函数的奇偶性导学案(2)

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一、 函数奇偶性的性质：

1. 若函数)(x f 定义域关于原点对称，且满足下列条件之一，则)(x f 为奇函数

)0)((1)

()()3(;0)()()2();()()1(≠-=-=+--=-x f x f x f x f x f x f x f 若函数)(x f 定义域关于原点对称，且满足下列条件之一，则)(x f 为偶函数

)0)((1)

()()

3(;0)()()2();()()1(≠=-=--=-x f x f x f x f x f x f x f 2.若)(x f 是定义域内有0的奇函数，则)(x f 一定过原点，即：0)0(=f 3.奇函数在对称区间上有相同的单调性，偶函数在对称区间上有相反的对称性．

4.函数奇偶性的四则运算性质：

（1）奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇+偶不知道，偶+奇晓不得

（2）奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇，偶⨯奇=奇

5.奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y 轴对称

6.既奇又偶函数有无数个：),,0)(a a x x f -∈=其中a 为正实数

二、分段函数的单调性

对于分段函数的奇偶性的判定，首先要看定义域是否关于原点对称，其次是要分段讨论)()(x f x f -=-还是)()(x f x f =-，注意要根据x 的取值范围选取相应的函数解析式 例1.判断下列函数的奇偶性

（1）⎩⎨⎧<-≥=0 ,0 , )(x x x x x f （2）⎪⎩⎪⎨⎧>-+-<++=0

,320 , 32 )(22x x x x x x x f

三、根据函数的奇偶性求值、求解析式

例2.（1）若函数b a bx ax x f +++=3)(2

是偶函数，定义域为[]a a 2,1-，求b a ,的值 （2）已知函数),,(1)(2Z c b a c

bx ax x f ∈++=是奇函数，又3)2(,2)1(<=f f ，求b a ,的值

例3.（1）若)(x f 是R 上的奇函数，当0>x 时，132)(++-=x x x f ，求)(x f 的解析式

（2）若)(x f 是R 上的奇函数，当0≥x 时，132)(2++-=x x x f ，求)(x f 的解析式

例4．设)(x f 是R 上的奇函数， )()2(x f x f -=+，当[]1,0∈x 时，x x f =)(，求)5.7(f

例5.（1）若函数)(x f y =在定义域[]1,1-上是奇函数,又是减函数,若0)1()1(2<-+-a f a f ，

求实数a 的取值范围

（2）定义在[]2,2-上的偶函数)(x g ，当0≥x 时，)(x g 单调递减，若)()1(m g m g <-，

求m 的取值范围