高三招生考试20套模拟测试附加题数学试题(七) Word版含解析

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(七)
数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修4-1：几何证明选讲)
如图，圆O 是△ABC 的外接圆，点D 是劣弧BC 的中点，连结AD 并延长，与以C 为
切点的切线交于点P ，求证：PC PA ＝BD AC .
B. (选修4-2：矩阵与变换)
已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤－1
252
x 的一个特征值为－2，求M 2.
C. (选修4-4：坐标系与参数方程)
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝7－2t (t 为参数)与椭圆C 2：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝3sin θ(θ为参数，a ＞0)的一条准线的交点位于y 轴上，求实数a 的值．
D. (选修4-5：不等式选讲)
已知正实数a ，b ，c 满足a ＋b 2＋c 3＝1，求证：1a 2＋1b 4＋1c 6≥27.
【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.
(1) 设AD →＝λAB →，异面直线AC 1与CD 所成角的余弦值为91050
，求λ的值； (2) 若点D 是AB 的中点，求二面角DCB 1B 的余弦值．
23.已知k ，m ∈N *，若存在互不相等的正整数a 1，a 2，…，a m ，使得a 1a 2，a 2a 3，…，a m －1a m ，a m a 1同时小于k ，则记f(k)为满足条件的m 的最大值．
(1) 求f(6)的值；
(2) 对于给定的正整数n(n ≥2)：
(ⅰ) 当n(n ＋2)＜k ≤(n ＋1)(n ＋2)时，求f(k)的解析式；
(ⅱ) 当n(n ＋1)＜k ≤n(n ＋2)时，求f(k)的解析式．
(七)
21. A. 证明：连结CD ，因为CP 为圆O 的切线，
所以∠PCD ＝∠PAC.
又∠P 是公共角，所以△PCD ∽△PAC ，(5分)
所以PC PA ＝CD AC
. 因为点D 是劣弧BC 的中点，所以CD ＝BD ，即PC PA ＝BD AC
.(10分) B. 解：将λ＝－2代入⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪λ＋1 －2－52 λ－x ＝λ2－(x －1)λ－(x ＋5)＝0，得x ＝3，
故矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1
2 52
3.(5分) ∴ M 2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤6 45 14.(10分) C. 解：直线C 1：2x ＋y ＝9，
椭圆C 2：y 29＋x 2
a 2＝1(0＜a ＜3)，(5分) 准线：y ＝±99－a 2.由99－a 2
＝9，得a ＝2 2.(10分) D. 证明：因为正实数a ，b ，c 满足a ＋b 2＋c 3＝1，
所以1≥33ab 2c 3，即ab 2c 3≤127
，(5分) 所以1ab 2c 3≥27. 因此，1a 2＋1b 4＋1c 6≥331a 2b 4c
6≥27.(10分) 22. 解：(1) 由AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，得∠ACB ＝90°.(1分)
以CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(3，0，0)，C 1(0，0，4)，B(0，4，0)．设D(x ，y ，z)，则由AD →＝λAB →得CD →＝(3－3λ，
4λ，0)，而AC 1→＝(－3，0，4)，
根据91050＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－9＋9λ525λ2－18λ＋9，解得λ＝15或λ＝－13.(5分)
(2) CD →＝⎝⎛⎭
⎫32，2，0，CB 1→＝(0，4，4)，可取平面CDB 1的一个法向量为n 1＝(4，－3，3)；(7分)
而平面CBB 1的一个法向量为n 2＝(1，0，0)，并且〈n 1，n 2〉与二面角DCB 1B 相等， 所以二面角DCB 1B 的余弦值为cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉＝217
34.(10分) (第(1)题中少一解扣1分；没有交代建立直角坐标系过程扣1分．第(2)题如果结果相差符号扣1分)
23. 解：(1) 由题意，取a 1＝1，a 2＝2，a 1a 2＜6，满足题意，
若a 3≥3，则必有a 2a 3≥6，不满足题意．
综上所述：m 的最大值为2，即f(6)＝2.(4分)
(2) 由题意，当n(n ＋1)＜k ≤(n ＋1)(n ＋2)时，
设A 1＝{1，2，…，n}，A 2＝{n ＋1，n ＋2，n ＋3，…}，
显然，a i ，a i ＋1∈A 1时，满足a i a i ＋1≤n(n －1)＜n(n ＋1)＜k ，
∴ 从集合A 1中选出的a i 至多n 个．
a j ，a j ＋1∈A 2时，a j a j ＋1≥(n ＋1)(n ＋2)≥k ，
∴ 从集合A 2中选出的a j 必不相邻．
∵ 从集合A 1中选出的a i 至多n 个，
∴ 从集合A 2中选出的a j 至多n 个，放置于从集合A 1中选出的a i 之间，
∴ f(k)≤2n.(6分)
(ⅰ) 当n(n ＋2)＜k ≤(n ＋1)(n ＋2)时，
取一串数a i 为1，2n ，2，2n －1，3，2n －2，…，n －1，n ＋2，n ，n ＋1，
或写成a i ＝⎩⎨⎧
i ＋12
，i 为奇数，2n ＋1－i 2，i 为偶数(1≤i ≤2n)， 此时a i a i ＋1≤n(n ＋2)＜k(1≤i ≤2n －1)，a 2n a 1＝n ＋1＜k ，满足题意，
∴ f(k)＝2n.(8分)
(ⅱ) 当n(n ＋1)＜k ≤n(n ＋2)时，
从A 1中选出的n 个a i ：1，2，…，n ，考虑数n 的两侧的空位，填入集合A 2的两个数a p ，a q ，不妨设na p ＞na q ，则na p ≥n(n ＋2)≥k ，与题意不符，
∴ f(k)≤2n －1.
取一串数a i 为1，2n －1，2，2n －2，3，2n －3，…，n －2，n ＋2，n －1，n ＋1，n ，
或写成a i
＝⎩⎨⎧i ＋
12，i 为奇数，2n －i 2，i 为偶数(1≤i ≤2n －1)， 此时a i a i ＋1≤n(n ＋1)＜k(1≤i ≤2n －2)，a 2n －1a 1＝n ＜k ，满足题意，
∴ f(k)＝2n －1.(10分)
(写出(ⅰ)(ⅱ)题的结论但没有证明各给1分)。