青岛二中高三压轴题数学(理)
青岛二中高三期中理科数学试题
数学试题 第1页 共7页青岛二中2019—2020学年第一学期第一学段期中高三模块考试——（数学）试题命题人：高三数学备课组 审核人：高三数学备课组满分：150分 时间：120分钟一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的选项中，第1至10题，只有一项是符合题目要求的；第11至13题，有多项符合要求，全部选对得4分，选对但不全得2分，有选错的得0分）1. 设集合2{1213},{log }A x x B x y x =-≤+≤==，则=A B I ( ) A.B.C. D.2．若复数z 满足()1234i z i +=-，则z 的实部为( ) A.1B. 1-C.2D. 2-3. 已知是等差数列的前n 项和，，则2a =( ) A.5B.6C.7D.84. 命题为“”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A.B.C. D.4a ≤5．函数（其中e 为自然对数的底数）的图像大致为( )6. 若非零向量,a b r r满足=a b r r ，向量2+a b r r 与b r垂直，则a b r r 与的夹角为( )A ．B ．C ．D ．7．如图，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，点B 在双曲线的右支上，矩形OFBD 与矩形AEGF 相似，且矩形OFBD 与矩形AEGF 的面积之比为 2:1 ，则该双曲线的离心率为( ) B.1+ C.2+D.8． 已知定义在R 上的函数满足，且当时，，则()2020f = ( )A. B. 0 C. 1 D.2 9.已知函数的图像的一条对称轴为直线，且，则的最小值为( )A. B. C.D.10．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若1266363780S S S S S S ---⋅-=，且正整数,m n 满足31252m n a a a a =， 则18m n+的最小值是（ ） A ．53 B ．95 C ．157D ．7511.（多选题）如图，设的内角所对的边分别为，cos cos )2sin a C c A b B +=，且3C A Bπ∠= .若点是外一点，1,3DC DA == ，下列说法中，正确的命题是（ ）A ．的内角3B π=B ．的内角3C π=[0,1][1,0]-[1,0)-(0,1]n S {}n a 3778,35a a S +==[]21,2,20x x a ∀∈-≥1a ≤2a ≤3a ≤()()11x xe f x x e +=-1501206030()f x ()()()(),11f x f x f x f x -=+=-[]0,1x ∈()()2log 1f x x =+1-()sin f x a x x =-56x π=12()()4f x f x ⋅=-12x x +3π-03π23πABC ∆,,A B C ,,a b c D ABC ∆ABC ∆ABC ∆数学试题 第2页 共7页C ．四边形面积的最大值为+32D ．四边形面积无最大值12. （多选题）下列说法中，正确的命题是（ ）A ．已知随机变量ξ服从正态分布)2(2δ，N ,()40.84P ξ<=，则()24P ξ<<=0.16.B ．以模型kxy ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则,c k 的值分别是4e 和0.3 .C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1,3x y ==，则1a =.D ．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为16.13. （多选题） 设函数，若有4个零点，则的可能取值有( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上） 14. 若o cos 27a = ,)o o cos72cos18+的值为_______.(用a 表示)15．在中，，其外接圆圆心满足0OA OB OC ++=uu r uu u r uuu r r ，则AB AC ⋅uu u r uuu r= .16．已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为1 ,,则此球的表面积=_________.17.已知函数在上的图像是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为，当时，有不等式成立，若对，不等式222()()0x x e f e a x f ax -≥ 恒成立，则正数的最大值为_______.三、解答题（本大题共6小题，共82分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（本小题满分12分） 如图，在平面四边形ABCD中，1=AB，1=BC ，3CA =，且B ∠与D ∠互补，32⋅=uuu r uu u r AD CD .（Ⅰ）求ACD V 的面积；（Ⅱ）求ACD V 的周长.19.（本小题满分14分）如图，四棱锥的一个侧面PAD 为等边三角形，且平面平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形,.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值.20.（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且120a a +=，515S =，数列{}n b 满足：12b a =，且131(2)n n n n n nb a b a b ++++= .（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若211(+5)log n n n c a b +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．ABCD ABCD 2()ln (0)2ax f x ax a e=->()f x a ABC △1BC =O P ABC -PA ⊥ABC 2,1,60AB AC BAC ==∠=()y f x =R ()f x '0x >()()22x f x xf x '>-x R ∀∈a P ABCD -PAD⊥2,3AD BD BAD π==∠=BD PD ⊥P BC D --数学试题 第3页 共7页21. （本小题满分14分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为2,(2,1)P -是椭圆1C 上一点．（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设A B Q 、、是点P 分别关于x 轴、y 轴及坐标原点的对称点,平行于AB 的直线l 与椭圆1C 相交于不同于P Q 、的两点C D 、,点C 关于原点的对称点为E . 证明：直线PD PE 、与y 轴围成的三角形是等腰三角形．22. （本小题满分14分）某游戏公司对今年新开发的一些游戏进行评测，为了了解玩家对游戏的体验感，研究人员随机调查了300名玩家，对他们的游戏体验感进行测评，并将所得数据统计如图所示，其中0.016a b -=.（Ⅰ）求这300名玩家测评分数的平均数；（Ⅱ）由于该公司近年来生产的游戏体验感较差，公司计划聘请3位游戏专家对游戏进行初测，如果3人中有2人或3人认为游戏需要改进，则公司将回收该款游戏进行改进；若3人中仅1人认为游戏需要改进，则公司将另外聘请2位专家二测，二测时，2人中至少有1人认为游戏需要改进的话，公司则将对该款游戏进行回收改进.已知该公司每款游戏被每位专家认为需要改进的概率为()01p p <<，且每款游戏之间改进与否相互独立. （i ）对该公司的任意一款游戏进行检测，求该款游戏需要改进的概率；（ii ）每款游戏聘请专家测试的费用均为300元/人，今年所有游戏的研发总费用为50万元，现对该公司今年研发的600款游戏都进行检测，假设公司的预算为110万元，判断这600款游戏所需的最高费用是否超过预算，并通过计算说明．(以聘请专家费用的期望为决策依据)23．（本小题满分14分）已知函数()21xe f x ax bx =++，其中0a >，b R ∈，e 为自然对数的底数.（Ⅰ）若1b =，且当0x ≥时，()1f x ≥总成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若0b =，且()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：()()12312f x f x e a+<+<.青岛二中2019—2020学年第一学期第一学段 期中高三模块考试——（数学）试题答案答案：1~10. DBCAA BCBDA 11. ABC 12.BC 13.BCD数学试题 第4页 共7页14.2a 15.1216.16π 17.e18. 【解析】（Ⅰ）在ABC 中，由余弦定理得2221cos 24AB BC AC ABC AB BC +-∠==-⋅.所以sin ABC ∠=. 因为角D 与角B 互补，所以sin sin 4ADC ABC ∠=∠=，1cos cos 4ADC ABC ∠=-∠=.又32AD CD ⋅=， 所以3cos 2AD CD AD CD ADC ⋅=⋅⋅∠=，即6AD CD ⋅=，所以1sin 2ACDSAD CD ADC =⋅⋅∠=（Ⅱ）在ACD 中，由余弦定理得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠， 所以2222cos 12AD CD AC AD CD ADC +=+⋅∠=， 所以AD CD +=所以ACD 的周长为3AD CD AC ++=.19. 【解析】（Ⅰ）证明：在中，又平面平面ABCD平面平面ABCD=AD ，平面PAD ，又（Ⅱ）如图，作于点O ， 则平面ABCD过点O 作于点E ，连接PE ，以O 为坐标原点，以OA,OE,OP 所在直线为x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则由（1）知平面DBC 的一个法向量为 设平面PBC 的法向量为则取设平面DBC 与平面PBC 所成二面角的平面角为 则20. 【解析】(Ⅰ)等差数列{}n a 的公差设为d ，前n 项和为n S ，且120a a +=，515S =， 可得120a d +=，151015a d +=，解得11a =-，2d =， 则12(1)23n a n n =-+-=-数列{}n b 满足：12b a =，131(2)n n n n n nb a b a b ++++=， 可得11b =，1(21)(61)n n nnb n b n b ++-=-，即为14n nb b +=，ABD ∆2,3AD BD BAD π==∠=AD BD ∴⊥PAD ⊥PAD ⋂ABCD BD 面⊂BD ∴⊥PAD PD 面⊂BD PD ∴⊥PO AD ⊥PO ⊥OE BC ⊥()()(()1,0,0,,,D B p C ---()()1,23,3,2,0,0BP BC =-=-()0,0,1(),,n x y z =00n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩200x x -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩即()0,1,2,n =θcos θ=数学试题 第5页 共7页所以数列{}n b 是以1为首项，4为公比的等比数列， 可得14n n b -=（Ⅱ）2111111()(5)log 4(1)41n n n c a b n n n n +===-+⋅++11111114223144n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦21. 【解析】（Ⅰ）由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2a 2＝34， 4a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝2．故椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1．（Ⅱ）由题设可知A (－2，－1)、 B (2， 1) 因此直线l 的斜率为12，设直线l的方程为：y ＝12x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋t ， x 28＋y 2 2＝1，得x 2＋2tx ＋2t 2－4＝0．（Δ＞0） 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2t ，x 1·x 2＝2t 2－4 ∴k PD ＋k PE ＝y 2－1x 2＋2＋－y 1－1 －x 1＋2＝(y 2－1)(2－x 1) －(2＋x 2) (y 1＋1)(2＋x 2) (2－x 1)而(y 2－1)(2－x 1) －(2＋x 2) (y 1＋1)＝2(y 2－y 1)－(x 1 y 2＋x 2y 1)＋x 1－x 2－4＝x 2－x 1－x 1·x 2－t (x 1＋x 2) ＋x 1－x 2－4＝－x 1·x 2－t (x 1＋x 2)－4 ＝－2t 2＋4＋2t 2－4＝0即直线PD 、PE 与y 轴围成一个等腰三角形．22. 【解析】（Ⅰ）依题意，(0.0050.0350.028)101a b ++++⨯=， 故0.032a b +=； 而0.016a b -=，联立两式解得，0.024,0.008a b ==；所求平均数为550.05650.24750.35850.28950.08⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2.7515.626.2523.87.676=++++=；（Ⅱ）（i ）因为一款游戏初测被认定需要改进的概率为223333C (1)C p p p -+，一款游戏二测被认定需要改进的概率为1223C (11(1)p p p ⎡⎤---⎣⎦， 所以某款游戏被认定需要改进的概率为：2233122333C (1)C C (1)1(1)p p p p p p ⎡⎤-++---⎣⎦ 23223(1)3(1)1(1)p p p p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦5432312179p p p p =-+-+；（ii ）设每款游戏的评测费用为X 元，则X 的可能取值为900，1500；123(1500)C (1)P X p p ==-， 123(900)1C (1)P X p p ==--，故1212233()9001C (1)1500C (1)9001800(1)E X p p p p p p ⎡⎤=⨯--+⨯-=+-⎣⎦ ； 令2()(1),(0,1)g p p p p =-∈ ，2()(1)2(1)(31)(1)g p p p p p p '=---=-- .数学试题 第6页 共7页当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()g p g p '>在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0g p g p <（），（）在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以g p （）的最大值为14327g ⎛⎫=⎪⎝⎭所以实施此方案，最高费用为445060090018001050541612011027-⎛⎫+⨯+⨯⨯=++=> ⎪⎝⎭故所需的最高费用将超过预算.23. 【解析】（Ⅰ）当1b =，则()21xe f x ax x =++，2212()()(1)x ae ax x af x ax x -+'=++，当102a <…时，()0f x '≥，()f x 在[)0,+∞ 上单调递增，()(0)1f x f ≥=； 当12a >时，()f x 在[0，21]a a -上单调递减， 在21[a a-，)+∞上单调递增， 21()()(0)1mina f x f f a-<==，不成立，102a ∴<…即10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（Ⅱ）当0b =时，2222(21)(),()1(1)x x e e ax ax f x f x ax ax -+'==++， 因为()f x 存在两个极值点，2440a a ->即1a >有条件知1x ，2x 为2210ax ax -+=两根，121212,x x x x a+==， 不妨设12x x <则12012x x <<<<1212122112221212()()11222x x x x x x e x e x e e e e f x f x ax ax ax ax ++=+=+=++，由（1）知当1b =，12a =，0x ≥，211xe ax x ≥++，即2112x e x x ++≥（当且仅当0x =取等号）所以当0x >时，恒有2112xx e x >++ 2212122211111()()11222f x f x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+>+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()12121211422x x x x x x ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦16222a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭312a=+ 又()211121122111()()222x x x x x e x e f x f x x e x e -+⎡⎤+==+-⎣⎦ 令()()22xxh x xex e -=+-()01x <<则()()()`210x xh x x e e-=->+ 所以()h x 在()0,1 上递增，()()12h x h e <=，从而12()()f x f x e +< 综上可得：()()12312f x f x e a+<+<数学试题第7页共7页。
山东省青岛市重点中学2025届高三压轴卷数学试卷含解析
山东省青岛市重点中学2025届高三压轴卷数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知三点A (1,0)，B (0，3 )，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A ．53 B ．213C ．253D ．432．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线24y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A ．1B ．12C ．22D ．523． “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是( )A ．这五年，出口总额之和．．．．比进口总额之和．．．．大B ．这五年，2015年出口额最少C ．这五年，2019年进口增速最快D ．这五年，出口增速前四年逐年下降4．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.85．已知M 是函数()ln f x x =图象上的一点，过M 作圆2220x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，则MA MB⋅的最小值为（ ） A ．223-B ．1-C ．0D ．5232- 6．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率是3，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的焦距为（ ）A ．3B ．32C ．6D ．627．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.A ．6500元B ．7000元C ．7500元D ．8000元8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知实数x ，y 满足2212x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ）A ．625-B ．627-C ．63-D ．962-10．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =的一部分，,02A π⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1C ，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为1P ，取自非阴影部分的概率为2P ，则（ ）A ．12P P <B ．12P P >C ．12P P =D ．大小关系不能确定12．2(1ii +=- ) A ．132i + B ．32i +C ．32i- D ．132i-+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
青岛二中2018—2019学年第一学期第二学段期末高三模块考试数学(理科)答案
2 10 ,故选 B.
5．D 试题分析:由三视图可知， AO 平面BCD ， 即. CO 平面ABD ,则该三棱锥的左视图是 一个等腰直角三角形，且 AO CO 6．B
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2 1 2 2 1 ,其面积为 . 2 2 2 2 4
∵在直三棱柱������������������ − ������1 ������1 ������1中，������������1 = 2������1������1 = 2������1 ������1，且������������ ⊥ ������������ ，点������是������1 ������1， ∴以������为原点，������������为������轴，������������为������轴，������������1为������轴，建立空间直角坐标系， 设������������1 = 2������1 ������1 = 2������1 ������1 = 2， 则������( , 1, )，������(0,0，0），������(1,0，0），������1 (1,0，2），
青岛二中 2018—2019 学年第一学期第二学段模块考试 高三数学（理科）参考答案
1．B 集合 A＝{x∈N|x≤3}＝{0，1，2，3}， B＝{x|x2+6x﹣16＜0}＝{x|﹣8＜x＜2}， A∩B＝{0，1}． 故选：B． 2．C 复数z = 2i + 1:i＝2i+(1:i)(1;i)＝2i+1﹣i＝1+i, 则|z|＝√12 +12 =√2． 故选：C． 3．B 依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列， 设首项������1 = 4，则������5 = 2， 则������ =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅������������ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |������������
2017-2018学年山东省青岛二中高三(上)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年山东省青岛二中高三（上）期末数学试卷（理科）试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）已知z为复数z的共轭复数.（1-i）z=2i.则z =（）A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i2.（单选题.5分）一次实验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子.经查数.落在正方形中的豆子的总数为N粒.其中m（m＜N）粒豆子落在该正方形的内切圆内.以此估计圆周率π为（）A. mNB. 2mNC. 3mND. 4mN3.（单选题.5分）“（m-1）（a-1）＞0”是“log a m＞0”的一个（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件=0.则y关于x的函数的图象形状大致是（）4.（单选题.5分）若实数x.y满足|x|-ln 1yA.B.C.D.5.（单选题.5分）已知（2+ax）（1-2x）5的展开式中.含x2项的系数为70.则实数a的值为（）A.1B.-1C.2D.-26.（单选题.5分）如图.网格纸上小正方形的边长为1.粗线画出的是某几何体的三视图.则该几何体的外接球的体积是（）A.14πB.28πC. 7√14π3D. 7√14π67.（单选题.5分）数列{a n}的首项为3.{b n}为等差数列且b n=a n+1-a n（n∈N*）.若b3=-2.b10=12.则a8=（）A.0B.3C.8D.118.（单选题.5分）如图.在△ABC中.D是AB边上的点.且满足AD=3BD.AD+AC=BD+BC=2.CD= √2 .则cosA=（）A. 13B. √24 C. 14D.09.（单选题.5分）已知 a =2∫xdx 10.函数 f (x )=Asin (ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2) 的部分图象如图所示.则函数 f (x −π4)+a 图象的一个对称中心是（ ）A. (−π12，1)B. (π12，2)C. (7π12，1) D. (3π4，2)10.（单选题.5分）直线x=2与双曲线 x 24 -y 2=1的渐近线交于A.B 两点.设P 为双曲线上任一点.若 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （a.b∈R .O 为坐标原点）.则下列不等式恒成立的是（ ）A.a 2+b 2≥1B.|ab|≥1C.|a+b|≥1D.|a-b|≥211.（单选题.5分）如图所示：在杨辉三角中.斜线上方箭头所连的数组成一个齿形的数列：记这个数列前n 项和为S n .则S 16等于（ ）A.128B.144C.155D.164 12.（单选题.5分）已知函数f （x ）=lnx+x 2+x ．正实数x 1.x 2满足f （x 1）+f （x 2）+x 1x 2=0.则下述结论中正确的一项是（ ）A.x 1+x 2≥ √5−12B.x 1+x 2＜√5−12 C.x 1+x 2≥ √5+12D.x 1+x 2＜√5+12 13.（填空题.5分）若实数x.y 满足 {x −y +1≤0x +y −3≥0y ≤4.则目标函数z=2x+y 的最大值为___ ． 14.（填空题.5分）已知| OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.| OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =sin 2 θOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +cos 2θ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ .当| OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值时.sin （ π2+2θ ）=___ ．15.（填空题.5分）四棱锥S-ABCD 中.底面ABCD 是边长为2的正方形.侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形.若 2√2≤SC ≤4 .则四棱锥S-ABCD 的体积取值范围为___ ． 16.（填空题.5分）在如图所示的平面中.点C 为半圆的直径AB 延长线上的一点.AB=BC=2.过动点P 作半圆的切线PQ.若PC= √2 PQ.则△PAC 的面积的最大值为___ ．17.（问答题.12分）在一次“K12联盟”联考中.我校高三有理科学生500名.已知此次考试中的英语成绩服从正态分布N（120.400）.数学成绩的频率分布直方图如图：（Ⅰ）如果成绩在140（含140）分以上的为特别优秀.则在此次联考中我校英语、数学特别优秀的大约各多少人？（Ⅱ）已知我校英语和数学两科都特别优秀的理科生共有30人.现以我校理科学生的成绩来评估此次联考中所有学生的总体状况.若从数学或英语特别优秀的同学中随机抽取3名学生.求这三人中两科都特别优秀人数的分布列和数学期望．参考公式及数据：若X～N（μ.σ2）.则P（μ-σ≤x≤μ+σ）=0.68.P（μ-2σ≤x≤μ+2σ）=0.96.P （μ-3σ≤x≤μ+3σ）=0.9918.（问答题.12分）如图.已知梯形ABCD.AB || CD.AD=DC=BC.∠ADC=120°.四边形ACFE为正方形.且平面ACFE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）点M在线段EF上运动.求平面MAB与平面ADE所成锐二面角余弦值的取值范围．19.（问答题.12分）已知数列{a n}的前n项和为S n.a1=2.且对任意正整数n.都有a n+1=3S n+2.数列{b n}满足b n=log2a n（Ⅰ）求数列{a n}.{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：1b12+1b22+⋯+1b n2≤5n−14n20.（问答题.12分）如图.曲线C由下半椭圆C1：y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)(y≤0)和部分抛物线C2：y=x2−1(y≥0)连接而成.C1与C2的公共点为A.B.其中C1的离心率为√32．（Ⅰ）求a.b的值；（Ⅱ）过点A的直线l与C1.C2分别交于点P.Q.（均异于点A.B）.是否存在直线l.使得以PQ为直径的圆恰好过B点.若存在.求出直线l的方程；若不存在.请说明理由．21.（问答题.12分）已知函数f（x）=e x. g(x)=−a2x2−x .（其中a∈R.e为自然对数的底数.e=2.71828…）．（1）令h（x）=f（x）+g′（x）.若h（x）≥0对任意的x∈R恒成立.求实数a的值；（2）在（1）的条件下.设m为整数.且对于任意正整数n. ∑(in )n＜mni=1.求m的最小值．22.（问答题.10分）在直角坐标系xOy中.曲线C1：{x=2t 2+2y=t2−1（t为参数）．以坐标原点O 为极点.x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2：ρ2-10ρcosθ-6ρsinθ+25=0．（Ⅰ）求C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程.并说明方程所表示的曲线名称；（Ⅱ）判断曲线C1与曲线C2的位置关系.若相交.求出弦长．23.（问答题.0分）已知函数f（x）=ln（|x+2|+|x-3|-m）．（Ⅰ）当m=8时.求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R.求m的取值范围．2017-2018学年山东省青岛二中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）已知z为复数z的共轭复数.（1-i）z=2i.则z =（）A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i【正确答案】：A【解析】：把已知等式变形.利用复数代数形式的乘除运算化简求得z.再由共轭复数的概念得答案．【解答】：解：由（1-i）z=2i.得z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i .∴ z=−1−i .故选：A．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数的基本概念.是基础题．2.（单选题.5分）一次实验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子.经查数.落在正方形中的豆子的总数为N粒.其中m（m＜N）粒豆子落在该正方形的内切圆内.以此估计圆周率π为（）A. mNB. 2mNC. 3mND. 4mN【正确答案】：D【解析】：根据几何概型的概率公式.即可以进行估计.得到结论．【解答】：解：设圆的半径为1．则正方形的边长为2. 根据几何概型的概率公式可以得到 π×122×2=mN .即 π=4m N . 故选：D ．【点评】：本题主要考查几何概型的应用.根据几何概型的概率公式.进行估计是解决本题的关键.比较基础．3.（单选题.5分）“（m-1）（a-1）＞0”是“log a m ＞0”的一个（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：根据对数函数的图象和性质.解对数不等式.利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】：解：当“（m-1）（a-1）＞0”时.则 {m ＞1a ＞1 或 {m ＜1a ＜1.此时log a m 可能无意义.故“log a m ＞0”不一定成立.而当“log a m ＞0”时.则 {m ＞1a ＞1 或 {0＜m ＜10＜a ＜1.“（m-1）（a-1）＞0”成立. 故“（m-1）（a-1）＞0”是“log a m ＞0”的一个必要不充分条件.故选：B ．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.根据对数的性质是解决本题的关键.比较基础．4.（单选题.5分）若实数x.y 满足|x|-ln 1y =0.则y 关于x 的函数的图象形状大致是（ ） A.B.C.D.【正确答案】：B【解析】：由条件可得 y= 1e|x| .显然定义域为R.且过点（0.1）.当x＞0时.y= 1e x.是减函数.从而得出结论【解答】：解：若变量x.y满足|x|-ln 1y=0.则得 y= 1e|x|.显然定义域为R.且过点（0.1）.故排除C、D．再由当x＞0时.y= 1e x.是减函数.故排除A.故选：B．【点评】：本题主要考查指数式与对数式的互化.指数函数的图象和性质的综合应用.以及函数的定义域、值域、单调性、函数图象过定点问题.属于中档题．5.（单选题.5分）已知（2+ax）（1-2x）5的展开式中.含x2项的系数为70.则实数a的值为（）A.1B.-1C.2D.-2【正确答案】：A【解析】：根据（1-2x）5展开式的通项公式.写出（2+ax）（1-2x）5的展开式中含x2项的系数.列方程求出a的值．【解答】：解：（1-2x）5展开式的通项公式为T r+1= C5r•（-2x）r.∴（2+ax）（1-2x）5的展开式中.含x2项的系数为2×C52(−2)2+aC51(−2)=70 .解得a=1．故选：A．【点评】：本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题.是基础题．6.（单选题.5分）如图.网格纸上小正方形的边长为1.粗线画出的是某几何体的三视图.则该几何体的外接球的体积是（）A.14πB.28πC. 7√14π3D. 7√14π6【正确答案】：C【解析】：作出几何体的直观图.得出外接球的半径.代入体积公式计算得出答案．【解答】：解：几何体为三棱锥.直观图如图所示：其中PA⊥底面ABCD.是长方体的一部分.三度为：2.1.3.棱锥的外接球就是长方体的外接球.球的直径为：√22+12+32 = √14 .∴外接球半径R= √142．∴外接球的体积V= 43π×(√142)3= 7√14π3．故选：C．【点评】：本题考查了棱锥的三视图.棱锥与外接球的位置关系.体积公式.属于中档题．7.（单选题.5分）数列{a n}的首项为3.{b n}为等差数列且b n=a n+1-a n（n∈N*）.若b3=-2.b10=12.则a8=（）A.0B.3C.8D.11【正确答案】：B【解析】：先利用等差数列的通项公式分别表示出b3和b10.联立方程求得b1和d.进而利用叠加法求得b1+b2+…+b n=a n+1-a1.最后利用等差数列的求和公式求得答案．【解答】：解：依题意可知{b1+2d=−2b1+9d=12求得b1=-6.d=2∵b n=a n+1-a n.∴b1+b2+…+b n=a n+1-a1.∴a8=b1+b2+…+b7+3= (−6+6)×72+3=3故选：B．【点评】：本题主要考查了数列的递推式．考查了考生对数列基础知识的熟练掌握．8.（单选题.5分）如图.在△ABC中.D是AB边上的点.且满足AD=3BD.AD+AC=BD+BC=2.CD= √2 .则cosA=（）A. 13B. √24C. 14D.0 【正确答案】：D【解析】：设BD=x.可求AD=3x.AC=2-3x.BC=2-x.由cos∠ADC=-cos∠BDC .利用余弦定理可得x 的值.进而可求AD.AC 的值.由余弦定理可求cosA 的值．【解答】：解：设BD=x.则AD=3x.AC=2-3x.BC=2-x.易知：cos∠ADC=-cos∠BDC .由余弦定理可得：9x 2+2−(2−3x )22×√2×3x =- x 2+2−(2−x )22×√2×x . 解得：x= 13 .故：AD=1.AC=1.∴cosA= AD 2+AC 2−CD 22AD×AC =0． 故选：D ．【点评】：本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用.考查了数形结合思想.属于基础题．9.（单选题.5分）已知 a =2∫xdx 10.函数 f (x )=Asin (ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2) 的部分图象如图所示.则函数 f (x −π4)+a 图象的一个对称中心是（ ）A. (−π12，1)B. (π12，2)C. (7π12，1)D. (3π4，2)【正确答案】：C【解析】：利用定积分求出a 的值.根据函数f （x ）的图象求出f （x ）的解析式.再利用三角函数的图象与性质求f （x- π4 ）+a 的对称中心．【解答】：解： a =2∫xdx 10 =2× 12 x 2 |01 =1. 函数 f (x )=Asin (ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2) 的图象知.A=2. T 4 = π3 - π12 = π4 .∴T= 2πω =π.解得ω=2；又2× π12 +φ= π2 .解得φ= π3 ；∴f （x ）=2sin （2x+ π3 ）.∴f （x- π4 ）+a=2sin （2x- π6 ）+1；令2x- π6 =kπ.k∈Z .则x= π12 + kπ2 .k∈Z .当k=1时.x= 7π12 .∴f （x- π4 ）+a 的一个对称中心为（ 7π12 .1）．故选：C ．【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题.也考查了定积分的计算问题.是中档题．10.（单选题.5分）直线x=2与双曲线 x 24 -y 2=1的渐近线交于A.B 两点.设P 为双曲线上任一点.若 OP⃗⃗⃗⃗⃗ =a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （a.b∈R .O 为坐标原点）.则下列不等式恒成立的是（ ） A.a 2+b 2≥1B.|ab|≥1C.|a+b|≥1D.|a-b|≥2【正确答案】：C【解析】：双曲线 x 24 -y 2=1的渐近线为：y=± 12 x ．把x=2代入上述方程可得：y ．不妨取A （2.1）.B （2.-1）．利用 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b OB ⃗⃗⃗⃗⃗ .可得P 坐标.代入双曲线方程.再利用重要不等式的性质即可得出结论．【解答】：解：双曲线 x 24 -y 2=1的渐近线为：y=± 12 x ．把x=2代入上述方程可得：y=±1．不妨取A （2.1）.B （2.-1）．OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2a+2b.a-b ）．代入双曲线方程可得：(2a+2b )24 -（a-b ）2=1.化为ab= 14 ．∴ 14 =ab ≤(a+b 2)2 .化为：|a+b|≥1． 故选：C ．【点评】：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、向量坐标运算性质、重要不等式的性质.考查了推理能力与计算能力.属于难题．11.（单选题.5分）如图所示：在杨辉三角中.斜线上方箭头所连的数组成一个齿形的数列：记这个数列前n 项和为S n .则S 16等于（ ）A.128B.144C.155D.164 【正确答案】：D【解析】：由图中锯齿形数列排列.发现规律：奇数项的第n 项可以表示成正整数的前n 项和的形式.偶数项构成以3为首项.公差是1的等差数列．由此再结合等差数列的通项与求和公式.即可得到S 16的值．【解答】：解：根据图中锯齿形数列的排列.发现a 1=1.a 3=3=1+2.a 5=6=1+2+3.....a 15=1+2+3+ (8)而a 2=3.a 4=4.a 6=5.….a 16=10.∴前16项的和S 16=[1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+…+8）]+（3+4+5+…+10）=（1×8+2×7+3×6+…+7×2+8×1）+(10+3)×82 =164故选：D ．【点评】：本题以杨辉三角为例.求锯齿形数列的前n 项和.着重考查了等差数列的通项与求和公式和归纳推理的一般方法等知识点.属于基础题．12.（单选题.5分）已知函数f （x ）=lnx+x 2+x ．正实数x 1.x 2满足f （x 1）+f （x 2）+x 1x 2=0.则下述结论中正确的一项是（ ）A.x 1+x 2≥ √5−12B.x 1+x 2＜√5−12 C.x 1+x 2≥ √5+12D.x 1+x 2＜√5+12 【正确答案】：A【解析】：得到（x 1+x 2）2+（x 1+x 2）=x 1x 2-ln （x 1x 2）.这样令t=x 1x 2.t ＞0.容易求得函数t-lnt 的最小值为1.从而得到（x 1+x 2）2+（x 1+x 2）≥1.解这个关于x 1+x 2的一元二次不等式即可得出要证的结论．【解答】：由f （x 1）+f （x 2）+x 1x 2=0.即lnx 1+x 12+x 1+lnx 2+x 22+x 2+x 1x 2=0.从而（x 1+x 2）2+（x 1+x 2）=x 1x 2-ln （x 1x 2）.令t=x 1x 2.则由h （t ）=t-lnt 得.h′（t ）= t−1t. 可知.h （t ）在区间（0.1）上单调递减.在区间（1.+∞）上单调递增.∴h （t ）≥h （1）=1.∴（x 1+x 2）2+（x 1+x 2）≥1.又x 1+x 2＞0.因此x 1+x 2≥√5−12成立． 故选：A ．【点评】：本题考查了函数的单调性问题.考查导数的应用以及换元思想、转化思想.不等式的解法.属于中档题．13.（填空题.5分）若实数x.y 满足 {x −y +1≤0x +y −3≥0y ≤4.则目标函数z=2x+y 的最大值为___ ． 【正确答案】：[1]10【解析】：画出约束条件表示的可行域.判断目标函数z=2x+y 的位置.求出最大值．【解答】：解：作出实数x.y 满足 {x −y +1≤0x +y −3≥0y ≤4的可行域如图： 目标函数z=2x+y 在 {y =4x −y +1=0的交点A （3.4）处取最大值为z=2×3+4=10． 故答案为：10．【点评】：本题考查简单的线性规划的应用.正确画出可行域.判断目标函数经过的位置是解题的关键．14.（填空题.5分）已知| OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.| OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =sin 2 θOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +cos 2θ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ .当| OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值时.sin （ π2+2θ ）=___ ．【正确答案】：[1] 725【解析】：根据向量的数量积运算和三角函数的化简即可求出答案．【解答】：解：∵| OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.| OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =sin 2 θOA⃗⃗⃗⃗⃗ +cos 2θ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴| OC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|sin 2θ• OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +cos 2θ• OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=sin 4θ| OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+cos 4θ| OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2sin 2θcos 2θ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ • OB ⃗⃗⃗⃗⃗ . =16sin 4θ+9cos 4θ.=16sin 4θ+9（1-sin 2θ）2=25sin 4θ-18sin 2θ+9=25（sin 2θ- 925 ）2+14425 . ∴当sin 2θ= 925 时.| OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值. ∴sin （ π2+2θ ）=cos2θ=1-2sin 2θ=1-2× 925 = 725 .故答案为： 725【点评】：本题考查了向量的数量积运算和三角函数的化简求值.属于中档题15.（填空题.5分）四棱锥S-ABCD中.底面ABCD是边长为2的正方形.侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形.若2√2≤SC≤4 .则四棱锥S-ABCD的体积取值范围为___ ．【正确答案】：[1] [4√33，83]【解析】：由题意可知.平面SAB⊥平面ABCD.当SC= 2√2或SC=4时.四棱锥S-ABCD的高最小.当SA⊥平面ABCD.则四棱锥高最大.分别求出对应的高.则四棱锥S-ABCD的体积取值范围可求．【解答】：解：如图.由题意可知.平面SAB⊥平面ABCD.当SC= 2√2时.过S作SO⊥AB.垂足为O.连接AC.OC.设OA=x.在△OAC中.由余弦定理可得OC2=x2+8−4√2x×√22=x2−4x+8 .在Rt△SOA中.有OS2=SA2-x2=4-x2.在Rt△SOC中.有OS2+OC2=SC2.即4-x2+x2-4x+8=8.求得x=1．∴ OS=√3．此时(V S−ABCD)min=13×4×√3=4√33；当SC=4时.可得∠BAS为钝角.同理求得OS=√3．此时(V S−ABCD)min=13×4×√3=4√33；∴当SA⊥平面ABCD时. (V S−ABCD)max=13×4×2=83．∴四棱锥S-ABCD的体积取值范围为：[4√33，83]．故答案为：[4√33，83]．【点评】：本题考查棱锥体积的求法.考查空间想象能力与逻辑思维能力.是中档题．16.（填空题.5分）在如图所示的平面中.点C为半圆的直径AB延长线上的一点.AB=BC=2.过动点P作半圆的切线PQ.若PC= √2 PQ.则△PAC的面积的最大值为___ ．【正确答案】：[1]4 √5【解析】：以AB所在直线为x轴.以AB的垂直平分线为y轴.建立平面直角坐标系.利用两点间距离公式推导出点P的轨迹方程是以（-3.0）为圆心.以r=2 √5为半径的圆.由此能求出△PAC的面积的最大值．【解答】：解：以AB所在直线为x轴.以AB的垂直平分线为y轴.建立平面直角坐标系.∵AB=BC=2.∴C（3.0）.设P（x.y）.∵过动点P作半圆的切线PQ.PC= √2 PQ.∴ √(x−3)2+y2 = √2• √x2+y2−1 .整理.得x2+y2+6x-11=0.∴点P的轨迹方程是以（-3.0）为圆心.以r=2 √5为半径的圆.∴当点P在直线x=-3上时.△PAC的面积的最大.∴（S△PAC）max= 1×4×2√5 =4 √5．2故答案为：4 √5．【点评】：本题考查三角形面积的最大值的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意两点间距离公式的合理运用．17.（问答题.12分）在一次“K12联盟”联考中.我校高三有理科学生500名.已知此次考试中的英语成绩服从正态分布N（120.400）.数学成绩的频率分布直方图如图：（Ⅰ）如果成绩在140（含140）分以上的为特别优秀.则在此次联考中我校英语、数学特别优秀的大约各多少人？（Ⅱ）已知我校英语和数学两科都特别优秀的理科生共有30人.现以我校理科学生的成绩来评估此次联考中所有学生的总体状况.若从数学或英语特别优秀的同学中随机抽取3名学生.求这三人中两科都特别优秀人数的分布列和数学期望．参考公式及数据：若X～N（μ.σ2）.则P（μ-σ≤x≤μ+σ）=0.68.P（μ-2σ≤x≤μ+2σ）=0.96.P （μ-3σ≤x≤μ+3σ）=0.99【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意可得英语成绩特别优秀的概率为P （X≥140）= 12 [1-P （120-20≤X≤120+20）].乘以500可得英语成绩特别优秀的人数；由频率分布直方图可得数学成绩特别优秀的概率.乘以500得数学成绩特别优秀的人数；（Ⅱ）英语和数学两科都特别优秀的理科生共有30人.则单科优秀的有60人.则X 的所有可能取值为0.1.2.3.求出概率.列出频率分布列.再由期望公式求期望．【解答】：解：（Ⅰ）英语成绩服从正态分布N （120.400）.则μ=120.σ=20. 则英语成绩特别优秀的概率为P （X≥140）= 12 [1-P （120-20≤X≤120+20）]= 12×(1−0.68)=0.16 ．∴英语成绩特别优秀的人数为500×0.16=80人；数学成绩特别优秀的概率为P （X≥140）=0.008× 20×12=0.08 ． ∴数学成绩特别优秀的人数为500×0.08=40人；（Ⅱ）英语和数学两科都特别优秀的理科生共有30人.则单科优秀的有60人． X 的所有可能取值为0.1.2.3．P （X=0）= C 603C 903 = 17115874 ；P （X=1）= C 301C 602C 903 = 8851958 ；P （X=2）= C 302C 601C 903 = 4351958 ；P （X=3）= C 303C 903 = 2035874 ．X 的分布列为：数学期望值为EX=0× 5874 +1× 1958 +2× 1958 +3× 5874 =1．【点评】：本题考查了频率分布直方图.考查了正态分布的应用问题.考查了离散型随机变量的分布列与期望.是中档题．18.（问答题.12分）如图.已知梯形ABCD.AB || CD.AD=DC=BC.∠ADC=120°.四边形ACFE 为正方形.且平面ACFE⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE ；（Ⅱ）点M 在线段EF 上运动.求平面MAB 与平面ADE 所成锐二面角余弦值的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由已知求解三角形可得BC⊥AC .由平面ACFE⊥平面ABCD.结合面面垂直的性质得BC⊥平面ACFE ；（Ⅱ）建立空间坐标系.令FM=λ（0≤λ≤ √3 ）.根据坐标表示出两个平面的法向量.结合向量的有关运算求出二面角的余弦值关于λ的表达式.再利用函数的有关知识求出余弦的范围．【解答】：（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中.由∠ADC=120°.得∠ABC=60°. ∵AB || CD .设AD=DC=CB=1.∴AB=2.则AC 2=AB 2+BC 2-2AB•BC•cos60°=3. ∴AB 2=AC 2+BC 2.得BC⊥AC ．∵平面ACFE⊥平面ABCD.平面ACFE∩平面ABCD=AC. BC⊂平面ABCD. ∴BC⊥平面ACFE ；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可建立分别以直线CA.CB.CF 为x 轴.y 轴.z 轴的如图所示空间直角坐标系. 令FM=λ（0≤λ≤ √3 ）.则A （ √3 .0.0）.B （0.1.0）.M （λ.0. √3 ）.E （ √3，0，√3 ）.D （ √32，−12，0 ）．AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（- √3 .1.0）. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（λ.-1. √3 ）. AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ −√32，−12，0 ）. AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，0，√3) ． 设 m ⃗⃗ =（x.y.z ）为平面MAB 的一个法向量. 由 {m ⃗⃗ •AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +y =0m ⃗⃗ •BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λx −y +√3z =0.取x=1.得 m ⃗⃗ =（1. √3 . 1−√33λ ）.设平面ADE 的一个法向量为 n ⃗ =（a.b.c ）.由 {n ⃗ •AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√32a −12b =0n ⃗ •AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3c =0.取b= √3 .得 n ⃗ =(−1，√3，0) .设平面MAB 与平面ADE 所成锐二面角为θ（0°＜θ＜90°）. 则cosθ= |m⃗⃗⃗ •n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |•|n ⃗ || = 22×√1+3+(1−√33λ)2=√3√(λ−√3)2+12．∵λ∈[0. √3 ].∴cosθ∈[ √55，12 ]．即平面MAB 与平面ADE 所成锐二面角余弦值的取值范围为[ √55，12 ]．【点评】：本题考查平面与平垂直的证明.考查空间想象能力和思维能力.训练了利用空间向量求二面角的余弦值.是中档题．19.（问答题.12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n .a 1=2.且对任意正整数n.都有a n+1=3S n +2.数列{b n }满足b n =log 2a n（Ⅰ）求数列{a n }.{b n }的通项公式； （Ⅱ）求证：1b 12+1b 22+⋯+1b n2≤5n−14n【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式． （Ⅱ）利用放缩法求出数列的和．【解答】：解：（Ⅰ）数列{a n}的前n项和为S n.a1=2.且对任意正整数n. 都有a n+1=3S n+2.则：当n≥2时.a n=3S n-1+2整理得：a n+1-a n=3a n.即：a n+1a n=4（常数）.所以：a n=2•4n−1=22n−1．由于数列{b n}满足b n=log2a n.所以b n=2n-1．证明：（Ⅱ）由于b n=2n-1.所以：1b n2=1(2n−1)2＜1(2n−1)2−1= 14(1n−1−1n) .则：1b12+1b22+⋯+1b n2= 112+132+⋯+1(2n−1)2≤1+14[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1−1n)] =1+ 14(1−1n) = 5n−14n．故：1b12+1b22+⋯+1b n2≤5n−14n．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用.放缩法在数列求和中的应用．20.（问答题.12分）如图.曲线C由下半椭圆C1：y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)(y≤0)和部分抛物线C2：y=x2−1(y≥0)连接而成.C1与C2的公共点为A.B.其中C1的离心率为√32．（Ⅰ）求a.b的值；（Ⅱ）过点A的直线l与C1.C2分别交于点P.Q.（均异于点A.B）.是否存在直线l.使得以PQ为直径的圆恰好过B点.若存在.求出直线l的方程；若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）在C 1.C 2的方程中.令y=0.可得b=1.且A （-1.0）.B （1.0）是上半椭圆C 1的左右顶点.设C 1的半焦距为c.由 ca = √32 及a 2-c 2=b 2-1.联立解得a.b 的值； （Ⅱ）由（Ⅰ）.下半椭圆C 1的方程为 y 24 +x 2=1（y≤0）.由题意知.直线l 与x 轴不重合也不垂直.设其方程为y=k （x+1）（k≠0）.代入C 1的方程.整理得（k 2+4）x 2+2k 2x+k 2-4=0.设点P 的坐标为（x P .y P ）.由求根公式.得点P的坐标为（ 4−k 24+k 2 . 8k4+k 2 ）.由 {y =k (x +1)y=x 2−1，y ≥0.得点Q的坐标为（k+1.k 2+2k ）.由假设可得BP⊥BQ .所以 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ • BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即可得出k ．【解答】：解：（Ⅰ）在C 1.C 2的方程中.令y=0.可得b=1. 且A （-1.0）.B （1.0）是下半椭圆C 1的左右顶点. 设C 1的半焦距为c.由 ca = √32 及a 2-c 2=b 2. 可得a=2.所以a=2.b=1； （Ⅱ）由（Ⅰ）.下半椭圆C 1的方程为 y 24 +x 2=1（y≤0）. 由题意知.直线l 与x 轴不重合也不垂直.设其方程为y=k （x+1）（k≠0）. 代入C 1的方程.整理得（k 2+4）x 2+2k 2x+k 2-4=0. 设点P 的坐标为（x P .y P ）.因为直线l 过点A.所以x=-1是方程的一个根. 由求根公式.得x P = 4−k 24+k 2 .y P = 8k4+k 2 . 所以点P 的坐标为（ 4−k 24+k 2 . 8k4+k 2 ）. 同理.由 {y =k (x +1)y =x 2−1，y ≥0.得点Q 的坐标为（k+1.k 2+2k ）.所以 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（- 2k 24+k 2 . 8k4+k 2 ）. BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =（k.k 2+2k ）.假设存在直线l.使得以PQ 为直径的圆恰好过B 点.可知BP⊥BQ .所以 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ • BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即（- 2k 24+k 2 ）•k+ 8k 4+k 2 •（k 2+2k ）=0. 即-2k 3+8k 3+16k 2=0. 因为k≠0.解得k=- 83. 经检验.k=- 83 符合题意.故存在.且直线l的方程为y=- 83（x+1）．【点评】：本题考查了直线与椭圆、抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、圆的性质、向量垂直与数量积的关系.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．21.（问答题.12分）已知函数f（x）=e x. g(x)=−a2x2−x .（其中a∈R.e为自然对数的底数.e=2.71828…）．（1）令h（x）=f（x）+g′（x）.若h（x）≥0对任意的x∈R恒成立.求实数a的值；（2）在（1）的条件下.设m为整数.且对于任意正整数n. ∑(in )n＜mni=1.求m的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）求出函数的导数.求出h（x）的解析式.求出函数的导数.通过讨论a的范围.求出函数的单调区间.从而求出函数的最小值.求出a的值即可；（2）得到1+x≤e x.令x=- kn （n∈N*.k=0.1.2.3.….n-1）.则0＜1- kn≤ e−k n .得到(1−kn)n≤ e(−k n)n=-e-k.累加.通过放大不等式.证明即可．【解答】：解：（1）因为g′（x）=-ax-1.所以h（x）=e x-ax-1.由h（x）≥0对任意的x∈R恒成立.即h（x）min≥0.由h′（x）=e x-a.（i）当a≤0时.h′（x）=e x-a＞0.h（x）的单调递增区间为R.所以x∈（-∞.0）时.h（x）＜h（0）=0.所以不满足题意．（ii）当a＞0时.由h′（x）=e x-a=0.得x=lna.x∈（-∞.lna）时.h′（x）＜0.x∈（lna.+∞）时.h′（x）＞0.所以h（x）在区间（-∞.lna）上单调递减.在区间（lna.+∞）上单调递增. 所以h（x）的最小值为h（lna）=a-alna-1．设φ（a）=a-alna-1.所以φ（a）≥0. ①因为φ′（a）=-lna.令φ′（a）=-lna=0.得a=1.所以φ（a ）在区间（0.1）上单调递增.在区间（1.+∞）上单调递减. 所以φ（a ）≤φ（1）=0. ② 由 ① ② 得φ（a ）=0.则a=1． （2）由（1）知e x -x-1≥0.即1+x≤e x . 令x=- kn （n∈N *.k=0.1.2.3.….n-1）.则0＜1- k n ≤ e −kn .所以 (1−k n )n ≤ e (−k n )n=-e -k .所以 ∑ni=1 (i n )n = (1n )n + (2n )n +…+ (n−1n )n + (n n )n≤e -（n-1）+e -（n-2）+…+e -2+e -1+1 =1−e −n 1−e −1 ＜ 11−e−1 =1+ 1e−1 ＜2. 所以 ∑n i=1 (i n )n＜2. 又 (13)3+ (23)3+ (33)3＞1. 所以m 的最小值为2．【点评】：本题考查了函数的单调性、最值问题.考查导数的应用.是一道中档题．22.（问答题.10分）在直角坐标系xOy 中.曲线C 1： {x =2t 2+2y =t 2−1 （t 为参数）．以坐标原点O为极点.x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 2：ρ2-10ρcosθ-6ρsinθ+25=0． （Ⅰ）求C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程.并说明方程所表示的曲线名称； （Ⅱ）判断曲线C 1与曲线C 2的位置关系.若相交.求出弦长．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）直接利用转换关系.把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． （Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．【解答】：解：（Ⅰ）曲线C 1： {x =2t 2+2y =t 2−1 （t 为参数）．转换为直角坐标方程为：x-2y-4=0．（x≥2）．故该曲线表示一条射线．曲线C2：ρ2-10ρcosθ-6ρsinθ+25=0．转换为直角坐标方程为：x2+y2-10x-6y+25=0.整理得：（x-5）2+（y-3）2=9.该曲线表示以（5.3）为圆心.3为半径的圆．（Ⅱ）由于该圆是以（5.3）为圆心.3为半径.所以与射线x-2y-4=0．（x≥2）有两个交点．圆心到射线的距离d=√12+22=√5 .所以弦长l=2 √32−(√5)2 =4．【点评】：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换.点到直线的距离公式的应用．23.（问答题.0分）已知函数f（x）=ln（|x+2|+|x-3|-m）．（Ⅰ）当m=8时.求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R.求m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）先求得|x+2|+|x-3|＞8.然后分类讨论去绝对值号.求解即可得到答案．（Ⅱ）由关于x的不等式f（x）≥2.得到|x+2|+|x-3|≥m+e2．因为已知解集是R.根据绝对值不等式可得到|x+2|+|x-3|≥5.令m+e2≤5.求解即可得到答案．【解答】：解：（Ⅰ）由题设知：当m=8时：|x+2|+|x-3|＞8.不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：{x≥3x+2+x−3＞8.或{−2＜x＜3x+2+3−x＞8.或{x≤−2−x−2−x+3＞8.解得函数f（x）的定义域为（-∞.-7）∪（9.+∞）；（2）不等式f（x）≥2即|x+2|+|x-3|≥m+e2.∵x∈R时.恒有|x+2|+|x-3|≥|（x+2）-（x-3）|=5.∴不等式|x+2|+|x-3|≥m+e2解集是R.等价于m+e2≤5.∴m的取值范围是（-∞.5-e2]．【点评】：本题主要考查绝对值不等式的应用问题.题中涉及到分类讨论的思想.考查学生的灵活应用能力.属于中档题目．。
山东省青岛二中2017届高三下学期阶段性检测试题(数学理)[(含答案)word版
山东省青岛二中2017届高三下学期阶段性检测数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U ＝R ，集合{,A x y ==集合{}2,x B y y x R ==∈，则()R C A B = （ ）A.{}2x x > B.{}01x x <≤ C. {}12x x ≤＜ D ．{}0x x < 2.曲线sin ,cos 2y x y x π==和直线x=0,x=所围成的平面区域的面积为（ ）()20.sin cos A x x dx π-⎰ ()4.2sin cos B x x dx π-⎰()20.cos sin C x x dx π-⎰()40.2cos sin D x x dx π-⎰3.对于平面α和共面,m n 的直线，下列命题是真命题的是：（ ）m n m A 所成的角相等，则与若α,.∥n m B 若.∥α,n ∥α，则：m ∥n n m m C ⊥⊥,.α若，则n ∥α ⊂m D 若.α,n ∥α，则：m ∥n4.下列4个命题:（1）命题“若a b <，则22am bm <”；（2）“2a ≤”是“对任意的实数x ，11x x a ++-≥成立”的充要条件； （3）设随机变量ξ服从正态分布N （0，1），若1(1),(10)2P p P p ξξ>=-<<=-则； （4）命题“x R ∃∈，02>-x x ”的否定是：“x R ∀∈，02<-x x ”其中正确的命题个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 45.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名学生的视力情况，得到频率分布直方图如下左图，由于不慎将部分数据丢失，只知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.1之间的学生人数为b,则a 和b 的值分别为（ ）A.0.27 78B.0.27 85C.2.7 78D.2.7 856.如上右图所示的是根据输入的x 值计算y 的值的程序框图，若x 依次取数列216{}()n n N n*+∈中的项，则所得y 值的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．327．已知函数x x f x21log 2)(-=，且实数a >b >c >0满足0)()()(<⋅⋅c f b f a f ，若实数0x 是函数y =)(x f 的一个零点，那么下列不等式中不可能．．．成立的是 （ ） A ．a x <0 B ．a x >0 C ．b x <0 D ．c x <08．三角形的内角平分线定理是这样叙述的：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
山东省青岛第二中学2020-2021学年高三下学期2月月考考试数学(理)试题
20．对称轴为坐标轴的椭圆 的焦点为 ， ， 在 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设不过原点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，且直线 ， ， 的斜率依次成等比数列，则当 的面积为 时，求直线 的方程.
6．C
【解析】
【分析】
由题意，根据函数的解析式，求解函数 是定义域上的单调递增函数，且为奇函数，把不等式转化为 ，进而借助一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】
【详解】
由题意 ，
则 ， 的共轭复数为 ，
复数 的实部与虚部之和为 ， 在复平面内对应点位于第一象限，故选D．
【点睛】
复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为 ．
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（ⅠⅠ）求直线 与平面 所成的角的正弦值.
19．为了了解游客的情况，以便制定相应的策略，在某月中随机抽取甲、乙两个景点各10天的游客数，画出茎叶图如图：
（1）若景点甲中的数据的中位数是125，景点乙中的数据的平均数是124，求x，y的值；
（2）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时内的样本数据.今从这段时期中任取4天，记其中游客数超过120人的天数为 ，求概率 ；
12．已知 是函数 的零点， 是函数 的零点，且满足 ，则实数 的最小值是（ ）
A． B． C．-2D．-1
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故所求边 a 的长为 5 . …………………………………………………………………
18 ．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）取 BC 的中点 E ，连结 AE ， C1E ， B1E
Q B1C1 // BC ， B1C1
1 BC ， B1C1 // EC, B1C1
EC ，
2
四边形 CEB1C1 为平行四边形， 从而 B1E // C1C ，
2
6
62
1 化简得： cos2 A
2
又因为 0 A ，解得： A
2
3
………………………………………… 9 分
1
由题意知： S ABC
bc sin A 2 3 ，解得 bc 8 ，
2
又 b c 7 , 所以 a2 b2 c2 2bc cos A (b c)2 2bc(1 cos A)
1 49 2 8 (1 ) 25
证明，并求出该定点坐标 ;若不过定点，请说明理由．
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高三自评试题 数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题．每小题 5 分，共 60 分．
CDBAB
BDCCA
DA
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．
2
13.
5
14. 2
15. 52
16 ．①②⑤
)
2
6
……………………………………………………… ………………………………………………
因为 x
, ，所以 2x
46
6
2 ,
36
2分 3分
所以当 2x 6
即x 2
山东省青岛二中高三数学12月月考试题 理(含解析)
数学（理科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.设全集()()2,{|21},{|ln 1}x x U R A x B x y x -==<==-，则右图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤【答案】B 【解析】试题分析：因为(2){|21}{|(2)0}{|02}x x A x x x x x x -=<=-<=<<，{|ln(1)}{|10}{|1}B x y x x x x x ==-=->=<，图中阴影部分表示的集合为U A C B ⋂，所以，图中阴影部分表示的集合为{|12}x x ≤<，选B. 考点：集合的运算2.已知各项均为正数的等比数列{na }中,1237895,10,a a a a a a ==则456a a a =( )A.52B.7C.6D. 42【答案】A 【解析】试题分析：因为正项等比数列{}n a 中，1237895,10,a a a a a a ==，由等比数列的性质，有33285,10,a a ==所以，331322224565528()()(510)52a a a a a a a ====⨯= A. 考点：等比数列的性质3.已知0.81.2512,,2log 22a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.c b a <<B. c a b <<C. b c a << D . b a c << 【答案】A 【解析】试题分析：因为552log 2log 41y ==<， 1.20.822a =>，0.80.81()22b -==，所以，,,a bc 的大小关系为c b a <<，选A.考点：指数函数、对数函数的性质4.已知0,a >且1a ≠，函数log ,xa y x y a ==，y x a =+在同一坐标系中的图象可能是（ ）5.若直线 过)1,2(P 点且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有几条（ ） A. 1条 B.2 条 C.3条 D.以上都有可能 【答案】B 【解析】试题分析：当截距均为零时，显然有一条；当截距不为零时，设直线方程为x y a +=，则213a =+=，有一条，综上知，直线 过)1,2(P 点且在两坐标轴上的截距相等的直线有两条，故选B. 考点：直线方程的截距式6.已知n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）A ．若n m n m //,//,//,//则βαβαB ．若则,,//,//βαβα⊥n m n m ⊥C ．若n m n m //,,,则βαβα⊥⊥⊥D ．若,//,//,βαβαn m ⊥则n m ⊥7.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数： ①()sin cos f x x x =； ②()2sin 21f x x =+；③()2sin()4f x x π=+； ④()sin 3cos f x x x =+．其中“同簇函数”的是（ ）A.①②B.①④C.②③D.③④8.已知某几何体的三视图如图，其中正(主)视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( )A ．3242π-B ．243π-C ．24π-D ．242π-9.正六棱柱的底面边长为4,高为6,则它的外接球的表面积为（ ） A. 20π B. 25π C. 100π D. 200π 【答案】C 【解析】试题分析：如图，正六棱柱的外接球的直径是正六棱柱体对角线FH 的长，∵侧棱垂直于底面，∴FG ⊥GH ；在FGH 中，由勾股定理得：22222FH FG GH 624100=+=+⨯=（）， ∴22R 100=（），即24R 100ππ=； ∴它的外接球的表面积为100π．故选C ． 考点：几何体的结构特征，几何体的面积.10.若直线220(0,0)ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则14a b+的最小值是( )A.16B. 9C. 12D. 811.设函数2()2,()ln 3x f x e x g x x x =+-=+-，若实数,a b 满足()0,()0f a g b ==，则（ ）A ．0()()g a f b <<B ．()()0f b g a <<C ．()0()f b g a <<D ．()0()g a f b << 【答案】D 【解析】试题分析：显然，()2xf x e x =+-在R 上是增函数，0(0)0210,(1)120f e f e =+-=-<=+->， 由函数零点存在定理知，(0,1)a ∈；又2()ln 3g x x x =+-在区间(0,)+∞是增函数，且2(1)ln11320g =+-=-<，所以，1b >，故()(1)120f b f e >=+->，2()ln 30g a a a =+-<，即()0()g a f b <<，故选D.考点：函数零点存在定理，函数的单调性.12.若对任意x A ∈，y B ∈，（A 、R B ⊆）有唯一确定的(,)f x y 与之对应，称(,)f x y 为关于x 、y 的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数(,)f x y 为关于实数x 、y 的广义“距离”: （1）非负性:(,)0f x y ≥，当且仅当0x y ==时取等号；（2）对称性:(,)(,)f x y f y x =；（3）三角形不等式:(,)(,)(,)f x y f x z f z y ≤+对任意的实数z 均成立.今给出四个二元函数:①22(,)f x y x y =+；②2(,)()f x y x y =-；③(,)f x y x y =-； ④(,)sin()f x y x y =-.能够成为关于的x 、y 的广义“距离”的函数的所有序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.在ABC ∆中，sin ,sin ,sin A B C 依次成等比数列，则角B 的取值范围是 .14.已知ABC ∆中4,2AC AB ==，若G 为ABC ∆的重心，则AG BC ⋅= ．15.若圆014222=++-+y x y x 上恰有两点到直线02=++c y x （)0>c 的距离等于1，则c 的取值范围为 【答案】5,35). 【解析】试题分析：由圆014222=++-+y x y x ，得到22(1)(2)4x y -++=,圆心P 坐标为（1，-2），半径为2，∵圆014222=++-+y x y x 上恰有两点到直线02=++c y x （)0>c 的距离等于1，∴圆心到直线02=++c y x 的距离满足13d <<，即2|21(2)|1321c ⨯+-+<<+，解得，535c <<答案为(5,35)．考点：圆的方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系.16.在正方形1111D C B A ABCD -中，Q 是1CC 的中点，F 是侧面11C BCB 内的动点且F A 1//平面AQ D 1，则F A 1与平面11C BCB 所成角的正切值得取值范围为 .【答案】[2,22] 【解析】试题分析：设平面1AD Q 与直线BC 交于点G ，连接AG 、QG ，则G 为BC 的中点 分别取111B B B C 、的中点M 、N ，连接AM MN AN 、、，则∵111111A M D Q A M D AQ D Q D AQ ⊄⊂∥，平面，平面， ∴11A M D AQ ∥平面．同理可得1MN D AQ ∥平面，三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（满分12）命题:p 函数32()f x x ax ax a =++-既有极大值又有极小值； 命题:q 直线3420x y +-=与圆22()1x a y -+=有公共点. 若命题“p 或q ”为真，且命题“p 且q ”为假，试求实数a 的取值范围.【答案】7(,1)[0,](3,).3-∞-+∞ 【解析】试题分析：通过讨论命题p 为真时，得到0a <或3a >；通过讨论命题q 为真时，得到71.3a -≤≤由命题“p 或q ”为真，且命题“p 且q ”为假，知p 、q 必一真一假.所以，分p 真q 假，p 假q 真，得到实数a 的取值范围.试题解析：命题p 为真时，必有2()320f x x ax a '=++=有两个不同的解，18.（满分12分）已知锐角ABC △中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，已知22sin 3A =，（Ⅰ）求22tan sin 22B C A++的值； （Ⅱ）若2a =，2ABC S =△b 的值．19.(满分12分)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n＝12S n＋1（n∈N*）；（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若2log n n b a =， c n ＝21n n b b +，且{c n }的前n 项和为T n ，求使得132424n k k T +<< 对n ∈N *都成立的所有正整数k 的值.【答案】(Ⅰ) nn a 2＝；(Ⅱ) k 567=、、. 【解析】试题分析：(Ⅰ) 利用n n 1a S 12＝＋ ①n 1n 11a S 1n 22--≥＝＋（）② ①-②得：n n 1a 2a n 2-≥＝（），验证1a 2＝适合即得所求. (Ⅱ) 根据1(2)n c n n =+111()22n n =-+ ，利用“裂项相消法”可得n T ,进一步利用1313,434n n T T T ≤<≤<即得到k 的不等式组13245313424kk k ⎧>⎪⎪≤<8⎨+⎪≤⎪⎩得，，根据k 是正整数，得到k 567=、、.20.（本小题满分12分）已知函数2()2(R)f x x x b b =++∈.（Ⅰ）若函数()f x 的值域为[0,)+∞，若关于x 的不等式()(0)f x c c <>的解集为(,6)(R)k k k +∈，求c 的值；（Ⅱ）当0b =时，m 为常数，且01m <<，11m t m -≤≤+，求2()()21f t t tf t t ---+的取值范围.【答案】（Ⅰ）9c =；（Ⅱ）211[,](1)12m m --+. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据函数的值域为[0)+∞，，求得1b = ，得到22()21(1)f x x x x =++=+；通过解一元二次不等式，解得9c =.（Ⅱ）注意到2()()21f t t tf t t ---+，令2()=1tg t t +，遵循“求导数，求驻点，讨论区间导数值正负，确定极值”等步骤，即可得到2()=1tg t t +的范围为211[,](1)12m m --+.21.（满分13分）四棱锥P ABCD -底面是平行四边形，面PAB ⊥面ABCD ,12PA PB AB AD ===,060BAD ∠=,,E F 分别为,AD PC 的中点. （1）求证：//EF PAB 面 （2）求证：EF PBD ⊥面--的余弦值. （3）求二面角D PA B（2）PAB AG PB ∆⊥是等边三角形，----------------①ABC ∆中，02,60,AD AB BAD =∠=由余弦定理2220222cos60BD AB AD AB AD AD AB =+-⨯⨯=-,所以，090ABD ∠=,BD AB ⊥-------6分,PAB ABCD BD AB DB PAB ⊥⊥∴⊥面面面DB AG ⊥-----------------------②--------------------------------------------------7分由 ①②可知，,AG PB AG BD AG PBD ⊥⊥∴⊥面//,EF AG EF PBD ∴⊥又面-----------------------------------------------9分(3)取PA 的中点N ,,BN DN 连PAB BN PA ∆∴⊥是等边三角形 ~Rt PBD Rt ABD PD AD ∆∆∴=AN PB ∴⊥ANB θ∠=是二面角D PA B --的平面角 ----------------------------11分由 （2）知 ,BD PAB BD BN ⊥⊥面32DBNBD AB BN ∆==在Rt 中，5tan 2,cos BD BN θθ===即二面角D PA B --的余弦值为5---------------13分解法二 （1）022202202,60,2cos 6090ABD AD AB BAD BD AB AD AB AD AD AB ABD ∆=∠==+-⨯⨯=-∴∠=中，由余弦定理所以 BD AB ⊥ ,PAB ABCD BD AB DB PAB ⊥⊥∴⊥面面面建系{,,}BA BD z 令 2AB =()()(2,0,0,0,23,0,3A D P ,()2,23,0C - ()()11333,0,122EF AP DC =+=-= 因为平面PAB 的法向量 ()20,1,0n =20//EF n EF PAB ⋅=∴面(2)()(0,23,0,3BD BP ==0,0EF BD EF BP ⋅=⋅= ,EF BD EF BP EF PBD ⊥⊥∴⊥面(3) 设平面PAD 的法向量为()1111,,n x y z =(AP =-,()2,AD =-11020n AP x n AD x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令x =()13,1,1n =平面PAB 的法向量 ()20,1,0n =12cos ,n n <>=，即二面角D PA B--的余弦值为5考点：平行关系，垂直关系，空间的角的计算.22.（本小题满分14分） 在实数集R 上定义运算：)()()(,2)(,)(,)((2x g x f x F x e x g e x f a R a y a x y x x x ⊗=+==∈-=⊗-为常数），若（Ⅰ）求()F x 的解析式；（Ⅱ）若()F x 在R 上是减函数，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若3a =－，在()F x 的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直？若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由.2e (e 2)x x a x =－－－2e 12e .x x a x =－－………………………………4分。
山东省青岛市第二中学2025届高考冲刺数学模拟试题含解析
山东省青岛市第二中学2025届高考冲刺数学模拟试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin θ=（ ） A ．55-B ．55C ．255-D ．2552．已知向量()1,3a =，b 是单位向量，若3a b -=，则,a b =（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 3．函数()1sin f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭(x ππ-≤≤且0)x ≠的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．4．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PFPA的最小值为（ ） A ．12B ．22C ．32D ．235．已知复数z ，满足(34)5z i i -=，则z =（ ） A ．1B 5C 3D ．56．已知复数z 满足121iz i i+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1B ．2C 3D 57．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-，上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，2）D ．（﹣∞，1）9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（ ） A ．96里B ．72里C ．48里D ．24里10．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-，则（ ） A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．a ∥(a b -)D ．a ⊥( a b -)11．若复数()(1)2z i i =++（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．60二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
青岛第二中学2025届高三数学试题质量检测试题(二)数学试题试卷
青岛第二中学2025届高三数学试题质量检测试题（二）数学试题试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 交双曲线的右支于点P ，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l 相切，切点为H ，若113F P F H =，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．132B ．5C ．25D ．132．若双曲线E ：221x y m n-=(0)mn >绕其对称中心旋转3π后可得某一函数的图象，则E 的离心率等于（ ）A ．233B ．3C ．2或233D ．2或33．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量y 和气温x 之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（x 轴表示气温，y 轴表示销售量），由散点图可知y 与x 的相关关系为（ ）A ．正相关，相关系数r 的值为0.85B ．负相关，相关系数r 的值为0.85C ．负相关，相关系数r 的值为0.85-D ．正相关，相关负数r 的值为0.85-4． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．455．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n ，则12n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为( )A ．60B ．80C ．90D ．1206．设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i -B ．2iC ．1i -+D ．07．已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．264- B ．264+ C ．624- D ．622+ 8．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD ，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则直线AC 与BD 所成角余弦值为（ ）A ．23B ．63C ．33D ．139． “tan 2θ=”是“4tan 23θ=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件10．若复数52z i=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2i +B ．2i -C ．12i +D ．12i -11．直角坐标系 xOy 中，双曲线2222 1x y a b -=（0a b ，>）与抛物线2 2?y bx =相交于 A 、B 两点，若△ OAB 是等边三角形，则该双曲线的离心率e =（ ）A ．43B ．54C ．65D ．7612． “1cos 22α=-”是“3k παπ=+，k Z ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省青岛市崂山区青岛第二中学2025届高考数学考前最后一卷预测卷含解析
山东省青岛市崂山区青岛第二中学2025届高考数学考前最后一卷预测卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2．函数1()ln ||1xf x x+=-的图象大致为 A ． B ． C ．D ．3．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．323B ．643C ．16D ．324．如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，且PA AD =，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．26B ．33C ．36D ．235．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1ln6,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．1ln3,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．1ln3,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．1ln6,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦6．中，如果，则的形状是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形7．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．函数()32f x x x x =-+的图象在点()()1,1f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．29．设复数z 满足31ii z=+，则z =（ ）A ．1122i + B ．1122-+i C ．1122i - D ．1122i -- 10．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++⎪-⎝⎭，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭11． “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（ ）A ．165B ．325C ．10D ．18512．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省青岛第二中学2019届高三下学期期初(2月)考试数学(理)试题
青岛二中2018-2019学年第二学期期初考试高三数学（理科）试题满分：150分 时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集为，集合{}{}2|21,|320xA xB x x x =≥=-+< ,则R AC B =（ ）A ．{}|01x x ≤≤B ．{}|012x x x ≤≤≥或 C. {}|12x x << D. {}|012x x x ≤<>或 2．复数21iz i+=-，是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A．z = B ．的共轭复数为31+22iC ．的实部与虚部之和为1D ．在复平面内的对应点位于第一象限 3. 命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题是( ) A ．若220x y +=，则,x y 中至少有一个不为0 B ．若220x y +≠，则,x y 中至少有一个不为0 C ．若220x y +=，则,x y 都不为0 D ．若220x y +≠，则,x y 都不为04．已知αβ，的终边关于直线y x =对称，且=3πβ-，则sin α等于( )A． BC ．12-D ．125.若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值为( )A ．1-B ．2-C ．D ． 6．已知函数()sin f x x x =-，则不等式()()21330f x f x -++>的解集是（ ）A ．()(),41,-∞-+∞ B ．()(),14,-∞-+∞C ．()1,4- D. ()4,1-7．如图四边形ABCD 为平行四边形，11,22AE AB DF FC ==，若A F A C D E λμ=+ ，则λμ-的值为（ ） A ． B ．23 C.12 D ．138．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．73 B ．83π- C ．83 D ．8+3π9.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（图1），图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为（ ） A ．49169 B ．30169 C ．49289 D ．6028910．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，11AB AD AA ===，而对角线1A B 上存在一点，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）A ．B ．C ． D11.已知双曲线：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线为，圆:()228x a y -+=与交于,A B 两点，若ABC ∆是等腰直角三角形，且5OB OA =（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A.3 B. 5 C.5 D. 312．已知1x 是函数()()1l n 2fx x x =+-+的零点，2x 是函数()2244g x x a x a =-++的零点，且满足121x x -≤，则实数的最小值是（ ）A ．1-B ．1-C ．2-D ． 2二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上） 13.已知向量()()1,2,,1a b m ==-，若//a a b +，则a b ⋅= __________． 14.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，最后输出的结果为________．15.我们把有相同数字相邻的数叫“兄弟数”，现从由一个，一个，两个，两个这六个数字组成的所有不同的六位数中随机抽取一个，则抽到“兄弟数”的概率为________.16. 在ABC ∆中，为BC 的中点，1AC AD CD ===，点与点在直线AC 的异侧，且PB BC =，则四边形ADCP 的面积的最大值为_______.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，1n n a a +>， 11038160,37a a a a ⋅=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若从数列{}n a 中依次取出第项，第项，第项，，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{}n b ，求数列{}n b 的前项和n S18. （本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，//,1,60,EF AC EF ABC =∠=CE 2ABCD CE CD ⊥==平面， ，G 是DE 的中点（1） 求证：平面//ACG 平面BEF ； （2） 求直线AD 与平面ABF 所成的角的正弦值.19. （本小题满分12分）“一带一路”经济带的发展规划已经得到了越来越多相关国家的重视和参与.某市旅游局顺潮流、乘东风，闻讯而动，决定利用旅游资源优势，撸起袖子大干一场.为了了解游客的情况，以便制定相应的策略，在某月中随机抽取甲、乙两个景点各10天的游客数，画出茎叶图如下：若景点甲中的数据的中位数是125，景点乙中的数据的平均数是124. （1）求,x y 的值；（2）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据.今从这段时期内任取天，记其中游客数超过120人的天数为ξ，求概率()2P ξ≤；（3）现从上图的共20天的数据中任取天的数据（甲、乙两景点中各取天），记其中游客数不低于115且不高于125人的天数为，求的分布列和期望.20. （本小题满分12分）对称轴为坐标轴的椭圆C 的焦点为12((1,)2F F M 在C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）设不过原点O 的直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与椭圆C 交于P Q 、两点，且直线OP PQ 、、OQ 的斜率依次成等比数列，则当OPQ ∆的面积为4时，求直线PQ 的方程.21. （本小题满分12分）已知函数()ln 1()af x x x a a R x=+-+-∈ ． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若存在1x >，使1()xf x x x-+<成立，求整数的最小值．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请涂题号.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为2sin()306πρθ+-=，曲线C 的参数方程是2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩ （为参数）．（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）直线l 与轴交于点，与曲线C 交于A B 、两点，求PA PB +．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式x m x -<的解集为()1+∞，. （1）求实数的值； （2）若不等式51211a m a x x x x-+<+--< 对()0,x ∈+∞恒成立，求实数的取值范围.青岛二中2018-2019学年第二学期期初考试高三数学（理科）试题满分：150分 时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集为，集合{}{}2|21,|320xA xB x x x =≥=-+< ,则R AC B =（ ）A ．{}|0x x ≤B ．{}|012x x x ≤≤≥或 C. {}|12x x << D. {}|012x x x ≤<>或 【答案】B【解析】由题意可得：，，则，.本题选择B 选项. 2．复数21iz i+=-，是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．z =B ．的共轭复数为31+22i C ．的实部与虚部之和为1 D ．在复平面内的对应点位于第一象限 【答案】D【解析】分析：利用复数的四则运算，求得，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．详解：由题意，则，的共轭复数为，复数的实部与虚部之和为，在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．3. 命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题是( )A ．若220x y +=，则,x y 中至少有一个不为0 B ．若220x y +≠，则,x y 中至少有一个不为0 C ．若220x y +=，则,x y 都不为0 D ．若220x y +≠，则,x y 都不为0【答案】B 【解析】否命题既否定条件又否定结论．∴命题若“x 2+y 2=0，则x=y=0”的否命题是：若x 2+y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0． 故选：B ．4．已知αβ，的终边关于直线y x =对称，且=-3πβ，则sin α等于( )A． BC ．1-2D ．12【答案】D 【解析】因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋ (k ∈Z)．又β＝－，所以α＝2k π＋(k ∈Z)，即得sin α＝.5.若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值为( )A ．B ．C ．D ． 【答案】B由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 又由目标函数，可化为，结合图形，可得直线经过点A 时，在轴上的截距最大，此时目标函数取得最小值， 又由，所以目标函数的最小值为，故选B.6．已知函数()sin f x x x =-，则不等式()()21330f x f x -++>的解集是（ ）A ．()()-,41,∞-+∞ B ．()()-,14,∞-+∞C ．()-1,4 D. ()-4,1 【答案】C 【解析】 由题意，函数，则，所以函数是定义域上的单调递增函数，又由，即函数定义域上的奇函数，又由不等式可转化为即，即，解得，即不等式的解集为，故选C.7．如图四边形ABCD 为平行四边形，11,22AE AB DF FC ==，若AF AC DE λμ=+，则 -λμ的值为（ ）A ．B ．23 C.12 D ．13【答案】A 【解析】 【分析】12选取为基底将向量进行分解，然后与条件对照后得到的值．【详解】 选取为基底，则，又，将以上两式比较系数可得．故选A8．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．73 B ．8-3π C ．83 D ．8+3π 【答案】B 【详解】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为.故选B.9.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（图1），图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为（ ） A ．49169 B ．30169 C ．49289 D ．60289【答案】C 【解析】 【详解】直角三角形的直角边长分别为5和12，则小正方形的边长为，最大正方形的边长为，小正方形面积49，大正方形面积289，由几何概型公式得：，故选C.10．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，11AB AD AA ===，而对角线上存在一点，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）A ．B ．C ．D 【答案】D 【解析】把对角面A 1C 绕A 1B 旋转至使其与△AA 1B 在同一平面上，连接AD 1，在中，，则的最小值为：，故选：D ．11.已知双曲线：22221(0,0)x y a b a b-=>> 的一条渐近线为，圆C:()228x a y -+=与交于A,B 两点，若ABC ∆是等腰直角三角形，且5OB OA =（其中O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A.B. D.12．已知1x 是函数()()1ln 2f x x x =+-+的零点，2x 是函数()2244g x x ax a =-++的零点，且满足121x x -≤，则实数的最小值是（ ）A ．1-B ．1-C ．2-D ． 2【答案】A【解析】分析：利用导数研究函数的单调性可证明函数存在唯一零点，即，可得在有零点，由可得结果.详解：， 当时，单调递减， 当时，单调递增，，即函数存在唯一零点，即，，即在有零点， ①若，即，此时的零点为，显然符合题意； ②（i ）若，即或， 若在只有一个零点，则；（ii ）若在只有两个零点，则，解得，即的最小值为，故选A.三、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上） 13.已知向量()()1,2,,1a b m ==-，若//a a b + ，则a b ⋅= __________．答案：14.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，最后输出的结果为________． 【答案】【解析】分析：模拟程序框图运行过程，总结规律，的取值周期为3，由于 ，可得当时满足条件，退出循环，输出的值为．详解：模拟程序的运行，可得 执行循环体，不满足条件 ，执行循环体， 不满足条件，执行循环体， 不满足条件，执行循环体，…观察规律可得的取值周期为3，由于，可得：不满足条件，执行循环体， 不满足条件，执行循环体，不满足条件，执行循环体，，满足条件，退出循环，输出的值为3．15.我们把有相同数字相邻的数叫“兄弟数”，现从由一个，一个，两个，两个这六个数字组成的所有不同的六位数中随机抽取一个，则抽到“兄弟数”的概率为________.【分析】：组成的不同六位数为662222180A A A =个，采用捆绑法和间接法可得组成的数为兄弟数的有54542221202496A A A ⨯-=-=个，所求概率为96818015P ==16. 在ABC ∆中，为BC 的中点，1AC AD CD ===，点与点在直线AC 的异侧，且PB BC =，则四边形ADCP 的面积的最大值为_______.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：共60分．17．已知数列{}n a 是等差数列，1n n a a +>， 11038160,37a a a a ⋅=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若从数列{}n a 中依次取出第项，第项，第项，，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{}n b ，求数列{}n b 的前项和n S 【答案】（1）；（2）【解析】 （1）等差数列中，，解得，.（2）由（1）知，，，…，.18.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，//,1,60,EF AC EF ABC =∠=CE 2ABCD CE CD ⊥==平面， ，G 是DE 的中点（3） 求证：//ACG BEF 平面平面（4） 求直线AD 与平面ABF 所成的角的正弦值.19. “一带一路”经济带的发展规划已经得到了越来越多相关国家的重视和参与.某市旅游局顺潮流、乘东风，闻讯而动，决定利用旅游资源优势，撸起袖子大干一场.为了了解游客的情况，以便制定相应的策略.在某月中随机抽取甲、乙两个景点各10天的游客数，画出茎叶图如下：若景点甲中的数据的中位数是125，景点乙中的数据的平均数是124.（1）求,x y的值；（2）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据.今从这段时期内任取天，记其中游客数超过120人的天数为ξ，求概率()2Pξ≤；（3）现从上图的共20天的数据中任取天的数据（甲、乙两景点中各取天），记其中游客数不低于115且不高于125人的天数为，求的分布列和期望.【答案】(1) 3，；（2）328625；（3）12.【解析】（1）由题意知3,4X y ==；（2）由题意知，因为景点甲的每一天的游客数超过120人的概率为63105=， 任取4天，即是进行了4次独立重复试验，其中有ξ次发生， 故随机变量ξ服从二项分布，则()0432201244433323232821555555625P C C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤=-++= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （3）从图中看出：景点甲的数据中符合条件的只有1天，景点乙的数据中符合条件的有4天，所以在景点甲中被选出的概率为110，在景点乙中被选出的概率为410. 由题意知：的所有可能的取值为0，1，2. 则()96270101050P η==⨯= ()16942111010101050P η==⨯+⨯= ()1422101050P η==⨯= 所得分布列为：()2721110125050252E η=⨯+⨯+⨯=.20. 对称轴为坐标轴的椭圆C 的焦点为12((1,2F F M 在C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）设不过原点O 的直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与椭圆C 交于P Q 、两点，且直线OP PQ OQ 、、的斜率依次成等比数列，则当OPQ ∆时，求直线PQ 的方程. 【答案】（1）（2）直线的方程为：或【解析】（1）设椭圆的方程为 ，由题意可得，又由，得，故，椭圆的方程为； （2）设，.由题意直线的方程为：，联立得，，化简，得①②，③直线，，的斜率依次成等比数列，，，化简，得，，又，，且由①知.原点到直线的距离.，解得（负舍）或（负舍）.直线的方程为：或.21.已知函数()ln 1()af x x x a a R x=+-+-∈ ． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若存在1x >，使1()xf x x x-+<成立，求整数的最小值．21.【解析】（1）由题意可知，定义域为，， (1)分 方程对应的，1˚当，即时，当时，，∴在上单调递减；·······2分2˚当，即时，①当时，方程的两根为，且，此时，在上，函数单调递增，在，上，函数单调递减；·····4分②当时，，，此时当，，单调递增，当时，，单调递减；综上：当时，，的单调增区间为，单调减区间为；当时，的单调增区间为，单调减区间为，；当时，的单调减区间为。
精品解析山东省青岛第二中学高三上学期期末考试数学试题解析版
由椭圆的定义可得 ，
因为 ，
所以 ，
在 中， ，
由余弦定理得 ，
即 ，
所以 ，
所以C的离心率 .
故选：A.
6.已知 ， ，在 的展开式中，若 项的系数为2，则 的最小值为（）
A. B.2C. D.
【6题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项公式得到 ，再利用基本不等式可求出结果.
所以 ，
，
故选：C.
2.已知 ，则 （）
A. B. C. D.
【2题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】先求出 ，再代入 中化简即可
【详解】因为 ，所以 ，
所以
，
故选：A
3.将4个不加区分的红球和2个不加区分的黄球随机排一行，则2个黄球不相邻的概率为（）
A. B. C. D.
【3题答案】
【答案】C
【解析】
【详解】由“共切”函数的定义可知，导函数中自变量存在两个值，它们的函数值相等，才可能是“共切”函数，因此导数不会为单调函数；
对于 ， ，即导函数在 上单调递减，且自变量与函数值是一一对应的关系，故 不会是“共切”函数；
对于 ， ，即导函数在 上单调递增，故 必不是“共切”函数；
对于 ， ，存在 与 ， ，两点处的切线斜率为 相等，
【详解】因为 ， ，所以 ，
对于A，因为 ，所以 与 不共线，所以 可以作为平面内所有向量的一组基底；故A正确；
对于B，若 ，则 ， 所以 ，所以 ，故B正确；
对于C，因为 ，所以不存在实数 ，使得 ，故C不正确；
对于D，若 ，则 ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD
青岛二中高三数学理科考前模拟训练试题
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作青岛二中高三数学理科考前模拟训练试题(时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数22 ()1i i-（其中i 为虚数单位）的虚部等于（ ） A ．i - B ．1- C ．1 D ．02．已知集合}30|{<<=x x M ，}045|{2≥+-=x x x N ，则MN =（ ）A ．{|01}x x <≤B ．{|13}x x ≤<C ．{|04}x x <≤D ．{|0x x <或4}x ≥ 3．下列命题中正确的是（ ）A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充分必要条件 C ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”D ．命题:p R x ∃∈，使得210x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，使得210x x +-≥4．某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于37，则输入的整数i 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．设m , n 是两条不同的直线，α , β 是两个不同的平面，下列命题为真的是（ ） A ．若m ⊥ α , n ⊥ β ，且α ⊥ β ，则m ⊥ n B ．若m / /α , n / /β ，且α / /β ，则m / /n C ．若m ⊥ α , n ⊂ β ，且m ⊥ n ，则α ⊥ β D ．若m ⊂ α , n ⊂ α ，且m / / β， n / /β ，则α / /β6．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程x y53ˆ-=，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③回归方程a bx y +=ˆ必过)(y x ，；④有一个2×2列联表中，由计算得2χ=7．079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中错误的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3本题可以参考独立性检验临界值表：P(2χ≥0k )0．05 0．010 0k3．8416．6357．网格纸上小正方形的边长为1，一个正三棱锥的左视图如图所示，则这个正三棱锥的体积为（ ）A ．3 B ．33 C ．92 D ．9328．现有4名选手参加演讲比赛活动，若每位选手可以从4个题目中任意选1个，则恰有1个题目没有被这4位选手选中的情况有（ ）A ．36种B ．72种C ．144种D ．288种9．若实数,x y 满足2205y x y x⎧-≥⎪⎨≤-⎪⎩，则y x 2+的最大值是（ ）A ．3B ．25C ．5D ．5510．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得21F PF ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．111,,1322⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭yx21082-264OAPBCED第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ=________．12．设),0(πα∈，若54)6cos(=+πα，则αsin 的值为 ．13．右图阴影部分是由曲线2y x =和圆222=+y x 及x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为_______________．14．若函数a x x x f -++=21)()0(>a 的最小值为5，则实数a =_______．15．已知函数(](]⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈-+=1,00,1311)(x x x x x f ，，，且m mx x f x g --=)()(在(]11，-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是_______________． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin()(>0,>0,)2f x A x A ωϕωϕπ=+<的部分图象如下图所示，（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）在A B C ∆中，角C B A ，，对的边分别为c b a ，，，若()f x 在[4,12]x ∈上的最大值为c 且︒=60C ，求ABC ∆的面积的最大值．17．（本小题满分12分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥ABCD P -中，AC AB ⊥，⊥PA 平面ABCD ，且AB PA =，点E 是PD 的中点． （Ⅰ）求证：//PB 平面AEC ；（Ⅱ）求二面角B AC E --的大小．18．（本小题满分12分）为落实国务院“十三五”规划中的社会民生建设，某医院到社区检查老年人的体质健康情况．从该社区全体老年人中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式如图：根据老年人体质健康标准，成绩不低于80的为优良．（Ⅰ）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该社区全体老年人中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的人数，求ξ的分布列及期望．19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，111,1,33,n n n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数，为偶数.（I ）求证：数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； （II ）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，求n S 2． 20．（本小题满分13分）已知函数x x f ln )(=．（Ⅰ）若方程x a x f =+)(有且只有一个实数解，求a 的值； （Ⅱ）若函数)25(21)()(2≥-+=m mx x x f x g 的极值点21x x ，)(21x x <恰好是函数bx cx x f x h --=2)()(的零点，求)2()(2121x x h x x y +'-=的最小值．21．（本小题满分14分）已知抛物线22(0)y px p =>上的任意一点P 到该抛物线焦点的距离比该点到y 轴的距离多1． （Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）如图所示，过定点Q （2，0）且互相垂直的两条直线1l 、2l 分别与该抛物线分别交于A 、C 、B 、D 四点．（ⅰ）求四边形ABCD 面积的最小值；（ⅱ）设线段AC 、BD 的中点分别为M 、N 两点，试问：直线MN 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．青岛二中高三数学理科考前模拟训练参考答案一、选择题：BADBA BBCCD 二、填空题：11.3±；12.10433-；13.614-π；14.4；15.]21,0(]2,49( --三、解答题：16．（Ⅰ）()2sin()84f x x ππ=+；（Ⅱ）结合图像可知1c =，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，2212a b ab ab ab ab =+--=≥， 1133sin 1,2224ABC ab C S ⨯⨯==△≤所以ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值为3417. 解：（Ⅰ）连接BD 交AC 于点F ,因为ABCD 是平行四边形，对角线互相平分，所以F 是BD 中点， 点E 是PD 中点，所以PB EF //, 又⊄PB 平面AEC ,所以//PB 平面AEC ；----7分 （Ⅱ）取AD 中点G ，连接EG ,⊥PA 平面ABCD ， PA EG //，⊥EG 平面ABCD ， AC EG ⊥∴，-----------9分 连接GF AB GF //∴，AC AB ⊥， AC GF ⊥∴，AC EF ⊥∴∴二面角D AC E --的平面角就是EFG ∠, 令2==AB PA ，在 EFG Rt ∆中 1=EG ，1=FG ，4π=∠∴EFG ，又二面角B AC E --的大小与二面角D AC E --的大小互补∴二面角B AC E --的大小为π4318. 故从该社区中任选1人，成绩是“优良”的概率为23， ………………2分设“在该社区老人中任选3人，至少有1人成绩是‘优良’的事件”为A ， 则0332126()1(1)132727P A C =-⨯-=-=； ………………5分 （Ⅱ）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3．3431241(0)22055C P C ξ====，12843124812(1)22055C C P C ξ====，218431211228(2)22055C C P C ξ====，383125614(3)22055C P C ξ====，……………9分 所以ξ的分布列为 ξ 01 2 3P155 1255 2855 145511228140123255555555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．.............12分 19. 解：（Ⅰ）设232n n b a =-， 因为2122122133(21)3223322n n n nn n a n a b b a a +++++--==--=2213(6)(21)3232n n a n n a -++--=2211132332n n a a -=-, 所以数列23{}2n a -是以232a -即16-为首项，以13为公比的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）得123111126323n n n n b a -⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2113232nn a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，由2211(21)3n n a a n -=+-，得1212111533(21)()6232n n n a a n n --=--=-⋅-+， 所以12121111[()()]692()692333n n nn n a a n n --+=-⋅+-+=-⋅-+，21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++++21112[()()]6(12)9333n n n =-+++-++++11[1()](1)332691213n n n n -+=-⋅-⋅+-2211()136()3(1)233n n n n n =--+=--+ 20.【解析】 (Ⅰ)由题意知：函数()ln()y f x a x a =+=+与y x =相切，设切点00(,),P x y1,y x a'=+011x a ∴=+又有00ln()x x a =+∴00,x = 所以1a = （Ⅱ）21'()x mx g x x -+=由题意知：210x mx -+=的两个根为1212,()x x x x <1212,1x x m x x ∴+==又因为12,x x 是函数2()()h x f x cx bx =--的零点 2111ln 0x cx bx ∴--=，2222ln 0x cx bx --=两式相减得：121212ln()x x b c x x x x =-+-1212()()2x x y x x h +'=-1212122()[()]x x c x x b x x =--+-+12121212ln2()[]x x x x x x x x =--+-1211222()ln x x x x x x -=-+1211222(1)ln 1x x x x x x -=-+， 令12,(01)x t t x =<<由1212,1x x m x x +==得212,t m t ++=又52m ≥，得1(0,]4t ∈， 设函数2(1)()ln 1t G t t t -=-+，22(1)'()0(1)t G t t t --=<+ 所以()G x 在1(0,]4t ∈上单调递减，所有min 16()()2ln 245G x G ==-+ 21. 【解析】（1）由已知12p=∴2p = （2）（i ）由题意可设直线1的方程为2x my =+（0m ≠），代入24y x =得2480y my --= 设1122(,),()A x y C x y 则121248y y m y y +=⎧⎨=-⎩，216(2)0m ∆=+>∴2222221212121212()()(1)()(1)[()4]AC x x y y m y y m y y y y =-++=+-=+--242(1)(1632)4(1)(2)432m m m m m m 222=++=++=++ 6分同理可得421342BD m m =++ 7分 S 四边形ABCD 4242113=8(32)(2)2AC BD m m m m=++++ 422224222111182()9()1482()9()10m m m m m m m m =++++=++++ 8分 设221t m m=+则2t ≥∴S 四边形ABCD 282910t t =++ ∵函数22910y t t =++在[)2,+∞上是增函数∴S 四边形ABCD 83648≥=，当且仅当即2t =即1m =±时取等号 ∴四边形ABCD 面积的最小值是48. 9分 （ii ）由①得124,y y m +=∴12+y 22M y y m ==∴2222M M x my m =+=+ ∴2(22,2)M m m +， 11分同理得222(2,)N m m+- 12分 ∴直线的方程可表示为222(2)(2)y m m m --22(2)(22)m x m m=---- 即22(2)(1)(22)y m m m x m --=--- 当0y =时得4x =∴直线MN 过定点（4,0）. 14分注：第（2）中的第（i ）问： S 四边形ABCD 2222111=8(1)(2)(1(+2)2AC BD m m m m =+++） 2222222211128(1)(1(2(+2)=8(2)(5+2)m m m m m m m m ⎡⎤⎡⎤=++++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦）） 8(22)(522)48≥++⨯=（当且仅当1m =±时取等号）也可.。
《精编》山东省青岛市高三数学11月月考 理 新人教A版.doc
山东省青岛二中2021-2021学年高三11月月考理科数学试题一．选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．sin(1920)-的值为〔 〕A．2-B ．12-C．2D ．12解析：sin(1920)sin(2406360)sin(18060)-=-⨯=+，即原式sin60=-，应选A ．答案：A2．命题“x ∀∈R ，20x >〞的否认是〔 〕A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．x ∃∈R ，20x >C ．x ∃∈R ，20x <D ．x ∃∈R ，20x ≤解析：全称命题的否认是特称命题，易知应选D ．答案：D3．集合{P =正奇数}和集合{|M x x ==,,}a b a P b P ⊕∈∈，假设M P ⊆，那么M 中的运算“⊕〞是〔 〕 A ．加法 B ．除法C ．乘法D ．减法解析：由集合M 是集合P 的子集，设*21,21(,)a m b n m n =-=-∈N ，∵(21)(21)a b m n ⋅=--42()12[2()1]1mn m n mn m n P =-++=-++-∈，∴M P ⊆，而其它运算均不使结果属于集合P ，应选C ． 答案：C4．某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如以以下列图所示，那么这个几何体的体积是〔 〕A. 8πB. 7πC. 2π`D.74π解析：依题意该几何体为一空心圆柱，故其体积2237[2()]124V ππ=-⨯=，选D ．答案：D5．A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线20x y -=和0x ay +=上，且AB 线段的中点为俯视图正 视 图 侧视图P 10(0,)a，那么线段AB 的长为〔 〕 A ．8B ．9C ．10D ．11解析：由两直线互相垂直得2a =，∴线段AB 中点为P (0,5)，且AB 为直角三角形AOB 的斜边，由直角三角形的性质得||2||10AB PO ==，选C ．答案：C6．各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为那么7112a a +的最小值为〔 〕A ．16B ．8C ．D ．4解析：由24148a a ==，再由等比数列的性质有4147118a a a a ==，又70a >，110a >，71128a a +≥=，应选B ．7．设函数2,0(),01x x bx c f x x ≥⎧++=⎨<⎩，假设(4)(0)f f =，(2)2f =，那么函数()()g x f x x =-的零点的个数是〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．3解析：即164422b c c b c ++=⎧⎨++=⎩，∴46b c =-⎧⎨=⎩，假设0x ≥，那么246x x x -+=，∴2x =，或3x =；假设0x <，那么1x =舍去，应选C ．答案：C8．给出以下的四个式子：①1a b -，②1a b +，③1b a +，④1ba-；其中至少有两个式子的值与tan θ的值相等，那么〔 〕 A ．cos 2,sin 2a b θθ== B ．sin 2,cos 2a b θθ== C ．sin,cos22a b θθ==D ．cos,sin22a b θθ==解析：sin sin 21cos2tan ,cos2,sin 2cos 1cos2sin 2a b θθθθθθθθθ-===∴==+时，式子①③与tan θ的值相等，应选A ．答案：A 9．设集合(){}(){},|||||1,,()()0A x y x y B x y y x y x =+≤=-+≤，M AB =，假设动点(,)P x y M ∈，那么22(1)x y +-的取值范围是〔 〕A ．15[,]22B ．5[,]22C ．1[,]22D ．[]22解析：在同一直角坐标系中画出集合A 、B 所在区域，取交集后如图，故M 所表示的图象如图中阴影局部所示，而22(1)d x y =+-表示的是M 中的点到(0,1)的距离，从而易知所求范围是15[,]22，选A ．10．O 为平面上的一个定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三个动点，点P 满足条件2OB OC OP +=(),(0,)||cos ||cos AB ACAB B AC Cλλ++∈+∞，那么动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的〔 〕A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心解析：设线段BC 的中点为D ，那么2OB OCOD +=，∴2OB OC OP +=()||cos ||cos AB ACAB B AC Cλ++()||cos ||cos AB ACOD AB B AC Cλ=++，∴()||cos ||cos AB ACOP OD DP AB B AC Cλ-=+=，∴()()||cos ||cos ||cos ||cos AB AC AB BC AC BCDP BC BC AB B AC C AB B AC Cλλ⋅⋅⋅=+⋅=+||||cos()||||cos ()(||||)0||cos ||cos AB BC B AC BC CBC BC AB B AC Cπλλ-=+=-+=，∴DP BC ⊥，即点P 一定在线段BC 的垂直平分线上，即动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的外心，选C ． 答案：C二．填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分，把答案直接填在题中横线上． 11．1220x e dx =⎰______________．解析：1122220011|(1)22xx e dx e e ==-⎰．答案：1(1)2e - 12．定义运算a c ad bcb d =-，复数z 满足11z ii i=+，那么复数z 的模为_______________．解析：由11z i i i=+得1212izi i i z i i +-=+⇒==-，∴z ==．13．方程22220x y kx y k ++++=所表示的圆有最大的面积，那么直线(1)2y k x =-+的倾斜角α=_______________．解析：1r =≤，当有最大半径时有最大面积，此时0k =，1r =，∴直线方程为2y x =-+，设倾斜角为α，那么由tan 1α=-且[0,)απ∈得34πα=．答案：34π14．函数2()m f x x -=是定义在区间2[3,]m m m ---上的奇函数，那么()f m =_______． 解析：由必有23m m m -=+，即2230m m --=，∴3m =，或1m =-；当3m =时，函数即1()f x x -=，而[6,6]x ∈-，∴()f x 在0x =处无意义，故舍去； 当1m =-时，函数即3()f x x =，此时[2,2]x ∈-，∴3()(1)(1)1f m f =-=-=-．答案：1-15．在工程技术中，常用到双曲正弦函数2x xe e shx --=和双曲余弦函数2x x e e chx -+=，双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多相类似的性质，请类比正、余弦函数的和角或差角公式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个正确的类似公式 ．解析：由右边2222x x y y x x y ye e e e e e e e ----++--=⋅-⋅1()4x yx y x y x y x y x y x y x y e e e e e e e e +--+--+--+--=+++-++-()()1(22)()42x y x y x y x y e e e e ch x y ------+=+==-=左边，故知．答案：填入()c c c s s h x y hx hy hx hy -=-，()c c c s s h x y hx hy hx hy +=+，()c s sh x y shx hy chx hy -=-，()c s sh x y shx hy chx hy +=+四个之一即可．三．解答题：本大题共6小题，共75分，请给出各题详细的解答过程．16．〔本小题总分值12分〕数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*41()n n S a n =+∈N ．〔1〕求1a ，2a ；〔2〕设3log ||n n b a =，求数列{}n b 的通项公式． 解答：〔1〕由1141S a =+，即1141a a =+，∴=1a 13，……………………2分 又2241S a =+，即1224()1a a a +=+，∴219a =-； ……………………5分 〔2〕当1n >时，1111(1)(1)44n n n n n a S S a a --=-=+-+，即13n n a a -=-，易证数列各项不为零〔注：可不证〕，故有113n n a a -=-对2n ≥恒成立，∴{}n a 是首项为13，公比为13-的等比数列，∴1111()(1)333n n n n a ---=-=-， ……………………10分∴33log ||log 3n n n b a n -===-． ……………………12分17．〔本小题总分值12分〕 1:(),3xp f x -=且|()|2f a <； q ：集合2{|(2)10,}A x x a x x =+++=∈R ，且A ≠∅．假设p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围. 解答：假设1|()|||23af a -=<成立，那么616a -<-<， 即当57a -<<时p 是真命题； ……………………4分 假设A ≠∅，那么方程2(2)10x a x +++=有实数根，由2(2)40a ∆=+-≥，解得4a ≤-，或0a ≥，即当4a ≤-，或0a ≥时q 是真命题； ……………………8分 由于p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p 与q 一真一假，故知所求a 的取值范围是(,5](4,0)[7,)-∞--+∞． ……………………12分〔注：结果中在端点处错一处扣1分，错两处扣2分，最多扣2分〕 18．〔本小题总分值12分〕ABC ∆的两边长分别为25AB =，39AC =，且O 为ABC ∆外接圆的圆心．〔注：39313=⨯，65513=⨯〕〔1〕假设外接圆O 的半径为652，且角B 为钝角，求BC 边的长； 〔2〕求AO BC ⋅的值．解答：〔1〕由正弦定理有2sin sin AB ACR C B==， ∴253965sin sin C B ==，∴3sin 5B =，5sin 13C =， ……………………3分 且B 为钝角，∴12cos 13C =，4cos 5B =-，∴3125416sin()sin cos sin cos ()51313565B C B C C B +=+=⨯+⨯-=，又2sin BCR A=，∴2sin 65sin()16BC R A B C ==+=； ……………………6分 〔2〕由AO OC AC +=，∴22()AO OC AC +=，即2222||2||||39AO AO OC OC AC +⋅+== ……………………8分 同理AO OB AB +=，∴2222||2||||25AO AO OB OB AB +⋅+==， …………10分两式相减得22(3925)(3925)896AO OC AO OB ⋅-⋅=-+=，即2896AO BC ⋅=，∴448AO BC ⋅=． ……………………12分19．〔本小题总分值12分〕在如以下列图的多面体ABCDE 中，AB⊥平面ACD ，DE⊥平面ACD ，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G 为AD 中点．〔1〕请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD ，并证明这一事实； 〔2〕求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的大小； 〔3〕求点G 到平面BCE 的距离．解法一：以D 点为原点建立如以下列图的空间直角坐标系，使得x 轴和z 轴的正半轴分别经过点A 和点E ，那么各点的坐标为(0,0,0)D ，(2,0,0)A ， (0,0,2)E ，(2,0,1)B，(1,0)C ，〔1〕点F 应是线段CE 的中点，下面证明：设F 是线段CE 的中点，那么点F的坐标为1(2F，∴3(,0)2BF =-，显然BF 与平面xOy 平行，此即证得BF∥平面ACD ； ……………………4分 〔2〕设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z =，那么n CB ⊥，且n CE ⊥，由(1,CB =，(1,CE =-，∴020x z x z ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩，不妨设y =12x z =⎧⎨=⎩，即(1,3,2)n =，∴所求角θ满足(0,0,1)2cos 2||n n θ⋅==，∴4πθ=； ……………………8分〔3〕由G 点坐标为〔1，0，0〕，∴(1,0,1)BG =--，由〔2〕平面BCE 的法向量为(1,3,2)n =， ∴所求距离3||24||BG n d n ⋅==……………………12分解法二：〔1〕由AB⊥平面ACD ，DE⊥平面ACD ，∴AB//ED ， 设F 为线段CE 的中点，H 是线段CD 的中点，连接FH ，那么//FH =12ED ，∴//FH =AB ， …………………2分∴四边形ABFH 是平行四边形，∴//BF AH ， 由BF ⊄平面ACD 内，AH ⊂平面ACD ，//BF ∴平面ACD ； ……………4分〔2〕由条件可知ACD ∆即为BCE ∆在平面ACD 上的射影，设所求的二面角的大小为θ，那么cos ACDBCES Sθ∆∆=， ……………………6分易求得BC=BE =CE=∴1||2BCES CE ∆==而2||4ACD S AC ∆==，∴cos 2ACD BCE S S θ∆∆==，而02πθ<<， ∴4πθ=；………………8分〔3〕连结BG 、CG 、EG ，得三棱锥C —BGE ， 由ED ⊥平面ACD ，∴平面ABED ⊥平面ACD ， 又CG AD ⊥，∴CG ⊥平面ABED ，设G 点到平面BCE 的距离为h ，那么C BGE G BCE V V --=即1133BGE BCE S GC S h ∆∆⨯=⨯，由32BGE S ∆=，6BCE S ∆=，3CG =，∴3332246BGE BCE S GC h S ∆∆⨯===即为点G 到平面BCE 的距离．………………12分 20．〔本小题总分值13分〕椭圆22221y x a b +=(0)a b >>的一个顶点为B (0,4)，离心率e =55，直线l 交椭圆于M 、N 两点．〔1〕假设直线l 的方程为4y x =-，求弦MN 的长；〔2〕如果ΔBMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式．解答：〔1〕由4b =，且55c a =，即2215c a=，∴22215a b a -=，解得220a =，∴椭圆方程为2212016y x +=； ……………………3分 由224580x y +=与4y x =-联立，消去y 得29400x x -=，∴10x =，2409x =， ∴所求弦长221402||11||9MN x x =+-=； ……………………6分 〔2〕椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)， 设线段MN 的中点为Q 00(,)x y ，由三角形重心的性质知2BF FQ =，又(0,4)B ， ∴00(2.4)2(2,)x y -=-，故得003,2x y ==-，求得Q 的坐标为(3,2)-； ……………………9分 设1122(,),(,)M x y N x y ，那么12126,4x x y y +=+=-，且222211221,120162016x y x y +=+=， ……………………11分 以上两式相减得12121212()()()()02016x x x x y y y y +-+-+=，1212121244665545MN y y x x k x x y y -+==-=-=-+-∴，故直线MN 的方程为62(3)5y x +=-，即65280x y --=． ……………………13分 〔注：直线方程没用一般式给出但结果正确的扣1分〕 21．〔本小题总分值14分〕函数[)1()ln 1,sin g x x x θ=++∞⋅在上为增函数，且(0,)θπ∈，12()ln m ef x mx x x-+=--，m ∈R ． 〔1〕求θ的值；〔2〕当0m =时，求函数()f x 的单调区间和极值； 〔3〕假设在[1,]e 上至少存在一个0x ，使得00()()f x g x >成立，求m 的取值范围． 解答：〔1〕由/211()0sin g x xx θ=-+≥⋅在[1,)+∞上恒成立， 即2sin 10sin x xθθ⋅-≥⋅，∵(0,)θπ∈，∴sin 0θ>， 故sin 10x θ⋅-≥在[1,)+∞上恒成立，只需sin 110θ⋅-≥， 即sin 1θ≥，∴只有sin 1θ=，由(0,)θπ∈知2πθ=； ……………………4分〔2〕∵0m =，∴12()ln ef x x x-+=--，(0,)x ∈+∞， ∴/2221121()e e x f x x x x ---=-=， 令/()0f x =，那么21x e =-(0,)∈+∞，∴x ，/()f x 和()f x 的变化情况如下表：即函数的单调递增区间是(0,21)e -，递减区间为(21,)e -+∞，有极大值(21)1ln(21)f e e -=---； ……………………9分〔3〕令2()()()2ln m eF x f x g x mx x x +=-=--， 当0m ≤时，由[1,]x e ∈有0m mx x -≤，且22ln 0e x x--<，∴此时不存在0[1,]x e ∈使得00()()f x g x >成立；当0m >时，2/222222()m e mx x m e F x m x x x+-++=+-=， ∵[1,]x e ∈，∴220e x -≥，又20mx m +>，∴/()0F x >在[1,]e 上恒成立， 故()F x 在[1,]e 上单调递增，∴max ()()4mF x F e me e==--， 令40m me e -->，那么241e m e >-， 故所求m 的取值范围为24(,)1ee +∞-． ……………………14分。
山东省青岛市第二高级中学高三数学理模拟试题含解析
山东省青岛市第二高级中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，将正三角形ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成n个边长为1的小正三角形．若m：n=47：25，则三角形ABC的边长是（）A．10 B．11 C．12 D．13参考答案：C【考点】三角形中的几何计算．【分析】设正△ABC的边长为x，根据等边三角形的高为边长的倍，求出正△ABC的面积，再根据菱形的性质结合图形表示出菱形的两对角线，然后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半表示出菱形的面积，然后根据所分成的小正三角形的个数的比等于面积的比列式计算即可得解．【解答】解：设正△ABC的边长为x，则高为x，S△ABC=x?x=x2，∵所分成的都是正三角形，∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为x﹣，较短的对角线为（x﹣）×=﹣1；∴黑色菱形的面积S′=（x﹣）（﹣1）=（x﹣2）2，若m：n=47：25，则=，解可得x=12或x=（舍），所以，△ABC的边长是12；故选：C．【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握有一个角等于60°的菱形的两条对角线的关系是解题的关键，本题难点在于根据三角形的面积与菱形的面积列出方程．2. 关于直线及平面，下列命题中正确的是（）A．若，，则B．若，，则C.若，，则D．若，，则参考答案：A对于A，若，，根据线面垂直、线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到，故A正确；对于B，若，，则l与m平行、相交或者异面，故B错误；对于C，若，，则m与α可能平行，C错误；对于D，若，，则l与m可能平行、相交或者异面，故D错误。
3. 设，实数满足，若恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C由题意得可行域所围成的三角形必在两平行直线之间，由图可知，实数的取值范围是.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.4. 设双曲线的两条渐近线与直线围成的三角形区域(包含边界)为D,P(x,y)为D内的一个动点,则目标函数的最小值为( )A. -2B.C.0D.参考答案：B略5. 已知函数，()，若对，，使得，则实数,的取值范围是（）（A）,（B）,（C）,（D）,参考答案：D略6. 若复数（其中为虚数单位），则（）A．B． C． D．参考答案：B7. 已知函数，则该函数是( )Ａ.偶函数，且单调递增Ｂ.偶函数，且单调递减Ｃ.奇函数，且单调递增Ｄ.奇函数，且单调递减参考答案：C 略8. 某生产厂商更新设备，已知在未来年内，此设备所花费的各种费用总和（万元）与满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限为（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：B.试题分析：平均话费为，当且仅当，时，等号成立，故选B.考点：基本不等式求最值.9. 下列函数中，既是偶函数又在区间（0,1）上为增函数的是（）A． B． C．D．参考答案：A考点：函数的单调性与奇偶性.10. 如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120?，BC＝AC＝3，点D在线段AB上.⑴若，求BD的长;⑵若点E在线段DA上，且∠DCE＝30?，问:当∠DCB取何值时，△CDE的面积最小?并求出面积的最小值.参考答案：⑴在△CDB 中，∠CBD ＝30?，BC ＝3，，由余弦定理，得，……………………2分即，解得，.……………………5分⑵设∠DCB ＝，，在△CDB 中，由正弦定理，得，即，同理，……………………8分所以，…………………………12分∵，∴.∴当时，的最小值为.…………14分略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为，，则的取值范围是。
山东省青岛市第二实验中学高三数学理联考试卷含解析
山东省青岛市第二实验中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设a∈R ，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2 ：x+(a+1)y+4=0平行的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件参考答案：A当，解得或.所以，当a＝1是，两直线平行成立，因此是充分条件；当两直线平行时，或，不是必要条件，故选A.2. 函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】根据函数的定义域，特殊点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可．【解答】解：由lnx≠0得，x＞0且x≠1，当0＜x＜1时，lnx＜0，此时y＜0，排除B，C，函数的导数f′（x）=，由f′（x）＞0得lnx＞1，即x＞e此时函数单调递增，由f′（x）＜0得lnx＜1且x≠1，即0＜x＜1或1＜x＜e，此时函数单调递减，故选：D．3. 下列五个命题中正确命题的个数是( )（1）对于命题，则，均有；（2）是直线与直线互相垂直的充要条件；(3)已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为＝1.23x＋0.08(4)．若实数，则满足的概率为.(5)曲线与所围成图形的面积是A.2B.3C.4D.5参考答案：A略4. 在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则（）A．B．C．D．参考答案：D根据题意，由椭圆的方程可得a=5，b=3；则其焦点坐标为(?4,0)和(4,0)，恰好是A. C两点，则AC=2c=8，BC+BA=2a=10；由正弦定理可得：；本题选择D选项.5. 已知平面区域，直线和曲线有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为，若，则的取值范围为A． B． C．D．参考答案：D已知直线过半圆上一点（－2,０），当ｍ＝０时直线与ｘ轴重合，这时，故可排除A,B,若ｍ＝１，如图可求得当，故选D.高考资源网w。