东南大学信号与系统课件第五章

第五章连续时间系统的复频域分析

§5-1 引言——从FT到LT

一、FT的优点和不足

优点：

1、避免微分方程求解和卷积计算，简化了系

统响应求解过程；

2、物理意义明确。如：谐波，频响，带宽，

等。

不足：

1、只能处理满足收敛条件的信号，对某些不

满足条件的信号必须引入奇异函数解决，不方便；

2、必须计算广义积分：⎰+∞

∞

-

dx

)

(，有时计算

比较困难；

3、只能求系统的零状态响应。

二、拉普拉斯变换（LT）的优点：

1、可以自动引入初始条件，求系统的全响

应；

2、变方程的微积分运算为乘除运算，变卷积

运算为乘法运算，计算过程简化；

3、对信号的适应性比FT强，不用引入奇异

函数；

拉普拉斯变换在电路分析课程中已经有所涉及，在本课程中，将对拉普拉斯变换进行更加深入的研究。

§5-2 拉普拉斯变换

一、拉普拉斯变换的推导途径：

1、从数学角度：通过积分变换进行函数到函

数的变换，将微分方程变为代数方程。

2、从物理意义推导：本质上依然是将信号分

解为多个正交的子信号的和（积分），或可以从FT推广出。

从傅里叶变换导出拉普拉斯变换，可以更加清晰地解释其物理含义，并且可以将两种变换紧密地联系起来。

二、从FT到L T

FT存在的条件是其积分结果收敛。

✧ 如果不收敛，可以考虑用收敛因子——将原信号乘以t e σ-——强行使其收敛，再进行FT 。

例1：原信号：)()(t e t f t

εα=， 新信号：

)

()()()(1t e

e

t f t f t

t

εσασ--== 只要σ足够大，使0

)(<-σα，)

(1t f 总能收敛。 例2：原信号：)()()(t e t e t f t

t -+=εεβα，

新信号：

)

()()()()(1t e

t e

t f t

t

-+=--εεσβσα

当0

>>αβ

时，

)

(t f 负半边收敛，正半边发散。只要α

σβ>>，

)(1t f 一定

收敛。

通过乘以收敛因子t e σ-，可以使原来不收敛的信号收敛，从而可以用FT 加以处理。

✧ 假设原信号为

)

(t f ，通过乘以收敛因子t e σ-后，

新的收敛的信号为t

e

t f t f σ-=)()(1，其FT 为：

)

()()()()()()(11s F j s dt

e

t f dt

e

t f dt

e

e

t f dt e t f j F st

t

j t

j t

t

j =+==

==

=

⎰

⎰⎰

⎰∞

+∞

--∞

+∞-+--+∞

∞

---+∞

∞

-ω

σωωσωσω其中

或记作：

{}dt

e

t f t f L s F st

d ⎰

-∞

∞

--=

=)()()(

这就导出了拉普拉斯变换。

将其与傅里叶变换式相比较:

{}⎰

+∞

∞

--=

=dt e

t f t f F j F t

j ωω)()()(

可见，从公式的形式上看,将FT 中的纯虚数

ω

j 推广为复数s ，就可以导出L T ；反之，令

LT 中的复变量s 的实部为零，就可以得到FT 。

可以这样认为：FT 是LT 的一个特例，LT 是FT 的推广。

三、 拉普拉斯变换T L 1-

T

L 1

-可以由)(1t f 的IFT 求出：

)

)(()(21)(11t

t

j e

t f d e

j F t f σωω

ωπ

-+∞

∞

-==

⎰

ds

e s F j

d e

j F e

t f t f st

j j t

j t

⎰⎰

∞

+∞

-++∞

∞

-==

=

=σσ

ωσσπω

ωπ

)(21)(21)()()(11

或记作：

{}ds e s F j

s F L

t f st

j j d

⎰∞

+∞

--=

=σσ

π)(21)()(1

至此可得到拉普拉斯变换对：

{}dt e

t f t f L s F st

d ⎰

+∞

∞

--=

=)()()(

{}ds

e s F j

s F L

t f st

j j d

⎰∞

+∞

--=

=σσ

π)(21

)()(1

F(s)称为f(t)的拉普拉斯变换，f(t)称为F(s)

的原函数。

从两种变换的历史上讲，拉普拉斯变换并不是由傅里叶变换导出的。