第二讲因式分解(二)

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全国初中数学竞赛辅导(初2)第02讲_因式分解(2)

第二讲因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x 的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9．。

第二讲因式分解

因式分解第一部分知识要点1、因式分解的概念定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。

即：多项式→几个整式的积。

例：111()333ax bx x a b +=+ 因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。

2.因式分解的方法：（1）提公因式法：①定义：如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。

公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。

找公因式的步骤：⎧⎪⎨⎪⎩系数——取各项系数的最大公约数字母——取各项都含有的字母指数——取相同字母的最低次幂例：333234221286a b c a b c a b c -+的公因式是．解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部分33323422,,a b c a b c a b c 都含有因式32a b c ，故多项式的公因式是232a b c .②提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。

多项式中第一项有负号的，要先提取符号。

例1：把2233121824a b ab a b --分解因式. 例2：把多项式3(4)(4)x x x -+-分解因式例3：把下列多项式进行分解因式: 24ax ax a +- 2233ab a b - 32226x x x +-27714x x ++ 221224a b ab -+ 2233xy x y x y --（2）运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

2222233223322.()().2().()().()()a a b a b a b b ab b a b c a b a b a ab b d a b a b a ab b -=+-±+=±+=+-+-=-++逆用平方差公式：逆用完全平方公式：a 逆用立方和公式：（拓展）逆用立方差公式：（拓展）注意：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+ 2222()a ab b a b -+=- ①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定.一些需要了解的公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b ab b -=-+-例1：因式分解:21449a a -+ 22516x -； 22194a b -； 229()()m n m n +--； 328x x -；（3）分组分解法【属于技巧类】（拓展）,针对于四项式或以上的多项式,把原多项式分成两组或以上,每组进行因式分解,最后整合。

初三升高一寒暑假培训班数学教材

目录前言第一讲数与式的运算（两课时）第二讲因式分解（两课时）第三讲一元二次方程根与系数的关系（一课时）第四讲不等式（两课时）第五讲二次函数的最值问题（一课时）第六讲简单的二元二次方程组（一课时）第七讲分式方程和无理方程的解法（一课时）第八讲直线、平面与常见立体图形（一课时）第九讲直线与圆，圆与圆的位置关系（一课时）初高中数学衔接教材初高中衔接从观念开始——致高一新同学一、初、高中的比较和初中数学相比，高中数学的内容多，抽象性、理论性强，高中很注重自学能力的培养的，高中不会像初中那样老师一天到晚盯着你，在高中一定要注重自学能力的培养，谁的自学能力强，那么在一定的程度上影响着你的成绩以及你将来你发展的前途。

不过，要学好数学也不是很困难的，只要你跟着我的思路走，你的数学一定会很好的。

二、学好高中数学的方法现在我们来看看该如何才能学好高中数学呢第一：要改变一个观念。

1、有人会说自己的基础不好。

那我问一下什么是基础今天所学的知识就是明天的基础，明天学习的知识就是后天的基础，所以要学好每一天的内容，那么你打的基础就是最扎实的了。

所以现在你们是在同一个起跑线上的，无所谓基础好不好。

2、还有同学会说学数学除了高考没啥用。

其实，大千世界均蕴含数学的理性思想；并且就单纯数学知识来说，它本身的应用性就很广泛，不仅在科学方面，就在我们的生活中也处处要用到数学知识。

3、改变在初中学习数学的习惯。

在初中，许多同学在课堂上基本可以消化（或者是可以完全消化）老师所讲述的内容。

这样就能够考出好的成绩，也就能够体会到成功的喜悦。

现在，在高中也许你会发觉：课上不能完全听懂老师所讲，课后会有一些作业很难完成。

这样会让同学们有了挫败感。

这是与高中数学的特性有很大的关系。

因此，同学们要改变自己的学习观念：一、要充分做好课前的预习，对书本的基本内容进行了解与分析：什么内容自己能够学会还有什么是要期待课堂解决这样对第二天要学的内容心里有底，在上课的时候才能做到有的放矢，使得课堂的效率达到最大；二、要加强自己的自主学习以及合作学习的习惯，不能万事都依靠老师，要多和同学们进行讨论交流，增强自己合作交流的能力。

初一数学提优讲义--第二讲因式分解——拆项与添项

第二讲：因式分解——拆项与添项法一．基础梳理考点一：因式分解的有关概念1．把一个多项式________________________,叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.2．因式分解和整式乘法的过程__________.3.一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式.4．如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式.这种分解因式的方法叫做提取公因式法.5.提取的公因式应是各项系数的最大公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积.6.逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法.平方差公式：a²+b²=（a+b）（a-b）(2) 完全平方公式：a²±2ab+b²=（a±b）².7.利用平方差公式分解因式的条件：（1）多项式是两项式（或可以看成两项式）；（2）每一项（除符号外）都是平方的形式；（3）两项系数异号.8.利用完全平方公式分解因式的条件：（1）多项式是二次三项式；（2）其中的两项是两个整式的平方和；（3）另外还有一项是这两个整式乘积的2倍.9.因式分解的注意事项：（1）先提公因式，首项为负时提取负号；（2）分解到不能再分解为止；（3）每个因式化成最简；10.分组分解法：利用分组来分解因式的方法.二．复习巩固类型一：简便运算（1）517.8×143.2+5178×（-4.32）（2）类型二：利用因式分解求值（1）若a+b=6，a³+b³=72，求a²+b²的值.（2）已知x≠y，且x³-x=7，y³-y=7，求x²+xy+y²的值.类型三：分组分解法分解因式（1）x³-xyz+x²y-x²z （2）4a²-4-4ab+b²（3）4x³-8x²y-xy²+2y³（4）a³+b³+（a+b）³（5）x²-4xy+4y²-6x+12y+9(6)三、拓展提高——拆项与添项法1．把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项.2. 在代数式中添加两个相反项，叫做添项.3. 因式分解与整式乘法是互逆变形，拆项添项与合并同类项为互逆变形. 例1.分解因式：x +x³-3x²-4x-4例2.分解因式：x²-2(a+b)x-ab(a-2)(b+2)例3.分解因式：2x -15x³+38x²-39x+14例4.分解因式：x +x+1练习：分解因式（1）x +x³+4x²+3x+3 (2) x +x+1 (3) 6x +7x³-36x²-7x+6三．收获总结·。

初高中数学衔接精讲精练(第二讲因式分解)

2 2 2 2
答案： (－y+2)(y+6)
3、 15x ＋7xy－4y 答案： (3x－y)(5x＋4y) 4、 10(x ＋2) －29(x＋2) ＋10
答案：(2x－1)(5x＋8)
5、 x －(a＋1) x＋a 答案： (x－1)(xab b )
3 3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
3 2 2
两个数的立方和 ( 差 ) ，等于这两个数的和 (差 )乘以它们的平方和与它们积的差(和)．
【例1】因式分解：
(1) 8 x 3 (2) 0.125 27b 3 解 : (1) 8 x 3 23 x 3 ( 2 x )( 4 2 x x 2 ).
解 : (1)12 x 5 x 2 (3 x 2)( 4 x 1).
2
(2)5x 2 6 xy 8 y 2
3 4 1 5

2 1 2 4
( 2)5 x 2 6 xy 8 y 2 ( x 2 y )(5 x 4 y ).
十字相乘法
作业：将下列各式分解因式 2 答案： (7x－6)(x－1) 1、 7x －13x＋6 2、－y －4y＋12
三个数和的平方公式：
a b c 2ab 2bc 2ac (a b c)
2 2 2
2
立方和、立方差公式
a b (a b)(a ab b )
3 3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
3 2 2
一、公式法(立方和、立方差公式)
一、公式法(立方和、立方差公式)
维度A
平方差公式：a
2

高一数学单元知识点专题讲解2---因式分解

高一数学单元知识点专题讲解第二讲因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．一、公式法(立方和立方和、、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233()()a b a ab b a b +−+=+ (立方和公式) 2233()()a b a ab b a b −++=− (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：3322()()a b a b a ab b +=+−+ 3322()()a b a b a ab b −=−++这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1) 38x +(2) 30.12527b −分析分析：： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==．解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+−+ (2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b −=−=−+×+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =−++说明说明：：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．【例2】分解因式：(1) 34381a b b −(2) 76a ab −分析分析：：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66a b −，可看着是3232()()a b −或2323()()a b −．解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b −=−=−++．(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b −=−=+−22222222()()()()()()()()a ab a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+−+−++=+−++−+二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．1．分组后能提取公因式【例3】把2105ax ay by bx −+−分解因式．分析分析：：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x 的降幂排列，然后从两组分别提出公因式2a 与b −，这时另一个因式正好都是5x y −，这样可以继续提取公因式．解：21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b −+−=−−−=−−说明说明：：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．【例4】把2222()()ab c d a b cd −−−分解因式．分析分析：：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．解：22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd −−−=−−+ 2222()()abc a cd b cd abd =−+−()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =−+−=−+说明说明：：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．2．分组后能直接运用公式【例5】把22x y ax ay −++分解因式．分析分析：：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x y +；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a 后，另一个因式也是x y +.解：22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a −++=+−++=+−+ 【例6】把2222428x xy y z ++−分解因式．分析分析：：先将系数2提出后，得到22224x xy y z ++−，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．解：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++−=++−222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+−=+++−说明说明：：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．三、十字相乘法1．2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．【例7】把下列各式因式分解：(1) 276x x −+(2) 21336x x ++解：(1) 6(1)(6),(1)(6)7=−×−−+−=−Q 276[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x ∴−+=+−+−=−−． (2) 3649,4913=×+=Q2 1336(4)(9)x x x x ∴++=++说明说明：：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．【例8】把下列各式因式分解：(1) 2524x x +−(2) 2215x x −−解：(1) 24(3)8,(3)85−=−×−+=Q 2 524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x ∴+−=+−+=−+ (2) 15(5)3,(5)32−=−×−+=−Q2215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x ∴−−=+−+=−+说明说明：：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．练：2(1)65x x ++ 2(2)421x x −− （3）21130x x −+ （4）212x x −−【例9】把下列各式因式分解：(1) 226x xy y +−(2) 222()8()12x x x x +−++分析分析：：(1) 把226x xy y +−看成x 的二次三项式，这时常数项是26y −，一次项系数是y ，把26y −分解成3y 与2y −的积，而3(2)y y y +−=，正好是一次项系数．(2) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a −+．解：(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +−=+−=+− (2) 22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +−++=+−+−(3)(2)(2)(1)x x x x =+−+−练：（1）42718x x −− （2）6312a a −−2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ×，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．【例10】把下列各式因式分解：(1) 21252x x −−(2) 22568x xy y +−解：(1) 21252(32)(41)x x x x −−=−+3241−×(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +−=+−1 254y y −×说明说明：：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．练：（1）21252x x −− （2）2451x x −+− （3）23103x x −+ （4）2318x x −−+ 【例11】因式分解：(1) 222(2)7(2)8x x x x +−+− (2)a ax x x 51522−−−+分析分析：：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有时可能会多次使用十字相乘法，并且对于项数较多的多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项可以三、二组合.解：(1)原式)82)(12(22−+++=x x x x )4)(2()1(2+−+=x x x .(2)原式)5()152(2a ax x x +−−+=)5()5)(3(+−+−=x a x x )3)(5(a x x −−+=.练：（1）4224127m m n n −+ （2） 222x ax a ++−四、其它因式分解的方法1．配方法【例12】分解因式2616x x +−解：222222616233316(3)5x x x x x +−=+××+−−=+−(35)(35)(8)(2)x x x x =+++−=+−说明说明：：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．2．拆、添项法【例13】分解因式3234x x −+分析分析：：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．解： 323234(1)(33)x x x x −+=+−− 22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+−+−+−=+−+−−22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+−+=+−说明说明：：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将23x −拆成224x y −，将多项式分成两组32()x x +和244x −+．一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解； (4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．A 组1．把下列各式分解因式： (1) 327a + (2) 38m − (3) 3278x −+(4) 3311864p q −−(5) 3318125x y −(6)3331121627x y c + 2．把下列各式分解因式： (1) 34xy x +(2) 33n n x x y +−(3) 2323()a m n a b +−(4) 2232(2)y x x y −+3．把下列各式分解因式： (1) 232x x −+ (2) 23736x x ++(3)21126x x +−(4) 2627x x −−(5) 2245m mn n −−(6) 2()11()28a b a b −+−+4．把下列各式分解因式：(1) 5431016ax ax ax −+ (2) 2126n n n aa b a b +++− (3) 22(2)9x x −−(4) 42718x x −−(5) 2673x x −−(6) 2282615x xy y +−(7) 27()5()2a b a b +−+−(8) 22(67)25x x −−5．把下列各式分解因式： (1) 233ax ay xy y −+−(2) 328421x x x +−− (3) 251526x x xy y −+−(4) 224202536a ab b −+− (5) 22414xy x y +−− (6) 432224a b a b a b ab +−− (7) 66321x y x −−+(8) 2(1)()x x y xy x +−+B 组1．把下列各式分解因式：(1) 2222()()ab c d cd a b −+−(2) 22484x mx mn n −+−(3) 464x + (4) 32113121x x x −+−(5) 3223428x xy x y y −−+2．已知2,23a b ab +==，求代数式22222a b a b ab ++的值． 3．证明：当n 为大于2的整数时，5354n n n −+能被120整除． 4．已知0a b c ++=，求证：32230a a c b c abc b ++−+=．第二讲因式分解答案A 组1．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +−+−++−++222222211211(2)(42),(2)(4),(2)(24)645525216p q p pq q xy x y xy xy c x y xyc c −+−+−+++−+2．2222()(),()(),n x x y y xy x x x y x xy y +−+−++22222432()[()()],(1)(4321)a m n b m n b m n b y x x x x x +−++++−−+++3．(2)(1),(36)(1),(13)(2),(9)(3)x x x x x x x x −−+++−−+(9)(3),(5)(),(4)(7)x x m n m n a b a b −+−+−+−+4．322(2)(8),(3)(2),(3)(1)(23),(3)(3)(2)n ax x x a a b a b x x x x x x x −−+−−+−+−++2(23)(31),(2)(415),(772)(1),(21)(35)(675)x x x y x y a b a b x x x x −+−++++−+−−+5．2()(3),(21)(21),(3)(52),(256)(256)x y a y x x x x y a b a b −++−−+−−−+23333(12)(12),()(),(1)(1),()(1)x y x y ab a b a b x y x y x x y x y −++−+−−−−+−++．B 组1．22()(),(42)(2),(48)(48),bc ad ac bd x m n x n x x x x +−−+−−+++ 2(1)(3)(7),(2)(2)x x x x y x y −−−−+． 2．2833．5354(2)(1)(1)(2)n n n n n n n n −+=−−++ 4．322322()()a a c b c abc b a ab b a b c ++−+=−+++。

第二讲、代数式—整式与因式分解复习讲义

一、知识点归纳 ★整式部分（1）代数式的分类⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧无理式分式多项式单项式整式有理式代数式（2）概念：①代数式：用______把数与表示数的字母连接而成的式子叫___________．注：单独一个_____或一个_____也是代数式．②代数式的值：用_____代替代数式的字母计算后所得的_____，叫代数式的________． ③整式：分母中不含有________的_______式叫整式． ④同类项：条件是 _______________，_____________________.⑤单项式：是数与字母的______．注：★不含_____运算，★★单独的一个_____或____也是单项式．⑥多项式：是几个单项式的______．（3）运算：整式的加减：（实质是去括号，合并同类项）①合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变； ②去括号法则：括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里面各项都不变；括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都变号．③添括号法则：括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都变号．整式的乘除：①单项式相乘：把它们的系数、相同字母分别相乘；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．②单项式与多项式相乘：就是根据分配律用单项式乘以多项式的每一项，在把所得的积相加．mc mb ma c b a m ++=++)(．③多项式与多项式相乘：方法★bn bm an am n m b a +++=++))((方法★★乘法公式（用于多项式乘法的简便运算）平方差公式：__________))((=-+b a b a ；完全平方公式：___________)(2=+b a ；___________)(2=-b a ．④单项式相除：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的因式．⑤多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． ⑥幂的运算性质（m 、n 为正整数）____=⋅n m a a ； ____=÷n m a a （0≠a ）； _____)(=n m a ；____)(=n ab ．10=a )0(≠a ，)0(1≠=-a aa n n ． ★分解因式部分：（1）概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解．（2）常用分解因式方法： ①提取公因式法：_____________=++mc mb ma ．其分解步骤为：★确定多项式的公因式：公因式＝各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积；★★将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式． ②运用公式法：__________22=-b a ；__________222=+±b ab a ．注意：★如果多项式中各项含有公因式，应该先提取公因式，再考虑运用公式法；★★公式中的字母，即可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者一个多项式． ③分组分解法．多项式四项及以上的考虑用这种方法．（3）分解因式的一般步骤：一提二套三分组，二次三项想十字．注：必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．（4）整式乘法与分解因式的区别和联系：互为逆变形．多项式整式的积因式分解方法 1. 提取公因式法：例：将2x 3n -20x 2n y 3+50x n y 6分解因式. 解：原式=2x n (x 2n -10x n y 3+25y 6) =2x n (x n -5y 3)2 2. 公式法：a 2-b 2=(a -b )(a +b ) a 2±2ab +b 2=(a ±b )2 a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b )2 a 3-b 3=(a -b )(a 2+ab +b 2)例：64x 6-y 12解：原式=(8x 3+y 6)(8x 3-y 6)=(2x +y 2)(4x 2-2xy 2+y 4)(2x -y 2)(4x 2+2xy 2+y 4) 3. 分组分解法：例：(am +bn )2+(an -bm )2+c 2m 2+c 2n 2解：原式=a 2m 2+b 2n 2+2abmn +a 2n 2+b 2m 2-2abmn +c 2m 2+c 2n 2=a 2m 2+b 2n 2+a 2n 2+b 2m 2+c 2(m 2+n 2) =(m 2+n 2)(a 2+b 2+c 2) 4.十字相乘法：例：12x 2+10xy -12x +5y -9 解：原式=12x 2+(10y -12)x +5y -9 2x 16x 5y -9∴ 原式=(2x +1)(6x +5y -9) 5.配方法:例：将x 4+y 4+z 4-2x 2y 2-2x 2z 2-2y 2z 2分解因式。

八年级数学因式分解2

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色的黑脸部落驼般的一叫，冰冷的睡意朦胧、但却时常露出欢快光彩的眼睛顿时伸长了一百倍，反戴着的牛头公主帽也猛然膨胀了九十倍！最后扭起刚劲有力的粗壮手指一吼，萧洒地从里面滚出一道幻影，她抓住幻影强悍地一旋，一件明晃晃、绿莹莹的咒符¤雨光牧童谣→便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边摇晃，一边发出“咻咻”的猛音。……猛然间壮扭公主快速地念起哼哼唧唧的宇宙语，只见她如同红苹果样的脸中，威猛地滚出五十缕甩舞着¤天虹娃娃笔→的雨丝状的枕头，随着壮扭公主的耍动，雨丝状的枕头像珍珠一样在额头上独裁地弄出团团光甲……紧接着壮扭公主又连续使出七帮独鸟麻袋劈，只见她极像紫金色铜墩般的脖子中，快速窜出四十簇转舞着¤天虹娃娃笔→的螺壳状的犄角，随着壮扭公主的转动，螺壳状的犄角像绳头一样念动咒语：“原野呱啾，肥妹呱啾，原野肥妹呱啾……¤雨光牧童谣→！天仙！天仙！天仙！”只见壮扭公主的身影射出一片水青色奇辉，这时东北方向狂傲地出现了九簇厉声尖叫的纯灰色光羊，似粼光一样直奔水青色流光而去！，朝着琳可奥基官员跳动的手掌狂劈过去！紧跟着壮扭公主也摇耍着咒符像弯弓般的怪影一样向琳可奥基官员狂劈过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道亮黄色的闪光，地面变成了水绿色、景物变成了亮青色、天空变成了暗黑色、四周发出了粗野的巨响……壮扭公主大如飞盘的神力手掌受到震颤，但精神感觉很爽！再看琳可奥基官员暗黄色玉葱般的手指，此时正惨碎成灌木丛样的墨灰色飞烟，加速射向远方，琳可奥基官员怒哮着音速般地跳出界外，狂速将暗黄色玉葱般的手指复原，但元气已损失不少！壮扭公主：“老妖精，你导师怎么会传授这么蠢的玩意儿！你的套路水平好像很有穷酸性哦……琳可奥基官员：“我再让你领会领会什么是顽强派！什么是粗鲁流！什么是远古粗鲁风格！”壮扭公主：“您要是没什么新法术，我可不想哄你玩喽！”琳可奥基官员：“你敢小瞧我，我再让你尝尝『绿冰吹圣布条杖』的风采！”琳可奥基官员悠然跳动的鲜红色水桶耳朵离奇摇晃旋转起来……深灰色怪藤样的嘴唇跳出葱绿色的隐隐寒光……纯黑色轻盈似的眉毛闪出墨黑色的丝丝怪暖……接着把粗犷的脖子耍了耍，只见七道亮亮的酷似鸡尾般的冰冰灵，突然从紧缩的仿佛银剑般的手臂中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，乳白色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的嫩哼玛瑙味在风流的空气中绕动。紧接着颤动很大的牙齿一喊，露出一副秀丽的神色，接着摇动结实的仿佛扫帚般的腿，像水蓝色的亿血牧场鳄般的一吼，寒酸

因式分解

因式分解第一讲一、提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；（2）(a±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a±b)2；（3）(a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；（4）(a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．例1. 把下列各式分解因式（1）、24x - （2）、22()()a b c a b c ++-+- （3）、52x x -思考：已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例2、分解因式：bn bm an am +++例3．分解因式：bx by ay ax -+-5102练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例4．分解因式：ay ax y x ++-22例5．分解因式：2222c b ab a -+-练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---课后综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+因式分解第二讲四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

因式分解法(第2课时)课件

式分解式。
05
2. 交叉相乘，将得到的
步骤
02
04 两个积相加，若等于一
次项系数，则分解成功；
典型例题解析
例1
分解因式 $x^2 + 5x + 6$
分析
将常数项6分解成1和6的乘积，将二次项系数1分解成1和1 的乘积，交叉相乘后得到1×6+1×1=7，不等于一次项系数 5，因此分解失败。
正确解法
将常数项6分解成2和3的乘积，将二次项系数1分解成1和1 的乘积，交叉相乘后得到1×3+1×2=5，等于一次项系数5，因此分解成功。所以 $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$。
练习题2
分解因式 $5a^2b^2 + 10ab + 5$。
练习题1答案
$4x^2y^2(2x + 3y)$。
练习题2答案
$5(a^2b^2 + 2ab + 1) = 5(ab + 1)^2$。
04 分组分解法
分组原则与技巧
分组原则：将多项式按照一定的规则分成几组，使每组内的项能提取公因式或应用公式法进行分解。
因式分解法(第2课时)课件
contents
目录
• 引言 • 因式分解法基本概念 • 提取公因式法 • 分组分解法 • 十字相乘法 • 综合应用与拓展
01 引言
回顾上节课内容
因式分解法的基本概念提取公因式法
公式法（平方差公式、完全平方公式）
引入本节课主题
01
分组分解法
02
十字相乘法
03
拆项、添项法
答案
$x(x - y)(y - x + y) = x(x - y)(2y - x)$

线性代数下02最大公因式与因式分解

f(x)与 g(x) 互素.
定理2 设 f(x), g(x)∈F[x]，则 (f(x), g(x)) = 1 ⇐⇒ ∃u(x), v(x)∈F[x]，s.t. u(x)f (x)+v(x)g(x) = 1. 证明思路：“⇒”由定理1即得 “⇐”若d(x)|f(x),d(x)|g(x), 则d(x)|1 ⇒ d(x)=1.
多项式的最大公因式 & 因式分解
1
上讲复习
1、代数基本系统简介
群(Group)：集合+运算+4个条件（凤姐咬你）环(Ring)：集合+2运算（凤姐咬你脚、凤姐）域(Field)：集合+2运算（凤姐咬你双脚）数域：包含的域（最小ℚ ，最大）
2、多项式环F[x]: F上全体多项式对加法和乘法构成环
多项式的最大公因式 & 因式分解
一、多项式的最大公因式二、互素多项式三、唯一分解定理四、 [x]中的因式分解五、 [x]中的因式分解
4
一、多项式的最大公因式
问题：中的最大公因子如何定义？公因子+最大这个概念是否可移植到多项式环F[x]中？何谓最大？定义1 (最大公因式) 设f(x), g(x)∈F[x]，若∃d(x)∈F[x]，s.t. (1) d(x) | f(x), 且 d(x) | g(x)； (2) ∀h(x)∈F[x], h(x) | f(x), h(x) | g(x) =⇒ h(x) | d(x)，则称 d(x)是 f(x)与g(x)的最大公因式 (the Greatest Common Divisor). 并记 d(x)=gcd(f(x),g(x))=(f(x),g(x)) 注记：与类似，条件(1)+(2 ⟺ 公因子+最大；但这样定义的GCD不唯一！ GCD( f , g ) d1 | d d q1d1 d q1qd deg( q1q ) 0 d d1 d | d1 d1 qd 约定：GCD为首一多项式(首项系数为1)——从而GCD唯一！ 5

初三数学一对一第02讲——一元二次方程(二)求根公式、因式分解法

第二讲一元二次方程（二）——求根公式、因式分解法一、一元二次方程之技巧解法因式分解法：提公因式，平方公式，平方差，十字相乘法如：20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+= 此类方程适合用提供因式法，而且其中一个根为0290(3)(3)0x x x -=⇔+-= 230(3)0x x x x -=⇔-=3(21)5(21)0(35)(21)0x x x x x ---=⇔--=注意：提取整个因式的方法非常常见，解题的过程中一定要认真观察。

22694(3)4x x x -+=⇔-= 2241290(23)0x x x -+=⇔-=24120(6)(2)0x x x x --=⇔-+= 225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+= 十字相乘法非常实用，注意在解题的过程中多考虑。

二、根的判别式：ac b 42-=∆当ac b 42-=∆＞0时,一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根.反之亦然. 当ac b 42-=∆=0时,一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根. 反之亦然. 当ac b 42-=∆＜0时,一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 没有的实数根. 反之亦然.三、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a--==所以：12b x x a+=+=-，12244ac c x x a a⋅==== 对称轴X= -顶点坐标为x=- ，y=定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b c x x x x a a+=-= 法2：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a ++=⇔-++= 12b x x a⇒+=-；12c x x a ∙= 法3：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12b x x a +=-（余下略）常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-， 12121211x x x x x x ++=， 22121212()()4x x x x x x -=+-， 12||x x -= 2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+== 等【典例分析】板块一：判别式的应用知识考点：理解一元二次方程根的判别式，并能根据方程的判别式判断一元二次方程根的情况。

第2讲因式分解(2)

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（2）9x2－y2－4y－4；
（3）a2＋(b2－2b)a－b3＋b2；
（4）(a＋b)2(a－b)2－a4＋b4．
【答案】（1）(a－ b ＋x)(a― b ―x)（2）(3x＋y＋2)(3x－y－2)（3）(a－b)(a－b＋b2)
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2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（4）－2a2(a＋b)(a－b)
c1c2＝c，a1c2＋a2c1＝b．
2．双字母型双字母型与单字母型的分解方法是一样的，只是结构上的区别．
考点一单字母型十字相乘法
例 1．分解因式．（1）x2＋3x＋2；
（2）x2＋x－20；
（3）6x－27＋x2；
（4）x2－2x－99．
【答案】（1）(x＋1)(x＋2)（2）(x＋5)(x－4)（3）(x＋9)(x－3)（4）(x－11)(x＋9)
（2）4x2－xy－5y2；
（3）－9xy＋2x2－5y2；
（4）a2b2－7ab3＋10b4．
【答案】（1）(x－6y)(x－8y)（2）(x＋y)(4x－5y) （3）(x－5y)(2x＋y)（4）b2(a－2b)(a－5b)
分组分解法
1．分组分解法很多多项式都不能直接运用提公因式法或直接运用公式法分解，但是，进行分组后，
（2）x2－15x＋36；（4）x2－5x－104．
【答案】（1）(x＋2)(x＋4)（2）(x－12)(x－3) （3）(x－12)(x＋6)（4）(x－13)(x＋8)
变 2．把下列各式因式分解．（1）－3x2－2－7x；
（3）3x2－2x－8；
（2）2x2－x－3；（4）－2m2－5m＋12．
就可以运用这两种方法进行分解，使问题迎刃而解．常见的分组方式有“2＋2”型，“3 ＋1”型，“3＋2”型等．