您的位置：360文档中心› 湖南省2016届高三数学(文)上学期期中(第四次月考)试题word版

湖南省2016届高三数学(文)上学期期中(第四次月考)试题word版

合集下载

2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案

2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案

2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案2016届高三上学期第一次月考数学文试卷考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1]D ．(0,1)2．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，a ，b }，则“a ＝2”是“A ?B ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．﹁p 或q B ．p 且q C ．﹁p 且﹁qD ．﹁p 或﹁q4．设函数f (x )＝x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15B ．3C.23D.1395．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)6．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．27. 如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是( ) A ．a ≥8 B ．a ≤8 C ．a ≥4D ．a ≥－48. 函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图像必经过点( ) A ．(0,1) B ．(1,1) C ．(2,0)D ．(2,2)9. 函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图像是( )10. 函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)11. 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2B ．eC.ln22D ．ln212. 函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( )．A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<1}<="" p="">二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13. 已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________．14. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________． 15. 函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．16. 若方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等的实根，则k 的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(10分) 化简：(1)3131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(12分)已知函数f (x )＝1a －1(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． 21．（12分）已知函数f (x )＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； 22．（12分）已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学答题卡一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题有一个正确答案）13、 14、15、 16、三、解答题17.(10分) 化简：(1)131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(10分)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；21．（13分）已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．22．（13分）已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学文试卷参考答案1．B2.A3.D4.D5.D6.A7.A8.D9.B10.B11.B12.A13. x －y －2＝0 14. {x |－32<1}<="" p="">15. (0,1] 16. (512，34]17. 解 (1)原式＝121311113233211212633311233().a b a b abab ab a b+-++----==(2)原式＝(－278)23-＋(1500)12-－105－2＋1＝(－827)23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 18. (1)证明设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)解∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[12，2]上单调递增，∴f (12)＝12，f (2)＝2.易得a ＝25.19. 解(1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0，f (－1)＝0. (2)由题意知，f (0)＝0. 当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1, 1]上，f (x )＝2x4x ＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.20．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∵x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)∵函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，∴要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝?x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0, 6]，单调递减区间是[－6,0]．21.解 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.∴f ′(x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)法一设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26.) 法二设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x2＋1，解之得x0＝－2，∴y0＝(－2) 3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．22.解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－a或x>a.由f′(x)<0，解得－a<x<a，< p="">∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图像可知：实数m的取值范围是(－3,1)．</x<a，<>。

【名师解析】湖南省长沙市重点中学2014届高三上学期第四次月考数学(文)试题 Word版含解析

【名师解析】湖南省长沙市重点中学2014届高三上学期第四次月考数学(文)试题 Word版含解析

湖南省长沙市重点中学 2014届高三上学期第四次月考试卷文科数学 第Ⅰ卷（共45分）一、选择题：本大题共9个小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知,,x y R i ∈为虚数单位，且1xi y i -=-+，则(1)x y i +-的值是 （ ）.2A .2B i - .4C - .2D i2.已知集合1{|0,},A x x x R x=-=∈则满足{1,0,1}A B =-的集合B 个数是 （ ） .2A .3B .4C .8D3.1a =-是直线1:0l ax y +=与直线2:20l x ay ++=平行的（ ）.A 充分不必要条件 B.必要不充分条件 .C 充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：直线1:0l ax y +=，易知其斜率为a -.直线2:20l x ay ++=，若0a ≠，则其斜率为1a-.当1a =-时，11a a -=-=，所以两直线平行.此外当1a =时，11a a-=-=-，两直线也平行.故1a =-可推出直线1:0l ax y +=与直线2:20l x ay ++=平行，但直线1:0l ax y +=与直线2:20l x ay ++=平行不一定能推出1a =-.所以1a =-是直线1:0l ax y +=与直线2:20l x ay ++=平行的充分不必要条件. 考点：充分条件与必要条件、直线平行的判定4.若非零向量,,a b c 满足a //b ，且0b c ⋅=，则a b c +⋅=（）（ ）.4A .3B .2C .0D【答案】D 【解析】试题分析：非零向量a //b ，若所以存在实数λ使得a b λ=.又 0b c ⋅=，所以()(1)0a b c b c λ+⋅=+⋅=. 考点：共线向量基本定理、向量的数量积5.函数()sin(),()(0,||)2f x x x R πωϕωϕ=+∈><的部分图像如图所示，如果12,(,)63x x ππ∈-，且12()()f x f x =，则12()2x x f += （ ）1.2A .2B .2C .1D6.已知下列四个命题，其中真命题的序号是 （ ） ① 若一条直线垂直于一个平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直； ② 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面； ③ 若一条直线平行一个平面，另一条直线垂直这个平面，则这两条直线垂直； ④ 若两条直线垂直，则过其中一条直线有唯一一个平面与另外一条直线垂直；.A ①② .B ②③ .C ②④ .D ③④7.函数 2()4x f x x e =- 零点的个数 （ ）.A 不存在 .B 有一个 .C 有两个 .D 有三个8.设函数(2),2()1()1,22x k x x f x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，()n a f n =，若数列{}n a 是单调递减数列，则实数k 的取值范围为（ ）.(,2)A -∞ 13.(,]8B -∞ 7.(,)4C -∞ 13.[28D ，） 【答案】C 【解析】试题分析：依题意，(2),2()1()1,22n n k n n a f n n -≥⎧⎪==⎨-<⎪⎩，所以111122a =-=-,22(2)a k =-.若数列{}n a 是单调递减数列,则20k -<，且12a a >.由2012(2)2k k -<⎧⎪⎨->-⎪⎩得27744k k k <⎧⎪⇒<⎨<⎪⎩，即则实数k 的取值范围为7(,)4-∞.考点：数列、单调性9.函数()y f x =是定义在R 上的增函数，函数(2014)y f x =-的图象关于点(2014,0)对称．若实数,x y 满足不等式22(6)(824)0f x x f y y -+-+<，则22x y +的取值范围是 （ ）.A (0,16) .B (0,36) .C (16,36) .D (0,)+∞第Ⅱ卷（共105分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）10.在极坐标系中，曲线2sin 4cos ρθθ=的焦点的极坐标 . 【答案】(1,0)11.如图1所示的流程图，输出的结果为 .12.若正三棱柱的三视图如图2所示，该三棱柱的体积是 .13.已知抛物线24(0)y px p =>与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF x ⊥轴，则椭圆的离心率为.14.已知A ，O 是原点，点(,)P x y的坐标满足0200y x y -≤-+≥⎨⎪≥⎪⎩，则||OA 的最大值为 ；的取值范围为 ．则点(,)P x y 在图中阴影区域内（含边界），易知图中点C 坐标为.令目标函数为z y =+，即y z =+.则由图知当直线y z =+过点C 时，z 可取最大值为最大值||OA （Ⅱ）cos OA OP OA AOP AOP OP⋅=∠=∠.易知图中3AOB π∠=，6BOC π∠=，所以6AOC π∠=，56AOD π∠=.所以5[,]66AOP ππ∠∈，即cos [AOP ∠∈，33AOP -≤∠≤.||OP 的取值范围为[3,3]-. 考点：线性规划、平面向量的数量积15.在等差数列{}n a 中，52=a ，216=a ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，（Ⅰ）数列{}n a 的通项n a = ； （Ⅱ）若1512m S S n n ≤-+对*n N ∈恒成立，则正整数m 的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c cos 1B B -=，且1b =． （Ⅰ）若5A=12π，求边c ； （Ⅱ）若2a c =，求ABC ∆的面积．【答案】（Ⅰ）c =；（Ⅱ）因为2222cos ,2,3b ac ac B a c B π=+-==，所以22221442b c c c =+-⨯，解得b =. ……(10分) 由此得222a b c =+，故ABC ∆为直角三角形,2A c π==.其面积126s bc ==. ……(12分) 考点：1.两角和差公式；2.正弦定理；3.余弦定理.17.2013年4月14日，CCTV 财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象．为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如下表：（Ⅰ）根据表中数据，求出s，t的值，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？（Ⅱ）若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，现从这6个样本中任取2个，则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少？参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++18.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，且1PA AD ==,2AB =,120PAB ∠=, 90PBC ∠=，（Ⅰ）平面PAD 与平面PAB 是否垂直？并说明理由；（Ⅱ）求直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）垂直；【解析】试题分析：（Ⅰ）由90PBC ∠=得BC PB ⊥，由底面ABCD 为矩形得BC AB ⊥，从而有BC ⊥平面PAB .而AD ∥BC ，所以AD ⊥平面PAB ，再由线面垂直的性质得平面PAD ⊥平面PAB ；（Ⅱ）过点P 作BA 延长线的垂线PH ，垂足为H ，连接CH ．然后可以证明AD ⊥平面PAB ，从而PCH ∠为PC 与底面（Ⅱ）如图，过点P 作BA 延长线的垂线PH ，垂足为H ，连接CH ．由（Ⅰ）可知AD ⊥平面PAB∵AD ⊂平面ABCD∴平面PAB ⊥平面ABCD∵PH ⊂平面PAB ，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD =AB∴PH ⊥平面ABCD∴CH 为PC 在平面ABCD 内的射影．∴PCH ∠为PC 与底面ABCD 所成的角．……(9分) 00120,60PAB PAH ∠=∴∠=，1PA =，∴在直角三角形PAH 中，001sin 60cos602PH PA AH PA =⨯==⨯=19.某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件；若做广告宣传，广告费为n 千元比广告费为(1)n -千元时多卖出*()2n b n N ∈件． （Ⅰ）试写出销售量n S 与n 的函数关系式；（Ⅱ）当10,4000a b ==时，厂家应生产多少件这种产品，做几千元的广告，才能获利最大？20.已知圆锥曲线E的两个焦点坐标是12(F F，且离心率为e =（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）设曲线E '表示曲线E 的y 轴左边部分，若直线1y kx =-与曲线E '相交于,A B 两点，求k 的取值范围； （Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，如果63AB =，且曲线E '上存在点C ，使OA OB mOC +=，求m 的值．从而有：2212212210(2)802101201k k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪∆=+>⎪⎪-⇒<-⎨+=<-⎪⎪-⋅=>⎪-⎩为所求. ……(8分)21.已知曲线C ：32()3()y f x x px p R ==-∈. （Ⅰ）当13p =时，求曲线C 的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）设斜率为m 的两条直线与曲线C 相切于,A B 两点，求证：AB 中点M 在曲线C 上；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，又已知直线AB 的方程为：1y x =--，求,p m 的值．【答案】（Ⅰ）51,27y x y x =-=+；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）1,3p m ==. 【解析】试题分析：（Ⅰ）当13p =时,先求导，通过斜率为1得到切点.然后利用点斜式得到所求切线方程；（Ⅱ）先将,A B 两点的坐标设出，其中纵坐标用相应点的横坐标表示.再由导数的几何意义，得到,A B 两点横坐标满足122x x p +=.从而得到AB 中点3(,2)M p p -，又AB 中点M 在曲线C 上33223p p p p ⇔-=-⋅，显然成立．得证；（Ⅲ）由AB 中点在直线1y x =--，又在曲线C ，从而得1p =，再反代如直线与曲线联立得方程，得到,A B 两点的坐标，代入导函数中得到斜率，从而得到3m =. 试题解析：（Ⅰ）当13p =时，322()()32y f x x x y f x x x ''==-⇒==-， 设切点为00(,)x y ，由20000011()321,3f x x x x x '==-⇒==-，切点为14(1,0),(,)327-- 故51,27y x y x =-=+为所求． ……(4分)（Ⅲ）由（Ⅱ）知，AB 中点M 的横坐标为p ，且M 在AB 上，(,1)M p p ⇒--，又M 在曲线C 上，323213210(1)(221)0p p p p p p p p p ⇒--=-⋅⇒--=⇒-++=， 所以1p =．由323233101y x x x x x y x ⎧=-⇒-++=⎨=--⎩，3222()(22)10(1)(21)0x x x x x x x x ⇒----+=⇒---=由于12122,11x x x x +=∴==故2211363(16(13m x x =-=-=．综上，1,3p m ==为所求． ……(13分)考点：1.导数的几何意义；2.直线的方程；3.直线与曲线的位置关系.。

湖南省长沙市2024-2025学年高三上学期调研考试(一)数学试题(解析版)

湖南省长沙市2024-2025学年高三上学期调研考试(一)数学试题(解析版)

2025届高三第一次调研考试数学（答案在最后）本试题卷共4页.时量120分钟，满分150分.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}320,20A x x xB x x x =-==--<∣∣，则A B = （）A.{}0,1 B.{}1,0- C.{}0,1,2 D.{}1,0,1-【答案】A 【解析】【分析】由因式分解分别求出高次方程和二次不等式的解集，再由集合的运算得出两个集合的交集。

【详解】∵()()3110x x x x x -=+-=∴{}1,0,1A =-∵()()22210x x x x --=-+<∴()1,2B =-∴{}0,1A B = 故选：A2.已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则m ∥α的一个充分条件是（）A.m ∥,n n ∥αB.m ∥,βα∥βC.,,m n n m αα⊥⊥⊄D.,m n A n ⋂=∥,m αα⊄【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由空间中线面关系以及线面平行的判定定理逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，由m ∥,n n ∥α可得m α⊂或m ∥α，故A 错误；对于B ，由m ∥,βα∥β可得m α⊂或m ∥α，故B 错误；对于C ，由,,m n n m αα⊥⊥⊄可得m ∥α，故C 正确；对于D ，由,m n A n ⋂=∥,m αα⊄可得,m α相交或m ∥α，故D 错误；故选：C3.20252x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项是（）A.第673项B.第674项C.第675项D.第676项【答案】D 【解析】【分析】根据题意，求得展开式的通项公式，结合通项公式，即可求解.【详解】由二项式20252x ⎫-⎪⎭的展开式为20253202521202520252C ()(2)C rrrr r rr T x x--+=-=-⋅，令202530r -=，解得675r =，此时()67567567620252C T =-⋅，所以二项式20252x ⎫⎪⎭的展开式的常数项为第676项.故选：D.4.铜鼓是流行于中国古代南方一些少数民族地区的礼乐器物，已有数千年历史，是作为祭祀器具和打击乐器使用的.如图，用青铜打造的实心铜鼓可看作由两个具有公共底面的相同圆台构成，上下底面的半径均为25cm ，公共底面的半径为15cm ，铜鼓总高度为30cm.已知青铜的密度约为38g /cm ，现有青铜材料1000kg ，则最多可以打造这样的实心铜鼓的个数为（）（注：π 3.14≈）A .1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】先根据圆台的体积公式计算求解铜鼓的体积，然后根据材料体积求解即可.【详解】依题意圆台的上底面半径为15cm ，下底面半径为25cm ，高为15cm ，所以铜鼓的体积()221215251525π153V =⨯⨯++⨯⨯≈38465()3cm，又10000003.25384658≈⨯，故可以打造这样的实心铜鼓的个数为3.故选：C5.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()1f x x f x <-'（()f x '为()f x 的导函数），且()10f =，则（）A.()22f <B.()22f >C.()33f <D.()33f >【答案】D 【解析】【分析】由已知可得()()21xf x f x x x ->'，令()()ln f x g x x x=-，可得()g x 在(0,)+∞上单调递增，进而可得()n 33l 3f >，()n 22l 2f >，可得结论.【详解】由题意可得()()xf x f x x '->，即()()21xf x f x x x->'，令()()ln f x g x x x=-，则()()()210xf x f x g x x x-'=->'，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，因为()10f =，所以()()11ln10g f =-=，所以()()310g g >=，所以()3ln 303f ->，所以()3ln 333f >>，所以()()210g g >=，所以()2ln 202f ->，所以()n 22l 2f >，又2ln 22<，故()2f 与2的大小关系不确定.故选：D.6.已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 且倾斜角为π4的直线交C 于,A B 两点，M 是AB 的中点，点P 是C 上一点，若点M 的纵坐标为1，直线:3230l x y ++=，则P 到C 的准线的距离与P 到l 的距离之和的最小值为（）A.26 B.26C.13D.26【答案】D 【解析】【分析】首先联立AB 与抛物线方程，结合已知、韦达定理求得p ，进一步通过抛物线定义、三角形三边关系即可求解，注意检验等号成立的条件.【详解】由题得C 的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设倾斜角为π4的直线AB 的方程为2p y x =-，与C 的方程22(y px =联立得2220y py p --=，设1,1,2,2，则1222,1y y p p +===，故C 的方程为212,,02y x F ⎛⎫=⎪⎝⎭.由抛物线定义可知点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，联立抛物线2:2C y x =与直线:3230l x y ++=，化简得291090x x ++=，由Δ1004992240=-⨯⨯=-<得C 与l 相离.,,Q S R 分别是过点P 向准线、直线:3230l x y ++=以及过点F 向直线:3230l x y ++=引垂线的垂足，连接,FP FS ，所以点P 到C 的准线的距离与点P 到直线l 的距离之和PQ PS PF PS FS FR +=+≥≥,等号成立当且仅当点P 为线段FR 与抛物线的交点，所以P 到C 的准线的距离与P 到l 的距离之和的最小值为点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭到直线:323l x y ++=0的距离，即26FR ==.故选：D.7.已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，对于任意的x ∈R ，ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()π02f x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭都恒成立，且函数()f x 在π,010⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的值为（）A.3B.9C.3或9D.【答案】A 【解析】【分析】根据正弦型函数的单调性先确定周期的取值范围，从而缩小ω的取值范围，结合正弦型三角函数的对称性可得符合的ω的取值为3ω=或9，分类讨论验证单调性即可得结论.【详解】设函数()f x 的最小正周期为T ，因为函数()f x 在π,010⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以π0102T⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，得2ππ5T ω=≥，因此010ω<≤．由ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知()f x 的图象关于直线π12x =对称，则11πππ,122k k ωϕ⋅+=+∈Z ①．由()π02f x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭知()f x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，则22ππ,4k k ωϕ⋅+=∈Z ②．②-①得()2112πππ,,62k k k k ω⋅=--∈Z ，令21k k k =-，则63,k k ω=-∈Z ，结合010ω<≤可得3ω=或9．当3ω=时，代入①得11ππ,4k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，所以π4ϕ=，此时()π2sin 34f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为πππ32044x -<+<，故()f x 在π,010⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，符合题意；当9ω=时，代入①得1ππ4k ϕ=-+，1k ∈Z ，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-，此时()π2sin 94f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为23πππ92044x -<-<-，故()f x 在π,010⎛⎫-⎪⎝⎭上不是单调递增的，所以9ω=不符合题意，应舍去．综上，ω的值为3．故选：A .8.如图，已知长方体ABCD A B C D -''''中，2AB BC ==，AA '=，O 为正方形ABCD 的中心点，将长方体ABCD A B C D -''''绕直线OD '进行旋转．若平面α满足直线OD '与α所成的角为53︒，直线l α⊥，则旋转的过程中，直线AB 与l 夹角的正弦值的最小值为（）（参考数据：4sin535︒≈，3cos535︒≈）A.310B.410- C.310+ D.310+【答案】A 【解析】【分析】求出直线OD '与C D ''的夹角，可得C D ''绕直线OD '旋转的轨迹为圆锥，求直线OD '与l 的夹角，结合图形可知，当l 与直线D E '平行时，C D ''与l 的夹角最小，利用三角函数知识求解即可.【详解】在长方体ABCD A B C D -''''中，//AB C D ''，则直线AB 与l 的夹角等于直线C D ''与l 的夹角．长方体ABCD A B C D -''''中，2AB BC ==，AA '=，O 为正方形ABCD 的中心点，则2OD OC ==''，又2C D ''=，所以OC D '' 是等边三角形，故直线OD '与C D ''的夹角为60︒．则C D ''绕直线OD '旋转的轨迹为圆锥，如图所示，60C D O ∠=''︒．因为直线OD '与α所成的角为53︒，l α⊥，所以直线OD '与l 的夹角为37︒．在平面C D O ''中，作D E '，D F '，使得37OD E OD F '∠=∠='︒．结合图形可知，当l 与直线D E '平行时，C D ''与l 的夹角最小，为603723C D E ∠=︒-︒=''︒，易知603797C D F ∠=︒+︒=''︒．设直线C D ''与l 的夹角为ϕ，则2390ϕ︒≤≤︒，故当23ϕ=︒时sin ϕ最小，而()sin23sin 6037sin60cos37cos60sin37︒=︒-︒=︒︒-︒︒433sin60sin53cos60cos5310-=︒︒-︒︒≈，故直线AB 与l 的夹角的正弦值的最小值为43310-.故选：A【点睛】关键点点睛：解题中在平面C D O ''中，作D E '，D F '，使得37OD E OD F '∠=∠='︒，结合图形可知，当l 与直线D E '平行时，C D ''与l 的夹角最小，为603723C D E ∠=︒-︒=''︒是关键.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立,A B 两个小组在原产品的基础上进行不同方向的研发，A 组偏向于智能自动化方向，B 组偏向于节能增效方向，一年后用简单随机抽样的方法各抽取6台进行性能指标测试（满分：100分），测得A 组性能得分为：91,81,82,96,89,73，B 组性能得分为：737096799488，，，，，，则（）A.A 组性能得分的平均数比B 组性能得分的平均数高B.A 组性能得分的中位数比B 组性能得分的中位数小C.A 组性能得分的极差比B 组性能得分的极差大D.B 组性能得分的第75百分位数比A 组性能得分的平均数大【答案】AD 【解析】【分析】根据计算公式分别计算,A B 两个小组的平均数、中位数、极差、第75百分位数，再对各选项逐一判断即可.【详解】由题意可得A 组性能得分的平均数为91818296897385.36+++++≈，B 组性能得分的平均数为73709679948883.36+++++≈，所以A 组性能得分的平均数比B 组性能得分的平均数高，A 说法正确；A 组性能得分738182899196，，，，，的中位数为828985.52+=，B 组性能得分707379889496，，，，，的中位数为798883.52+=，所以A 组性能得分的中位数比B 组性能得分的中位数大，B 说法错误；A 组性能得分的极差为967323-=，B 组性能得分的极差为967026-=，所以A 组性能得分的极差比B 组性能得分的极差小，C 说法错误；B 组性能得分707379889496，，，，，共6个数据，60.75 4.5⨯=，所以B 组性能得分的第75百分位数为94，比A 组性能得分的平均数大，D 说法正确；故选：AD10.嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中,AC BD 分别为两个截面椭圆的长轴，且,,,A C B D 都位于圆柱的同一个轴截面上，AD 是圆柱截面圆的一条直径，设上､下两个截面椭圆的离心率分别为12,e e ，则能够保证CD ≥的12,e e 的值可以是（）A.12,32e e == B.121,25e e == C.12340,27e e == D.1232,34e e ==【答案】AD 【解析】【分析】根据勾股定理，结合离心率公式可得22222212111,1r r e n e m -=-=，即可根据n ≥得222111211e e -≥-，逐一代入即可求解.【详解】设2,2,2,AD r AB m CD n ===且n ≥，故BD AC ===故12e e ==，故22222212111,1r r e n e m-=-=，由于n ≥，故222n m ≥，故222222222111211r e n m r m e n -==≥-，即222111211e e -≥-，对于A，12,32e e ==，满足2221112211e e -=≥-，故A 正确，对于B，121,25e e ==，22211142131e e -=<-，故B 错误，对于B，12,27e e ==，2221112721401e e -=<-，故C 错误，对于D，12,34e e ==，22211172121e e -=>-，故D 正确，故选：AD11.对于任意实数,x y ，定义运算“⊕”x y x y x y ⊕=-++，则满足条件a b b c ⊕=⊕的实数,,a b c 的值可能为（）A.0.5log 0.3a =-，0.30.4b =，0.5log 0.4c =B.0.30.4a =，0.5log 0.4b =，0.5log 0.3c =-C.0.09a =，0.10.1b =e ，10ln 9c =D.0.10.1e a =，10ln 9b =，0.09c =【答案】BD 【解析】【分析】由a b b c ⊕=⊕，可得a b a b b c b c -++=-++，可得,b a b c ≥≥，故只需判断四个选项中的b 是否为最大值即可，利用函数函数0.5log y x =为减函数，0.4x y =为减函数可判断AB ；构造函数()()[)1e ,0,1x f x x x =-∈，利用单调性可得0.10.10.09e <，进而再构造函数()()[)ln 1,0,1ex x h x x x =+-∈，求导可得()()()21e e 1x xx h x x --'=-，再构造函数()()21e xx x ω=--，利用单调性可判断CD ．【详解】由a b b c ⊕=⊕，可得a b a b b c b c -++=-++，即a b b c c a ---=-，若,a b c b ≤≤，可得a b b c c a ---=-，符合题意，若,a b c b ≤>，可得2a b b c b a c ---=--，不符合题意，若,a b c b >≤，可得a b b c a c ---=-，不符合题意，若a b c b >>,，可得2a b b c c a b ---=+-，不符合题意，综上所述0a b -≤，0b c -≥，可得,b a b c ≥≥，故只需判断四个选项中的b 是否为最大值即可．对于A ，B ，由题知0.50.50.510log 0.3log log 103-=<=，而0.3000.40.41<<=，0.50.5log 0.4log 0.51>=，所以0.30.50.5log 0.30.4log 0.4-<<．（点拨：函数0.5log y x =为减函数，0.4x y =为减函数），对于A ，a b c <<；对于B ，c a b <<，故A 错误，B 正确．对于C ，D ，()0.10.10.10.090.9e 10.1e 0.1e ==-，（将0.9转化为10.1-，方便构造函数）构造函数()()[)1e ,0,1x f x x x =-∈，则()e xf x x '=-，因为[)0,1x ∈，所以()()0,f x f x '≤单调递减，因为()01f =，所以()0.11f <，即0.10.9e 1<，所以0.10.10.09e <．（若找选项中的最大值，下面只需判断0.10.1e 与10ln 9的大小即可）()10.10.10.10.10.1100.190.190.1ln ln ln ln 10.1e 9e 10e 10e -⎛⎫-=-=+=+- ⎪⎝⎭，构造函数()()[)ln 1,0,1e x x h x x x =+-∈，则()()()21e 11e 1e 1x x xx x h x x x ---=--'=-，因为[)0,1x ∈，所以()e 10xx ->，令()()21e x x x ω=--，则()()21e xx x ω=---'，当[)0,1x ∈时，()()0,x x ωω'<单调递减，因为()00ω=，所以()0x ω≤，即()()0,h x h x '≤单调递减，又()00h =，所以()0.10h <，即()0.10.1ln 10.10e+-<，所以0.10.110ln e 9<．综上，0.10.1100.09ln e 9<<．对于C ，a b c <<；对于D ，c a b <<，故C 错误，D 正确．（提醒：本题要比较0.09与10ln 9的大小关系的话可以利用作差法判断，即()11090.09ln 0.10.9ln 10.90.9ln0.9910-⎛⎫-=⨯-=-⨯+ ⎪⎝⎭，构造函数()()(]1ln ,0,1g x x x x x =-+∈，则()()()221112112x x x x g x x x x x+-+-++='=-+=，因为(]0,1x ∈，所以()()0,g x g x '≥单调递增，因为()10g =，所以()0.90g <，即100.09ln 09-<，所以100.09ln 9<）故选：BD.【点睛】方法点睛：本题考查定义新运算类的题目，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，构造函数，利用函数的单调性与最值比较数的大小.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在复平面内，复数z 对应的点为()1,1，则21zz-=+______．【答案】13i 55-【解析】【分析】根据复数的几何意义可得1i z =+，即可由复数除法运算求解.【详解】由于复数z 对应的点为()1,1，所以1i z =+，故()()()()1i 2i 21i 13i 13i12i 2i 2i 555z z -----=+++-===-，故答案为：13i55-13.写出一个同时满足下列条件①②③的数列的通项公式n a =______.①m na a m n--是常数，*,m n ∈N 且m n ≠；②652a a =；③的前n 项和存在最小值.【答案】4n -（答案不唯一）【解析】【分析】根据等差数列的特征，不妨选择等差数列，然后根据题目条件利用等差基本量的运算求解通项公式，即得解.【详解】由题意，不妨取数列为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，由②可知()61515224a a d a a d =+==+，则13a d =-，又m na a d m n-=-是常数，满足①，由③的前n 项和存在最小值，故等差数列单调递增，取1d =，则13a =-，故4n a n =-，此时当3n =或4n =时，的前n 项和取到最小值为6-，所以同时满足条件①②③的数列的一个通项公式4n a n =-.故答案为：4n -（答案不唯一）14.清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在n n ⨯的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数122C C nn n n --.如图，现有34⨯的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角A 走到右上角B 共有__________种不同的走法；若要求从左下角A 走到右上角B 的过程中只能在直线AC 的右下方，但可以到达直线AC ，则有__________种不同的走法.【答案】①.35②.14【解析】【分析】根据题意，由组合数的意义即可得到结果，结合卡特兰数的定义，即可得到结果.【详解】从左下角A 走到右上角B 共需要7步，其中3步向上，4步向右，故只需确定哪3步向上走即可，共有37C 35=种不同的走法；若要求从左下角A 走到右上角B 的过程中只能在直线AC 的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则由卡特兰数可知共有4388C C 14-=种不同的走法，又到达右上角D 必须最后经过B ，所以满足题目条件的走法种数也是14.故答案为：35；14四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知M 为圆229x y +=上一个动点，MN 垂直x 轴，垂足为N ，O 为坐标原点，OMN 的重心为G .（1）求点G 的轨迹方程；（2）记（1）中的轨迹为曲线C ，直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，点(0,1)Q ，若点)3,0H 恰好是ABQ的垂心，求直线l 的方程.【答案】（1）()22104x y xy +=≠（2）1635y x =-【解析】【分析】（1）设()()00,,,G x y M x y ，根据G 为OMN 的重心，得00233x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入22009x y +=，化简即可求解.（2）根据垂心的概念求得l k =l 方程，与椭圆联立韦达定理，利用AH BQ ⊥得2211y x -=-，将韦达定理代入化简即可求解.【小问1详解】设()()00,,,G x y M x y ，则()0,0N x ，因G 为OMN 的重心，故有：00233x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得003,32x x y y ==，代入22009x y +=，化简得2214x y +=，又000x y ≠，故0xy ≠，所以G 的轨迹方程为()22104x y xy +=≠.【小问2详解】因H 为ABQ 的垂心，故有,AB HQ AH BQ ⊥⊥，又33HQ k ==-，所以l k =，故设直线l的方程为()1y m m =+≠，与2214x y +=联立消去y得：2213440++-=x m ，由2Δ208160m =->得213m <，设()()1122,,,A x y B x y，则2121244,1313m x x x x --+==，由AH BQ ⊥2211y x -=-，所以()211210x x mm -+++-=，所以)()21212410x x m x x m m +-++-=，所以()()()22444241130m m m m m ---+-=，化简得2511160m m +-=，解得1m =（舍去）或165m =-（满足Δ0>），故直线l 的方程为165y =-.16.如图，四边形ABDC 为圆台12O O 的轴截面，2AC BD =，圆台的母线与底面所成的角为45°，母线长，E 是 BD的中点．（1）已知圆2O 内存在点G ，使得DE ⊥平面BEG ，作出点G 的轨迹（写出解题过程）；（2）点K 是圆2O 上的一点（不同于A ，C ），2CK AC =，求平面ABK 与平面CDK 所成角的正弦值．【答案】（1）答案见解析（2）47035【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，过B 作下底面的垂线交下底面于点G ，过G 作BE 的平行线，交圆2O 于1G ，2G ，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，根据条件，求出平面ABK 和平面CDK ，利用面面角的向量法，即可求出结果.【小问1详解】E 是 BD的中点，DE BE ∴⊥．要满足DE ⊥平面BEG ，需满足DE BG ⊥，又DE ⊂ 平面BDE ，∴平面BEG ⊥平面BDE 如图，过B 作下底面的垂线交下底面于点G ，过G 作BE 的平行线，交圆2O 于1G ，2G ，则线段12G G 即点G 的轨迹．【小问2详解】易知可以2O 为坐标原点，2O C ，21O O 所在直线分别为y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系2O xyz -，，母线与底面所成角为45°，2AC BD =，22O A ∴=，11O B =，121O O =，取K 的位置如图所示，连接2O K，2CK AC = ，260CO K ∴∠=︒，即230xO K ∠=︒，则)K，()0,2,0A -，()0,1,1B -，()0,2,0C ，()0,1,1D ，则)AK =，)2,1BK =-，)1,0CK =-，)1DK =-．设平面ABK 的法向量为()111,,n x y z =，则00n AK n BK ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111113020y y z +=+-=，令1x =11z =，11y =-，)1,1n ∴=-．设平面CDK 的法向量为()222,,m x y z =，则00m CK m DK ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200y z -=-=，令2x =，则23z =，23y =，)m ∴=．设平面ABK 与平面CDK 所成的角为θ，则cos 35n mn mθ⋅===⋅ ，470sin 35θ∴==．17.素质教育是当今教育改革的主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分，对于陶冶学生的情操、增强学生的表现力和自信心、提高学生的综合素质等有重要意义．为推进音乐素养教育，培养学生的综合能力，某校开设了一年的音乐素养选修课，包括一个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有24名，器乐班的学生有28名，课程结束后两个班分别举行音乐素养过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的．（1）声乐班的学生全部进行测试．若声乐班每名学生通过测试的概率都为p （01p <<），设声乐班的学生中恰有3名通过测试的概率为()fp ，求()f p 的极大值点0p ．（2）器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试．若器乐班的学生中有4人学习钢琴，有8人学习小提琴，有16人学习电子琴，按学习的乐器利用分层随机抽样的方法从器乐班的学生中抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取3人进行测试，设抽到学习电子琴的学生人数为ζ，求ζ的分布列及数学期望．【答案】（1）18（2）分布列见解析，()127E ζ=【解析】【分析】（1）根据独立重复试验求出概率，再利用导数求极值；（2）先借助分层抽样确定随机变量ζ的所有可能取值，求出其分布列，最后求期望.【小问1详解】24名学生中恰有3名通过测试的概率()()213324C 1f p p p =⋅-，则()()()()()212020323322424C 31211C 3118f p p p p p p pp '⎡⎤=---=⋅--⎣⋅⎦，01p <<，令()0f p '=，得18p =，所以当108p <<时，()0f p '>，()f p 单调递增；当118p <<时，()0f p '<，()f p 单调递减，故()f p 的极大值点018p =．【小问2详解】利用分层随机抽样的方法从28名学生中抽取7名，则7名学生中学习钢琴的有1名，学习小提琴的有2名，学习电子琴的有4名，所以ζ的所有可能取值为0，1，2，3，()3337C 10C 35P ζ===，()213437C C 121C 35P ζ===，()123437C C 182C 35P ζ===，()3437C 43C 35P ζ===，则随机变量ζ的分布列为ζ0123P13512351835435()112184120123353535357E ζ=⨯+⨯+⨯+⨯=．18.已知数列为等比数列，为等差数列，且112a b ==，858a a =，48a b =.（1）求，的通项公式；（2）数列()1122241n n b ππ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，集合*422N n n n S b A nt n n a ++⎧⎫⋅⎪⎪=≥∈⎨⎬⋅⎪⎪⎩⎭，共有5个元素，求实数t 的取值范围；（3）若数列{}n c 中，11c =，()22log 2114nn n a c n b =≥-，求证：1121231232n c c c c c c c c c c +⋅+⋅⋅++⋅⋅< .【答案】（1）2n n a =，2n b n =（2）147(25,]4.（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设数列的公比为q ，数列的公差为d ，由已知易得38q =，82716b d =+=，可求n a ，n b ；（2）设数列()1122241n nn d b ππ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦=-⋅，可求得441424312848n n n n d d d d n ---+++=-，4nS =(6416)n n +，进而可得422(328)(2)2n n nn S b n n na ++++= ，可得(1)(2)(3)(4)()f f f f f n <>>>> ，可求t 的取值范围为147(25,]4.（3）123n c c c c ⋅⋅ 112[]!(1)!n n =-+，进而计算可得不等式成立.【小问1详解】设数列的公比为q ，数列的公差为d ，则由858a a =，38q =，所以2q =，所以112n nn a a q -==，416a =，即82716b d =+=，所以2=d ，所以1(1)2(1)22n b b n d n n =+-=+-⨯=；【小问2详解】设数列()1122241n nn d b ππ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦=-⋅，则22224414243441424312848n n n n n n n n d d d d b b b b n ------+++=+--=-，所以412344342314(1284880)()()2n n n n n n n S d d d d d d d d ----+=++++++++=(6416)n n =+，4222(6416)2(2)(328)(2)22n n n nn S b n n n n na +++++++== ，令(328)(2)()2n n n f n ++=，1(3240)(3)(328)(2)(1)()22n nn n n n f n f n ++++++-=-()22144113288822n nn n n n +--+---==，可得(1)(2)(3)(4)()f f f f f n <>>>> ，故当2n =时，()f n 最大，且147(1)60(5)(6)254f f f ===，，所以147254t <≤，即t 的取值范围为147(25,4.【小问3详解】由11,c =222log (2)11(1)(1)14n n n a n nc n n n n b ===≥-+--，则当2n ≥时，()()()1232311324113451n n n c c c c n n n n ⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯⨯+ 211112[]2[](1)!(1)!!(1)!n n n n n n +-===-+++，当1n =时，11c =也满足上式，所以12*3112[](N )!(1)!n n n c n c c c =-⋅⋅∈+ ，1121231231111112[1]222!2!3!!(1)!(1)!n c c c c c c c c c c n n n =-+-++-=-⋅<++⋅+⋅⋅+⋅++ ，所以原不等式成立.19.设有n 维向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，12n b b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，称1122,n n a b a b a b a b ⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎣⎦ 为向量a 和b 的内积，当,0a b ⎡⎤=⎣⎦ ，称向量a 和b 正交．设n S 为全体由1-和1构成的n 元数组对应的向量的集合．（1）若1234a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，写出一个向量b ，使得,0a b ⎡⎤=⎣⎦．（2）令[]{},,n B x y x y S =∈．若m B ∈，证明：m n +为偶数．（3）若4n =，()4f 是从4S 中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足,0a b ⎡⎤=⎣⎦ ，猜测()4f 的值，并给出一个实例．【答案】（1）1110b ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭（答案不唯一）（2）证明见解析（3）()44f =，答案见解析.【解析】【分析】（1）根据定义写出满足条件的即可；（2）根据,n x y S ∈，结合定义，求出[],x y ，即可得证；（3）利用反证法求证.【小问1详解】由定义，只需满足13420234b b b b +++=，不妨取1110b ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭（答案不唯一）．【小问2详解】对于m B ∈，1i =，2，⋅⋅⋅，n ，存在12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，{}1,1i x ∈-，12n y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，{}1,1i y ∈-，使得[],x y m = ．当=i i x y 时，1i i x y =；当≠i i x y 时，1=-i i x y ．令1,0,i i i ii x y x y λ=⎧=⎨≠⎩，1λ==∑n i i k ．所以[]()1,2n i i i x y x y k n k k n ===--=-∑ ．所以22+=-+=m n k n n k 为偶数．【小问3详解】当4n =时，可猜测互相正交的4维向量最多有4个，即()44f =．不妨取11111a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，21111a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭ ，31111a -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，41111a ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，则有[]12,0a a = ，[]13,0a a = ，[]14,0a a = ，[]23,0a a = ，[]24,0a a = ，[]34,0a a = ．若存在5a ，使[]15,0a a = ，则51111a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 或1111⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭或1111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭．当51111a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭时，[]45,4a a =- ；当51111a ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭时，[]25,4a a =- ；当51111a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭时，[]35,4a a =- ，故找不到第5个向量与已知的4个向量互相正交．。

湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期月考(二)语文+答案

湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期月考(二)语文+答案

炎德·英才大联考长郡中学2025届高三月考试卷(二)语文本试卷共四道大题，23道小题。

时量150分钟，满分150分。

一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读Ⅰ(本题共5小题，19分)阅读下面的文字，完成1~5题。

材料一：我们要理解中国传统的山水眼光，进而用这种眼光观看我们周围的真山真水。

什么是山水的眼光? 中国画家画一座山，通常先在山脚下住一段时间，在山腰又住一段时间，山前山后来回跑，又无数次登上山岭远望，最后整座山了然于心，待要画时，和盘托出。

一画之中，山脚与山体俱见，山前和山后齐观，巅顶与群峦并立，这就是所谓的“高远、深远、平远”。

不为透视所拘，不受视域所限，山水草木一例相看，烟云山壑腾挪反转。

古人把这种方法称为饱游而饫看，游目而骋怀。

山水眼光是一种不唯一时一侧的观看，更是将观看化入胸壑，化成天地综观的感性方式。

山止川行，风禾尽起。

中国人的内心始终有一种根深蒂固的山水依恋。

何谓“山”?山者，宣也。

宣气散，万物生。

山代表着大地之气的宣散，代表着宇宙生机的根源，故而山主生，呈现为一种升势。

何谓“水”? 水者，准也。

“上善若水，水善利万物而不争。

”相对山，水主德，呈现为平势、和势。

正是这种山水之势在开散与聚合之中，在提按与起落之中，起承转合，趋背相异，从而演练与展现出万物的不同情态、不同气韵。

山水非一物，山水是万物，它本质上是一个世界观，是一种关于世界的综合性的“谛视”。

所谓“谛视”，就是超越一个人瞬间感受的意念，依照生命经验之总体而构成的完整世界图景。

这种图景是山水的人文世界，是山水的“谛视”者将其一生的历练与胸怀置入山水云霭的聚散之中，将现实的起落、冷暖、抑扬、明暗纳入内心的观照之中，形成“心与物游”的存在。

多年前，我曾在台北故宫博物院欣赏北宋郭熙的《早春图》。

我在这里看到一片奇幻的山壑被一层层的烟云包裹着，宁静而悠远，峻拔而生机勃勃。

这是早春即将来临之时的山中景象——冬去春来，大地苏醒，山间浮动着淡淡的雾气，传出春天的消息。

湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期月考(一)数学试题及答案

湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期月考(一)数学试题及答案

大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （ ）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣D. {12}x x <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1ab ==−，则向量a b +在向量b上投影向量为（ ）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,04. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ） A. 21B. 19C. 12D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人 B. 272人C. 328人D. 820人6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ） A.π6 B.π4C.π3D.2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C. (D. (8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x=+，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=． （1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点． （1）求a 的值； （2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值； （2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 12345678910销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 04经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑ （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n ∗∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．..参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii ii i n n i i i i x x y y x y nx yay bx x xx nx====−−−==−−−∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （ ）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣ D. {12}x x <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集． 【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =−≤≤=−<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ∩=<<∣， 故选：D ．2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =−+，再由模长公式即可得出结果. 【详解】依题意()1i 3i z +=−+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z −+−−+−+====−+++−，所以z =. 故选：C3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==−，则向量a b +在向量b上的投影向量为（ ）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=−+⋅==所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b bb +⋅==− .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ） A. 21 B. 19C. 12D. 42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a == 故公差76162,53d a a a a d =−=∴=−=−，()767732212S ×∴=×−+×=， 故选：A5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22µσ=×==，()()(),0.750.547p k P k X k p µσµσ=−≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤ ()0.750.547p ≈，()()900.510.5470.2265P X ≥×−，∴该校及格人数为0.22651200272×≈（人），故选：B ． 6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ） A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⋅+⋅=⋅ =⋅ ， 解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⋅=⋅=，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅−⋅=−，π,0,2αβ∈，()0,παβ∴+∈， 2π,3αβ∴+=，故选：D ．7. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B.C. (D. (【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay −=交于,A B 两点， 则2F 到渐近线0bx ay −=的距离d b，所以AB =， 因为123AB F F >，所以32c ×>，可得2222299a b c a b −>=+， 即22224555a b c a >=−，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是 .故选：B8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,1 B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可． 【详解】令()u f x =，则()0f u =．�当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；�当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x==，可得2x =， 因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞−]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥； 若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞， 故选：C ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ， 由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =， 所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=°， 90EMG ∴∠=°，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．���BD ．10. 已知函数()5π24f x x=+，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x+求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f =+×=≠，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得： 3π3π5ππ228842y f x x x x=−−++，为奇函数，故B 正确； 对于C ，当5π7π,88x∈时，则5π5π2,3π42x +∈ ，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88 上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x+ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ， ()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242， 而第7个交点的横坐标为13π4， 5π13π24m ∴<≤，故D 正确. 故选：BD11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++−=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =−=∑，可得D 错误. 【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x −=−=−，且()()()00,21g f x g x =++−=， 即()()21f x g x +−=①， 用x −替换()()21f x g x ++−=中的x ，得()()21f x g x −+=②， 由①+②得()()222f x f x ++−=， 所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++−=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++−=+=−−=−， 所以()()()()82422f x f x f x f x +=−+=−−= ， 所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确； 由①知()()21g x f x =+−，则()()()()882121g x f x f x g x +=++−=+−=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数， 所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++−=，所以()()42f x f x ++=， 令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…， 令8090x =，则有()()809080942f f +=， 所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =−=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______． 【答案】180− 【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅−，化简即可得到结果． 【详解】在6(31)x y +−的展开式中， 由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅−=−，得2x y 的系数为180−. 故答案为：180−．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,−∪+∞ 【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ′′−=，因此可得()()2f x f x ′>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论. 【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x −=−，两边同时求导可得()()f x f x ′′−−=−，即()()f x f x ′′−=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x ′−>，所以()()2f x f x ′>. 构造函数()()2xf x h x =e，则()()()22x f x f x h x ′−′=e ， 所以当0x >时，()()0,h x h x ′>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零， 又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零， 因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞−−上小于零，在()1,0−上大于零， 综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,−∪+∞. 故答案为：()()1,01,−∪+∞14. 已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λµ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可. 【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ ，其中π,0,3BOC θθ ∠=∈ ， 由(),R OC OA OB λµλµ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλµ =+，整理得1cos sin 2λµθθ+=，解得cos λµθ=，则ππcos cos ,0,33λµθθθθθ+=++=+∈，ππ2ππ,,sin 3333θθ+∈+∈所以λµ +∈ . 方法二：设k λµ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λµ=+=； 当点C 运动到AB的中点时，k λµ=+，所以λµ +∈故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=． （1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．【答案】（1）2π3C = （2）3CD = 【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解． 【小问1详解】 由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=， 因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠， 因此1cos 2C =−，所以2π3C =． 【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB=所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==， 因此sin 3sin BADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =， 又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+−，即222293a a a =++， 解得4a =，所以12b =．又ABCACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅， 即4816CD =，所以3CD =． 16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点． （1）求a 的值； （2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 【答案】（1）1a = （2）(]()10,−∞−+∞ , 【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围． 【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα−−==′+⋅+，由1111ln 10e e e a f a −=+=′，得1a =， 当1a =时，()ln 1f x x =′+，函数()f x 在10,e上单调递减，在1,e∞ +上单调递增， 所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点， 所以1a =． 【小问2详解】由（1）知min 11()e ef x f ==−． 函数()g x 的导函数()()1e xg x k x −=−′ �若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=−，使得()()12111e 1e k g x g f x k=−=−<−<−≤，即()()120f x g x −≥，符合题意． �若()0,0kg x =，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x −<，不符合题意．�若0k <，当1x <时，()()0,g x g x ′<在(),1∞−上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x ′>在(1,+∞)上单调递增，所以()min ()1ekg x g ==， 若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，只需min min ()()g x f x ≤， 即1e ek ≤−，解得1k ≤−． 综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞−−∪+．17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析 （2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点 【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证； （2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ， 所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以PE BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ， 所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ∩=⊂平面PEC ， 所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥． 【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E −，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<， 所以()(),,11,2,1x y z λ−=−，所以,2,1x y z λλλ===−，即(),2,1F λλλ−．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==−=−，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⋅=⋅=，，即2020a b a b c += +−= ，，取()1,2,3m =−− ， 设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅===整理得2620λλ−=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点. 【小问1详解】 由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b = 所以112242p b ==×=，所以抛物线1C 的方程是2y x =. 设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥−=−=≥， 所以当232ι=时，线段PQ . 【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则： 直线()222:b a MN y a x a b a −−=−−，即()21y a x a a b −=−+，即()0x a b y ab −++=. 直线()21:111a DM y x a −−=−−，即()10x a y a −++=. 由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r −+−+−=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r −+−+−=. 所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解， 22224224,11r r a b ab r r −−∴+==−− 代入方程()0x a b y ab −++=得()()222440x y r x y +++−−−=， 220,440,x y x y ++= ∴ ++= 解得0,1.x y = =− ∴直线MN 恒过定点()0,1−.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x −=−,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 259 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑. （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n ∗∈. ①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====−−−==−−−∑∑∑∑. 【答案】（1）673220710001200y t + （2）433774n n P =+⋅−（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程； （2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证． 【小问1详解】 解：剔除第10天的数据，可得2.2100.4 2.49y ×−==新， 12345678959t ++++++++=新， 则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t = =−×==−= ∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t == − −×× ==−× − ∑∑新新新新新， 可得6732207ˆ 2.4560001200a =−×=，所以6732207ˆ60001200y t +. 【小问2详解】 解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12111313,444416P P ==×+=， 所以11233,(3)44n n n n P P P P n −−−+=+≥，又由2131331141644P P ++×， 所以134n n P P − +是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n −+=≥ 所以1434(),(2)747n n P P n −−=−−≥，又因为1414974728P −=−=−， 所以数列47n P − 是首项为928−，公比为34−的等比数列， 故1493()7284n n P −−=−−，所以1934433()()2847774n n n P −=−−+=+−. 【小问3详解】 解：①当n 为偶数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=+⋅>单调递减， 最大值为21316P =； 当n 为奇数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=−⋅<单调递增，最小值为114P =， 综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14. ②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数， 当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε−=⋅−=⋅<⋅=， 所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。

湖南省常德市2018届高三上学期检测考试(期末)数学(文)试题Word版含答案

湖南省常德市2018届高三上学期检测考试(期末)数学(文)试题Word版含答案

湖南省常德市2018届高三上学期检测考试(期末)数学(文)试题Word版含答案常德市2017-2018学年度上学期高三数学（文科）检测考试第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知集合$A=\{1,2,3\},B=\{2,3,4,5\}$，则$A\cap B$中元素的个数为（）。

A．2.B．3.C．4.D．5.2.在复平面内，复数$z=1+2i$（$i$为虚数单位）对应的点所在的象限为（）。

A．第一象限。

B．第二象限。

C．第三象限。

D．第四象限。

3.在某学校图书馆的书架上随意放着有编号为1,2,3,4,5的五本史书，若某同学从中任意选出两本史书，则选出的两本史书编号相连的概率为（）。

A．$\frac{1}{10}$。

B．$\frac{1}{5}$。

C．$\frac{2}{5}$。

D．$\frac{1}{2}$。

4.元朝著名数学家XXX《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着XXX走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”其意思为：“诗人带着装有一倍分酒的壶去春游，先遇到酒店就将酒添加一倍，后遇到朋友饮酒一斗，如此三次先后遇到酒店和朋友，壶中酒恰好饮完，问壶中原有多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的$x=$，那么在这个空白框中可以填入（）。

A．$x=x-1$。

B．$x=2x-1$。

C．$x=2x$。

D．$x=2x+1$。

5.已知向量$a=(x,y),b=(1,2),c=(-1,1)$，若满足$a\parallel b,b\perp(a-c)$，则向量$a$的坐标为（）。

A．$(\frac{5}{11},\frac{5}{11})$。

B．$(-\frac{5}{11},-\frac{5}{11})$。

C．$(\frac{6}{11},\frac{3}{11})$。

D．$(\frac{5}{11},\frac{6}{11})$。

湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024届高三上学期月考卷(四)数学

湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024届高三上学期月考卷(四)数学

湖南师大附中2024届高三月考试卷（四）数学时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12i z =+，其中i 为虚数单位，则复数2z 在复平面内对应的点的坐标为（ ）A.(4,5)- B.(4,3)C.(3,4)- D.(5,4)）2.若随机事件A ，B 满足1()3P A =，1()2P B =，3()4P A B = ，则(|)P A B =（ ）A.29B.23C.14D.168.设{}n a 是公比不为1的无穷等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，1n a <”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1tan tan cos αβα+=，则（ ）A.22παβ+=B.22παβ-=C.22πβα-=D.22πβα+=5.若52345012345(12)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x -=+-+-+-+-+-，则下列结论中正确的是（ ）A.01a = B.480a =C.50123453a a a a a a +++++= D.()()10024135134a a a a a a -++++=6.函数1()2cos[(2023)]|1|f x x x π=++-在区间[3,5]-上所有零点的和等于（ ）A.2B.4C.6D.87.点M 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q ，若PQM △是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）A.(0,2B.⎛ ⎝C.⎫⎪⎪⎭D.(2-8.已知函数22,0,()4|1|4,0,x x f x x x ⎧=⎨-++<⎩…若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a -<-成立，则所有满足条件的整数a 的取值集合为（ ）A.{2,1,0,1}-- B.{2,1,0}-- C.{1,0,1}- D.{2,1}-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分、9.已.知双曲线C过点且渐近线为y x =，则下列结论正确的是（ ）A.C 的方程为2213x y -= B.CC.曲线2e1x y -=-经过C 的一个焦点D.直线10x --=与C 有两个公共点10.已知向量a ，b满足|2|||a b a += ，20a b a ⋅+= 且||2a = ，则（ ）A.||8b = B.0a b += C.|2|6a b -=D.4a b ⋅= 11.如图、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 是其侧面11ADD A 上的一个动点（含边界），点P 是线段1CC 上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点P ，M ，使得二面角M DC P --大小为23πB.存在点P ，M ，使得平面11B D M 与平面PBD 平行C.当P 为棱1CC的中点且PM =时，则点M 的轨迹长度为23πD.当M 为1A D 中点时，四棱锥M ABCD -12.若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b +…和()G x kx b +…恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”.已知函数2()f x x =（x ∈R ），1()g x x=（0x <），()2eln h x x =（e 2.718≈），则下列选项正确的是（ ）A.()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递增B.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为–4C.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[4,1]-D.()f x 和()h x之间存在唯一的“隔离直线”ey =-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f +'=___________.14.如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF 拼成的一个较大的等边三角形ABC ，若3AF =，sin ACF ∠=，则DEF △的面积为___________.15.已知数列{}n a 的首项132a =，且满足1323n n n a a a +=+.若123111181n a a a a ++++< ，则n 的最大值为___________.16.在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 满足112A E EB =，点F 在平面1BC D 内，则|1||A F EF +的最小值为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知函数2()2cos 2xf x x m ωω=++（0ω>）的最小值为–2.（1）求函数()f x 的最大值；（2）把函数()y f x =的图象向右平移6πω个单位长度，可得函数()y g x =的图象，且函数()y g x =在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求ω的最大值.18.（12分）为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A “毛毛虫旱地龙舟”和项目B “袋鼠接力跳”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.第一个比赛项目A 采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）；第二个比赛项目B 采取领先3局者获胜。

2020-2021学年湖南省常德一中高三(上)第四次月考数学试卷(解析版)

2020-2021学年湖南省常德一中高三(上)第四次月考数学试卷(解析版)

2020-2021学年湖南省常德一中高三（上）第四次月考数学试卷一、单项选择题（每小题5分）.1．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜4}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣2＜x＜3}D．{x|﹣2＜x＜4} 2．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），则＝（）A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i3．设函数f（x）＝log2|x|，若a＝f（log2），b＝f（log52），c＝f（e0.2），则a，b，c的大小为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣2），N（1，0）．若动点M满足＝，则的取值范围是（）A．[0，2]B．[0，2]C．[﹣2，2]D．[﹣2，2] 5．直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0]B．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）C．[﹣，]D．[﹣，0]6．已知△ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（）A．B．C．D．7．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，在不改变W的情况下，将信噪比从1999提升至λ，使得C：大约增加了20%，则λ的值约为（）（参考数据：lg2≈0.3，103.96≈9120）A．7596B．9119C．11584D．144698．已知直线l1：kx+y＝0（k∈R）与直线l2：x﹣ky+2k﹣2＝0相交于点A，点B是圆（x+2）2+（y+3）2＝2上的动点，则|AB|的最大值为（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列不等式成立的是（）A．若a＜b＜0，则a2＞b2B．若ab＝4，则a+b≥4C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若a＞b＞0，m＞0，则10．在正三棱锥A﹣BCD中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列命题正确的是（）A．EF与AD所成角的正切值为B．EF与AD所成角的正切值为C．AB与面ACD所成角的余弦值为D．AB与面ACD所成角的余弦值为11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1）．则下列结论正确的是（）A．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1）B．函数f（x）有五个零点C．若关于x的方程f（x）＝m有解，则实数m的取值范围是f（﹣2）≤m≤f（2）D．对∀x1，x2∈R，|f（x2）﹣f（x1）|＜2恒成立12．设{a n}是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意n∈N+，均有a n+k＞a n，则称{a n}是间隔递增数列，k是{a n}的间隔数，下列说法正确的是（）A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B．已知，则{a n}是间隔递增数列C．已知，则{a n}是间隔递增数列且最小间隔数是2D．已知，若{a n}是间隔递增数列且最小间隔数是3，则4≤t＜5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量与的夹角为90°，，则＝．14．点（2，1）关于直线x﹣y+1＝0对称点的坐标为．15．函数y＝a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1＝0（mn＞0）上，则的最小值为．16．如图，矩形ABCD中，，AD＝2，Q为BC的中点，点M，N分别在线段AB，CD上运动（其中M不与A，B重合，N不与C，D重合），且MN∥AD，沿MN将△DMN折起，得到三棱锥D﹣MNQ，则三棱锥D﹣MNQ体积的最大值为；当三棱锥D﹣MNQ体积最大时，其外接球的表面积的值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）已知在平面直角坐标系中，O（0，0），A（2，4），B（6，2），求△OAB的外接圆的方程；（2）已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A（1，3）到直线l的距离为，求直线l的方程．18．已知．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间的取值范围．19．在①a2，a3，a4﹣4成等差数列．②S1，S2+2，S3成等差数列中任选一个，补充在下列的问题中，并解答．在公比为2的等比数列{a n}中，______．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（n+1）log2a n，求数列{}的前n项和T n．20．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC与△B1BC是全等的等边三角形，（1）求证：BC⊥AB1；（2）若，求二面角C﹣B1B﹣A的余弦值．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1作直线l与椭圆C交于A，B两点，△ABF2的周长为8．（1）求椭圆C的标准方程；（2）问：△ABF2的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．22．已知函数f（x）＝x sin x+cos x．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）记x i为函数y＝f（x）（x＞0）的从小到大的第i（i∈N*）个极值点，证明：（n≥2，n∈N）．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜4}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣2＜x＜3}D．{x|﹣2＜x＜4}解：∵M＝{x|﹣1＜x＜4}，N＝{x|﹣2＜x＜3}，∴M∩N＝{x|﹣1＜x＜3}．故选：B．2．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），则＝（）A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i解：∵复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），∴z1＝1+i，z2＝i．∴＝．故选：D．3．设函数f（x）＝log2|x|，若a＝f（log2），b＝f（log52），c＝f（e0.2），则a，b，c的大小为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c解：因为f（﹣x）＝f（x）即f（x）为偶函数，且x＞0时，函数单调递增，a＝f（log2）＝f（log32），b＝f（log52），c＝f（e0.2），因为e0.2＞1＞log32＞log52，所以c＞a＞b．故选：A．4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣2），N（1，0）．若动点M满足＝，则的取值范围是（）A．[0，2]B．[0，2]C．[﹣2，2]D．[﹣2，2]解：设M（x，y），由动点M满足＝，得，化简得：x2+（y﹣2）2＝8，由圆的参数方程得：M（2cosθ，2sinθ），则＝2cosθ∈[﹣2，2]，故选：D．5．直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0]B．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）C．[﹣，]D．[﹣，0]解：设圆心（3，2）到直线y＝kx+3的距离为d，由弦长公式得，MN＝2≥2，故d≤1，即≤1，化简得8k（k+）≤0，∴﹣≤k≤0，故k的取值范围是[﹣，0]．故选：A．6．已知△ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（）A．B．C．D．解：设三边依次是x﹣1，x，x+1，其中x是自然数，且x≥2，令三角形的最小角为A，则最大角为2A，由正弦定理，有：＝＝，∴cos A＝，由余弦定理，有：cos A＝，∴＝，即＝＝，整理得：（x+1）2＝（x﹣1）（x+4），解得：x＝5，三边长为4，5，6，则cos A＝＝．故选：A．7．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，在不改变W的情况下，将信噪比从1999提升至λ，使得C：大约增加了20%，则λ的值约为（）（参考数据：lg2≈0.3，103.96≈9120）A．7596B．9119C．11584D．14469解：由题意得：≈20%，则≈1.2，1+λ≈20001.2，∵lg20001.2＝1.2lg2000＝1.2（lg2+3）≈1.2（0.3+3）＝3.96，故20001.2≈103.96≈9120，∴λ≈9119，故选：B．8．已知直线l1：kx+y＝0（k∈R）与直线l2：x﹣ky+2k﹣2＝0相交于点A，点B是圆（x+2）2+（y+3）2＝2上的动点，则|AB|的最大值为（）A．B．C．D．解：因为线l1：kx+y＝0恒过定点O（0，0），直线l2：x﹣ky+2k﹣2＝0恒过定点C（2，2）且l1⊥l2，故两直线的交点A在以OC为直径的圆上，且圆的方程D：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，要求|AB|的最大值，转化为在D：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2上找一点A，在E：（x+2）2+（y+3）2＝2上找一点B，使AB最大，根据题意可得两圆的圆心距＝5，则|AB|max＝5+2．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列不等式成立的是（）A．若a＜b＜0，则a2＞b2B．若ab＝4，则a+b≥4C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若a＞b＞0，m＞0，则解：A．a＜b＜0，则a2＞b2，正确；B．若ab＝4，则a+b可能小于0，例如，a＝b＝﹣2，因此不正确；C．若a＞b，则ac2≥bc2，c＝0时取等号，因此不正确；D．若a＞b＞0，m＞0，则a（b+m）﹣b（a+m）＝m（a﹣b）＞0，∴正确．故选：AD．10．在正三棱锥A﹣BCD中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列命题正确的是（）A．EF与AD所成角的正切值为B．EF与AD所成角的正切值为C．AB与面ACD所成角的余弦值为D．AB与面ACD所成角的余弦值为解：取BD中点M，BC中点N，连结EM，FM，AN，DN，∵在正三棱锥A﹣BCD中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，∴AN⊥BC，DN⊥BC，又AN∩DN＝N，∴BC⊥平面ADN，∵AD⊂平面ADN，∴AD⊥BC，EM∥AD，且EM＝＝，MF∥BC，MF＝＝1，∴EM⊥MF，EF与AD所成角为∠FEM，∴EF与AD所成角的正切值为tan∠FEM＝＝＝，故A错误，B正确；连结BF，AF，则AF⊥CD，BF⊥CD，又AF∩BF＝F，∴CD⊥平面ABF，过点B作BP⊥AF，交AF于P，则BP⊥CD，∵CD∩AF＝F，∴BP⊥平面ACD，∴∠BAF是AB与面ACD所成角，∵AB＝3，AF＝＝2，BF＝，∴cos∠BAF＝＝＝．∴AB与面ACD所成角的余弦值为，故C正确，D错误．故选：BC．11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1）．则下列结论正确的是（）A．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1）B．函数f（x）有五个零点C．若关于x的方程f（x）＝m有解，则实数m的取值范围是f（﹣2）≤m≤f（2）D．对∀x1，x2∈R，|f（x2）﹣f（x1）|＜2恒成立解：根据题意，函数f（x）定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1），依次分析选项：对于A，当x＜0时，则﹣x＞0，所以f（﹣x）＝e x（﹣x﹣1），整理得f（x）＝﹣f（﹣x）＝e x（x+1），A正确；对于B，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1），此时有1个零点x＝1，f（x）为定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，f（x）有3个零点，B错误；对于C，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1），其导数f′（x）＝e﹣x（2﹣x），在区间（0，2）上，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，在区间（2，+∞）上，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，则在区间（0，+∞）上有极大值f（2）＝e﹣2，而x→0，f（x）→﹣1，则在区间（0，+∞）上，有﹣1＜f（x）≤e﹣2，又由f（x）为奇函数，则在区间（﹣∞，0）上，由﹣e﹣2≤f（x）＜1，综合可得：f（x）的值域为（﹣1，1），若关于x的方程f（x）＝m有解，则实数m的取值范围是﹣1＜m＜1，C错误；对于D，当x＜0时，f′（x）＝e x（x+2），得到x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0，时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，所以x＝﹣2时f（x）取得最小值，﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0，所以f（x）＜f（0）＝1，即﹣e﹣2＜f（x）＜1，当x＞0时，f′（x）＝e﹣x（2﹣x），所以f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，x＝2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0，所以f（x）＞f（0）＝﹣1，所以﹣1＜f（x）≤e﹣2，所以f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）．故∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，D正确；故选：AD．12．设{a n}是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意n∈N+，均有a n+k＞a n，则称{a n}是间隔递增数列，k是{a n}的间隔数，下列说法正确的是（）A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B．已知，则{a n}是间隔递增数列C．已知，则{a n}是间隔递增数列且最小间隔数是2D．已知，若{a n}是间隔递增数列且最小间隔数是3，则4≤t＜5解：，因为q＞1，所以当a1＜0 时，a n+k＜a n，故错误；B.，令t＝n2+kn﹣4，t在n∈N*单调递增，则t（1）＝1+k﹣4＞0，解得k＞3，故正确；C.，当n为奇数时，2k﹣（﹣1）k+1＞0，存在k≥1 成立，当n为偶数时，2 k+（﹣1）k﹣1＞0，存在k≥2 成立，综上：{a n} 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确；D．若{a n} 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则，n∈N*成立，则k2+（2﹣t）k＞0，对于k≥3 成立，且k2+（2﹣t）k≤0对于k≤2 成立，即k+（2﹣t）＞0，对于k≥3 成立，且k+（2﹣t）≤0，对于k≤2 成立，所以t﹣2＜3，且t﹣2≥2，解得4≤t＜5，故正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量与的夹角为90°，，则＝2．解：∵平面向量与的夹角为90°，∴•＝0，又∵，∴2＝＝4+4＝8，∴＝2，故答案为：214．点（2，1）关于直线x﹣y+1＝0对称点的坐标为（0，3）．解：设所求对称点的坐标为（m，n），则由对称关系可得，解方程组可得，即所求点的坐标为（0，3）故答案为：（0，3）15．函数y＝a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1＝0（mn＞0）上，则的最小值为4．解：∵函数y＝a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，∴A（1，1），∵点A在直线mx+ny﹣1＝0上（mn＞0），∴m+n＝1（mn＞0），∴＝（m+n）（）＝2+≥2+2＝4，当且仅当m＝n＝时取等号，∴m＝n＝时，的最小值为4．故答案为：4．16．如图，矩形ABCD中，，AD＝2，Q为BC的中点，点M，N分别在线段AB，CD上运动（其中M不与A，B重合，N不与C，D重合），且MN∥AD，沿MN将△DMN折起，得到三棱锥D﹣MNQ，则三棱锥D﹣MNQ体积的最大值为1；当三棱锥D﹣MNQ体积最大时，其外接球的表面积的值为．解：设MB＝t，则AM＝DN＝2﹣t，∵沿MN将△DMN折起，当DN⊥平面MNQ时，三棱锥D﹣MNQ的体积最大，此时V D﹣MNQ＝＝＝﹣，∴当t＝时，V D﹣MNQ取最大值，最大值为1，此时MB＝，DN＝，∴MQ＝NQ＝2，∴△MNQ为等边三角形，∴当三棱锥D﹣MNQ体积最大时，三棱锥D﹣MNQ是正三棱柱的一部分，如图所示：则三棱柱MNQ﹣EDF的外接球即是三棱锥D﹣MNQ的外接球，设点G，H分别是上下底面正三角形的中心，∴线段GH的中点即是三棱柱MNQ﹣EDF的外接球的球心O，∴OH＝又，∴△MNQ是边长为2的等边三角形，∴HQ＝，∴三棱柱MNQ﹣EDF的外接球的半径R＝OQ＝＝，∴三棱锥D﹣MNQ的外接球的表面积为4πR2＝，故答案为：1；．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）已知在平面直角坐标系中，O（0，0），A（2，4），B（6，2），求△OAB的外接圆的方程；（2）已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A（1，3）到直线l的距离为，求直线l的方程．解：（1）∵O（0，0），A（2，4），B（6，2），∴k OA＝2，OA的中点坐标为（1，2），则OA的垂直平分线方程为，即x+2y﹣5＝0；，OB的中点坐标为（3，1），则OB的垂直平分线方程为y﹣1＝﹣3（x﹣3），即3x+y﹣10＝0．联立，解得，故圆心坐标为（3，1），半径r＝．∴△OAB的外接圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝10；（2）当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，即kx﹣y＝0．由，解得k＝﹣7或k＝1．∴直线方程为7x+y＝0或x﹣y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为x+y﹣a＝0，由已知可得，解得a＝2或a＝6．∴直线方程为x+y﹣2＝0或x+y﹣6＝0．综上可得，直线方程为：7x+y＝0或x﹣y＝0或x+y﹣2＝0或x+y﹣6＝0．18．已知．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间的取值范围．解：（Ⅰ）由题意，化简得＝＝，所以函数f（x）的最小正周期π．∵y＝sin x的减区间为，由，得，所以函数f（x）的单调递减区间为．（Ⅱ）因为∵，所以．所以．所以函数f（x）在区间上的取值范围是．19．在①a2，a3，a4﹣4成等差数列．②S1，S2+2，S3成等差数列中任选一个，补充在下列的问题中，并解答．在公比为2的等比数列{a n}中，______．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（n+1）log2a n，求数列{}的前n项和T n．【解答】方案一：选条件①解：（1）由题意，a2＝2a1，a3＝4a1，a4﹣4＝8a1﹣4，∵a2，a3，a4﹣4成等差数列，∴2a3＝a2+a4﹣4，即8a1＝2a1+8a1﹣4，解得a1＝2，∴a n＝2•2n﹣1＝2n，n∈N*．（2）由（1）知，b n＝（n+1）log2a n＝（n+1）log22n＝n（n+1），记c n＝，则c n＝＝＝2[﹣]，∴T n＝c1+c2+…+c n＝2（﹣）+2（﹣）+…+2[﹣]＝2[﹣+﹣+…+﹣]＝2[﹣]＝2﹣．方案二：选条件②解：（1）由题意，S1，＝a1，S2+2＝3a1+2，S3＝7a1，∵S1，S2+2，S3成等差数列，∴2（S2+2）＝S1+S3，即2（3a1+2）＝a1+7a1，解得a1＝2，∴a n＝2•2n﹣1＝2n，n∈N*．（2）同方案一第（2）题解答过程．20．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC与△B1BC是全等的等边三角形，（1）求证：BC⊥AB1；（2）若，求二面角C﹣B1B﹣A的余弦值．解：（1）证明：取BC中点O，连接AO，B1O，由于△ABC与△B1BC是全等的等边三角形，∴AO⊥BC，B1O⊥BC，且AO∩B1O＝O，∴BC⊥平面B1AO，又AB1在平面B1AO内，∴BC⊥AB1；（2）设AB＝a，△ABC与△B1BC是全等的等边三角形，则BB1＝AB＝BC＝AC＝B1C＝a，又，由余弦定理可得，在△AB1C中，有，所以以OA，OB，OB1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面ABB1的一个法向量为，则，可取，又平面BCB1的一个法向量为，∴二面角C﹣B1B﹣A的余弦值为．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1作直线l与椭圆C交于A，B两点，△ABF2的周长为8．（1）求椭圆C的标准方程；（2）问：△ABF2的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．解：（1）∵离心率为，∴a＝2c，∵△ABF2的周长为8，∴4a＝8，得a＝2，∴c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，因此，椭圆C的标准方程为．（2）设△ABF2的内切圆半径为r，∴，又∵|AF2|+|AB|+|BF2|＝8，∴，要使△ABF2的内切圆面积最大，只需的值最大．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：x＝my﹣1，联立消去x得：（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，易得△＞0，且，，所以＝，设，则，设，，所以在[1，+∞）上单调递增，所以当t＝1，即m＝0时，的最大值为3，此时，所以△ABF2的内切圆面积最大为．22．已知函数f（x）＝x sin x+cos x．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）记x i为函数y＝f（x）（x＞0）的从小到大的第i（i∈N*）个极值点，证明：（n≥2，n∈N）．解：（1）f′（x）＝sin x+x cos x﹣sin x＝x cos x，由f′（x）＞0可知，当x＞0时，x∈（0，）∪（2kπ+，2kπ+π）（k∈N），当x＜0时，x∈（﹣2kπ﹣π，﹣2kπ﹣π）（k∈N），∴f（x）的递增区间是（﹣2kπ﹣π，﹣2kπ﹣π）（k∈N），（0，），（2kπ+，2kπ+π）（k∈N）；（2）证明：由f′（x）＝0，x＞0，得x i＝（n∈N*），∵＝＜•＝（﹣）（n≥2，n∈N*），∴++•••+＜[（﹣）+（﹣）+•••+（﹣）]＝（﹣）＜•＝＜．。

长郡中学2024届高三上学期月考(五)数学试题(原卷版)

长郡中学2024届高三上学期月考(五)数学试题(原卷版)

英才大联考长郡中学2024届高三月考试卷（五）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}2|60Ax xx =−−<，集合{}2|lo 1g Bx x =<，则A B ∪=A.()2,3− B.(),3−∞ C.()2,2− D.()0,2（2022.广州二模）2.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（ ）A.12xy =B.2yx x =−C.1y x =− D.1y x x=−3.已知像2，3，5，7这样只能被1和它本身整除的正整数称为素数（也称为质数），设x 是正整数，用()x π表示不超过x 的素数个数，事实上，数学家们已经证明，当x 充分大时，()ln xx xπ≈，利用此公式求出不超过10000的素数个数约为(lg e 0.4343)≈（ ） A.1086B.1229C.980D.10604.2021年10月12日，习近平总书记在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山．良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲．”某工厂将产生废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为()0e 0ktP P t −=⋅≥，其中k 为常数，0k >，0P 为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（ ）A.5%B.3%C.2%D.1%（2022.苏北七市三模） 5.函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能是（）的AB.C. D.6. 现有长为89cm 的铁丝，要截成n 小段(2)n >，每段的长度为不小于1cm 的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n 的最大值为（ ） A. 8B. 9C. 10D. 117. 已知函数211()sin sin (0)222xf x x ωωω=+−>，x R ∈.若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是 A. 10,8B. 150,,148∪C. 50,8D. 1150,,848∪8. 已知函数22()42af x x x x =−−−在区间(),2−∞−，)+∞上都单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. 0a <≤B. 04a <≤C. 0a <≤D. 0a <≤二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 同学们，你们是否注意到；自然下垂的铁链；空旷田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线相关理论在工程､航海､光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数表达式可以为()x x f x ae be −=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e=2.71828…），对于函数()f x ，以下结论正确的是（ ）A. 如果a=b ，那么()f x 奇函数B. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数C. 如果0ab >，那么()f x 没有零点D. 如果1ab =，那么()f x 的最小值为2.为10. 由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图1，沿着1BB 和1DD 分别作上底面的垂面，垂面经过棱,,,EP PH HQ QE 的中点,,,F G M N ，则两个垂面之间的几何体2如图2所示，若2EN AB EA ===，则（）A. 1BB =B. //FG ACC. BD ⊥平面1BFB GD. 几何体2的表面积为811. 已知函数e x y x =+的零点为1x ，ln y x x =+的零点为2x ，则（ ） A. 120x x +> B. 120x x < C. 12ln 0xe x +=D. 12121x x x x −+<12. 已知0ab ≠，函数()2e axf x x bx =++，则（ ） A. 对任意a ，b ，()f x 存在唯一极值点B. 对任意a ，b ，曲线()y f x =过原点的切线有两条C. 当2a b +=−时，()f x 存在零点D. 当0a b +>时，()fx 最小值为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知sin 3cos 0αα−=，则cos 2tan αα+=________． 14. 函数()1293xxf x −=+的最小值是___________.15. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =___________.①()f x 是定义域为R 的奇函数；②()()11f x f x +=−；③()12f =.16. 函数()sin ln 23f x x x π=−−的所有零点之和为__________．的四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()222(sin sin sin )1cos2.a A c C b B a C +−=− （1）求B.（2）是否存在()0,A π∈，使得2a c b +=，若存在，求;A 若不存在，说明理由.18. 已知直三棱柱111ABC A B C 中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点，11BF A B ⊥．（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最大？ 19. 函数22()ln ,()(2) 2.71828...x f x a x x g x x e x m x e =−=−−+=+（其中）. （1）当0a ≤时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =−时，(0,1]x ∈时，()()f x g x >恒成立，求正整数m 最大值.20. 已知函数()()ln f x a x a x =+−．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()2e af x a <．21. 已知函数()ln 1f x x x x =−−． （1）证明：()0;f x ≤ （2）若e 1x ax ≥+，求a ．22. 设函数()()2e sin 1xf x a x ax a x =+−−+.（1）当0a ≤时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 在R 上单调递增，求a.的。

数学文卷·2014届湖南省株洲市二中高三第四次月考(2014.01)

数学文卷·2014届湖南省株洲市二中高三第四次月考(2014.01)

株洲市二中2014届高三第四次月考数学（文科）试题命题：高三文科数学备课组 时量：120分钟 分值：150分一、选择题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝，M={}a ．若P ∪M=P ，则a 的取值范围是（ ） A. (-∞, -1] B. [1, +∞） C. [-1，1] D.（-∞，-1] ∪[1，+∞） 2．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ） A. k ＞4? B. k ＞5? C. k ＞6? D. k ＞7?3．曲线24x +212y 1=的离心率为（ ） ABCD ．2由222()110(40302030)7.8()()()()60506050n ad bc K Ka b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得,附表：A ． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 5．若a ,b 是非零向量，“a ⊥b ”是“函数()()()f x xa b xb a =+⋅-为一次函数”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 6．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．14 B ．12 C ．2D ． 1 7．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=)2(1)21()2()2()(x x x a x f x 是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(-∞，2)B ．(-∞，813]C ．(0,2)D ．[813,2)8．设56)(2+-=x x x f ，且实数x 、y 满足条件⎩⎨⎧≤≤≥-;51,0)()(x y f x f 则x y 的最大值是（ ） A ．549-B ．3C ．4D ．59．已知直线2-=x y 与圆03422=+-+x y x 及抛物线x y 82=依次 交于D C B A 、、、四点，则||||CD AB +等于 （ ）A.10B.12C.14D.16二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。

湖南省长沙2025届高三上学期月考(一)数学试题含答案

湖南省长沙2025届高三上学期月考(一)数学试题含答案

2025届高三月考试卷（一）数学（答案在最后）本试卷共8页.时量120分钟.满分150分.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合[),A a =+∞，()1,2B =-，若A B =∅ ，则（）A.1>-aB.2a > C.1a ≥- D.2a ≥【答案】D 【解析】【分析】根据题意，结合集合的交集的运算，即可求解.【详解】由集合[),A a =+∞，()1,2B =-，因为A B =∅ ，则满足2a ≥.故选：D.2.已知复数z 满足22z -=，z 的取值范围为（）A.[]0,2 B.()0,2 C.[]0,4 D.()0,4【答案】C 【解析】【分析】根据题意，利用复数模的几何意义，得到复数z 在复平面内对应的轨迹，进而结合圆的性质，即可求解.【详解】由题意知复数z 满足22z -=，可得复数z 在复平面内对应的轨迹为以(2,0)A 为圆心，2r =为半径的圆，且z 表示圆上的点到原点(0,0)O 的距离，则max min 224,220z OA r z OA r =+=+==-=-=，所以z 的取值范围为0,4.故选：C.3.在ABC V 中，若2AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，则AB BC=A.1B.2C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v可以推得AB AC =，再利用向量运算的加法法则，即可求得结果．【详解】由题意得，AB BC BC CA ⋅=⋅uu u v uu u v uu u v uu v ，即A A =0+BC B C ⋅uu u v uu u v uuu v（），设BC 的中点为D ，则AD BC ⊥，即ABC V 为等腰三角形，B=C AB AC =∠∠，又因为2BC CA CA AB⋅=⋅uu u v uu v uu v uu u v即2222222C C cos 2C 2C cos 112C +22232C 2AB BC CA A B AB BC B A CA B C BC A BC A BC⋅=⋅-=-+-=-+⨯=uu u v uu u v uu v uu u v uuv uu u v uu u v uu u v uu v uuvuu u v uu u v uu u v uu u v uu u v （）所以2AB BC=uu u v uu u v ．【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算．4.若函数()2211x x f x x ++=+的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A.1 B.2 C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】将函数解析式化为()211xf x x =++，令()21xg x x =+，判断()g x 的奇偶性，然后利用函数的奇偶性求解即可.【详解】()2222221111111x x xf x x x x x x x +==+=+++++++，令()21x g x x =+，则其定义域为R ，又()()()2211x x g x g x x x --==-=-+-+，所以()21xg x x =+为奇函数，则()()max min 0g x g x +=，所以()()()()max min max min 112f x f x g x g x +=+++=，则2M N +=.故选：B.5.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面AB,是线段ED 的中点，则A.BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B.BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C.BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D.BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线【答案】B 【解析】【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．【详解】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，过M 作MF OD ⊥于F ．连BF ， 平面CDE ⊥平面ABCD ．,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴∆与EON ∆均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN ===，5,,22MF BF BM ==∴=．BM EN ∴≠，故选B ．【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形．6.tan10tan503tan50︒+︒+︒︒的值为（）A.3B.3C.3D.33【答案】B 【解析】【分析】利用正切的和角公式，逆用即可求出结果.【详解】tan10tan503tan10tan50︒+︒︒︒()()tan 10501tan10tan 503tan 50=︒+︒-︒︒+︒︒)31tan10tan503tan 50=-︒︒+︒︒33tan10tan503tan50=-︒︒︒︒3=故选：B.7.一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件M =“第一次朝上面的数字是奇数”，则下列事件中与M 相互独立的是（）A.第一次朝上面的数字是偶数B.第一次朝上面的数字是1C.两次朝上面的数字之和是8D.两次朝上面的数字之和是7【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由相互独立事件的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】抛掷骰子两次，共有6636⨯=个基本事件数，则()()()()()()()()()()()(){1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6M =，()()()()()()}5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6共18个基本事件，则()181362P M ==，设事件E 为第一次朝上面的数字是偶数，则事件M 与事件E 是对立事件，故A 错误；设事件F 为第一次朝上面的数字是1，则F M ⊆，故B 错误；设事件N 为两次朝上面的数字之和是8，则()()()()(){}2,6,3,5,4,4,5,3,6,2N =共5个基本事件，则()536P N =，且()(){}3,5,5,3MN =，则()213618P MN ==，()()()P MN P M P N ≠⋅，所以C 错误；设事件Q 两次朝上面的数字之和是7，则()()()()()(){}1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1Q =，则()61366P Q ==，且()()(){}1,6,3,4,5,2MQ =，则()313612P MQ ==，因为()()()P MQ P M P Q =⋅，所以事件M 与事件Q 相互独立.故选：D8.一只蜜蜂从蜂房A 出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房A 只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，…，以此类推，用n a 表示蜜蜂爬到n 号蜂房的方法数，则10a =（）A.10B.55C.89D.99【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出数列{}n a 的递推公式，再依次计算求出10a .【详解】依题意，12n n n a a a --=+（*n ∈N ，3n ≥），11a =，22a =，所以34567893,5,8,13,21,34,55,a a a a a a a =======1089a =.故选：C二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知一组样本数据1x ，2x ，…，()201220x x x x ≤≤≤ ，下列说法正确的是（）A.该样本数据的第60百分位数为12x B.若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中位数C.剔除某个数据i x （1i =，2，…，20）后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差D.若1x ，2x ，…，10x 的均值为2，方差为1，11x ，12x ，…，20x 的均值为6，方差为2，则1x ，2x ，…，20x 的方差为5【答案】BC 【解析】【分析】由百分位数的定义即可判断A ；由极差的定义即可判断C ，由频率分布直方图中中位数、平均数的求法画出图形即可判断B ；由方差计算公式即可判断D.【详解】对于A ，由2060%12⨯=，所以样本数据的第60百分位数为12132x x +，故A 错误；对于B ，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如下图，由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时平均数大于中位数，故B 正确；对于C ，剔除某个数据i x （1i =，2，…，20）后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差，故C 正确；对于D ，由10102642020x =⨯+⨯=，则()()22210101112426420202s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦，所以则1x ，2x ，…，20x 的方差为112，故D 错误.故选：BC.10.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()1,2M ，()11,A x y ，()22,B x y 都在抛物线上，且0FA FB FM ++=ruu r uu r uuu r ，则下列结论正确的是（）A.抛物线方程为22y x= B.F 是ABM 的重心C .6FA FM FB ++= D.2223AFO BFO MFO S S S ++=△△△【答案】BCD 【解析】【分析】把点代入可得抛物线的方程，结合向量运算可得F 是ABM 的重心，利用抛物线的定义可得6FA FM FB ++= ，利用三角形面积公式及122x x +=，可得2223AFO BFO MFO S S S ++=△△△.【详解】对于A ，由()1,2M 在抛物线上可得42p =，即抛物线方程为24y x =，错误；对于B ，分别取,AB AM 的中点,D E ，则2FA FB FD +=uu u u r uu r u r ，2FM FD =-uuu r uu u r，即F 在中线MD 上，同理可得F 也在中线BE 上，所以F 是ABM 的重心，正确；对于C ，由抛物线的定义可得121,2,1FA x FM FB x =+==+uu r uuu r uu r，所以124++=++FA FM FB x x uu r uuu r uu r.由()10F ,是ABM 的重心，所以12113x x ++=，即122x x +=，所以1246++=++=FA FM FB x x uu r uuu r uu r，正确；对于D ，112AFO S OF y =△，221114AFO S y x ==△；同理222214BFOSy x ==△,21MFO S =△，所以2221213AFO BFO MFO S S S x x ++=++=△△△，正确.故选：BCD.11.已知函数()()()322,,R ,f x x ax bx c a b c f x =-++'∈是()f x 的导函数，则（）A.“0a c ==”是“()f x 为奇函数”的充要条件B.“0a b ==”是“()f x 为增函数”的充要条件C.若不等式()0f x <的解集为{1xx <∣且1}x ¹-，则()f x 的极小值为3227-D.若12,x x 是方程()0f x '=的两个不同的根，且12111x x +=，则0a <或3a >【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性和充分、必要条件的判定方法，可判定A 正确；结合导数和函数的单调性间的关系，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B 错误；利用导数求得函数()f x 的单调性，进而求得()f x 的极小值，可判定C 正确；结合二次函数的性质，结合0∆>，列出不等式，可判定D 正确．【详解】对于A 中，当0a c ==时，函数()3f x x bx =+，则满足()()3f x x bx f x -=--=-，所以()f x 为奇函数，所以充分性成立；若()f x 为奇函数，则()322f x x ax bx c -=---+=()322f x x ax bx c -=-+--，则24ax -20c =恒成立，所以0a c ==，所以必要性成立，所以A 正确；对于B 中，当0a b ==时，()3f x x c =+，可得()230f x x '=≥，所以()f x 为增函数；由()234f x x ax b =-+'，当()f x 为增函数时，216120a b ∆=-≤，所以“0a b ==”是“()f x 为增函数”的充分不必要条件，所以B 错误；对于C 中，由()234f x x ax b =-+'，若不等式()0f x <的解集为{|1x x <且1}x ¹-，则()f x 在R 上先增后减再增，则()1f '-=()()0,110f f =-=，解得21a b c ===-，故()()()232111f x x x x x x =+--=+-，可得()()()2321311f x x x x x '=+-=-+，令()0f x '=，解得=1x -或13x =，当(),1x ∈-∞-内，()0f x '>，()f x 单调递增；当11,3x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭内，()0f x '<，()f x 单调递减；当1,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭内，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 的极小值为2111321133327f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 正确．对于D 中，由()234f x x ax b =-+'，因为12,x x 是方程()0f x '=的两个不同的根，所以216120a b ∆=->，即2430a b ->，且1x +2124,33a bx x x ==，由12111x x +=，可得1x +212x x x =，所以433a b =，即4b a =，联立方程组，可得230a a ->，解得0a <或3a >，所以D 正确．故选：ACD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.点M 在椭圆221259x y +=上，F 是椭圆的一个焦点，N 为MF 的中点，3ON =，则MF =_________.【答案】4【解析】【分析】根据椭圆的对称性，利用三角形中位线定理求得||MF '，再由椭圆定义求解||MF 即可．【详解】如图，根据椭圆的对称性，不妨设F 为左焦点，F '为右焦点，由椭圆221259x y +=，得5a =，210a =，N Q 是MF 的中点，O 是FF '的中点，ON ∴为FMF ' 的中位线，||2||6MF ON ∴'==，∴由椭圆的定义得||2||1064MF a MF =-'=-=．故答案为：4．13.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体切割为125个同样大小的小正方体.经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值()=E X ______.【答案】65【解析】【分析】根据题意得出X 的所有可能取值为0,1,2,3，然后分析出涂3面油漆，2面油漆，1面油漆，0面油漆的各有多少个小正方体，从而计算X 取每个值时的概率，从而求X 的均值.【详解】X 的所有可能取值为0,1,2,3，大正方体8个顶点处的8个小正方体涂有3面油漆；每一条棱上除了两个顶点处的小正方体外剩余的都涂有两面油漆，所以涂有两面油漆的有31236⨯=个；每个表面去掉四条棱上的16个小正方体，还剩9个小正方体，这9个都是一面涂漆，所以一共有9654⨯=个小正方体涂有一面油漆；剩余的()1258365427-++=个内部的小正方体6个面都没有涂油漆，所以()270125P X ==，()541125P X ==，()362125P X ==，()83125P X ==，()()()()()00112233E X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=2754368150601231251251251251255=⨯+⨯+⨯+⨯==.故答案为：65.14.若函数()()52cos sin 2f x a x x x =-+在R 上单调递增，则a 的取值范围是_________.【答案】11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】求导，根据()0f x '≥在R 上恒成立，即可结合二次函数的性质求解.【详解】根据题意，()22259cos 2sin 2cos cos 4cos 22f x a x x x a x x '=+-+=-+，()f x 在R 上单调递增，()0f x '∴≥在R 上恒成立，令cos x t =，[]1,1t ∈-，则()f x '可写为()2942g t at t =-+，[]1,1t ∈-，根据题意()g t 在[]1,1-上的最小值非负，∴()()10,10,g g ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩解得1122a -≤≤.故答案为：11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量(),sin m b a C =-- ，(),sin sin n c b A B =++，满足//m n u r r ．（1）求A ；（2）若角A 的平分线交边BC 于点D ，AD 长为2，求△ABC 的面积的最小值．【答案】（1）23A π=（2）【解析】【分析】（1）由//m n u r r 得出等式，再由正、余弦定理即可解出；（2）把ABC 的面积用等积法表示可得,b c 关系，再利用基本不等式得出bc 的最小值，即得面积最小值．【小问1详解】因为//m n u r r ，所以()()()()sin sin sin b a A B c b C -+=+-，由正弦定理得()()()()b a a b c b c -+=+-，所以222b c a bc +-=-，所以2221cos 222b c a bc A bc ab +--===-，因为()0,A π∈，故23A π=.【小问2详解】∵AD 平分∠BAC ，∴123BAD CAD BAC π∠=∠=∠=，∵ABD ACD ABC S S S +=△△△，∴1sin 2AB AD BAD ⋅⋅∠11sin sin 22AC AD CAD c A +⋅⋅∠=⋅⋅，即22sin 2sin sin 333c b bc πππ+=，∴22c b bc+=由基本不等式可得：22bc b c =+≥，∴16bc ≥，当且仅当4b c ==时取“=”，∴1sin 2ABC S bc A ==≥ 即ABC V的面积的最小值为.16.如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，120AOP ∠=o ，圆O 的直径4AB =，圆柱的高13OO =.（1）求点A 到平面1A PO 的距离；（2）求二面角1A PB O --的余弦值大小.【答案】（1）32；（2）277.【解析】【分析】（1）根据等体积法，由11A AOP A A OP V V --=即可求出点A 到平面1A PO 的距离；（2）先证明PB AP ⊥，1PB AA ⊥，由线面垂直的判定定理可得PB ⊥面1AA P ，进而可得1A PA ∠即为所求二面角的平面角，在1Rt A PA 中，计算11cos AP A PA A P∠=即可求解.【详解】（1）因为113AA OO ==，122AO AB ==，所以1AO ===在AOP中，由余弦定理可得：AP ===所以1A P ==，2OP =，在1AOP中，由余弦定理可得222111121cos 27A P OP A O A PO A P OP +-∠===⋅，所1sin7A PO∠==，所以11227A OPS=⨯=，设点A到平面1A PO的距离为d，由11A AOP A A OPV V--=，得111133AOP AO PS AA S d⋅⋅=⋅⋅，即1111233223d⨯⨯⨯⨯=，解得：32d=，所以点A到平面1A PO的距离为32；（2）二面角1A PB O--即二面角1A PB A--，因为AB是圆O的直径，点P在圆柱1OO的底面圆O上，所以PB AP⊥，因为1AA⊥面ABP，PB⊂面ABP，可得1PB AA⊥，因为1AP AA A⋂=，所以PB⊥面1AA P，因为1A P⊂面1AA P，AP⊂面1AA P，所以PB⊥AP，PB⊥1A P，所以1A PA∠即为二面角1A PB O--的平面角，在1Rt A PA中，1A P=，AP=所以11cos7APA PAA P∠===，所以二面角1A PB O--的余弦值为7.17.双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点，且ABD△是直角三角形．（1）求双曲线C的方程；（2）M、N是C右支上的两动点，设直线AM、AN的斜率分别为1k、2k，若122k k=-，求点A到直线MN的距离d的取值范围．【答案】（1）2213y x -=（2）(⎤⎦【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，转化为,,a b c 的方程，即可求解；（2）首先设直线MN 的方程为x my n =+，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示122k k =-，并根据2m 的取值范围，求点到直线的距离的取值范围.【小问1详解】依题意，90BAD ∠=，焦半径2c =，由AF BF =，得2b ac a+=，得22222a a a +=-，解得：1a =（其中20a =-<舍去），所以222413b c a =-=-=，故双曲线C 的方程为2213y x -=；【小问2详解】显然直线MN 不可能与轴平行，故可设直线MN 的方程为x my n =+，联立2233x my n x y =+⎧⎨-=⎩，消去x 整理得()()222316310m y mny n -++-=，在条件2310Δ0m ⎧-≠⎨>⎩下，设()11,M x y ，()22,N x y ，则122631mn y y m +=--，()21223131n y y m -=-，由122k k =-，得()()12122110y y x x +++=，即()()12122110y y my n my n +++++=，整理得()()()()2212122121210m y y m n y y n ++++++=，代入韦达定理得，()()()()()22222312112121310n m m n n n m -+-+++-=，化简可消去所有的含m 的项，解得：5n =或1n =-（舍去），则直线MN 的方程为50x my --=，得d =又,M N 都在双曲线的右支上，故有2310m -<，2103m ≤<，此时1≤<，(d ⎤=⎦，所以点A 到直线MN 的距离d的取值范围为(⎤⎦.18.已知函数()()e xf x x a =-，a ∈R .（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若函数()()ln g x f x a x =-有2个不同的零点1x ，2x .（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：12112e x x a x x +->.【答案】（1）极小值为0，无极大值（2）（i ）()e,+∞；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）将1a =代入函数解析式，求导，判断其单调性，进而得出极值；（2）（i ）化简函数()g x 的解析式，令e x t x =，问题可转化为()ln h t t a t =-在(0,)t ∈+∞有2个零点1t ，2t ，再利用导数研究函数()h t 的性质即可得出答案；（ii ）等价于证明21e a t t >，再利用极值点偏移法即可得证．【小问1详解】1a =时，()()e 1xf x x =-，()()1e 1x f x x =+'- ，令()()()(),2e xm x f x m x x ''=∴=+，(),2x ∞∴∈--，()0m x '<；()2,x ∞∈-+，()0m x '>，()f x ∴'在(),2∞--单调递减，()2,∞-+单调递增，x →-∞ 时，10x +<，e 0x >，则′<0，()21210ef '--=-<，()00f '=，x →+∞时，()f x ∞'→+，(),0x ∞∴∈-时，′<0；∈0,+∞，′>0，∴在(),0∞-单调递减，在0,+∞单调递增，∴的极小值为()00f =，无极大值.【小问2详解】（i ）()()()()ln e ln e ln e x x x g x f x a x x a x x x a x =-=-+=-，∈0,+∞，令e x t x =，()0,t ∞∈+，()1e 0x t x =+'> ，e x t x ∴=在0,+∞单调递增，令()ln h t t a t =-，即()h t 在()0,t ∞∈+有2个零点1t ，2t ，且111e x t x =，222e xt x =，()1a t a h t t t-='-= ，0a ∴≤时，()0h t '>，()h t 在()0,t ∞∈+单调递增，不存在2个零点，0a ∴>，()0,t a ∈ 时，()0h t '<；(),t a ∞∈+时，()0h t '>，()h t ∴在()0,a 单调递减，在(),a ∞+单调递增，0t → 时，()h t ∞→+；t →+∞时，()h t ∞→+，()()()min 1ln 0h t h a a a ∴==-<，()e,a ∞∴∈+.（ii ）设12t t <，()110h => ，()e e 0h a =-<，∴由（i ）知，121e t a t <<<<，即证：12e t t a >，即证：21e a t t >，2t a > ，1e a a t >，()h t 在(),a ∞+单调递增，∴即证：()21e 0a h t h t ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，11ln t a t = ，()1111111e e e e e e ln ln ln ln 1ln a a a h a a a t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎡⎤∴=-=-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令()()111e ln ln 1p t t t =+-，()11,e t ∈，即证：()10p t <，()1112211111eln e 1ln ln t t p t t t t t t -=='-+，令()111eln q t t t =-，()11,e t ∈，()1111e e 10t q t t t -=-='< ，()1q t ∴在()1,e 单调递减，()()1e 0q t q >=，()10p t ∴'>，()1p t ∴在()1,e 单调递增，()()1e 0p t p ∴<=，【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.19.已知集合{}()1,2,3,,,3A n n n =∈≥ N ，W A ⊆，若W 中元素的个数为()2m m ≥，且存在u ，()v W u v ∈≠，使得()2k u v k +=∈N ，则称W 是A 的()P m 子集.（1）若4n =，写出A 的所有()3P 子集；（2）若W 为A 的()P m 子集，且对任意的s ，()t W s t ∈≠，存在k ∈N ，使得2k s t +=，求m 的值；（3）若20n =，且A 的任意一个元素个数为m 的子集都是A 的()P m 子集，求m 的最小值.【答案】（1）{}{}1,2,3,1,3,4；（2）2；（3）13.【解析】【分析】（1）根据()P m 子集的定义，即可容易求得；（2）取{}1,3W =，求得2m =，再利用反证法假设3m ≥，推得10a <与11a ≥矛盾即可；（3）令{}020,19,18,17,11,10,9,3,16,8,4,2W =，讨论12m ≤时不满足题意，再验证13m ≥时的情况满足题意，即可求得m 的最小值.【小问1详解】当4n =时，{}1,2,3,4A =，A 的所有()3P 子集为{}{}1,2,3,1,3,4.【小问2详解】当3n ≥时，取{}1,3W =，因为2132+=，所以W 是A 的()2P 子集，此时2m =；若3m ≥，设123,,a a a W ∈且1231a a a ≤<<，根据题意，3121213232,2,2kk k a a a a a a +=+=+=，其中123,,N k k k ∈；因为121323a a a a a a +<+<+，所以312222k k k <<，所以123k k k <<；又因为123,,N k k k ∈，所以321k k ≥+；因为()3121232222k k k a a a ++=++，所以()31212312222k k k a a a ++=++，所以()()3331212111222222222k k k k k k k a =++-=+-；因为3122221222222k k k k k k ++<+=≤，所以3122220k k k +-<，所以10a <，与11a ≥矛盾.综上所述，2m =.【小问3详解】设{}{}{}{}{}1234520,12,19,13,18,14,17,15,11,5,A A A A A ====={}{}{}{}{}{}{}678123410,6,9,7,1,3,2,4,8,16A A AB B B B =======，设W 的元素个数为m ，若W 不是A 的()P m 子集，则W 最多能包含1238,,,,A A A A 中的一个元素以及1234,,,B B B B 中的元素；令{}020,19,18,17,11,10,9,3,16,8,4,2W =，易验证0W 不是A 的()12P 子集，当12m ≤时，0W 的任意一个元素个数为m 的子集都不是A 的()P m 子集，所以，若A 的任意一个元素个数为m 的子集都是A 的()P m 子集，则13m ≥；当13m ≥时，存在{}1,2,3,4,5,6,7,8i ∈，使得W 中必有两个元素属于i A ，同时i A 中两个元素之和为2的某个正整数指数幂，P m子集；所以W是A的()所以，m的最小值为13.P m子集的定义，【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义问题，处理问题的关键是充分把握题中对()同时要熟练的使用证明方法，属综合困难题.。

高一上学期第一次月考数学试卷(新题型：19题)(基础篇)(解析版)

高一上学期第一次月考数学试卷(新题型：19题)(基础篇)(解析版)

2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷（基础篇）参考答案与试题解析第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．（5分）（24-25高一上·河北廊坊·开学考试）下列各组对象能构成集合的是（）A．2023年参加“两会”的代表B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目C．π的近似值D．我校跑步速度快的学生【解题思路】根据集合的定义依次判断各个选项即可.【解答过程】对于A：2023年参加“两会”的代表具有确定性，能构成集合，故A正确；对于B：北京冬奥会上受欢迎的运动项目，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故B 错误；对于C：π的近似值，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故C错误；对于D：我校跑步速度快的学生，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故D错误；故选：A.2．（5分）（23-24高一上·北京·期中）命题pp:∀xx>2，xx2−1>0，则¬pp是（）A．∀xx>2，xx2−1≤0B．∀xx≤2，xx2−1>0C．∃xx>2，xx2−1≤0D．∃xx≤2，xx2−1≤0【解题思路】全称量词命题的否定为存在量词命题，求解即可.【解答过程】因为命题pp:∀xx>2，xx2−1>0，所以¬pp：∃xx>2，xx2−1≤0.故选：C.3．（5分）（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）下列不等式中，可以作为xx<2的一个必要不充分条件的是（）A．1<xx<3B．xx<3C．xx<1D．0<xx<1【解题思路】利用必要不充分条件的意义，逐项判断即得.【解答过程】对于A，1<xx<3是xx<2的不充分不必要条件，A不是；对于B，xx<3是xx<2的一个必要不充分条件，B是；对于C，xx<1是xx<2的一个充分不必要条件，C不是；对于D，0<xx<1是xx<2的一个充分不必要条件，D不是.故选：B.4．（5分）（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）下列关系中：①0∈{0}，②∅ {0}，③{0,1}⊆{(0,1)}，④{(aa,bb)}= {(bb,aa)}正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据元素与集合、集合与集合之间的关系分析判断.【解答过程】对于①：因为0是{0}的元素，所以0∈{0}，故①正确；对于②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以∅ {0}，故②正确；对于③：因为集合{0,1}的元素为0，1，集合{(0,1)}的元素为(0,1)，两个集合的元素全不相同，所以{0,1},{(0,1)}之间不存在包含关系，故③错误；对于④：因为集合{(aa,bb)}的元素为(aa,bb)，集合{(bb,aa)}的元素为(bb,aa)，两个集合的元素不一定相同，所以{(aa,bb)},{(bb,aa)}不一定相等，故④错误；综上所述：正确的个数为2.故选：B.5．（5分）（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若变量x，y满足约束条件3≤2xx+yy≤9，6≤xx−yy≤9，则zz=xx+2yy的最小值为（）A．-7 B．-6 C．-5 D．-4【解题思路】利用整体法，结合不等式的性质即可求解.【解答过程】设zz=xx+2yy=mm(2xx+yy)+nn(xx−yy)，故2mm+nn=1且mm−nn=2，所以mm=1,nn=−1，故zz=xx+2yy=(2xx+yy)−(xx−yy)，由于3≤2xx+yy≤9，6≤xx−yy≤9，所以3+(−9)≤2xx+yy−(xx−yy)≤9+(−6)，−6≤xx+2yy≤3，故最小值为−6，此时xx=4,yy=−5，故选：B.6．（5分）（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知全集UU={1,3,5,7,9}，MM=�xx|xx>4且xx∈UU},NN={3,7,9}，则MM∩(∁UU NN)=（）A．{1,5}B．{5}C．{1,3,5}D．{3,5}【解题思路】先求出MM，∁UU NN，再求MM∩(∁UU NN)，【解答过程】因为UU={1,3,5,7,9}，MM=�xx|xx>4且xx∈UU}，所以MM={5,7,9}，因为UU={1,3,5,7,9}，NN={3,7,9}，所以∁UU NN={1,5}，所以MM∩(∁UU NN)={5}．故选：B．7．（5分）（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知不等式aaxx2+bbxx+2>0的解集为{xx∣xx<−2或xx>−1}，则不等式2xx2+bbxx+aa<0的解集为（）A．�xx�−1<xx<12�B．{xx∣xx<−1或xx>12}C．�xx�−1<xx<−12�D．{xx∣xx<−2或xx>1}【解题思路】根据给定的解集求出aa,bb，再解一元二次不等式即得.【解答过程】由不等式aaxx2+bbxx+2>0的解集为{xx∣xx<−2或xx>−1}，得−2,−1是方程aaxx2+bbxx+2=0的两个根，且aa>0，因此−2+(−1)=−bb aa，且−2×(−1)=2aa，解得aa=1,bb=3，不等式2xx2+bbxx+aa<0化为：2xx2+3xx+1<0，解得−1<xx<−12，所以不等式2xx2+bbxx+aa<0为{xx|−1<xx<−12}.故选：C.8．（5分）（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知aa>bb≥0且6aa+bb+2aa−bb=1，则2aa+bb的最小值为（）A．12 B．8√3C．16 D．8√6【解题思路】根据题意可知2aa+bb=32(aa+bb)+12(aa−bb)，根据乘1法结合基本不等式运算求解. 【解答过程】因为aa>bb≥0，则aa+bb>0,aa−bb>0，且2aa+bb=32(aa+bb)+12(aa−bb)，则2aa+bb=�32(aa+bb)+12(aa−bb)��6aa+bb+2aa−bb�=10+3(aa−bb)aa+bb+3(aa+bb)aa−bb≥10+2�3(aa−bb)aa+bb⋅3(aa+bb)aa−bb=16，当且仅当3(aa−bb)aa+bb=3(aa+bb)aa−bb，即aa=8,bb=0时，等号成立，所以2aa+bb的最小值为16.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

2023-2024学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考试卷(二)数学试卷及答案

2023-2024学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考试卷(二)数学试卷及答案

大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（二）数学得分：___________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若12z i =+，则()1z z +⋅=（ ）A. 24i-- B. 24i-+ C. 62i- D. 62i+2. 全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，则阴影部分表示的集合是（ ）A. {2,3,5,7,9}B. {2,3,4,5,6,7,8,9}C. {4,6,8}D. {5}3. 函数()2log 22x x xx f x -=+部分图象大致是（ ）A. B.C. D.4. 在边长为3的正方形ABCD 中，点E 满足2CE EB = ，则AC DE ⋅=（ ）A. 3B. 3- C. 4- D. 45. 某校科技社利用3D 打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的的体积为3144πcm ，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为31.5g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）（1.5 4.7π≈）A. 3045.6gB. 1565.1gC. 972.9gD. 296.1g6. 已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，10a >，则“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 若存在实数a ，对任意的x ∈[0，m ]，都有(sin x －a )·(cos x －a )≤0恒成立，则实数m 的最大值为( )A.4πB. 2πC.34π D.54π8. 已知函数()f x 定义域为R ，()()()()2,24f x f x f f +=--=-，且()f x 在[)1,+∞上递增，则()10xf x ->的解集为（ ）A. ()()2,04,∞-⋃+B. ()(),15,∞∞--⋃+C. ()(),24,-∞-+∞ D. ()()1,05,∞-⋃+二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 对于实数a ，b ，c ，下列选项正确的是（ ）A. 若a b >，则2a ba b +>> B. 若0a b >>，则a b>>C. 若11a b>，则0a >，0b < D. 若0a b >>，0c >，则b c ba c a+>+10. 已知函数()2sin cos f x x x x =+，则下列说法正确的是（ ）A ()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的.B. 函数()f x 的最小正周期为πC. 函数()f x 的对称轴方程为()5πZ 12x k k π=+∈D. 函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度得到11. 设n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（ ）A. 若0d <，则1S 是数列{}n S 的最大项B. 若数列{}n S 有最小项，则0d >C. 若数列{}n S 是递减数列，则对任意的：*N n ∈，均有0nS <D. 若对任意的*N n ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列12. 如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11B C ，CD 上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（ ）A. 四面体11A D MN 的体积为定值B. 当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行C. 直线MN 与平面ABCDD. 当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则=a __________．14. 在平面直角坐标系xOy 中，圆O 与x 轴正半轴交于点A ，点B ，C 在圆O 上，若射线OB 平分的AOC ∠，34,55B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点C 的坐标为__________．15. 已知函数()f x 的定义域为R ，()e xy f x =+是偶函数，()3e x y f x =-是奇函数，则()f x 的最小值为_____________．16. 已知菱形ABCD中，对角线BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC =，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________.四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设24n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：3n T <.18. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c)sin a C C =-.（1）求A ；（2）若8a =，ABCABC 的周长.19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11BC B C O = ，12BC BB ==，1AO =，160B BC ∠=︒，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）求证：1AB B C ⊥；（2）求二面角111A B C A --的正弦值．20. 如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点A ，右焦点为(c,0)F ，直线AF交椭圆于B 点，且满足||2||AF FB =，||AB =．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．21. 如图所示，A BCP -是圆锥的一部分(A 为圆锥的顶点)，O 是底面圆的圆心，23BOC π∠=，P 是弧BC 上一动点（不与B 、C 重合），满足COP θ∠=．M 是AB 的中点，22OA OB ==．（1）若//MP 平面AOC ，求sin θ的值；（2）若四棱锥M OCPB -体积大于14，求三棱锥A MPC -体积的取值范围．22. 混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N 个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为()01p p <<．目前，我们采用K 人混管病毒检测，定义成本函数()Nf X KX K=+，这里X 指该组样本N 个人中患病毒的人数．（1）证明：()E f X N ≥⎡⎤⎣⎦；（2）若4010p -<<，1020K ≤≤．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．的大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（二）数学得分：___________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若12z i =+，则()1z z +⋅=（ ）A. 24i --B. 24i-+ C. 62i- D. 62i+【答案】C 【解析】【分析】根据复数的乘法运算和共轭复数的定义求解.【详解】()()()122i 12i 244i 2i 62i z z +⋅=+-=+-+=-．故选:C .2. 全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，则阴影部分表示的集合是（ ）A. {2,3,5,7,9}B. {2,3,4,5,6,7,8,9}C. {4,6,8}D. {5}【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件利用韦恩图反应的集合运算直接计算作答.【详解】韦恩图的阴影部分表示的集合为()U A B ð，而全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，所以(){4,6,8}U A B ⋂=ð.故选：C 3. 函数()2log 22x xxx f x -=+的部分图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和特殊点即得.【详解】易知()2log 22x xxx f x -=+的定义域为{}0x x ≠，因为()()22log log 2222x x x xx x x f x x f x-----==-=-++，所以()f x 为奇函数，排除答案B ，D ；又()2202222f -=>+，排除选项C ．故选:A ．4. 在边长为3的正方形ABCD 中，点E 满足2CE EB = ，则AC DE ⋅=（ ）A. 3 B. 3- C. 4- D. 4【答案】A 【解析】【分析】建立直角坐标系，写出相关点的坐标，得到AC ，DE，利用数量积的坐标运算计算即可.【详解】以B 为原点，BC ，BA 所在直线分别为x ，y 轴，建立如图所示直角坐标系，由题意得()()()()0,3,1,0,3,0,3,3A E C D ，所以()3,3AC =- ，()2,3DE =--，所以()()()32333AC DE ⋅=⨯-+-⨯-=.故选：A.5. 某校科技社利用3D 打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为3144πcm ，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为31.5g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）（1.5 4.7π≈）A. 3045.6gB. 1565.1gC. 972.9gD. 296.1g【答案】C 【解析】【分析】由题意可知所需要材料的体积即为半球体积与圆台体积之和，先求出圆台的体积，再利用组合体的体积乘以打印所用原料密度可得结果.【详解】设半球的半径为R ，因为332π144πcm 3V R ==半球，所以6R =，由题意圆台的上底面半径及高均是3，下底面半径为6，所以((223113π6π363πcm 33V S S h =+=⋅+⋅+⨯=下上圆台，所以该实心模型的体积为3144π63π207πcm V V V =+=+=半球圆台，所以制作该模型所需原料的质量为207π 1.5207 4.7972.9g ⨯≈⨯=故选：C6. 已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，10a >，则“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式以及前n 项和公式，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.详解】若10a >，且公比0q >，则110n n a a q -=>，所以对于任意*n ∈N ，0n S >成立，故充分性成立；若10a >，且12q =-，则()111112212111101323212n n nn n a S a a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-=--⨯>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-- ⎪⎝⎭，所以由对于任意*n ∈N ，0n S >，推不出0q >，故必要性不成立；所以“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的充分不必要条件.故选:A7. 若存在实数a ，对任意的x ∈[0，m ]，都有(sin x －a )·(cos x －a )≤0恒成立，则实数m 的最大值为( )A.4πB. 2πC.34π D.54π【答案】C 【解析】【分析】根据已知不等式得到，要求y ＝sin x 和y ＝cos x 图象不在y ＝a的同一侧，利用正弦函数、余弦函数图象的性质进行解答即可．【详解】在同一坐标系中，作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，【的当m ＝4π时，要使不等式恒成立，只有a ，当m ＞4π时，在x ∈[0，m ]上，必须要求y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象不在y ＝a 的同一侧.∴由图可知m 的最大值是34π.故选：C.8. 已知函数()f x 的定义域为R ，()()()()2,24f x f x f f +=--=-，且()f x 在[)1,+∞上递增，则()10xf x ->的解集为（ ）A. ()()2,04,∞-⋃+B. ()(),15,∞∞--⋃+C. ()(),24,-∞-+∞D. ()()1,05,∞-⋃+【答案】D 【解析】【分析】根据()()2f x f x +=-可得()f x 关于直线1x =对称，根据()()24f f -=-可得()()240f f -==，结合函数()f x 的单调性可得函数图象，根据图象列不等式求解集即可.【详解】解：函数()f x ，满足()()2f x f x +=-，则()f x 关于直线1x =对称，所以()()()244f f f -==-，即()()240f f -==，又()f x 在[)1,+∞上递增，所以()f x 在(),1-∞上递减，则可得函数()f x 的大致图象，如下图：所以由不等式()10xf x ->可得，20210x x -<<⎧⎨-<-<⎩或414x x >⎧⎨->⎩，解得10x -<<或5x >，故不等式()10xf x ->的解集为()()1,05,∞-⋃+.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 对于实数a ，b ，c ，下列选项正确的是（ ）A. 若a b >，则2a ba b +>> B. 若0a b >>，则a b>>C. 若11a b>，则0a >，0b < D. 若0a b >>，0c >，则b c ba c a+>+【答案】ABD 【解析】【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可.【详解】对选项A ，因为a b >，所以022a b a b a +--=>，022a b a bb +--=>，所以2a ba b +>>，故A 正确；对选项B ，0a b >>1=>，所以a >，1=>b >，即a b >>，故B 正确；对选项C ，令2a =，3b =1b>，不满足0a >，0b <，故C 错误；对选项D ，因为0a b >>，0c >，所以()()()()()0a b c b a c c a b b c b a c a a a c a a c +-+-+-==>+++，故D 正确．故选：ABD ．10. 已知函数()2sin cos f x x x x =+，则下列说法正确的是（ ）A. ()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B. 函数()f x 的最小正周期为πC. 函数()f x 的对称轴方程为()5πZ 12x k k π=+∈D. 函数()f x 图象可由sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度得到【答案】AB的【解析】【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的图像性质逐项判断.【详解】()211cos 21πsin cos sin 2sin 22sin 22223x f x x x x x x x x +⎛⎫=-+==-=- ⎪⎝⎭，所以A 正确；对于B ，函数()f x 的最小正周期为2ππ2=，所以B 正确；对于C ，由ππ2π32x k -=+，k ∈Z ，得5ππ122k x =+，Z k ∈，所以函数()f x 的对称轴方程为5ππ122k x =+，Z k ∈，所以C 不正确；对于D ，sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度，得ππsin 2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到，所以D 不正确．故选：AB ．11. 设n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（ ）A. 若0d <，则1S 是数列{}n S 的最大项B. 若数列{}n S 有最小项，则0d >C. 若数列{}n S 是递减数列，则对任意的：*N n ∈，均有0nS <D. 若对任意的*N n ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列【答案】BD 【解析】【分析】取特殊数列判断A ；由等差数列前n 项和的函数特性判断B ；取特殊数列结合数列的单调性判断C ；讨论数列{}n S 是递减数列的情况，从而证明D.【详解】对于A ：取数列{}n a 为首项为4，公差为2-的等差数列，2146S S =<=，故A 错误；对于B ：等差数列{}n a 中，公差0d ≠，211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-，n S 是关于n 的二次函数.当数列{}n S 有最小项，即n S 有最小值，n S 对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，0d >，B 正确；对于C ：取数列{}n a 为首项为1，公差为2-的等差数列，22n S n n =-+，122(1)2(1)(2)210n n S n n n n S n =-+++-+---=+<＋，即1n n S S <＋恒成立，此时数列{}n S 是递减数列，而110S =>，故C 错误；对于D ：若数列{}n S 是递减数列，则10(2)n n n a S S n -=-<≥，一定存在实数k ，当n k >时，之后所有项都为负数，不能保证对任意*N n ∈，均有0n S >.故若对任意*N n ∈，均有0n S >，有数列{}n S 是递增数列，故D 正确．故选：BD12. 如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11B C ，CD 上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（ ）A. 四面体11A D MN 的体积为定值B. 当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行C. 直线MN 与平面ABCDD. 当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形【答案】ACD 【解析】【分析】求出四面体的体积判断A ；把正方体的棱分成3类，再判断各类中的一条即可判断B ；作出线面角，并求出其正切表达式判断C ；利用线线、线面平行的性质作出截面判断D.【详解】点M ，N 在棱11B C ，CD 上运动时，M 到11A D 距离始终为2，N 到平面11A D M 的距离始终为2，所以四面体11A D MN 的体积11114222323N A MD V -=⨯⨯⨯⨯=恒为定值，A 正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，棱可分为三类，分别是1111,,A A A B A D ，及分别与它们平行的棱，又1111,,A A A B A D 不与平面1A MN 平行，则在正方体1111ABCD A B C D -中，不存在棱与平面1A MN 平行，B 错误；正方体棱长为2，如图1，过M 作1MM BC ⊥于1M ，则有1MM ⊥平面ABCD ，于是MN 与平面ABCD 所成角即为1MNM ∠，于是11112tan MM MNM M N M N∠==，又1M N长度的最大值为MN 与平面ABCD，C 正确；如图2，取BC 中点M '，连接,AM MM ''，有11////MM BB AA '，且11MM BB AA '==，则四边形1AA MM '是平行四边形，有1//AM A M '，过N 作AM '的平行线交AD 于点E ，此时14DE DA =，则1//EN A M ，即EN 为过1A ，M ，N 三点的平面与平面ABCD 的交线，连接1A E ，在BC 上取点F ，使得14CF CB =，同证1//AM A M '的方法得11//A E B F ，在棱1CC 上取点G ，使113CG CC =，连接MG 并延长交直线BC 于H ，则112CH C M CF ==，即11FH C M B M ==，而1//FH B M ，于是四边形1FHMB 是平行四边形，有11////MG B F A E ，则MG 为过1A ，M ，N 三点的平面与平面11BCC B 的交线，连接NG ，则可得五边形1A MGNE 即为正方体中过1A ，M ，N 三点的截面，D 正确．故选：ABD【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则=a __________．【答案】2-【解析】【分析】求导，利用()13f '=求解即可.【详解】解：因为()ln f x x a x =-，所以()1a f x x'=-，又函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则()1131af '=-=，所以2a =-．故答案为：2-14. 在平面直角坐标系xOy 中，圆O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B ，C 在圆O 上，若射线OB 平分AOC ∠，34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，则点C 的坐标为__________．【答案】2425⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【详解】由题意可知圆O 1=，设AOB BOC α∠=∠=，由题意可知4sin 5α=，3cos 5α=，则点C 的横坐标为271cos 212sin 25αα⨯=-=-，点C 的纵坐标为241sin 22sin cos 25ααα⨯==．故答案为：724,2525⎛⎫-⎪⎝⎭．15. 已知函数()f x 的定义域为R ，()e xy f x =+是偶函数，()3e x y f x =-是奇函数，则()f x 的最小值为_____________．【答案】【解析】【分析】由题意可得()e 2e xxf x -=+，再结合基本不等式即可得答案.【详解】解：因为函数()e xy f x =+为偶函数，则()()e e x x f x f x --+=+，即()()ee xx f x f x ---=-，①又因为函数()3e xy f x =-为奇函数，则()()3e 3e xx f x f x ---=-+，即()()3e 3ex xf x f x -+-=+，②联立①②可得()e 2e xxf x -=+，由基本不等式可得()e 2e x x f x -=+≥=，当且仅当e 2e x x -=时，即当1ln 22x =时，等号成立，故函数()f x 的最小值为故答案为：16. 已知菱形ABCD 中，对角线BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC =，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________.【答案】28π【解析】【分析】将ABD 沿BD 折起后，取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，得到120AEC ∠=︒，在AEC △中由余弦定理求出AE 的长，进一步求出AB 的长,分别记三角形ABD △与BCD △的重心为G 、F ，记该几何体ABCD 的外接球球心为O ，连接OF ，OG ，证明Rt OGE △与Rt OFE 全等，求出OE ，再推出BD OE ⊥，连接OB ，由勾股定理求出OB ，即可得出外接球的表面积.【详解】将ABD 沿BD 折起后，取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，则AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以AEC ∠即为二面角A BD C --的平面角，所以120AEC ∠=︒；设AE a =，则AE CE a ==,在AEC △中2222cos120AC AE EC AE CE =+-⋅⋅︒，即2127222a a a ⎛⎫=-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭解得3a =，即3AE =，所以AB ==所以ABD △与BCD △是边长为.分别记三角形ABD △与BCD △的重心为G 、F ，则113EG AE ==，113EF CE ==；即EF EG =；因为ABD △与BCD △都是边长为所以点G 是ABD △的外心，点F 是BCD △的外心；记该几何体ABCD 的外接球球心为O ，连接OF ，OG ，根据球的性质，可得OF ⊥平面BCD ，OG ⊥平面ABD ，所以 OGE 与OFE △都是直角三角形，且OE 为公共边，所以Rt OGE △与Rt OFE 全等，因此1602OEG OEF AEC ∠=∠=∠=︒，所以2cos 60EFOE ==︒；因为AE BD ⊥，CE BD ⊥，AE CE E =I ，且AE ⊂平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，所以BD ⊥平面AEC ；又OE ⊂平面AEC ，所以BD OE ⊥，连接OB ，则外接球半径为OB ===，所以外接球表面积为2428S ππ=⨯=.故答案为：28π【点睛】思路点睛：求解几何体外接球体积或表面积问题时，一般需要结合几何体结构特征，确定球心位置，求出球的半径，即可求解；在确定球心位置时，通常需要先确定底面外接圆的圆心，根据球心和截面外接圆的圆心连线垂直于截面，即可确定球心位置；有时也可将几何体补型成特殊的几何体（如长方体），根据特殊几何体的外接球，求出球的半径.四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设24n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：3n T <.【答案】（1）n a n =； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用,n n a S 的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法求得n T ，即可证明.【小问1详解】依题意可得，当1n =时，2111122S a a a ==+，0n a >，则11a =；当2n ≥时，22n n n S a a =+，21112n n n S a a ---=+，两式相减，整理可得()()1110n n n n a a a a --+--=，又{}n a 为正项数列，故可得11n n a a --=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，1d =为公差的等差数列，所以n a n =.【小问2详解】证明：由（1）可知n a n =，所以()42222n b n n n n ==-++，()44441324352n T n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+22222222222222132435462112n n n n n n =-+-+-+-⋅⋅⋅+-+-+---++2221312n n =+--<++，所以3n T <成立18. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c)sin a C C =-.（1）求A ；（2）若8a =，ABCABC 的周长.【答案】（1）2π3（2）18.【解析】【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出tan A的值，结合角A的取值范围可求得角A 的值；（2）利用三角形的面积公式可得出182b c bc++=，结合余弦定理可求得b c+的值，即可求得ABC的周长.【小问1详解】)sina C C=-，)sin sinB AC C=-，①因为πA B C++=，所以()sin sin sin cos cos sinB AC A C A C=+=+，sin sin sinA C A C=-，又因为A、()0,πC∈，sin0C≠sin0A A=-<，所以tan A=，又因为()0,πA∈，解得2π3A=.【小问2详解】解：由（1）知，2π3A=，因为ABC所以()1sin2ABCS a b c A=++=⋅△，即()8b c++=，所以，182b c bc++=②，由余弦定理2222π2cos3a b c bc=+-⋅得2264b c bc++=，所以()264b c bc+-=③，联立②③，得()()22864b c b c+-++=，解得10b c+=，所以ABC的周长为18a b c++=.19. 如图，在三棱柱111ABC A B C-中，11BC B C O=，12BC BB==，1AO=，160B BC∠=︒，且AO⊥平面11BB C C．（1）求证：1AB B C ⊥；（2）求二面角111A B C A --的正弦值．【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质和判断定理可得1B C ⊥平面1ABC ，从而即可证明1AB B C ⊥；（2）建立以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴的空间坐标系，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：因AO ⊥平面11BB C C ，1B C ⊂平面11BB C C ，所以1AO B C ⊥，因为1BC BB =，四边形11BB C C 是平行四边形，所以四边形11BB C C 是菱形，所以11BC B C ⊥．又因为1AO BC O ⋂=，AO ⊂平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC ，所以1B C ⊥平面1ABC ，因为AB ⊂平面1ABC ，所以1AB B C ⊥．【小问2详解】解：以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，则)B，()10,1,0B ，()0,0,1A，()1C ，所以()10,1,1AB =-，)11C B =，)110,1A B AB ==-，为设平面11AB C 的一个法向量为()1111,,n x y z = ，则11111111100n AB y z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11x =，可得1y =1z =，所以(11,n =u r，设平面111B C A 的一个法向量为()2222,,n x y z = ，则211221112200n A B z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取21x =，可得2y =2z =，所以(21,n = ，设二面角111A B C A --的大小为θ，因为1212121cos ,7n n n n n n ⋅〈〉===⋅ ，所以sin θ==，所以二面角111A B C A --．20. 如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点A ，右焦点为(c,0)F ，直线AF 交椭圆于B 点，且满足||2||AF FB =， ||AB =．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．【答案】（1）22132x y +=；（2）.【解析】【分析】（1）由已知得b =，由||2||AF FB =且||AB =，知||AF a ==，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）直线AF0y +=，与椭圆联立求出3(,2B ，求出点,A B 到直线(0)y kx k =>的距离为1d =，2d =，联立直线y kx =与椭圆方程结合弦长公式求出CD ，求出四边形ACBD 的面积121()2S CD d d =+，整理化简利用二次函数求出最值.【详解】（1）A Q 为椭圆C上一点，b ∴=又 ||2||AF FB =，||AB =可得，||AF =，即a =所以椭圆C 的标准方程是22132x y +=.（2）由（1）知(1,0)F，A ，∴直线AF0y +-=，联立221320x y y ⎧+=⎪⎨+-= ，整理得：22462(3)0x x x x -=-=，解得：1230,2x x ==，∴3(,2B设点A，3(,2B 到直线(0)y kx k =>的距离为1d 和2d ，则1d =，2d = 直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，联立22132x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，整理得：22(32)6k x +=，解得：34x x ==4CD x ∴=-=∴设四边形ACBD 面积为S，则121()2S CD d d =+=(0)k =>.设)t k =+∞，则k t =S ∴====≤当1t =，即t k ===k =ACBD面积有最大值【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 如图所示，A BCP -是圆锥的一部分(A 为圆锥的顶点)，O 是底面圆的圆心，23BOC π∠=，P 是弧BC 上一动点（不与B 、C 重合），满足COP θ∠=．M 是AB 的中点，22OA OB ==．（1）若//MP 平面AOC ，求sin θ的值；（2）若四棱锥M OCPB -的体积大于14，求三棱锥A MPC -体积的取值范围．【答案】（1（2）【解析】【分析】（1）取OB 的中点N ，连接MN ，证明出//NP OC ，可得出3ONP π∠=，OPN θ∠=，然后在ONP △中利用正弦定理可求得sin θ的值；（2）计算得出四边形OCPB的面积364S πθ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，结合20,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得θ的取值范围，设三棱锥A MPC -的体积为2V ，三棱锥A BPC -的体积为3V，计算得出2361123V V πθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，结合正弦型函数的基本性质可求得结果.【小问1详解】解：取OB 的中点N ，连接MN ，M 为AB 的中点，则//MN OA ，MN ⊄ 平面AOC ，AO ⊂平面AOC ，则//MN 平面AOC ，由题设，当//MP 平面AOC 时，因为MP MN M ⋂=，所以，平面//MNP 平面AOC ，NP ⊂ 平面MNP ，则//NP 平面AOC ，因为NP ⊂平面OBPC ，平面OBPC 平面AOC OC =，则//NP OC ，所以，3ONP BOC ππ∠=-∠=，OPN COP θ∠=∠=，在OPN 中，由正弦定理可得sin sin 3ON OP πθ=，故sin 3sin ON OP πθ==.【小问2详解】解：四棱锥M OCPB -的体积1111323V OA S S =⋅⋅=，其中S 表示四边形OCPB 的面积，则112111sin sin sin sin 223222S OP OC OP OB πθθθθθ⎫⎛⎫=⋅+⋅-=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭3sin 46πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以，111364V S πθ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，可得sin 6πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭203πθ<< ，则5666πππθ<+<，故2363πππθ<+<，解得,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.设三棱锥A MPC -的体积为2V ，三棱锥A BPC -的体积为3V ，由于M 是AB 的中点，则231112sin 2623V V OA S OB OC π⎛⎫==⋅-⋅ ⎪⎝⎭136πθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.22. 混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N 个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为()01p p <<．目前，我们采用K 人混管病毒检测，定义成本函数()N f X KX K=+，这里X 指该组样本N 个人中患病毒的人数．（1）证明：()E f X N ≥⎡⎤⎣⎦；（2）若4010p -<<，1020K ≤≤．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由均值的性质及基本不等式即可证明.（2）由二项分布的概率及条件概率化简即可证明.【小问1详解】由题意可得X 满足二项分布(),X B N p ，由()()E aX b aE X b +=+知，()()N NE f X K X E pN N K K K =+=+⋅≥⎡⎤⎣⋅⎦，当且仅当1Kp K=时取等号；【小问2详解】记P P =（混管中恰有1例阳性|混管检测结果为阳性），i P P =（混管中恰有i 例阳性）=()C 1K i ii K p p --，0,1,,i K = ，令()e 1xh x x =--，33210210x ---⨯<<⨯，则()e 1xh x '=-，当()3021,0x -⨯∈-时，()0h x '<，()h x 为单调递减，当()300,21x -∈⨯时，()0h x '>，()h x 为单调递增，所以()()00h x h ≥=，且()()332103210e 21010h ---⨯--⨯=--⨯-≈，()()332103210e 21010h --⨯-⨯=-⨯-≈，所以当33210210x ---⨯<<⨯，e 10x x --≈即e 1x x ≈+，两边取自然对数可得()ln 1x x ≈+，所以当4010p -<<，1020K ≤≤时，所以()()ln 11e e K K p Kp p Kp ---=≈≈-，则()()()()110111111111K K Kp K p Kp p P P K p P Kp p ---⎡⎤-⎣⎦==≈=--≈---．故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.。

2015届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考数学(文)试题

2015届湖南省长沙长郡中学高三上学期第四次月考数学(文)试题

长郡中学2015届高三上学期第四次月考数学（文）试题本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．全集U={1，2，314，5，6），M={2，3，4），N={4，5}，则()MN ð等于A ．{1，3，5}B ．{1，5}C ．{l ，6}D ．{2，4，6} 2．“x<0”是“1n （x+1）<0，，的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．下图所示的算法流程图中，若输出的T= 720，则正整数a 的值为A ．5B ．6C ．7D ．84．一个空间几何体的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，则该几何体的体积等于AB ．C ．D ．5．在区间[一π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数222()44f x x ax b π=+-+2有零点的概率为 A ．4π B ．1一4π C ．2π D ．l －2π6．已知双曲线2222:x y C a b-=1的焦距为10，点P （2，1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．221205x y -=B ．221520x y -=C ．2218020x y -=D ．2212080x y -= 7．设()1(101)xf xg ax =++是偶函数，4()2x bg x -=是奇函数，那么a 十6的值为A ．1B ．一1C ．一12D ．128．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3 9．如图，在Rt △ABC 中，∠C= 90°，AC=4，BC=2，D 、E 分别是BC 、AB 的中点，P 是△ABC （包括边界）内任一 点，则.AD EP 的取值范围是 A ．[-7，7] B ．[-8，8]C ．[-9，9]D ．[-10，J ．O]10．已知函数321,(,1],12()111,0,.362x x x f x x x ⎧∈⎪+⎪=⎨⎡⎤⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩函数()s i n ()22(0)6g x a x a a π=-+>，若存在12,[0,1]x x ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是A ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1(0,]2C ．24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 11．已知直线l 的参数方程：12x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C的极坐标方程：)4πρθ=+，则直线l 和圆C 的位置关系为12．在复平面内，复数z 1，z 2对应的点分别是（11，-7），（1，-2），且12z x yi z =+（其中,,x y R i ∈为虚数单位），则z+y 的值为 . 13．如图，函数21()()5F x f x x =+的图象在点P （5，F （5））处的切线方程是y=ax 十8，若(5)'(5)5f f +=-，则实数a= .14．若向量a=（x 一1，2），b=（4，y ）相互垂直，则9x +3y 的最小值为 15．如图，直线与抛物线y 2 =2px （p>0）交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 于D ，若点D 的坐标为（2，1），则p 的值等于.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知某单位有50名职工，从中按系统抽样．．．．抽取10 名职工．（1）若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职 工的号码；（2）分别统计这10名职工的体重（单位：公斤），获 得体重数据的茎叶图如图所示，现从这10名职工中随机抽取两名体重超过平均体重的职工，求体重为76公斤的 职工被抽取到的概率． 17．（本小题满分12分） 在△ABC 中，角A,B,C 所对的边之长依次为a ，b,c ，且2225()a b c +-= （1）求cos 2C 和角B 的值；（2）若a-c=1，求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）如图所示，已知圆O 的直径AB 长度为4，点D为线段AB 上一点，且AD=13DB ，点C 为圆O上一点，且．点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD=B D ． （1）求证：CD ⊥平面PAB ；（2）求PD 与平面PBC 所成的角的正弦值． 19．（本小题满分13分）已知无穷数列{a n }中，a 1、a 2、…a m 构成首项为2，公差为－2的等差数列，a m+1、a m+2、…a 2m 构成首项为12，公比为12的等比数列，其中m≥3，m ∈N *． （1）当1≤n≤2rn ，m ∈N*时求数列{a n }的通项公式；（2）若对任意的m ∈N*，都有a n+2m =a n 成立， ①当27164a =时，求m 的值； ②记数列{a n }的前n 项和为S n 判断是否存在m ，使得S 4m ＋3≥2成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由，20．（本小题满分13分）如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点3(1,)2P ，离心率e=12直线l 的方 程为x=4．（1）求椭圆C 的方程； （2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3问：是否存在常数λ，使得k 1+k 2=λk 3若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．（本小题满分13分）设函数22()(1)(x e f x k nx k x x=-+为常数，e=2．718 28…是自然对数的底数）．（1）当k≤0时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在（0，2）内存在两个极值点，求k 的取值范围。

湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高三下学期月考(八)数学试题含答案

湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高三下学期月考(八)数学试题含答案

炎德·英才大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（八）数学命题人李群丽审题人陈朝阳注意事顶：1．答卷前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时、选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动、用橡皮擦干净后、再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上、写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．定义差集{}M N x x M x N -=∈∉且，已知集合{}{}2,3,5,3,5,8A B ==，则()A A B -= （）A ．∅B ．{}2C ．{}8D ．{}3,52．已知一组数据12345,,,,x x x x x 的平均数为2，方差为12，则另一组数据1234532,32,32,32,32x x x x x -----的平均数、标准差分别为（）A ．12,2B ．2,1C ．324,2D ．94,23．设复数z 满足i 2,z z +=这在复平面内对应的点为(),P x y ，则（）A ．()2214x y -+=B ．()2212x y ++=C ．()2212x y +-=D ．()2214x y ++=4．向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，()2214a b AD BC ⋅=- ，我们称为极化恒等式、已知在ABC △中，M 是BC 中点，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅=（）A ．16-B ．16C ．8-D ．85．南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（FlorenceNightingale ）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小，某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔攻瑰图（如图所示）、根据此图，以下说法错误的是（）A ．2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加B ．2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量在2018年最多C ．2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增D ．2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍6．已知函数()()sin 2(0)f x x ϕϕπ=+<<的图像关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则（）A ．直线76x π=是函数()f x 图象的对称轴B ．()f x 在区间11,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上有两个极值点C ．()f x 在区间50,12π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．函数()f x 的图象可由cos2y x =向左平移6π个单位长度得到7．已知点O 为坐标原点，椭圆22195x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，设线段1PF 的中点为M ，且2OF OM =，则12PF F △的面积为（）A 15B ．152C ．37D ．158．中国古建筑闻名于世，源远流长．如图甲所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图乙所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD 为矩形，,24,EF AB AB EF ADE ==∥△与BCF △都是边长为2的等边三角形，若点,,,,,A B C D E F 都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（）A ．22πB ．11πC ．112πD ．114π二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

人教版数学高三期中测试精选(含答案)8

人教版数学高三期中测试精选(含答案)8

【答案】A
9．设 a, b, c 是互不相等的整数，则下列不等式中不恒成立的是（ ）
A．| a b || a c | | b c |
C．
|
a
b
|
a
1
b
2
B． a2
1 a2
a
1 a
D． a 3 a 1 a 2 a
【来源】上海市上海中学 2018-2019 学年高三上学期期中数学试题
x [2, 4] ，不等式 f (x) t 2 恒成立，则 t 的取值范围为__________．
【来源】山东省菏泽一中、单县一中 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（文)试
题 【答案】 (,10]
2x y 1 0,
12．设关于
x
，
y
的不等式组
x m 0,
表示的平面区域为 D ，若存在点
【答案】（1）见解析;(2) 2- n 2 n n2
2n
2
7x 5y 23 0
30．已知
x，y
满足条件：
x
7
y
11
0
，求：
4x y 10 0
（1） 4x 3y 的最小值； x y 1
（2） x 5 的取值范围.
【来源】上海市上海中学 2015-2016 学年高二上学期期中数学试卷
an
2n
的前
n
项和
Sn
．
【来源】江西省抚州市临川一中 2019-2020 届高三上学期第一次联合考试数学（文科)
试题
【答案】（1） an
1 2
n
；（2）
Sn
2n1
n2
n
2
.
34．已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ， a2 a8 82 ， S41 S9 .

湖南省常德市第一中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题(含答案)

湖南省常德市第一中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题(含答案)

常德市第一中学2025届高三第一次月水平检测数 学时量：120分钟 满分：150分命题人： 审题人：一、单选题。

（本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

）1．已知集合，则（ ）A ． B ．C ．D ．2．命题“，”的否定是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，3．设，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示训练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（ ）A ．16B ．72C ．74D ．905．“”是“函数在单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．对于三次函数给出定义: 设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算（ ）A ．1010B ．2020C ．2023D ．20247．，均有成立，则a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数，若，使成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题（本题有3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分）9．下列选项中正确的有（ ）A ．若，则B ．若集合，且，则实数a 的取值所组成的集合是．C ．若不等式的解集为，则不等式的解集为或D ．已知函数的定义域是，则的定义域是．10．已知，且，则（ ）A ．的最小值是B ．最小值为CD ．的最小值是11．已知函数，下列选项中正确的是（ ）A ．在上单调递增，在上单调递减{}{}21,24A x x B x x =-≤=-<≤A B = {}4x x ≤{}34x x ≤≤{}23x x -<≤{}24x x -<≤x ∃∈R ln e 0x x x ++>x ∃∈R ln e 0x x x ++≤x ∀∈R ln e 0x x x ++≤x ∀∉R ln e 0x x x ++≤x ∃∉R ln e 0x x x ++<5log 2a =25log 3b =0.20.6c =c b a >>c a b >>b a c >>a c b>>181425GL ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭L G lg20.301≈1m £()()22log 1f x x mx =--()1,+∞()()³²0f x ax bx cx d a =+++≠()f x '()y f x =()f x ''()f x '()0f x ''=0x 00(,())x f x ()y f x =32115()33212f x x x x =-+-12320202021202120212021f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1212,[1,e]x x x x ∀∈≠122121ln ln x x x x a x x -<-(],0-∞[)1,+∞[]0,1[)0,+∞()()22e ,e xf x x x ag x x =-+=-(][]12,0,1,e x x ∞∀∈-∃∈()()12g x f x ≤a [)2e 1,-+∞12e 1,e ∞⎡⎫+-+⎪⎢⎣⎭)2e ,⎡+∞⎣21e ,e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭a b >22ac bc >{}{}20|1,2,A B x ax =-=+=B A ⊆{}1,2-20ax bx c ++>{}3|1x x <<20cx bx a ++<1{3x x <1}x >()1y f x =+[]2,3-()1y f x =-[]0,50,0a b >>1a b +=ab 14222a b +2312a a b+1+()1e ,01ln ,04x x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩()f x (),1-∞-()1,0-B．有极大值C．无最小值D．若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是.13．已知函数，分别是定义在上的奇函数，偶函数，且，则.14．设函数，若在上满足的正整数至多有两个，则实数的取值范围是．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）15．（13分）在中，内角所对的边分别为，已知向量满足，，且．(1)求角；(2)若是锐角三角形，且，求周长的取值范围．16．（15分）已知正方体的棱长为，，，为线段上的动点，是点关于所在直线的对称点.(1)求证：；(2)求三棱锥的体积；(3)当时，求二面角的余弦值的绝对值.17．（15分）数列满足．(1)求的通项公式；(2)若，求的前项和．18．（17分）已知椭圆的右焦点与点连线的斜率为2，且点在椭圆上(其中为的离心率)．(1)求椭圆的标准方程．(2)已知点，过点的直线与交于A，B两点，直线DA，DB分别交于M，N两点，试问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．19．（17分）已知(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)已知有两个极值点，且满足，求的值；(3)在(2)的条件下，若在上恒成立，求的取值范围．()f x()f x()()()()2[]24h x f x af x a=-+∈R a5,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭[]1,5x∃∈1e0x ax--<a()f x()g x R()()e xf xg x+=()()22f xg x-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()2e exf x ax x=--()0,∞+()0f x<aABCV,,A B C,,a b c,m n(2,m a=),n B b=m n⊥AABCV3a=ABCV1111ABCD A B C D-311113PD A D=11123QC C D=MBD M'M AD1MB PQ⊥1Q PMB-2BM DM=M PQ M'--{}na321212222nna aaa n-+++⋯+={}nannnba={}nb nnT2222:1(0)x yC a ba b+=>>3,12P⎛⎫⎪⎝⎭()1,eC e CC(2,0)D P l C C()2lnx ax x bf xx++=3,1a b=-=-()y f x=()()1,1f()f x12,x x()()12f x f x+=b()1f x x≥-+[)1,+∞a参考答案：1．C 2．B 3．B 4．C 5．B 6．B 7．B 8．B9．CD 10．BC 11．ABD 12． 13． 14．11．【详解】对于A ，当时，，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以A 正确，对于B ，由选项A 可知在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，所以B 正确，对于C ，当时，，当时，，当时，，所以当时，，因为在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，综上，的值域为，所以有最小值0，所以C 错误，对于D ，因为在上单调递增，在上单调递减，，，所以的大致图象如图所示由，得，令，则，由的图象可知，要使有6个零点，则方程有两个不相等的实数根，不妨令，若，则由图可知有6个零点，但，所以不符合题意，所以，因为，所以，解得，即实数的取值范围是，所以D 正确，故选：ABD 14．【详解】由在上满足的正整数至多有两个，即在上满足的正整数至多有两个，设，，则，设，，则，，设，，则恒成立，则在上单调递增，即，即，所以在上单调递增，又，所以当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增；(],e 1∞--1-3e 3e ,9⎛⎤--∞ ⎝⎦0x ≤1()e x f x x +=-111()(e e )e (1)x x x f x x x +++'=-+=-+1x <-()0f x '>10x -<<()0f x '<()f x (),1∞--()1,0-()f x (),1∞--()1,0-()f x =1x -0x >14141ln ,e 14()ln 41ln ,0e 4x x f x x x x ⎧-≥⎪⎪=-=⎨⎪-<<⎪⎩14e x ≥1ln 04x -≥140e x <<1ln 04x ->0x >()0f x ≥()f x (),1∞--()1,0-0x ≤()0f x ≥()f x [0,)+∞()f x ()f x (),1∞--()1,0-()11f -=(0)0f =14141ln ,e 14()ln 41ln ,0e 4x x f x x x x ⎧-≥⎪⎪=-=⎨⎪-<<⎪⎩()f x ()0h x =()()2[]240f x af x -+=()f x t =2240t at -+=()f x ()h x 2240t at -+=12,t t 12t t <120,01t t =<<()h x 202040a -⨯+≠1201,1t t <<>2020440a -⨯+=>21240a -+<52a >a 5,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭3e 3e ,9⎛⎤--∞ ⎝⎦()0,∞+()2e e 0xf x ax x =--<()0,∞+2e e x x a x ->()2e e x xg x x -=0x >()()3e 2e x x x g x x -+'=()()e 2e xh x x x =-+0x >()()e 1e x h x x '=-+0x >()()e 1e x m x x =-+0x >()e 0xm x x '=>()m x ()0,∞+()()0e 10m x m >=->()0h x '>()h x ()0,∞+()10h =()0,1x ∈()0h x <()0g x '<()g x ()1,x ∈+∞()0h x >()0g x '>()g x所以当时，取最小值，又在上满足的正整数至多有两个，则，即，故答案为：.15．(1)或.(2)【详解】（1）解：∵，∴，即.由正弦定理得.∵，∴∵，∴或.（2）∵，且三角形为锐角三角形，∴.∴由正弦定理得.∴，.∴，.又∵为锐角三角形，∴，∴，得，.，，∴，又∵，∴.∴的周长的取值范围为.16．(1)证明见解析(2) (3)【详解】（1）证明：连接.由，得，又，则有，正方体中，平面，平面，得，又正方形中，，，平面，所以平面，由平面，得.又，所以.（2），，， ，有，，∴.1x =()g x ()0,∞+()2e e x x a g x x ->=()3e 3e39a g -≤=3e 3e ,9a ⎛⎤-∈-∞ ⎥⎝⎦3e 3e ,9⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦π3A =2π3(3+m n ⊥20a B =2a B =2sin sin A B B sin 0B ≠sin A =(0,π)A ∈π3A =2π33a =ABC π3A =sin sin sin a b cA B C ====b B =c C =)2πsin sin sin sin 3b c B C B B ⎤⎛⎫+=+=+- ⎪⎥⎝⎭⎦13sin sin sin 22B B B B B ⎫⎫=++=⎪⎪⎪⎪⎭⎭)1πcos 32cos 6sin 26B B B B B ⎫⎛⎫=+=⨯+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭ABC V π02B <<2π0π32B <-<ππ62B <<ππ2π363B <+<πsin()16B <+≤6sin 66B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭6b c <+≤3a =39a b c +<++≤ABC V (3+5217191111,A C B D 11123QC C D =11113QD C D =11113PD A D =11//PQ A C 1111ABCD A B C D -1BB ⊥1111D C B A 11A C ⊂1111D C B A 111BB A C ⊥1111D C B A 1111B D A C ⊥1111BB B D B ⋂=111,BB B D ⊂11BB D D 11A C ⊥11BB D D 1MB ⊂11BB D D 111A C MB ⊥11//PQ AC 1PQ MB ⊥111D P D Q ==PQ ==111111,A B C B A P C Q ==1111Rt Rt A B P C B Q ≅V V 222222*********B P B Q A P A B ==+=+=11B P B Q ==1115222PQB S PQ ===V 11115332Q PMB M PQB PQB V V S --==⨯⨯=V（3）如图所示，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系.则，，，，当时，有，则，，.设为平面的一个法向量，∴，令，得，可得.设为平面的一个法向量，∴，令，得，可得.设所成的角为∴.17．(1) (2)【详解】（1）数列满足，当时，，两式相减可得，，所以，当时，也满足上式，所以；（2）由（1）得，所以，则，两式相减的，，所以．18．(1) (2)是定值，定值为（1）由题意可得，解得 故椭圆的标准方程为；（2）由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，，，则直线DA 的方程为． 联立，整理得 则，即． D DA x DC y 1DD z (0,0,0)D (3,0,0)A (1,0,3)P (0,1,3)Q 2BM DM =(1,1,0)M (1,1,0)M -'(1,1,0)PQ =- (1,2,3)QM -'=- (0,1,3)PM =-()111,,m x y z = QPM '111110230PQ m x y QM m x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅='--=⎪⎩13x =113,1y z ==-()3,3,1m =- ()222,,n x y z = QPM 2222030PQ n x y PM n y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩23x =223,1y z ==(3,3,1)n =M PQ M '--θ17cos 19m n m n θ⋅===⋅ 2n n a =222n nn T +=-{}n a 321212222n n a a a a n -++++= 2n ≥()31212221222n n a a a a n --+++⋯+=-122nn a -=2n n a =1n =1122a ==2n n a =2n n n b =231232222nn nT =++++ 234111*********n n n n n T +-=+++++ 2311111(1)11111222112222222212n n n n n n n n n T +++-+=++++-=-=-- 222nnn T +=-2212x y +=2-22222221023211c c a a b a b c-⎧=⎪-⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩222211a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩C 2212xy +=l l ()312x m y =-+()11,A x y ()22,B x y ()33,M x y ()44,N x y 1122x x y y -=+11222212x x y y x y -⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()22111132220x y x y y y -+-+=2113132y y y x =-13132y y x =-代入，得． 同理可得． 因为 所以直线MN 的斜率为定值，且定值为．19．(1)(2)(3)【详解】（1）当时，，所以，所以．所以曲线在点处的切线方程为．（2）因为，所以，因为有两个极值点，所以有两个大于0的变号零点，所以方程有两个不等正根，所以，解得，又因为，即有，整理得，代入，可得，解得，又因为，所以可得，经检验，符合题意．（3）由(2)可知且，从而，因为在上恒成立，令，则有在上恒成立，易得，因为，所以，令，对称轴，①当时，，所以在单调递增，从而恒成立，所以在也恒成立，所以在单调递增，从而恒成立．②当时，，所以有两个不等实根（不妨设），所以，且当时，，从而，所以在上单调递减，所以，与“在上恒成立”矛盾，1122x x y y -=+()13112312322232x x x x -=+=---()2442231,322232y y x x x ==---()()()()21211213214312123232323211232232MNy y y x y x y y x x k x x x x x x -------===-----()()()21112112123332322222,y my m y my m m y y m y y m y y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦===---2-1y x =-+1b =-[)3,2--3,1a b =-=-()()13ln ,10f x x x f x =--=()2311f x x x'=-+()11f '=-()y f x =()()1,1f 1y x =-+()()ln ,0,b f x x a x x x =++∈+∞()2221a b x ax bf x x x x +-=+-='()f x 12,x x ()f x '20x ax b +-=21212Δ4000a b x x b x x a ⎧=+>⎪=->⎨⎪+=->⎩2400a bb a ⎧>-⎪<⎨⎪<⎩()()120f x f x +=112212ln ln 0b b x a x x a x x x +++++=()()12121212ln 0x x x x a x x bx x ++++=1212,x x b x x a =-+=-()()ln 0aa ab b b--+-+=-1b =-240a ba ⎧>-⎨<⎩2a <-1b =-2a <-()1ln f x x a x x=+-()1f x x ≥-+[)1,+∞()()[)112ln 1,1,g x f x x x a x x x=+-=+--∈+∞()0g x ≥[)1,+∞()12ln1110g a =+--=()2221212a x ax g x x x x ++=++='()13g a '=+()[)()221,1,,13h x x ax x h a =++∈+∞=+4a x =-32a -≤<-()3130,44a h a x =+≥=-≤()h x [)1,+∞()()130h x h a ≥=+≥()()20h x g x x ='≥[)1,+∞()g x [)1,+∞()()10g x g ≥=3a <-()130h a =+<2210x ax ++=34,x x 34x x <341x x <<()41,x x ∈()0h x <()()20h x g x x='<()g x []41,x ()()410g x g <=()0g x ≥[)1,+∞综上，的取值范围是．a [)3,2--。

湖南省邵阳市2025届高三上学期9月月考数学试题含答案

湖南省邵阳市2025届高三上学期9月月考数学试题含答案

高三数学（答案在最后）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,4}A =，{|22}B x x =≥-λ，若A B ⋂=∅，则实数λ的取值范围是（）A.3,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭B.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.(3,)+∞D.[3,)+∞【答案】C 【解析】【分析】根据A B ⋂=∅，可求得224λ->，则得3λ>，从而可求解.【详解】由题意可知A B ⋂=∅，只需224λ->，解得3λ>，故C 正确.故选：C.2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21024a a +=，且36a =，则8S =（）A.60B.72C.120D.144【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前n 项和公式计算即得.【详解】在等差数列{}n a 中，6210224a a a =+=，解得612a =，所以188368()4()4(612)722a a S a a +==+=⨯+=.故选：B3.已知()(2)3g x f x =+-是定义在R 上的奇函数，若(1)4f =，则(3)f =（）A.10- B.4- C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质求出函数()f x 的性质，进而求出(3)f .【详解】由()(2)3g x f x =+-是定义在R 上的奇函数，得[(2)3][(2)3]0f x f x -+-++-=，即(2)(2)6f x f x -+++=，令1x =，则(1)(3)6f f +=，而(1)4f =，所以(3)2f =.故选：C4.已知过点(1,0)A 的直线l 与圆22:(2)4C x y ++=相交于M ，N 两点，若||2MN =，则l 的斜率为（）A.2±B.12±C.13±D.14±【答案】A 【解析】【分析】设出直线l 的方程，利用点到直线距离公式及圆的弦长公式列式求解即得.【详解】圆22:(2)4C x y ++=的圆心(2,0)C -，半径2r =，易知直线斜率存在，设l 的方程为(1)y k x =-，则圆心(2,0)C -到l 的距离d =，则2MN ==，解得2k =±，所以l 的斜率为2±.故选：A5.中国冶炼铸铁的技术比欧洲早2000年左右，铸铁技术的诞生标志着真正的铁器时代的开始.现将一个表面积为236πcm 的实心铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的实心铁锭，若该铁锭的上、下底面的边长分别为和，则该铁锭的高为（）A.3cmB.10cm 3C.18cm 5D.27cm 7【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用球的表面积、体积公式及棱台的体积公式列式计算得解.【详解】设实心铁球的半径为cm R ，依题意，24π36πR =，解得3R =，设正四棱台形状的实心铁锭的高为cm h ，则()3144π16π8ππ36π33h R ⋅++⋅==，解得277h =，所以该铁锭的高为27cm 7.故选：D6.已知1122(,),(,)x y x y 是函数ln y x =的图象上的两个不同的点，则（）A.1212e2y y x x ++> B.1212e2y y x x ++< C.122212e2y y x x ++>D.122212e2y y x x ++<【答案】D 【解析】【分析】求出已知两点的中点坐标及ln y x =的图象上纵坐标为122y y +的点，结合函数图象建立不等式，借助基本不等式即可得解.【详解】如图所示，设1,1，2,2，AB 的中点为1212(,)22x x y y M ++，点N 在ln y x =的图象上，且//MN x 轴，则12122(e,)2y y y y N ++，由图知点N 在M 的左侧，即12122e2y y x x ++<，所以122122222121212()e4422y y x x x x x x x x ++++<=<+.故选：D7.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，11134A E AB =uuu r uuu u r ，1(,[0,1])CF CB CC =+∈uu u r uu r uuu rλμλμ，若//EF 平面11A DC ，则线段EF 的长度的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意作出相应平面//EGHIJK 平面11A DC ，从而可知点F 在线段GH 上，从而可得EG EF EH ≤≤，即可求解.【详解】由题可知点F 在正方形11BCC B 内（含边界）.取棱11B C 上靠近点1B 的四等分点G ，棱1CC 上靠近点C 的四等分点H ，连接EG ，GH ，易得1//GH A D ，因为1A D ⊂平面11A DC ，GH ⊄平面11A DC ，所以//GH 平面11A DC ，因为//EF 平面11A DC ，所以过线段GH 且与平面11A DC 平行的截面为如图所示的平面EGHIJK ，所以EF GH F ⋂=，所以点F 在线段GH 上，所以EG EF EH ≤≤，又因为EF ==，EH =所以EF 的取值范围是，故B 正确.故选：B.8.已知1a >，若(0,)∀∈+∞x ，log a a ax x>恒成立，则a 的取值范围是（）A.1e(e ,)+∞ B.e(e ,)+∞ C.1e(1,e )D.e (1,e )【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，换元变形并构造函数ln ()tf t t=，利用导数求出最大值即可求出范围.【详解】令函数at x =在()0,x ∞∈+上单调递减，且(0,)t ∈+∞，则log a t t >，即ln ln t t a >，而1a >，于是ln ln ta t>，令ln ()t f t t =，求导得21ln ()t f t t'-=，当(0,e)t ∈时，()0f t '>，当(e,)t ∈+∞时，()0f t '<，则函数()f t 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减，因此max 1()(e)e f t f ==，所以1ln ea >，即1e e a >.故选：A【点睛】关键点点睛：换元变形不等式，再分离参数并构造函数()ln tf t t=是解题的关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数π()sin(23f x x =-，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 在区间π(0,)2上无最大值C.()f x 在区间ππ(,26--上单调递减 D.()f x 的图象关于直线π12x =-对称【答案】ACD 【解析】【分析】根据给定条件，结合正弦函数的性质逐项分析判断即得.【详解】对于A ，()f x 的最小正周期为2ππ2=，A 正确；对于B ，当π(0,2x ∈时，ππ2π2()333x -∈-，当ππ232x -=，即5π12x =时，()f x 取得最大值1，B 错误；对于C ，当ππ(,)26x ∈--时，π4π2π2(,333x -∈--，则()f x 在区间ππ(,26--上单调递减，C 正确；对于D ，当π12x =-时，ππ232x -=-，则()f x 的图象关于直线π12x =-对称，D 正确.故选：ACD10.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)A ，(0,3)B ，(,3)(0)C a a ≠，(1,0)D -，ABD △，BCD △的外接圆分别为圆M 、圆N ，则下列结论正确的是（）A.直线BD 的方程为230x y -+=B.点C 恒在圆M 外C.若圆M 与圆N 的半径相等，则2a =-D.若1a =，则圆N 的圆心的横坐标为0【答案】BC 【解析】【分析】求出直线BD 的方程判断A ；判断点C 的轨迹与圆M 关系判断B ；求出圆N 半径及圆心坐标进而求出a 判断C ；确定圆心位置判断D.【详解】对于A ，直线BD 的方程为3030(1)y x -=+--，即330x y -+=，A 错误；对于B ，等腰ABD △的外接圆M 的圆心在y 轴上，则直线3y =与圆M 相切于点B ，而点C 在直线3y =上，且又0a ≠，因此点C 恒在圆M 外，B 正确；对于C ，设圆M 的圆心为()00,y 03y =-，解得043y =，圆M 的半径为53，线段BD 中垂线方程为311(232y x -=-+，线段BC 中垂线方程为2ax =，于是得圆N 的圆心为8(,26a a -，而圆N 的半径为53，则22825(1)(269a a -++=，整理得220a a +=，而0a ≠，因此2a =-，C 正确；对于D ，由1a =，得()1,3C ，则圆N 的圆心在线段BC 的垂直平分线12x =上，D 错误.故选：BC11.已知圆锥SO 的侧面积为3π，且母线长为底面半径的3倍，若线段MN 为底面圆O 的一条直径，P 为线段SN 的中点，Q 为圆锥底面内一动点，且1MQ =，则（）A.圆锥SO 的高为B.一质点从点P 出发沿圆锥SO 的侧面运动到点M 的路径最短为2C.与圆锥SO 的侧面和底面均相切，且球心在线段SO 上的球的半径为2D.动点Q 的轨迹长度为2π3【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意设圆锥SO 的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，可得π3π3rl l r =⎧⎨=⎩，可对A 判断；将圆锥SO 沿着平面SMN 切开后将侧面展开，可得侧面扇形中的SMN 为等边三角形，可对B 判断；设该球的半径为0r ，则0r 也为圆锥SO 的轴截面SMN 的内切圆半径从而可建立等式()011332222r ++=⨯⨯，可对C 判断；求出点Q 的轨迹是以点M 为圆心，1为半径的一段圆弧，作出相关图形从而可对D 判断.【详解】对于A ，设圆锥SO 的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，由题可知π3π3rl l r =⎧⎨=⎩，解得1r =，3l =，故h ==A 错误；对于B ，将圆锥SO 沿着平面SMN 切开后将侧面展开，设MSN α∠=，所以22l r απ=，结合1r =，3l =，求得π3α=，所以SMN 为等边三角形，故最短路径为π3sin32MP ==，故B 正确；对于C ，设该球的半径为0r ，则0r 也为圆锥SO 的轴截面SMN 的内切圆半径，由题可得()011332222r ++=⨯⨯，解得02r =，故C 正确；对于D ，由题可知，点Q 的轨迹是以点M 为圆心，1为半径的一段圆弧，如图，设该圆弧与底面圆O 交于E ，F 两点，易知OEM △与OFM △均为等边三角形，所以2π3EMF ∠=，所以弧EF 的长度为2π3，故D 正确.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数1i()1ia z a +=∈-R 在复平面内对应的点的横坐标为2，则a =______.【答案】3-【解析】【分析】根据给定条件，利用复数的除法求出z ，再结合复数的几何意义求出a .【详解】依题意，(1i)(1i)1(1)i 11i (1i)(1i)222a a a a az ++-++-+===+-+，由复数z 在复平面内对应的点的横坐标为2，得122a-=，所以3a =-.故答案为：3-13.若α，β满足tan tan 3=+βα，且π6βα=+，则cos cos αβ=______.【答案】16【解析】【分析】根据给定条件，切化弦，再利用差角的正弦求解即得.【详解】依题意，sin sin sin cos cos sin sin()1tan tan 3cos cos cos cos cos cos 2cos cos βαβαβαβαβαβααβαβαβ---=-====，所以1cos cos 6αβ=.故答案为：1614.已知平面向量OA ，OB，OC 满足||OA =uu r ||4OB = ，5π,6OA OB 〈〉= ，且()()3OC OA OC OB -⋅-=uuu r uu r uuu r uu u r ，若||AC ≤uuu rλ恒成立，则实数λ的最小值为______.【答案】4【解析】【分析】先建立平面直角坐标系，再设(),C x y ，则点C 在圆()22116x y +-=上运动，结合三角函数范围得出4AC ≤+，即可求参.【详解】以O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，不妨设()OA =，由题知3cos ,2OA OB =- ，则1sin ,2OA OB = ，故可设()2OB =- .设(),C x y ，则()()()()2222123OC OA OC OB x y x y x y y -⋅-=-⋅+-=+--= ，即点C 在圆()22116x y +-=上运动.令4cos 14sin x y θθ=⎧⎨-=⎩，4AC ==故4λ≥λ的最小值为4+.故答案为：4.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()30a b c a b c ab +++--=.（1）求C ；（2）若π2C A <<，求a b c +的取值范围.【答案】（1）π3C =（2）2).【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求出角C .（2）利用正弦定理边化角，再利用差角的正弦及辅助角公式化简，借助正弦函数性质求出范围.【小问1详解】由()()30a b c a b c ab +++--=，得222a b c ab+-=由余弦定理得2221cos22a b cCab+-==，而(0,π)C∈，所以π3 C=.【小问2详解】由（1）及正弦定理得2sin sin() sin sin3sin sin3A A a b A Bc Cπ+-++==π1cos sin)22A A A=++π2sin()6A=+由π2C A<<，得ππ32A<<，即2263Aπππ<+<，则sin((,1)62Aπ+∈，所以a bc+的取值范围是2).16.如图，在三棱台111ABC A B C-中，1AA⊥平面ABC，1AB AC⊥，11122AB AC AA A B===，M 是棱BC的中点.（1）求证：1AB⊥平面11A MC；（2）求二面角11A MC B--的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）取AB的中点N，由已知，结合棱台的结构特征，利用线面垂直的判定推理即得.（2）以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面1BMC的法向量，利用面面角的向量求法求解即得.【小问1详解】如图，取棱AB 的中点N ，连接1A N ，MN ，1B N ，则11////MN AC AC ，由已知得11//A B AN ，111A B AN AA ==，且1AA AN ⊥，则四边形11A B NA 是正方形，于是11AB A N ⊥，而1AB AC ⊥，即111AB AC ⊥，又1111A C A N A =I ，且111,A A C N ⊂平面11A MC ，所以1AB ⊥平面11A MC .【小问2详解】依题意，1AC AB ⊥，1AC AA ⊥，1111,,AAAB A AA AB ⋂=⊂平面11AA B B ，则AC ⊥平面11AA B B ，而AB ⊂平面11AA B B ，则AC AB ⊥，以A 为原点，直线1,,AC AB AA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，不妨设2AB =，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(1,1,0)M ，1(1,0,1)C ，1(0,1,1)B ，(1,1,0)BM =- ，1(0,1,1)MC =-uuu u r ，设(,,)n x y z = 为平面1BMC 的法向量，则100n BM x y n MC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1z =，得(1,1,1)n = ，由（1）知平面11A MC 的一个法向量为1(0,1,1)AB = ，因此111cos ,3||||n AB n AB n AB ⋅〈〉=== ，所以二面角11A MC B --的正弦值为3.17.已知F 是椭圆22:143x y C +=的右焦点，过点F 作两条相互垂直的动直线1l 和2l ，1l 与C 交于A ，B 两点，2l 与C 交于D ，E 两点.（1）若//AD x 轴，求||AD ；（2）设M ，N 分别为线段AB ，DE 的中点，求证：直线MN 过定点4,07P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【答案】（1）7（2）4,07⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由//AD x 轴，分别设A t ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，D t ⎫⎪⎪⎭，根据12l l ⊥，可得0FA FD ⋅= ，从而可求解.（2）设1,1，2,2，设直线1:1(0)l x my m =+≠，与22143x y +=联立，分别求出2243,3434m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，22243,3434m m N m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，再根据12l l ⊥，从而可求解.【小问1详解】由题意知(1,0)F .因为//AD x 轴，所以A ，D 两点的纵坐标相同，设为t.由椭圆方程，不妨令A t ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，D t ⎫⎪⎪⎭，因为12l l ⊥，所以221,1,14103t FA FD t t t ⎛⎫⎫⎛⎫ ⎪⎪⋅=-⋅-=--+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭ ，整理得2337t =，所以877AD ==.【小问2详解】设1,1，2,2.当1l 与2l 的斜率都存在时，设直线1:1(0)l x my m =+≠，与22143x y +=联立，消去x ，整理得()2234690m y my ++-=，∴122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，()212122268223434m x x m y y m m +=++=-+=++，∴2243,3434m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.同理，用1m -替换m ，可得22243,3434m m N m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭.当1m =±时，M ，N 两点的横坐标均为47，故直线MN 过点4,07P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.当1m ≠±时，()2222223373434444441734347m mm m m m m m m ++==---++，即MP NP k k =，此时直线MN 过点4,07P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.当1l 或2l 与x 轴重合时，MN 也与x 轴重合，此时直线MN 也经过点4,07P ⎛⎫⎪⎝⎭，综上可知，直线MN 过定点4,07P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.18.已知函数21()2e ()2x f x m x =--，2()()ln 2g x f x x x x =--.（1）若32m =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程.（2）若()g x 有两个极值点a ，()b a b <．（i ）证明：e 1m >-；（ii ）证明：1ab <.【答案】（1）22y x =+；（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程即得.（2）（i ）求出函数()g x 及导数，分离参数并构造函数e 1()ln x h x x x x =--，探讨函数性质即可推理得证；（ii ）由（i ）中信息，构造函数1()()()F x h x h x =-，探讨函数()F x 在(1,)+∞上的单调性，推理得证.【小问1详解】函数2()2e x f x x =-，求导得()2e 2x f x x '=-，则(0)2f '=，而(0)2f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为22y x =+.【小问2详解】（i）函数221()2e (ln 22x g x m x x x x =----，求导得()2e 22ln 2x g x mx x x '=---，令()0g x '=，得e 1ln x x m x x--=，设e 1()ln x h x x x x=--，求导得222e (1)1(e 1)(1)()x x x x x h x x x x ----'=-=，(0,)x ∈+∞，令()0h x '=，得1x =，当(0,1)x ∈时，()0h x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，函数()h x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，于是min ()(1)e 1h x h ==-，由()g x 有两个极值点，得方程()0g x '=有两个实根，即()h x m =有两个实根，则e 1m >-.（ii ）由（i ）知a ，b 是方程()0g x '=的两个实根，即()()h a h b m ==，且01a b <<<，设1()()(F x h x h x =-，求导得12211(1)(e e 1)()()()()x xx x x F x h x h x x x--+-'''=-⋅-=，令1()e e 1x x x x x ϕ=-+-，则当(1,)x ∈+∞时，111()e e e 10x xx x x ϕ'=-++>，即函数()ϕx 在(1,)+∞上单调递增，则()(1)0x ϕϕ>=，即当(1,)x ∈+∞时，()0F x '>，于是函数()F x 在(1,)+∞上单调递增，则()(1)0F x F >=，因此1()()h x h x>，则1()()h b h b >，即1()()h a h b >，而101b<<，又()h x 在(0,1)上单调递减，因此101a b <<<，所以1ab <.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；③适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；④构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.19.已知P ，Q ∈Z ，若方程20x Px Q -+=有两个不相等的非零实数根a ，b ，设n n n a b u a b -=-，n v =11n n a b --+，其中*n ∈N ，称数列{}n u 和{}n v 为方程20x Px Q -+=的“特征数列”.（1）若4P =，3Q =，求特征数列{}n u 的前n 项和；（2）若1P =，1Q =-，证明：2n n nv v u ++为定值；（3）从集合{1,2,3,4}中随机取一个数作为P ，从集合{}1,2,3,4----中随机取一个数作为Q ，求事件“22u ≥且6150v ≥”的概率.【答案】（1）13342n n +--；（2）证明见解析；（3）1116.【解析】【分析】（1）根据定义求出n u ，再利用分组求和法及等比数列前n 项和公式计算即得.（2）由已知可得1,1a b ab +==-，变形2n n v v ++即可推理计算得证.（3）求出方程20x Px Q -+=有不等实根的所有可能结果，再求出22u ≥且6150v ≥含有的结果，利用古典概率计算即得.【小问1详解】当4P =，3Q =时，解方程2430x x -+=，得1x =或3，则312n n u -=，所以1212133133(333)22231242n n n n n n n u u u +--+++=+++-=⨯-=--L L .【小问2详解】依题意，1P a b =+=，1Q ab ==-，1111211(()n n n n n n n n v v a b a b a a b b a b --++++=+++=+++()()())(n n n n a a b b b a a b a b =-+-=--，因此222()(()()45)n n n n n n n v v a b a b a b a b ab a b u a b++--==-=+-=--，所以2n n nv v u ++为定值5.【小问3详解】依题意，(,)P Q 一共有4416⨯=种不同的情况，且均满足240P Q ->和0Q ≠，则方程20x Px Q -+=一定有两个不相等的非零实数根a ，b ，222a b u a b P a b-==+=-，要使22u ≥，则需2P ≥，通过特例观察可以猜想21n n n v Pv Qv ++=-，下面证明该等式：111()()()n n n n n n Pv Qv a b a b ab a b --+-=++-+11n n n n n n a b ab ba ba ab ++=+++--112n n n a b v +++=+=，显然12v =，2v a b P =+=，当2P =，1Q =-时，212n n n v v v ++=+，数列{}n v 前6项依次为2，2，6，14，34，82，不符合题意；当2P =，2Q =-时，2122n n n v v v ++=+，数列{}n v 前6项依次为2，2，8，20，56，152，符合题意；当2P =，2Q ≤-时，由21122n n n n n v Pv Qv v v +++=-≥+，得6152v ≥，符合题意；当3P =，1Q =-时，213n n n v v v ++=+，数列{}n v 前6项依次为2，3，11，36，119，393，符合题意；当3P ≥，1Q ≤-时，由2113n n n n n v Pv Qv v v +++=-≥+，得6393v ≥，符合题意，所以满足“22u ≥且6150v ≥”的(,)P Q 一共有34411++=（种）情况，所以所求概率为1116.【点睛】关键点点睛：猜想出递推公式21n n n v Pv Qv ++=-并证明，是解决本题第3问的关键.。

湖南省衡阳市衡阳县第一中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(含解析)

湖南省衡阳市衡阳县第一中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(含解析)

衡阳县一中2025届高三上学期期中考试数学第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合M={x|x―1x+2≤0},Q={x∈N||x|≤2}，则M∩Q=（）A．{―1,0,1}B．[0,1]C．(―2,1]D．{0,1}2．已知复数z=1―i2+i，则z表示的点所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知命题p：∀x∈R，ax2―ax+1>0；q：∃x∈R，x2―x+a=0.均为真命题，则a的取值范围是（）A．(―∞,4)B．[0,4)C．(0,14]D．[0,14]4．已知|a|=1,|b|=2，且a―b与a垂直，则a与b的夹角为（）A．60°B．30°C．135°D．45°5．椭圆x29+y25=1，若椭圆上存在不同的两点M,N关于直线y=3x+m对称，则实数m的取值范围（）A．(―263,223)B．(―263,263)C．(―63,263)D．(―233,233) 6．某学校组织学生开展研学旅行，准备从4个甲省景区，3个乙省景区，2个丙省景区中任选4个景区进行研学旅行，则所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有的概率是（）A．625B．47C．27D．257．沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时．如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的716，则沙子堆积成的圆台的高（）A ．1B ．32C ．3D ．438．已知函数f (x )=sin 4ωx +cos 4ωx ―58在(0,π4]上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．(43,83]B ．[43,83)C ．(83,163]D ．[83,163)二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9．造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于―1，到点F (1,0)的距离与到定直线x =a (a <0)的距离之积为1，则（ ）A ．a =―1B ．点(2,0)在C 上C ．C 在第一象限点的纵坐标的可以为12D ．当点(x 0,y 0)在C上时，y 20>1(x 0+1)210．如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 在平面互相垂直，动点M ,N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM =BN =a (0<a <2)，则下列结论中正确的有（ ）A．∃a∈(0,2)，使MN=12CEB．线段MN存在最小值，最小值为23C．直线MN与平面ABEF所成的角恒为45°D．∀a∈(0,2)，都存在过MN且与平面BEC平行的平面11．设正项等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，前n项积为T n，则下列选项正确的是（）A．S9=S4+q4S5B．若T2025=T2020，则a2023=1C．若a1a9=4，则当a24+a26取得最小值时，a1=2D．若(a n+1)n>T2n，则a1<1第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）12．已知2a+b=1(a>0,b>0)，则3a+1+1b+1的最小值为．13．已知某三棱台的高为25，上、下底面分别为边长为43和63的正三角形，若该三棱台的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为．14．已知f(x)={|ln x|,0<x≤e2―ln x,x>e，若a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则a+b+e2c的范围是．四、解答题（本题共5小题，共77分）15．（13分）已知数列{a n}和等比数列{b n}，a n=1+1，若{a n}的最大项和2n―9最小项分别是{b n}中的b2―1和b3―9的值．(1)求数列{b n}的通项公式；(2)若c n=1⋅b n，求数列{c n}的前n项和S n．a n―116．（15分）如图，在四棱锥P―ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，AB ⊥AD，PA=PD，AB=1，AD=2，AC=CD=5.(1)求证：PD⊥平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD?若存在，求出AM的值；若不存在，AP请说明理由.17．（15分）在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择.学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为1∶1，现将一周内在食堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人.男生女生合计喜欢食堂就餐不喜欢食堂就餐10合计100(1)将上面的列联表补充完整，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关；(2)该校甲同学逢星期二和星期四都在学校食堂就餐，且星期二会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期二选择了①号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为45；若星期二选择了②号套餐，则星期四选择①号套餐的概率为13，求甲同学星期四选择②号套餐的概率.参考公式：χ2=n (ad ―bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )，其中n =a +b +c +d .α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.82818．（17分）如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(3,1)，焦距为42，斜率为―13的直线l与椭圆C相交于异于点P的M,N两点，且直线PM,PN均不与x轴垂直.(1)求椭圆C的方程；(2)若MN=10，求MN的方程；(3)记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，证明:k1k2为定值.19．（17分）已知函数f(x)=x3―3mx+m2.(1)当m=1时，求f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性；(3)若f(x)有三个不相等的零点x1,x2,x3，且f(x)在点(x i,f(x i))处切线的斜率为k i(i=1,2,3)，求m的取值范围及1k1+1k2+1k3的值.数 学（答案）1．【答案】D【解析】由x ―1x +2≤0，可得{(x ―1)(x +2)≤0x +2≠0，解得―2<x ≤1，∴M ={x|―2<x ≤1}，又Q ={0,1,2}，所以M ∩Q ={0,1}，故选：D ．2．【答案】A【解析】z =1―i2+i=(1―i )(2―i )(2+i )(2―i )=2―i ―2i ―15=15―35i ，所以z =15+35i ，所以z 表示的点所在象限是第一象限，故选：A 3．【答案】D【解析】ax 2―ax +1>0恒成立，当a =0时，1>0，满足要求，当a ≠0时，需满足{a >0Δ=a 2―4a <0，解得0<a <4，故p 为真命题，需满足0≤a <4，∃x ∈R ，x 2―x +a =0，则Δ=1―4a ≥0，解得a ≤14，故q 为真命题，需满足a ≤14，综上，a 的取值范围为[0,4)∩(―∞,14]=[0,14]故选：D 4．【答案】D【解析】由题设(a ―b )⋅a =a 2―a ⋅b =0⇒a ⋅b =a 2=1，所以cos ⟨a ,b ⟩=a b=22，而0°≤⟨a ,b ⟩≤180°，所以⟨a ,b ⟩=45°.故选：D 5．【答案】B【解析】椭圆x 29+y 25=1，即：5x 2+9y 2―45=0，设椭圆上两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)关于直线y =3x +m 对称，AB 中点为M (x 0,y 0)，则5x 21+9y 21―45=0，5x 22+9y 22―45=0，所以5(x 1+x 2)(x 1―x 2)+9(y 1+y 2)(y 1―y 2)=0，所以y 1―y 2x 1―x 2=―59⋅x 0y 0=―13，所以y 0=53x 0，代入直线方程y =3x +m 得x 0=―3m 4，y 0=―5m 4，即M (―3m 4,―5m 4)，因为(x 0,y 0)在椭圆内部，所以5×9m 216+9×25m 216<45，解得―263＜m ＜263，即m 的取值范围是(―263,263)．故选：B ．6．【答案】B【解析】设样本空间为Ω，则n (Ω)=C 49=126，设所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有为事件A ，则n (A )=C 24C 13C 12+C 14C 23C 12+C 14C 13C 22=72，所以P (A )=n (A )n (Ω)=72126=47.故选：B.7．【答案】B【解析】设沙漏下半部分的圆锥的容积为V ，沙子堆成的圆台体积为V 1，该圆锥内沙子上方的剩余空间体积为V 2=V ―V 1．由题意可知V 12V =716，即V 1V =78，则V 2V =18，则下半部分圆锥剩余空间的高为圆锥高的一半，即沙子堆成的圆台的高为圆锥高的一半，即圆台的高为32．故选：B 8．【答案】B【解析】因为f (x )=sin 4ωx +cos 4ωx ―58=(sin 2ωx +cos 2ωx)2―2sin 2ωx cos 2ωx ―58=―12sin 22ωx +38=―12×1―cos 4ωx2+38=14cos4ωx +18，令4ωx =t ,t ∈(0,ωπ]，则y =14cos t +18，令14cos t +18=0，得到cos t =―12，所以t =2π3+2k π,k ∈Z 或t =4π3+2k π,k ∈Z ，令k =0，得到t =2π3或t =4π3，令k =1，得到t =8π3或t =10π3，又f (x )在(0,π4]上有且仅有两个零点，所以y =14cos t +18在(0,ωπ]上有且仅有两个零点，所以4π3≤ωπ<8π3，得到ω∈[43,83)，故选：B.9．【答案】ABC【解析】对于A ，因为O 在曲线上，所以O 到x =a 的距离为―a ，而|OF |=1，所以有―a ⋅1=1，故a =―1，故A 正确，对于B ，因为曲线的方程为(x +1)(x ―1)2+y 2=1，代入(2,0)知满足方程；故B 正确，对于C ，由(x +1)(x ―1)2+y 2=1，将(1,12)代入方程满足，故(1,12)在曲线上，故C 正确，对于D ，曲线的方程为(x +1)(x ―1)2+y 2=1，可化为(x ―1)2+y 2=(1x +1)2，即y 2=(1x +1)2―(x ―1)2，因为y 20=(1x 0+1)2―(x 0―1)2≤(1x 0+1)2，故D 错误，故选：ABC ．10．【答案】AD【解析】因为四边形ABCD 正方形，故CB ⊥AB ，而平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF =AB ，CB ⊂平面ABCD ，故CB ⊥平面ABEF ，而BE ⊂平面ABEF ，故CB ⊥BE .设MC =λAC ，则BN =λBF ，其中λ=a 2∈(0,1)，由题设可得MN =MC +CB +BN =λAC +CB +λBF ，=λ(BC ―BA )+CB +λ(BA +BE )=(λ―1)BC +λBE ，对于A ，当λ=12即a =22时，→MN =―12⃗BC +12⃗BE =12⃗CE ，故A 正确；对于B ， MN 2=(λ―1)2+λ2=2λ2―2λ+1=2(λ―12)2+12，故|MN |≥22，当且仅当λ=12即a =22时等号成立，故|MN |min=22，故B 错误；对于C ，由B 的分析可得MN =(λ―1)BC +λBE ，而平面ABEF 的法向量为BC 且MN ⋅BC =(λ―1)BC 2=λ―1，故cos ⟨MN ,BC ⟩=λ―12λ2―2λ+1，此值不是常数，故直线MN 与平面ABEF 所成的角不恒为定值，故C 错误；对于D ，由B 的分析可得MN =(λ―1)BC +λBE ，故MN ,BC ,BE 为共面向量，而MN⊄平面BCE ，故MN //平面BCE ，故D 正确；故选：AD 11．【答案】AB【解析】因为数列{a n }为正项等比数列，则a 1>0,q >0,T n >0，对于选项A ：因为S 9=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9=S 4+q 4(a 1+a 2+a 3+a 4+a 5)=S 4+q 4S 5，所以S 9=S 4+q 4S 5，故A 正确；对于选项B ：若T 2025=T 2020，则T 2025T 2020=a 2021⋅a 2022⋅a 2023⋅a 2024⋅a 2025=a 52023=1，所以a 2023=1，故B 正确；对于选项C ：因为a 1a 9=a 4a 6=4，则a 24+a 26≥2a 4a 6=8，当且仅当a 4=a 6=2时，等号成立，若a 24+a 26取得最小值，则a 4=a 6=2，即{a 4=a 1q 3=2a 6=a 1q 5=2，解得{a 1=2q =1，故C 错误；对于选项D ：例如a 1=1,q =2，则a n =2n―1，Tn=a 1a 2⋅⋅⋅a n =20×21×⋅⋅⋅×2n―1=21+2+⋅⋅⋅+n―1=2n (n―1)2，可得(a n +1)n=(2n )n=2n 2,T 2n=(2n (n―1)2)2=2n 2―n ，因为n ∈N *，则n 2>n 2―n ，可得2n 2>2n2―n，即(a n +1)n >T 2n ，符合题意，但a 1=1，故D 错误；故选：AB.12．【答案】7+264【解析】3a +1+1b +1=14(62a +2+1b +1)(2a +2+b +1)=14[7+6(b +1)2a +2+2a +2b +1]≥7+264，当且仅当6(b +1)2a +2=2a +2b +1，即6(b +1)2=(2a +2)2，即当a =7―265,b =46―95时等号成立.故答案为：7+26413．【答案】144π【解析】依题意，该三棱台为正三棱台，设为三棱台ABC ―A 1B 1C 1，如图，上底面正△A 1B 1C 1外接圆的半径是O 1A 1=23×32×43=4，O 1为正△A 1B 1C 1外接圆圆心，下底面正△ABC 外接圆的半径是O 2A =23×32×63=6，O 2为正△ABC 外接圆圆心，由正三棱台的性质知，其外接球的球心O 在直线O 1O 2上，令该球半径为R ，R 2―42+R 2―62=25，或R 2―42―R 2―62=25，解得R 2=36，所以球O 的表面积是S =4πR 2=4π×36=144π．故答案为：144π14．【答案】(3,2e +1e)【解析】函数f (x )={―ln x,0<x ≤1ln x,1<x ≤e 2―ln x,x >e在(0,1]，(e,+∞)上单调递减，在(1,e ]上单调递增，f (e 2)=0，f (1)=0，画出f (x )={|ln x |,0<x ≤e2―ln x,x >e的图象，如图，令a <b <c ，由f (a )=f (b )=f (c )，得1e <a <1，1<b <e ，e <c <e 2，由|ln a |=|ln b |，得ln a +ln b =0，即ab =1，由ln b =2―ln c ，得bc =e 2，于是a +b +e 2c =1b +b +bc c =1b +2b ，由对勾函数性质知，y =1b +2b 在(1,e )上递增，则3<1b +2b <2e +1e，所以a +b +e 2c的范围是(3,2e +1e )．故答案为：(3,2e +1e)15．【解析】（1）由题意，a n =1+12n ―9(n ∈N ∗)，结合函数f (x )=1+12x ―9的单调性，可知a 5>a 6>a 7>⋯>a n >1>a 1>a 2>a 3>a 4(n ∈N ∗)，所以数列{a n }中的最大项为a 5=2，最小项为a 4=0，所以b 2―1=2,b 3―9=0，即b 2=3,b 3=9，所以等比数列{b n }的公比q =b 3b 2=3，所以b n =b 2⋅q n―2=3n―1（2）c n =1a n ―1⋅b n =(2n ―9)⋅3n―1，S n =c 1+c 2+c 3+⋯+c n =(―7)×30+(―5)×31+⋯+(2n ―11)×3n―2+(2n ―9)×3n―1，3S n =(―7)×31+(―5)×32+⋯+(2n ―11)×3n―1+(2n ―9)×3n ，两式相减得：―2S n =―7+2×(31+32+33+⋯+3n―1)―(2n ―9)×3n =―7+2×3(1―3n―1)1―3―(2n ―9)×3n =―10+3n (10―2n )，故S n =5+3n (n ―5).16．【解析】（1）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ，且AB ⊥AD ，AB ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥平面PAD ，∵PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ，又PD ⊥PA ，且PA ∩AB =A ，PA ,AB ⊂平面PAB ，∴PD ⊥平面PAB ；（2）取AD 中点为O ，连接CO ,PO ，又∵PA =PD ，∴PO ⊥AD ．则AO =PO =1，∵CD =AC =5，∴CO ⊥AD ，则CO =AC 2―OA 2=5―1=2，以O 为坐标原点，分别以OC ,OA ,OP 所在直线为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O ―xyz ，则P (0,0,1)，B (1,1,0)，D (0,―1,0)，C (2,0,0)，则PB =(1,1,―1)，PD =(0,―1,―1)，PC =(2,0,―1)，CD =(―2,―1,0)，设n =(x,y,z )为平面PCD 的一个法向量，则由{n ⋅PD =0n ⋅PC =0，得{―y ―z =02x ―z =0，令z =1，则n =(12,―1,1)．设PB 与平面PCD 的夹角为θ，则sin θ=|cos ⟨n ,PB ⟩|=n PB =|12―1―114+1+1×3|=33；（3）假设在棱PA 上存在点M 点，使得BM //平面PCD . 设AM =λAP ，λ∈[0,1]，由（2）知，A (0,1,0)，B (1,1,0)，P (0,0,1)，则AP =(0,―1,1)，BA =(―1,0,0)，BM =BA +AM =BA +λAP =(―1,0,0)+(0,―λ,λ)=(―1,―λ,λ)，由（2）知平面PCD 的一个法向量n =(12,―1,1)．若BM //平面PCD ，则BM ⋅n =―12+λ+λ=2λ―12=0，解得λ=14，又BM⊄平面PCD ，故在棱PA 上存在点M 点，使得BM //平面PCD ，此时AMAP =14.17．【解析】（1）喜欢食堂就餐的人数为100+202=60，则不喜欢的人数为60―20=40人，则不喜欢食堂就餐的女生为40―10=30人，因为男女生人数比为1∶1，则男女生各50人，则喜欢堂食就餐的女生为50―30=20人，喜欢堂食就餐的男生为50―10=40人，则列联表见图，男生女生合计喜欢食堂就餐402060不喜欢食堂就餐103040合计5050100零假设H 0:假设食堂就餐与性别无关，由列联表可得H 0:χ2=100(40×30―10×20)250×50×60×40≈16.667>10.828，根据小概率α=0.001的独立性检验推断H 0不成立，即可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关.（2）记事件A ：小林同学星期二选择了①号套餐，事件B ：小林同学星期四选择了②号套餐,P (A )=P (A )=12,P (B∣A )=1―45=15,P (B ∣A )=1―13=23,由全概率公式可得P (B )=P (A )⋅P (B |A )+P (A )⋅P (B |A )=12×15+12×23=133018．【解析】（1）由题意得{9a 2+1b2=12c =42a 2=b 2+c 2解得{a =23b =2c =22，故椭圆C 的方程为x 212+y 24=1.（2）设直线l 的方程为y =―13x +m ，M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)由{y =―13x +mx 212+y 24=1得4x 2―6mx +9m 2―36=0，由Δ=(6m)2―144(m 2―4)>0，得―433<m <433，则x 1+x 2=3m 2,x 1x 2=9m 2―364.|MN |=1+19⋅(x 1+x 2)2―4x 1x 2=102⋅16―3m 2=10，解得m =2或m =―2当m =2时，直线l :y =―13x +2经过点P (3,1)，不符合题意，舍去；当m =―2时，直线l 的方程为y =―13x ―2.（3）直线PM ，PN 均不与x 轴垂直，所以x 1≠3,x 2≠3，则m ≠0且m ≠2，所以k 1k 2=y 1―1x 1―3⋅y 2―1x 2―3=(―13x 1+m ―1)(―13x 2+m ―1)(x 1―3)(x 2―3)=19x 1x 2―13(m ―1)(x 1+x 2)+(m ―1)2x 1x 2―3(x 1+x 2)+9=19⋅9m2―364―13(m ―1)⋅3m2+(m ―1)29m 2―364―3⋅3m2+9=3m 2―6m 9m 2―18m=13为定值.19．【解析】（1）当m =1时，f (x )=x 3―3x +1，f ′(x )=3x 2―3，切点为(0,1)，切线斜率f ′(0)=―3，故切线方程为y ―1=―3(x ―0)，即切线方程为y=―3x+1.（2）f′(x)=3x2―3m,x∈R，当m≤0时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在(―∞,+∞)上单调递增；当m>0时，令f′(x)=0，得x=±m，令f′(x)<0，得―m<x<m，令f′(x)>0，得x<―m或x>m，所以f(x)在(―m,m)上单调递减，在(―∞,―m)，(m,+∞)上单调递增.（3）由（2）知，f(x)有三个零点，则m>0，且{f(―m)>0f(m)<0，即{m2+2m m>0m2―2m m<0，解得0<m<4，当0<m<4时，3m>m，且f(3m)=m2>0，所以f(x)在(m,3m)上有唯一一个零点，同理―2m―1<―m，f(―2m―1)=―8m3―5m2―3m―1<0，所以f(x)在(―2m―1,―m)上有唯一一个零点，又f(x)在(―m,m)上有唯一一个零点，所以f(x)有三个零点，综上可知m的取值范围为(0,4)，由f(x)有三个不相等的零点x1,x2,x3，不妨设f(x)=a(x―x1)(x―x2)(x―x3)，其中a≠0，则f′(x)=a[(x―x2)(x―x3)+(x―x1)(x―x3)+(x―x1)(x―x2)]，则1k1+1k2+1k3=1a[1(x1―x2)(x1―x3)+1(x2―x1)(x2―x3)+1(x3―x1)(x3―x2)]∴1k1+1k2+1k3=x2―x3+x3―x1+x1―x2a(x1―x2)(x1―x3)(x2―x3)=0.。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

(3,)b m =
湖南省桃江县第一中学2016届高三数学上学期期中（第四次月考）试
题 文（无答案）
时量:120分钟 总分:150分
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合M ={5,6,7}，N ={5,7,8}，则( )
A ．M N ⊆ B. N M ⊇ C . }{7,5=N M D ．}{8,7,6=N M 2.已知复数z 满足14z i =-+，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限
3.,若向量,的夹角为m ＝（ ）
A
B
． C.0 D
．
4.椭圆2
214
x y +=的离心率为（ ） A.
3
2 B ．
4
3
C. 22 D ．
23
5.某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下一组数据：
若y 与x 之间的关系符合回归直线方程ˆ 6.5y
x a =+，则a 的值是（ ） A ．17.5 B ．27.5 C ．
17 D ．14
6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ） A ．π48+ B ．π28+ C.π348+
D ．π3
2
8+ 7．下列函数中，以
2
π
为最小正周期的偶函数是（ ） A ． x x y 2cos 2sin = B ．x x y 2cos 2sin +=
C ． x x y 2cos 2sin 22-=
D ． )2
4cos(π
+
=x y
8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，47109,a a a ++=14377S S -=,则使n S 取得最小值时n 的值为 ( )
A ．4 B.5 C.6 D.7
9．若变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+-≤-+≥043041y x y x x ，则目标函数y x z +=3的最大值为( )
A ．－4
B ．0
C ．4
D ．8
10．函数)sin(
)(ϕω+=x A x f （其中,0,0>>ωA )2
π
ϕ<的图
象如右，为了得到)(x f 的图象，则只需将x x g 2sin )(=的图象 A ．向右平移
6π个长度单位 B ．向右平移3π
个长度单位 C ．向左平移
6π个长度单位 D ．向左平移3
π
个长度单位 11.设0,0,a b >>
33a
b
与的等比中项，则
11
a b
+的最小值为（ ） A ．1 B ．8 C ．4 D ．
14
12.设函数()37f x x =-+，()()
2
lg 4g x ax x a =-+，若1R x ∀∈，2R x ∃∈，使
()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．[]0,2
B ．[)0,2 C.()2,+∞ D ．[)2,+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

13. 函数2
()ln f x x x =+的图像在点(1,1)A 处的切线方程为 ．
14. 在ABC ∆中，6
B π
∠=
,1AC =
,AB =则BC 的长度为________. 15.设(0,)2
πθ∈，向量(sin 2,cos ),(1,cos )a b θθθ==-
，若a b ⊥ ，则tan θ= ．
16．已知函数⎪⎩⎪
⎨⎧>≤+-=1,log 1
,)(3
12x x x x x x f ，若对任意的R x ∈，不等式23()4f x m m ≤-
恒成立，则实数m 的取值范围为
.
三、解答题:本大题共6小题，共计70分。

解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 各项都为正数,且11,ln ln 1().n n a e a a n N *+=-=∈ （1）求数列{}ln n a 的通项公式; （2）令11
,ln ln n n n
b a a +=
∙求数列{}n b 的前
n 项和.n S
18.(本小题满分12分)
2015年7月16日，电影《捉妖记》上映，上映至今全国累计票房已超过20亿。

某影院为了解观看此部电影的观众年龄的情况，在某场次的100名观众中随机调查了20名观众，已知抽到的观众年龄可分成5
组:[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45),根据调查结果得出年龄情况残缺的频率分布直方图如下图所示。

（1）根据已知条件，补充画完整频率分布直方图，并估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数；
（2）现在从年龄属于[25,30)和[40,45)的两组中随机抽取2人，求他们属于同一年龄组的概率。

19．（本小题满分12分）
如图，三棱柱111C B A ABC -的侧棱1AA ⊥底面ABC ， ∠︒=90ACB ，E 是棱1CC 的中点，.2,11===BC AA AC （1）求证：1BC ⊥平面C AB 1； （2）求三棱锥E AB C 1-的体积．
20.（本大题满分12分）
如图，曲线px y C 2:2
1=（
0>p ）与曲线
36)6(:222=+-y x C 只有三个公共点N M O ,,，其中O 为坐标
原点，且0=⋅ （1）求曲线1C 的方程；
（2）过定点)2,3(M 的直线l 与曲线1C 交于B A ,两点,若点M 是线段AB 的中点，求线段
AB 的长.
21. （本小题满分12分） 在点))1(,1(f 处的切线方程为2=+y x .
（1）求a ,b 的值;
（2）对函数)(x f 定义域内的任一个实数x ,,求实数m 的取值范围.
22.（本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C
的极坐标方程是4cos ρθ=，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+==t y t x 21223 （t 为参数）． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程：
（2）若点N M ,分别为曲线C 和直线l 上的动点，求MN 的最小值．。

相关文档
最新文档