高中数学 1.2.1《集合之间的关系》课件(1) 新人教B版必修1

1.2 集合之间的关系
与运算
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1．2.1 集合之间的关系
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知识整合
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1．对于两个集合A与B，如果集合A的 ________一个元素都是集合B的元素，就说 集合A________集合B(或集合B______集合A)， 记作A______B(或B________A)，这时，也说 集合A是集合B的________．
解：将集合A中的元素，即适合x>2或x< －1的实数在数轴上表示出来．如下图①②.
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题型三 集合相等关系的应用 【例3】 已知三元素集合A＝{x，xy，x －y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求x与y的 值． 分析：依据“相等”的定义和集合中元 素的互异性，构造x、y的方程．
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解：集合X中，x＝2,5,10,17，…，集合Y 中，y＝(k－2)2＋1＝2,1,2,5,10,17，…，可得 X Y.证明如下：
对于任意的元素x∈X，有
x＝n2＋1＝(n2＋4n＋4)－4(n＋2)＋5
＝(n＋2)2－4(n＋2)＋5.
由n∈N＋，知n＋2∈N＋， 式．∴∴xx具⊆Y有. y＝k2－p4pt课k件＋5，k∈N＋的形
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(7)空集是任何非空集合的真子集，正确； (8)∵1<5，∴1∈{x|x≤5}． ∴{1} {x|x≤5}，正确． 由以上分析可知： (1)(2)(3)(4)(7)(8)正确，(5)(6)错误．
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变式训练 1 已知X＝{x|x＝n2＋1，n∈N ＋}，Y＝{y|y＝k2－4k＋5，k∈N＋}，试判断 集合X与Y的关系，并给出证明．
解：∵0∈B，A＝B，∴0∈A. ∵集合A为三元素集，∴x≠xy.∴x≠0. 又∵0∈B，y∈B，∴y≠0. 从而x－y＝0，x＝y. 这时，A＝{x，x2,0}，B＝{0，|x|，x}， ∴x2＝|x|. 解得x＝0(舍去)或x＝1(舍去)或x＝－1. 经验证：x＝－1，y＝－1是本题的解．
2．集合A不包含于集合B(或集合B不包 含集合A)，记作A________B(或 B________A)．
3．如果________，并且________，那么 集合A叫集合B的真子集，记作________或 ________．
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4．空集是任意一个集合的________，记 作Ø________A；空集又是任意________集合 的________，任意一个集合都是它本身的 ________．
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名师解答
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我们知道，两个实数之间有相等、大于、
小于等关系，那么元素与集合、集合与集合
之间是否也有类似的关系？集合间的基本关
系与实数间的关系可否比较？
(1)从属关系(∈)只能用在元素与集合之 间；包含关系(⊆ )只能用在集合与集合 之间．在使用以上符号的时候先要弄清楚是
元素与集合还是集合与集合之间的关系．比
解法二：由已知得集合M必含有元素1和 2，且至少有一个不同于1和2且等于3，或4， 或5的元素，所以集合M的个数为集合{3,4,5} 的非空子集的个数，即23－1＝7，故选C.
评析wk.baidu.com本题是利用真子集和子集的定义
解题，可根据元素个数由少到多来分类处
理．
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变式训练 2 已知集合A＝{x|x>2或x<－ 1}，B＝{x|a<x<a＋1}，若B⊆A，求实数a的 取值范围．
如表示元素与集合之间的关系有：1∈N，－
1∉N,1∈{1},0∈{0}等，但不能写成0＝{0}或
0⊆{0}；表示集合与集合之间的关系有：
N⊆R，{1,2,3}⊆{1,2,3}，{1,2,3} {1,2,3,4}
等．
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(2)集合与集合的关系有包含关系、相等 关系．其中包含关系有：包含于(⊆)、包含 (⊇)、真包含于( )、真包含( )等．用这些 符号时要注意方向，如A⊆B与B⊇A是相同的， 但A⊆B与B⊆A是不同的．
经验公式：有限集合的子集的个数： n个元素组成的集合的子集有2n个，真子 集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
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答案：1.任意 包含于 包含 ⊆ ⊇ 子集
2． 3．集合A是集合B的子集 B中至少有一 个元素不属于A A B B A 4．子集 ⊆ 非空 真子集 子集 5．任意 任意 等于 A＝B A＝B
特别警示：若A⊆B，则先考虑A＝Ø的情 形，在解题时容易忽略这一点而导致不必要 的错误．
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5．一般地，对于两个集合A与B，如果 集合A的________一个元素都是集合B的元素， 同时，集合B的________一个元素都是集合A 的元素，就说集合A________集合B，记作 ________，对于集合A、B，如果A⊆B，同时 B⊆A，那么________．
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深入学习
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题型一 判定集合间的关系 【例1】 判断下列关系是否正确． (1){a}⊆{a}；(2){1,2,3}＝{3,2,1}； (3)Ø {0}；(4)0∈{0}； (5)Ø∈{0}；(6)Ø＝{0}； (7)Ø {0,1,2}；(8){1} {x|x≤5}．
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解：(1)任何一个集合是它本身的子集， 因此，{a}⊆{a}，正确； (2)两个集合中的元素相同，故用“＝” 号，正确； (3)空集是任何非空集合的真子集，正确； (4){0}中只有一个元素0,0∈{0}，正确； (5)Ø与{0}是两个集合，不能用∈连接； (6)Ø中没有任何元素，而{0}中有一个元 素，二者不相等；
题型二 子集关系的应用
【例2】 满足条件{1,2} M⊆{1,2,3,4,5} 的集合M的个数是
()
A．3
B．6
C．7
D．9
分析：根据已知条件确定M中元素的组 成情况，进而求解．
答案：C
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解法一：由已知得集合M必含有元素1和 2，且至少有一个不同于1和2的元素，故符 合条件的集合M为{1,2,3}、{1,2,4}、{1,2,5}、 {1,2,3,4}、{1,2,3,5}、{1,2,4,5}、{1,2,3,4,5} 共7个，故选C.
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研(3究象)集对合间的基本关关系系及与符实号数比间较的关系比
较： 集合
包含于 包含
关系 (被包含) 真包 真包含于 含
等 于
不 包
含 于
符号
⊆
⊇＝
小于等于 大于
关系
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等于
等 于
不 等
通过比较，相信我们能较好地理解元素与 集合之间，集合与集合之间的关系，并能够 找到很好的学习和记忆本节知识的方法——类 比法！