0_博弈论趣味例子

7 走出囚徒困境的机制设计 冻结价格战的博弈机制
美国有两家销售音像商品的商店“疯 狂艾迪（Crazy Eddie）和纽马克与露易斯 （Newmark&Lewis），它们之间在市场上 存在竞争。当它们进行合谋时，如何保证对 方不会背叛而降价的一个前提就是如何能迅 速查出对方的背叛行为并给予惩罚。
“疯狂艾迪”已作出了承诺“不可能有 人卖得比我们更低，我们的价格最低廉，我 们保证价格最低，而且是超级疯狂的低”。 而对手企业Newmark&Lewis也打出“只要 买我们的东西，将得到终生低价保证”。它 承诺：假如你能在别处买到更 低的价格，我们将加倍 退钱，广告还承诺：
但是，如果我们不假定曹操比孔明要 笨一些，而是相反假定曹操与孔明一样聪明， 则曹操又知道孔明知道曹操知道孔明的打算， 曹操就会知道关羽在华容道上等着他呢？此 时曹操就避开华容道走另一条路。但是，这 还没有完，因为若孔明知道曹操知道孔明知 道……。显然，最终的结果是曹操与孔明玩 …… 混合战略博弈，曹操随机地以1/2的概率选 择走华容道和另一条路，孔明也以1/2的儿争扯到所罗门王殿前，她们 都说婴儿是自己的，请所罗门王 作主。所罗门王稍加思考后作出决定：将婴儿 一刀劈为两段，两位妇人各得一半。这时，其 中一位妇人立即要求所罗门王将婴儿判给对方， 并说婴儿不是自己的，应完整归还给另一位妇 人，千万别将婴儿劈成两半。听罢这位妇人的 求诉，所罗门王立即作出最终裁决——婴儿是 这位请求不杀婴儿的妇人的，应归于她。
这个故事讲的道理是，尽管所罗门王不知道 两位妇人中谁是婴儿的母亲，但他知道婴儿真正 的母亲是宁愿失去孩子也不会让孩子被劈成两半 的。所罗门王正是利用这一点，一下就识别出谁 是婴儿的真正的母亲了。所罗门王的这种方法在 博弈论中被称为“机制设计”，即设计一套博弈 的规则，令不同类型的人作出不同的选择，尽管 每个人的类型可能是隐藏的，别人观察不到，但 他们所作出的不同选择却是可以观察到的。观察 者可以通过观察不同人的选择而反过来推演出他 们的真实类型。
这个电视剧情节在博弈论中被称为 “信号传递博弈”。豪杰身怀绝技、天下 无敌。但其他人不一定会相信他是武林第 一高手，除非亲自与之交手并败于他。交 战虽然可以决出高下，但对双方都会有损 失，打个头破血流对谁都不是好事。当然， 豪杰可以对外宣布他的武功非凡，其他人 不是他的对手，但即使豪杰没有什么本事， 也可以如此对外宣布。所以，仅凭口头宣 布是难以令人信服的。
田忌的谋士孙膑了解了田忌的困境后， 就打听到这样一个消息：尽管齐威王的上、 中、下三匹马都要比田忌的对应上、中、下 三匹马好，但碰巧的是田忌的上马可胜齐威 王的中马，田忌的中马可胜齐威王的下马。 于是，孙膑为田忌献计：下一次比赛中第一 局时田忌出下马对齐威王的上马输一局，第 二局田忌出上马对齐威王的中马，第三局田 忌出中马对齐威王的下马，这样可连赢两局， 最后净胜一千斤铜。田忌依计而行，果真赢 回一千斤铜。
假如你在本店买了商品之后，在你一 生中于任何本地的销售商（本行销区内）那 里发现相同的广告款式而价格却较本店低的 话（以单据为凭），本店愿支付百分之百的 差价，并额外付给差价的百分之二十五（以 支票支付）；或是给你差价百分之二百的本 店换货单（除了原差价的百分之一百外，再 额外加给百分之百，都是以换货单方式支 付）。
但是，依《三国演义》作者罗贯中的 逻辑，孔明总是比曹操计高一筹，按博弈论 的术语来说，就是孔明的理性程度要比曹操 高上一阶。孔明也知道曹操知道孔明的打算， 于是令关羽正好在点火的华容道上等着曹操。 《三国演义》中的这个故事很可能是作者编 造的，因为在《三国志》中并无这一情节。 这里，罗贯中假设了曹操在智力上比孔明差 一些，才有华容道上被关羽抓住，要不是关 羽旧情难忘，曹操就死无葬身之地了。
当曹操冲破赵云、张飞的阻截后，来 到华容道前，看见华容道上静悄悄的，但有 烟火萦绕。曹操大笑道：“孔明以为我会上 他的当，故意叫人在华容道上点火让我走另 一条道，而他却伏兵于这条道上好逮住我呢！ 我偏不上他的当！”于是，曹操令大军径直 上华容道上而去，结果与关羽大军撞个正着。
曹操为何进了孔明的圈套呢？这里的 道理是这样的：孔明知道曹操是聪明人，而 聪明人见华容道上有烟火会认为华容道上有 伏兵，于是会避开华容道而走另一条路。如 果孔明令关羽在另一条路等着，曹操就被逮 住了。但是，曹操不仅聪明，而且还聪明过 人，他也知道孔明的如此盘算来诱他上钩， 他偏不上当，知道点火的华容道上无人，孔 明的队伍在另一条道上呢！于是他选择走华 容道。
4 信号传递博弈例子 有一个电视剧，其中有一个情节是一位武林 豪杰在交通要道边开了一个酒馆。生产十分兴隆， 引起另一位武林高手的垂涎。这位武林高手决定 打败那位豪杰然后霸占酒馆。两强相遇，武林豪 杰和武林高手相互之间不知对方底细，于是来一 番比试。本来，他们俩可以通过打斗来解决问题， 但打斗一场双方都会有所损伤，不如通过其他方 式比较武功高低。豪杰拿来5块砖，一掌将其击碎， 高手也不示弱，照样击碎5块砖。于是，豪杰又拿 来十块砖，同样是一掌击个粉碎，高手见之，心 中没底，于是明白自己武功较豪杰还差一截。于 是，这位武林高手甘拜下风，放弃了原来的计划， 弃剑而去。
这个故事曾经被很多人当作博弈论的例子来 演绎，但实际上这个故事与博弈论无关。博弈论 会假定所有局中人都是理性的，不能假定一些局 中人聪明而另一些局中人却是傻子。当田忌出下 马时，齐威王最好的选择是出下马而不是上马。 孙膑的计谋中假定齐威王是傻子，当田忌出下、 上、中马时，他仍然按上、中、下马出，当然要 输了。事实上，当田忌出下马时，齐威王应出下 马，但齐威王出下马时，田忌不应出下马而是出 中马，但此时齐威王又应出中马而不是下马 了，……。这样，博弈不会有纯战略的均衡。
但是，对手的战略锁定了“疯狂艾迪” 的行为，因为“疯狂艾迪”的这一计划会有 相反的效果。因为顾客会到对手那里先以 300 300美元买下录相机，然后再获退款50美元。 50 这样，对手自然将价格降到更低的价格250 美元一台，顾客反而是从“疯狂艾迪”那里 流向对手而不是相反。
如果对手不想以250美元一台出售录相 机，他也可以将价格降到275美元一台，只 要它发现有顾客来要求退款，就会发现对手 的背叛行为，从而将价格降到了275美元一 台。既不以太低价出售，又快速发现对手的 背叛从而以降价予以报复，使对手降价也不 能增大顾客量，从而蒙受损失。
于是，《三国演义》中的这一情节就应作如 下改写： 诸葛亮抛出一枚硬币，决定关羽是守华容道 呢还是另一条道……，而曹操也掷出一枚硬币， 决定是走华容道呢还是走另一条路。平均看来， 曹操有1/2的概率逃脱，而关羽也只有1/2的概率抓 住曹操。如果说关羽在华容道上抓住了曹操，则 纯属偶然、并非孔明比曹操计高一筹所致！
2 田忌赛马新编
春秋战国时期，齐威王常与旗下大将田忌赛 马。规则是：每次赛三局，每一局齐威王与田忌 各出一匹马比赛奔跑速度。每一局中的胜者赢败 方一千斤铜。田忌有上、中、下三匹马，而齐威 王也有上、中、下三匹马。每次比赛，第一局田 忌出上马，齐威王也出上马；第二局田忌出中马， 齐威王也出中马；第三局，田忌出下马，齐威王 也出下马。齐威王的上马比田忌的上马好，齐威 王的中马也比田忌的中马好，齐威王的下马还是 比田忌的下马好。于是，每次比赛的结果都是田 忌连输三局。
飞机或轮船公司为了将这些在经济学 中被称为具有不同支付意愿的人区分开来， 让能支付较高价格的人支付较高价格，就设 计了一种“信息甄别”的机制，这种机制就 是设立头等舱、二等舱、三等舱，……，等 等。这种机制发挥作用的道理是这样的，我 们可以用著名的“所罗门王断案”的故事来 说明。所罗门王是古代以色列国的一位以智 慧著称的君主。
两人只能玩混合战略博弈，齐威王分 别以1/6随机的概率选择出上、中、下马的 任一排列，田忌也如此。由于齐威王存在绝 对优势，他平均看来仍然会赢田忌一千斤铜。
3 如果曹操与诸葛亮一样聪明：三国演
义中的华容道博弈
在《三国演义》中，曹操在赤壁大战 中一败涂地，率残兵败将向许都方向逃窜。 诸葛亮命关羽率兵在途中阻截曹军。当时， 第一批拦截大军是赵云率领的，第二批拦截 大军是张飞带队的，第三批才是关羽率部伏 击。由于曹军兵多将广，前二批伏击军不能 逮住曹操，只是抢劫一些军械马匹之类。
——Newmark&Lewis公司终身低价保证
乍一看，这两家企业在玩命竞争，根 本不可能形成价格联盟，即使形成也难以维 持，因而它们之间似乎是在打价格战。但是， 一种潜在的侦察降低价格行为的机制阻止了 价格战的发生。 若每台录相机的批发价为150美元， 此时两家企业正以每台300美元的价格出售。 “疯狂艾迪”打算降为每台275美元，从而 将对手的顾客拉过来，如那些家住在对手售 货点附近或过去曾买过对手商品的顾客。
当乙在甲的右边紧靠甲设店时，其右 边街道上的顾客都是乙的顾客；如果乙不是 紧靠甲而是远离甲设店，则其顾客只是其右 边街道的居民，不如它紧靠甲设店时多，因 而在远离甲的位置设店是劣战略。所以给定 甲在1/2处设店，乙在紧靠甲的左边或右边 设店是最优的。反过来，给定乙在接近1/2 处设店，甲的最优选择也是在1/2附近设店。 这样，甲和乙挤在1/2处设店就是纳什均衡， 这就是商业中心区的形成原理。
博弈论趣味例子
1 在城市街道上，我们常见到一些地段上 的商店十分拥挤，构成一个繁荣的商业中心 区，但另一些地段却十分冷僻，没什么商店。 对于这种现象，我们可以运用纳什均衡的概 念来加以解释。 甲乙
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商业位置博弈
有一个长度为1单位的街道，在街道两 边均匀地分布着居民。现有两家商店 决定在街道上确定经营位置。如果甲 在街道中间位置1/2处设店，则乙的最 好选择是紧靠甲的左边或右边设店。
待曹军冲过赵云、张飞两道关后，进 入关羽的伏击地带。但是，当时关羽与曹操 相遇的地方有两条道，一条是华容道，除此 外还有另一条道。诸葛亮令关羽伏兵于华容 道，并且要求关羽在华容道上点燃树枝冒出 烟雾引曹操到来。当时关羽不解，问诸葛亮， “如果在伏兵之处点火，岂不令曹兵看见而 改走另一条道逃脱？”诸荀亮叫关羽不要再 问，只如此照办即可。