第21讲 应力和应变分析 强度理论7-4、7-5、7-8
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第七章应力和应变分析
2
tg20
2 xy x
y
mm
ax in
x
y
±
（x
2
y
2
）2
2 xy
0 0极值正应力就是主应力！
明德 砺志 博学 笃行
max在剪应力相对的项限内，
且偏向于x 及y大的一侧。
y
2
主 单元体
x
令:d d
0
1
tg212xxy y
y
xy 1
Ox
mmainx
± （x
y
2
）2 2 xy
014 , 即极值剪应力面与主面 成450
（4）最大切应力
max
1
2
2
22.1MPa
明德 砺志 博学 笃行
§7-4 二向应力状态分析——图解法
y
n
x
2
y
x
2
y
c
os2
xysin2
y
xy
x
x
2
y
s
in2
xyc
os2
Ox
对上述方程消去参数（2），得：
x
y
xy
x
2
y
2
2
x
2
y
2
2 xy
n
明德 砺志 博学 笃行
y n 二、应力圆的画法
明德 砺志 博学 笃行
例 分析受扭构件的破坏规律。
解：确定危险点并画其原
C
yx
始单元体
M
C
xy
x y 0
xy
T WP
xy
求极值应力
y
yx
m m
ax in
tg20
2 xy x
y
mm
ax in
x
y
±
（x
2
y
2
）2
2 xy
0 0极值正应力就是主应力！
明德 砺志 博学 笃行
max在剪应力相对的项限内，
且偏向于x 及y大的一侧。
y
2
主 单元体
x
令:d d
0
1
tg212xxy y
y
xy 1
Ox
mmainx
± （x
y
2
）2 2 xy
014 , 即极值剪应力面与主面 成450
（4）最大切应力
max
1
2
2
22.1MPa
明德 砺志 博学 笃行
§7-4 二向应力状态分析——图解法
y
n
x
2
y
x
2
y
c
os2
xysin2
y
xy
x
x
2
y
s
in2
xyc
os2
Ox
对上述方程消去参数（2），得：
x
y
xy
x
2
y
2
2
x
2
y
2
2 xy
n
明德 砺志 博学 笃行
y n 二、应力圆的画法
明德 砺志 博学 笃行
例 分析受扭构件的破坏规律。
解：确定危险点并画其原
C
yx
始单元体
M
C
xy
x y 0
xy
T WP
xy
求极值应力
y
yx
m m
ax in
第七章 应力状态、应变分析和强度理论
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
二、 正应力极值
1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2 d ( x y ) sin 2 2 xy cos 2 d
设α＝α0 时，上式值为零，即
2
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
3、三向（空间）应力状态 三个主应力1 、2 、3 均不等于零
2 1
3 1
3 2
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
仅在微体四侧面作用应力，且 应力作用线均平行于微体的不 受力表面－平面应力状态
1
1
1
1
3
3
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念 2、二向（平面）应力状态 三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
3 2 3 2
3
2
1
3
1
1
1
1 0, 2 0, 3 0
Ft 0
dA ( x dAcos )cos ( x dAcos )sin ( y dAsin )sin ( y dAsin )cos 0
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
一、任意斜截面上的应力公式 已知： x , y , x , y , dA 求： ，
sin 2 xy cos 2
2 xy 2 ( 50) tan 2 0 1 x y 40 60 2 0 45 135
y =60 MPa xy = -50MPa =-30°
应力应变分析与强度理论
ax in
m
ax
2
m in
极值切应力等于极值正应力差的一半。
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
§7.2 平面应力状态分析的解析法
三、极值切应力和主平面夹角
注意到 则 所以
tan
2 0
2 xy x
y
tan
21
x 2 xy
y
tan
20
第7章 应力应变分析与强度理论
§7.1 应力状态的概念 §7.2 平面应力状态分析的解析法 §7.3 平面应力状态分析的图解法 §7.4 三向应力状态简介 §7.5 平面应力状态的应变分析 §7.6 广义胡克定律 §7.7 强度理论概述 §7.8 四个常用的强度理论 §7.9 莫尔强度理论
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
7.2.3 极值切应力及其作用面 一、极值切应力方位角
d 0 d
( x y ) cos 2 2 xy sin 2 0
得
tan
21
x 2 xy
y
二、最大、最小切应力
m m
ax in
x
2
y
2
2 xy
m m
主应力通常用1、 2 和 3 表示，它们的顺序按代 数值大小排列，即 1 2 3 。
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
§7.1 应力状态的概念
7.1.4 应力状态的分类 1. 单向应力状态 (简单应力状态 ) 三个主应力中，只有一个不等于零 2. 二向应力状态 (复杂应力状态 ) 有两个应力不等于零 3. 三向应力状态 (复杂应力状态 ) 三个主应力都不等于零
7 应力应变强度理论
将a0代入sa的计算公式，
s max s x s y s min 2
计算得到最大和最小正应力
2 2 t x
s x s y 2
采用同样的方法对ta式求导
ta
s x s y
2
sin2 a t x cos2a
dt a s x s y cos2a 2t x sin2 a da
q
q
F
a
B
sa ta
sa
ta
F cos 2a s cos 2a A
s
2 sin2 a
q
A B
q
s
A
s
即使同一点在不同 方位截面上，它的应力 也是各不相同的，此即 应力的面的概念。
sy t
sx
B
sx t
t sy
t
单元体应力命名规则：
y
sy tyz tzy sz txz
tyx sx txy txz sz
过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的 应力状态（Stress State）。
计算应力一定要指明：
哪一个面上？ 哪一点？
围绕一点取单元体
F
A
F
dx dy dz 0
微元单元体
A
dz dy
单元体边长无穷小； 应力沿边长无变化； 单元体各个面上的应力是均匀分布的； 两个平行面上的应力大小相等。
二向应力状态是工程中最为常见的一种应力情况： 1 斜截面上的应力
sy tyx sx txy sy
正应力 拉伸为正
tyx
sy
sx
sx sy
压缩为负
sx txy
切应力 绕单元体顺时针转为正，反之为负
材料力学第七章知识点总结
研究应力状态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化
规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建 立适当的强度条件。
材料力学
3、一点的应力状态的描述
研究一点的应力状态，可对一个 包围该点的微小正六面体——单 元体进行分析
在单元体各面上标上应力 各边边长 dx , dy , dz
——应力单元体
三、几个对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面
上的正应力和切应力；
y
σy
n
τ
H (σα ,τα )
τ yxHτ xy来自αxσx
(σy ,Dτyx)
2α A (σx ,τxy)
c
σ
σx +σ y
2
转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。
α =α0
=
−2⎢⎡σ x
⎣
−σ y
2
sin 2α0
+τ xy
cos
2α
0
⎤ ⎥
⎦
=0
=
−2τ α 0
τα0 = 0
tg
2α 0
=
− 2τ xy σx −σ y
可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分别为
最大正应力和最小正应力所在平面。
主平面的方位
(α0 ; α0′ = α0 ± 900 )
主应力的大小
材料力学
四、在应力圆上标出极值应力
τ
τ max
x
R
O σ min
2α12α0A(σx ,τxy)
c
σ
σ
max
(σy ,τyx) D
规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建 立适当的强度条件。
材料力学
3、一点的应力状态的描述
研究一点的应力状态，可对一个 包围该点的微小正六面体——单 元体进行分析
在单元体各面上标上应力 各边边长 dx , dy , dz
——应力单元体
三、几个对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面
上的正应力和切应力；
y
σy
n
τ
H (σα ,τα )
τ yxHτ xy来自αxσx
(σy ,Dτyx)
2α A (σx ,τxy)
c
σ
σx +σ y
2
转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。
α =α0
=
−2⎢⎡σ x
⎣
−σ y
2
sin 2α0
+τ xy
cos
2α
0
⎤ ⎥
⎦
=0
=
−2τ α 0
τα0 = 0
tg
2α 0
=
− 2τ xy σx −σ y
可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分别为
最大正应力和最小正应力所在平面。
主平面的方位
(α0 ; α0′ = α0 ± 900 )
主应力的大小
材料力学
四、在应力圆上标出极值应力
τ
τ max
x
R
O σ min
2α12α0A(σx ,τxy)
c
σ
σ
max
(σy ,τyx) D
第二十一 讲 应力圆 应力迹线 广义胡克定律 弹性系数
讨论题
Mechanic of Materials
§7.4 二向应力状态分析——图解法 （之二）
s t max as
sα
一、极坐标中点面对应关系 t s sx
y sy
a
tx
ty= -tx
n
sx
P
x
A’(s3 ,0)
0 a0
aaS α0
a s -90
S’ O
(tmax) B
Eα
tα
(sα ,tα)
x
s3
C1
O
P
s
a0
t
TP
x
q
1
2 3
s1 a0 - 90 A’
A
C2 O
s
4
3
sa30 = 45
T‘ PT t x
5
–45°
O
C
s
T '(s y ,t y )
§7.4 二向应力状态分析——图解法
Mechanic of Materials
2、主应力、主平面、切应力极值和切应力极值平面
(1)应力圆与σ轴的交点横坐标 即为正应力极值
s s
max min
=
sx sy
2
s (
x
-s 2
y
)2
t
2 x
0 (s1 s 2 s3)
Mechanic of Materials
铸 铁
低 碳 钢
铸铁抗拉能力较低沿横 截面拉断
(0, tmax)B
τ
s =sx 45 2
t max
=
sx 2
塑性材料抗剪能力 较低，450斜截面 上切应力最大
sx
y
Mechanic of Materials
§7.4 二向应力状态分析——图解法 （之二）
s t max as
sα
一、极坐标中点面对应关系 t s sx
y sy
a
tx
ty= -tx
n
sx
P
x
A’(s3 ,0)
0 a0
aaS α0
a s -90
S’ O
(tmax) B
Eα
tα
(sα ,tα)
x
s3
C1
O
P
s
a0
t
TP
x
q
1
2 3
s1 a0 - 90 A’
A
C2 O
s
4
3
sa30 = 45
T‘ PT t x
5
–45°
O
C
s
T '(s y ,t y )
§7.4 二向应力状态分析——图解法
Mechanic of Materials
2、主应力、主平面、切应力极值和切应力极值平面
(1)应力圆与σ轴的交点横坐标 即为正应力极值
s s
max min
=
sx sy
2
s (
x
-s 2
y
)2
t
2 x
0 (s1 s 2 s3)
Mechanic of Materials
铸 铁
低 碳 钢
铸铁抗拉能力较低沿横 截面拉断
(0, tmax)B
τ
s =sx 45 2
t max
=
sx 2
塑性材料抗剪能力 较低，450斜截面 上切应力最大
sx
y
材料力学第七章应力应变分析
x
y
2
x
2
y
cos 2
xy sin 2
x
y
2
sin 2
xy cos 2
1、最大正应力的方位
令
d d
2[
x
y sin 2
2
xy cos 2 ] 0
tg 2 0
2 xy x
y
0 0
90
0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应 力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面.
的方位.
m
m a
A
l
解： 把从A点处截取的单元体放大如图
x 70, y 0, xy 50
A
tan 20
2 xy x y
2 50 1.429
1
3
(70) 0
0
A
x
0
27.5 62.5
3
1
因为 x < y ，所以 0= 27.5° 与 min 对应
max min
x
2
y
(
x
2
y )2
三、应力状态的分类
1、空间应力状态
三个主应力1 、2 、3 均不等于零
2、平面应力状态
三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
3、单向应力状态
三个主应力 1 、2 、3 中只有一个不等于零
2 3
2
1
1
1
1
1
3 2
2
1
例题 1 画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.
F
5
S平面
4
3
l/2
2
l/2 1
任意一对平行平面上的应力相等
材料力学应力和应变分析强度理论.ppt
第二十五页，编辑于星期二：三点 十五分。
第二十六页，编辑于星期二：三点 十五分。
第二十七页，编辑于星期二：三点 十五分。
第二十八页，编辑于星期二：三点 十五分。
第二十九页，编辑于星期二：三点 十五分。
第三十页，编辑于星期二：三点 十五分。
第三十一页，编辑于星期二：三点 十五分。
第三十二页，编辑于星期二：三点 十五分。
第三十三页，编辑于星期二：三点 十五分。
第三十四页，编辑于星期二：三点 十五分。
第三十五页，编辑于星期二：三点 十五分。
第三十六页，编辑于星期二：三点 十五分。
第三十七页，编辑于星期二：三点 十五分。
第三十八页，编辑于星期二：三点 十五分。
第三十九页，编辑于星期二：三点 十五分。
第四十页，编辑于星期二：三点 十五分。
第九页，编辑于星期二：三点 十五分。
第十页，编辑于星期二：三点 十五分。
第十一页，编辑于星期二：三点 十五分。
第十二页，编辑于星期二：三点 十五分。
第十三页，编辑于星期二：三点 十五分。
第十四页，编辑于星期二：三点 十五分。
第十五页，编辑于星期二：三点 十五分。
第十六页，编辑于星期二：三点 十五分。
第四十一页，编辑于星期二：三点 十五分。
第四十二页，编辑于星期二：三点 十五分。
第四十三页，编辑于星期二：三点 十分。第四十四页，编辑于星期二：三点 十五分。
第四十五页，编辑于星期二：三点 十五分。
第四十六页，编辑于星期二：三点 十五分。
第四十七页，编辑于星期二：三点 十五分。
第四十八页，编辑于星期二：三点 十五分。
第十七页，编辑于星期二：三点 十五分。
第十八页，编辑于星期二：三点 十五分。
第七章 应力和应变分析、强度理论(7)
2 s
1 2
(1
2
)2
( 2
3 )2
( 3
1)2
s
n
18
第7章:应力和应变分析、强度理论
19
第7章:应力和应变分析、强度理论
一、近似极限曲线：
二、莫尔强度理论：
任意一点的应力圆若与极限曲线相接触，则材料 即将屈服或剪断。
20
第7章:应力和应变分析、强度理论
23
第7章:应力和应变分析、强度理论
24
2
3 )]
jx , b
E
1 ( ) jx ,b
1
(
2
3)
jx ,b
n
13
第7章:应力和应变分析、强度理论
强度条件:
1
b
n
适用范围: 脆性材料拉、扭； 一般材料三向拉；
铸铁二向拉拉，拉压（t＞ c）
第7章:应力和应变分析、强度理论
1
6E
( 2
2 s
)
17
第7章:应力和应变分析、强度理论
2 1
3
u d , jx
1
6E
( 2
2 s
)
1
6E
[(1
2
)2
(
23)2源自(3
1)2
]
1
6E
(2
2 s
)
1 2
[(1
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45 135
0
因为 x < y ，所以 0= -22.5° 与 min 对应（方法1）
【试用第3种方法求第一主应力的方位： 450 ~ 900 】
江苏科技大学张家港校区
max x y 2 min
(
x y
2
)
2
2 x
80.7MPa 60.7MPa
单元体与应力圆 关系的说明
应于应力圆上某一点的坐标。 夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单
元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。
A B O C
B 2
A
江苏科技大学张家港校区
2、求主应力数值和主平面位置
2
E
2 20 D
(1)主应力数值 A1 和 B1 两点为与主平面 对应的点，其横坐标
1 80.7MPa
3
2 0
y 1
3 60.7MPa
xy
x
22.5°
江苏科技大学张家港校区 例题7-4【P220】 讨论园轴扭转时的应力状态（求平面纯剪切 应力状态的主应力及主平面方位）.并分析铸铁试件破坏现象。 解 （1）求主平面方位 2 xy tan 2 0 x y 45 90 0 2 0 45 90
sin( 60 ) ( 50) cos( 60 ) 18.3MPa
(2) 求主应力和主单元体的方位
tan 2 0 2 0 2 xy
x y
2 ( 50) 40 60 22.5 67.5
x = -40MPa
1
y =60 MPa x = -50MPa =-30°
m A
m
a
l
把从A点处截取的单元体放大如图
A
x 70,
y 0,
xy 50
江苏科技大学张家港校区
tan 2 0 2 xy
1
A
2 50
x y
( 70) 0
1.429
3
0 x
0
27.5
3
62.5
1
原点的 距离为 x y
2
o
y
B C D′ A
(2)该圆半径为
R (
x y
2
)
2
2 xy
x
OC OB
CD
1 2
(OA OB )
2
1 2
(OA OB )
) xy
2 2
x y
2
CA AD
2
(
x y
2
江苏科技大学张家港校区
江苏科技大学张家港校区 例题7-5 简支梁如图所示.求得mm 截面的弯矩、剪力后，设算 出 mm 截面上A点的弯曲正应力和切应力分别为 =－70MPa， =50MPa .试确定A点的主应力及主平面的方位.并讨论其他点 的应力状态。
江苏科技大学张家港校区 解： 【1】确定A点的主应力及主平面的方位. 已知 mm 截面上 A点的弯曲正应力和切应力分别为 =－70MPa， =50MPa .
3 xy
45°
1
因为 x = 0＝y ，且 xy > 0， 所以0= -45°与 max 对应。
（2）求主应力
max x y 2 min (
x y
2
) xy
2
2
1 = ， 2 = 0 ， 3 = -
铸铁抗拉强度 较低，因此沿 第一主应力方 向拉断？
D′
(2) 量取 (3) 量取
OA= x OB= y BD′= yx
AD = xy 得 D 点
x
得 D′ 点
(4) 连接 DD′两点的直线与 轴相交于 C 点 (5)以C为圆心, CD 为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆
江苏科技大学张家港校区 2、证明(Prove)
D
(1)该圆的圆心 C 点到 坐标
2
2
江苏科技大学张家港校区
（2）主平面方位
由 CD顺时针转 20 到CA1 所以单元体上从 x 轴顺时 针转 0 （负值）即到 1
2
D B 20
o
B1
C
A
对应的主平面的外法线
tan( 2 0 ) tan 2 0 DA CA 2 xy 2 xy
y
D′
A1
x
0 90
1 2
arctan(
2 xy
x y
)
江苏科技大学张家港校区
确定第一主应力方向的第3 种方法【方法2的证明】
2 xy
x
y
tg 2 0
2 xy
x y
2 xy
2 0 tan (
1
x y
)
＋ ＋
－ ＋
＋ －
－ －
2 40 60 2
x y
n
cos 2 xy sin 2
cos( 60 ) ( 50) sin( 60 )
58.3MPa
江苏科技大学张家港校区
30
0
x y
2 40 60 2
sin 2 xy cos 2
sin 2 xy cos 2
把上面两式等号两边平方，然后相加便可消去，得
江苏科技大学张家港校区
(
x y
2
) (
2 2
x y
2
) xy
2 2
因为x ，y ，xy 皆为已知量，所以上式是一个以，为 变量的圆周方程。当斜截面随方位角 变化时, 其上的应力 ， 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆【应力园】 .
因为 x < y ，所以 0= 27.5° 与 min 对应【方法1】
max x y 2 min (
x y
2
)
2
2 xy
26MPa 96MPa
1 26MPa,
2 0,
3 96MPa
江苏科技大学张家港校区 【2】讨论其他点的应力状态： A处——平面应力状态；【已讨论】
o
B1
B
CF
A
y
D′
A1
x
1
为主应力 1 ，2
OA1 OC CA1
x
y
OB1 OC CB1
2 x 2
y
(
x
y
2 x y 2 2 ( ) xy min 2 2
) xy max 1
2 0
Ⅰ象限
0 ~ 45
0
1 2
0
Ⅳ象限
90 ~ 0
0 0
Ⅱ 象限
0
Ⅲ象限
90 ~ 45
0 0
0 0
45 ~ 0
0
45 ~ 90
0 90
1 2
0
0
(90 ~ 135 )
2 xy
0
0
arctan(
2 xy
x y
)
arctan(
x y
FE CE sin( 2 o 2 ) CD sin 2 0 cos 2 CD cos 2 0 sin 2
x y
2
sin 2 xy cos 2
江苏科技大学张家港校区 点面对应 转向对应【一致】 二倍角对应 点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对
1、圆心的坐标 (Coordinate of circle center)
2、圆的半径（Radius of circle) R
C(
x y
2
,0)
2 此圆习惯上称为 应力圆 ( plane stress circle) ,
(
x y
)
2
2 xy
或称为莫尔圆 (Mohr’s circle)
中性轴处——纯剪应力状态；
上下边缘——单向应力状态。
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第七章 应力和应变分析 强度理论
§7-4 平面应力状态分析-图解法
§7-5 三向应力状态 §7-8 广义胡克定律
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§7-4 平面应力状态分析-图解法 (Analysis of plane stressstate with graphical means)
1
y 1
x
x
2 0 tan (
y
2 xy
x y
)
0 确定后， 1 对应的主平面方位即确定。
)
江苏科技大学张家港校区 例题5 图示单元体，已知 x =-40MPa， y =60MPa，xy=-
50MPa.试求 ef 截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位.
【自学P219例7－3】
y
e
f
xy
x
30°
(1) 求 ef 截面上的应力
30
x y
2 40 60 2
x y
2 x y 2
x y
2
cos 2 xy sin 2
sin 2 xy cos 2
一、莫尔圆(Mohr’s circle)
将斜截面应力计算公式改写为
x y
2 x y 2
x y