限角，则两直线l1，l2的位置关系是（）A．相交且垂直B．相交但不垂直C．平行D．不确定6．（5分）集合M={（x，y）|y=}，N={（x，y）|x﹣y+m=0}，若M∩N 的子集恰有4个，则m的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2）C．（﹣2，﹣2]D．[2，2）7．（5分）如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ（θ＞0）角到OB，设B点与地面距离为h，则h与θ的关系式为（）A．h=5.6+4.8sinθB．h=5.6+4.8cosθC．h=5.6+4.8cos（θ+）D．h=5.6+4.8sin（θ﹣）8．（5分）如果圆x2+y2=n2至少覆盖曲线（x∈R）的一个最高点和一个最低点，则正整数n的最小值为（）A．1B．2C．3D．49．（5分）直线mx+y﹣1=0在y轴上的截距是﹣1，且它的倾斜角是直线=0的倾斜角的2倍，则（）A．m=﹣，n=﹣2B．m=，n=2C．m=，n=﹣2D．m=﹣，n=210．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．11．（5分）下列结论中错误的是（）A．若0＜α＜，则sinα＜tanαB．若α是第二象限角，则为第一象限或第三象限角C．若角α的终边过点P（3k，4k）（k≠0），则sinα=D．若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度12．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x﹣π）=f（x）+sinx，当0≤x≤π，f（x）=1时，则=（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）给出下列四个命题：①若，则；②向量不可以比较大小；③若，，则；④，．其中正确的命题为．（填正确命题的序号）14．（5分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，1），B（1，1，0），C（0，2，0），则以三点为顶点构成的三角形的形状是．15．（5分）设光线从点A（﹣2，2）出发，经过x轴反射后经过点B（0，1），则光线与x轴的交点坐标为．16．（5分）函数y=﹣的定义域是（用区间表示）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（Ⅰ）已知=，求sinα•cosα的值；（Ⅱ）求的值．18．（12分）已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3）．（1）求AB边上的高线所在的直线方程；（2）求三角形ABC的面积．19．（12分）如图为函数y=Asin（ωx+φ）+c（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）图象的一部分．（1）求此函数的解析式．（2）求此函数的单调增区间及对称中心．20．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（Ⅰ）设不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程；（Ⅱ）从圆C外一点P（x，y）向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，|MP|=|OP|，求点P的轨迹方程．21．（12分）已知圆C过两点M（﹣3，3），N（1，﹣5），且圆心C在直线2x﹣y﹣2=0上．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l过点（﹣2，5）且与圆C有两个不同的交点A，B，若直线l的斜率k大于0，求k的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在直线l使得弦AB的垂直平分线过点P（3，﹣1），若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数（ω＞0），且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为，当时，f（x）的最大值为1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若g（x）﹣3≤m≤g（x）+3在上恒成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年云南省曲靖一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若点（4，a）在y=的图象上，则tanπ的值为（）A．0B．C．1D．【解答】解：∵点（4，a）在y=的图象上，∴=a，解得a=2；∴tanπ=tan=．故选：D．2．（5分）下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（）A．B．C．D．【解答】解：C、D中函数周期为2π，所以错误当时，，函数为减函数而函数为增函数，故选：A．3．（5分）下列四种变换方式，其中能将y=sinx的图象变为y=sin（2x+）的图象的是（）①向左平移，再将横坐标缩短为原来的；②横坐标缩短为原来的，再向左平移；③横坐标缩短为原来的，再向左平移；④向左平移，再将横坐标缩短为原来的．A．①和②B．①和③C．②和③D．②和④【解答】解：将y=sinx的图象向左平移，可得函数y=sin（x+）的图象，再将横坐标缩短为原来的，可得y=sin（2x+）的图象，故①正确．或者是：将y=sinx的图象横坐标缩短为原来的，可得y=sin2x的图象，再向左平移个单位，可得y=sin（2x+）的图象，故②正确，故选：A．4．（5分）已知点M（a，b）在直线3x+4y﹣20=0上，则的最小值为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵点M（a，b）在直线3x+4y﹣20=0上，则的几何意义是点M（a，b）到原点的距离，而原点到直线的距离d==4，则的最小值为：4．故选：B．5．（5分）两直线l1，l2的方程分别为x+y+b=0和xsinθ+y﹣a=0（a，b为实常数），θ为第三象限角，则两直线l1，l2的位置关系是（）A．相交且垂直B．相交但不垂直C．平行D．不确定【解答】解：∵θ是第三象限，∴1×sinθ+1+=sinθ+=sinθ+|sinθ|=sinθ﹣sinθ=0，∴两直线相交垂直；故选：A．6．（5分）集合M={（x，y）|y=}，N={（x，y）|x﹣y+m=0}，若M∩N 的子集恰有4个，则m的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2）C．（﹣2，﹣2]D．[2，2）【解答】解：根据题意，对于集合M，y=，变形可得x2+y2=4，（y≥0），为圆的上半部分，N={（x，y）|x﹣y+m=0}，为直线x﹣y+m=0上的点，若M∩N的子集恰有4个，即集合M∩N中有两个元素，则直线与半圆有2个交点，分析可得：2≤m＜2，故选：D．7．（5分）如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ（θ＞0）角到OB，设B点与地面距离为h，则h与θ的关系式为（）A．h=5.6+4.8sinθB．h=5.6+4.8cosθC．h=5.6+4.8cos（θ+）D．h=5.6+4.8sin（θ﹣）【解答】解：过点O作平行于地面的直线l，再过点B作l的垂线，垂足为P，则∠BOP=θ﹣，根据三角函数的定义得：BP=OBsin（θ﹣）=4.8sin（θ﹣）h=4.8+0.8+BP=5.6+4.8sin（θ﹣）故选：D．8．（5分）如果圆x2+y2=n2至少覆盖曲线（x∈R）的一个最高点和一个最低点，则正整数n的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵x2+y2=n2，∴x∈[﹣n，n]．∵函数f（x）的最小正周期为2n，∴最大值点为（），相邻的最小值点为（），∵圆x2+y2=n2至少覆盖函数的一个最大值点和一个最小值点，∴，解得n≥2∵n∈N，∴n=2．故选：B．9．（5分）直线mx+y﹣1=0在y轴上的截距是﹣1，且它的倾斜角是直线=0的倾斜角的2倍，则（）A．m=﹣，n=﹣2B．m=，n=2C．m=，n=﹣2D．m=﹣，n=2【解答】解：根据题意，设直线mx+y﹣1=0为直线l，另一直线的方程为=0，变形可得y=（x﹣3），其斜率k=，则其倾斜角为60°，而直线l的倾斜角是直线=0的倾斜角的2倍，则直线l的倾斜角为120°，且斜率k=tan120°=﹣，又由l在y轴上的截距是﹣1，则其方程为y=﹣x﹣1；又由其一般式方程为mx+y﹣1=0，分析可得：m=﹣，n=﹣2；故选：A．10．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【解答】解：由已知得到如图由===；故选：A．11．（5分）下列结论中错误的是（）A．若0＜α＜，则sinα＜tanαB．若α是第二象限角，则为第一象限或第三象限角C．若角α的终边过点P（3k，4k）（k≠0），则s inα=D．若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度【解答】解：若0＜α＜，则sinα＜tanα=，故A正确；若α是第二象限角，即α（2kπ，2kπ+π），k∈Z，则∈（kπ，kπ+），为第一象限或第三象限，故B正确；若角α的终边过点P（3k，4k）（k≠0），则sinα==，不一定等于，故C不正确；若扇形的周长为6，半径为2，则弧长=6﹣2×2=2，其中心角的大小为=1弧度，故选：C．12．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x﹣π）=f（x）+sinx，当0≤x≤π，f（x）=1时，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x﹣π）=f（x）+sinx，当0≤x≤π，f（x）=1时，则=f（﹣﹣π）=f（﹣）+sin（﹣）=f（﹣﹣π）+sin（﹣）=f（﹣）+sin（﹣）+sin（﹣）=f（﹣π）+sin（﹣）﹣sin=f（）+sin+sin（﹣）+sin=1+﹣+=，故选：C．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）给出下列四个命题：①若，则；②向量不可以比较大小；③若，，则；④，．其中正确的命题为②③．（填正确命题的序号）【解答】解：①若，只能说明向量的长度一样，但方向未定，故错误；②根据向量的定义可知，向量不可以比较大小，故正确；③根据相等向量的定义可知，若，，则，故正确；④，，且方向相同，故错误．故答案为②③14．（5分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，1），B（1，1，0），C（0，2，0），则以三点为顶点构成的三角形的形状是等边三角形．【解答】解：因为：A（1，2，1），B（1，1，0），C（0，2，0），所以：AB==，BC==，AC==．所以：AB=BC=AC，所以：该三角形是等边三角形．故答案是：等边三角形．15．（5分）设光线从点A（﹣2，2）出发，经过x轴反射后经过点B（0，1），则光线与x轴的交点坐标为．【解答】解：设光线与x轴的交点坐标为C（a，0），则由题意可得，直线AC和直线BC关于直线x=a对称，它们的倾斜角互补，斜率互为相反数，即K AC=﹣K BC，即，解得a=﹣，故答案为：（﹣，0）．16．（5分）函数y=﹣的定义域是（0，）∪（，3] （用区间表示）【解答】解：∵函数y=﹣，∴，即，解得；即0＜x＜，＜x≤3；∴f（x）的定义域是（0，）∪（，3]．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（Ⅰ）已知=，求sinα•cosα的值；（Ⅱ）求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵==，∴tanα=3，∴sinα•cosα====．（II）==1．18．（12分）已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（4，3）．（1）求AB边上的高线所在的直线方程；（2）求三角形ABC的面积．【解答】解：（1）由题意可得，∴AB边高线斜率k=，∴AB边上的高线的点斜式方程为，化为一般式可得x+6y﹣22=0；（2）由（1）知直线AB的方程为y﹣5=6（x+1），即6x﹣y+11=0，∴C到直线AB的距离为d=，又∵|AB|==，∴三角形ABC的面积S=19．（12分）如图为函数y=Asin（ωx+φ）+c（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）图象的一部分．（1）求此函数的解析式．（2）求此函数的单调增区间及对称中心．【解答】解：（1）由图可知，A=，c=，，T=．∴．则．把（12，4）代入得：，∴，又，∴，∴，解得：φ=．故．（2）令，得．故此函数的单调递增区间是．令，则．故此函数的对称中心为．20．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（Ⅰ）设不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程；（Ⅱ）从圆C外一点P（x，y）向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，|MP|=|OP|，求点P的轨迹方程．【解答】解：（I）∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设直线方程x+y=a，∵由圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0，得：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心坐标C（﹣1，2），半径r=，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆半径，即：∴a=﹣1或a=3，所求切线方程为：x+y+1=0或x+y﹣3=0；（II）设点P（x，y），∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2=|OP|2∴（x+1）2+（y﹣2）2﹣2=x2+y2所以点P的轨迹方程为2x﹣4y+3=0．21．（12分）已知圆C过两点M（﹣3，3），N（1，﹣5），且圆心C在直线2x﹣y﹣2=0上．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l过点（﹣2，5）且与圆C有两个不同的交点A，B，若直线l的斜率k大于0，求k的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在直线l使得弦AB的垂直平分线过点P（3，﹣1），若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由M（﹣3，3），N（1，﹣5），得MN的垂直平分线方程为：x﹣2y﹣1=0，联立，解得圆心坐标为C（1，0），R2=|CM|2=（﹣3﹣1）2+（3﹣0）2=25．∴圆C的标准方程为：（x﹣1）2+y2=25；（Ⅱ）设直线l的方程为：y﹣5=k（x+2）即kx﹣y+2k+5=0，设C到直线l的距离为d，则d=，由题意：d＜5 即：8k2﹣15k＞0，∴k＜0或k＞，又∵k＞0，∴k的取值范围是（，+∞）；（III）设符合条件的直线l存在，则AB的垂直平分线方程为：y+1=﹣（x﹣3）即：x+ky+k﹣3=0，∵弦的垂直平分线过圆心（1，0），∴k﹣2=0，即k=2．∵k=2＞，故符合条件的直线存在，l的方程为：x+2y﹣1=0．22．（12分）已知函数（ω＞0），且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为，当时，f（x）的最大值为1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，若g（x）﹣3≤m≤g（x）+3在上恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（I）∵函数f（x）=sin（ωx﹣）+b（ω＞0），且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为，∴=，可得：T=π，由=π，可得：ω=2，∴f（x）=sin（2x﹣）+b．∵当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，∴由于y=sinx在[﹣，]上单调递增，可得当2x﹣=，即x=时，函数f（x）取得最大值f（）=sin+b，∴sin+b=1，解得b=﹣，∴f（x）=sin（2x﹣）﹣．（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到的图象的函数解析式为：g（x）=sin[2（x﹣）﹣]﹣=sin（2x ﹣）﹣，∵当x∈[0，]时，可得：2x﹣∈[﹣，]，g（x）=sin（2x﹣）﹣∈[﹣2，1]，∴g（x）﹣3∈[﹣5，﹣2]，g（x）+3∈[1，4]，∵g（x）﹣3≤m≤g（x）+3在x∈[0，]上恒成立，∴m∈[﹣2，1]．。
云南省曲靖市高一(4-16班)下学期数学期中考试试卷
云南省曲靖市高一（4-16班）下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2017·佛山模拟) 一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于E，F，且交其对角线AC于K，若 =2 ， =3 ，=λ （λ∈R），则λ=（）A . 2B .C . 3D . 52. （2分）(2016·韶关模拟) 等比数列{an}前n项和为Sn ，若S2=6，S4=30，则S6=（）A . 62B . 64C . 126D . 1283. （2分）已知α是第三象限角，且的值为（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高一下·东莞期中) 已知 =（1，﹣2）， =（1，λ），且与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（）A . （，2）∪（2，+∞）B . （，+∞）C . （﹣∞，﹣2）∪（﹣2，）D . （﹣∞，）5. （2分）已知向量＝（cosθ，sinθ），向量＝（，－1）,则｜2－｜的最大值与最小值的和是（）A . 4B . 6C . 4D . 166. （2分）关于数列{an}有以下命题，其中错误的命题为（）A . 若且an+1+an-1=2an,则｛an}是等差数列B . 设数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=1+an,则数列｛an}的通项为an=(-1)n-1C . 若且an+1an-1=an2 ，则｛an}是等比数列D . 若｛an}是等比数列，且则7. （2分）(2017·衡阳模拟) 《数学统综》有如下记载：“有凹线，取三数，小小大，存三角”．意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和大于最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”．现已知凹函数f（x）=x2﹣2x+2，在上任取三个不同的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c）），均存在以f（a），f（b），f（c）为三边长的三角形，则实数m 的取值范围为（）A . [0，1]B .C .D .8. （2分） (2019高二上·洛阳期中) 如图，在中，是边上一点，，则的长为（）A .B .C .D .9. （2分）(2016·浦城模拟) 已知，则cosx等于（）A .B . -C .D .10. （2分） (2019高三上·宁波期末) 在空间直角坐标系中，为坐标原点，满足，则下列结论中不正确的是（）A . 的最小值为-6B . 的最大值为10C . 最大值为D . 最小值为1二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2017高三上·安庆期末) 已知向量，，则的最大值为________．12. （1分）不查表求tan105°的值为________．13. （1分）(2017·重庆模拟) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若b= asinB，则角A 的大小为________．14. （1分）(2012·北京) 已知﹛an﹜是等差数列，sn为其前n项和．若a1= ，s2=a3 ，则a2=________．15. （1分） (2019高三上·沈河月考) ________．16. （1分） (2018高三上·天津月考) 已知平面直角坐标内定点，，，和动点，，若，，其中O为坐标原点，则的最小值是________．17. （1分） (2019高一下·上海月考) 在三角形ABC中,已知面积和它的外接圆半径都是1,则________.三、解答题 (共5题；共55分)18. （10分）(2020·晋城模拟) 已知椭圆的半焦距为，圆与椭圆有且仅有两个公共点，直线与椭圆只有一个公共点.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线过椭圆的左焦点，且与椭圆分别交于两点，试问：轴上是否存在定点，使得为定值?若存在，求出该定值和点的坐标；若不存在，请说明理由.19. （10分） (2019高二上·中山月考) 在中，角所对的边分别为，的面积为， .（1）求角的大小；（2）若，，求的值.20. （10分） (2017高三上·重庆期中) 已知公比为q的等比数列{an}的前6项和S6=21，且4a1 ，，a2成等差数列．（1）求an；（2）设{bn}是首项为2，公差为﹣a1的等差数列，记{bn}前n项和为Tn，求Tn的最大值．21. （10分）(2017·上海模拟) 若向量，在函数的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为，且当的最大值为1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．22. （15分） (2018高二上·临汾月考) 为数列的前项和，已知数列为等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和。
云南省曲靖市麒麟高级中学高一数学下学期期中试题
云南省曲靖市麒麟高级中学2016—2017学年高一数学下学期期中试题考试时间:120分钟;一、选择题（本大题共12小题,共60。
0分）1。
已知集合M={x|x2-3x＜0｝，N=｛x|1≤x≤4｝，则M∩N=（)A。
[1,3）B。
（1，3） C。
（0，3] D.（—∞，—5]∪［6,+∞）2.在△ABC中,a=2，c=2，A=60°,则C=（）A.30°B。
45°C。
45°或135° D.60°3。
在等比数列{a n}中，a2=2，a5=16，记{a n｝的前n项和为S n，则S10=( ）A。
1024 B。
1023 C.2048 D。
20464.在等比数列{a n}中，a1，a4是方程x2—2x—3=0的两根,则a2•a3=（）A.2B.—2 C。
3 D。
—35.设=（1,x），=(2，x—3）,若当x=m时，∥，当x=n时，⊥．则m+n=（）A.—2B.—1 C。
0 D.—2或-16.若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且，则∠C=（）A。
B. C。
D。
7.已知△ABC中，A:B：C=1：1：4，则a：b：c等于（）A.1：1：B.2：2：C。
1：1：2 D.1：1：48.已知为非零不共线向量，向量与共线,则k=（）A。
B. C. D.89.数列1，,，…，的前n项和为，则正整数n的值为（）A.6 B。
8 C。
9 D。
1010。
设a、b、c＞0，若（a+b+c）(+)≥k恒成立，则k的最大值是（)A。
1 B。
2 C.3 D。
411.在△ABC中，边a、b、c所对角分别为A、B、C，且，则△ABC的形状为（）A。
等边三角形 B.有一个角为30°的直角三角形C。
等腰直角三角形 D.有一个角为30°的等腰三角形12.已知数列｛a n}满足，S n是数列{a n｝的前n项和,若S2017+m=1010，且a1•m＞0，则的最小值为（）A。
云南省曲靖市曲靖二中云师高级中学2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题
云南省曲靖市曲靖二中云师高级中学2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题一、单选题1．已知集合{}{}20,12A x x x B x x =-<=-<<，则A B ⋃=（ ）A ．()0,1B ．()1,2-C ．[)1,+∞D ．(],2-∞ 2． “x 为整数”是“21x +为整数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ,若60?,45?,A B a ===b =（ ）AB ．2CD 4．已知()1,3A -、18,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且A 、B 、C 三点共线，则点C 的坐标可以是（ ） A ．()9,1-B ．()9,1-C ．()9,1D ．()9,1--5．已知2a =r ，b =r 3a b ⋅=r r ，则向量a r 与b r 的夹角为（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π 6．已知0a >，0b >，2a b +=，则（ ）A ．01a <≤B ．01ab <≤C ．222a b +>D ．12b << 7．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度=器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位cm ），则平地降雪厚度的近似值为（ ）A ．91cm 12B ．31cm 4 C ．95cm 12D ．97cm 12 8．已知0.3561log ,5,log 23a b c =-==，则（ ）A ．c a b <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．a b c <<二、多选题9．已知复数13i,z z =-+是z 的共轭复数，则（ ）A ．32i z +-=B ．z 的虚部是3iC ．z 在复平面内对应的点位于第二象限D ．复数z 是方程2280x x ++=的一个根10．下列说法错误的是（ ）A ．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同B ．若非零向量AB u u u r 与CD u u u r 是共线向量，则,,,A BCD 四点共线C ．若非零向量a r 与b r 共线，则a b =r rD ．若a b =r r ，则a b =r r11．已知函数()π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下列描述正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．π6x =是函数()f x 图象的一个对称轴C ．π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心D ．若函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度可得函数()g x 的图象,则()g x 为奇函数三、填空题12．如图，圆台OO '的母线长为6，两底面半径分别为2，7，则此圆台的表面积为．13．已知向量,a b r r 不共线，3m a b =-r r r ，2n a xb =+r r r ，m n r r ∥，则实数x =．14．如图所示，在所有棱长均为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A 出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A 1，则爬行的最短路线长为．四、解答题15．（1）已知i 是虚数单位，若复数()()22563i z m m m m =-++-是纯虚数，求实数m 的值；（2）已知复数z ，且210z z ++=，试求复数z ．16．已知二次函数()()21f x x mx m m =-+-∈R ，()()02f f =．(1)求m 的值；(2)求()f x 在区间[]22-,上的最小值．．．． 17．设,,,A B C D 是平面直角坐标系xOy 内的四点，已知点()()()3,1,2,2,1,4A B C --.(1)若AB CD =u u u r u u u r ，求点D 的坐标；(2)若2AP PB =u u u r u u u r ，求点P 的坐标；(3)若(),OC OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r ，求,λμ的值.18．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a =5b =，2c =．(1)求角A 的大小；(2)求sin C 的值；(3)求ABC V 的面积.19．已知函数()2sin cos 21f x x x x =+(x R ∈).(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间[,]42x ππ∈上的最大值和最小值； (3)若不等式2[()]4f x m -<对任意[,]42x ππ∈恒成立，求实数m 的取值范围.。
云南省曲靖市高一数学下学期期中试卷(含解析)
2016-2017学年云南省曲靖市高一（下)期中数学试卷一.选择题（本大题共12小题，每题5分共60分)1．sin15°cos15°的值是( ）A．B．C．D．2．已知角α的终边过点P(1,2），则tan（）=（)A．B．﹣C．3 D．﹣33．已知向量,的夹角为120°，且|｜=1，|｜=2,则•（﹣2）=（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．34．已知正方形ABCD的边长为1，则|﹣｜=（）A．1 B．2 C．D．25．设向量的模为，则cos2α=（)A．B．C．D．6．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（）A．y=sinx+cosx B．y=cos4x﹣sin4xC．y=cos|x｜D．y=7．如图，已知△ABC, =3， =, =，则=（）A．+ B．+ C．+ D．+8．函数y=﹣xcosx的部分图象是( ）A．B．C．D．9．若函数f(x）=cos（2x+θ）（0＜θ＜π）的图象关于（π,0）对称,则函数f（x）在［﹣，]上的最小值是（）A．﹣B．﹣1 C．﹣D．﹣10．已知向量，的夹角为，||=1，|｜=，若=+， =﹣,则在上的投影是（）A．﹣B．C．﹣2 D．211．若直线xcosα+ysinα﹣1=0与圆（x﹣1）2+（y﹣sinα)2=相切，α为锐角,则斜率k=（）A．﹣B．C．﹣D．12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，在［0,+∞）上是增函数，若a=f（sin），b=f （cos），c=f(tan），则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a二．填空题(本大题共4小题，每题5分共20分）13．已知，是两个不共线的非零向量，若2+k与k+共线,则k的值是．14．计算﹣= ．15．若函数y=sinx+cosx的图象向左平移φ＞0个单位后，所得图象关于y轴对称，则φ的最小值是．16．已知函数y=cos2x+2cos（x+），则y的取值范围是．三．解答题（本大题共6小题，共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（﹣2，0），B(0，﹣2）,C（cosφ，sinφ)，其中0＜φ＜π．（Ⅰ）若•=，求sin2φ的值；（Ⅱ)若｜+|=，求与的夹角θ．18．如图,在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点,已知A，B的横坐标分别为，．（Ⅰ）求sin（α﹣β）的值；（Ⅱ）求α+2β的值．19．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x+α的最大值与最小值之和为﹣2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；(Ⅱ）求使得函数f（x）≥0成立的x的集合．20．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ)（ω＞0，0＜φ＜π），对于任意x ∈R满足f（﹣x）=f（x）,且相邻两条对称轴间的距离为．（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；（Ⅱ)求函数的单调减区间．21．已知f（x)=（1+）sin2x﹣2sin（x+）sin(x﹣）．(Ⅰ)若sinθ+cosθ=，其中，求f（θ)的值；(Ⅱ）当≤x时,求函数f（x)的值域．22．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）(ω＞0，﹣＜φ＜0)的图象上任意两点（x1,f(x1），（x2，f（x2）),且φ的终边过点（1,﹣),若|f（x1）﹣f（x2）|=4时,|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求f（x)的解析式；（Ⅱ）若对于任意的x∈［0，]，不等式mf(x）=2m≥f(x）恒成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年云南省曲靖市宣威九中高一(下）期中数学试卷参考答案与试题解析一。
2023-2024学年云南省曲靖市民族中学高一下学期期中考试数学试题+答案解析(附后)
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则2023-2024学年云南省曲靖市民族中学高一下学期期中考试数学试题( )A. ，B. ，C. ，D.，2.等于( )A. B.C.D. 3.在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，若，，，则( )A. 1B.C. 2D.4.已知集合，，则( )A. B.C.D.5.已知角的终边经过点，则的值为( )A. B.C. D. 6.已知向量，且，则实数( )A.B. 0C. 3D.7.定义在R 上的偶函数满足，且在区间上单调递增，则( )A. B. C.D.8.正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若，则( )A.B.C. 2D.9.如图，在中，向量是( )A. 有相同起点的向量B. 共线向量C. 模相等的向量D. 相等向量二、多选题：本题共3小题，共15分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
10.已知，，则下列结论正确的是( )A. B.C. D.11.在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，，，则( )A.B.C.D. 12.已知函数则下列说法正确的是( )A. B. 函数的图象关于点对称C. 函数的定义域上单调递减D. 若实数a ，b 满足，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在中，若，则__________.14.已知复数是纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数m 的值为__________.15.已知，，，与的夹角为若为钝角，则k 的取值范围是__________.16.拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形此等边三角形称为拿破仑三角形的顶点”.在中，已知，且，现以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积最大值为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。
2023-2024学年云南省曲靖市第二中学经开区校区高一下学期期中教学质量检测数学试题
2023-2024学年云南省曲靖市第二中学经开区校区高一下学期期中教学质量检测数学试题1.已知集合或，则（）A．B．C．D．2.如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，那么（）A．B．C．D．3.已知函数的图象过点，则（）A．B．C．D．4.已知，则的最小值为（）A．5B．6C．7D．85.在中，，且的面积为，则角的大小为（）A．B．C．或D．或6.已知是的中线，，以为基底表示，则（）A．B．C．D．7.在中，角的对边分别为，则外接圆的面积为（）A．B．C．D．8.已知是第四象限角，且，则（）A．B．C．D．9.已知函数，则使的可以是（）A．B．C．D．10.如图所示，在正六边形中，下列结论正确的是（）A．B．C．D．在上的投影向量为11.已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．函数的解析式B．直线是函数图象的一条对称轴C．在区间上单调递增D．不等式的解集为，12.命题：“，”的否定是__________.13.已知向量，满足，，，则，的夹角的大小为__________.14.已知向量，若三点共线，则______.15.已知，，且与的夹角为.(1)求.(2)求.16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(1)求A；(2)若，求a的最小值.17.已知幂函数在上单调递增.(1)求的解析式；(2)判断的奇偶性，并证明.18.已知O是坐标原点，向量(1)若，求的值，(2)当取得最小值时，求.19.已知函数.(1)求函数的最小正周期及的单调递增区间；(2)将的图象先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数的图象，当时，求的值域.。
云南省曲靖市师宗县平高学校(第四中学)2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题
云南省曲靖市师宗县平高学校（第四中学）2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
-
22
A．B．
C．D．
π
⎛⎫π⎛⎫
四、解答题
(1)求此时钓友与小孩之间的距离．
(2)若此时钓友到点C处比到点B处的距离更近，且在孩子落水的瞬间钓友跳进河里开始以2.8m/s的速度救援，与此同时孩子在水流的作用下以2m/s的速度沿北偏东15 方向移动，由于钓友平时缺乏锻炼受耐力限制，最多能持续游600m，试问钓友这次救援是否有成功的可能？若有可能，求钓友救援成功的最短时间；若不能，请说明原因．。
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云南省曲靖市高一下学期期中数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）已知等差数列的前n项和为，则的最小值为（）
A . 7
B . 8
C .
D .
2. （2分）已知△ABC中，a＝4，b＝4，∠A＝30°，则∠B等于（）
A . 30°
B . 30°或150°
C . 60°
D . 60°或120°
3. （2分） (2017高二上·湖南月考) 已知向量，且与互相垂直，则的值是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）对于，有如下四个命题:
①若，则为等腰三角形，
②若，则是直角三角形
③若，则是钝角三角形
其中正确的命题个数是（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
5. （2分） (2015高三上·保定期末) 已知 + + = ，且与的夹角为，| |= | |，设，的夹角为θ，则tanθ=（）
A .
B .
C . ﹣1
D . ﹣
6. （2分） (2018高二上·新乡月考) 等差数列的前项和为20，前项和为70，则它的前的和为（）
A . 130
B . 150
C . 170
D . 210
7. （2分） (2016高一下·赣州期中) 在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）
A . x＞2
B . x＜2
C .
D .
8. （2分） (2019高三上·凉州期中) 已知点，则向量在方向上的投影为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）(2018高一下·长阳期末) 在中，角的对边分别为，若
，则（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为（）
A .
B .
C .
D . 或
11. （2分） (2016高一下·舒城期中) 在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，则的值为（）
A . 79
B . 69
C . 5
D . ﹣5
12. （2分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c ，若，则角A等于（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）已知定义在R上的函数f（x）、g（x）满足，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），，若{an}是正项等比数列，且，则a6+a8等于________
14. （1分） (2016高一下·抚州期中) 正项数列{an}满足：a1=1，a2=2，2an2=an+12+an﹣12（n∈N* ，n≥2），则a7=________．
15. （1分） (2018高一下·沈阳期中) 已知非零向量满足，则 ________．
16. （1分）(2017·松江模拟) 已知向量 =（sinx，cosx）， =（sinx，sinx），则函数f（x）= •
的最小正周期为________．
三、解答题 (共6题；共60分)
17. （10分） (2016高二下·沈阳开学考) 已知向量 =（1，sinθ）， =（3，1）．
（1）当θ= 时，求向量2 + 的坐标；
（2）若∥ ，且θ∈（0，），求sin（2θ+ ）的值．
18. （10分） (2016高二上·浦东期中) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，且a3=16，a7=24．
（1）求通项an；
（2）若Sn=312，求项数n．
19. （10分） (2016高二上·衡阳期中) 在△ABC中，cosA=﹣，cosB= ，
（1）求sinA，sinB，sinC的值
（2）设BC=5，求△ABC的面积．
20. （10分） (2017高一下·池州期末) 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=1，前n项和为Sn ，，
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）求证：b1+b2+…+bn＜2．
21. （10分） (2019高二上·集宁月考) 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且
（1）求数列、的通项公式.
（2）求数列的前项和
22. （10分） (2019高一上·昌吉月考) 在中，角所对的边分别为，且满足
， .
（1）求的面积；
（2）若，求、的值.
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、
20-1、
20-2、21-1、21-2、22-1、
22-2、。