张量分析第三章
张量分析第三章
s′
t′
a⋅⋅ p′q′r′
s ′r ′
设一个五阶混合张量 a⋅⋅ lmn , 令n=j时, 则 证：
ij
a⋅⋅⋅lmj = a⋅lm
ij i
是一个三阶张量
l m n
a
s ′t ′ ⋅⋅ p′q′r ′
设 t' = r' 并求和:
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ij = i a j p′ q′ r ′ ⋅⋅lmn ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
3
1′
2′
a1=xy=x1x2 a2=2y-z2=2x2-(x3)2 a 3= x 1x 3
3 2 2′ 1 3
= (sin x 2′ cos x3′ )( x1 x 2 )
2′ 3′ 2
+(sin x sin x )(2 x − ( x ) ) + (cos x )( x x )
= (sin θ cos ϕ )(r 2 sin 2 θ sin ϕ cos ϕ )
j
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
1
1′
2′
x =x
则
1
3
3′
2 3
∂x ∂x ∂x a1′ = 1′ a1 + 1′ a2 + 1′ a3 ∂x ∂x ∂x
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
则
1
1′
2′
x =x
1
3
3′
2 3
a1 = 2x1 - x3 , a 2 = ( x 1) 2 x 2 , a3 = x2 x3 ,
3
1′
2′
∂x ∂x ∂x a3′ = 3′ a1 + 3′ a2 + 3′ a3 ∂x ∂x ∂x 2 3 = x x = ρ z sin ϕ
第三章 一般曲线坐标系中的张量分析初步
第三章 一般曲线坐标系中的张量分析初步为了对张量有一个全面的了解，本章对一般曲线坐标系中的张量分析做一个初步的介绍。
3.1、曲线坐标，基矢量，度量张量在一般曲线坐标系中，由于必须要用两套基矢量，因此指标要分上标和下标，在正交曲线坐标系中经常用的ij δ应分为i j δ和j i δ，ijk ε也常分为ijk ε和ijkε。
设给定曲线坐标(1q ,2q ,3q )，过空间任一点M 沿每一坐标曲线可得一个切矢量，记为i i qr g ∂∂=i g 是线性独立的矢量，在正交曲线坐标系中，选i g /ig为基矢量。
由于i g 的正交性，有ij j i j i g g g g δ =⋅。
而在一般曲线坐标系中，i g 不一定是相互正交，但任选i g为基矢量（不为单位矢量），称为协变基矢量，在协变基矢量i g的基础上，我们还可以选i g ，使得1g 与2g ，3g 正交，且111=⋅g g ，其他类似。
i g 也是一组基矢量，称为逆变基矢量，i g 与i g是正交的，他们称为互逆基矢量。
我们令j i ij g g g ⋅= j i ij g g g ⋅=i i i j j j g g g g g =⋅=⋅分别称为协变度量张量，逆变度量张量及混合度量张量。
由协变基矢量i g 与逆变基矢量i g的正交性，有i j j i i j g g g δ=⋅=逆变基矢量可以用协变基矢量表示，可以推出j ij i g g g =因为j j ik ij k ij k i k ik g g g g g g g g δ==⋅=⋅=同理有j ij i g g g =可以看到协变度量张量和逆变度量张量起着升标和降标的作用。
注意，在这里我们用了约定求和，不过这里求和中的指标应是一个是上标，另一个是下标。
由于jl il l k jl ik l k jl ik l jl k ik j i i j g g g g g g g g g g g g g g ==⋅=⋅=⋅=δδ)()(可知ij g 和ij g 互为逆矩阵。
张量分析3
2.9克里斯托弗尔符号 ij i g j gkk ig j gkrgr gkr ig j g r gkr ijr(2.9.08) (2.9.09)同样地， ijk g kr ijr在基矢量组 g 1 ， g 2 ， g 3 中把 i g j 按下式分解 igj(4)在直线坐标系中， ijk 0 ， ij 0k(2.9.10)k ij ijp gp ij g pp(2.9.01) (2.9.02)p ij事实上，因为在斜角和直角坐标系中基矢量 i i 和 e i 均为常量，故 ijk 0 和 (5)克里斯托弗尔符号可用度量张量表示。
事实上，由于g ij , k gk 0。
ig j 这里分解系数 ijp 和 分别称为第一类和第二类克里斯托弗尔(Christoffel)符号。
在某些文献中， p 第一类和第二类克里斯托弗尔符号分别用 ij , p 和 表示。
ij gigj kgi gj g i k gj kij kji(2.9.11) (2.9.12) (2.9.13)对指标进行轮换，则有jk , i ijk ikj用 g k 和 g 分别点乘式(2.9.01)和式(2.9.02)两边，则得 ijp gpkg ki , j jki jik把式(2.9.12)和式(2.9.13)相加，再减去式(2.9.11)，则得 (2.9.03) (2.9.04) 另外， ijk 1 2 g k ijp kp k ijk i g j g kk ij ig j ggkrjk , i g ki , j gji , k(2.9.14)现述克里斯托弗尔符号的性质如下。
张量分析第三章
1 m 1 m 1 m
（3.1-3）
张量间的运算除加法、减法运算和数乘运算外，还可以 定义乘法运算。但应当特别注意的是张量间的乘法运算 有多种按不同法则定义的乘法运算。这一点在矢量乘法 运算中表现为矢量与矢量的点乘和叉乘（矢量本身就是 一阶张量）。因此谈到张量（不一定是同阶张量）间的 乘法运算必须指明是什么法则定义的乘法运算。 张量积：设张量 A P ; B P ；则 A和 B的张量积按：
m n
A B AB ( Ai1im B j1 jn )ii1 iim i j1 i jn B A BA ( Ai1im B j1 jn )i j1 i jn ii1 iim
（3.1-4）
定义。由定义可以看出AB和BA都是m + n阶张量。且一般 AB≠BA（两张量的张量积一般不满足交换律）。对任一 组给定的i1,…,im ; j1,…,jn值，A 、B 都是确定的实数。 A B 记C 。则：
J : A (ii i j ii i j ) : ( Amn imin ) Amnim jn ii i j Amn imin A
四阶单位张量唯一性证明留作练习。
例1： 如图3－1所示刚体Ω 以角速度 ω(ω是对刚体整体运动的 述量。 ω与r无关。即对刚体上的任意点而言刚体的角速 度都是ω) 。物体点 r处的密度为ρ (r) ；速度矢量为 u (r) 。则处微分体积 dV所包含质量 ρ (r) dV对 o点动量矩为：
ij i j k k ij k i j k 3
k k ij i j ij k k i j 3
二阶张量与二阶张量的张量积：
AB Aij ii i j （Bmn imin） Aij Bmn）i j imin Φ （ ) （ ii ; Φ P 4
张量分析提纲及部分习题答案
y
对静止的连续介质，有
ζ n fd 0 ， ζd fd 0 ，
A
ζ f 0。
（21） 证明应力是一个张量； 记 ij ：表示在给定基 g i 下，在面 g j 上，单位面积受力 F j 在 g i 方向上的分量为
对斜圆锥面上任一点 （图中黑点处） ， 不难由相似三角形得到，
z z R cos C i R sin j zk ，进而可得， H H r Rz sin zR cos r R cos C R g i j， gz i sin j k ， H H z H H r
dx g dx I g dx II 1 4 x I 2 dx I 6 x I x II 2 dx II Pdx I Q dx II 11 12 1 1 I 。 2 4 dxII g 21dx I g 22 dx II 6 x I x II dx I 9 x II dx II P2 dx I Q2 dx II
Pi Qi 时，坐标 xI , xII 才可能存在。即向量场 P, Q 无旋时，其在两点间 x II x I Pi Qi 的路径积分与路径无关，积出的值就是坐标。本例中， II I ，故相应的“协 x x
当 变坐标”不存在。 （正因为如此，坐标也没有逆变、协变之说。 ） （9） 有点类似曲面第一基本型（1.3.12） 。 （10） Lame 常数定义（1.3.13）在非正交系中也成立，但此时（1.3.12a）不成立。
1.9-1.13：略； 1.14： 注意，所谓斜圆锥是指， O 点沿 z 方向在大圆平面上的投影 M 在大圆的直径上。
广义相对论_第3章
第三章仿射空间中的张量分析任何物理量通常都可以用一组数来表示，这组数的值一般与坐标的选择有关，研究这组数与坐标变换的关系导致了张量的概念。
我们对三维空间中矢量的概念已经十分熟悉，矢量可以表示力、速度、加速度、动量等等，它通常可以用一组数（3个代数值）表示，并且随着坐标的变化而变化。
然而即使这组数本身随坐标变化了，矢量本身却还是恒定的。
张量的概念可以看作是三维空间中矢量的概念在任意维空间中的推广，是比矢量还要复杂的一种客观存在的物理量的数学表示。
借助于张量，广义相对论可以把物理规律表达为看起来简单的张量方程，使它在任一种坐标下具有相同的形式。
本章我们将在仿射空间中建立张量的定义和运算，并利用它来讨论空间的几何性质。
狭义相对论的四维Minkowski时空中，最常用的一种坐标变换就是代表惯性系之间关系的洛仑兹变换。
从数学的角度来说，洛仑兹变换是一种最简单的线性正交变换，其变换矩阵不依赖于空间点而变化，矩阵元是常数。
然而，广义相对论中由于时空的弯曲，一般不再能够找到如此简单的覆盖全时空的坐标变换。
通常的坐标变换矩阵都是空间点的函数，当然一般也就不再满足线性、正交的条件。
本章从数学的角度讨论一般的坐标变换下，张量的定义和性质。
3.1 n 维仿射空间中的张量虽然相对论所借助的空间通常是四维的，但本章所讨论的数学对任意维数n 都适用，是更加宽泛的、一般性的张量理论。
n 维空间中的点，在某个已经给定的坐标系中可以用n 个数构成的数组来描述，这组数叫做该点的坐标).,,,(21n x x x x =μ (3-1-1)同一空间中坐标的选取方式是任意的和多种多样的，两组坐标μx 与μx ~（μ取1至n ）的联系叫坐标变换),(~~νμμx x x = (3-1-2)上式中的νx 和μx ~分别代表两套坐标下的两个数组。
从(3-1-2)式可导出任一点的坐标微分的变换公式,~~ααμμdx xx x d ∂∂= (3-1-3) 式中对重复指标α自动求和，这叫爱因斯坦求和约定，本书中将始终采用这约定。
张量分析3
第三章 张量分析将偏导数的概念推广，建立协变导数的概念，使得一个张量的协变导数是另一个张量，这是张量分析发展中最重要的里程碑碑。
张量的协变导数是本章讨论的重点。
§3.1 基矢量的偏导数与克里斯托费尔符号求一个矢量的导数，必须对它的各个分量与基矢量乗积之和求导：j ,i i i i j ,j ,i i j ,jg V g V )g V (V xV +===∂∂ (3.1-1a) i j ,i i j ,i j ,i i g V g V )g V (+== (3.1-1b) 上式中的“，”号表示偏导数，本书以后均采用此记法。
（3.1-1a ）、（3.1-1b ）式中有基矢量i g 和对偶基矢量i g 对于曲线坐标j x 的偏导数j ,i g 和i j ,g 。
下面分别进行讨论。
一、基矢量i g 的偏导数j ,i g由基矢量的定义[（1.4-4）式]可以写出s j i s2s i s j j ,i i xx z )i x z (x g ∂∂∂=∂∂∂∂=这表示基矢量i g 对于坐标j x 的偏导数也是矢量，它也可以分解成沿对偶基矢量i g 或基矢量i g 方向的分量：kkijkijkj,i g g g Γ=Γ= （3.1-2）式中ijk Γ是j ,i g 沿k g 方向的分量；k ij Γ是j ,i g 沿k g 方向的分量。
从它们的意义可以理解，为什么ijk Γ和k ij Γ中包含I,j,k 三个指标。
若用另一基矢量点乘（3.1-2）式，就得到i j klk i j l k l i j l k j ,i g g g g Γ=δΓ=⋅Γ=⋅ (3.1-3a) k ij k l l ij k l l ij k j ,i g g g g Γ=δΓ=⋅Γ=⋅ (3.1-3b)ijk Γ称为第一类克里斯托费尔（Christoffel ）符号；k ij Γ称为第二克里斯托费尔符号。
（3.1-2）式或（3.1-3）式都可以作为克里斯托费尓符号的定义。
张量分析各章要点
各章要点第一章：矢量和张量指标记法：哑指标求和约定 ：同一项中出现一对相同的协、逆变指标则对该指标求和 自由指标规则：同一项中只能出现一次，不同项中保持在同一水平线上 协变基底和逆变基底：ki k i i x ∂∂==∂ξ∂ξr g e j j i i ⋅=δg giik k x∂ξ=∂g e123 ===g g g 张量概念i i'i'i =βg g i'i'ii =βg g i k i k j j''''ββ=δ i'i'i i v v =β ii 'i 'iv v =β i 'j'i 'j'k l ij ..k 'l'i j k 'l'..kl T T =ββββ i i i i v v ==v g g ..kl ij ijk l T =⊗⊗⊗T g g g g 度量张量ij i i i j i i g =⊗=⊗=⊗G g g g g g g⋅=⋅=⋅=⋅=v G G v v T G G T T.j kj i ik T T g =张量的商法则lm ijk T(i,j,k,l,m)S U = ijk...lmT(i,j,k,l,m)T = 置换符号312n 1n123n i i i i i 123n 1n i i i ...i A a a a ......a a e -- i j k Lmnijk .L.m .n a a a e e A = i j k .L .m .n ijk Lmn a a a e e A =置换张量i j k ijk ijk i j k =ε⊗⊗=ε⊗⊗εg g g g g gijk i j k ()e ε=⋅⨯=g g gijk ijk i j k ()ε=⋅⨯=g g gi j k ijk ijk i j k a b a b ()::()⨯=ε=ε=⊗=⊗a b g g a b εεa b广义δ符号i ii r s tj j j ijk ijk ijk r s t rst rst rst k k k r s te e δδδδδδ==εε=δδδδijk j k j k jk ist s t t s st δ=δδ-δδδijk k ijt t 2δ=δijk ijk 6δ=性质：是张量重要矢量等式：()()()⨯⨯=⋅-⋅a b c a c b a b c第二章： 二阶张量重要性质：T =T.u u.T 主不变量i 1.i Tr()T ζ==T i j l m2l m .i .j 1T T 2ζ=δ 3det()ζ=T1()()(())(())()⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=ζ⋅⨯T u v w +u T v w +u v T w u v w2)[)][()(]()[()]()⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=ξ⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （ ()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w 标准形1. 特征值、特征向量⋅=λT v v ()-λ⋅=T G v 0 321230λ-ζλ+ζλ-ζ= 2. 实对称二阶张量标准形i 123i 112233=⋅⊗=λ⊗+λ⊗+λ⊗N N g g g g g gg g 3. 正交张量（了解方法）12112233(cos()sin())(sin()cos())=ϕ+ϕ⊗+-ϕ+ϕ⊗+⊗R e e e e e e e e4. 反对称二阶张量的标准形21123=μ⊗-μ⊗=μ⨯Ωe e e e e G⋅=⨯Ωu ωu31:2=-=μ⨯ωεΩe u=-⋅Ωεω5. 正则张量极分解=⋅=⋅T R U V R第三章 张量函数概念：各项同性张量函数、解析函数 计算 e T ， sin()T 重要定理：1. Hamilton-Cayley 定理：32321231230λ-ζλ+ζλ-ζ=⇒-ζ+ζ-ζ=T T T G 0 2.对称各向同性张量函数表示定理：2012f ()k k k ==++H N G N N ；其中T T ;==H H N N ；而系数i k 是N 的主不变量的函数。
第3章张量分析(清华大学张量分析你值得拥有)精品PPT课件
※矢量的矢量函数 F (v) 的有限微分
F(v; u) lim F (v hu) F (v)
h0
h
F (v hu) F (v) hF (v; u) O(h2 )
dF hF(v; u) hF(v) u F (v) dv F(v) dF
dv
※张量的张量函数的有限微分（协变微分意义下）
张量函数 T ( A)，其中， A Aij gi g j，C Cij gi gj
T(A;C) lim T (A hC) T (A)
h0
h
T(A;C) T(A;Cij gi gj ) T(A; gi gj )Cij
T (A hC) T (A) T(A;C)h O(h2)
T( A) : Ch O(h2)
T(A) : C
dT T ( A) : dA T ( A) dT dA
注意：至此，都只是给出定义！
➢ 张量函数导数的链规则
★类似于经典的复合函数求导
经典复合函数 (g(x)) 的导数
d d dg d dg dx d d dg
dg
dห้องสมุดไป่ตู้ dx
dx dg dx
张量的张量复合函数 H H(F (T)) 的导数（二阶张量）
H f (N ) H k0G k1N k2 N 2
ki
ki
(
J1N
,
J
N 2
,
J
N 3
)
例：应力应变关系
1、各向同性材料
σ k0G k1ε k2ε2 ,
ki
ki (J1
,
J
2
,
J
3
)
2、线性各向同性材料
k2 0 k1 2 k0 J1
张量分析答案完整版
T i j k = βri βs j βt k T rst T
' ' i 'j k ' ' '
' ' '
'
'
'
= β ir β js β kt Trst
' ' ' ' ' ' '
T..ik j = βri βs j β kt T..trs T. ij k = βri β s βt T r j k .st
∴T 与S具有相同的主不变量。
2.4 求证： （1） [T ⋅ u v w ] + [u v T ⋅ w ] + [u v T ⋅ w ] = φ1T [u v w ]
张量及应用
1.5.3 矢量（Vector）
满足以下变换
关系的三个量 定义一个矢量
{a
i
}
设 a 为任意矢量，其在新、旧坐标系下的分量分别为
{a 1 ,a2,a3 },{a 1,a2,a3}
即
a a ie i, a a ie i
aiaeiaieiei a i a e i a ie ie i a ie ie i
bi Vimcm
m
bm Vmncn
n or else
1.4.2 乘积 设
则
1.4 指标记法的运算
不符合 求和约
定
p Umam q Vmbm
pqUmamVmbm
pqUmamVnbn
1.4 指标记法的运算
1.4.3 因式分解
考虑 Tijnjni 0
第一步用 n j 表示 n i , i j 有换指标的作用
……
C 3 3 A 3 B 3 k k A 3 B 3 1 1 A 3 B 3 2 2 A 3 B 3 33
例外：
R1 C1E1
R2 C2E2
Ri CiEi CiEi
R3 C3E3
这里 i 相当于一个自由指 标，而 i 只是在数值上等 于 i，并不与 i 求和。
规定：出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线 以示区别，或用文字说明（如i不求和）
2
e e 2 2
ee 2 2 4 4
422
1.4 指标记法的运算
3个方程， 右边为9 项之和
1.4.1 代入
设
ai Uimbm
bi Vimcm
把（2） 代入（1）
(1)
ai UimVmncn
(2)
cm em c1 e1c2 e2c3 e3
张量及应用
x 1 a 1x 1 1 a 1x 2 2 a 1x 3 3 x 2 a 2x 1 1 a 2x 2 2 a 2x 3 3 x 3 a 3x 1 a 3x 2 2 a 3x 3 3
ei Aijej i 为自由指标，j 为哑标
表示
e 1 A 1e 1 A 1e 2 2 A 1e 3 3 e 2 A 2e 1 A 2e 2 2 A 2e 3 3 e 3A 3e 1 A 3e 2 2 A 3e 3 3
或
Ux Uy Uz 0 x y z
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换 不可压缩牛顿流体的Navier-Stokes方程：
( U tiU j U xji)b i x p ix U jx i j
写出其普通记法
在坐标变换时其值保持不变，即满足
(x 1 ,x 2 ,x 3 )(x 1 ,x 2 ,x 3 )
如数学中的纯数，物理中的质量、密度、温度等。 时间是否标量？
1.5.3 矢量（Vector）
满足以下变换
关系的三个量 定义一个矢量
{a
i
}
设 a 为任意矢量，其在新、旧坐标系下的分量分别为
1.5.3 矢量（Vector）
ai ii ai
ai ii ai
ai ii ikak
哑标换成 k
ikak ii ikak
A31 A32
A13 A23 A33
指标任意排列，经过行列调 整总可用右边表示，两个置 换符号分别反映行、列调换 及指标重复时的正、负及零
令 Ai j i j
即得（ i ），将（ i ）作相应的指标替换， 展开化简，将得其余三式。
二维置换符号 e (,1,2)
《张量分析》报告(最新整理)
。从上述两式可以看出标量的左右梯度相等。
设 为三维区域 中的向量场，关于 的左右散度为
， 从上面两式可以看出向量的左右散度相等。
关于向量场 的左右旋度为
，
对于 的左右旋度，有关系式
。
标量场 的 Laplace 算子 为，
向量场 的 Gauss 公式为
其中 为区域 的边界曲面， 外法向量。
向量场 的 Stokes 公式为
， 为 上的单位
这里 为任意曲面， 为 的边界曲线，在边界 上积分 的环向与 的外法向 依右手定向规则： 指向观察者，从观察者 来看，曲线沿反时针为正。
第二部分 张量的简单运用
张量分析在许多领域有着广泛的应用，现在所学的弹塑性力学就 有简单的运用介绍，而且张量分析在岩石流变中的应用也非常有意 义。
对称张量之和，即：
Cij Aij Bij
Aij
1 2
C ij
C ji
Aji
Bij
1 2
C ij
C ji
1 2
C ji
Cij
B ji
4）高阶张量的对称和反对称
高阶张量可以是关于一对下标(或上标)对称或反对称。例如置
换张量，它关于任一对下标是反对称的：
ijk jik ,ijk ikj ,ijk kji
2.3 张量的乘法
两个张量的外积是将它们的分量相乘。这样的运算产生一个新张
量，其阶数是相乘两张量的阶数之和。
设 Aij 、 Bk 是张量，则外积
Cikj Aij Bk
Aˆij y
Amn
x
x m y i
x n y j
Aˆij yBˆ k y
y k xl
x m y i
北航张量分析课件06
称梯度 向量 grad ei xi 记 ei 称哈密顿算子 xi
标量梯度 的特性
问题 25？
由识别定理 为向量
ei xi
x3
l e1
梯度的投影等于方向导数
l li ei＝e1＝1iei
1i li l l y1 xi xi
S:S f S
张量场 时间
பைடு நூலகம்
C : F
矢径
r x k ik
f r , t
稳态场 均匀场
u ur , t T T r , t
f r u u r T T r
f t u u t T T t
3.1 张量函数 3
张量场的图形
均匀向量场的矢端线
u u t uk t ik 矢端线
u3
uk t
O
u(t) u2
u1
uk t
u1 u1 t u2 u2 t u3 u3 t
3.1 张量函数 4
标量场（二维）的等值线
x2
T (x1 ,x2 ) c
位移
变形
3.2.2 张量对坐标的导数
转动
18
二阶张量场的梯度
T T r Tij r ei e j
左梯度
ek xk
右梯度
Tjk Tjk Tjk e j ek ei e j e k T ei x xi xi i Tij Tij T Tij ei e j ek x x ei e j ek x k k k
【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向
设V中标准正交坐标系为 {i1, i2, i3} 。则二阶张量 A和矢量 u可表示为：
A Aij ii i j ; u ui ii A u u ; ( A I ) u o
可分别写成： 或
u A u
;
u ( A I ) o
( Aij ii i j ij ii i j ) (umim ) o ; (umim ) ( Aij ii i j ij ii i j ) o A12 A13 u1 0 A11 A u 0 A A 22 23 2 21 （3.4-3） A32 A33 A31 u 3 0
det(A I ) 0 ( a) det(A* I ) 0 ( b)
∵ ∴ (a)、(b)两式是关于λ的三次相同的代数方程。也就是说 A的右特征值和左特征值相同。由 (a)式或 (b)式得： ∵
[( A I ) a ] [( A I ) b][( A I ) c ] 0 a (b c ) [( A I ) a ] [( A I ) b][( A I ) c ] det( A I )
; ∴
u ai 2
u1 0 u 2 a u 0 3
（a是任意实数）
是方程组（1）的非零解。
A u (i1i3 i2i1 i2i2 i3i1 ) (ai2 ) ai2 1u
因此 u = a i2是 A的λ1 = 1特征值对应的右特征矢量。 左特征矢量： ∵
(detet Q) det(Q I ) det(Q I )
2 det(Q I ) 0 ∴ 因此得出结论： 正交二阶张量 Q，当det Q =1时存在右特征矢量 r。其对应 的特征值λ = 1。且：
张量分析书籍附详尽易懂
n个
称为n维仿射空间。E n 中旳每一种元素称为点。
记：
o (0, ,0),
x (x1,, xn ) ,
(x1, , xn )
且分别称为放射空间旳原点、位置矢量和负矢量。
对于n维仿射空间，全部旳位置矢量构成一种集合：
V0 x (x1,, xn ) xi , xi F,1 i n
(1 t)(1,1) t(1,1) a t b
(1 2t,1 2t) a t b
当 t b 时：
(2t 1,2t 1) (1,1)
当 t a 时：
(2t 1,2t 1) (1,1)
由此可得 a 0 ，b 1 。显然 r1 等 r2 价。
r1 与 r5 ： (取 s b5 b1 )
域上旳矢量空间。且仍记为V0 。
数域上旳矢量空间V0 具有如下性质：x, y, z V0 ,、 F
（1）
x yyx
（2）
(x y) z x ( y z)
（3）V0中存在称为有关加法旳单位元素o，使得：
xo x
x V0
（4）V0中每一种元素x都存在唯一旳(-x )，使得：
x (x) o
当t=b时：位置矢量标
定b点。即：
S
(4b 2,3 2b) (2,1)
由此拟定b=1 。
x2
当t=a时：位置矢量标
3
2
定a点。即：
1
(4a 2,3 2a) (1,1.5 )
由此拟定a=0.75 。
图中画出了计算成果 。
x2 3
2 u ab
1
2 (a)
u xy
x1
4
6
u xy u ab
1
2
。 Vx空间中旳矢量称为约束矢量。
张量分析及其应用
Ux Uy Uz 0 x y z
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换 不可压缩牛顿流体的Navier-Stokes方程：
( U tiU j U xji)b i x p ix U jx i j
写出其普通记法
{a 1 ,a2,a3 },{a 1,a2,a3}
即
a a ie i, a a ie i
aiaeiaieiei a i a e i a ie ie i a ie ie i
a a i
ii i（对 i’ 求和）
a a i
ii i（对 i 求和）
x 1 a 1x 1 1 a 1x 2 2 a 1x 3 3 x 2 a 2x 1 1 a 2x 2 2 a 2x 3 3 x 3 a 3x 1 a 3x 2 2 a 3x 3 3
ei Aijej i 为自由指标，j 为哑标
表示
e 1 A 1e 1 A 1e 2 2 A 1e 3 3 e 2 A 2e 1 A 2e 2 2 A 2e 3 3 e 3A 3e 1 A 3e 2 2 A 3e 3 3
ee121211
12 22
1233ee12
e3 31 31 33e3
ei iiei （对 i 求和，i’为自由指标）
从坐标变换的角度研究标量、矢量和张量
1.5.2 标量（纯量 Scalar）
可见：
e ijk e jk i e k ij e jik e ik j e k ji
e i j k 也称为三维空间的排列符号。
若 e1, e2, e3 是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量
则
ei ej eijkek
常见的恒等式
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（3.1-10j）
二阶张量与四阶张量的（双）点乘： （3.1-10k） 由（3.1-10e）、（3.1-10f）、（3.1-10g）、（3.1-10j）、 （3.1-10k）定义单位矢量（一阶单位张量）、二阶单位张 量和四阶单位张量。即满足：
nn 1 u A0 u
A0 u u Φ0 : A A
I u (ii ii ) (u j i j ) u j iiij ui ii u
设存在另一二阶张量 I ，且满足 u I I u 。则： u I u I o ; uo ∵ I I O ; I I （唯一性） ∴
3．
A : J ( Amn imin ) : (ii i j ii i j ) Amnmi jn ii i j Amn imin A
t1 b x2 t t2 n
h
x2
r
o
x1
a
o
x1
c
x3
t3
x3
(a )
(b )
图3－2
A1 An i1 An1 ; A2 An i2 An2 ; A3 An i3 An3
A B ( Ai i Bi i )ii ii
1 m 1 m 1 m
（3.1-3）
张量间的运算除加法、减法运算和数乘运算外，还可以 定义乘法运算。但应当特别注意的是张量间的乘法运算 有多种按不同法则定义的乘法运算。这一点在矢量乘法 运算中表现为矢量与矢量的点乘和叉乘（矢量本身就是 一阶张量）。因此谈到张量（不一定是同阶张量）间的 乘法运算必须指明是什么法则定义的乘法运算。 张量积：设张量 A P ; B P ；则 A和 B的张量积按：
j1 jm j1 jn
i1im j1 jn
j1 jm
j1 jn
AB C Ci1im j1 jn ii1 iim i j1 i jn BA C Ci1im j1 jn i j1 i jn ii1 iim
A P ; B P ; C , C P n m n m
第三章 张量代数
在第一章线性空间中对三维矢量空间V由张映射 定义了 m阶张量空间 V V Pm 。若{o;i1,i2,i3}是V中标准正交坐 标系。则的基底为 i i i ;1 i 3 ,, 1 i 3 。Pm中的任意
i1 i2 im 1 m
m
A B ( Ai1im Bi1im )ii1 iim Ci1im ii1 iim C
;
A 、B 、C Pm
; A P ; F m
（3.1-1）
（3.1-2）
定义。而数乘运算按：
A ( Ai i )ii ii
1 m 1 m
定义。 按（3.1-1）和（3.1-2）式容易得出：
ij i j k k ij k i j k 3
k k ij i j ij k k i j 3
二阶张量与二阶张量的张量积：
AB Aij ii i j （Bmn imin） Aij Bmn）i j imin Φ （ ) （ ii ; Φ P 4
（3.1-10d） （3.1-10e）
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一阶张量（全）点乘：
m n
A B AB ( Ai1im B j1 jn )ii1 iim i j1 i jn B A BA ( Ai1im B j1 jn )i j1 i jn ii1 iim
（3.1-4）
定义。由定义可以看出AB和BA都是m + n阶张量。且一般 AB≠BA（两张量的张量积一般不满足交换律）。对任一 组给定的i1,…,im ; j1,…,jn值，A 、B 都是确定的实数。 A B 记C 。则：
m n
; C Ps
m n 2 r
; r min m, n 。则定义
A(r ) B ( Ai1im ii1 iim ) (r )( B j1 jn i j1 i jn ) ( Ai1imr imr 1im ii1 iimr iimr 1 iim )(r )( B j1 jr jr 1 jn i j1 i jr i jr 1 i jn ) Ai1im Bimr 1im jr 1 jn ii1 iimr i jr 1 i jn Ai1imr j1 jr B j1 jn ii1 iimr i jr 1 i jn C ; ( r min m, n )
张量都可以表示为：
A Ai1im ii1 iim ; A P m
在后文的书写中，矢量空间的张量积符号在不致混淆时将 略去不写。如：
r r2 rm r1r2 rm
A B AB
3.1 张量代数运算
在§1.5节中由多重线性映射给出了张量空间。且对任意同 阶张量 A ; B P ; F ，（1.5-7）、（1.5-8）式给出了张量 （同阶）的加法运算和张量的数乘运算。若按（1.5-9）、 （1.5-10）定义零张量和加法逆元素。则同阶张量的加减 运算按：
（3.1-4a）
张量间的张量积运算有如下性质： 1．
A( B C ) AB AC
( B C ) A BA CA
B, C Pn ; A Pm
n m
（3.1-5） （3.1-5a）
2． A( BC) ( AB)C ABC A P ; B P （证明由读者自行完成） r点乘（积）：设 A P ; B P ; C P A、B张量的r点乘：
（3.1-6）
A 当m = n = r时， (r )B 称为A全点乘B。且记为：
A(r ) B A ⊙ B
（3.1-7）
由定义（3.1-6）式可知：
A( r （B C） A( r ) B A( r )C ) （B C）( r ) A B(r ) A C ( r ) A
二阶张量与二阶张量的（双）点乘：
A : B ( Aij ii i j ) : ( Bmn imin ) ( Aij Bmn )(ii im )(i j in ) Aij Bij
四阶张量与二阶张量的（双）点乘：
Φ : A ijkl ii i j ik il） Amn im in） ijkl Amn ) ii i j (ik im )(il in ) ijkl Akl ii i j （ （ : （
二阶张量与一阶张量的（一）点乘：
A u ( Amn imin ) (ui ii ) (ui Amn )im (i n ii ) un Amn im
二阶张量与二阶张量的（一）点乘：
A B Aij ii i j） Bmn imin） Aij Bmn )ii (i j im )in Aij Bjn ii in （ （ （
i2 r o i1 i3 图3－1
J (r r I r r ) (r )dV
o
(r r ) I ω rr ω dV (r r I rr ) ω dV J ω
例2： 如图3－2所示受力物体。 若物体在确定的约束条件 下处于平衡状态。试分析 r 点处的应力状态。 解： 在物体 r 点处用三个与 坐标面平行的平面和一个斜平面截出四面体oabc如图3-2 ( b)所示。取出的四 面体与物体中剩余部分的作用通过四个 面上的作用力联系。设obc , oac , oab , abc面上的作用力的 平均分布集度为t1, t2, t3。四面体内每单位体积上受有f = fi ii的外力。记n是abc面上的单位外法线矢量； abc的面积为 ΔA。则三角形 obc , oac , oab的面积分别为：
∴
u 1 (u j i j ) u ui ui
2 2 u12 +u2 +u3 u u 1 (u j u j ) 2 1 2 2 | u | | u | uiui u1 +u2 +u3
u n u
2．
u I (ui ii ) i j i j ui i jij ui ii u
J : A (ii i j ii i j ) : ( Amn imin ) Amnim jn ii i j Amn imin A
四阶单位张量唯一性证明留作练习。
例1： 如图3－1所示刚体Ω 以角速度 ω(ω是对刚体整体运动的 述量。 ω与r无关。即对刚体上的任意点而言刚体的角速 度都是ω) 。物体点 r处的密度为ρ (r) ；速度矢量为 u (r) 。则处微分体积 dV所包含质量 ρ (r) dV对 o点动量矩为：
0 0
3． Φ0 Φ0 ii i j ii i j im jnii i j im in 且记 ; 为 J 。即 J ii i j ii i j im jn ii i j imin 。并称 张量。 证： u V ; u ui ui 1． 对任意
0 0
J
（3.1-13） 为单位二阶
（3.1-8） （3.1-9）
但必须注意一般情况下：
A( r ) B B( r ) A [ A( r ) B]( s )C A( r )[ B( s )C ]
由（3.1-4a）和（3.1-6）式给出的是任意阶张量间的张量 积和 r点乘定义。而在处理实际物理和数学问题时，更常 见的是一阶和二阶张量的张量积和r点乘的情况。 设u、v是一阶张量（矢量）。A、B、C是二阶张量。则： 一阶张量与一阶张量的张量积： uv (ui ii ) (u j i j ) uiu j ii i j Aij ii i j A ; A P 2 （3.1-10a） 二阶张量与一阶张量的张量积： Au A i i ）u i ） A u ）i i Φ （ （ （ i ; Φ P （3.1-10b） 一阶张量与二阶张量的张量积： uA u i ）A i i ） A u ） i i Ψ （ （ （ i ; Ψ P （3.1-10c）