2014年苏州市初三数学中考复习专题七、解直角三角形

角的关系：两个锐角互余
内容 勾股定理及其逆定理 锐角三角函数 解直角三角形及应用` 单元测试与评析
直角三角形
边的关系：勾股定理
解直角三角形
锐角三角函数的应用
边角关系：锐角三角函数
2．基础知识 (1)勾股定理及其逆定理 ①勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 即：如果直角三角形的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么 a2+b2=c2． ②勾股定理的逆定理： 如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和， 那么这个三角 形是直角三角形． (2)锐角三角函数 ①锐角三角函数的定义 如图 7-1，在 Rt△ABC 中，∠C=90，则
例 6 如图 7-8，在一笔直的海岸线 l 上有 AB 两个观测站，A 在 B 的正东方向，AB=2(单 位：km)．有一艘小船在点 P 处，从 A 测得小船在北偏西 60° 的方向，从 B 测得小船在北偏 东 45° 的方向． 北 (1)求点 P 到海岸线 l 的距离； C 东 (2)小船从点 P 处沿射线 AP 的方向航行一段时间后，到 点 C 处， 此时， 从 B 测得小船在北偏西 15° 的方向． 求 点 C 与点 B 之间的距离． (上述两小题的结果都保留根 号) 【分析】 (1)过点 P 作 PD⊥AB 于点 D，设 PD=x km，先解 Rt△ PBD， 列出关于 x 的方程，解方程即可； (2)过点 B 作 BF⊥AC 于点 F，先解 Rt△ ABF，得出 BF= BC= 2 BF= 2 ． 【解】 (1)如图 7-8-2，过点 P 作 PD⊥AB 于点 D．设 PD=x． 在 Rt△ PBD 中， ∵∠BDP=90° ，∠PBD=90° -45° =45° ，∴BD=PD=x． 在 Rt△ PAD 中， ∵∠ADP=90° ，∠PAD=90° -60° =30° ，∴AD= 3 PD= 3 x ． ∵BD+AD=AB，∴x+ 3 x=2，解得 x= 3 -1， ∴点 P 到海岸线 l 的距离为( 3 -1)km； (2)如图 7-8-2，过点 B 作 BF⊥AC 于点 F． 在 Rt△ ABF 中，
如图 7-3，坡面的铅垂高度(h)和水平宽度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作 i，即
i h ．坡度通常写成 1∶m 的形式，如 i=1∶6．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作， l
h =tan ．显然，坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡. l
有i
方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于 90°角的为方位角． ④解决实际问题的关键在于建立数学模型， 要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角 形的问题．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度确 定答案． 3．能力要求 例1 A． 在 Rt△ ABC 中，∠C=90° ，若 sin A=
H
A
图 7-6-2
∴CD=CG+GE﹣DE=5 3 +15+5-15 3 =20-10 3 ≈2.7m． 答：宣传牌 CD 高约 2.7 米． 【说明】 此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为 解直角三角形的问题是解答此类题的关键． 例 5 如图 7-7-1，为了测量山顶铁塔 AE 的高，小明在 27m 高的楼 CD 底部 D 测得塔 顶 A 的仰角为 45° ，在楼顶 C 测得塔顶 A 的仰角 36° 52′．已知山高 BE 为 56m，楼的底部 D 与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高 AE． ( 参考数据： sin36° 52′≈0.60，tan36° 52′≈0.75) A 【分析】 根据楼高和山高可求出 EF，继而得出 AF，在 Rt△ AFC 中表示出 CF，在 Rt△ ABD 中表示出 BD，根据 CF=BD 可建 立方程，解出即可． 【解】 如图 7-7-2，过点 C 作 CF⊥AB 于点 F． E
图 7-5-1
21 AC = ． 2 BC
A
图 7-4
C
D B
图 7-5-2
【分析】 在 Rt△ABC 中,利用∠ACB 的正弦即可求得 AC 的长,进而可得 CD． 【解】 由题意可知：AB⊥BC． AB 在 Rt△ABC 中，∵sin ∠ACB= ， AC 1.5 1.5 AB ∴AC= = = ≈4.39m． sin ∠ACB sin 20° 0.3420 ∴CD=AC+AD=4.39+0.5=4.89≈4.9m． 答：木板的长度约为 4.9m． 【说明】 本题考查学生运用数学知识分析、解决简单实际问题的能 力．本题取材于学生熟悉的生活实际,解决这类题目的难度虽不 大,但有利于引导学生关注生活中的数学,关注身边的数学,培养 他们从实际问题中抽象出数学模型的能力,促进学生形成学数 B 45° 学、用数学、做数学的良好意识． 60° 例 4 如图 7-6-1，某大楼的顶部树有一块广告牌 CD，小李 A H 在山坡的坡脚 A 处测得广告牌底部 D 的仰角为 60° ．沿坡面 AB 向上走到 B 处测得广告牌顶部 C 的仰角为 45° ，已知山坡 AB 的
1 3 = ， 3 3
∴BH=
1 AB=5； 2
B 45°
60°
G E
(2)由(1)得：BH=5，AH=5 3 ， ∴BG=AH+AE=5 3 +15. 在 Rt△ BGC 中， ∵∠CBG=45， 在 Rt△ ADE 中， ∵∠DAE=60°，AE=15，∴DE= 3 AE=15 3 ． ∴CG=BG=5 3 +15．
45°
36° 52′
C D
图 7-7-1
B
设塔高 AE=x，由题意得： EF=BE-CD=56-27=29，AF=AE+EF=(x+29)， 在 Rt△ AFC 中， ∵∠ACF=36°52′，AF=(x+29)， ∴CF=
AF x 29 116 = =x+ ， tan3652 0.75 3

30 45 60
sin
1 2
2 2 3
cos
3 2
tan
3 3
2 2
1
3 2 ⑤使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角．
1 2
(3)解直角三角形 ①解直角三角形的的定义：已知边和角(其中必有一条边)，求所有未知的边和角. ②解直角三角形的依据 角的关系：两个锐角互余； 边的关系：勾股定理； 边角关系：锐角三角函数； ②解直角三角形的常见类型及一般解法 Rt△ABC 中的已知条件 一般解法 (1) c a2 b2 ； 两边 两直角边 a，b (2)由 tan A
C D
E
图 7-6-1
坡度 i=1： 3 ，AB=10 米，AE=15 米．(i=1： 3 是指坡面的铅直高度 BH 与水平宽度 AH 的比) (1)求点 B 距水平面 AE 的高度 BH； (2)求广告牌 CD 的高度． (测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米．参考数据： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732) 【分析】 (1)显然在 Rt△ ABH 中，通过坡度的概念求出 BH、AH； (2)在△ ADE 解直角三角形求出 DE 的长，进而可求出 EH 即 BG 的长，在 Rt△ CBG 中， ∠CBG=45， 则 CG=BG， 由此可求出 CG 的长然后根据 CD=CG+GE-DE 即可求出宣传牌 的高度． 【解】(1)如图 7-6-2，过 B 作 BG⊥DE 于 G， 在 Rt△ ABF 中， ∵i=tan∠BAH= ∴∠BAH=30. C D
A
在 Rt△ ABD 中， ∵∠ADB=45°，AB=x+56，∴BD=AB=x+56.
36° 52′
116 . 解得：x=52. 3 答：该铁塔的高 AE 为 52 米．
∵CF=BD，∴x+56=x+ 【说明】 想求解，难度一般．
E F
45°
C D
图 7-7-2
B
本题考查了解直角三角形的应用， 解答本题的关键是构造直角三角形， 注意利用方程思
5 ，则 cos A 的值为( 13
)
5 12
B．
8 13
C．
2 3
D．
12 13
【分析】 先画出图形，由于 cos A=
AC 5 ，故只需求得 AC，AB 的关系，可利用 sin A= 先求得 AB 13
BC，AB 的关系，再利用勾股定理即可求得． 【解】选 D．
【说明】 本题主要是要学生了解三角函数的定义及勾股定理． 解决这一类问题， 必须熟练掌握三 角函数的定义以及勾股定理的应用， 把它们有机地结合起来， 因此在复习时要引导学生加强 对基础知识的巩固． 例2 如图 7-4，在 Rt△ ABC 中，∠C=90° ，AB=10，sin A=
(1)∠B=90−∠A； 斜边 c，锐角 A ③实际问题中术语的含义 如图 7-2，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视 线与水平线的夹角叫做俯角．
铅垂线 仰角 俯角 视线
(2)a=c·sin A； (3)b=c·cos A.
i=h:l

h
水平线 视线
l
图 7-3
图 7-2
A的邻边 b A的对边 a sin A= = ，cos A= = ， 斜边 c c 斜边
斜边 c ∠A 的对边 a
B
A
∠A 的邻边 b C 图 7-1
tan A=
A的对边 A的邻边
=
a ． b
sin A、cos A、tan A 分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A 的三角函数． ②锐角三角函数的取值范围 0<sin A<1，0<cos A<1，tan A>0． ③各锐角三角函数间的关系 sin A=cos (90−A)，cos A=sin (90−A)． ④特殊角的三角函数值