《向量的概念》课件

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《向量概念》课件

混合积的运算性质
总结词
掌握混合积的运算性质
详细描述
混合积具有一些重要的运算性质，包括交换律、结合律以及分配律。交换律指的是混合积的结果与向量的排列顺序无关；结合律指的是三个向量的混合积与它们的分组方式无关；分配律指的是一个向量与另外两个向量的混合积结果等于该向量与其中一个向量乘
积与另一个向量的混合积。
向量的混合积
06
混合积的定义
总结词
了解混合积的基本定义
详细描述
混合积是向量的一种运算方式，通过将三个向量的有序排列进行乘积，得到一个标量值。具体定义为向量a、b和c的混合积为a×(b×c)。
混合积的几何意义
总结词
理解混合积的几何解释
详细描述
混合积的几何意义在于表示三个向量的空间关系。具体来说，当三个向量构成一个右手坐标系时，它们的混合积为正；如果构成左手坐标系，则混合积为负。
外积的运算性质
总结词
阐述外积的运算性质
详细描述
外积具有一些重要的运算性质。首先，外积满足反交换律，即$mathbf{A} times mathbf{B} = -mathbf{B} times mathbf{A}$。这意味着两个向量的外积与其顺序有关。其次，外积与标量乘法相结合满足分配律，即 $k(mathbf{A} times mathbf{B}) = (mathbf{A} times kmathbf{B})$。此外，外积还满足结合律，即 $(mathbf{A} + mathbf{B}) times mathbf{C} = mathbf{A} times mathbf{C} + mathbf{B} times mathbf{C}$。这些运算性质使得外积在向量运算中具有重要的作用。

高等数学向量及其运算PPT课件.ppt

例如, a、r、v、F 或a 、r 、v 、F .
2
• 自由向量与起点无关的向量, 称为自由向量, 简称向量.
• 向量的相等如果向量a和b的大小相
等, 且方向相同, 则说向量a 和b是相等的, 记为a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合.
3
•向量的模向量的大小叫做向量的模.
向量 a、a 、AB 的模分别记为|a|、|a| 、|AB| .
23
例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数-1,
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解由于
解由于 AM =OM-OA , MB=OB-OM ,
=OM-OA , MB=OB-OM ,
因此 OM-OA=(OB-OM) ,
从而
OM =
1
(OA+ OB)
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
6
二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
10
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
记为ea.
|a|

《向量的概念及运算》课件

THANKS
感谢观看
详细描述
向量的向量积定义为两个向量A和B的向量积是一个向量C，记作C=A×B，其长度和方向可以通过外积法则来确定。
向量的向量积的几何意义
总结词
向量的向量积在几何上表示两个向量的垂直交叉乘积，可以用来描述旋转和方向。
详细描述
向量的向量积的几何意义在于它表示两个向量的垂直交叉乘积，即当两个向量A和B的向量积存在时，它们之间的夹角为90度。
向量的数量积定义为两个向量的对应分量相乘，然后求和。具体公式为：$vec{A} cdot vec{B} = a times b cos theta$，其中$vec{A}$和$vec{B}$是向量，$a$和$b$分别是
向量$vec{A}$和$vec{B}$的模，$theta$是两向量的夹角。
向量的数量积的几何意义
详细描述
向量的数量积具有一些重要的性质，如分配律、结合律、交换律等。此外，向量的数量积还满足一些重要的结论，如向量的点乘为零的充要条件是两向量垂直等。这些性质和结论在解决实际问题中具有广泛的应用。
04
向量的向量积
向量的向量积的定义
总结词
线性代数中，向量的向量积是Байду номын сангаас个向量运算，其结果是一个向量。
向量的表示方法
总结词
向量可以用大写字母表示，如A、B 、C等，也可以用有向线段表示。
详细描述
在数学中，向量通常用大写字母表示，如A、B、C等。同时，向量也可以用有向线段表示，起点在原点，终点在平面内任意一点。
向量的模
总结词
向量的模表示向量的大小或长度，计算公式为$sqrt{x^2 + y^2}$。
向量混合积的几何意义在于它表示三个向量的空间关系。具体来说，当三个向量形成一个闭合三角形时，向量混合积的值为正；当三个向量不形成闭合三角形时，向量混合积的值为负。

向量概念课件ppt

向量的叉乘
总结词
叉乘是两个向量之间的一种外积运算，结果是一个向量。
详细描述
叉乘的定义为两个向量$mathbf{A}$和 $mathbf{B}$的叉乘等于它们的模长之积乘
以它们夹角的正弦值，记作$mathbf{A} times mathbf{B}$。叉乘的结果是一个向量，该向量垂直于作为运算输入的两个向量，并且其模长等于输入向量的模长之积乘以它们夹角的正弦值。叉乘具有反交换律，即
向量的模
总结词
向量的模表示向量的大小，计算公式为$sqrt{x^2 + y^2}$（在二维空间）或$sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$（在三维空间）。
详细描述
向量的模也称为向量的长度或大小，用于衡量向量的大小。在二维空间中，向量的模可以通过计算 $sqrt{x^2 + y^2}$得到；在三维空间中，向量的模则是$sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。向量的模具有一些重要的性质，如非负性、传递性和三角不等式等。
$mathbf{A} times mathbf{B} = mathbf{B} times mathbf{A}$。叉乘的结果可以解释为旋转一个向量绕着另一个向量
向量的混合积
总结词
混合积是三个向量之间的一种运算，结果是为三个向量$mathbf{A}$、 $mathbf{B}$和$mathbf{C}$的混合积等于它们的模长之积乘以它们夹角的余弦值，记作$mathbf{A} cdot (mathbf{B} times mathbf{C})$。混合积的结果可以解释为三个向量在空间中形成的平行六面体的体积。混合积具有分配律和反交换律，即$mathbf{A} cdot (mathbf{B} + mathbf{C}) = mathbf{A} cdot mathbf{B} + mathbf{A} cdot mathbf{C}$以及$mathbf{A} cdot (mathbf{B} times mathbf{C}) = -

(人教B)高二数学必修4课件：2.1.1向量的概念

例1 判断下列命题是否正确，并说明理由. ①若a≠b，则a一定不与b共线； ②若A→B＝D→C，则 A、B、C、D 四点是平行四边形的四个顶点； ③在平行四边形 ABCD 中，一定有A→B＝D→C； ④若向量a与任一向量b平行，则a＝0； ⑤若a＝b，b＝c，则a＝c； ⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.
明目标、知重点
填要点·记疑点
1.向量的概念 (1)向量：具有大小和方向的量称为向量.只有大小和方向，而无特定的位置的向量叫做自由向量 . (2)如果两个向量的大小、方向都相同，则说这两个向量相等 .
明目标、知重点
(3)有向线段：从点A位移到点B，用线段AB的长度表示位移的距离，在点B处画上箭头表示位移的方向，这时我们说线段AB具有从A到B的方向.具有方向的线段，叫做有向线段.点A叫做有向线段的始点，点B叫做有向线段的终点 .有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示位移的距离，位移的距离叫做向量的长度 .
明目标、知重点
思考 2 如果非零向量A→B与C→D是共线向量，那么点 A、 B、C、D 是否一定共线？答点A、B、C、D不一定共线.
明目标、知重点
思考3 若向量a与b平行(或共线)，则向量a与b相等吗？反之，若向量a与b相等，则向量a与b平行(或共线)吗？向量平行具备传递性吗？答向量a与b平行(或共线)，则向量a与b不一定相等；向量a与b 相等，则向量a与b平行(或共线). 向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，这是因为，当b＝0时，a、c可以是任意向量，但若b≠0，必有a∥b， b∥c⇒a∥c. 小结在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目明目中标、是知“重点零向量”还是“非零向量”.

向量的概念课件高中数学人教A版(2019)必修第二册

①要注意0和
且|
的区别及联系：0是一个实数，是一个向量，并
|=0，书写时 0 表示零向量，一定不能忘记上面的箭头.
②单位向量有无数个，它们大小相等，但是方向不一定相同.
③在平面内，将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到
同一点，则它们的终点就会构成一个半径为1的圆.
牛刀小试
问题：“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？
定的，而向量是可以自由移动的；向量可以用有向线段表示，但并不能
说向量就是有向线段
3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一
条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量
4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，
单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一
个单位圆
得正确选项.
测验
【例2】(2020·全国高一专题练习)某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改
变方向沿东北方向走了10 2 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达
D点．
(1)作出向量AB，BC，CD ；
(2)求AD 的模．
(1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量
（速度为10海里/小时）．如果只是给出指令：
“由A地航行15 海里”，小船能否到达B地？
• 如果不指明“向东南方向”航行，小船不一定到达B地
• 给出指令：“向东南方向航行”呢？
• 方向和距离缺一不可
新知探究
（1）向量的实际背景与概念
• 物理中我们学习了位移、速度、力等既有大小、又有方向的量，
在物理中被称为“矢量”，
B．②④⑥是数量，①③⑤是向量

向量的概念(第1课时)(课件)高一数学(沪教版2020必修第二册)

８．１向量的概念和线性运算
向量的概念
图８-１-１展示了国产大飞机Ｃ９１９在蓝天翱翔的雄姿．飞机从A飞行到B．它的位移是一个既有大小又有方向的量，它的大小是A、B间的距离，方向由A到B 像 “ 一点相对于另一点的位移 ” 这种既有大小又有方向的量叫做向量（ｖｅｃｔｏｒ）．准确地说，一个向量由两个要素定义，一是它的大小（一个非负实数），一是它的方向
第 8 章平面向量
8.1向量的概念(第1课时）
学习目标
1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点) 3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)
平面向量
在现实世界和科学问题中，常常会见到既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等．数学中的“向量”概念就是从中抽象出来的．向量不仅有丰富的几何内涵，向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有广泛应用的代数结构，可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理．本章只讨论平面上的向量，选择性必修课程第３章还将把这一讨论推广到（三维）空间中，至于更一般性的推广则是大学线性代数课程的核心内容．高中阶段向量的学习重在为解决代数、几何、三角及物理等领域中的问题提供一个简捷有效的工具
例２在图８１４中，写出向量 AE的负向量．
解根据负向量的定义，可知向量EA、BE和DF均为AE的负向量
尽管可以画出一个向量的许多负向量，但由于它们彼此都相等，因此一个向量的负向量在相等的意义下是唯一的．
课本练习
练习８．１（１）
１．指出下列各种量中的向量：
（１）密度；（２）体积；（３）速度；（４）能量；（５）电阻；（６）加速度；（７）功；（８）力矩．

向量的概念及表示(公开课)-PPT

B.3
C.4
D.5
练习 3 .下列说法是否正确 A .若 | a | | b |, 则 a b B .若 | a | 0 , 则 a 0 C .若 | a | | b |, 则 a b或 a b D .若 a // b , 则 a b E .若 a b , 则 | a | | b | F .若 a b , 则 a 与 b 不是共线向量 G .若 a 0 , 则 a 0
◆速度是既有大小又有方向的量。
B
A
建构数学
一．向量的相关概念
１.向量的定义：既有大小又有方向的量。
路程
只有大小没有方向数标量量
（只需用一个实数就可以表示的量）
位移
既有大小又有方向向矢量
在你学过的量中，哪些是数量，哪些是向量？
一:向量定义
既有大小又有方向的量叫向量
向量现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？
建构数学三、向量的关系
平行向量：方向相同或相反的非零向量
叫做平行向量。记作： a//b.
规定:零向量与任一向量平行.
相等向量：长度相等且方向相同的向量
叫做相等向量。记作： ab. 共线向量：平行向量也叫做共线向量。
相反向量：长度相等且方向相反的向量
叫做相反向量。记作： a
B
（2）FB、AF、MC
（3）BD、DC、EM
D
C
巩固练习
例１、如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量
中：
（1）与 A O 相等的向量为
；A
B
（2）与A O 共线的向量为（3）与 A O 的模相等的向量为

高中数学(人教B版)必修第二册：向量的概念【精品课件】

(2)向量共线中的“共线”的含义不是平面几何中的“共线”的含义,共
线向量有四种情况:方向相同模相等;方向相同模不等;方向相反模
相等;方向相反模不等.
(3)任一向量a都与它本身是平行向量.
激趣诱思
知识点拨
3.判断共线向量的方法
判断两向量是否共线,只要判断它们是否同向或反向即可.
4.判断向量相等的方法
答案:C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
4.如图,四边形 ABCD 是菱形,则在向量, , , , 和中,
相等的向量有
对.
解析: = , = .
答案:2
探究二
探究三
当堂检测
解析:两个向量相等只要模相等且方向相同即可,而与起点和终点
的位置无关,故①不正确.
单位向量的长度为1,当所有单位向量的起点在同一点O时,终点都
在以O为圆心,1为半径的圆上,故②正确.
③④显然正确.故所有正确命题的序号为②③④.
答案:②③④
反思感悟1.判断一个量是否为向量应从两个方面入手:
(1)是否有大小;
(2)是否有方向.
2.零向量和单位向量
(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等.
(2)两个单位向量不一定相等,因为它们的方向不一定相同.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1有下列说法:
①若向量a与向量b不平行,则a与b方向一定不相同;
②若向量, 满足||>||,且与同向,则 > ;
出向量如图所示.
③由于点 C 在点 B 北偏东 30°处,且||=6,依据勾股定理可得在坐
标纸上点 C 距点 B 的横向小方格数为 3,纵向小方格数为 3√3≈5.2,

中职教育数学拓展模块《向量的概念》课件

进一步观察还可以发现，向量a与d 的方向相同,向量c与d的方向相反,但这两组向量有一个共性，即两个向量所在的直线平行.
2.1 向量的概念
情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业
一般地,方向相同或相反的两个向量称为平行向量. 当向量a与b平行时,记a∥b.
规定：零向量与任何一个向量平行，即对于任意向量a,都有 0∥a.
2.1 向量的概念情Fra bibliotek导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业
一般地,人们常用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. 这也是向量的几何表示.
2.1 向量的概念
情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业
例1 如图(1)所示,用点A、B、C 表示三地的位置.分别用有向线段
解由平行四边形的性质可知,平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分.
2.1 向量的概念
情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业
例3 如图所示,点O为⏥ABCD对角线的交点.
解由平行四边形的性质可知,平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分.
2.1 向量的概念
练习
情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业
3. 在图中所示方格纸上用有向线段表示力(1个单位长度表示10N). (1)方向正北、大小为20N的力, 用向量表示； (2)方向正东、大小为50N的力, 用向量表示.
2.1 向量的概念
情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业
练习
4. 按图中的比例尺,分别
求出由A地到B、C两地的位
2.1 向量的概念

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a
如图：他们都表示同一个向量。
a
练习：1、温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为什么？不是，温度只大小，没有方向。不是，温度只大小，没有方向。 2、向量 AB 和 BA 同一个向量吗？为什么？不是，不是，方向不同
§2.1.1向量的概念
东营胜利二中
有向线段与向量的区别：有向线段有向线段：有固定起点、大小、有向线段有固定起点、大小、方向有固定起点向量：可选任意点向量任意点作为向量的起点、向量的起点、任意点向量的起点有大小、有方向。有大小、有方向。 B D
A B A B D C D C
记作：记作：a = b a
规定：规定：0 = 0
b o 相等向量一定是平行向量吗? 相等向量一定是平行向量吗向量相等平行向量一定是相等向量吗? 平行向量一定是相等向量吗
.
向量平行向量平行
§2.1.1向量的概念
练习：、单位向量是否一定相等？练习：1、单位向量是否一定相等？
7、若两个向量在同一直线上，则这两个向量是什么向量、若两个向量在同一直线上，共线向量或者说平行向量 8、共线向量一定在一条直线上吗？、共线向量一定在一条直线上吗？不一定
9、两非零向量相等的等价条件是什么？大小相等，方向相同、两非零向量相等的等价条件是什么？大小相等，
§2.1.1向量的概念
§2.1.1向量的概念
东营胜利二中
1.下面几个命题：下面几个命题：下面几个命题（1）若a = b，b = c，则a = c。），，。（2）若|a|=0，则a = ），
0
|a|=|b|
（3）若|a|=|b|，则a = b ），（4）两个向量、b相等的等价条件是）两个向量a、相等的等价条件是 a ∥b 是不共线的四点，（5）若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是）、、、是不共线的四点是四边形ABCD是平形四边形的等价条件。是平形四边形的等价条件。四边形是平形四边形的等价条件其中真命题的个数是( ) 其中真命题的个数是 A．0 B. 1 C. 2 ．
B（终点）
§2.1.1向量的概念
东营胜利二中
向量的表示方法：向量常用有向线段有向线段表示：有向量的表示方法：有向线段
向线段的长度表示向量的大小向量的大小，箭头所指的方向量的大小向表示向量的方向向量的方向Ｂ F
A 向量可表示为：ＡＢ也可以表示：a, b, c, d,• • • G
§2.1.1向量的概念
不一定
东营胜利二中
2、单位向量的大小是否一定相等？一定、单位向量的大小是否一定相等？ 3、平行向量是否一定方向相同？不一定、平行向量是否一定方向相同？ 4、不相等的向量一定不平行吗？不一定、不相等的向量一定不平行吗？ 5、与零向量相等的向量一定是什么向量？零向量、与零向量相等的向量一定是什么向量？ 6、与任意向量都平行的向量是什么向量？、与任意向量都平行的向量是什么向量？零向量
§2.1.1向量的概念
作业
东营胜利二中
练习A 、课本 p85 练习 2、3 练习B 、练习 1、2
§2.1.1向量的概念
东营胜利二中
东营胜利二中
北西
B 小船A地沿西北方向航行到B地共15海里：可以用向量AB表示，也可以用向量 a 表示 5 海里
a
A
AB = 西北， ” “ 偏 45 15km
0
向量AB的大小（长度）称模，记作： | AB |
§2.1.1向量的概念
东营胜利二中
我们现在研究的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置。起点可以取任意位置。起点可以取任意位置所以数学中的向量也叫自由向量
东营胜利二中
例1：如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC 相等的向量。 B 解：OA = CB = DO =EF OB = DC = EO=FA ； OC = AB = ED= FO 问题1：OA = FE ？ OB = AF ？ D 个问题2：与OA长度相等的向量有多少个？ 11个问题3：是否存在与OA长度相等、方向存在：存在：FE 相反的向量？ CB 、DO、FE 问题4：与向量OA共线的向量有哪些？ E C ； O F A
1 单位向量大小为1，单位向量方向不基线。
§2.1.1向量的概念
东营胜利二中
向量间的关系
（１）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。相同叫做平行向量如： a b c 平行向量又叫做共线向量记作 a ∥b ∥c
规定：0与任一向量平行。与任一向量平行。规定：与任一向量平行 C OA = a A B l
. o
OB = b
OC = c
的向量的起点平移到直线l上的问：把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线上的把一组平行于直线的向量的起点平移到直线一点O 这时它们是不是平行向量？一点，这时它们是不是平行向量？各向量的终点与直线l之间有什么关系之间有什么关系？各向量的终点与直线之间有什么关系？
B
D
A A C
C
有向线段AB、CD 不同的。是不同的不同的
向量 AB、CD 是同一个向量同一个向量。同一个向量
§2.1.1向量的概念
两个特殊向量： 1、零向量零向量：长度为 0 的向量。记作零向量
东营胜利二中
0
2、单位向量单位向量：长度为 1 个单位长度的向量。单位向量
所以零向量只有一个，而单位向量单位向量可以有无数个零向量大小为0，方向不确定的。可以是任意方向通过有向线段 AB
§2.1.1向量的概念
东营胜利二中
1.若非零向量若非零向量AB//CD ，那么那么AB//CD吗？若非零向量吗 2.若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反吗？若的方向一定相同或相反吗？则与的方向一定相同或相反吗相等且的向量叫做相等向量。（2）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。）相等向量：长度相等方向相同的向量叫做相等向量
§2.1.1向量的概念
东营胜利二中
§2.1.1向量的概念
东营胜利二中
飞机从广州飞往北京：飞机是个移动的量，有速度和方向速度和方向
§2.1.1向量的概念
东营胜利二中
F V
F
他们都是有大小和方向的量叫他们都是有大小和方向的量叫向量大小和方向
§2.1.1向量的概念
东营胜利二中
V1
V2 我们学过有向线段：指有有向线段：有向线段起点、方向、起点、方向、长度的线段如图：AB叫有向线段，记作AB 有向线段AB 的长度，记作| AB | A（起点）
D C C
D. 3
D
变：若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c ，
A B B
时成立。当b ≠ 0时成立。时成立
A
§2.1.1向量的概念
小结
定义几何表示法：几何表示法：有向线段表示符号表示法：符号表示法：
东营胜利二中
a
AB
向量
向量的有关概念
长度（模）长度（零向量特殊向量单位向量向量间的关系平行（共线）平行（共线）相等