统计学第八章

标准正态分布 的密度函数
1 f z e 2 1 F z 2
z2 2
标准正态分布 的分布函数

z

e
t2 2
dt
书中把z在0~3.49的取值及其相应的概率编 成正态分布面积表，通过查表可求出Z落在 任意区间的概率。
正态分布函数的标准化
设X~N(μ，
则 : E (Z ) E (
X~N(175，42 )，军服厂要制100000套军 服，问身高在171~179的应制多少套？
X 175 解：令Z= ， 4
X落在区间(171，179 )等价于Z落在区 间(-1，1 )。 查正态分布表可得1-2[1-F(1)]=0.6827， 所以军服厂应制68270套身高在171~179 的军服。
简单随机抽样的样本个数 重复抽样
如果考虑顺序，可能的样本个 数是 N n。
如果考虑顺序，可能的样本个数 N! 不重复抽样 为 ； 如果不考虑顺序， ( N n)! N! 可能的样本个数为 。
( N n)!n!
二、事件及其概率
事件
样本空间中满足给定性质的样本点 组成事件。
对应样本空间中一个样本点的事件， 简单事件 是不可再分事件(基本事件)。
X
P
x1
x2 …
xn …
P
p(x1)p(x2) … p xn …
p(x1) p(x2) … p(xn) …
离散型随机变量的概率分布也可以 用等式表述为：
p( X xi ) pxi (i=1,2, …)
离散型随机变量的概率分布的性质：
0 pxi 1
px i 1
抽样的应用
对不可能进行全面调查的社会现象 对不必要进行全面调查的社会现象 对普查资料进行必要的修正
二、有关抽样的几个基本概念
样本 从总体抽取出的、用以代表和推断 总体的部分单位的集合体。 注意 1．样本的单位必须取自总体；
2．由一个总体可以抽取许多样本；
3 ．样本的抽取必须排除主观因素的 影响，以确保其客观性与代表性。
第三节 抽样分布
一、基本概念
总体参数 样本统计量
总体分布的数量特征。 定义在样本空间上的一个函数， 也称样本指标。本身也是随机 变量。 样本统计量的概率分布。
抽样分布
本节主要讨论简单随机抽样的抽样分布。
二、重复抽样分布
样本平均数的分布
例：某班组有5个工人，他们的单位工时工
资分别是4、6、8、10、12元，现用重复抽 样方式从5个工人中抽出2人，求样本平均工 时工资的抽样分布。 解：先计算总体工时工资的平均数和方差：


xf ( x) d x
数学期望的两个重要性质：
1 、 设n个随机变量X 1 , X 2 ,, X n的数学期望分别为: E ( X 1 ), E ( X 2 ), , E ( X n ), X X 1 X 2 X n , 则 : E( X ) E( X1 X 2 X n ) E( X1) E( X 2 ) E( X n ) 2、 设n个随机变量X 1 , X 2 ,, X n相互独立, 则 : E ( X 1 X 2 X n ) E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X n )
例：连续抛两次硬币，正面向上的次数的概
率分布用分布函数表示为：
0( x 0) 1 (0 x 1) 4 F ( x) P( X x) 3 (1 x 2) 4 1(2 x)
贝努里试验
一次试验只有两种结果： 事件A发生或 A不发生
2 2
dt
利用正态分布函数可计算正态分布随机变量X 落在任意区间的概率：
P (a X b) F (b) F (a ) 1 2

b
a
e
x 2
2 2
dx
对于不同的μ和σ2都要计算上述积分很麻烦。
标准正态 分布
μ=0，σ=1的正态分布称为标准正 态分布，相应的随机变量称为标 准正态随机变量，用Z表示，即 Z~N(0，1) 。
概率的乘法定理：几个互相独立事件同时
发生的概率等于这几个事件各自发生的概率 之积。
推论
设A、B互相独立，则：
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
随机变量
离散型随机变量
连续型随机变量 三、离散型随机变量的概率分布
将离散型随机变量的所有可能取 概率分布表 值及相应的概率按顺序列成表。
X
x1 x2 … xn …

f ( x) d x
a
b
3、

f x d x 1
f( x )
P(a < X<b) a b
x
五、随机变量的数值特征 常用的有：数学期望、方差
（一）随机变量的数学期望 离散型随机变 量的数学期望
连续型随机变 量的数学期望
E X xi pxi
i
EX
复合事件的概率是简单事件的概率通 过代数运算得到的。
事件 A 、 B 之和 AB 表示事件 A 事件的和 或事件B发生。 ABAB 事件 A 、 B 之积 AB 表示事件 A 和 事件的积 事件B同时发生。 ABAB
两种常用的复合事件的概率
A、B互不相容表示ABФ 互不相容事件 的和的概率 若事件A与事件B互不相容， 则:P(A+B)=P(A)+P(B)。
X X N
2
X X 4 8 6 8 8 8 10 8 12 8 X
简单随机抽样的两种方式
每次从N个单位的总体中随机抽取 不重复抽样 1个单位，登记后不放回原总体， 下次从总体中余下的单位里抽取， 连续进行n次。
特点：
1、n个单位的样本由n次连续试验构成，由于 每次抽出后不放回，所以相当于从总体中同时 抽取n个样本单位。 2、每次试验的结果不独立。 3、每抽一次总体的单位数少一个，每个单位 被选中的机会(概率)在各次是不等的。
n
X1 X 2 X n 2、 设X 1 , X 2 , , X n相互独立, X , n 2 2 2 2 2 2 1 2 n 1 2 n 则 : 2 (X ) 1 n2 n n 若 , 则 : ( X )
概率的加法定理：几个互不相容事件中至
少一个发生的概率等于这几个事件各自发生 的概率之和。
推论 设 A 表示A的对立事件，则： P( A )=1-P(A)
两种常用的复合事件的概率
A、B互相独立表示事件B发生 互相独立事件 与否对事件A没有影响。
的积的概率
若事件A与事件B互相独立， 则:P(AB)=P(A)P(B)。
样本容量和样本个数

样本容量： 一个样本中所包含的个体
单位数,一般用n表示。

样本个数： 一个抽样方案中所有的可 能被抽取的样本的总数量，即可能的 样本个数 。
第二节 概率与概率分布
一、样本空间及简单随机抽样方式
试验 从总体中随机抽取一个单位并 把结果记录下来称为一次试验。 样本（点） 连续n次试验的结果构成 一个样本（点）。
i
(i=1,2, …)；
例：连续抛两次硬币，正面向上的次数的概
率分布为：
1 1 1 p( X 0) 2 2 4 1 1 1 1 1 p( X 1) 2 2 2 2 2 1 1 1 p( X 2) 2 2 4
离散型随机变量的概率分布还可以 用概率分布函数来表示。
复合事件 由若干个简单事件结合成的事件。
每次实验中必定发生，是样本空间 必然事件 本身。
不可能事件 在任何实验中都不发生，是空集。
实验中发生该事件的可能 事件发生的概率 性大小。
若样本空间中各样本点出现的可能性大小相同，可 用样本空间中属于该事件的样本点个数与样本空间 中全部样本点个数之比来计算。
例1：设X~N(μ，σ2 )，求X落在区间(μ-
a，μ+a )的概率。
解：令Z=
X

，
X落在区间(μ-a，μ+a )，等价于Z落在 a a 区间 ( , ) 。
查正态分布表可得其概率为1 - 2[1 - F ( )] ， 此即为X落在区间(μ-a，μ+a )的概率。
a
例2：设部队战士的身高服从正态分布
2 2 方差分别为: 12 , 2 ,, n , X X1 X 2 X n , 2 2 则 : 2 ( X ) 2 ( X 1 X 2 X n ) 12 2 n
(X )
2 i 1 2 n i 1
统计学
第八章 抽样推断分析法
第一节 抽样方法概述
一、抽样的概念和特点
抽样 根据随机原则从总体中抽取一部分单位作 为样本，并根据样本数量特征对总体数量特 征做出具有一定可靠程度的估计与推断。 特点 按随机原则抽取样本单位 用部分信息推断总体数量特征 抽样推断具有一定的概率保证程度 抽样误差可以事先计算并控制
n 重贝努里试验中事件 A 出现的次数 k 服从 二项分布。
k 0 1 2 … n
k
0
…
1
0 n
2
1 n 1
…
2 n2
n
P
C p q C pq
0 n
1 n
C p q
2 n
… Cnn p n q 0
四、连续型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率分布只能用 概率分布函数来表示。
F ( x) p( X x) f ( x)dx
σ2

)，令Z=