变限定积分与分部积分法
求积分公式大全高等数学
求积分公式大全高等数学高等数学中常见的积分公式包括：基本积分公式、初等函数的积分公式、换元积分法、分部积分法、三角函数的积分公式、反三角函数的积分公式、指数函数和对数函数的积分公式、定积分与变限积分的关系、定积分的求值公式等。
下面将对这些公式进行详细介绍。
1.基本积分公式：（1）常数函数的积分公式：∫kdx=kx+C，其中k为常数，C为任意常数。
（2）幂函数的积分公式：∫x^ndx=x^(n+1)/(n+1)+C，其中n≠-1（3）指数函数的积分公式：∫e^xdx=e^x+C。
（4）对数函数的积分公式：∫1/xdx=ln，x，+C。
2.初等函数的积分公式：（1）三角函数的积分公式：∫sinxdx=-cosx+C∫cosxdx=sinx+C∫sec^2xdx=tanx+C∫csc^2xdx=-cotx+C∫tanxdx= -ln，cosx，+C∫cotxdx=ln，sinx， + C。
（2）反三角函数的积分公式：∫dx/√(1-x^2)=arcsinx+C∫dx/√(1+x^2)=arctanx+C∫dx/(x^2+a^2)=1/aarctan(x/a)+C。
3.换元积分法：换元积分法是利用变量代换的方法进行积分运算。
设u=g(x)为原函数x的一个连续可导函数，即u=g(x)满足一一对应的关系时∫f(g(x))g'(x)dx=∫f(u)du。
4.分部积分法：分部积分法是将一个积分化成两个函数的乘积的积分，应用于求∫u(x)v'(x)dx的积分。
根据分部积分法的公式∫u(x)v'(x)dx =u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，可以递归地求解复杂的积分。
5.指数函数和对数函数的积分公式：∫e^adx=e^ax+C∫a^xdx=(a^x)/(lna)+C。
∫1/xln(ax)dx=ln，ln(ax)，+C。
6.定积分与变限积分的关系：设f(x)是[a,b]上的连续函数，F(x)是f(x)的一个原函数，则∫[a,b]f'(x)dx=F(b)-F(a)。
分部积分法顺序口诀
分部积分法顺序口诀对于分部积分法，很多小伙伴在学习时感到很烦恼，老是记不住，小编整理了口诀，希望能帮助到你。
一、口诀“反对不要碰，三指动一动”（这是对两个函数相乘里面含有幂函数而言），反——反三角函数对——对数函数三——三角函数指——指数函数(幂函数)。
将分部积分的顺序整理为口诀:“反对幂指三”。
（分别代指五类基本函数:反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。
）反>对>幂>三>指就是分部积分法的要领当出现两种函数相乘时指数函数必然放到( )中然后再用分部积分法拆开算而反三角函数不需要动再具体点就是：反*对->反(对)反*幂->反(幂)对*幂->对(幂)二、相关知识（一）不定积分的公式1、∫a dx = ax + C，a和C都是常数2、∫x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且a ≠-13、∫1/x dx = ln|x| + C4、∫a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且a ≠15、∫e^x dx = e^x + C6、∫cosx dx = sinx + C7、∫sinx dx = - cosx + C8、∫cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C（二）求不定积分的方法：第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。
分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。
定积分的分部积分法
0
I n
(n 1)
2 sinn2 x cos2 x d1 sin2 x) dx 0
(n 1) In2
由此得递推公式
In
n1 n
I
n2
于是
I2m
2m1 2m
2I22mmm232
I2m434
1 2
I0
I 2m1
2m 2m1
22Im2mm121
I 2m354
dx
b
a
u(
x)v(
x)
dx
u(x)v(x)
b a
abu(x) v(x) dx
例7. 计算
1 1
解: 原式 = x arcsin x 2 2 00
x dx 1 x2
1
1
2(1
x
2
)
1 2
d
(1
x
2
)
12 2 0
1
(1 x2 )2
1 2
12
0
3 1
12 2
例8. 证明
n1 n
n3 n2
b
f (x)d x
(令 x (t) )
a
或配元
(t) (t)
(t) d(t)
配元不换限
例1. 计算
解: 令 x asin t , 则 dx a cos t d t , 且
当 x 0 时, t 0;
x
a
时,
t
2
.
y
∴
原式 =
a2
2 cos 2 t d t
0
y a2 x2
a2
2 (1 cos 2t) d t
f (x) f (x)时
例4. 计算 例5. 计算
第五章 第4节定积分的换元法和分部积分法
sin
3
x sin
5
5
x cos x sin x 2
3
0
sin
3
x sin
3
x dx
0
cos x sin x 2 dx
3
3
0
2
cos x sin x 2 dx
3
cos x sin x 2 dx
2 3
0 sin x 2 d sin
3
( t 3) d t
2
1
3 1 1 3 22 ( t 3t ) 2 3 3 1
6
例３
计算 0
x 2
cos
0
5
2
cos
5
x sin xdx .
解
令 t cos x ,
2
dt sin xdx ,
t 0,
x sin xdx
5
x 0 t 1,
a
a x d x (a 0).
2 2
0
解: 令 x a sin t , 则 d x a cos t d t , 且当 x 0 时 t 0 , x a 时 t
2
∴ 原式 = a
2
2
2
cos t d t
(1 cos 2 t ) d t 1 2
2
0
2
a
2 a
则 有 f ( x )dx
a
b
f [ ( t )] ( t )dt .
2
证
清华大学微积分高等数学课件第7讲定积分二
若fC[a,b],则 有
x
f(x)dxa f(t)d tC (x[a,b])
2020/4/28
12
思考题：
1.有原函数的函数是否一定连续？ 2.有原函数的函数是否一定黎曼可积？ 3.黎曼可积的函数是否一定存在原函
数？
2020/4/28
13
二、牛顿—莱布尼兹公式 定理2：设f(x)C[a, b],F(x)是f(x)在[a, b]
2020/4/28
路程函数是速度函数的原函数4
[证] (1) 用连续定义证明
任 x [ a 取 ,b ],x x [ a ,b ]
xx
x
F (xx)F (x)f(t)d tf(t)dt
xx
a
a
a
x x
f(t)dt f(t)dt f (t )dt
a
x
x
f R [ a ,b ] M 0 ,f ( x ) M x [ a ,b ]
满足三个条件：
(1) (t) C1[ , ];
(2) a (t) b;
(3) ( ) a, ( ) b ,
则有
b
f ( x)dx
f [ (t)] (t) dt
a
2020/4/28
20
x
b
x(t)
x
b
x(t)
a o
t
a o
t
[证] 设F(x)是f(x)的一个原函数
d[F ( t) ] F ( x )( t) f( x )( t) f[( t)] ( t) dt f[(t)] (t)d tF [() ]F [()]
试比 I1与 较 I2的大小。
[解] 利用估值定理
当 x [0,]时 ,有 six n x,
定积分的换元法与分部积分法
原式
2
ln1xe1
011
(3) 2 cos5xsinxdx. 0
解
2
co5sxsinxdx 2co5sxdcoxs
cos
6
x
2
1
.
0
0
6
6
0
4
2
sinx dx
0
2
2
解 0 sinxd x 0sinx d x sinx d x
cosx0cosx2 1 1 1 1 4
即Φ(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
证 (x x)x xf(t)dt
a
xx
x
( x x ) ( x ) f(t)d t f(t)dt
a
a
x
x x
x
xx
af( t) d t x f( t) d a tf( t) dt x f(t)dt,
由积分中值定理得 f() x [x ,x x ],
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
仍成立.
例2 求下列定积分
1 1 x 2dx 0
解 因为y x 2 在 [ 0 , 1 ] 上连续，y 1 x 3 是它的一个原函数 3
所以
1x2dx
0
(1x3) 3
1 0
1 3
2 2 dx
e11 x
解
1lnx5 5
e 1
1 5
凑微分d ln x
不换元则不变限
另解 原式
u lnx
1u 4du
0
1 5
u5
定积分的分部积分公式
避免计算错误
01
在使用分部积分公式时，应注意运算的顺序和符号，确保每一 步计算都是正确的。
02
在计算过程中，应仔细核对每一步的计算结果，避免因为粗心
大意而导致的计算错误。
对于一些复杂的积分，可以使用数学软件进行验证，以确保计
算结果的准确性。
注意公式的适用范围
01
分部积分公式适用于可积函数，即被积函数在积分区间内连续 或存在有限个间断点的情况。如果被积函数不满足这些条件，
分部积分公式可以与定积分结合使用，通过 将定积分转化为不定积分的形式，再利用分 部积分公式进行计算，可以简化计算过程。
在其他数学领域的应用
在实变函数中的应用
分部积分公式在实变函数中也有广泛的应用，实变函 数是研究可测函数的数学分支。通过分部积分公式， 可以解决实变函数中的一些积分问题。
在复变函数中的应用
公式推导过程
首先，根据乘积法则，(uv)' = u'v + uv'
接着，将不定积分的结果进行展开， 得到∫u'vdx + ∫uv'dx
然后，对等式两边分别进行不定积分， 得到∫(uv)'dx = ∫(u'v + uv')dx
最后，根据不定积分的性质，将等式 右边的两个不定积分相加，得到定积 分的分部积分公式：∫(uv)'dx = ∫u'vdx + ∫uv'dx
THANKS
谢谢
03
CHAPTER
分部积分公式的注意事项
正确选择u和v'
选择u和v'时，应尽量选择容易 计算不定积分的函数作为u， 而将其他函数作为v'。这样可 以简化计算过程，减少出错的 可能性。
定积分的分部积分法
(3) 4 3 xdx; 1
(4) (sin x cos x)dx; 0
(7)
2
sin 2
x
dx;
0
2
1
(8) (
x 1 3x )dx.
0
第三节 定积分的换元法
例1 求 4 dx .
0 1 x
解法1
dx 1
x
令
x
t
2tdt 1 t
2
(1
1
1
1．计算
(1) d x ln(1 t2 )dt ; dx 1
2．计算下列各定积分
x
tan tdt
(2) lim x0
0
x3
.
（1）2|1 x | dx;
2
(2) | sin x | dx;
0
0
(5)
0 1
3x4 3x2 1 x2
1dx;
(6) 4 tan2 xdx; 0
4 dx
1 x x
2 2tdt 1 t2 t
2 2dt 2 d (t 1) 2
1 t 1 1 t 1
2
ln(t
1)
|12
2(ln
3
ln
2)
2
ln
3 2
.
例4 求 2 3cos2 xsin xdx. 0
解 设u cos x，则du sin xdx，当x 0时，u 1；当x 时，u 0.于是 2
与下方部分面积的代数和，如图6－2所示，有
b
a f (x)dx A1 A2 A3
考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结
考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =⎰形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
（即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则⎰=xa dtt f x F )()(在],[b a 上连续。
定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。
定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，而且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='⎰ ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1)(])([x f dt t f dx d bx -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。
> 推论2)()]([])([)(x x f dt t f dxd x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情况求导。
变限积分分部积分法
变限积分分部积分法
变限积分分部积分法是积分中的一种常用方法，用于求解某一类具有特定形式的积分。
其基本思想是将原始积分看作是两个函数的乘积，然后利用分部积分公式将其转化为另一个更容易求解的积分。
分部积分公式如下：
∫(u·v)dx = u·∫vdx - ∫(u'·∫vdx)dx
其中，∫vdx是对v关于x的积分，u'是u关于x的导数。
为了利用分部积分公式进行求解，我们需要将原始积分分解为两个函数的乘积。
考虑一个一般的积分∫(u·v)dx，我们可以选择u和dv，使得
du=u'dx和v=∫vdx。
然后，应用分部积分公式，我们可以得到：
∫(u·v)dx = u·v - ∫(u'·∫vdx)dx
其中，u·v是化简后的积分项，∫(u'·∫vdx)dx是转化后的积分项。
通过逐步应用分部积分公式，我们可以不断将积分项转化为更简单的形式，直到得到可以直接求解的积分。
需要注意的是，在选择u和dv时，应尽量使得u'和∫vdx的求
导和积分更容易求解。
通常情况下，选择u为多项式函数、三角函数或指数函数，而选择dv为三角函数、多项式函数、指
数函数的乘积。
这样可以使得利用分部积分法求解积分更加方便。
总结起来，变限积分分部积分法是一种常用的求解积分的方法，通过将原始积分分解为两个函数的乘积，并利用分部积分公式，将其转化为更容易求解的积分。
这种方法在求解特定形式的积分时非常有用，能够简化积分过程并得到解析解或进一步的化简。
定积分的换元法与分部积分法
1 2
2 dt
0
2 0
d
sin t cost
sin t cost
1 2
2
1 ln
2
sin
t
cos
t
2 0
.
4
例 4 当 f ( x)在[a, a]上连续，且有
① f ( x)为偶函数，则
a
a
f
( x)dx
a
20
f
(
x)
d dx
x
a
f (t )dt
f (x)
即Φ(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
证
xx
( x x) a f (t)dt
x x
x
( x x) ( x) f (t)dt f (t)dt
a
a
x
x x
x
x x
a f (t)dt x f (t)dt a f (t)dt x f (t)dt,
而 st vt
连续函数 f x 在区间 a, b 上的定积分等于它的一个
原函数 F x 在积分区间上的增量 F b F a ？
◆微积分基本公式——牛顿—莱布尼兹公式
设 f x 在区间 a, b上连续，F x 是它的任意一个原函数，
则有
b f x dx F b F a
a
0
a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
a
0
a
a
a
a
0 f ( x)dx 0 f (x)dx, 0 f ( x)dx 0 f (x)dx,
变限积分的形式
变限积分的形式一、什么是变限积分变限积分是微积分中的重要概念，它是定积分的一种形式。
在定积分中，我们通常将积分上下限固定，求出函数在该区间上的面积。
而在变限积分中，积分的上下限是一个函数，我们需要对该函数在一个区间上的积分进行求解。
二、变限积分的基本形式变限积分的基本形式可以表示为：b(x)(x)dx∫fa(x)其中，a(x)和b(x)是两个函数，f(x)是被积函数。
三、变限积分的计算方法3.1 换元法换元法是变限积分的常用计算方法之一。
通过对积分上下限进行变量替换，将变限积分转化为定积分来求解。
步骤：1.对积分上下限进行变量替换，令t=a(x)和t=b(x)。
2.计算被积函数f(x)在新的变量t下的表达式，即f(x)替换为f(t)。
3.求出新的积分上下限t=a和t=b。
(t)dt。
4.将变限积分转化为定积分，即∫f ba5.求解定积分。
3.2 分部积分法分部积分法也是变限积分的常用计算方法之一。
通过对积分上下限进行分部积分，将变限积分转化为定积分来求解。
步骤：(x)v′(x)dx的形式。
1.对积分上下限进行分部积分，即将变限积分转化为∫u ba2.选择合适的函数u(x)和v′(x)，使得对u(x)v′(x)求导后可以简化计算。
3.计算u(x)和v′(x)的导数u′(x)和v″(x)。
4.将分部积分公式∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫v(x)u′(x)dx应用到变限积分中。
5.求解定积分。
四、变限积分的应用变限积分在实际问题中有着广泛的应用，下面介绍其中的几个应用领域。
4.1 几何应用在几何学中，变限积分可以用来计算曲线的弧长、曲线的面积、曲线的体积等。
通过将曲线参数化，并将参数作为积分的上下限，可以得到准确的计算结果。
4.2 物理应用在物理学中，变限积分可以用来计算质点在一定时间内的位移、速度、加速度等物理量。
通过将物理量与时间的关系建立起来，并将时间作为积分的上下限，可以得到精确的计算结果。
分部积分法公式定积分计算
分部积分法公式定积分计算一、分部积分法公式。
1. 不定积分的分部积分公式。
- 设u = u(x)，v = v(x)具有连续导数，则∫ udv=uv - ∫ vdu。
- 例如，计算∫ xcos xdx，令u = x，dv=cos xdx。
- 那么du=dx，v=sin x。
- 根据分部积分公式∫ xcos xdx=xsin x-∫sin xdx=xsin x +cos x + C（C为常数）。
2. 定积分的分部积分公式。
- ∫_a^budv=<=ft.uv right_a^b-∫_a^bvdu。
- 例如，计算∫_0^πxsin xdx。
- 令u = x，dv=sin xdx。
- 则du=dx，v =-cos x。
- 根据定积分的分部积分公式∫_0^πxsin xdx=<=ft[-xcos x]_0^π-∫_0^π(-cos x)dx- 先计算<=ft[-xcos x]_0^π=-πcosπ - (- 0×cos0)=π。
- 再计算∫_0^πcos xdx=<=ft[sin x]_0^π=0。
- 所以∫_0^πxsin xdx=π。
二、分部积分法计算定积分的步骤及要点。
1. 选择u和dv- 一般原则：- 对于∫ f(x)g(x)dx（定积分同理），如果f(x)求导后形式变得简单，g(x)容易积分，那么可令u = f(x)，dv = g(x)dx。
- 例如在∫ xe^xdx中，令u = x（因为x求导后为1，形式简单），dv=e^xdx （e^x积分还是e^x）。
2. 计算du和v- 根据所选的u求导得到du，对dv积分得到v。
- 如在∫ x e^xdx中，u = x，则du=dx；dv=e^xdx，则v=e^x。
3. 代入分部积分公式。
- 对于定积分∫_a^bf(x)dx，代入∫_a^budv=<=ft.uvright_a^b-∫_a^bvdu计算。
- 如∫_0^1xe^xdx=<=ft[xe^x]_0^1-∫_0^1e^xdx。
变限函数定积分
变限函数定积分摘要：一、变限函数定积分的概念1.变限函数的定义2.定积分的定义3.变限函数定积分的联系二、变限函数定积分的性质1.线性性质2.可积性3.保号性4.连续性三、变限函数定积分的计算方法1.牛顿-莱布尼茨公式2.分部积分法3.变量替换法四、变限函数定积分的应用1.求解变化率2.求解极值3.求解面积和长度正文：一、变限函数定积分的概念变限函数是指将自变量限定在一个区间上的函数。
而定积分则是求解一个函数在某一区间上的累积效果。
当我们将变限函数与定积分结合起来，就得到了变限函数定积分。
简单来说，变限函数定积分就是求解一个变限函数在一个区间上的累积效果。
二、变限函数定积分的性质1.线性性质：变限函数定积分具有线性性质，即对任意常数k，有定积分(kf) = k(f的定积分)。
2.可积性：如果一个变限函数在一个区间上可积，那么它的定积分存在。
3.保号性：如果f(x)在[a, b]上非负，那么f的定积分也是非负的。
4.连续性：如果一个变限函数在某个区间上连续，那么它的定积分也连续。
三、变限函数定积分的计算方法1.牛顿-莱布尼茨公式：对于一个连续的变限函数f(x)，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)在[a, b]上的定积分等于F(b) - F(a)。
2.分部积分法：将两个可积的变限函数的乘积变为另两个可积的变限函数的乘积，从而简化积分计算。
3.变量替换法：将复杂函数的积分问题转化为简单函数的积分问题，利用已知积分公式进行计算。
四、变限函数定积分的应用1.求解变化率：通过求解变限函数的定积分，可以得到函数在某区间上的平均变化率。
2.求解极值：通过求解变限函数的定积分，可以找到函数在某一区间上的极大值或极小值。
3.求解面积和长度：通过求解变限函数的定积分，可以得到曲线围成的平面图形的面积和曲线长度的近似值。
变限函数定积分作为微积分中的一个重要概念，不仅在理论研究中具有重要意义，同时在实际应用中也发挥着关键作用。
分部积分法优先级顺序
分部积分法优先级顺序
分部积分法的优先级顺序如下：
1. 选择要分解的函数：一般来说，分部积分法优先选择能够导出简化的函数，例如指数函数、三角函数、对数函数等。
2. 判断递归程度：如果选择的函数为递归函数（即包含自身），则优先考虑递归出现次数较少的函数。
3. 选择分解的函数：根据函数的重要程度和递归程度，优先选择分解较为简单的函数作为"u"函数。
4. 确定"u"和"dv"：将分解的函数标记为"u"，并对其求导得到"du"，将剩余部分标记为"dv"。
5. 根据分部积分公式进行计算：将"u"和"dv"带入分部积分公式，计算得到积分式。
6. 化简积分式：根据所得到的积分式的简化程度，判断是否需要继续进行分部积分操作。
7. 重复以上步骤：如果需要继续进行分部积分操作，重复以上步骤，将累积得到的积分式中的一个因式分解。
需要注意的是，分部积分法的优先级顺序可能因具体问题而有所不同，在实际使用中，需要根据具体情况进行灵活选择。
定积分发散不能用分部积分法
定积分的发散与分部积分法的局限性引言在微积分中，定积分是一种重要的概念，用于计算曲线下的面积或者曲线长度等问题。
然而，在某些情况下，定积分的计算结果可能会发散，即无法得到有限的结果。
本文将探讨定积分的发散现象以及分部积分法在解决发散问题上的局限性。
定积分的定义与性质定积分是微积分的一个重要概念，用于计算曲线下的面积或者曲线长度等问题。
对于函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为：∫f ba (x )dx定积分的计算可以通过求解不定积分来实现。
对于不定积分∫f (x )dx ，我们可以通过找到它的原函数F(x)，即F’(x) = f(x)，然后计算F(b) - F(a)得到定积分的结果。
定积分具有以下性质：1. 线性性质：∫(f (x )+g (x ))b a dx =∫f b a (x )dx +∫g ba (x )dx2. 区间可加性：∫f b a (x )dx +∫f c b (x )dx =∫f c a (x )dx3. 积分中值定理：存在ξ∈[a,b ]，使得∫f b a (x )dx =f (ξ)(b −a ) 定积分的发散现象定积分的发散现象指的是在某些情况下，定积分的计算结果无法得到有限的值，即积分发散。
发散现象常见于以下情况：1. 无界函数：如果被积函数在积分区间上无界，即在某些点上取无穷大或无穷小值，那么定积分就会发散。
例如，函数f (x )=1x 在区间[0, 1]上的定积分∫1x 10dx 就是一个发散的积分。
2. 极限不存在：如果被积函数在积分区间上的极限不存在，那么定积分也会发散。
例如，函数f (x )=sin (1x )在区间[0, 1]上的定积分∫sin 10(1x )dx 就是一个发散的积分。
3. 奇点：如果被积函数在积分区间上存在奇点，即在某些点上取无穷大或无穷小值，那么定积分也会发散。
例如，函数f (x )=√x 在区间[0, 1]上的定积分∫√x 0就是一个发散的积分。
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关键 词 ： 定积分 累次积分 变限 定积分 分部 积分 法 中图分 类号 ： Ｏ１ ２ ７ 文献标 识 码 ：Ａ
文章编号 ： ７ —９ ９ （ ０ ） ８ ｂ一Ｏ ９ －０ １ ３ ７ ５ ２ １ ０ （） ０ ４ １ ６ ０
文 ［ 将 一 元 函 数 定 积 分 问题 转 化 为 １ 二 重 积 分 交 换 积 分 次 序 来 解 ， 二 重 积 但 分 的 交 换 积 分 次 序 毕 竟 比 定 积 分 更 难 掌
分法 。
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参考 文献
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分 法 ， 以 解 决 一 些 累 次 积 分 和 定 积 分 可 的求 解 问题 。
册 ） ］北京 ： 等教 育 出版社 ， ０ ７ ４ 【 ． Ｍ 高 ２ ０ ，：
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理 论 前 沿
变 限定 积 分 与分 部 积 分 法
瞿 勇
金 裕 红 ４ ０３ ３ ０ ３）
（ 军工程 大学理 学院 湖 北 武 汉 海
摘 要： 本文利 用变限 定积 分结合 分部积分 法， 通过几个 范例的求解， 对一 类 累次积分和 定积分问题 的求解进行 了探 讨， 思路 简洁， 易于为
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中 国科 教创新导刊
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注 ： 题 关 键 是 利 用 变 上 限 积 分 函 数 本 的 周 期 性 ， 合换 元 与分 部 积 分 法 ， 结 与收 敛 级 数 建 立 了联 系 ， 而 解 决 了收 敛 问题 。 从 以 上 通过 几 个 范 例 利 用 变 限 定 积 分 结 合 分部 积分 法 很 好 地 解 决 了一 些 累 次 积分 和 定 积分 的 问题 ， 生 比 较 容 易理 解 ， 而 学 从 能 使学 生 更 好 地 掌 握 变 限 定 积 分 和 分 部积