大连理工大学2005年高等代数解答2

1112222n n n n

y a x a x a x y x y x =+++⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩

则2121(,,,)n f x x x ky = ,即二次型12(,,,)n f x x x 的秩为1.

若两个一次多项式系数不成比例,不妨设1212

a a

b b ≠,令 111222112233n n n n n n

y a x a x a x y b x b x b x y x y x =+++⎧⎪=+++⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩

则1212(,,,)n f x x x y y = .再令

11221233n n

y z z y z z y z y z =+⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 则22121212

(,,,)n f x x x y y z z ==- ,故二次型12(,,,)n f x x x 的秩为2,符号差为零. 充分性. 若12(,,,)n f x x x 的秩为1, 则可经非退化线性替换使2121(,,,)n f x x x ky = , 其中11122n n y a x a x a x =+++ ,故

2121122(,,,)()n n n f x x x k a x a x a x =+++ .

若12(,,,)n f x x x 的秩为2, 符号差为0, 则可经非退化线性替换使

2212121212(,,,)()()n f x x x y y y y y y =-=+- ,

其中12,y y 均为12,,,n x x x 的一次多项式, 即

1112221122n n

n n y a x a x a x y b x b x b x =+++=+++

故12(,,,)n f x x x 可表为两个两个实系数一次齐次多项式的乘积. ■

五、 因为W 是V 的非平凡子空间,故W V ≠.于是r n <.对n r -作数学归纳法.首先, 12,,,n εεε 不能都在W 中.否则,W V =,出现矛盾.设1

i ε是12,,,n εεε 中不属于W 的一个向量,那么

1

12,,,,r i αααε 线性无关.令

1112(,,,,)r i W L αααε= ,

则dim 11W r =+.由归纳假设,在12,,,n εεε 中可以找到(1)n r -+个向量23,,,n r i i i εεε- 使

1212,,,,,,,n r

r i i i αααεεε- 是V 的一组基. ■

六、 因为2

320A A E -+=,故2()32f x x x =-+是A 的一个零化多项式.设()m x 是A 的最小多项式,则()|()m x f x .由于()(1)(2)f x x x =--没有重根,故()m x 没有重根.因此A 可以对角化.从2

320A A E -+=知,A 的特征根为1或2.于是A 的Jordan 标准型的可能形式为 111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,122⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,222⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

. ■

七、由所给条件知 (A 1α, A 2α, , A n α)=(1α,2α, ,n α)A. 于是

A i α=(1α,2α, ,n α)121122

i i i i ni n ni a a a a a a ααα⎛⎫ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭

. 注意1α,2α, ,n α为V 的一组标准正交基,故

11221122((),)

(,)

(,)(,)(,)(,)

i j i i ni n j i j i j ni n j ji j j ji

A a a a a a a a a αααααααααααααα=+++=+++==

八、(1) 注意1f (A ), 2f (A )都是A 的多项式,故

A 1f (A )=1f (A )A , A 2f (A )=2f (A )A.

任取1V α∈,则1f (A )(α)=0.由于

1f (A )(A (α))=(1f (A )A )(α)=(A 1f (A ))(α)= A (1f (A )(α))= A (0)=0.

故A (α)1V ∈.由不变子空间的定义知,1V 是A 的不变子空间.类似地可证,2V 也是A 的不变子空间.

(2) 因为1()f x 与2()f x 互素,存在(),()[]u x v x P x ∈使得

12()()()()1u x f x v x f x +=.

将x =A 代入上式,得

u (A )1f (A )+v (A )2f (A )=ε (ε为恒等变换). (*) 任取V α∈,则

()u αεα==(A )1f (A )(α)+v (A )2f (A )(α). (**) 由于()f x 是A 的最小多项式,故f (A )=1f (A )2f (A )=0.于是

2f (A )(u (A )1f (A )(α))=(u (A )1f (A )2f (A ))(α)=u (A )(f (A )(α))=u (A )(0)=0 类似地, 1f (A )(v (A )2f (A )(α))=0.因此

u (A )1f (A )(α)2V ∈，v (A )2f (A )(α)1V ∈.

于是从(**)知12V V V ⊆+.注意12,V V 都是V 的子空间,故

12V V V =+.

设12V V β∈⋂,则1f (A )(β)=0, 2f (A )(β)=0.由(*)知

()βεβ==(u (A )1f (A ))(β)+(v (A )2f (A ))(β)=0,

故12{0}V V ⋂=.因此12V V V =⊕.

(3) 由于对任1V α∈,有1f (A )(α)0=,故1f (A )作为1V 上的线性变换是零变换,即1f (A )1|V 0=,亦即1()f x 是A 1|V 的零化多项式.设1()g x 是A 1|V 的最小多项式,则11()|()g x f x ,