截面法求内力
第二章 杆件的内力.截面法(第1、2、3节)
外 无外力段
力
q=0
均布载荷段
q>0
q<0
集中力
P C
集中力偶
m
C
水平直线
斜直线
自左向右突变 无变化
FS 图
FS
特
征
x
FS >0
FS
FS
x
x
FS <0 增函数
FS
FS FS1
C
x
FS2
x
降函数 FS1–FS2=P
FS
C x
M
斜直线
曲线
自左向右折角 自左向右突变
图M
M
M
M
M
与 M M1
特
x
x
x
x
xm
x
求：外力偶矩Me ( N·m)
解：PMe
n 30
P1000Me3n0
由此求得外力偶矩：
Me
Me
P103 00 P
M e
n
954 (N .9 m) n
若传递功率单位为马力（PS)时, 由于PS=735.5N·m/s
Me
702P4(N.m) n
杆件的内力.截面法
对称弯曲：工程中最常见的梁，其横截面一般至少有一根对称 轴，因而整个杆件有一个包含轴线的纵向对称面。 若所有外力都作用在该纵向对称面内时，梁弯曲变 形后的轴线将是位于该平面内的一条曲线，这种弯 曲形式称为对称弯曲。
注意 1、用截面法求轴力时，在切开的截面上建议假设正 的轴力，由平衡方程得出的FN值为正，说明轴力为正 （拉力）； FN值为负，说明轴力为负（压力）。
2、在画轴力图时，填充为下画线或无填充，不要画剖 面线形式；并注上 符号 或 。
截面法求杆件的内力
截面法求杆件的内力教学目标：1、理解和掌握求杆件内力的方法——截面法；2、熟练运用截面法求不同杆件受到拉伸时的内力。
教学重点：截面法求杆件内力的步骤。
教学难点：如何运用截面法求内力的方法解决工程力学中求内力的实际问题。
教学方法：提出问题——实例演示——练习点拨——归纳总结教学过程：一、复习旧知1、杆件有哪几种基本变形？2、拉伸和压缩的受力特点是什么？3、拉伸和压缩的变形特点是什么？二、新课讲解思考：当杆件受到拉伸、压缩时，就会在杆件内部产生力的作用，怎样才能确定杆件的内部会产生多大的力？（引出课题）出示本节课的学习目标。
（一）、教学什么是杆件的内力？内力：杆件在外力作用下产生变形，其内部相互间的作用力称为内力。
一般情况下，内力将随外力增加而增大。
当内力增大到一定限度时，杆件就会发生破坏。
内力是与构件的强度密切相关的，拉压杆上的内力又称为轴力。
（二）、教学截面法求杆件的内力。
1、什么是截面法？截面法：将受外力作用的杆件假想地切开，用以显示内力的大小，并以平衡条件确定其合力的方法，称为截面法。
它是分析杆件内力的唯一方法。
2、实例演示：如图AB 杆受两个力，一个向左，一个向右，大小均为F 。
作用点分别为A 和B 。
①、确定要截开的次数和位置（要根据杆件的受力情况而定） ②、选取一半截面为研究对象（一般选取受力较少的一段作为研究对象）③、假设出截面上的内力（取左段内力向右设，取右段内力向左设，方向跟坐标轴方向一致，左负右正、下负上正）④、用平衡方程求出截面上的内力（求出的内力为正值为拉力，负值为压力）取左段 ∑Fx=O －F ＋FN ＝0 取右段 ∑Fx=O F －FN ＝0FN ＝F FN ＝F 3、总结截面法求杆件内力的步骤：（1）截：在需求内力的截面处，沿该截面假想地把构件切开。
（2）取：选取其中一部分为研究对象。
（3）代：将截去部分对研究对象的作用，以截面上的未知内力F F N来代替。
（4）平：根据研究对象的平衡条件，建立平衡方程，以确定未知内力的大小和方向。
02截面法求内力基本方法
0 -33 34.8
19
19
Y 0 YNAD 11 kN YNAD CD 0.5 X NAD AC 1.5 X NAD 3YNAD 33 kN
X 0 FNAC 33 kN
0 -33
-33
34.8 -8
19
19
0 -33
-33
34.8
dM dx
FQ ,
dFQ q( x), dx
dFN p( x) dx
Mq
M+dM
dx
FN
dx
FN+d FN
FQ
FQ+dFQ
dM dx
FQ ,
dFQ q( x), dx
dFN p( x) dx
集中力
梁上 无外力 均布力作用 集中力作用 偶M作 铰处
情况
(q向下)
处(FP向下) 用处
斜直 剪力图 水平线 线(
)
为 零 处
有突 变(突 变值=
FP)
如 变 号
无 无变化 影
响
一般 抛物 有 有尖 有 有突变
弯矩图 为斜 线(
极 角(向 极 （突变 为零
直线 下凸) 值 下） 值 值=M）
曲杆微分关系
曲杆微段
dFN ds
=-qt+
FQ R
dFQ ds
=qn-
FN R
dM ds
=FQ-m
求内力基本方法：截面法
材料力学规定： 轴力FN --拉力为正 剪力FQ--绕隔离体顺时针方向转动者为正
弯矩M--使梁的下侧纤维受拉者为正
M
M+dM
第二章 杆件的内力·截面法讲解
F
FN （＋）FN
F
F
FN （－）FN
F
轴力图： 轴力沿轴线变化的图形
F
F
FN
轴力图的意义
+ x
① 直观反映轴力与截面位置变化关系； ② 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为 强度计算提供依据。
例 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为FA = 5 F、 FB = 8 F、 FC = 4 F、 FD= F 的力，方向如图，试求各段内力并画出杆 的轴力图。
应变
一、正应变（线应变）定义
av
Du Ds
棱边 ka 的平均正应变
lim
Du k点沿棱边 ka 方向的正应变
Ds0 Ds
正应变特点
1、 正应变是无量纲量 2、 过同一点不同方位的正应变一般不同
二、切应变定义 微体相邻棱边所夹直角的
改变量 g ，称为切应变
切应变量纲与单位
切应变为无量纲量 切应变单位为 弧度（rad）
BC
D
FN 2 FB FC FD 0
FB
FC
FD
FN2= –3F，
求BC段内力：
FN3
C
D
Fx 0 FN3 FC FD 0 FN3= 5F，
FC
FD
FN4
D
求CD段内力：
Fx 0 FN 4 FD 0
FN4= F
FD
FN1 2F, FN2= –3F， FN3= 5F， FN4= F
M
M
取左段为研究对象：
M 0, T M 0 M x
Tx
T M
取右段为研究对象：
截面法求内力讲解
解： 1. 确定支座反力
B Fx 0 MA 0
FBy
Fy 0
FAx 0 2FPa FPa FBy 3a 0 FAy FBy 2FP 0
FBy
FP 3
FAy
5FP 3
2FP FQE
A 5FP
C E ME
3
Fy 0
2FP
FQE
5FP 3
0
C
a
FAy
b l
FPb l
+
FP a
-
l FQ图
FPab M图
l
B FBy
A FPb
l
FQ
M
MA 0
Fy 0
FBy
FP a l
FAy
FPb l
FQ
FQ
FPb l
(0 x a)
M
M FPb x (0 x a)
l
B
FQ
FP a l
(a x l)
FPa M FPa (l x)
平: 对留下部分写平衡方程求出内力的值
FQ(+)
FQ(+)
M(+)
M(+)
（1）平衡方程的正负和内力的正负是完全不同性质的两套符号系统。 （2）取简单部分作为隔离体，列平衡方程时，尽量使一个方程含有一个未知量
例1 求E截面内力
A FAx
FAy
2FP FPa
C
D
1.5a E
a
a
a
2. 用截面法研究内力
M JK J
F QJK
M JK J
内力分析的基本方法-截面法
解：求支座反力，由MB =0，得：
E
2m
30kN 4m A
D
C
-FA 6 -30 4 +206 3 =0 故： FA =40kN（） 30 +FBx =0 由 x =0，得：
FBx=30kN FBy=80kN
故： FBx = -30kN（）
B 6m FA=40kN (a)
RA
RB 1、计算支座反力
得: QD= qL/2 Σmc= 0 MD–RA×L+qL×L/2 = 0 得: MD= qL2 取E--E截面右段为对象
ME
E
解得：RA=3qL/2 （竖直向上） RB=qL/2 （竖直向上）
2、取D--D截面左段为对象， 画出受力图 q D
MD
qL2
QE E
RA
D
ΣΎ= 0 Σmc= 0
简 支梁
悬臂梁
外伸梁
12
三、梁的内力剪力和弯矩
P1 RA
m
M
Q
M Q
m
P2
m
m
RA
RB
RB
取截面m-m以左为对象:
该相切于横截面的集中力称为剪力，用Q表示； 位于纵向对称平面内的力偶称为弯矩，用M表示。
由平衡方程: ΣΥ=0 Σmc=0 求得Q 求得M 取截面m-m以右为对象， 同理可得。
13
剪力、弯矩的正负号规定 剪力使隔离体产生顺转为正，逆转为负； 弯矩使隔离体产生下凸为正，上凸为负。
N2
N2 = 0
N1 = － P
2、不共线的两杆结点，外力沿一杆作用，则另一杆轴 5 力为零。
N1
3、无外力作用的三杆结点
N2 N2 = 0 N1 = N3 N3
材料力学内力和截面法
课程导入：
工程实例
1.内力
内力--由于物体受外力作用而引起的内部各 质点间互相作用的力的改变量。
根据可变形固体的连续性假设可知，物 体内部相邻部分之间的作用力是一个连续分 布的内力系，我们所说的内力是该内力系的 合成（力或力偶）
2.截面法
求内力的一般方法------截面法 步骤： （1）截开；
（2）代其作用线 均与杆件的轴线重合，因而称之为轴力用符号 FN表示。
3.轴力符号的规定
引起伸长变形的 轴力为正--拉力 （背离截面）；
引起压缩变形的 轴力为负--压力 （指向截面）。
4.轴力图
若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位 置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴 力的数值，所绘出的图线可以表明轴力与截 面位置的关系，称为轴力图。
注意： 用截面法求内力的过程中，在截面取分离
前，作用于物体上的外力（荷载）不能任意移 动或用静力等效的相当力系替代。
5.例题
试作图示杆的轴力图。
解：求支反力 FR=10kN
横截面1-1：注意假设轴力为拉 力
横截面2-2：
横截面3-3：此时取截面3-3右边为分离体方便， 仍假设轴力为拉力。
计算构件内力的基本方法
计算构件内力的基本方法一、构件内力的定义构件内力是指在构件内部产生的由外部作用力引起的内部力。
构件内力主要包括拉力、压力、剪力和弯矩等。
它们的作用是平衡外部作用力，使构件保持稳定。
1. 自由体法：将构件从整体中分离出来，将其视为一个孤立的自由体，通过绘制受力图，可以得到构件上各点的受力情况。
利用平衡方程可以计算出构件内力的大小和方向。
2. 截面法：在构件的截面上选择一个点，通过分析该点的受力平衡条件，可以计算出该点的内力大小和方向。
截面法常用于计算梁、柱等构件的内力。
3. 变形法：根据构件的变形情况，通过应变与应力之间的关系，计算出构件内部的应力分布情况，从而计算出构件内力的大小和方向。
变形法常用于计算弹性构件的内力。
三、应用场景计算构件内力的基本方法适用于各种工程和力学问题。
例如，在建筑工程中，我们可以通过计算构件内力来确定柱子、梁、桁架等结构的强度和稳定性。
在机械工程中，我们可以通过计算构件内力来分析机械结构的受力情况，以确保其正常运行。
四、注意事项在计算构件内力时，需要注意以下几点：1. 确定坐标系：选择合适的坐标系可以简化计算过程，提高计算效率。
2. 合理假设：在实际计算中，为了简化问题，常常需要进行一些假设。
但是，假设应尽量符合实际情况，以保证计算结果的准确性。
3. 保持一致性：在计算过程中，应保持受力方向的一致性，以确保计算结果的正确性。
4. 考虑边界条件：边界条件对构件内力的计算有重要影响，需要在计算过程中充分考虑。
总结：计算构件内力是解决工程和力学问题的基础，掌握计算构件内力的基本方法对于工程师和研究人员来说至关重要。
通过自由体法、截面法和变形法等方法，可以准确计算出构件内力的大小和方向。
在应用过程中，需要注意选择合适的坐标系、合理假设、保持一致性和考虑边界条件，以确保计算结果的准确性。
希望本文对读者有所帮助，能够更好地理解和应用计算构件内力的基本方法。
《截面法求内力》课件
截面法求内力的基本步骤
确定截面位置
根据结构的特点和受力情况，选择适 当的截面位置。
进行截面分析
对所选截面进行详细的分析，包括该 截面的受力状态、约束条件以及与周 围结构的相互作用关系等。
计算内力
截面法的优缺点
截面法的优点在于简单易懂，易于操作，适用于各种形状和尺寸的构件。然而，截面法也存在一些局限 性，如对于复杂结构和多跨连续梁的计算可能较为繁琐，需要借助其他分析方法。
截面法求内力的展望
截面法的进一步研究和改进
随着科技的发展和工程实践的深入，截面法的研究也在不断进步。未来可以进一步研究截 面法的精度和可靠性，提高其计算效率和准确性。同时，可以结合数值分析方法和其他现 代技术手段，对截面法进行改进和优化。
《截面法求内力》 ppt课件
contents
目录
• 截面法求内力概述 • 截面法求内力的基本原理 • 截面法求内力的具体操作 • 截面法求内力的实例解析 • 截面法求内力的注意事项与优化建议 • 总结与展望
01
CATALOGUE
截面法求内力概述
截面法求内力的定义
截面法求内力是指在结构分析中，通过在结构上选择适当的截面，并按照一定的 步骤和方法，计算出该截面所承受的内力（如轴力、剪力和弯矩等）的方法。
内力计算
计算内力时，应考虑所有可能的受力情况， 避免遗漏。
边界条件
正确处理结构的边界条件，如固定、自由、 简支等，对分析结果至关重要。
优化建议
简化模型
使用软件辅助
在保证分析精度的前提下，尽量简化模型 ，减少计算量。
利用专业软件进行内力分析，可以大大提 高计算效率和准确性。
(完整版)材料力学课后习题答案
8-1 试求图示各杆的轴力，并指出轴力的最大值。
(2) 取1-1(3) 取2-2(4) 轴力最大值： (b)(1) 求固定端的约束反力； (2) 取1-1(3) 取2-2(4) (c)(1) 用截面法求内力，取1-1、2-2、3-3截面；(2) 取1-1(3) 取2-2 (4) 取3-3截面的右段；(5) 轴力最大值： (d)(1) 用截面法求内力，取1-1、(2) 取1-1(2) 取2-2(5) 轴力最大值： 8-2 试画出8-1解：(a) (b) (c) (d) 8-5与BC 段的直径分别为(c) (d)F RN 2F N 3 F N 1F F Fd 1=20 mm 和d 2=30 mm ，如欲使AB 与BC 段横截面上的正应力相同，试求载荷F 2之值。
解：(1) 用截面法求出(2) 求1-1、2-28-6 题8-5段的直径d 1=40 mm ，如欲使AB 与BC 段横截面上的正应力相同，试求BC 段的直径。
解：(1)用截面法求出1-1、2-2截面的轴力；(2) 求1-1、2-2截面的正应力，利用正应力相同；8-7 图示木杆，承受轴向载荷F =10 kN 作用，杆的横截面面积A =1000 mm 2，粘接面的方位角θ= 450，试计算该截面上的正应力与切应力，并画出应力的方向。
解：(1) (2) 8-14 2=20 mm ，两杆F =80 kN 作用，试校核桁架的强度。
解：(1) 对节点A(2) 列平衡方程 解得： (2) 8-15 图示桁架，杆1A 处承受铅直方向的载荷F 作用，F =50 kN ，钢的许用应力[σS ] =160 MPa ，木的许用应力[σW ] =10 MPa 。
解：(1) 对节点A (2) 84 mm 。
8-16 题8-14解：(1) 由8-14得到的关系；(2) 取[F ]=97.1 kN 。
8-18 图示阶梯形杆A 2=100 mm 2，E =200GPa ，试计算杆AC 的轴向变形 解：(1) (2) AC 8-22 图示桁架，杆1与杆2的横截面面积与材料均相同，在节点A 处承受载荷F 作用。
内力的计算截面法截面法
三、知识链接：
1．材料力学的任务 材料力学的任务是：研究构件在外力作用下的变形、受力和破坏的
规律，在保证构件能正常、安全工作的前提下最经济地使用材料，为构 件选用合理的材料，确定合理的截面形状和尺寸。 2．构件的承载能力
为了保证工程结构在载荷作用下正常工作，要求每个构件均具有足 够的承受载荷的能力，简称承载能力。承载能力的大小主要由三方面来 衡量：强度、刚度和稳定性。
由∑Fx=0 得： FN2+F2=0
FN2 =- F2 =-34.64 KN（负号表示实际指向与所设方向相反，即为压力）
小结：
拉伸、压缩杆件内力计算的方法与步骤 用静力学平衡方程计算相关杆件所受外力。 用截面法求解杆件的内力：截开、代替、平衡。 为了使应用静力学方程计算出的内力不仅在大小而且在方向 上与材料力学内力的规定统一， 通常采用“设正法”画截面上的内力。即无论截面上的内力 是拉力还是压力，一律按正的内力 （即背离横截面）画出。这样用平衡方程式求出的内力若为 正，则为拉力，反之则为压力。
3．强度要求
强度——构件抵抗破坏的能力。
强度要求——构件承受载荷作用后 不发生破坏（即不发生断裂或塑性变形） 时构件应具有的足够的强度。
4．刚度要求
刚度——构件抵抗变形的能力。 刚度要求——指构件受载荷作用后不发生过大变形时，构件应具 有的足够的刚度 。
6
5．稳定性要求
稳定性——构件受外力作用时能在原有的几何形状下保持平衡状态 的能力 。
稳定性要求——指构件具有足够 的稳定性，以保证在规定的使用条 件下不丧失稳定性而破坏 。
建筑施工脚手架
6、 杆件变形的基本形式
1．轴向拉伸或压缩 2．剪切 3．扭转 4．弯曲
7、轴向拉伸或压缩的概念
求内力基本方法：截面法
为 零 处
有突 变(突 变值=
FP)
如 变 号
无 无变化 影
响
一般 抛物 有 有尖 有 有突变
弯矩图 为斜 线(
极 角(向 极 （突变 为零
直线 下凸) 值 下） 值 值=M）
曲杆微分关系
曲杆微段
dFN ds
=-qt+
FQ R
dFQ ds
=qn-
FN R
dM ds
=FQ-m
直杆段受力
两者 任一截面 内力相同
q ME
FQE
FQ 图
MF ( kN )
FQF
请大家作图示 斜梁内力图。
l q
q
q 返 回
杆端内力 内力图
负
MBA
B端
FNBA
FQBA
弯矩图--习惯绘在杆件受拉的一侧，不需 标正负号 轴力和剪力图--可绘在杆件的任一侧，但 需标明正负号
应熟记常用单跨梁的弯矩图
FP
a
FP
A
a
l
ql2
2 q
bBABl源自FABFab
l
a
b
l
q
A
B
ql2
8
l
almm
A
B
bl m
a
b
m
m
l
l
l
FP
直杆微分关系
求内力基本方法：截面法
材料力学规定： 轴力FN --拉力为正 剪力FQ--绕隔离体顺时针方向转动者为正
弯矩M--使梁的下侧纤维受拉者为正
M
M+dM
dx
FN
dx
FN+d FN
FQ
FQ+dFQ
材料力学课后习题答案
8-1 试求图示各杆的轴力，并指出轴力的最大值。
(2) 取1-1(3) 取2-2(4) 轴力最大值： (b)(1) 求固定端的约束反力； (2) 取1-1(3) 取2-2(4) (c)(1) 用截面法求内力，取1-1、2-2、3-3截面；(2) 取1-1(3) 取2-2(4) 取3-3截面的右段；(5) 轴力最大值： (d)(1) 用截面法求内力，取1-1、(2) 取1-1(2) 取2-2(5) 轴力最大值： 8-2 试画出8-1解：(a) (b) (c) (d) 8-5 图示阶梯形圆截面杆，段的直径分别为d 1=20(c) (d)F RN 2F N 3 F N 1 F NF N F Nmm 和d 2=30 mm ，如欲使AB 与BC 段横截面上的正应力相同，试求载荷F 2之值。
解：(1)(2) 求1-1、2-28-6 题8-5d 1=40 mm ，如欲使AB 与BC 段横截面上的正应力相同，试求BC 段的直径。
解：(1) 用截面法求出1-1、2-2截面的轴力；(2) 求1-1、2-2截面的正应力，利用正应力相同；8-7 图示木杆，承受轴向载荷F =10 kN 作用，杆的横截面面积A =1000 mm 2，粘接面的方位角θ= 450，试计算该截面上的正应力与切应力，并画出应力的方向。
解：(1) (2) 8-14 2=20 mm ，两杆F =80 kN 作用，试校核桁架的强度。
解：(1) 对节点A(2) 列平衡方程 解得： (2) 8-15 图示桁架，杆1A 处承受铅直方向的载荷F F =50 kN ，钢的许用应力[σS ] =160 MPa ，木的许用应力[σW ] =10 MPa 。
解：(1) 对节点A (2) 84 mm 。
8-16 题8-14解：(1) 由8-14得到的关系；(2)取[F ]= kN 。
8-18 图示阶梯形杆A 2=100 mm 2，E =200GPa ，试计算杆AC的轴向变形△l 解：(1) (2) AC 8-22 图示桁架，杆1与杆2的横截面面积与材料均相同，在节点A 处承受载荷F 作用。
截面法求内力讲解
l
l
(a ? x ? l)
x A FAy
M0
C
B
a
l
b FBy
? MA ? 0
? Fy ? 0
FBy
?
?
M0 l
FAy
?
M0 l
M0 l
+
FQ图
M 0b l
M0a l
M图
A M0 l
FQ
M
FQ
FQ
?
M0 l
M M ? M0 x
l
(0 ? x ? a) (0 ? x ? a)
B
FQ
?
M0 l
(a ? x ? l)
FAy 70 +
A
A
4m
2m 2m
FBy
A
EC D 10 10 -
B 70
50 50
FQ
FQ图（单位kN）
M
F
EC D
B
q FQ FQ ? 70 ? 20x
M ? 70x ? 10x2
M
40 B
FQ ? ?10
50 M ? 160 ? 10x
(0 ? x ? 4) (0 ? x ? 4)
(4 ? x ? 6) (4 ? x ? 6)
100 120 100 122.5
M图（单位kN.m）
FQ M
FQ ? ?50 (6 ? x ? 8)
B 50 M ? 400 ? 50x (6 ? x ? 8)
叠加法
条件：结构线弹性、小变形
荷载叠加法： 当结构上同时作用有许多荷载
时，先分别作出各荷载单独作用 下的内力图，再将各个内力图的 竖标相叠加（代数和），便得到 各荷载共同作用下的内力图。
简述截面法求内力的过程
简述截面法求内力的过程
截面法是一种静力学方法，用于计算和分析结构中各个截面的内力。
其具体求解过程如下：
（1）根据结构的载荷情况和几何形状，选取一个截面。
（2）将该截面割开，同时保留截面两侧的支反力和弯矩。
（3）根据平衡条件和材料力学原理，分别求解在两侧支反力和弯矩的作用下，该截面两侧的内力分布。
（4）将所求的内力分布和所割开的截面形状结合起来，得到该截面中各点的内力大小和方向。
（5）重复上述过程，依次计算得到结构中各个截面的内力分布。
通过截面法求得的内力可以用于评估结构的受力性能、确定结构设计的可行性，以及优化结构的设计方案。
【土木建筑】第16章：静定结构的内力计算
单跨静定梁小结
要求： １）理解内力、内力图的概念； ２）了解梁的主要受力、变形特点； ３）理解并掌握截面法计算内力的方法； ４）熟练掌握用叠加法做直杆段的弯矩图。
本节难点及重点： １）内力正、负号的判断； ２）叠加法做弯矩图。
§16-2 多跨静定梁
多跨静定梁由相互在端部铰接、水平放置的若干直 杆件与大地一起构成的结构。
绕曲线杆端切线
q
XA A
B XB
C
E
D B
A
• 一、静定刚架支座反力的计算：平衡方 程
二、绘制内力图：用截面法求解刚架任意 指定截面的内力，应用与梁相同的内力符 号正负规定原则即相同的绘制规律与绘图 方法作内力图（M图、Q图、N图）
40kN
(+) (-)
40kN
q=20kN/m
B
C
P=40kN D
例16-2-2 分析图示多跨静定梁可分解成单跨梁分 别计算的条件，并作梁的FQ、M图。
分析：（１）图示梁的荷载以及约束的方向，是竖 向平行力系。一个平面平行力系只能列两个独立的 平衡方程，解两个未知数。 （２）杆ＣＥ有两个与大地相连的竖向支座链杆， 当仅在竖向荷载作用下时，可维持这个平行力系的 平衡。所以，杆ＣＥ在仅有竖向荷载的作用下，可 视为与杆ＡＢ同等的基本部分。
２）求C截面的内力 切开过C点的横截面，将梁分成两部分。取左侧
部分考虑，其暴露的截面上按规定的内力的正方向 将内力示出，建立静力平衡方程。
说明：计算内力要点： １）所取的隔离体（包括结构的整体、截面法截取 的局部），其隔离体周围的所有约束必须全部切断 并代以约束力、内力。 ２）对未知外力（如支座反力），可先假定其方向， 由计算后所得结果的正负判断所求力的实际方向， 并要求在计算结果后的圆括号内用箭线表示实际方 向。 ３）计算截面的内力时，截面两侧的隔离体可任取 其一，一般按其上外力最简原则选择。截面内力均 按规定的正方向画出。
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FQ =
M0 l M0 x l
(0 ≤ x < a) (0 ≤ x < a)
M
M=
F Q
M0a l
FQ =
M
M图 图
B M0 l
M0 l
(a ≤ x ≤ l) (a ≤ x ≤ l)
M =
M0 (l x) l
x A
q
B
l
∑MA = 0
FBy =
FAy
ql 2
FBy
∑F
q
F Q
y
=0
ql 2 ql FAy = 2
+
FQ图
ql 2
-
FQ =
A ql 2
ql qx 2
(0 ≤ x ≤ l)
M
M=
ql q x x2 2 2
(0 ≤ x ≤ l)
ql 2 8
M图 图
FP
M0 ql
q
FP FQ图 FP(l-a) M图 图 M0
+
+
1 2 ql 2 1 2 ql 8
FP
FPb l
内力图形状特征
M0
M0 l
ql 2
FP A l FP C x a B
截面法
剪力方程 弯矩方程
FQ = FQ (x)
M = M( x)
FQ M
B
FQ= 0
M= 0
(0 ≤ x < a)
(0 ≤ x < a)
+
FQ图 FP(l-a) M M图 图 FQ FP C B
FQ=FP
(a ≤ x ≤ l )
(a ≤ x ≤ l )
M= FP (x a)
例2 图示为在截面C处承受一斜向集中力的简支梁.试求截面 C处左, 图示为在截面 处承受一斜向集中力的简支梁. 处左, 处承受一斜向集中力的简支梁 处左 右两截面的内力. 右两截面的内力. (1)计算梁的支座反力 )
(a) F Ax A F P=100kN 4 3 C 2m
L L MC
B
∑F
By
x
F Q
FBy = 50kN(↑)
(0 ≤ x ≤ 4)
FQ = 70 20x
M
F 40 Q
B
M = 70x 10x2
(0 ≤ x ≤ 4)
FQ = 10
(4 ≤ x ≤ 6)
M
A F EC D B
50
M =160 10x
(4 ≤ x ≤ 6)
F Q
100 122.5 120 100
B
FQ = 50
分段-定点-连线- 分段-定点-连线-校核
[例1]: 试绘制图示简支梁的内力图. 例 试绘制图示简支梁的内力图.
q=20kN/m FAx FAy
70 + A
FP=40kN C D 2m 2m B FBy
(1)计算梁的支座反力 )
A 4m
FAx = 0
FAy = 70kN(↑)
(2)作剪力图 )
FBy = 50kN(↑)
(c)
R FC R MC
R F QC
B 40kN
(3)计算点 右截面的内力 )计算点C右截面的内力
R FNC = 0 R FQC = 40kN R M C = 80kN m
C
内力图:表示结构上各截面的内力随横截面位置变化规律的图形. 内力图:表示结构上各截面的内力随横截面位置变化规律的图形.
列方程作内力图
M0 A l C
x a B FQ M
B
FQ= 0
M= 0
(0 ≤ x < a)
(0 ≤ x < a)
FQ图 FQ M0 M M0 M图 图 C B
FQ= 0
M=M0
(a ≤ x ≤ l )
(a ≤ x ≤ l)
q A l
x B
ql
+
FQ图
1 2 ql 2 1 2 ql 8
FQ M
q B
FQ=qx
q
+
FQ图 FPa l
FPab M图 图 l
-
+
M0b l
+
ql 2 M0a l
ql 2 8
-
x
q=20kN/m FAx FAy
70 + A EC D B 10 10 50 50 FQ图(单位kN)
FP=40kN C D 2m 2m B FBy
A 4m
FAx = 0
q
A
70
FAy = 70kN(↑)
40kN FQ图 10kN 60kNm 5kNm M图 图 5kNm 20kNm
10kN
20kNm
�
1 M= qx2 2
(0 ≤ x ≤ l )
(0 ≤ x ≤ l )
M图 图
x A
FP
C
a
B
b
∑MA = 0
FBy =
FAy
l
FPb l
FBy
∑F
F Q
A FPb l
y
=0
FPa l Fb FAy = P l
FPb l FPb x l (0 ≤ x < a) (0 ≤ x < a)
+
FQ = M=
FPa l FQ图
M
F Q
FPab l
FQ =
M图 图
M
B FPa M = FPa (l x) l l
FPa l
(a ≤ x ≤ l) (a ≤ x ≤ l)
x A
M0
C
a
l
M0 l
B
b
∑MA = 0
FBy =
FAy
FBy
∑F
y
=0
M0 l M FAy = 0 l
F Q
A
M0 l
+
FQ图
M0b l
EC D B 10 10 50 50 FQ图(单位kN)
FQA = 70kN
FQD = 10kN
L
FQC = 10kN
FQD = 50kN
R
FQB = 50kN
(3)作弯矩图 )
A
F
EC
D
B
MA = MB = 0
100 120 100 122.5 M图(单位kN.m)
M C = 120kN m
[例2]: 试绘制图示梁的内力图. 例 试绘制图示梁的内力图.
例1 求E截面内力 截面内力
解: 1. 确定支座反力 B
a
2FP
A
FAx
FAy
C 1.5a a
FPa D
E
a
∑F
x
=0
FAx = 0
FP 2 FP a FP a FBy 3a = 0 3 5F FAy = P FAy + FBy 2 FP = 0 3 FBy =
∑MA = 0
FBy
2. 用截面法研究内力 2FP FQE C A E ME 5FP 3 5F 2 FP + FQE P = 0 ∑ Fy = 0 3
F FQE = P 3
∑F
y
=0
FQE FPa D ME E
∑F
y
=0
FQE + FBy = 0
FP 3
FP 3a =0 3 2
B FP 3
FQE =
∑M
E
=0
a 5F 3a M E + 2 FP =0 2 3 2
3F a ME = P 2
∑M
E
=0
M E FP a
3FPa 2
ME =
= 0:
B
FAx = 60kN(←)
F Ay
Ay
2m
∑M
F By
= 0 : FAy = 40kN(↑)
∑F
y
= 0:
FBy = 40kN(↑)
(b)
60kN 40kN A
F C
L F QC
L NC
(2)计算点 左截面的内力 )计算点C左截面的内力
L FNC = 60kN
L FQC = 40kN
L M C = 80kN m
M FN FQ FN(+) FN(+)
平: 对留下部分写平衡方程求出内力的值
FQ(+) FQ(+) M(+) M(+)
(1)平衡方程的正负和内力的正负是完全不同性质的两套符号系统. )平衡方程的正负和内力的正负是完全不同性质的两套符号系统. (2)取简单部分作为隔离体,列平衡方程时,尽量使一个方程含有一个未知量 )取简单部分作为隔离体,列平衡方程时,
3.75kN
10kN
5 (+) 5 10
5kN
(-) 8.75
(-) 5
M图(kN.m) 图 ) 10 5 5
[例4]试作图示多跨静定梁的内力图. 例 试作图示多跨静定梁的内力图 试作图示多跨静定梁的内力图.
10kN/m 60kNm 1 2 3 4
10kN 5 20kN 6
40kN
10kN
5×2m =10m
(6 ≤ x ≤ 8)
M
50
M = 400 50x
(6 ≤ x ≤ 8)
M图(单位kN.m)
2FP
叠加法
A
a
C
a
FPa D
a
B
条件:结构线弹性, 条件:结构线弹性,小变形 线弹性
2FP
A 荷载叠加法: 荷载叠加法: 当结构上同时作用有许多荷载 时,先分别作出各荷载单独作用 内力图 下的内力图,再将各个内力图的 竖标相叠加(代数和), ),便得到 竖标相叠加(代数和),便得到 各荷载共同作用下的内力 内力图 各荷载共同作用下的内力图.