高等数学7-3

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高等数学第七章习题答案

习题7-11. 下列向量的终点各构成什么图形？（1）空间中一切单位向量归结为共同的始点；（2）平行于同一平面的一切单位向量归结为共同的始点；（3）平行于同一直线的所有单位向量归结为同一始点；（4）平行于同一直线的所有向量归结为同一始点。

答：（1）单位球面（2）单位圆（3）两个点（4）直线。

2．设点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在向量,,,,,,,,OA OB OC OD OE OF AB BC ,,,CD DE EF FA 中，哪些向量是相等的？答：,OA EF =,OB FA =,OC AB =,OD BC =,OE CD =.OF DE =3.平面四边形,ABCD 点,,,K L M N 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，证明：.KL NM =当四边形ABCD 是空间四边形时，上等式是否仍然成立？证明：连结AC, 则在∆BAC 中，21AC. 与方向相同；在∆DAC 中，21AC. NM 与AC 方向相同，从而KL ＝NM 且KL 与NM 方向相同，所以KL ＝NM .当四边形ABCD 是空间四边形时，上等式仍然成立。

4．解下列各题：（1）化简()()()()2332;x y x y -+-+-a b a b（2）已知12312323,322,=+-=-+a e e e b e e e 求,,32+--a b a b a b.解：（1）()()()()2332x y x y -+-+-a b a b()()()()23322332x y x y x y x y =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦a b()()55x y x y --+-=a b;（2）()()123123123233225;+=+-+-+=++a b e e e e e e e e e()()12312312323322;-=+---+=-+a b e e e e e e e +e e()()()()123123123123323232322693644-=+---+=+---+a b e e e e e e e e e e e e 235.=+e e5．四边形ABCD 中，2,568AB CD =-=+-a c a b c,对角线,AC BD 的中点分别是,,E F 求.EF 解：()()111156823352222EF CD AB =+=+-+-=+-a b c a c a b c.6．设ABC ∆的三条边,,AB BC CA 的中点分别为,,,L M N 另O 为任意一点，证明： .OA OB OC OL OM ON ++=++证明：（1）如果O 在ABC ∆内部（如图1），则O 把ABC ∆分成三个三角形OAB,OAC,OBC 。

《医用高等数学》(第二版)7-3随机变量及其分布

已知 X 的分布列如下：
X0 1 2
P 0.16 0.48 0.36
高等数学
07-03-26
分布函数有下列三条性质：
(1) F(x) 是一个不减函数，即若 x2>x1，则 F(x2)F(x1)； (2) 0F(x)1，且 F() lim F(x)0
F() lim F(x)1； x x
(3) F(x) 在任何点 x 处至少右连续，即 F(x+0)=F(x)。

高等数学
07-03-23 1ml 500ml
高等数学
07-03-24
分布函数(distribution function) 设 X 是一随机变量，x 是任意实
数，函数
F(x)=P(Xx) (<x<) 称为随机变量 X 的分布函数。
高等数学
07-03-25
例给青蛙按每单位体重注射一定剂量的洋地黄。由以往实验获知，致死的概率是 0.6，存活的概率是 0.4，今给 2 只青蛙注射，求青蛙死亡只数 X 的分布函数。
高等数学
07-03-12
二项分布(binomial distribution) 若随机变量 X 的概率函数为
P ( X k ) C n k p k q n k ( k 0 ,1 , ,n )
其中 0<p<1，则称随机变量 X 服从参数为 n,p 的二项分布，记为 X~B(n,p)。
离散型随机变量随机变量所可能取到的值是有
限个或至多可列个，这种随机变量称为离散型随机变量。
连续型随机变量随机变量可取到某个有限或无
限区间上的一切值，这样的随机变量称为连续型随机变量。
高等数学
07-03-06

大学经典课件之高等数学——7-3向量的乘法运算

C
1 25 2 2 2 = 15 + 12 + 16 = , 2 2 1 | AC | = 42 + ( −3)2 = 5, S = | AC |⋅ | BD | 2 25 1 ∴| BD |= 5. = ⋅ 5⋅ | BD | 2 2
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r r r 例 6 设向量 m , n, p 两两垂直，符合右手规 r r r 则，且| m |= 4 ，| n |= 2 ，| p |= 3 ，计算 r r r ( m × n) ⋅ p .
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r r a⋅b r r r r a ⋅ b =| a || b | cosθ ⇒ cos θ = r r , | a || b |
cosθ = a x bx + a y b y + a z bz a x + a y + az
2 2 2
bx + b y + bz
2 2
2
——两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为 r r r r a ⊥ b ⇐⇒ a ⋅ b = 0
( 2) cosθ = a x bx + a y b y + a z bz a x + a y + az
2 2 2
bx + b y + bz
2 2
2
1 =− , 2
r r r r r ( 3 ) a ⋅ b =| b | ( a ) b
3π . ∴θ = 4 r r r r a⋅b ∴ (a )b = r = −3. |b |
2
2 2
b a r a

《高等数学》详细上册答案(一--七)

2014届高联高级钻石卡基础阶段学习计划《高等数学》上册（一----七）第一单元、函数极限连续使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点：1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6.极限的性质及四则运算法则；7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.天数学习时间学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第一天2h第1章第1节映射与函数函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的建立习题1－14(3) (6)(8),5(3)★,9(2),15(4)★,17★4(4)(7),5(1),7(2),15(1)本节有两部分内容考研不要求，不必学习：1. “二、映射”；2. 本节最后——双曲函数和反双曲函数第二天3h1章第2节数列的极限数列极限的定义数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)习题1－21(2) (5)(8)★3(1)1. 大家要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义；2. 对于用数列极限的定义证明，看懂即可。

第1章第3节函数的极限函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）习题1－32,4★3,1. 大家要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义；2. 对于用函数极限的定义证明，看懂即可。

高等数学下：7-3 多元复合函数求导法

注也可由z=exysin(x+y) 而直接对x、y求偏导
1 z 1 z z
x
x x y y y 2 w
u
y
分析原函数由z y , w f (u), u x2 y2复合
w
证明记 f d f du
w dw u f 2 x
x du x
z 1 w yf 2x
x
y w2 x
f2
10
例2
设z
y f (x2
y2 ) ,其中f (u)可导，验证
求 dz dt
特殊：
z f (u, x, y)
u ( x, y)
z f [( x, y), x, y]
3
7.3.1 多元与一元的复合
1 自变量只有一个的情况
定理 7.3.1 如果函数 u (t )及v (t)
都在点t 可导，函数z f (u,v)在对应点(u,v)具
有连续偏导数，则复合函数z f [ (t), (t)]在对
求 z 和z . x y
解
z x
z u
u x
z v
v
e
u
sinv
y
e
u
cos
v
1
x
eu( y sinv cosv) exy( ysin(x y) cos(x y))
z z u z v eu sinv x eu cosv 1 y u y v y
eu( x sinv cosv) exy(xsin(x y) cos(x y)).
z y
z y2
已求得 z yf 2x
x
f2
z y
f
yf (2 y) f2
1 x
z x

《高等数学》第7章空间向量与空间解析几何

它们之间的距离为d = |M1M2|. 过点 M1 、M2 各作三个平面分别垂直 z 于三个坐标轴,形成如图的长方体. z2
d 2 M1M2 2
M1Q2QM 22
（△M1QM2 是直角三角形） M 1P2P2 Q Q2 M 2
z1 M1
P
（△M1PQ都是直角三角形）
x1
M 1 P 2P M 2 2Q2 M 2 x2
标式来表示向量M1M 2 与 2M1M2 .
2.已知 O A 4,1,5与O B 1,8,0,求向量AB
与 OAOB的坐标.
7.2 向量的数量积与向量积
掌握向量的数量积和向量积的定义，能够灵活运用运算规律，并熟训练使用判断向量平行或垂直的条件.
7.2.1 向量的数量积
引例设一物体在常力F 作用下沿直线从点M1移动到点M2,以S 表示位移M1M 2,则力F 所做的功
C (2， 4， 7)，求 AB 的 C面积.
解：
根据向量积的定义，可
知 ABC 的面积为
S ABC
1 AB 2
AC sin A 1 AB AC . 2
由于 AB 2，2，2，AC 1，2，4，所以
i jk
AB AC 2 2 2 4 i 6 j 2 k
124
于是 S ABC
Oxyz ,点O 叫做坐标原点(或原点).
八封限
每两个坐标轴确定的平面称为坐标
平面,简称为坐标面.x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xOy面,类似地, 有yOz面,zOx面.
z
Ⅲ
Ⅱ
Ⅳ
Ⅰ
O
Ⅶx
Ⅴ
Ⅷ
Ⅵy
这些坐标面把空间分成八个部分,每一个部分称
为一个卦限.x、y、z 轴的正半轴的卦限称为第

高等数学同济第五版第7章答案

习题7-11 设u a b 2c v a 3b c 试用a 、b 、c 表示2u 3v 解 2u 3v 2(a b 2c )3(a 3b c )2a 2b 4c 3a 9b 3c 5a 11b 7c2 如果平面上一个四边形的对角线互相平分试用向量证明这是平行四边形证明 →→→OA OB AB -= →→→OD OC DC -=而→→OAOC -= →→OBOD -=所以→→→→→→AB OA OB OB OA DC -=-=+-=这说明四边形ABCD 的对边AB CD 且AB //CD 从而四边形ABCD 是平行四边形3 把ABC 的BC 边五等分设分点依次为D 1、D 2、D 3、D4 再把各分点与点A 连接试以→c =AB 、→a =BC 表示向量→A D 1、→A D 2、→A D 3、→AD 4解 →→→ac 5111--=-=BD BA A D →→→ac 5222--=-=BD BA A D →→→ac 5333--=-=BD BA A D →→→ac 5444--=-=BD BA A D4 已知两点M 1(0 1 2)和M 2(1 1 0) 试用坐标表示式表示向量→21M M 及→212M M -解 →)2 ,2 ,1()2 ,1 ,0()0 ,1 ,1(21--=--=M M →)4 ,4 ,2()2 ,2 ,1(2221-=---=-M M5 求平行于向量a(6 76)的单位向量解 11)6(76||222=-++=a平行于向量a (6 7 6)的单位向量为)116 ,117 ,116(||1-=a a 或)116 ,117 ,116(||1--=-a a6 在空间直角坐标系中指出下列各点在哪个卦限？A (1 2 3)B (2 3 4)C (2 3 4)D (2 3 1) 解 A 在第四卦限 B 在第五卦限 C 在第八卦限 D 在第三卦限7 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置 A (3 4 0) B (0 4 3) C (3 0 0) D (0 1 0) 解在xOy 面上的点的坐标为(x y 0) 在yOz 面上的点的坐标为(0 y z ) 在zOx 面上的点的坐标为(x 0 z ) 在x 轴上的点的坐标为(x 0 0) 在y 轴上的点的坐标为(0 y 0) 在z 轴上的点的坐标为(0 0 z )A 在xOy 面上B 在yOz 面上C 在x 轴上D 在y 轴上8 求点(a b c )关于(1)各坐标面 (2)各坐标轴 (3)坐标原点的对称点的坐标解 (1)点(a b c )关于xOy 面的对称点为(a b c ) 点(a b c )关于yOz 面的对称点为(a b c ) 点(a b c )关于zOx 面的对称点为(a b c ) (2)点(a b c )关于x 轴的对称点为(a b c ) 点(a b c )关于y 轴的对称点为(a b c ) 点(a b c )关于z 轴的对称点为(a b c ) (3)点(a b c )关于坐标原点的对称点为(a b c )9 自点P 0(x 0 y 0 z 0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线写出各垂足的坐标解在xOy 面、yOz 面和zOx 面上垂足的坐标分别为(x 0 y 0 0)、(0 y 0 z 0)和(x 0 0 z 0)在x 轴、y 轴和z 轴上垂足的坐标分别为(x 0 0 0) (0 y 0 0)和(0 0 z 0)10 过点P 0(x 0 y 0 z 0)分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解在所作的平行于z 轴的直线上点的坐标为(x 0 y 0 z ) 在所作的平行于xOy 面的平面上点的坐标为(x y z 0)11 一边长为a 的立方体放置在xOy 面上其底面的中心在坐标原点底面的顶点在x 轴和y 轴上求它各顶点的坐标解因为底面的对角线的长为a 2 所以立方体各顶点的坐标分别为 )0 ,0 ,22(a - )0 ,0 ,22(a )0 ,22 ,0(a - )0 ,22 ,0(a) ,0 ,22(a a - ) ,0 ,22(a a ) ,22 ,0(a a - ) ,22 ,0(a a12 求点M (4 3 5)到各坐标轴的距离解点M 到x 轴的距离就是点(4 3 5)与点(4 0 0)之间的距离即345)3(22=+-=x d点M 到y 轴的距离就是点(4 3 5)与点(0 3 0)之间的距离即 415422=+=y d点M 到z 轴的距离就是点(4 3 5)与点(0 0 5)之间的距离即5)3(422=-+=z d13 在yOz 面上求与三点A (3 1 2)、B (4 2 2)和C (0 5 1)等距离的点解设所求的点为P (0 y z )与A 、B 、C 等距离则 →2222)2()1(3||-+-+=z y PA →2222)2()2(4||++++=z y PB→222)1()5(||-+-=z y PC由题意有 →→→222||||||PC PB PA ==即 ⎩⎨⎧-+-=++++-+-=-+-+2222222222)1()5()2()2(4)1()5()2()1(3z y z y z y z y 解之得y 1 z 2 故所求点为(0 1 2)14 试证明以三点A (4 1 9)、B (10 1 6)、C (2 4 3)为顶点的三角形是等腰三角直角三角形解因为→7)96()11()410(||222=-+--+-=AB →7)93()14()42(||222=-+-+-=AC→27)63()14()102(||222=-+++-=BC所以→→→222||||||AC AB BC += →→||||AC AB =因此ABC 是等腰直角三角形 15 设已知两点1) ,2 ,4(1M 和M 2(30 2) 计算向量→21M M 的模、方向余弦和方向角解 →)1 ,2 ,1()12 ,20 ,43(21-=---=M M→21)2()1(||22221=++-=M M21cos -=α 22cos =β 21cos =γ32πα= 43 πβ= 3πγ=16 设向量的方向余弦分别满足(1)cos 0 (2)cos 1 (3)cos cos 0 问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解 (1)当cos 0时向量垂直于x 轴或者说是平行于yOz 面 (2)当cos 1时向量的方向与y 轴的正向一致垂直于zOx 面 (3)当cos cos 0时向量垂直于x 轴和y 轴平行于z 轴垂直于xOy 面17 设向量r 的模是4 它与轴u 的夹角是60 求r 在轴u 上的投影解 22143cos ||j Pr =⋅=⋅=πr r u18 一向量的终点在点B (2 1 7) 它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为44 7 求这向量的起点A 的坐标解设点A 的坐标为(x y z ) 由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=-774142z y x解得x2 y3 z 0点A 的坐标为A (23 0) 19 设m 3i 5j 8k n 2i 4j 7k 和p5ij 4k 求向量a 4m 3n p在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量解因为a 4m 3n p 4(3i 5j 8k )3(2i 4j 7k )(5i j 4k )13i 7j 15k 所以a 4m 3n p 在x 轴上的投影为13 在y 轴上的分向量7j习题7-21 设a =3i -j -2k b =i +2j -k 求(1)a ×b 及a b (2)(-2a )×3b 及a 2b(3)a 、b 夹角的余弦解 (1)a ×b =3´1+(-1)´2+(-2)´(-1)=3kj i kj i b a 75121 213++=---=⨯(2)(-2a )×3b =-6a ×b = -63=-18a 2b =2(ab )=2(5i +j +7k )=10i +2j +14k(3)21236143||||||) ,cos(^==⋅=b a b a b a 2 设a 、b 、c 为单位向量且满足a +b +c =0 求a ×b +b ×c +c ×a 解因为a +b +c =0 所以(a +b +c )×(a +b +c )=0 即 a ×a +b ×b +c ×c +2a ×b +2a ×c +2c ×a =0于是 23)111(21)(21-=++-=⋅+⋅+⋅-=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a3 已知M 1(1-1 2)、M 2(33 1)和M 3(3 1 3) 求与→21M M 、→32M M 同时垂直的单位向量解 →)1 ,4 (2,2)1 ,13 ,13(21-=-+-=M M →)2 ,2 ,0()13 ,31 ,33(32-=---=M M→→kj i k j i n 446220 1423221--=--=⨯=M M M M172161636||=++=n)223(171)446(1721k j i k j i e --±=--±=为所求向量4 设质量为100kg 的物体从点M 1(3 1 8)沿直线称动到点M 2(1 4 2) 计算重力所作的功(长度单位为m 重力方向为z 轴负方向) 解F =(0 0 -1009 8)=(0 0 -980) →)6 ,3 ,2()82 ,14 ,31(21--=---==M M SW =F ×S =(0 0 -980)×(-2 3 -6)=5880(焦耳)5 在杠杆上支点O 的一侧与点O 的距离为x 1的点P 1处有一与→1OP 成角1的力F 1作用着在O 的另一侧与点O 的距离为x 2的点P 2处有一与→2OP 成角1的力F 1作用着问1、2、x 1、x 2、|F 1|、|F 2|符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解因为有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零再注意到对力矩正负的规定可得使杠杆保持平衡的条件为x 1|F 1|×sin 1x 2|F 2|×sin 20 即 x 1|F 1|×sin 1x 2|F 2|×sin 2 6 求向量a =(4 -3 4)在向量b =(2 2 1)上的投影解 2)142324(31)1 ,2 ,2()4 ,3 ,4(1221||1||j Pr 222=⨯+⨯-⨯=⋅-++=⋅=⋅=⋅=b a b b b a e a a b b7 设a =(3 5 -2) b =(2 1 4) 问l 与m 有怎样的关系能使得l a +m b与z 轴垂直?解 l a +m b =(3l +2m , 5l +m , -2l +4m ), l a +m b 与z 轴垂Ûl a +m b ^kÛ(3l +2m , 5l +m , -2l +4m )×(0, 0, 1)=0, 即-2l +4m =0, 所以l =2m . 当l =2m 时, l a +m b 与z 轴垂直. 8 试用向量证明直径所对的圆周角是直角证明设AB 是圆O 的直径 C 点在圆周上则→→OAOB -= →→||||OA OC = 因为→→→→→→→→→→→→0||||)()()()(22=-=+⋅-=-⋅-=⋅OA OC OA OC OA OC OB OC OA OC BC AC所以→→BCAC ⊥ ∠C 909 设已知向量a 2i 3j k b i j 3k 和c i 2j 计算 (1)(a ×b )c (a ×c )b (2)(a b )(b c ) (3)(a b )×c解 (1)a ×b 21(3)(1)138 a ×c 21(3)(2)8 (a ×b )c (a ×c )b 8c 8b8(c b )8[(i2j )(ij 3k )]8j24k(2)a b3i4j4kbc 2i 3j 3kkj kj i c b b a --=--=+⨯+332443)()((3)kj i kj i b a +--=--=⨯58311132(a b )×c81(5)(2)10210 已知→j i 3+=OA →k j 3+=OB , 求D OAB 的面积.解根据向量积的几何意义 →→||OB OA ⨯表示以→OA 和→OB 为邻边的平行四边形的面积于是D OAB 的面积为→→||21OB OA S ⨯=因为→→kj i kj i +--==⨯33310301OB OA →→191)3()3(||223=+-+-=⨯OB OA所以三角形D OAB 的面积为→→1921||21=⨯=OB OA S 12 试用向量证明不等式||332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++其中a 1、a 2、a 3、b 1、b 2、b 3为任意实数并指出等号成立的条件解设a (a 1 a 2 a 3) b (b 1 b 2 b 3) 则有||||) ,cos(||||^b a b a b a b a ⋅≤⋅=⋅于是 ||332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++其中当),cos(^b a 1时即a 与b 平行是等号成立习题7-31 一动点与两定点(2, 3, 1)和(4, 5, 6)等距离, 求这动点的轨迹方程. 解设动点为M (x y z ) 依题意有(x 2)2(y 3)2(z 1)2(x 4)2(y 5)2(z 6)2即 4x 4y 10z 6302 建立以点(1, 3, -2)为球心, 且通过坐标原点的球面方程. 解球的半径14)2(31222=-++=R球面方程为(x 1)2(y 3)2(z 2)214即 x 2y 2z 22x 6y 4z 03 方程x 2+y 2+z 2-2x +4y +2z =0表示什么曲面? 解由已知方程得(x 22x 1)(y 24y 4)(z 22z 1)141即 2222)6()1()2()1(=++++-z y x所以此方程表示以(1 21)为球心以6为半径的球面4 求与坐标原点O 及点(2 3 4)的距离之比为12的点的全体所组成的曲面的方程它表示怎样曲面？解设点(x y z )满足题意依题意有21)4()3()2(222222=-+-+-++z y x z y x化简整理得9116)34()1()32(222=+++++z y x它表示以)34 ,1 ,32(---为球心以2932为半径的球面 5 将zOx 坐标面上的抛物线z 2=5x 绕x 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 解将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2z 25x6 将zOx 坐标面上的圆x2z 29绕z 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程.解将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x2y 2z 297 将xOy 坐标面上的双曲线4x 2-9y 2=36分别绕x 轴及y 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程.解双曲线绕x 轴旋转而得的旋转曲面的方程为4x 29y 29z 236双曲线绕y 轴旋转而得的旋转曲面的方程为4x 24z 29y 2368 画出下列方程所表示的曲面: (1)222)2()2(ay a x =+-(2)19422=+-y x ;(3)14922=+z x ;(4)y 2z 0(5)z =2-x 2.9 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形 (1)x 2解在平面解析几何中 x 2表示平行于y 轴的一条直线在空间解析几何中 x 2表示一平行于yOz 面的平面(2)y x 1解在平面解析几何中 y x 1表示一条斜率是1 在y 轴上的截距也是1的直线在空间解析几何中，y x 1表示一平行于z 轴的平面(3)x 2y 24解在平面解析几何中 x 2y 24表示中心在原点半径是4的圆在空间解析几何中 x 2y 24表示母线平行于z 轴准线为x 2y 24的圆柱面(4)x 2y 21解在平面解析几何中 x 2y 21表示双曲线在空间解析几何中 x 2y 21表示母线平行于z 轴的双曲面10 说明下列旋转曲面是怎样形成的:(1)1994222=++z y x ;解这是xOy 面上的椭圆19422=+y x 绕x 轴旋转一周而形成的或是zOx 面上的椭圆19422=+z x 绕x 轴旋转一周而形成的(2)14222=+-z y x解这是xOy 面上的双曲线1422=-y x 绕y 轴旋转一周而形成的或是yOz 面上的双曲线1422=+-z y 绕y 轴旋转一周而形成的(3)x 2y 2z 21解这是xOy 面上的双曲线x 2y 21绕x 轴旋转一周而形成的或是zOx 面上的双曲线x 2z 21绕x 轴旋转一周而形成的(4)(z a )2x 2y 2解这是zOx 面上的曲线(z a )2x 2绕z 轴旋转一周而形成的或是yOz 面上的曲线(z a )2y 2绕z 轴旋转一周而形成的 11 画出下列方程所表示的曲面(1)4x 2y 2z 24(2)x 2y 24z 24(3)94322y x z +=习题7 41 画出下列曲线在第一卦限的图形:(1)⎩⎨⎧==21y x(2)⎩⎨⎧=---=0422y x y x z ;(3) ⎩⎨⎧=+=+222222az x a y x .2 指出下方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形: (1)⎩⎨⎧-=+=3215x y x y解在平面解析几何中 ⎩⎨⎧-=+=3215x y x y 表示直线y 5x 1与y 2x 3的交点)317 ,34(-- 在空间解析几何中 ⎩⎨⎧-=+=3215x y x y 表示平面y 5x1与y 2x3的交线它表示过点)0 ,317 ,34(-- 并且行于z 轴(2)⎪⎩⎪⎨⎧==+319422y y x解在平面解析几何中⎪⎩⎪⎨⎧==+319422y y x 表示椭圆19422=+y x 与其切线y3的交点(03)在空间解析几何中 ⎪⎩⎪⎨⎧==+319422y y x 表示椭圆柱面19422=+y x 与其切平面y 3的交线 3 分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程.解把方程组中的x 消去得方程3y 2z 216 这就是母线平行于x 轴且通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程. 把方程组中的y 消去得方程3x 22z216 这就是母线平行于y 轴且通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程. 4 求球面x 2+y 2+z 2=9与平面x +z =1的交线在xOy 面上的投影的方程.解由x z 1得z 1x 代入x 2+y 2+z 2=9得方程2x 22x y 28 这是母线平行于z轴准线为球面x 2+y 2+z 2=9与平面x +z =1的交线的柱面方程于是所求的投影方程为 ⎩⎨⎧==+-082222z y x x5 将下列曲线的一般方程化为参数方程:(1)⎩⎨⎧==++x y z y x 9222 ;解将yx 代入x 2y 2z 29得2x 2z 29 即13)23(2222=+z x令tx cos 23= 则z 3sin t故所求参数方程为 tx cos 23= ty cos 23= z 3sin t(2)⎩⎨⎧==+++-04)1()1(222z z y x .解将z0代入(x 1)2y 2(z 1)24得(x 1)2y 23令t x cos 31+= 则t y sin 3=于是所求参数方程为 tx cos 31+= t y sin 3= z 06 求螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程解由前两个方程得x2y 2a 2 于是螺旋线在xOy 面上的投影曲线的直角坐标方程为⎩⎨⎧==+0222z a y x由第三个方程得b z =θ代入第一个方程得bza x cos = 即axb z arccos =于是螺旋线在zOx 面上的投影曲线的直角坐标方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧==0arccos y axb z由第三个方程得bz=θ代入第二个方程得bz a ysin = 即ayb z arcsin=于是螺旋线在yOz 面上的投影曲线的直角坐标方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧==a yb z x arcsin 07 求上半球2220y x a z --≤≤与圆柱体x 2+y 2£ax (a >0)的公共部分在xOy 面和zOx 面上的投影.解圆柱体x 2+y 2£ax 在xOy 面上的投影为x 2+y 2£ax 它含在半球2220y x a z --≤≤在xOy 面上的投影x 2y 2a 2所以半球与圆柱体的公共部分在xOy 面上的投影为x 2+y 2£ax为求半球与圆柱体的公共部分在zOx 面上的投影由圆柱面方程x 2+y 2ax 得y 2ax x 2 代入半球面方程222y x a z --= 得ax a z -=2(0x a ) 于是半球与圆柱体的公共部分在zOx 面上的投影为 ax a z -≤≤20(0x a ) 即z 2ax a 2 0x a z 08. 求旋转抛物面z =x 2+y 2(0£z £4)在三坐标面上的投影.解令z 4得x 2y 24 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0£z £4)在xOy 面上的投影为x 2y 24令x 0得z y 2 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0£z £4)在yOz 面上的投影为y 2z 4令y 0得z x 2 于是旋转抛物面z =x 2+y 2(0£z £4)在zOx 面上的投影为x 2z 4习题7 51. 求过点(3, 0, -1)且与平面3x -7y +5z -12=0平行的平面方程. 解所求平面的法线向量为n (3 7 5) 所求平面的方程为 3(x 3)7(y 0)5(z 1)0 即3x -7y +5z -4=02. 求过点M 0(2, 9, -6)且与连接坐标原点及点M 0的线段OM 0垂直的平面方程. 解所求平面的法线向量为n (2, 9, -6) 所求平面的方程为 2(x 2)9(y 9)6(z 6)0 即2x 9y 6z 12103. 求过(1, 1, -1)、(-2, -2, 2)、(1, -1, 2)三点的平面方程. 解 n 1(1, -1, 2)(1, 1, -1)(0 2 3) n 1(1, -1, 2)(-2, -2, 2)(3 1 0) 所求平面的法线向量为 kj i kj i n n n 69301332021++-=-=⨯=所求平面的方程为3(x 1)9(y 1)6(z 1)0 即x 3y 2z 04. 指出下列各平面的特殊位置并画出各平面 (1)x 0解 x 0是yOz 平面 (2)3y 10解 3y 10是垂直于y 轴的平面它通过y 轴上的点)0 ,31,0((3)2x 3y 60解 2x 3y 60是平行于z 轴的平面它在x 轴、y 轴上的截距分别是3和2(4)03=-y x解 03=-y x 是通过z 轴的平面它在xOy 面上的投影的斜率为33(5)y z 1解 y z 1是平行于x 轴的平面它在y 轴、z 轴上的截距均为1 (6)x 2z 0解 x 2z 0是通过y 轴的平面 (7)6x 5z 0解 6x 5z 0是通过原点的平面5 求平面2x -2y +z +5=0与各坐标面的夹角的余弦. 解此平面的法线向量为n (2 2 1) 此平面与yOz 面的夹角的余弦为321)2(22||||) ,cos(cos 122^=+-+=⋅⋅==i n i n i n α此平面与zOx 面的夹角的余弦为 321)2(22||||) ,cos(cos 122^-=+-+-=⋅⋅==j n j n j n β此平面与xOy 面的夹角的余弦为311)2(21||||) ,cos(cos 122^=+-+=⋅⋅==k n k n k n γ6. 一平面过点(1, 0, -1)且平行于向量a =(2, 1, 1)和b =(1, -1, 0), 试求这平面方程.解所求平面的法线向量可取为 kj i kj i b a n 3011112-+=-=⨯=所求平面的方程为(x 1)(y 0)3(z 1)0 即x y 3z 407 求三平面x 3y z 1 2x y z 0 x 2y 2z 3的交点解解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--=++3220213z y x z y x z y x得x 1 y 1 z 3 三个平面的交点的坐标为(11 3)8 分别按下列条件求平面方程:(1)平行于zOx 面且经过点(2, -5, 3);解所求平面的法线向量为j (0 1 0) 于是所求的平面为 0×(x 2)5(y 5)0×(z 3)0 即y 5 (2)通过z 轴和点(-3, 1, -2);解所求平面可设为Ax By 0因为点(-3, 1, -2)在此平面上所以 3A B 0 将B 3A 代入所设方程得 Ax 3Ay 0 所以所求的平面的方程为 x 3y 0(3)平行于x 轴且经过两点(4 0 2)和(5 1 7) 解所求平面的法线向量可设为n (0 b c ) 因为点(4 0 2)和(5 1 7)都在所求平面上所以向量n 1(5 1 7)(4 0 2)(1 1 9)与n 是垂直的即b 9c 0 b 9c 于是 n (0 9c c )c (0 9 1) 所求平面的方程为9(y 0)(z 2)0 即9y z 20 9. 求点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z -10=0的距离. 解点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z -10=0的距离为1221|1012221|222=++-⨯+⨯+=d习题7 61. 求过点(4, -1, 3)且平行于直线51123-==-z yx 的直线方程.解所求直线的方向向量为s (2 1 5) 所求的直线方程为531124-=+=-z y x2. 求过两点M 1(3, -2, 1)和M 2(-1, 0, 2)的直线方程.解所求直线的方向向量为s (-1, 0, 2)(3, -2, 1)(4 2 1) 所求的直线方程为112243-=+=--x y x3. 用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x .解平面x y z 1和2x y z 4的法线向量为n 1(1 1 1) n 2(2 11) 所求直线的方向向量为 kj i kj i n n s 3211211121++-=-=⨯=在方程组⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x 中令y 0得⎩⎨⎧=+=+421z x z x 解得x 3 z 2 于是点(3 0 2)为所求直线上的点所求直线的对称式方程为 32123+==--z yx参数方程为x 32t y t z23t4. 求过点(2, 0, -3)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.解所求平面的法线向量n 可取为直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 的方向向量即kj i kj i n 111416253421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-⨯-=所平面的方程为16(x 2)14(y0)11(z 3)0 即16x 14y 11z 6505 求直线⎩⎨⎧=+-=-+-02309335z y x z y x 与直线⎩⎨⎧=-++=+-+0188302322z y x z y x 的夹角的余弦解直线⎩⎨⎧=+-=-+-02309335z y x z y x 与⎩⎨⎧=-++=+-+0188302322z y x z y x 的方向向量分别为kj i kj i s -+=--=431233351 kj i kj i s 105101831222+-=-=两直线之间的夹角的余弦为 010)5(10)1(4310)1()5(4103||||) ,cos(2222222121^21=+-+-++⨯-+-⨯+⨯=⋅⨯=s s s s s s6 证明直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线⎩⎨⎧=--=-+028363z y x z y x 平行解直线⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与⎩⎨⎧=--=-+028363z y x z y x 的方向向量分别为kj i kj i s 531121211++=--= kj i kj i s 15391123632---=---=因为s 23s 1 所以这两个直线是平行的7. 求过点(0, 2, 4)且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行的直线方程.解因为两平面的法线向量n 1(1 0 2)与n 2(0 1 3)不平行所以两平面相交于一直线此直线的方向向量可作为所求直线的方向向量s 即kj i kj i s ++-=-=32310201所求直线的方程为 14322-=-=-z y x8. 求过点(3, 1, -2)且通过直线12354zy x =+=-的平面方程. 解所求平面的法线向量与直线12354zy x =+=-的方向向量s 1(5 2 1)垂直因为点(3 1 2)和(4 3 0)都在所求的平面上所以所求平面的法线向量与向量s 2(4 3 0)(3 1 2)(1 4 2)也是垂直的因此所求平面的法线向量可取为kj i kj i s s n 229824112521--=-=⨯=所求平面的方程为 8(x 3)9(y 1)22(z 2)0 即8x 9y 22z 5909 求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面x yz 10的夹角解直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 的方向向量为)2(2242111311)1 ,1 ,1()3 ,1 ,1(k j i k j i kj i s -+=-+=--=--⨯=平面x y z 10的法线向量为n (1 1 1) 因为s ×n 214(1)(2)(1)0所以s n从而直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面x y z 10的夹角为010 试确定下列各组中的直线和平面间的关系(1)37423zy x =-+=-+和4x2y 2z 3解所给直线的方向向量为s (2 7 3) 所给平面的法线向量为n (42 2)因为s ×n (2)4(7)(2)3(2)0 所以s n 从而所给直线与所给平面平行又因为直线上的点(3 4 0)不满足平面方程4x 2y 2z 3 所以所给直线不在所给平面上(2)723zy x =-=和3x 2y 7z 8 解所给直线的方向向量为s (3 2 7) 所给平面的法线向量为n (32 7)因为s n 所以所给直线与所给平面是垂直的 (3)431232--=+=-z y x 和xy z 3解所给直线的方向向量为s (3 1 4) 所给平面的法线向量为n (1 11)因为s ×n 3111(4)10 所以s n 从而所给直线与所给平面平行又因为直线上的点(2 2 3)满足平面方程x y z 3 所以所给直线在所给平面上11 求过点(1 2 1)而与两直线 ⎩⎨⎧=-+-=+-+01012z y x z y x 和⎩⎨⎧=+-=+-002z y x z y x平行的平面的方程解直线⎩⎨⎧=-+-=+-+01012z y x z y x 的方向向量为kj i kj i s 32111121)1 ,1 ,1()1 ,2 ,1(1--=--=-⨯-=直线⎩⎨⎧=+-=+-002z y x z y x 的方向向量为kj kj i s --=--=-⨯-=111112)1 ,1 ,1()1 ,1 ,2(1所求平面的法线向量可取为 kj i kj i s s n -+-=----=⨯=11032121所求平面的方程为(x 1)(y 2)(z 1)0 即x y z 0 12. 求点(-1, 2, 0)在平面x +2y -z +1=0上的投影.解平面的法线向量为n (1 2 1) 过点(1 2 0)并且垂直于已知平面的直线方程为12211-=-=+z y x将此方程化为参数方程x 1t y 22t z t 代入平面方程x +2y -z +1=0中得(1t )2(22t )(t )10 解得32-=t 再将32-=t 代入直线的参数方程得35-=x 32=y 32=z 于是点(-1, 2, 0)在平面x +2y -z +1=0上的投影为点)32 ,32 ,25(-13 求点P (3 1 2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离解直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的方向向量为kj kj i s 33112111)1 ,1 ,2()1 ,1 ,1(--=--=-⨯-=过点P 且与已知直线垂直的平面的方程为3(y 1)3(z 2)0 即y z 10 解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+-=+-+0104201z y z y x z y x 得x 1 21-=y 23=z点P (3 1 2)到直线⎩⎨⎧=-+-=+-+04201z y x z y x 的距离就是点P (31 2)与点)23,21 ,1(-间的距离即 223)232()211()13(22=-++-+-=d14 设M 0是直线L 外一点 M 是直线L 上任意一点且直线的方向向量为s 试证点M 0到直线L 的距离 →||||0s s ⨯=M M d解设点M 0到直线L 的距离为d L 的方向向量→MN =s 根据向量积的几何意义以→M M 0和→MN 为邻边的平行四边形的面积为→→→||||00s ⨯=⨯M M MN M M又以→M M 0和→MN 为邻边的平行四边形的面积为→||||s ⋅=⋅d MN d 因此→||||0s s ⨯=⋅M M d →||||0s s ⨯=M M d15 求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面4xy z 1上的投影直线的方程解过直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 的平面束方程为(23)x (4)y (12)z 90为在平面束中找出与已知平面垂直的平面令(4 1 1)×(23 412)0 即4×(23)(1)×(4)1×(12)0解之得1113-=λ 将1113-=λ代入平面束方程中得17x31y 37z 117故投影直线的方程为⎩⎨⎧=--+=+-011737311714z y x z y x16 画出下列各曲面所围成的立体图形(1)x 0 y 0 z 0 x 2 y 1 3x 4y 2z 120(2)x 0 z 0 x 1 y 2 4y z =(3)z 0z 3 x y 0 03=-y x x2y 21(在第一卦限)(4)x 0 y 0 z 0 x2y 2R 2 y 2z 2R 2(在第一卦限)总习题七 1. 填空(1)设在坐标系[O ; i , j , k ]中点A 和点M 的坐标依次为(x 0, y 0, z 0)和(x , y , z ), 则在[A ; i , j , k ]坐标系中, 点M 的坐标为___________, 向量→OM 的坐标为___________. 解 M (x x 0 y y 0 zz 0) →), ,(z y x OM =提示自由向量与起点无关它在某一向量上的投影不会因起点的位置的不同而改变(2)设数l 1、l 2、l 3不全为0, 使l 1a +l 2b +l 3c =0, 则a 、b 、c 三个向量是__________的. 解共面(3)设a =(2, 1, 2), b =(4, -1, 10), c =b -l a , 且a ^c , 则l =____________. 解3提示因为a ^c , 所以a ×c 0 又因为由a ×c a ×b a ×a 241(1)210(221222)279 所以3(4)设a 、b 、c 都是单位向量, 且满足a +b +c =0, 则a ×b +b ×c +c ×a =____________. 解 23-提示因为a +b +c =0 所以(a +b +c )×(a +b +c )=0即 a ×a +b ×b +c ×c +2a ×b +2a ×c +2c ×a =0 于是 23)111(21)(21-=++-=⋅+⋅+⋅-=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a(5)设|a |=3, |b |=4, |c |=5, 且满足a +b +c =0, 则|a ´b +b ´c +c ´a |=____________.解36 提示 c (a b )a ´b +b ´c +c ´a a b b (a b )(a b )a a b b a b a 3a b |a ´b +b ´c +c ´a |3|a b |3|a |×|b |3×3×436 2. 在y 轴上求与点A (1, -3, 7)和点B (5, 7, -5)等距离的点. 解设所求点为M (0 y 0) 则有12(y 3)27252(y 7)2(5)2即 (y 3)2(y 7)2解得y 2 所求的点为M (0 2 0)3. 已知D ABC 的顶点为A (3,2,-1)、B (5,-4,7)和C (-1,1,2), 求从顶点C 所引中线的长度.解线段AB 的中点的坐标为)3 ,1 ,4()271 ,242 ,253(-=+--+ 所求中线的长度为30)23()11()14(222=-+--++=d4. 设D ABC 的三边→a =BC 、→b =CA 、→c =AB , 三边中点依次为D 、E 、F , 试用向量a 、b 、c 表示→AD 、→BE 、→CF , 并证明→→→0=++CF BE AD . 解 →→→ac 21+=+=BD AB AD →→→ba 21+=+=CE BC BE →→→cb 21+=+=AF CA CF→→→0=+-=++=++)(23)(23c c c b a CF BE AD5. 试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边, 且其长度等于第三边长度的一半.证明设D E 分别为AB AC 的中点则有→→→→→)(21AB AC AD AE DE -=-=→→→→→ABAC AC BA BC -=+=所以 →→BC DE 21=从而DE //BC且||21||BC DE =6. 设|a b ||a b |, a =(3, -5, 8), b =(-1, 1, z ), 求z .解a b (2 4 8z ) a b (4 6 8z ) 因为|a b ||a b |, 所以222222)8()6(4)8()4(2z z -+-+=++-+解得z 17. 设3||=a , |b |=1, 6) ,(^π=b a , 求向量a +b 与a -b 的夹角.解 |a b |2(a b )×(a b )|a |2|b |22a ×b |a |2|b |22|a |×|b |cos(a^b )76cos 3213=++=π|a b |2(a b )×(a b )|a |2|b |22a ×b |a |2|b |22|a |×|b |cos(a^b )16cos 3213=-+=π设向量a +b 与a -b 的夹角为则721713||||||||||||)()(cos 22=⋅-=-⋅+-=-⋅+-⋅+=b a b a b a b a b a b a b a θ72arccos =θ8. 设a +3b ^7a -5b , a -4b ^7a -2b , 求) ,(^b a .解因为a +3b ^7a -5b , a -4b ^7a -2b ,所以 (a +3b )×(7a -5b )=0, (a -4b )×(7a -2b )=0,即 7|a |2+16a ×b -15|b |2 =0, 7|a |2-30a ×b +8|b |2=0, 又以上两式可得b a b a ⋅==2||||,于是 21||||) ,cos(^=⋅⋅=b a b a b a , 3) ,(^π=b a .9. 设a =(2, -1, -2), b =(1, 1, z ), 问z 为何值时) ,(^b a 最小？并求出此最小值.解 2^2321||||) ,cos(z z +-=⋅⋅=b a b a b a .因为当2) ,(0^π<<b a 时, ) ,cos(^b a 为单调减函数. 求) ,(^b a 的最小值也就是求22321)(z z z f +-=的最大值.令0)2(431)(2/32=+--⋅='z z z f , 得z =-4. 当z =-4时, 22) ,cos(^=b a , 所以422arccos ) ,(min ^π==b a .10 设|a |4 |b |36) ,(^π=b a , 求以a2b 和a 3b 为边的平行四边形的面积解 (a 2b )(a 3b )3a b 2b a 5b a 以a 2b 和a 3b 为边的平行四边形的面积为3021435) ,sin(||||5||5|)3()2(|^=⋅⋅⋅=⋅=⨯=-⨯+b a a b a b b a b a11 设a (2 3 1) b (1 2 3) c (2 1 2) 向量r 满足r ^a r ^b Prj c r 14 求r 解设r (x y z )因为r ^a r ^b 所以r ×a 0 r ×b 0 即 2x 3y z 0 x 2y 3z 0又因为Prj c r14 所以14||1=⋅c c r 即2x y 2z 42 解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=+-4222032032z y x z y x z y x得x 14 y 10 z 2 所以r (14 10 2)另解因为r ^a r ^b所以r 与k j i kj i b a ---=--=⨯57321132平行故可设r(75 1) 又因为Prj c r14 所以14||1=⋅c c r r ×c 42 即(725112)42 2 所以r (14 10 2)12 设a (1 3 2) b (2 3 4) c (3 12 6) 证明三向量a 、b 、c 共面并用a 和b 表示c证明向量a 、b 、c 共面的充要条件是(a b )×c 0 因为 ki kj i b a 36432231--=---=⨯(a b )×c (6)(3)012(3)6所以向量a 、b 、c 共面设c a b 则有 (2 33 24)(3 12 6)即有方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=+-642123332μλμλμλ解之得5 1 所以c 5a b13. 已知动点M (x ,y ,z )到xOy 平面的距离与点M 到点(1, -1, 2)的距离相等, 求点M 的轨迹方程.解根据题意有222)2()1()1(||-+++-=z y x z或 z 2(x 1)2(y 1)2(z 2)2化简得(x 1)2(y 1)24(z 1) 这就是点M 的轨迹方程14. 指出下列旋转曲面的一条母线和旋转轴:(1)z =2(x 2+y 2);解旋转曲面的一条母线为zOx 面上的曲线z 2x2旋转轴为z 轴(2)136936222=++z y x解旋转曲面的一条母线为xOy 面上的曲线193622=+y x 旋转轴为y 轴(3)z 23(x 2y 2)解旋转曲面的一条母线为yOz 面上的曲线y z 3= 旋转轴为z 轴(4)144222=--z y x解旋转曲面的一条母线为xOy 面上的曲线1422=-y x 旋转轴为x 轴15 求通过点A (3 00)和B (0 0 1)且与xOy 面成3π角的平面的方程解设所求平面的法线向量为n (a b c )→)1 ,0 ,3(-=BA xOy 面的法线向量为k(00 1)按要求有→=⋅BA n 3cos ||||π=⋅⋅k n k n即 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-2103222c b a c c a解之得c 3a a b 26±= 于是所求的平面的方程为 0326)3(=+±-z y x即 3326=++z y x 或3326=+-z y x16. 设一平面垂直于平面z =0, 并通过从点(1, -1, 1)到直线⎩⎨⎧==+-01x z y 的垂线, 求此平面方程.解直线⎩⎨⎧==+-001x z y 的方向向量为s (0 11)(1 0 0)(0 11) 设点(1, -1, 1)到直线⎩⎨⎧==+-001x z y 的垂线交于点(x 0y 0 z 0) 因为点(x 0 y 0 z 0)在直线⎩⎨⎧==+-01x z y 上所以(x 0 y 0 z 0)(0 y 0 y 01) 于是垂线的方向向量为s 1(1 y 01 y 0) 显然有s ×s 10 即y 01y 00 210-=y 从而)21 ,21 ,1() ,1 ,1(001--=+-=y y s所求平面的法线向量可取为 j i k j i k s k n --=-+-⨯=⨯=21)2121(1所求平面的方程为 0)1()1(21=+---y x 即x 2y 1017. 求过点(-1, 0, 4), 且平行于平面3x -4y +z -10=0, 又与直线21311zy x =-=+相交的直线的方程.解过点(-1, 0, 4), 且平行于平面3x -4y +z -10=0的平面的方程为 3(x 1)4(y 0)(z 4)0 即3x -4y +z -1=0 将直线21311zy x =-=+化为参数方程x 1t y 3t z 2t 代入平面方程3x -4y +z -1=0 得3(1t )4(3t )2t 1解得t 16 于是平面3x -4y +z -1=0与直线21311zy x =-=+的交点的坐标为(15 1932) 这也是所求直线与已知直线的交点的坐标所求直线的方向向量为s (15 19 32)(-1, 0, 4)(16 19 28) 所求直线的方程为 28419161-==+z yx18. 已知点A (1, 0, 0)及点B (0, 2, 1), 试在z 轴上求一点C , 使ABC 的面积最小. 解设所求的点为C (0 0 z ) 则→) ,0 ,1(z AC -= →)1 ,2 ,0(--=z BC因为 →→kj i kj i 2)1(212001+-+=---=⨯z z z z BC AC所以ABC 的面积为→→4)1(421||2122+-+=⨯=z z BC AC S令04)1(4)1(284122=+-+-+⋅=z z z z dz dS 得51=z 所求点为)51 ,0 ,0(C19. 求曲线⎩⎨⎧-+-=--=2222)1()1(2y x z y x z 在三个坐标面上的投影曲线的方程. 解在xOy 面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧=--=-+-02)1()1(2222z y x y x , 即⎩⎨⎧=+=+022z yx y x .在zOx 面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧=---±+-=0)12()1(222y z x x z , 即⎩⎨⎧==+--++002342222y z x z xz x .在yOz 面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧=-+---±=0)1()12(222x y z y z , 即⎩⎨⎧==+--++002342222x z y z yz y .20. 求锥面22y x z +=与柱面z 2=2x 所围立体在三个坐标面上的投影. 解锥面与柱面交线在xOy 面上的投影为 ⎩⎨⎧=+=0222z y x x , 即⎩⎨⎧==+-01)1(22z y x ,所以, 立体在xOy 面上的投影为⎩⎨⎧=≤+-01)1(22z y x . 锥面与柱面交线在yOz 面上的投影为 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)21(222x y z z , 即⎪⎩⎪⎨⎧==+-01)22(222x y z ,所以, 立体在yOz 面上的投影为⎪⎩⎪⎨⎧=≤+-01)22(222x y z .锥面22y x z +=与柱面z 2=2x 与平面y =0的交线为 ⎩⎨⎧==0||y x z 和⎩⎨⎧==02y xz所以, 立体在zOx 面上的投影为⎩⎨⎧=≤≤02y x z x 21 画出下列各曲面所围立体的图形(1)抛物柱面2y 2x 平面z 0及1224===zy x(2)抛物柱面x 21z 平面y 0 z 0及x y 1(3)圆锥面22y x z +=及旋转抛物面z 2x 2y 2 (4)旋转抛物面x 2y 2z 柱面y 2x 平面z 0及x 1。

高等数学(下)课后习题答案

高等数学（下）习题七1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答: 在xOy面上的点，z=0;在yOz面上的点，x=0;在zOx面上的点，y=0.3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答：x轴上的点，y=z=0;y轴上的点，x=z=0;z轴上的点，x=y=0.4. 求下列各对点之间的距离：（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）.解：（1）s=(2) s==(3) s==(4) s==5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.故s==xs==ys==5zs==.6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点.解：设此点为M（0，0，z），则222222(4)1(7)35(2)z z-++-=++--173174解得 149z = 即所求点为M （0，0，149）. 7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.证明：因为|AB |=|AC |=7.且有|AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2.故△ABC 为等腰直角三角形.8. 验证：()()++=++a b c a b c .证明：利用三角形法则得证.见图7-1图7-19. 设2, 3.u v =-+=-+-a b c a b c 试用a , b , c 表示23.u v -解：232(2)3(3)2243935117u v -=-+--+-=-++-+=-+a b c a b c a b c a b c a b c10. 把△ABC 的BC 边分成五等份，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与A 连接，试以AB =c ，BC =a 表示向量1D A ,2D A ,3D A 和4D A .解：1115D A BA BD =-=--c a 2225D A BA BD =-=--c a 3335D A BA BD =-=--c a 444.5D A BA BD =-=--c a 11. 设向量OM 的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M 的投影为M '，则1Pr j cos604 2.2u OM OM =︒=⨯= 12. 一向量的终点为点B （2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A 的坐标.解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则175{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----解得x =-2, y =3, z =0故A 的坐标为A (-2, 3, 0).13. 一向量的起点是P 1（4，0，5），终点是P 2（7，1，3），试求：（1） 12PP 在各坐标轴上的投影；（2） 12PP 的模；（3） 12PP 的方向余弦；（4） 12PP 方向的单位向量.解：（1）12Pr j 3,x x a PP ==12Pr j 1,y y a PP == 12Pr j 2.z z a PP ==-(2) 12(7PP ==(3) 123cos 14xa PP α== 121cos 14ya PP β==122cos 14za PP γ-==(4) 120123{14PP PP ===+e i j. 14. 三个力F 1=(1,2,3), F 2=(-2,3,-4), F 3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R 的大小和方向余弦.解：R =（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）||==Rcoscos cosαβγ=== 15. 求出向量a = i +j +k , b =2i -3j +5k 和c =-2i -j +2k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a , b , c .解：||==a||==b176||3==c, , 3. a b c ==a b c e16. 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k , p =5i +j -4k ,求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解：a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j .17. 向量r 与三坐标轴交成相等的锐角，求这向量的单位向量e r .解：因αβγ==,故23cos 1 α=,cos αα==则{cos ,cos ,cos })r αβγ===++e i j k . 18. 已知两点M 1（2，5，-3），M 2（3，-2，5），点M 在线段M 1M 2上，且123M M MM =，求向径OM 的坐标.解：设向径OM ={x , y , z }12{2,5,3}{3,2,5}M M x y z MM x y z =--+=----因为，123M M MM = 所以，11423(3)153(2) 433(5)3x x x y y y z z z ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=--⇒=-⎨⎨⎪⎪+=-⎩=⎪⎪⎩故OM ={111,,344-}. 19. 已知点P 到点A （0，0，12）的距离是7，OP 的方向余弦是236,,777，求点P 的坐标. 解：设P 的坐标为（x , y , z ）, 2222||(12)49PA x y z =++-=得2229524x y z z ++=-+126570cos 6, 749z z γ==⇒==177又122190cos 2, 749x x α==⇒==123285cos 3, 749y y β==⇒== 故点P 的坐标为P （2，3，6）或P （190285570,,494949）. 20. 已知a , b 的夹角2π3ϕ=，且3,4a b ==，计算： (1) a ·b ; (2) (3a -2b )·(a + 2b ). 解：（1）a ·b =2π1cos ||||cos3434632ϕ⋅⋅=⨯⨯=-⨯⨯=-a b (2) (32)(2)3624-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b b a b b2223||44||334(6)41661.=+⋅-=⨯+⨯--⨯=-a a b b 21. 已知a =(4,-2, 4), b =(6,-3, 2),计算：（1）a ·b ; (2) (2a -3b )·(a + b )；（3）2||-a b解：（1）46(2)(3)4238⋅=⨯+-⨯-+⨯=a b(2) (23)()2233-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b a b b b 222222222||3||2[4(2)4]383[6(3)2]23638349113=-⋅-=⨯+-+--+-+=⨯--⨯=-a a b b(3) 222||()()2||2||-=-⋅-=⋅-⋅+⋅=-⋅+a b a b a b a a a b b b a a b b 36238499=-⨯+=22. 已知四点A （1，-2，3），B （4，-4，-3），C （2，4，3），D （8，6，6），求向量AB 在向量CD 上的投影.解：AB ={3，-2，-6}，CD ={6，2，3}Pr j CD AB CD AB CD ⋅=4.7==- 23. 设重量为100kg 的物体从点M 1(3, 1, 8)沿直线移动到点M 2（1，4，2），计算重力所作的功（长度单位为m ）.178解：取重力方向为z 轴负方向，依题意有f ={0,0, -100×9.8}s = 12M M ={-2, 3,-6}故W = f ·s ={0, 0,-980}·{-2, 3,-6}=5880 (J)24. 若向量a +3b 垂直于向量7a -5b ,向量a -4b 垂直于向量7a -2b ,求a 和b 的夹角. 解: (a +3b )·(7a -5b ) =227||1615||0+⋅-=a a b b ①(a -4b )·(7a -2b ) = 227||308||0-⋅+=a a b b ② 由①及②可得：222221()1||||2||||4⋅⋅⋅==⇒=a b a b a b a b a b 又21||02⋅=>a b b ，所以1cos ||||2θ⋅==a b a b , 故1πarccos 23θ==. 25. 一动点与M 0(1,1,1)连成的向量与向量n =(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程.解：设动点为M (x , y , z )0{1,1,1}M M x y z =---因0M M n ⊥,故00M M n ⋅=.即2(x -1)+3(y -1)-4(z -1)=0整理得：2x +3y -4z -1=0即为动点M 的轨迹方程.26. 设a =(-2,7,6),b =(4, -3, -8),证明：以a 与b 为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直. 证明：以a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a +b ,a －b ,且a +b ={2,4, -2}a -b ={-6,10,14}又(a +b )·(a -b )= 2×(-6)+4×10+(-2)×14=0故(a +b )⊥(a -b ).27. 已知a =3i +2j -k , b =i -j +2k ,求：(1) a ×b ; (2) 2a ×7b ;(3) 7b ×2a ; (4) a ×a .解：（1） 211332375122111--⨯=++=----a b i j k i j k(2) 2714()429870⨯=⨯=--a b a b i j k(3) 7214()14()429870⨯=⨯=-⨯=-++b a b a a b i j k(4) 0⨯=a a .17928. 已知向量a 和b 互相垂直，且||3, ||4==a b .计算：(1) |(a ＋b )×(a －b )|；(2) |(3a ＋b )×(a －2b )|.（1）|()()|||2()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯a b a b a a a b b a b b a bπ2||||sin 242=⋅⋅=a b (2) |(3)(2)||362||7()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=⨯a b a b a a a b b a b b b aπ734sin 842=⨯⨯⨯= 29. 求垂直于向量3i -4j -k 和2i -j +k 的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦. 解：411334555111221----⨯=++=--+--a b i j k i j k与⨯a b平行的单位向量()||3⨯==±--+⨯a b e i j k a b||sin ||||26θ⨯===⨯a b a b . 30. 一平行四边形以向量a =(2,1,－1)和b =(1,－2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦. 解：两对角线向量为13=+=-l a b i j ，232=-=+-l a b i j k因为12|||2610|⨯=++=l l i j k12||||==l l 所以1212||sin 1||||θ⨯===l l l l . 即为所求对角线间夹角的正弦.31. 已知三点A (2,-1,5), B (0,3,-2), C (-2,3,1)，点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，CA 的中点，证明：1()4MN MP AC BC ⨯=⨯. 证明：中点M ，N ，P 的坐标分别为31(1,1,), (1,3,), (0,1,3)22M N P -- {2,2,2}MN =--3{1,0,}2MP =-180{4,4,4}AC =--{2,0,3}BC =- 22222235233100122MN MP ----⨯=++=++--i j k i j k44444412208033220AC BC ---⨯=++=++--i j k i j k 故 1()4MN MP AC BC ⨯=⨯.32. 求同时垂直于向量a =(2,3,4)和横轴的单位向量.解：设横轴向量为b =(x ,0,0)则同时垂直于a ，b 的向量为3442230000x x ⨯=++a b i j k =4x j －3x k故同时垂直于a ，b 的单位向量为1(43)||5⨯=±=±-⨯a be j k a b .33. 四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积.解：设四顶点依次取为A , B , C , D .{0,1,2}, {2,2,1}AB AD ==-则由A ，B ，D 三点所确定三角形的面积为111|||542|222S AB AD =⨯=+-=ij k .同理可求其他三个三角形的面积依次为12故四面体的表面积122S =+.34. 已知三点A (2,4,1), B (3,7,5), C (4,10,9)，证：此三点共线.证明：{1,3,4}AB =,{2,6,8}AC =显然2AC AB =则22()0AB AC AB AB AB AB ⨯=⨯=⨯=故A ，B ，C 三点共线.18135. 求过点(4,1,-2)且与平面3x -2y +6z =11平行的平面方程.解：所求平面与平面3x -2y +6z =11平行故n ={3,-2,6}，又过点(4,1,-2)故所求平面方程为：3(x -4)-2(y -1)+6(z +2)=0即3x -2y +6z +2=0.36. 求过点M 0(1,7,-3)，且与连接坐标原点到点M 0的线段OM 0垂直的平面方程.解：所求平面的法向量可取为0{1,7,3}OM ==-n故平面方程为：x -1+7(y -7)-3(z +3)=0即x +7y -3z -59=037. 设平面过点(1,2,-1)，而在x 轴和z 轴上的截距都等于在y 轴上的截距的两倍，求此平面方程.解：设平面在y 轴上的截距为b 则平面方程可定为122x y z b b b ++= 又(1,2,-1)在平面上，则有121122b b b-++= 得b =2.故所求平面方程为1424x y z ++= 38. 求过(1,1,-1),(-2,-2,2)和（1，-1，2）三点的平面方程.解：由平面的三点式方程知1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 代入三已知点，有1112121*********x y z --+----+=---+ 化简得x -3y -2z =0即为所求平面方程.39. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形：(1) y =0; (2) 3x -1=0;(3) 2x -3y -6=0; (4) x – y =0;(5) 2x -3y +4z =0.解：(1) y =0表示xOz 坐标面（如图7-2）(2) 3x -1=0表示垂直于x 轴的平面.(如图7-3)182 图7-2 图7-3(3) 2x -3y -6=0表示平行于z 轴且在x 轴及y 轴上的截距分别为x =3和y =-2的平面.(如图7-4)(4) x –y =0表示过z 轴的平面（如图7-5）(5) 2x -3y +4z =0表示过原点的平面（如图7-6）.图7-4 图7-5 图7-640. 通过两点（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x +y -z =0的平面.解：设平面方程为Ax +By +Cz +D =0则其法向量为n ={A ,B ,C }已知平面法向量为n 1={1,1,-1}过已知两点的向量l ={1,1,1}由题知n ·n 1=0, n ·l =0即00, .0A B C C A B A B C +-=⎧⇒==-⎨++=⎩所求平面方程变为Ax -Ay +D =0又点（1，1，1）在平面上，所以有D =0故平面方程为x -y =0.41. 决定参数k 的值，使平面x +ky -2z =9适合下列条件：（1）经过点（5，-4，6）；（2）与平面2x -3y +z =0成π4的角.解：（1）因平面过点（5，-4，6）故有 5-4k -2×6=9得k =-4.（2）两平面的法向量分别为n 1={1,k ,-2} n 2={2,-3,1} 且122123π2cos cos ||||4514kk θ⋅-====+⋅n n n n 解得702k =±42. 确定下列方程中的l 和m :(1) 平面2x +ly +3z -5=0和平面mx -6y -z +2=0平行;(2) 平面3x -5y +lz -3=0和平面x +3y +2z +5=0垂直.解：（1）n 1={2,l ,3}, n 2={m ,-6,-1}12232,18613lm l m ⇒==⇒=-=--n n183(2) n 1={3, -5, l }, n 2={1,3,2}12315320 6.l l ⊥⇒⨯-⨯+⨯=⇒=n n43. 通过点（1，-1，1）作垂直于两平面x -y +z -1=0和2x +y +z +1=0的平面.解：设所求平面方程为Ax +By +Cz +D =0其法向量n ={A ,B ,C }n 1={1,-1,1}, n 2={2,1,1}12203203A CA B C A B C CB ⎧=-⎪⊥⇒-+=⎪⇒⎨⊥⇒++=⎪=⎪⎩n n n n又（1，－1，1）在所求平面上，故A －B +C +D =0，得D =0故所求平面方程为2033CCx y Cz -++=即2x -y -3z =044. 求平行于平面3x -y +7z =5,且垂直于向量i -j +2k 的单位向量.解：n 1={3,-1,7}, n 2={1,-1,2}.12,⊥⊥n n n n 故1217733152122111--=⨯=++=+---n n n i j k i j k则2).n =+-e i j k45. 求通过下列两已知点的直线方程：（1）（1，-2，1），（3，1，-1）；（2）（3，-1，0），（1，0，-3）. 解：（1）两点所确立的一个向量为s ={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2}故直线的标准方程为：121232x y z -+-==- 或 311232x y z --+==-（2）直线方向向量可取为s ={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3}故直线的标准方程为：31213x y z-+==-- 或 13213x yz -+==--46. 求直线234035210x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩的标准式方程和参数方程.解：所给直线的方向向量为18412311223719522335--=⨯=++=----s n n i j k i j k另取x 0=0代入直线一般方程可解得y 0=7,z 0=17于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为:7171719x y z --==--且直线的参数方程为：771719x ty t z t=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩47. 求下列直线与平面的交点： (1) 11126x y z-+==-, 2x +3y +z -1=0; (2) 213232x y z +--==, x +2y -2z +6=0.解：（1）直线参数方程为1126x ty t z t=+⎧⎪=--⎨⎪=⎩代入平面方程得t =1故交点为（2，-3，6）.（2）直线参数方程为221332x ty t z t=-+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入平面方程解得t =0.故交点为（-2，1，3）.48. 求下列直线的夹角：（1）533903210x y z x y z -+-=⎧⎨-+-=⎩ 和 2223038180x y z x y z +-+=⎧⎨++-=⎩；（2）2314123x y z ---==- 和 38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩解：（1）两直线的方向向量分别为：s 1={5, -3,3}×{3, -2,1}=533321i j k--={3,4, -1}185s 2={2,2, -1}×{3,8,1}=221381i j k-={10, -5,10}由s 1·s 2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s 1⊥s 2 从而两直线垂直，夹角为π2. (2) 直线2314123x y z ---==-的方向向量为s 1={4, -12,3},直线38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩的方程可变为22010y z x -+=⎧⎨-=⎩,可求得其方向向量s 2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于是1212cos 0.2064785θθ⋅==≈⋅'≈︒s s s s 49. 求满足下列各组条件的直线方程：（1）经过点（2，-3，4），且与平面3x -y +2z -4=0垂直；（2）过点（0，2，4），且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行；（3）过点（-1，2，1），且与直线31213x y z --==-平行. 解：（1）可取直线的方向向量为s ={3，-1，2}故过点（2，-3，4）的直线方程为 234312x y z -+-==- （2）所求直线平行两已知平面，且两平面的法向量n 1与n 2不平行，故所求直线平行于两平面的交线，于是直线方向向量12102{2,3,1}013=⨯==--i j ks n n 故过点（0，2，4）的直线方程为24231x y z --==- （3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为s ={2，-1，3}故过点（-1，2，1）的直线方程为121213x y z +--==-. 50. 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：186（1）34273x y z ++==--和4x -2y -2z =3; （2）327x y z ==-和3x -2y +7z =8; （3）223314x y z -+-==-和x +y +z =3. 解：平行而不包含. 因为直线的方向向量为s ={-2，-7，3}平面的法向量n ={4，-2，-2}，所以(2)4(7)(2)3(2)0⋅=-⨯+-⨯-+⨯-=s n于是直线与平面平行.又因为直线上的点M 0（-3，-4，0）代入平面方程有4(3)2(4)2043⨯--⨯--⨯=-≠.故直线不在平面上.(2) 因直线方向向量s 等于平面的法向量，故直线垂直于平面.(3) 直线在平面上，因为3111(4)10⨯+⨯+-⨯=,而直线上的点（2，-2，3）在平面上.51. 求过点（1，-2，1），且垂直于直线23030x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩的平面方程. 解：直线的方向向量为12123111-=++-ij k i j k , 取平面法向量为{1，2，3}，故所求平面方程为1(1)2(2)3(1)0x y z ⨯-+++-=即x +2y +3z =0.52. 求过点（1，-2，3）和两平面2x -3y +z =3, x +3y +2z +1=0的交线的平面方程. 解：设过两平面的交线的平面束方程为233(321)0x y z x y z λ-+-++++= 其中λ为待定常数，又因为所求平面过点（1，-2，3）故213(2)33(13(2)231)0λ⨯-⨯-+-++⨯-+⨯+=解得λ=-4.故所求平面方程为2x +15y +7z +7=053. 求点（-1，2，0）在平面x +2y -z +1=0上的投影.解：过点（-1，2，0）作垂直于已知平面的直线，则该直线的方向向量即为已知平面的法向量，即s =n ={1，2，-1}187所以垂线的参数方程为122x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩将其代入平面方程可得(-1+t )+2(2+2t )-(-t )+1=0 得23t =- 于是所求点（-1，2，0）到平面的投影就是此平面与垂线的交点522(,,)333-54. 求点（1，2，1）到平面x +2y +2z -10=0距离.解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s =n ={1，2，2}所以垂线的参数方程为12212x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩将其代入平面方程得13t =. 故垂足为485(,,)333，且与点（1，2，1）的距离为1d == 即为点到平面的距离.55. 求点（3，-1，2）到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离.解：过点（3，-1，2）作垂直于已知直线的平面，平面的法向量可取为直线的方向向量即11133211==-=---ij k n s j k故过已知点的平面方程为y +z =1.联立方程组102401x y z x y z y z +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+=⎩解得131,,.22x y z ==-= 即13(1,,)22-为平面与直线的垂足于是点到直线的距离为2d == 56. 建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程.解：球的半径为R ==188设(x ,y ,z )为球面上任一点，则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程.57. 一动点离点（2，0，-3）的距离与离点（4，-6，6）的距离之比为3，求此动点的轨迹方程.解：设该动点为M (x ,y ,z )，由题意知222222(2)(0)(3) 3.(4)(6)(6)x y z x y z -+-++=-+++-化简得：8x 2+8y 2+8z 2-68x +108y -114z +779=0即为动点的轨迹方程.58. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并画出其图形：（1）22()()22a ax y -+=; （2）22149x y -+=;（3）22194x z +=; （4）20y z -=;（5）220x y -=; （6）220x y +=.解：（1）母线平行于z 轴的抛物柱面，如图7-7.（2）母线平行于z 轴的双曲柱面,如图7-8.图7-7 图7-8（3）母线平行于y 轴的椭圆柱面，如图7-9.（4）母线平行于x 轴的抛物柱面，如图7-10.图7-9 图7-10（5）母线平行于z 轴的两平面，如图7-11.（6）z 轴，如图7-12.189图7-11 图7-1259. 指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形：（1）222149y z x ++=; （2）22369436x y z +-=;（3）222149y z x --=; （4）2221149y z x +-=;（5）22220x y z -+=; （6）22209z x y +-=.解：（1）半轴分别为1，2，3的椭球面，如图7-13.(2) 顶点在（0，0，-9）的椭圆抛物面，如图7-14.图7-13 图7-14(3) 以x 轴为中心轴的双叶双曲面，如图7-15.(4) 单叶双曲面，如图7-16.图7-15 图7-16(5) 顶点在坐标原点的椭圆锥面，其中心轴是y 轴，如图7-17.(6) 顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是z 轴，如图7-18.190图7-17 图7-1860. 作出下列曲面所围成的立体的图形：(1) x 2+y 2+z 2=a 2与z =0,z =2a(a >0); (2) x +y +z =4,x =0,x =1,y =0,y =2及z =0;(3) z =4-x 2, x =0, y =0, z =0及2x +y =4; (4) z =6-(x 2+y 2),x =0, y =0, z =0及x +y =1. 解：（1）（2）（3）（4）分别如图7-19，7-20，7-21，7-22所示.图7-19 图7-20图7-21 图7-2261. 求下列曲面和直线的交点：(1) 222181369x y z ++=与342364x y z --+==-;(2) 22211694x y z +-=与2434x y z +==-.解：（1）直线的参数方程为191334624x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程解得t =0,t =1.得交点坐标为（3，4，-2），（6，-2，2）.(2) 直线的参数方程为4324x t y tz t =⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程可解得t =1,得交点坐标为（4，-3，2）.62. 设有一圆，它的中心在z 轴上，半径为3，且位于距离xOy 平面5个单位的平面上，试建立这个圆的方程.解：设（x ，y ，z ）为圆上任一点，依题意有2295x y z ⎧+=⎨=±⎩ 即为所求圆的方程.63. 建立曲线x 2+y 2=z , z =x +1在xOy 平面上的投影方程.解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为x 2+y 2=x +1即2215()24x y -+=. 故曲线在xOy 平面上的投影方程为2215()240x y z ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩64. 求曲线x 2+y 2+z 2=a 2, x 2+y 2=z 2在xOy 面上的投影曲线.解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为2222a x y += 故曲线在xOy 面上的投影曲线方程为22220a x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩65. 试考察曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程. (1) 平面x =2; (2) 平面y =0;(3) 平面y =5; (4) 平面z =2.192 解：（1）截线方程为2212x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩ 其形状为x =2平面上的双曲线.（2）截线方程为221940x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩为xOz 面上的一个椭圆.(3)截线方程为2215y ⎧==⎩为平面y =5上的一个椭圆.(4) 截线方程为2209252x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩为平面z =2上的两条直线.66. 求单叶双曲面22211645x y z +-=与平面x -2z +3=0的交线在xOy 平面，yOz 平面及xOz 平面上的投影曲线. 解：以32x z +=代入曲面方程得 x 2+20y 2-24x -116=0.故交线在xOy 平面上的投影为22202411600x y x z ⎧+--=⎨=⎩ 以x =2z -3代入曲面方程，得 20y 2+4z 2-60z -35=0.故交线在yOz 平面上的投影为22204603500y z z x ⎧+--=⎨=⎩ 交线在xOz 平面上的投影为230,0.x z y -+=⎧⎨=⎩193习题八1. 判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界： (1) {(x ,y )|x ≠0};(2) {(x ,y )|1≤x 2+y 2<4}; (3) {(x ,y )|y <x 2};(4) {(x ,y )|(x -1)2+y 2≤1}∪{(x ,y )|(x +1)2+y 2≤1}.解：(1)开集、无界集，聚点集：R 2，边界：{(x ,y )|x =0}. (2)既非开集又非闭集，有界集, 聚点集：{(x ,y )|1≤x 2+y 2≤4}，边界：{(x ,y )|x 2+y 2=1}∪{(x ,y )| x 2+y 2=4}. (3)开集、区域、无界集，聚点集：{(x ,y )|y ≤x 2}，边界：{(x ,y )| y =x 2}.(4)闭集、有界集，聚点集即是其本身，边界：{(x ,y )|(x -1)2+y 2=1}∪{(x ,y )|(x +1)2+y 2=1}. 2. 已知f (x ,y )=x 2+y 2-xy tanxy,试求(,)f tx ty . 解：222(,)()()tan(,).tx f tx ty tx ty tx ty t f x y ty=+-⋅= 3. 已知(,,)w u vf u v w u w+=+,试求(,,).f x y x y xy +-解：f (x +y , x -y , xy ) =(x +y )xy +(xy )x +y +x -y =(x +y )xy +(xy )2x . 4. 求下列各函数的定义域：2(1)ln(21);z y x =-+(2)z =(3)z =(4)u =(5)z =(6)ln()z y x =-+(7)u =解：2(1){(,)|210}.D x y y x =-+>(2){(,)|0,0}.D x y x y x y =+>->19422222(3){(,)|40,10,0}.D x y x y x y x y =-≥-->+≠(4){(,,)|0,0,0}.D x y z x y z =>>> 2(5){(,)|0,0,}.D x y x y x y =≥≥≥ 22(6){(,)|0,0,1}.D x y y x x x y =->≥+< 22222(7){(,,)|0,0}.D x y z x y x y z =+≠+-≥5. 求下列各极限：10y x y →→ 22001(2)lim;x y x y →→+00x y →→x y →→00sin (5)lim ;x y xy x →→2222221cos()(6)lim.()ex y x y x y x y +→→-++解：(1)原式0ln 2.=(2)原式=+∞. (3)原式=001.4x y →→=-(4)原式=002.x y →→=(5)原式=00sin lim100.x y xyy xy →→⋅=⨯=(6)原式=22222222222()00001()2lim lim 0.()e 2ex y x y x x y y x y x y x y ++→→→→++==+6. 判断下列函数在原点O (0，0)处是否连续：33222222sin(),0,(1)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩19533333333sin(),0,(2)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩(3) 222222222,0,(2)()0,0;x y x y z x y x y x y ⎧+≠⎪=+-⎨⎪+=⎩解：(1)由于3333333322223333sin()sin()sin()0()x y x y x y x y y x x y x y x y x y++++≤=≤+⋅++++ 又00lim()0x y y x →→+=，且3333000sin()sin lim lim 1x u y x y ux y u →→→+==+, 故0lim 0(0,0)x y z z →→==.故函数在O (0,0)处连续. (2)000sin lim lim1(0,0)0x u y uz z u→→→==≠=故O (0,0)是z 的间断点.(3)若P (x ,y ) 沿直线y =x 趋于(0，0)点，则2222000lim lim 10x x y x x x z x x →→=→⋅==⋅+, 若点P (x ,y ) 沿直线y =-x 趋于(0，0)点，则22222220000()lim lim lim 0()44x x x y x x x x z x x x x →→→=-→-===⋅-++ 故00lim x y z →→不存在.故函数z 在O (0，0)处不连续.7. 指出下列函数在向外间断：(1) f (x ,y )=233x y x y -+;(2) f (x ,y )=2222y xy x +-;(3) f (x ,y )=ln(1－x 2－y 2);(4)f (x ,y )=222e ,0,0,0.x y x y yy -⎧⎪≠⎨⎪=⎩解：(1)因为当y =-x 时，函数无定义，所以函数在直线y =-x 上的所有点处间断，而在其余点处均连续.(2)因为当y 2=2x 时，函数无定义，所以函数在抛物线y 2=2x 上的所有点处间断.而在其余各点处均连续.(3)因为当x 2+y 2=1时，函数无定义，所以函数在圆周x 2+y 2=1上所有点处间断.而在其余各点196处均连续.(4)因为点P (x ,y )沿直线y =x 趋于O (0,0)时.1200lim (,)lime x x y x xf x y x-→→=→==∞. 故(0，0)是函数的间断点，而在其余各点处均连续. 8. 求下列函数的偏导数： (1)z =x 2y +2x y ; (2)s =22u v uv+;(3)z =x; (4)z =lntan x y; (5)z =(1+xy )y ; (6)u =z xy ;(7)u =arctan(x -y )z; (8)y zu x =.解：(1)223122,.z z x xy x x y y y∂∂=+=-∂∂ (2)u v s v u =+ 2211,.s v s u u v u v v u∂∂=-=-+∂∂(3)2222212ln(),2z x x x x y x x y ∂==++∂+222.z xy x y y x y ∂==∂+ (4)21122sec csc ,tan z x x x x y y y yy∂=⋅⋅=∂222122sec ()csc .tan z x x x x x y y y y yy∂=⋅⋅-=-∂ (5)两边取对数得ln ln(1)z y xy =+故[]221(1)(1)(1).ln(1)1y y y x z y xy xy y xy y xy x xy-∂'=+⋅=+⋅=++∂+197[]ln(1)(1)(1)ln(1)1ln(1)(1).1y y y y x z xy yxy xy y xy xy y xy xy xy xy ∂⎡⎤'++=+⋅=++⎢⎥+∂⎣⎦⎡⎤++=+⎢⎥+⎣⎦(6)1ln ln xy xy xy u u uz z y z z x xy z x y z-∂∂∂=⋅⋅=⋅⋅=⋅∂∂∂ (7)11221()().1[()]1()z z z z u z x y z x y x x y x y --∂-=⋅-=∂+-+- 112222()(1)().1[()]1()()ln()()ln().1[()]1()z z z z z zz z u z x y z x y y x y x y u x y x y x y x y z x y x y --∂-⋅--==-∂+-+-∂----==∂+-+-(8)1.yzu y x x z-∂=∂ 2211ln ln .ln ln .yyzz yy z zu x x x x y z zu y y x x x x z z z ∂=⋅=∂∂⎛⎫=⋅=-- ⎪∂⎝⎭9.已知22x y u x y =+，求证：3u uxy u x y∂∂+=∂∂. 证明： 222223222()2()()u xy x y x y x y xy x x y x y ∂+-+==∂++. 由对称性知 22322()u x y yx y x y ∂+=∂+. 于是 2223()3()u u x y x y x y u x y x y ∂∂++==∂∂+. 10.设11ex y z ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=，求证：222z z xy z x y∂∂+=∂∂. 证明： 11112211e e x y x y z x xx ⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∂⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦, 由z 关于x ,y 的对称性得1981121ex y z y y⎛⎫+- ⎪⎝⎭∂=∂ 故 11111122222211e e 2e 2.x y x y x y z z x y x y z x y x y⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∂+⋅=⋅+⋅==∂∂11.设f (x ,y )=x +(yf x (x ,1) .解：1(,)1(x f x y y y =+- 则(,1)101x f x =+=.12.求曲线2244x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点（2，4，5）处的切线与正向x 轴所成的倾角.解：(2,4,5)1,1,2z z x x x ∂∂==∂∂ 设切线与正向x 轴的倾角为α, 则tan α=1. 故α=π4. 13.求下列函数的二阶偏导数： (1)z =x 4+ y 4-4x 2y 2; (2)z=arctan y x; (3)z =y x ;(4)z =2ex y+.解：(1)2322224812816z z z x xy x y xy x x x y∂∂∂=-=-=-∂∂∂∂ ，，由x ,y 的对称性知22222128.16.z z y x xy y y x∂∂=-=-∂∂∂ (2)222211zy y xx y x y x ∂⎛⎫=⋅=-- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，1992222222222222222222222222222222222222222()022,()()11,12,()()2,()()2.()()z x y y x xyx x y x y z x y x x y y x z xyy x y z x y y y y x x y x y x y z x y x x y x y x x y x y ∂+⋅-⋅=-=∂++∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∂=-∂+∂+-⋅-=-=∂∂++∂+-⋅-=-=∂∂++ (3)222ln ,ln ,xx z z y y y y x x∂∂==∂∂ 21222112111,(1),1ln (1ln ),ln (1ln ).x x x x x x x x z z xy x x y y y z y xy y y x y x y y zy x y y y x y y x-------∂∂==-∂∂∂=⋅+=+∂∂∂=+⋅⋅=+∂∂ (4)22e 2,e ,x y x y z zx x y++∂∂=⋅=∂∂ 222222222e 22e 22e (21),e ,2e ,2e .x y x y x y x y x y x y z x x x xz z z x x y x y y x++++++∂=⋅⋅+⋅=+∂∂∂∂===∂∂∂∂∂14.设f (x ,y ,z )=xy 2+yz 2+zx 2,求(0,0,1),(0,1,0),(2,0,1).xx yz zzx f f f -解：2(,,)2x f x y z y zx =+22(,,)2,(0,0,1)2,(,,)2(,,)2,(0,1,0)0,(,,)2(,,)2(,,)0,(2,0,1)0.xx xx y yz yz z zz zzx zzx f x y z z f f x y z xy z f x y z z f f x y z yz x f x y z yf x y z f ===+=-==+===15315.设z =x ln(xy )，求32z x y ∂∂∂及32zx y ∂∂∂.解：ln()1ln(),z yx xy xy x xy∂=⋅+=+∂ 232223221,0,11,.z y zx xy x x y z x z x y xy y x y y∂∂===∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂16.求下列函数的全微分： (1)22ex y z +=;(2)z =(3)zy u x =; (4)yzu x =.解：(1)∵2222e 2,e 2x y x y z zx y x y++∂∂=⋅=⋅∂∂ ∴222222d 2e d 2e d 2e (d d )x y x y x y z x x y y x x y y +++=+=+(2)∵22223/21()z xy y x y x x y ∂⎛⎫-=⋅=- ⎪+∂+⎝⎭2223/2()z x yx y ∂==∂+ ∴ 223/2d (d d ).()xz y x x y x y =--+(3)∵11,ln z z z y y z u u y x x x zy x y--∂∂==⋅⋅∂∂ 2ln ln y z ux x y y z∂=⋅⋅⋅∂ ∴211d d ln d ln ln d .z z zy y z y z u y x x x x zy y x x y y z --=+⋅+⋅⋅⋅(4)∵1yz u y x x z-∂=∂ 1ln yz u x x y z∂=⋅⋅∂154ln yz u y x x z z 2∂⎛⎫=⋅⋅- ⎪∂⎝⎭∴121d d ln d ln d .y y yz z z y y u x x x x y x x z z z z -⎛⎫=+⋅⋅+⋅⋅- ⎪⎝⎭17. 求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分： (1)222,2,1,0.2,0.1;z x xy y x y x y =-+==-∆=∆=- (2)e ,1,1,0.15,0.1.xy z x y x y ===∆=∆=解：(1)22()()()2()9.688 1.68z x x x x y y y y z ∆=+∆-+∆+∆++∆-=-=d (2)(4) 1.6z x y x x y y =-∆+-+∆=(2)()()0.265ee e(e 1)0.30e.x x y y xy z +∆+∆∆=-=-=d e e e ()0.25e xy xy xy z y x x y y x x y =∆+∆=∆+∆=18.利用全微分代替全增量，近似计算： (1) (1.02)3·(0.97)2;(3)(1.97)1.05.解：(1)设f (x ,y )=x 3·y 2，则223(,)3,(,)2,x y f x y x y f x y x y ==故d f (x ,y )=3x 2y 2d x +2x 3y d y =xy (3xy d x +2x 2d y ) 取x =1,y =1,d x =0.02,d y =-0.03，则(1.02)3·(0.97)2=f (1.02,0.97)≈f (1,1)+d f (1,1)d 0.02d 0.03x y ==-=13×12+1×1[3×1×1×0.02+2×12×(-0.03)]=1.(2)设f (x ,y,则(,)(,)x y f x y f x y ===故d (,)d d )f x y x x y y =+取4,3,d 0.05,d 0.07x y x y ====-,则155d 0.05d 0.07(4.05,2.93)(4,3)d (4,3)0.053(0.07)]15(0.01)54.998x y f f f ==-=≈+=⨯+⨯-=+⨯-=(3)设f (x ,y )=x y ,则d f (x ,y )=yx y -1d x +x y ln x d y ，取x =2,y =1,d x =-0.03,d y =0.05,则1.05d 0.03d 0.05(1.97)(1.97,1.05)(2,1)d (2,1)20.0393 2.0393.x y f f f =-==≈+=+=19.矩型一边长a =10cm ，另一边长b =24cm,当a 边增加4mm ，而b 边缩小1mm 时，求对角线长的变化.解：设矩形对角线长为l ，则d d ).l l x x y y ==+当x =10,y =24,d x =0.4,d y =-0.1时，d 0.4240.1)0.062l =⨯-⨯=(cm)故矩形的对角线长约增加0.062cm.20. 1mol 理想气体在温度0℃和1个大气压的标准状态下，体积是22.4L ，从这标准状态下将温度升高3℃，压强升高0.015个大气压，问体积大约改变多少？解：由PV=RT 得V =RTP，且在标准状态下，R =8.20568×10-2, ΔV ≈d v =-2d d RT R p T P P +=d d V RP T P P-+222.48.20568100.01530.0911-⨯=-⨯+⨯≈-故体积改变量大约为0.09.21. 测得一物体的体积V =4.45cm 3,其绝对误差限是0.01cm 3，质量m =30.80g ，其绝对误差限是0.01g ，求由公式mvρ=算出密度ρ的绝对误差与相对误差. 解：当V=4.45，m =30.80,d v =0.01,d m =0.01时,22130.801d d d 0.010.014.45 4.450.01330.0133m v m v v ρ==-+-⨯+⨯≈=- 当v =4.45, m =30.80时30.806.92134.45ρ=≈156d 0.00192160.19216%ρρ≈=.22. 求下列复合函数的偏导数或全导数：(1)22,cos ,sin ,z x y xy x u v y u v =-==求z u ∂∂,z v∂∂；（2） z ＝arc tanx y ,x ＝u ＋v ,y ＝u －v ,求z u ∂∂,z v∂∂；（3） ln(e e )xyu =+,y ＝x 3,求d d ux; （4） u ＝x 2＋y 2＋z 2, x ＝e cos tt ,y ＝e sin tt ,z ＝e t,求d d ut. 解：（1）222(2)cos (2)sin 3sin cos (cos sin )z z x z y xy y v x xy v u x u y u u v v v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-∂∂∂∂∂=-223333(2)sin (2)cos 2sin cos (sin cos )(sin cos ).z z x z yxy y u v x xy u v v x v y v u v v v v u v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=--⋅+-⋅∂∂∂∂∂=-+++ (2)222222211111x z z x z y y x v y u x u y uyx yu v x x y y ∂∂∂∂∂--⎛⎫-=⋅+⋅=⋅+⋅== ⎪∂∂∂∂∂++⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222222111(1)11.x z z x z y y v x v y vyx x y y y x ux y u v -∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==++ (3)33222d d d 11e 3e e 3e e e 3.d d d e e e e e e e ex y x x x y x y x y x yx x u u x u y x x x x x x y x ∂∂++=⋅+⋅=⋅+⋅⋅==∂∂++++ (4)d d d d d d d d u u x u y u z t x t y t z t∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂ 22(e cos e sin )2(e sin e cos )2e 4e t t t t t t x t t y t t z =-+++⋅=.23. 设f 具有一阶连续偏导数，试求下列函数的一阶偏导数： (1)22(,e );xyu f x y =-(2),;x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭157(3)().,,u f x xy xyz = 解：(1)12122e 2e .xy xy uf x f y xf y f x∂''''=⋅+⋅⋅=+∂ 1212(2)e 2e .xy xy uf y f x yf x f y∂''''=⋅-+⋅⋅=-+∂ (2)1111u f f x y y∂''=⋅=∂ 121222222211..x u x f f f f y y z y z u y y f f z z z ∂⎛⎫''''-=⋅+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫''=⋅=-- ⎪∂⎝⎭(3)1231231,uf f y f yz f yf yzf x∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂ 12323330,.uf f x f xz xf xzf yuf xy xyf z∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂∂''=⋅=∂24.设(),,()yz xy xF u u F u x=+=为可导函数，证明： .z z xy z xy x y∂∂+=+∂∂ 证明:2()()()()z y y y xF u F u F u y F u x x x ∂⎛⎫''=+⋅+=+-- ⎪∂⎝⎭1()().z x xF u x F u y x∂''=+⋅=+∂ 故[]()()()()()()().z z F u y xy x y x F u F u y x y x xF u xy yF u xy yF u xy xF u xy z xy '∂∂⎡⎤'+=+++-⎢⎥∂∂⎣⎦''=+-++=++=+25. 设22()yz f x y =-，其中f (u )为可导函数，验证：158211z z zx x y y y∂∂+=∂∂. 证明：∵2222z yf x xyf x f f ''∂⋅=-=-∂, 222(2)2z f y f y f y f y f f ''∂-⋅⋅-+==∂, ∴22222112211z z yf f y f y zx x y y f yf yf f y y ''∂∂++=-+==⋅=∂∂⋅ 26. 22()z f x y =+,其中f 具有二阶导数，求22222,,.z z zx x y y ∂∂∂∂∂∂∂ 解：2,2,z zxf yf x y∂∂''==∂∂ 222222224,224,z f x xf f x f xzxf y xyf x y∂''''''=+⋅=+∂∂''''=⋅=∂∂由对称性知，22224.z f y f y∂'''=+∂27. 设f 是c 2类函数，求下列函数的二阶偏导数： (1),;x x z f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)()22;,z f xy x y =(3)().sin ,cos ,e x y z f x y += 解：(1)1212111,z f f f f x y y∂''''=⋅+⋅=+∂ 2212211121112222221222122222222222222222223211121,1111,,2z f f f f f f f y x y y y yx x z x f f f f f f y y y x y y y y yx z x f f y y y z x x f f y y y ∂⎛⎫''''''''''''''+⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''--+=⋅-+⋅=-- ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫''-==- ⎪∂⎝⎭∂''=-∂22222342.x x x f f y yy ⎛⎫''''-⋅=+ ⎪⎝⎭,159(2)22121222,zf y f xy y f xyf x∂''''=⋅+⋅=+∂ ()()22222211122122432221112222222244,z y yf xy f y f xy f y f xy x yf y f xy f x y f ∂'''''''''=++⋅+⋅⋅+⋅∂'''''''=+++()()()()222212111221223322121122122212122222121112212212222222225,22,22222zyf y xf xy f xy f x f xy f x x yyf xf xy f x yf x y f zf xy f x xyf x f yz xf xy x f xy f x f xy f x y xf ∂''''''''''=+++⋅+⋅⋅+⋅∂∂''''''''=++++∂''''=⋅+⋅=+∂∂'''''''''=++⋅+⋅⋅+⋅∂'=223411122244.x y f x yf x f ''''''+++(3)1313cos e cos e ,x y x y zf x f xf f x++∂''''=⋅+⋅=+∂ ()()1321113313322()311113332312133233sin cos e e cos e cos e e sin cos 2e cos e ,cos e e (sin )e (sin )x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y z xf x f f x f f x f xf xf xf xf f z x f f y f f y f x y++++++++++∂''''''''''=-+++⋅+⋅+⋅∂''''''''=-+++∂'⎡⎤''''''=++⋅⋅-+⋅⋅-+⎣⎦∂∂2()3121332332323223222233233e e cos sin e cos e sin e ,(sin )e sin e ,cos sin e e (sin )e (sin )e x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y f x yf xf yf f zf y f yf f yz yf y f f y f f y f y+++++++++++⎡⎤''⋅⎣⎦'''''''''=-+-+∂''''=-+=-+∂∂''⎡⎤⎡''''''''=--++-+⋅-+⋅⎣⎦∂22()32222333e cos sin 2e sin e .x y x y x y f yf yf yf f +++⎤⎣⎦''''''''=-+-+28. 试证：利用变量替换1,3x y x y ξη=-=-,可将方程 22222430u u ux x y y∂∂∂++=∂∂∂∂ 化简为20uξη∂=∂∂. 证明：设1(,),3u f f x y x y ξη⎛⎫==-- ⎪⎝⎭。

高等数学习题详解-第7章多元函数微分学

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：A (2，1,-6)，B (0，2，0)，C (-3，0,5)，D (1，-1，-7).解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。

2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则(1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).(3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得z =11，故所求的点为M (0，0，149). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得21214M M =，2213236,6M M M M ==所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程.解：所求平面方程为1235y x z++=-。

7-3第三节曲面及其方程

学数
高等数学电子教案
以平面y=y1,(y1<b)或x=x1,(x1<a)去截椭球面,可得到类似的结果. 特例:(10)
x2 y 2 z 2 a = b, a > c.变成 2 + 2 + 2 = 1.是绕z轴旋转所得到的旋转 a a c
椭球面
(20)a=b=c,变成球面方程 x2 + y2 + z 2 = a2
( x 2 − 2 x + 1) + ( y 2 + 4 y + 4) + ( z 2 + 2 z + 1) − 6 = 0.
( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 + ( z + 1) 2 = ( 6) 2
曲面代表圆心为(1,-2,-1),半径为 R = 6 的球面.
学数
一般二次方程Ax2+Ay2+Az2+Bx+cy+Dz+E=0表示球面. 特点是①平方项系数相等.②不含交叉项.
学数
下面,我们举例说明.
高等数学电子教案
z s 例1 建立球心在点M0(x0,y0,z0), 半径为R的球面方程. F(x,y,z)=0
y x
学数
①在所求的曲面上任找一动点M(x,y,z) ②以动点所满足的条件得到等式. ③把坐标代入,转化为方程.
高等数学电子教案
x 2 y + 2 b a z = z 1
学数
2 2
= 1 +
z c
2 2
它的两个半轴分别为 a c 2 + z 2 和 b c 2 + z 2 1 1 c c

数学分析ch7-3定积分的基本性质

微积分基本定理 ── Newton-Leibniz 公式
设 f (x) 在区间 [a, b] 上可积，由定积分的区间可加性，可知对任意
x
[a, b]，积分
x
a
f
(t )dt
存在。当
x
在[a, b]中变化时，ax
f
(t )dt
的值也随之
而变化，所以它是定义在 [a, b]上的关于 x 的函数。这个函数具有如下
f (x) 。
例 7.3.1
计算 F(x)
x2
sin
t dt 的导数。
0
解记 u x2 ，则
F (x) G(u)
u
sin
t dt ，
0
由复合函数求导法则，
F(x)
d du
G(u) u(x)
d du
u
sin
0
t
d
t
2x 2x sin x 。
ux2
例 7.3.1
计算 F(x)
F(x x) F(x)
xx
f (t)dt
x
f (t)dt
xx f (t)dt 。
a
a
x
记 m、M 分别为 f (x) 在[a, b]上的最小值和最大值，由积分第一中值定
理，得到
x ( [m, M ]),
若f (x)在[a,b]上可积，
F(x
x)
F(x)
f
( )
x
(在x与x x之间),
的重要性质：
定理 7.3.1 设 f (x) 在[a, b]上可积，作函数
F (x) x f (t)dt, x [a,b] ， a
则 ⑴ F(x) 是[a, b]上的连续函数； ⑵ 若 f (x) 在[a, b]上连续，则 F(x) 在[a, b] 上可微，且有 F(x) f (x) 。

(完整版)高等数学-习题答案-方明亮-第七章

高等数学方明亮版第七章习题7-11.判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并指出集合的边界.（1）{}(,)0,0x y x y ≠≠；（2）{}22(,)14x y x y <+≤；（3）{}2(,)x y y x >；（4）{}2222(,)(1)1(2)4x y x y x y +-≥+-≤且.解（1）集合是开集，无界集；边界为{(,)0x y x =或0}y =. （2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；边界为2222{(,)1}{(,)4}x y x y x y x y +=+=.（3）集合是开集，区域，无界集；边界为2{(,)}x y y x =. （4）集合是闭集，有界集；边界为2222{(,)(1)1}{(,)(2)4}x y x y x y x y +-=+-=2.已知函数(,)v f u v u =，试求(,)f xy x y +. 解 ()()(,)x y f xy x y xy ++=.3.设(,)2f x y xy =，证明：2(,)(,)f tx ty t f x y =.解)222(,)222f tx ty t xy t t xy t xy ===2(,)t f x y =.4.设y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭(0)x >，求()f x . 解由于y f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()f x =. 5.求下列各函数的定义域：（1）2222x y z x y +=-；（2）ln()arcsinyz y x x=-+；（3）ln()z xy =；（4）z =（5）z = （6）u =.解（1）定义域为{}(,)x y y x ≠±；（2）定义域为{}(,)x y x y x <≤-；（3）定义域为{}(,)0x y xy >，即第一、三象限（不含坐标轴）；（4）定义域为2222(,)1x y x y a b ⎧⎫+≤⎨⎬⎩⎭；（5）定义域为{}2(,)0,0,x y x y x y ≥≥≥；（6）定义域为{}22222(,,)0,0x y z x y z x y +-≥+≠. 6.求下列各极限：（1）22(,)(2,0)lim x y x xy y x y →+++；（2）(,)(0,0)lim x y →；（3）22(,)(0,0)1lim ()sinx y x y xy →+；（4）(,)(2,0)sin()lim x y xy y→；（5）1(,)(0,1)lim (1)xx y xy →+；（6）22(,)(,)lim()x y x y x y e --→+∞+∞+.解：（1）22(,)(2,0)4lim(2,0)22x y x xy y f x y →++===+；（2）(,)(0,0)00112limlim 2x y u u u u →→→===；（3）因为22(,)(0,0)lim ()0x y x y →+=，且1sin1xy≤有界，故22(,)(0,0)1lim ()sin0x y x y xy→+=；（4）(,)(2,0)(,)(2,0)sin()sin()limlim 212x y x y xy xy x y xy →→==⋅=；（5）111(,)(0,1)(,)(0,1)lim (1)lim (1)y xyxx y x y xy xy e e ⋅→→+=+==；（6）当0x N >>，0y N >>时，有222()()0x y x yx y x y e e++++<<，而()22(,)(,)22limlim lim lim 0x yu u u x y u u u x y u u e e e e+→+∞+∞→+∞→+∞→+∞+==== 按夹逼定理得22(,)(,)lim()0.x y x y x y e --→+∞+∞+=7.证明下列极限不存在：（1）(,)(0,0)limx y x yx y →+-；（2）设2224222,0,(,)0,0,x yx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩(,)(0,0)lim (,)x y f x y →.证明（1）当(,)x y 沿直线y kx =趋于(0,0)时极限(,)(0,0)01limlim 1x y x y kxx y x kx kx y x kx k →→=+++==--- 与k 有关，上述极限不存在.（2）当(,)x y 沿直线y x =和曲线2y x =趋于(0,0)有2242422(,)(0,0)00lim lim lim 01x y x x y x y x x y x x x x y x x x →→→=====+++， 2222442444(,)(0,0)001lim lim lim 22x y x x y xy xx y x x x x y x x x →→→=====++，故函数(,)f x y 在点(0,0)处二重极限不存在.8.指出下列函数在何处间断：（1）22ln()z x y =+；（2）212z y x=-. 解（1）函数在(0,0)处无定义，故该点为函数22ln()z x y =+的间断点；（2）函数在抛物线22y x =上无定义，故22y x =上的点均为函数212z y x=-的间断点.9.用二重极限定义证明：(,)lim0x y →=.证22102ρ-=≤=(,)P x y ，其中||OP ρ==，于是，0ε∀>，20δε∃=>；当0ρδ<<0ε<成立，由二重极限定义知(,)lim0x y →=.10.设(,)sin f x y x =，证明(,)f x y 是2R 上的连续函数.证设2000(,)P x y ∈R .0ε∀>，由于sin x 在0x 处连续，故0δ∃>，当0||x x δ-<时，有0|sin sin |x x ε-<.以上述δ作0P 的δ邻域0(,)U P δ，则当0(,)(,)P x y U P δ∈时，显然00||(,)x x P P ρδ-<<，从而000|(,)(,)||sin sin |f x y f x y x x ε-=-<，即(,)sin f x y x =在点000(,)P x y 连续.由0P 的任意性知，sin x 作为x 、y 的二元函数在2R 上连续.习题7－21.设(,)z f x y =在00(,)x y 处的偏导数分别为00(,)x f x y A =，00(,)y f x y B =，问下列极限是什么？（1）00000(,)(,)lim h f x h y f x y h →+-；（2）00000(,)(,)lim h f x y f x y h h→--；（3）00000(,2)(,)lim h f x y h f x y h →+-；（4）00000(,)(,)lim h f x h y f x h y h→+--.解（1）0000000(,)(,)lim (,)x h f x h y f x y z x y A h→+-==；（2）000000000000(,)(,)(,)(,)lim lim (,)y h h f x y f x y h f x y h f x y z x y B h h→→----===-；（3）0000000000(,2)(,)(,2)(,)lim lim 222h h f x y h f x y f x y h f x y B h h →→+-+-=⋅=；（4）00000(,)(,)limh f x h y f x h y h→+--[][]0000000000000000000000000000(,)(,)(,)(,)lim(,)(,)(,)(,)lim (,)(,)(,)(,)lim lim 2.h h h h f x h y f x y f x y f x h y hf x h y f x y f x h y f x y h f x h y f x y f x h y f x y h h A A A →→→→+-+--=+----=+---=+-=+= 2.求下列函数的一阶偏导数：（1）x z xy y=+；（2）ln tan x z y =；（3）e xyz =；（4）22x y z xy+=；（5）222ln()z x x y =+；（6）z = （7）sec()z xy =；（8）(1)y z xy =+；（9）arctan()z u x y =- （10）zx u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭.解（1）1z y x y ∂=+∂，2z xx y y∂=-∂；（2）12211tan sec cot sec z x x x x x y y y y y y -⎛⎫⎛⎫∂=⋅⋅= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭， 12222tan sec cot sec z x x x x x x y y y y y y y-⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=⋅⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）xy xy ze y ye x∂=⋅=∂，xy xy z e x xe y ∂=⋅=∂；（4）()2222222222()2()1z x xy x y y x y x y y y x x y y x xy ∂⋅-+⋅-+⋅===-∂， ()2222222222()2()1z y xy x y x xy x y x x y x y x y xy ∂⋅-+⋅-+⋅===-∂；（5）232222222222ln()22ln()z x x x x y x x x y x x y x y ∂=++⋅=++∂++，22222222z x x y y y x y x y∂=⋅=∂++；（6）1z y x xy ∂=⋅=∂，1z x y xy ∂=⋅=∂；（7）tan()sec()tan()sec()zxy xy y y xy xy x∂=⋅=∂， tan()sec()tan()sec()zxy xy x x xy xy y∂=⋅=∂；（8）121(1)(1)y y zy xy y y xy x--∂=+⋅=+∂， ln(1)(1)ln(1)1y xy z xy e y xy xy y y xy +⎡⎤∂∂⎡⎤==+⋅++⎢⎥⎣⎦∂∂+⎣⎦；（9）11221()()1()1()z z z zu z x y z x y x x y x y --∂-=⋅-=∂+-+-， 11221()()(1)1()1()z z z z u z x y z x y y x y x y --∂-=⋅-⋅-=-∂+-+-， 221()ln()()ln()1()1()z zz zu x y x y x y x y z x y x y ∂--=⋅-⋅-=∂+-+-；（10）111z z ux z x z x y y y y --⎛⎫⎛⎫∂=⋅= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭，12z zux x z x z y y y y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ln zu x x y y y⎛⎫∂=⋅ ⎪∂⎝⎭. 3.设(,)ln 2y f x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求(1,0)x f ，(1,0)y f .解法一由于(,0)ln f x x =，所以1(,0)x f x x=，(1,0)1x f =；由于(1,)ln 12y f y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以11(1,)212y f y y =⋅+，1(1,0)2y f =.解法二 21(,)122x y f x y y x x x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭+，11(,)22y f x y y x x x=⋅+， 10(1,0)110212x f ⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭+，111(1,0)02212y f =⋅=+. 4.设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x . 解法一由于(,1)(11)f x x x =+-=，(,1)()1x f x x '==. 解法二1(,)1x f x y y =，(,1)1x f x =. 5.设2(,)xt yf x y e dt -=⎰，求(,)x f x y ，(,)y f x y .解 2(,)x x f x y e -=，2(,)y f x y e -=-. 6.设yxz xy xe =+，证明z zxy xy z x y∂∂+=+∂∂. 解由于21y y yx x x z y y y e xe y e x x x ⎛⎫∂⎛⎫=+-⋅=+-⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭， 1y yx x z x xe x e y x∂=+⋅=+∂，所以1()yy y yx x x xz z y x y x y e y x e xy e x y xy ye x y x ⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫+=+-++=+-++ ⎪⎢⎥ ⎪∂∂⎝⎭⎣⎦⎝⎭yxxy xe xy xy z =++=+.7.（1）22,44x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点(2,4,5)处的切线与x 轴正向所成的倾角是多少？（2）1z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩在点处的切线与y 轴正向所成的倾角是多少？解（1）按偏导数的几何意义，(2,4)x z 就是曲线在点(2,4,5)处的切线对于x 轴正向所成倾角的斜率，而21(2,4)12x x z x ===，即tan 1k α==，于是倾角4πα=.（2）按偏导数的几何意义，(1,1)y z就是曲线在点处的切线对于y 轴正向所成倾角的斜率，而11(1,1)3y z ===，即1tan 3k α==，于是倾角6πα=.8.求下列函数的二阶偏函数：（1）已知33sin sin z x y y x =+，求2z x y ∂∂∂；（2）已知ln xz y =，求2z x y∂∂∂；（3）已知ln(z x =，求22zx∂∂和2z x y ∂∂∂；（4）arctan y z x =求22zx∂∂、22z y ∂∂、2z x y ∂∂∂和2z y x ∂∂∂.解（1）233sin cos z x y y x x∂=+∂，2223cos 3cos z x y y x x y ∂=+∂∂；（2）ln ln 1ln ln x xz y y y y x x x∂=⋅=∂， 2ln ln 1ln 1111ln ln (1ln ln )xx x z y y x y y x y x y x y x--⎛⎫∂=+⋅⋅=+ ⎪∂∂⎝⎭；（3）1z x ⎛⎫∂=+=∂==()232222zxx xy∂-==∂+，()23222zyx y xy∂-==∂∂+；（4）222211zy y xx x y y x ∂⎛⎫=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，222111z x y x x yy x ∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()222222z xy x x y ∂=∂+，()222222z xy y x y ∂-=∂+， ()()2222222222222z x y y y x x y x y x y ∂+--=-=∂∂++，()()2222222222222z x y x y x y x x y x y ∂+--==∂∂++. 9.设222(,,)f x y z xy yz zx =++，求(0,0,1)xx f ，(1,0,2)xz f ，(0,1,0)yz f -及(2,0,1)zzx f .解因为22x f y xz =+，2xx f z =，2xz f x =， 22y f xy z =+，2yz f z =，22z f yz x =+，2zz f y =，0zzx f =，所以(0,0,1)2xx f =，(1,0,2)2xz f =，(0,1,0)0yz f -=，(2,0,1)0zzx f =.10.验证：（1）2esin kn ty nx -=满足22y yk t x∂∂=∂∂；（2）r =2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂.证（1）因为22esin kn t y kn nx t -∂=-∂，2e cos kn t y n nx x-∂=∂，2222e sin kn t y n nx x -∂=-∂ 所以()2222esin kn ty y k n nx k t x-∂∂=-=∂∂；（2）因为r x xr ∂==∂，2222231r x x x r x x x r r r r r ∂∂-⎛⎫==-⋅= ⎪∂∂⎝⎭，由函数关于自变量的对称性，得22223r r y y r ∂-=∂，22223r r z z r∂-=∂，所以 2222222222223332r r r r x r y r z x y z r r r r∂∂∂---++=++=∂∂∂. 习题7－31.求下列函数的全微分：（1）2222s t u s t+=-；（2）2222()e x y xyz x y +=+；（3）arcsin (0)x z y y=>；（4）ey x x y z ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=；（5）222ln()u x y z =++；（6）yz u x =.解（1）()()222222222222()2()4u s s t s s t st s s t s t ∂--+==-∂--，()()222222222222()2()4u t s t t s t s tt s t s t ∂-++==∂--， ()()()22222222222444d d d (d d )st s tstu s t t s s t ststst=-+=-----；（2）22222222244222222()2()2x y x y x y xyxyxyzx y x y yx y xex y eex xx y x y +++⎛⎫∂-+-=++=+ ⎪∂⎝⎭，由函数关于自变量的对称性可得224422x y xyzy x ey y xy +⎛⎫∂-=+ ⎪∂⎝⎭， 22444422d 2d 2d x y xyx y y x z ex x y y x y xy +⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（3）21d d arcsin d d x x x z x y y yy y ⎛⎫⎫===- ⎪⎪⎝⎭⎭)d d y x x y =-；（4）d d d y x y x x yx y y x z e e x y ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥==-⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2211d d y x x y y x ex y y x x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（5）()2222222221d d ln()d u x y z x y z x y z⎡⎤=++=++⎣⎦++ 2222222d 2d 2d 2(d d d )x x y y z z x x y y z z x y z x y z ++==++++++；（6）()1d d d ln d ln d yz yz yz yz u x yzx x x z x y x y x z -==++()1d ln d ln d yz x yz x xz x y xy x z -=++.2.求下列函数的全微分：（1）22ln(1)z x y =++在1x =，2y =处的全微分；（2）2arctan 1xz y=+在1x =，1y =处的全微分. 解（1）因为2222222211d d ln(1)d(1)(2d 2d )11z x y x y x x y y x yx y ⎡⎤=++=++=+⎣⎦++++所以12112d (2d 4d )d d 633x y z x y x y ===+=+；（2）因为22221d d arctan d 1111x x z y y x y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪++⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪+⎝⎭()22222222211212d d d d 11111y xy xy x y x y y x y y x y y ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥=-=- ⎪⎢⎥++++++⎝⎭+⎣⎦所以()1222111121d d d d d 113x y x y xy z x y x y y x y ====⎛⎫=-=- ⎪+++⎝⎭. 3. 求函数23z x y =当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时的全微分. 解因为()23322322d d 2d 3d 23z x y xy x x y y xy x x y y ==+=∆+∆所以当2x =，1y =-，0.02x ∆=，0.01y ∆=-时全微分为d 4120.080.120.2z x y =-∆+∆=--=-.4.求函数22xyz x y =-当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时的全微分和全增量，并求两者之差.解因为()()222222222d()d()d d x y xy xy x y xy z x y x y ---⎛⎫== ⎪-⎝⎭- ()()()()()222332222222(d d )(2d 2d )d d x y y x+x y xy x x y y x y y x+x +xy yxyx y -----==--所以当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时全微分的值为()()()2332222(,)(2,1)0.01,0.030.25d 0.0277779x y x y x y y x+x +xy yz x y =∆=∆=--∆∆==≈-，而当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时的全增量为()()()()2222(,)(2,1)0.010.030.028252x y x y x x y y xy z x y x x y y =∆=∆=⎡⎤+∆+∆∆=-≈⎢⎥-+∆-+∆⎢⎥⎣⎦，全增量与全微分之差为d 0.0282520.0277770.000475z z ∆-≈-=.习题7－4 1.设2e x y u -=，sin x t =，3y t =，求d d ut.解3222sin 22d d d cos 23(cos 6)d d d x y x y t t u u x u ye t e t e t t t x t y t---∂∂=+=-⋅=-∂∂. 2.设arccos()z u v =-，而34u x =，3v x =，求d d z x. 解2d d d 123d d d z z u z v x x u x v x ∂∂=+=+∂∂2314x -=.3.设22z u v uv =-，cos u x y =，sin v x y =，求zx∂∂，z y ∂∂.解()()222cos 2sin z z u z vuv v y u uv y x u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-⋅∂∂∂∂∂ 23sin cos (cos sin )x y y y y =-，()()()222sin 2cos z z u z v uv v x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅-+-⋅∂∂∂∂∂ 33232(sin 2sin cos cos 2cos sin )x y y y y y y =-+-.4.设2ln z u v =，而32u x y =+，y v x =，求zx ∂∂，z y ∂∂.解 222ln 3z z u z v u y u v x u x v x vx ∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭216(32)ln(32)y x y x y x x=+-+， 22112ln 24(32)ln (32)z z u z v u y u v x y x y y u y v y v x x y∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅=+++∂∂∂∂∂. 5. 设2(,,)ln(sin )z f u x y u y x ==+，e x y u +=，求zx∂∂，z y ∂∂. 解22112cos sin sin x y z z u f u e y x x u x x u y x u y x+∂∂∂∂=⋅+=⋅⋅+⋅∂∂∂∂++ ()()222cos sin x yx y e y xe y x+++=+， 22112sin sin sin x y z z u f u e x y u y y u y x u y x+∂∂∂∂=⋅+=⋅⋅+⋅∂∂∂∂++ ()()222sin sin x yx y e xe y x+++=+. 6.设222sin()u x y z =++，x r s t =++，y rs st tr =++，z rst =，求u r ∂∂，us∂∂，ut∂∂. 解[]22222()2cos()u u x u y u z x y s t zst x y z r x r y r z r∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr s t rs t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦，[]22222()2cos()u u x u y u z x y r t zrt x y z s x s y s z s∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr r t r st r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦，[]22222()2cos()u u x u y u zx y s r zrs x y z t x t y t z t∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅=+++++∂∂∂∂∂∂∂ 222222()()cos ()()()r s t rs st tr r s r s t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦.7.设arctanx z y =，x u v =+，y u v =-，求z u ∂∂，zv∂∂，并验证： 22z z u vu v u v∂∂-+=∂∂+. 解222221111111z z x z y x y xu x u y uy y x y x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂-=⋅+⋅=⋅⋅+⋅-⋅= ⎪∂∂∂∂∂+⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()222221111111z z x z yx y xv x v y vy y x y x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂+=⋅+⋅=⋅⋅+⋅-⋅-= ⎪∂∂∂∂∂+⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则222222222()()()z z y x y x u v u v u v x y x y u v u v u v∂∂-+--+=+==∂∂++++-+. 8.设22(,,)z f x y t x y t ==-+，sin x t =，cos y t =，求d d zt. 解d d d 2cos 2(sin )12sin 21d d d z z x z y f x t y t t t x t y t t∂∂∂=⋅+⋅+=--+=+∂∂∂. 9.求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）：（1）22()z f x y =-；（2）,x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（3）(,,)u f x xy xyz =；（4）22(,,ln )xy u f x y e x =-. 解（1）222()zxf x y x∂'=-∂，222()z yf x y y ∂'=--∂；（2）111f u f x y y '∂'=⋅=∂，12122211u x x f f f f y y z y z ⎛⎫∂''''=⋅-+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭，2222u y y f f z z z ∂⎛⎫''=⋅-=- ⎪∂⎝⎭；（3）123u f yf yzf x ∂'''=++∂，23u xf xzf y ∂''=+∂，3uxyf z ∂'=∂；（4）12312xy u xf ye f f x x∂'''=++∂，122xy u yf xe f y ∂''=-+∂. 10.设()z xy xF u =+，而yu x=，()F u 为可导函数，证明： z zxy z xy x y∂∂+=+∂∂. 证 ()()()z z u u xy x y F u xF u y x xF u x y x y ⎡⎤∂∂∂∂⎡⎤''+=++++⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦ []()()()y x y F u F u y x F u x ⎡⎤''=+-++⎢⎥⎣⎦()xy xF u xy z xy =++=+. 11.设[cos()]z y x y ϕ=-，试证：z z zx y y∂∂+=∂∂. 证sin()[cos()]sin()z z y x y x y y x y x yϕϕϕ∂∂''+=--+-+-∂∂ [cos()]z x y yϕ=-=. 12.设,k z y u x F x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且函数,z y F x x ⎛⎫⎪⎝⎭具有一阶连续偏导数，试证：u u uxy z ku x y z∂∂∂++=∂∂∂. 证11222k k u z y kx F x F F x x x -∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫''=+-+- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1221k k ux F x F y x -∂''=⋅=∂，1111k k u x F x F z x-∂''=⋅=∂， 11111111k k k k k u u u xy z kx F x zF x yF x yF x zF ku x y z----∂∂∂''''++=--++=∂∂∂. 13.设sin (sin sin )z y f x y =+-，试证：sec sec 1z zxy x y∂∂+=∂∂. 证cos zf x x ∂'=∂，cos (cos )z y y f y ∂'=+-∂，sec sec sec cos sec cos sec (cos )1z zxy x xf y y y y f x y∂∂''+=++-=∂∂. 14.求下列函数的二阶偏导数22zx∂∂，2z x y ∂∂∂，22z y ∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）：（1）(,)z f xy y =；（2）22()z f x y =+；（3）22(,)z f x y xy =；（4）(sin ,cos ,)x y z f x y e +=. 解（1）令s xy =，t y =，则(,)z f xy y =，s 和t 是中间变量.11z sf yf x x∂∂''=⋅=∂∂，1212d d z s t f f xf f y y y ∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂.因为(,)f s t 是s 和t 的函数，所以1f '和2f '也是s 和t 的函数，从而1f '和2f '是以s 和t 为中间变量的x 和y 的函数.故()22111112z z s yf yf y f x x x x x∂∂∂∂∂⎛⎫'''''===⋅= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， ()211111211112d d z z s t yf f y f f f xyf yf x y y x y y y ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫'''''''''''===+⋅+⋅=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，()212111221222d d d d z z s t s t xf f x f f f f y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂''''''''''==+=+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭21112222x f xf f ''''''=++. （2）令22s x y =+，则22()z f x y =+是以s 为中间变量的x 和y 的函数.2z sf xf x x∂∂''=⋅=∂∂，2z s f yf y y ∂∂''=⋅=∂∂.因为()f s 是s 的函数，所以f '也是s 的函数，从而f '是以s 中间变量的x 和y 的函数.故()()222222224z z xf f xf x f x f x x x x∂∂∂∂⎛⎫'''''''===+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭， ()()22224z z xf xf y xyf x y y x y∂∂∂∂⎛⎫'''''===⋅= ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， ()()222222224z z yf f yf y f y f y y y y⎛⎫∂∂∂∂'''''''===+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭. （3）令2s xy =2t x y =，则212122z s tf f y f xyf x x x ∂∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂∂，212122z s t f f xyf x f y y y ∂∂∂''''=⋅+⋅=+∂∂∂.()221222z z y f xyf x x x x∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 211122212222s t s t y f f yf xy f f x x x x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫'''''''''=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭()()2221112221222222y y f xyf yf xy y f xyf '''''''''=++++ 43222111222244yf y f xy f x y f '''''''=+++， ()22122z z y f xyf x y y x y∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭ 21111222122222s t s t yf y f f xf xy f f y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂''''''''''=+⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()222111122212222222yf y xyf x f xf xy xyf x f ''''''''''=+++++ 32231211122222252yf xf xy f x y f x yf ''''''''=++++， ()221222z z xyf x f y y y y⎛⎫∂∂∂∂''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭211112212222s t s t xf xy f f x f f y y y y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂'''''''''=+⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()2221111221222222xf xy xyf x f x xyf x f '''''''''=++++ 22341111222244xf x y f x yf x f '''''''=+++. （4）令sin u x =，cos v y =，x y w e +=，则1313d cos d x y z u wf f xf e f x x x +∂∂''''=+=+∂∂，2323d sin d x y z v w f f yf e f y y y +∂∂''''=+=-+∂∂. ()2132cos x y z z xf e f x x x x+∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 1111333133d d sin cos d d x y x y u w u w xf x f f e f e f f x x x x ++∂∂⎛⎫⎛⎫''''''''''=-+++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()1111333133sin cos cos cos x y x y x y x y xf x xf e f e f e xf e f ++++''''''''''=-+++++ ()2231111333sin cos 2cos x y x y x y e f xf xf e xf e f +++''''''''=-+++， ()213cos x y z z xf e f x y y x y+∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭ 121333233d d cos d d x y x y v w v w x f f e f e f f y y y y ++⎛⎫⎛⎫∂∂'''''''''=++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()()121333233cos sin sin x y x y x y x y x yf e f e f e yf e f ++++'''''''''=-+++-+ ()2312133233cos sin cos sin x y x y x y x y e f x yf e xf e yf e f ++++'''''''''=-+-+， ()2232sin x y z z yf e f y y y y+⎛⎫∂∂∂∂''==-+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 2222333233d d cos sin d d x y x y v w v w yf y f f e f e f f y y yy ++⎛⎫⎛⎫∂∂''''''''''=--++++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ ()()2222333233cos sin sin sin x y x y x y x y yf y yf e f e f e yf e f ++++''''''''''=---+++-+ ()2232222333cos sin 2sin x y x y x y e f yf yf e yf e f +++''''''''=-+-+.习题7－51.设2cos e 0x y x y +-=，求d d y x. 解设2(,)cos e x F x y y x y =+-，则22d e 2e 2d sin sin x x x y F y xy xyx F y x y x --=-=-=--+. 2.设ln ln 1xy y x ++=，求1d d x yx=.解设(,)ln ln 1F x y xy y x =++-，则221d 1d x y y F y xy y x x F x y x x y++=-=-=-++. 当1x =时，由ln ln 1xy y x ++=知1y =，所以1d 1d x y x==-.3.设ln arctany x =，求d d y x. 解设(,)arctan yF x y x =，则2222222222211d 111d 1x yy x x y y F yx y x y x y x y y x x F x y xx y x y y x ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭=-=-=-=--⋅-++⎛⎫+ ⎪⎝⎭.4.设222cos cos cos 1x y z ++=，求zx∂∂，z y ∂∂. 解设222(,,)cos cos cos 1F x y z x y z =++-，则2cos sin sin 22cos sin sin 2x z F z x x x x F z z z ∂-=-=-=-∂-，2cos sin sin 22cos sin sin 2y z F z y y yy F z z z ∂-=-=-=-∂-. 5.设方程(,)0F x y z xy yz zx ++++=确定了函数(,)z z x y =，其中F 存在偏导函数，求zx∂∂，z y ∂∂. 解 1212()()x z F F y z F z x F F y x F ''++∂=-=-∂''++，1212()()y z F F x z F zy F F y x F ''++∂=-=-∂''++.6.设由方程(,,)0F x y z =分别可确定具有连续偏导数的函数(,)x x y z =，(,)y y x z =，(,)z z x y =，证明：1x y zy z x∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂. 证因为y xF xy F ∂=-∂，z y F y z F ∂=-∂，x z F z x F ∂=-∂，所以 1y xzx yz F F F x y z y z x F F F⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⋅⋅=-⋅-⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 7.设(,)u v ϕ具有连续偏导数，证明由方程(,)0cx az cy bz ϕ--=所确定的函数(,)z f x y =满足z zab c x y∂∂+=∂∂. 证令u cx az =-，v cy bz =-，则x u u u c x ϕϕϕ∂=⋅=∂，y v v v c y ϕϕϕ∂=⋅=∂，z u v u v u va b z zϕϕϕϕϕ∂∂=⋅+⋅=--∂∂.x u z u v c z x a b ϕϕϕϕϕ∂=-=∂+，y v z u vc zy a b ϕϕϕϕϕ∂=-=∂+. 于是 u v u v u vc c z zab a bc x y a b a b ϕϕϕϕϕϕ∂∂+=⋅+⋅=∂∂++. 8.设0ze xyz -=，求22zx∂∂.解设(,,)z F x y z e xyz =-，则x F yz =-，z z F e xy =-. 于是x z z F z yz x F e xy∂=-=∂-， ()222()z z zz z ye xy yz e y z z x x x x x e xy ∂∂⎛⎫--- ⎪∂∂∂∂∂⎛⎫⎝⎭== ⎪∂∂∂⎝⎭-()22z z zyzy z yz e y e xy e xy ⎛⎫-⋅- ⎪-⎝⎭=- ()2322322z zzy ze xy z y z e exy --=-.9.设(,)z z x y =是由方程2e 0zxz y --=所确定的隐函数，求2(0,1)zx y∂∂∂.解设2(,,)e z F x y z xz y =--，则x F z =-，e z z F x =-，2y F y =-.于是 x z z F z z x F e x ∂=-=∂-，2y zz F z yy F e x∂=-=∂-， ()()22z z zz ze x z e z z y yx y y x ex ∂∂--⋅⋅∂∂∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂⎝⎭-()()222z zz zz y y e x ze e x e x e x ----=- ()()322z zzy e x yze ex --=-.由20ze xz y --=，知(0,1)0z =，得2(0,1)2zx y ∂=∂∂. 10.求由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分d z .解设(,,)F x y z xyz =x z F zx F xy ∂=-==∂y z F zy F xy ∂=-==∂+，d d d z zz x y x y x y ∂∂=+=∂∂，(1,0,1)d d z x y -=.11.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：（1）设22222,2320,z x y x y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩求d d y x ，d d z x ；（2）设0,1,xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，vx ∂∂，v y ∂∂；（3）设sin ,cos ,uux e u v y e u v ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，v y ∂∂. 解（1）分别在两个方程两端对x 求导，得d d 22,d d d d 2460.d d z y x y x xy z x y z x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩称项，得d d 22,d d d d 23.d d y z y x x xy z y z x xx ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩ 在 2162023y D yz y y z-==+≠的条件下，解方程组得213d 6(61)d 622(31)x x z yxz x x z x D yz y y z ------+===++. 222d 2d 6231y x y x z xy xx D yz y z --===++. （2）此方程组确定两个二元隐函数(,)u u x y =，(,)v v x y =，将所给方程的两边对x 求导并移项，得,.uv x y u x xu v y x v xx ∂∂⎧-=-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪+=-⎪∂∂⎩ 在220x y J x y yx-==+≠的条件下，22u yv x u xu yv x y x x y y x---∂+==--∂+， 22x uy v v yu xv x y x x y y x--∂-==-∂+. 将所给方程的两边对y 求导，用同样方法在220J x y =+≠的条件下可得22u xv yu y x y∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+. （3）此方程组确定两个二元隐函数(,)u u x y =，(,)v v x y =是已知函数的反函数，令(,,,)sin u F x y u v x e u v =--，(,,,)cos u G x y u v y e u v =-+.则 1x F =，0y F =，sin u u F e v =--，cos v F u v =-， 0x G =，1y G =，cos u u G e v =-+，sin v G u v =-.在sin cos (,)(sin cos )0(,)cos sin u u u e v u vF G J ue v v u u v e v u v ---∂===-+≠∂-+-的条件下，解方程组得1cos 1(,)1sin 0sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v x J x v J e v v -∂∂=-=-=-∂∂-+， 0cos 1(,)1cos 1sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v y J y v J e v v -∂∂-=-=-=-∂∂-+， sin 11(,)1cos (,)[(sin cos )1]cos 0u uu u e v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂-=-=-=∂∂-+-+，sin 01(,)1sin (,)[(sin cos )1]cos 1u uu ue v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂+=-=-=∂∂-+-+.习题7－61.求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程：（1）2x t =，1y t =-，3z t =在(1,0,1)处；（2）1t x t =+，1t y t+=，2z t =在1t =的对应点处；（3）sin x t t =-，1cos y t =-，4sin2t z =在点1,1,2π⎛- ⎝处；（4）2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩在点(1,1,3)处. 解（1）因为2t x t '=，1t y '=-，23t z t '=，而点(1,0,1)所对应的参数1t =，所以(2,1,3)=-T .于是，切线方程为11213x y z --==-. 法平面方程为2(1)3(1)0x y z --+-=，即 2350x y z -+-=.（2）因为2211(1)(1)t t t x t t +-'==++，22(1)1t t t y t t-+'==-，2t z t '=，1t =对应着点1,2,12⎛⎫⎪⎝⎭，所以 1,1,24⎛⎫=- ⎪⎝⎭T .于是，切线方程为 1212148x y z ---==-. 法平面方程为 281610x y z -+-=.（3）因为1cos t x t '=-，sin t y t '=，2cos 2t t z '=，点1,1,2π⎛- ⎝对应在的参数为2t π=，所以(=T .于是，切线方程为112x y π-+=-=. 法平面方程为402x y π+--=. （4）将2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩的两边对x 求导并移项，得 d 22,d d d 220,d d yy x xy z y z xx ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 由此得2002d 420d 422x z y xz x y x yz y y z --===-，2220d 420d 422y xy z xy xy x yz z y z-===. (1,1,3)d 1d y x =-，(1,1,3)d 1d 3z x =.从而 11,1,3⎛⎫=- ⎪⎝⎭T .故所求切线方程为113331x y z ---==-. 法平面方程为 3330x y z -+-=.2.在曲线x t =，2y t =，3z t =上求一点，使此点的切线平行于平面24x y z ++=.解因为1t x '=，2t y t '=，23t z t '=，设所求点对应的参数为0t ，于是曲线在该点处的切向量可取为200(1,2,3)t t =T .已知平面的法向量为(1,2,1)=n ，由切线与平面平行，得0⋅=T n ，即2001430t t ++=，解得01t =-和13-.于是所求点为(1,1,1)--或111,,3927⎛⎫-- ⎪⎝⎭.3.求下列曲面在指定点处的切平面和法线方程：（1）222327x y z +-=在点(3,1,1)处；（2）22ln(12)z x y =++在点(1,1,ln 4)处；（3）arctany z x =在点1,1,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭处.解（1）222(,,)327F x y z x y z =+--，(,,)(6,2,2)x y z F F F x y z ==-n ，(3,1,1)(18,2,2)=-n .所以在点(3,1,1)处的切平面方程为9(3)(1)(1)0x y z -+---=，即 9270x y z +--=. 法线方程为311911x y z ---==-. （2）22(,,)ln(12)F x y z x y z =++-，222224(,,),,11212x y z x yF F F x y x y ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭n ， (1,1,ln 4)1,1,12⎛⎫=- ⎪⎝⎭n .所以在点(1,1,ln 4)处的切平面方程为2234ln 20x y z +--+=.法线方程为 12ln 2122y z x ---==-. （3）(,,)arctanyF x y z z x=-，2222(,,),,1x y z y xF F F x y x y ⎛⎫-==- ⎪++⎝⎭n ， 1,1,411,,122π⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫=-- ⎪⎝⎭n . 所以在点1,1,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切平面方程为202x y z π-+-=. 法线方程为 114112z x y π---==-. 4.求曲面2222321x y z ++=上平行于平面460x y z ++=的切平面方程. 解设222(,,)2321F x y z x y z =++-，则曲面在点(,,)x y z 处的一个法向量(,,)(2,4,6)x y z n F F F x y z ==.已知平面的法向量为(1,4,6)，由已知平面与所求切平面平行，得246146x y z ==，即12x z =，y z =. 代入曲面方程得 22223214z z z ++=.解得 1z =±，则12x =±，1y =±.所以切点为 1,1,12⎛⎫±±± ⎪⎝⎭.所求切平面方程为 21462x y z ++=±5.证明：曲面(,)0F x az y bz --=上任意点处的切平面与直线x yz a b==平行（a ，b 为常数，函数(,)F u v 可微）.证曲面(,)0F x az y bz --=的法向量为1212(,,)F F aF bF ''''=--n ，而直线的方向向量(,,1)a b =s ，由0⋅=n s 知⊥n s ，即曲面0F =上任意点的切平面与已知直线x yz a b==平行. 6.求旋转椭球面222316x y z ++=上点(1,2,3)--处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解令222(,,)316F x y z x y z =++-，曲面的法向量为(,,)(6,2,2)x y z F F F x y z ==n ，曲面在点(1,2,3)--处的法向量为1(1,2,3)(6,4,6)--==--n n ，xOy 面的法向量2(0,0,1)=n ，记1n 与2n 的夹角为θ，则所求的余弦值为1212cos θ⋅===n n n n .7.证明曲面3xyz a =（0a >，为常数）的任一切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为常数.证设3(,,)F x y z xyz a =-，曲面上任一点(,,)x y z 的法向量为(,,)n yz xz xy =，该点的切平面方程为()()()0yz X x xz Y y xy Z z -+-+-=，即 33yzX xzY xyZ a ++=.这样，切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为33331333962a a a V a yz xz xy =⋅⋅⋅=.习题7－71.求函数22z x y =+在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2+的方向的方向导数.解按题意，方向l =，12l ⎛= ⎝⎭e .又2zx x∂=∂，2z y y ∂=∂，(1,2)2z x ∂=∂，(1,2)4zy ∂=∂，。

高等数学Ⅱ答案同济大学第三版

解所求平面的法线向量可设为 n=(0, b, c). 因为点(4, 0, −2)和(5, 1, 7)都在所求平面上,
所以向量n =(5, 1, 7)−(4, 0, −2)=(1, 1, 9)与n是垂直的, 即 1
b+9c=0, b=−9c , 于是 n=(0, −9c, c)=−c(0, 9, −1). 所求平面的方程为
4. 自点P0(x0, y0, z0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线, 写出各垂足的坐标.
解在xOy面、yOz面和zOx面上, 垂足的坐标分别为(x , y , 0)、(0, y , z )和(x , 0, z ).
00
00
0
0
在x轴、y轴和z轴上, 垂足的坐标分别为(x , 0, 0), (0, y , 0)和(0, 0, z ).
3
.
3
(5)y+z=1; 解y+z=1是平行于x轴的平面, 它在y轴、z轴上的截距均为1. (6)x−2z=0; 解x−2z=0是通过y轴的平面. (7)6x+5−z=0.
解 6x+5−z=0 是通过原点的平面. 求平面2x−2y+z+5=0与各坐标面的夹角的余弦. 解此平面的法线向量为n=(2, −2, 1).
0
0
0
5. 过点P (x , y , z )分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面, 问在它们上面的点的坐 00 0 0
标各有什么特点？解在所作的平行于 z 轴的直线上, 点的坐标为(x , y , z); 在所作的平行于 xOy 面的平面上,
00
点的坐标为(x, y, z ). 0
6. 一边长为 a 的立方体放置在 xOy 面上, 其底面的中心在坐标原点, 底面的顶点在 x 轴和 y 轴上, 求它各顶点的坐标.

高等数学第七章定积分应用与广义积分 7-2(1)平面图形的面积

x
A = 2( A + A ) 1 2
= 2[∫ 1 3 (1 + cosθ )2dθ 0 2
π
2
π
A2
o
yθ =
π
3
A1
x
1 (3acosθ )2dθ ] +∫ π 2 =∫ 9 2 3 (1+ 2cosθ + cos2 )dθ + θ θ π (1+ cos 2 )dθ 0 2 3
π
o x x +d x a x
= 4ab∫ 2 sin2 t dt
0
π
= 4ab ⋅ 1⋅ π = π ab 2 2
当 a = b 时得圆面积公式
一般地 , 当曲边梯形的曲边 ( f ( x) ≥ 0, x ∈[a,b]) 由参数方程给出时, 给出时
y = f (x)
则曲边梯形面积为
3. 极坐标情形及求由曲线围成的曲边扇形的面积 .
第七章七
第二节定积分的几何应用
一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形 2. 参数方程情形 3. 极坐标情形
1. 直角坐标情形 (1) 面积元素
d A = f ( x)d x
曲边梯形的面积
A = ∫ f ( x)d x
a
b
(2) 面积元素
d A = [ f ( x) − g( x)]d x
曲边梯形的面积 A = [ f ( x) − g( x)]d x ∫
0 3 2 3 2 3
说明：注意各积分区间上被积函数的形式．说明：注意各积分区间上被积函数的形式．
例3 计由线y2 = 2x和线y = x − 4所成算曲直围
图的积的形面 .

《高等数学Ⅰ》教学大纲

《高等数学Ⅰ》课程教学大纲一、课程简介课程名称：高等数学Ⅰ课程编号：4660123课程类别：通识课学分： 6学时：96授课系：基础部先修课程初等数学考核方式及各环节所占比例考试课：期末成绩占70%，平时成绩占30%课程概要高等数学是高等工科院校最重要的基础课程之一，又是重要的工具课．是培养学生理性思维和计算的重要载体，是提高学生文化素质和学习有关专业知识的重要基础。

通过本课程的教学，不但使学生具备学习后续其他数学课程和专业课程所需要的基本数学知识，而且还使学生在数学的抽象性、逻辑性与严密性方面受到必要的训练和熏陶，使他们具有理解和运用逻辑关系、研究和理解抽象事物、认识和利用数形规律的初步能力。

为本科生的后继课程及各专业课程打下必要的数学基础。

教学目的及要求通过各个教学环节，逐步培养学生具有抽象概括问题能力，逻辑推理能力，空间想象能力和自学能力，使学生具有比较熟悉的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

教材及主要参考书本课程选用同济大学数学系主编的《高等数学》（第六版，2007年）一书为教材；教学参考书选用：同济大学数学系主编的《高等数学习题全解指南》；二、课程章节主要内容及学时分配第一章函数与极限（讲课 18 学时，实验学时）内容：映射与函数；数列的极限；函数的极限；极限的运算；无穷大和无穷小；函数的连续性重点：用两个重要极限求极限。

掌握：函数的概念和的性质；基本初等函数的性质及其图形；极限四则运算法则；用两个重要极限求极限；无穷小的比较；函数连续的概念；会判断间断点类型了解：反函数和复合函数的概念；极限的ε-N，ε-δ定义；两个极限存在准则（夹挤准则，单调有界准则），无穷小、无穷大的概念，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

内容：导数的概念与求导法则；高阶导数；隐函数及参数方程所确定函数的导数；函数的微分重点：初等函数的一、二阶导数掌握：导数和微分的概念；导数和微分的运算法则和导数的基本公式；初等函数的一、二阶导数；隐函数和参量方程确定的函数一、二阶导数了解：导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系；能用导数描述一些物理量；高阶导数的概念第三章微分中值定理与导数的应用（讲课 14 学时，实验学时）内容：微分中值定理；罗必塔（L′Hospital）法则；泰勒公式；函数的单调性与曲线的凹凸性；函数的极值与最值；函数图形的描绘重点：函数的极值、增减性、罗必塔（L′Hospital）法则掌握：罗尔（Rolle）定理，拉格朗日（Lagrange）定理；罗必塔（L′Hospital）法则；函数的极值概念及求法；简单的最大值和最小值的应用问题了解：柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）公式；函数图形的凹凸性；函数图形的拐点；描绘函数图形第四章不定积分（讲课 12 学时，实验学时）内容：不定积分的概念与性质；不定积分的换元积分与分部积分法；有理函数的积分重点：不定积分的换元法和分部积分法掌握：不定积分的概念及性质，不定积分的基本公式；不定积分的换元法和分部积分法了解：较简单的有理函数的积分。

7-3应用高等数学(曾庆柏)

7·3 二阶常系数线性微分方程
案例研究
案例7.3 物体的振动方程：如图所示，弹簧上端固定，下端挂一个质量为m的物体，O点为平衡位置. 若在弹性限度内用力将物体向下一拉，随即松开，物体就会在平衡位置O上下作自由振动，忽略物体所受的阻力（如空气阻力等），并且当运动开始时，物体的位置为 x0 , 初速度为 v0求, 物体的运动规律.
r 2 pr q 0.
上式说明，y erx 是微分方程的解当且仅当r是方程 r 2 pr q 0 的根.
代数方程 r2 pr q 0 叫做微分方程 y py qy 0 的特征方程. 特征方程的根 r 叫做微分方程的特征根.
（3）构造出通解：若能由特征根得出两个解 y1 er1x 和 y2 er2x
则可由前面的构造性方法得到方程的通解.
讨论将特征方程与特征根类比，有何相似之处？如何由微分方程写出对应的特征方程？
特征方程的两个根 r1,r2 可以用公式
r1,2 p
p2 4q 2
求出. 它们有下列三种情况：
（1）特征根是两个不相等的实根：r1 r2 .
这时方程 y py qy 0 有两个特解
从而，方程 y py qy 0 的通解为 y C1erx C2 xerx , 即
y (C1 C2 x)erx .
例2
求微分方程
d 2s dt 2
2
ds dt
s
0
满足初始条件
s t0 4, s t0 2 的特解.
解特征方程：r2 2r 1 0. 特征根为 r 1. 所
y e 和y e , r1x 1
2
r2x 且
y1 y2
er1x er2 x

高等数学：7-3 多元复合函数的求导法则

链式法则如下图所示
u
x
z
v
y
z z u x u x
z v
v x
fu ux fv vx
z z u z y u y v
v y
fu uy
fv vy
链式法则：“分段相乘，分叉相加”
注 1 上述公式可推广：中间变量及自变量的个数
可增加或减少。例如
ux zv
wy
x
z
uy vt
2 当复合函数中自变量与中间变量共存时
dz z du z dv ． dt u dt v dt 证设 t 获得增量 t，则 u (t t) (t), v (t t) (t);
由于函数 z f (u,v) 在点 (u,v) 有连续偏导数
z
z u
u
z v
v
1u
2v,
当 u 0，v 0 时，1 0， 2 0
w
区
z y
f u
u y
f y
.
别类似
两者的区别
把 z f (u, x, y) 中
把复合函数 z f [( x, y), x, y] 中的 u 及 y 看作不变
的 y 看作不变而对 x 的偏导数而对 x 的偏导数
（3）当仅有一个中间变量时
z f (u), u ( x, y) 则复合函数z f [(x, y)]
z z u z v y u y v y
eu sinv x eu cosv 1 e u ( x sinv cos v).
例2 u f ( x, y, z) e x2 y2 z2 而 z=x2siny。求
u u x y 解 u f x f y f z f f z x x x y x z x x z x