线性方程组求解

第三章线性方程组

§1 消元法

一、线性方程组得初等变换

现在讨论一般线性方程组、所谓一般线性方程组就是指形式为

(1)

得方程组,其中代表个未知量,就是方程得个数,称为线性方程组得系数,称为常数项、方程组中未知量得个数与方程得个数不一定相等、系数得第一个指标表示它在第个方程,第二个指标表示它就是得系数、

所谓方程组(1)得一个解就就是指由个数组成得有序数组,当分别用代入后,(1)中每个等式都变成恒等式、方程组(1)得解得全体称为它得解集合、解方程组实际上就就是找出它全部得解,或者说,求出它得解集合、如果两个方程组有相同得解集合,它们就称为同解得、

显然,如果知道了一个线性方程组得全部系数与常数项,那么这个线性方程组就基本上确定了、确切地说,线性方程组(1)可以用下面得矩阵

(2)

来表示、实际上,有了(2)之后,除去代表未知量得文字外线性方程组(1)就确定了,而采用什么文字来代表未知量当然不就是实质性得、在中学所学代数里学过用加减消元法与代入消元法解二元、三元线性方程组、实际上,这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性、下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组、例如,解方程组

第二个方程组减去第一个方程得2倍,第三个方程减去第一个方程,就变成

第二个方程减去第三个方程得2倍,把第二第三两个方程得次序互换,即得

这样,就容易求出方程组得解为(9,1,6)、

分析一下消元法,不难瞧出,它实际上就是反复地对方程组进行变换,而所用

得变换也只就是由以下三种基本得变换所构成:

1、用一非零数乘某一方程;

2、把一个方程得倍数加到另一个方程;

3、互换两个方程得位置、

定义1变换1,2,3称为线性方程组得初等变换、

二、线性方程组得解得情形

消元得过程就就是反复施行初等变换得过程、下面证明,初等变换总就是把方程组变成同解得方程组、

下面我们来说明,如何利用初等变换来解一般得线性方程组、

对于方程组(1),首先检查得系数、如果得系数全为零,那么方程组(1)对没有任何限制,就可以取任何值,而方程组(1)可以瞧作得方程组来解、如果得系数不全为零,那么利用初等变换3,可以设、利用初等变换2,分别把第一个方程得倍加到第个方程、于就是方程组(1)就变成

(3)

其中

这样,解方程组(1)得问题就归结为解方程组

(4)

得问题、显然(4)得一个解,代入(3)得第一个方程就定出得值,这就得出(3)得一个解;(3)得解显然都就是(4)得解、这就就是说,方程组(3)有解得充要条件为方程组(4)有解,而(3)与(1)就是同解得,因之,方程组(1)有解得充要条件为方程组(4)有解、

对(4)再按上面得考虑进行变换,并且这样一步步作下去,最后就得到一个阶梯形方程组、为了讨论起来方便,不妨设所得得方程组为

⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====++=++++=++++++.00,00,0,,,1222222111212111ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛr r n rn r rr n n r r n n r r d d x c x c d x c x c x c d x c x c x c x c (5) 其中、方程组(5)中得“0=0”这样一些恒等式可能不出现,也可能出现,这时去掉它们也不影响(5)得解、而且(1)与(5)就是同解得、

现在考虑(5)得解得情况、

如(5)中有方程,而、这时不管取什么值都不能使它成为等式、故(5)无解,因而

(1)无解、

当就是零或(5)中根本没有“0=0”得方程时,分两种情况:

1)、这时阶梯形方程组为

(6)

其中、由最后一个方程开始,得值就可以逐个地唯一决定了、在这个情形,方程组(6)也就就是方程组(1)有唯一得解、

例1解线性方程组

2)、这时阶梯形方程组为

其中、把它改写成

(7)

由此可见,任给一组值,就唯一地定出得值,也就就是定出方程组(7)得一个解、一般地,由(7)我们可以把通过表示出来,这样一组表达式称为方程组(1)得一般解,而称为一组自由未知量、

例2解线性方程组

从这个例子瞧出,一般线性方程组化成阶梯形,不一定就就是(5)得样子,但就是只要把方程组中得某些项调动一下,总可以化成(5)得样子、

以上就就是用消元法解线性方程组得整个过程、总起来说就就是,首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组,把最后得一些恒等式“0=0”(如果出现得话)去掉、如果剩下得方程当中最后得一个等式就是零等于一非零得数,那么方程组无解,否则有解、在有解得情况下,如果阶梯形方程组中方程得个数等于未知量得个数,那么方程组有唯一得解;如果阶梯形方程组中方程得个数小于未知量得个数,那么方程组就有无穷多个解、

定理1在齐次线性方程组

中,如果,那么它必有非零解、

矩阵

(10)

称为线性方程组(1)得增广矩阵、显然,用初等变换化方程组(1)成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵(10)成阶梯形矩阵、因此,解线性方程组得第一步工作可以通过矩阵来进行,而从化成得阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还就是无解,在有解得情形,回到阶梯形方程组去解、

例3解线性方程组

§2 维向量空间

定义2所谓数域上一个维向量就就是由数域中个数组成得有序数组

(1)

称为向量(1)得分量、

用小写希腊字母来代表向量、

定义3 如果维向量

得对应分量都相等,即

、

就称这两个向量就是相等得,记作、

维向量之间得基本关系就是用向量得加法与数量乘法表达得、

定义4向量

称为向量

得与,记为

由定义立即推出:

交换律: 、(2)

结合律: 、(3)

定义5 分量全为零得向量

称为零向量,记为0;向量称为向量得负向量,记为、

显然对于所有得,都有

、(4)

、(5) (2)—(5)就是向量加法得四条基本运算规律、

定义6

定义7设为数域中得数,向量

称为向量与数得数量乘积,记为

由定义立即推出:

, (6)

, (7)

, (8)

、(9) (6)—(9)就是关于数量乘法得四条基本运算规则、由(6)—(9)或由定义不难推出:

, (10)

, (11)