一类半线性椭圆问题多解的存在性

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一类半线性Cauchy问题整体解的存在唯一性

摘要：一类半线性热传导方程Ｃｕｈ对ａｃｙ问题整体解的存在唯一性进行了讨论，运用衰减估计和能量估计相结合的方法，合Ｂｎｃ动点定理得到了整体解存在且唯一的条件，条件不对其非齐次项系数加任何限制，适用结ａａｈ不该其
第２卷８
第１期
２１００年２月
石河子大学学报【自然科学版）Ｊｕｎｌｆｈｅｉｎｖｒｉ（ａｕａＳｉｃ）ｏｒａｏｉｚＵｉｓｙＮｔｒｌｃｎｅＳｈｅｔｅ
Ｖｏ．８Ｎｏ１１２．
Ｆｅ．２０ｂ０ｌ
ｄｓｕｓｄｉｈｓｐｐｒＴｈｏｄｔｎｔａｈｎｉｕｘｓｅｃｆｔｌｂａｏｕｉｎｉａｉｆｄｉｅｉｅｙｕｉｇｉｃｓｅｎｔｉａｅ．ｅｃｎｉｉｈｔｔｅｕｑｅｅｉｔｎｅｏｈｅｇｏｌｓｌｔｏｓｓｔｓｉｓｄｒｖｄｂｓｎｏｅｔｅｅｒｙｄｃｙｅｔｍａｅｎｈｎｃｉｅｏｎｈｅｒｍ．ｏｅｖｒｉａｙｒｓｉｔｎｉｏｔｏｈｏｆｉｈｎｅｇｅａｓｉｔｓａｄｔｅＢａａｈｆｘｄｐｉｔｔｏｅＭｒｏｅ，ｆｎｅｒｃｉｓｎｔｐｕｎｔｅｃｅｆ— ｏｃｅｆｎｎｈｍｏｅｏｓｔｒ，ｔｐｉａｌｅｉｎｗｉｒｏｄ．ｉｎｔｏｏ－ｏｇｎｕｅｍｉｓａｐｌｂｅｒｇｏｌｂｅｍｏｅｂｒａｃｌ

一类半线性抛物方程组正解的整体存在性与非存在性

内爆破，这里，ＪＢ由本文（）给出．５式关键词整体解；半线性抛物方程组；爆破临界指标
中图分类号Ｏ７．４１５１文献标识码Ａ文章编号１０－５７２１）２）０－６００２３（０００４７００
Ｅｘｓｅｃｎｎ ×ＳｅＣｆＧＩｂｌＰｓｔｅＳｌｔｎｏａｉｔｎｅａｄＮＯｅｉｔｎｅＯｏａｏｉｖｏｕｉｓｔｉｏ
【ｘ０＝‘ ，ｕ（，）ｌ（）０
∈ ｉ１２…，Ｒ，＝，，￡
得了方组爆临指为１１卢・＜＜＋１卢，程的有解是破；ｙ到该程的破界标青（＋）当１７１青（＋）组所正都爆的当＞方
１（＋）则在初值ｕ（）＋１卢，？较小时方程组存在整体解，而在初值（）０较大时，方程组的任何正解都在有限时间
ＣｌｓｍｉｅｒＰｒｂｌｙｔｍｓａｓＳｅｌａａａｏｉＳｓｅｉｎｃ
ＰＥｏ．ｕ－ＺＨＯＵＳｕｑｎＮＧＹｕｈａ．．ｈ．ｉｇ
（．ｅａｍｎｏｔｅａｃ，ｉｇｉｎｏｅｅｉｇｉｇ３７５，ｈｎ；１ＤｐｒｅｔｆｈｍｔｓＰｎｘａｇＣＵｇ，Ｐｎｘｎ３０５ＣｉａｔＭａｉａ
本文考虑半线性抛物方程组：
收稿日期：００３２２１－－００
基金项目：国家自然科学基金资助项目（０７０１；１９１６）湖南师范大学青年优秀人才培养计划资助项
通信作者。－ａｌｚｏｓｕｉ８＠１３ｃｒＥｍｉｈｕｈｑｎ７６．ｏ：ｇｎ

一类带非线性边界的半线性椭圆方程组的多个解

作者简介：汪继秀（１９８２一），女，安徽安庆人，湖北文理学院数学与计算机科学学院讲师
第３４卷第１１期
湖北文理学院学报
２０１３年第１１期
（ＡｆｌＩ＋以ＩＶ４，５（，）＝Ｊｆ（，）一１￣
ｐＱ
一！ｆｈｒ（，ｙ）出（，Ｖ） ∈ Ⅳ．
ｇｎ
利用条件（Ｈ１）－（Ｈ５）可以证明
函
．
．
（，Ｖ） ∈Ｃ（Ｈ，Ｒ）（参看文献【１】）．众所周知，问题（１）的解就是能量泛
（甜，Ｖ）对应的临界点．
２０１３年１１月
湖北文理学院学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｕｂｅｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＡｒｔｓａｎｄＳｃｉｅｎｃｅ
ＮＯＶ．，２０１３Ｖｂ１．３４ＮＯ．１１
范数为
ｌｉｅｕ，ｖ）ｌｌ＝
一
＋ｌｕｌ＝．１ｕｌ２－＋ｌＶｖｌ＝＋ｌｖｌ＝
对函数（，ｖ） ∈Ｈ是问题（１）的弱解，即对所有的（破，） ∈Ｈ，有
Ｑ
Ｉ（ｖ萌一萌＋ＶｖＶ￣￣－２／．４ＩＶＱ
＋
其
中
八
南－２Ｖｘ ∈ Ｑ
，＿Ｏｖ：Ｉ１，１， ∈ａＱ
ｏｎ
＝
Ｏｕ
：
ｌ

一类半线性椭圆方程解的存在性问题

定理ｌ０ ∈Ｑｃ。是中有光滑边界的Ｑ
有界区域， Ⅳ ７时，０＜一则对所有当若４，
ｋ，隹叮，程（）＞０方１存在一个非平凡解。
（２０【明当（＝Ⅳ４，。１了），，手）＞文］证ｌ０
ＫｅｒｓＬｎｉｈｏｅｃｔａＳｂｌｖｅｐｎｎ；ｅｌｅｒｅｉｃｅｕｔｎｙｗｏｄ：ｉｎＴｅｒｍ；ｒｉｌｏｏｅｘｏｅｔｓｍｉｎａｌｐｑａｏｋｇｉｃｉｌｔｉｉ
０引言
ｉｆｎ
∈ Ｌ）（）Ｄ＼ｏ
函数，（）（）＜ ’ ｋｘ ∈ Ｑ，２，存在２＜ ‘ ｆ，＜ａ２－Ｖｉ
收稿日期：０８０．６２０．３１
作者简介：陈阳佳（９４，，１８．）女福建莆田人，０６２０级硕士研究生。
Ａｐ．２０ｒ０８
文章编号：６２４４（０８０ —０６０１７－１３２０）２０３．５
文献标识码：Ａ
一
类线椭方解存性题半性圆程的在问
陈阳佳
（建师范大学数学与计算机科学学院，福建福州３００福５０７）
，＝
其中
ｆ＿＼ Ⅳ ２
摘要：主要应用环绕定理及一些解的估计来讨论一类半线性椭圆方程：△ －让 ‘ ｌ计， ∈ 一一ｒｌ＝２。让让
（，（满足一定条件时，ｎ）当）方程存在一个非平凡解。

一类半线性椭圆系统解的存在性

长江大学学报（然科学版）理工２１年６第９第６自０２月卷期Ｊｕｎｌｆａｇｚｎｖｒｉ（ｔｃＥｉＳｉｎＪｎ２１，Ｖ１９Ｎ．ｏｒａｏｎｔＵｉｓｔＮａＳｉｄｔｃ＆Ｅｇｕ．０２ｏ．ｏ６Ｙｅｅｙ）
问题解的存在性结果。
［键词］半线性椭圆系统；弱解；变分方法关［图分类号］Ｏ１５２中７．５［献标识码］Ａ文［章编号］１７ —１０（０２６文６３４９２１）Ｏ～Ｎ０５４０一Ｏ
（）弱解的存在性与多解性。Ｆ满足如下的次线性增长性条件时：１当
Ｉｉｍ
一。。ｌＩｓ
【０一
（）Ｆ
．
对ａｅｚＥｎ一致成立，到了下面的定理：．．得定理Ａ【假设条件（３］Ａ）和（Ａ）成立，函数Ｆ满足条件（）且有：Ｆ
征值：
ｆＡｕ — （（ “＋６１）～ Ⅱ ｚ）（）ｚ
～
ｚＥｎｚ ∈ （ＥＷＰ）
Ａｖ＝（（＋ｆｚ）６ｚ）（）
ｌ一一ｏ
ｚ． ∈ａ
条件（Ｆ）在证明相应的能量泛函满足Ｃｒｍｉ件和鞍点定理的几何特征时发挥着极其重要的作用。ｅａ条这一类型的条件对非线性项的限制很强，实际的应用中，可能有很多的函数并不满足条件（。在Ｆ）因此，

一类半线性抛物型方程初值问题L~p-解的整体存在性

et △ φ Φ G ( u ( t) ) Φ e t △φ +
t
∫e ( t - s) Δum +1 ( s) ds . 则有
0 ∞
n
t
Φ e t △φ +
∫e ( t - s ) ΔSm + 1 ( s) ( es △φ) m + 1 ds m s Δ m+ 1 ∫e ( t - s) Δ ( es △ φ) ‖ e φ‖ ( s) ds L (R) S
p
n
证明令 S ( t) = 1 - m
t
m
0
∞
-n∞n源自t0∞n
定义 E =
p n t△ t△ u ( t ) | u ( t ) : [ 0 , + ∞] → L ( R ) 连续且 e φ Φ u ( t ) Φ S ( t ) e φ, 0 Φ t Φ + ∞ .
φ+ 对于 Π u ∈ E , 定义 G( u ( t ) ) = et △
第 27 卷第 6 期
Vol127 No16
长春师范学院学报 ( 自然科学版 )
Journal of Changchun Normal University (Natural Science)
2008 年 12 月 Dec. 2008
一类半线性抛物型方程初值问题
Lp - 解的整体存在性
t u ( t ) = eΔ φ+
∫e ( t 0
t
s) Δ m + 1
u
( s) ds ,
n - 2
(2 )
其中 et φ =
Δ
∫ Gt ( x n R
y ) φ( y ) dy , Gt ( x ) = ( 4π t)

一类奇异半线性椭圆方程解的存在性的注记

摘
一
要：运用极小作用原理获得了奇异半线性椭圆问题：一△ ＝Ⅱ ＋（，）Ｖ ’ ｇｘ Ⅱ ， ∈Ｏ；ｕ＝０ＶＣ力的， ∈ａ
个存在性结果，中ｇＣＲ（其２ ≥３是一个有界区域，是正常数．）＇，
关键词：异半线性椭圆方程；小作用原理；界点奇极临中图分类号：１５２０７．５文献标志码：Ａ文章编号：１０－９２２１）１０１－４０３０７（０００－９００
Ａｂｓｒｔ：ｘｓｅｅｒｕｔｉｂａｎｄｆｒｔｏｕｉｎｏｉｇｌｒｓｍｉｉａｌｉｉｃＤｉｃｌｔｂｕｎｒａ— ｔａｃＡｎｅｉｔｎｃｅｓｌｓｏｔｉｅｏｈｅｓｌｔｏｆｔｓｎｕａｅｌｎｅｅｌｐｔｒｈｅｏｄａｙｖｌｈｅｒｉ
定能达到极小植．引理２设是一个实Ｂｎｃ间，是 ¨ ａａｈ空，
上的一个函数，＝＋如果是Ｃ（Ｒ）：，Ｘ，， — Ｒｕ｛０｝凸的、半连续的且ｑ＃０，么，＋Ｏ是下ｔ那的局部极小值点也就是，的临界点．们称 ∈Ｘ我
ｕｒｂｅ —Ａ＝ｕ＋（ “ ｎ力，＞ｎ，０ｏ力，ｙｔｅｌａｔｃｏｒｃｌ，ｈｒｅｐｏｌｍｇ，）ｉ０ｉＵ＝ｎａｂｓａｔｎｐｎｉｅｗｅｅ力ｃＲ（ｈｅｉｉｐ ≥３）
ｉｏｎｅｏｉｎ＞０ｉａｃｎｔｎ．ｓａｂｕｄｄｄｍａｎａｄｓｏｓａｔＫｅｒｓ：ｉｇｌｒｓｍｉｎａｌｐｉｑａｉｎ；ｌａｔａｔｎｐｎｉｌｙｗｏｄｓｎｕａｅｌｅｒｅｌｔｅｕｔｓｅｓｃｉｒｃｐｅ；ｃｔａｏｎｉｉｃｏｏｉｉｃｒｉｌｐｉｔ

一类半线性抛物型方程初值问题Lp-解的整体存在性

Ｉ（，：（ ≥ ，ＲＭ００ ∈ ｎ））
．
（）
的Ｌ（整体解的存在性．ＰＲ）定义映射Ｕｔ：０］Ｌ（强可测．为（）Ｌ（解．（）［，一ＰＲ）称１的ＰＲ）如果（）￡满足积分方程
ｕｆ：＋』（ｓｕ＋ｓ（ｅ）ｔ）ｍ１）ｅ—Ａ（，
其中ｅＧ（ — （），＝４ｔ一ｅ（以＝ｊｔ））（）（７）墨ｘ一ｘ，ｒｐ
２预备引理
（２）
）．
引理１（广义Ｙｔｇｏ不等式）设Ｇ（，（）而ｍ［ＥＬＲ）Ｐ ∈ ．
第２卷第６７期
Ｖ１２Ｎ．．．７００６
长春师范学院学报（自然科学版）
ＪｕｌｆｈｎｃｕｏａＵｉｒｔ｛ａｒｃｎｅｏｍａｏａｇｈｎＮｒｌｎｖｓｙＮｔａＳｉｃ）Ｃｍｅｉｕｌｅ
２Ｏ年１Ｏ８２月
吉ｉｉＰ＋，盎Ｅ（，立Ｉ）ｌ（＝ｌ ≤∞ ｉＲ且ｌ，＝ｌＰ则ＹＬ成＝Ｐ）鸯ｌ）．
引理３设（“，越 ∈ ｑｎ且ｉｌ（）ｎ一ｉ，ｐｇ ∞ （，ｖ出疵其中１ｓｓ＋．
・
ｌ・２
推如＜ｓ＋，对ｖ ≥ ，ＩｌＩ（）论ｌ果１ｌ ∞ 则￡０有ｌＩ（）Ｉ．ｐｅ凸
在引理３中取ｐ＝ｇ即得．３主要结果及其证明
’
定理ｌ设（ ∈ （）１）（ｓｐ＜＋∞）且（０若，）．

一类半线性椭圆方程边值问题的可解性

２１６月０２年第１８卷第２期
安庆师范学院学报（然科学版）自
ＪｕｎｌｆｎｉｇＴａｈｒｏｌｇ（ａｕａＳｉｎｅＥｉｏ）ｏｒａｑｎｅｃｅｓＣｌｅＮｔｒｌｃｃｄｔｎｏＡｅｅｉ
Ｊ．Ｏ２ｕｎ２ｌ
４‘
安庆师范学院学报（自然科学版）
２１年０２
引理１上、调和函数的极值原理）（下
设 “∈Ｃ（Ｉ￣）在中△ ２）Ｃ（， ≤０ ≥０，（）假设有界，
则ｉ “ （ｐ＝ｓ）成立ｎ：ｉｓ。ｆｕＭ
性，作为定理的应用，最后给出了一个例子。
关键词：不动点理论；、上下解方法；边值问题中图分类号：０７１５文献标识码：Ａ文章编号：１００７—４６（０２０２０２１）２—００００３— ３
０引言
文献［］１研究了问题
给定条件：Ａ）（）为力上连续正函数，（）为Ｒ上连续正函数。（ｋｘ，ｓ
（）Ａ２
１主要定理
—
＝ｏ，）［∞上增（）在０）单。０Ａ在０）单。｝（。上减（ｓ，Ａ，。
一一
定义１称ｕ为问题（）的上、，２下解，果，如满足：１， ∈ Ｃ（Ｉ（）（） ≤ ， ∈１；（）力）ｃ１；２２２
ｉｕ：０．
∈ａ
的解，中Ａ＝（其一△）Ｂ，Ｄ— ｃｏ）Ｂ：（）加 ∈ Ｄ，＝ＡＢ：（，ｗ），ｗ。因为（一△）：Ｃ力）一ｃ）是全连续的］Ｂ为连续算子，以Ａ：（（，所Ｄ— ｃ）：（Ｄ— Ｃ（）是全连续的。下面证明Ａ是Ｄ到Ｄ的算子。实上，１＝Ａ则成立：事若１，ｗ，

一类半线性椭圆型方程边值问题的可解性

论探讨了半线性椭圆型方程边值问题的可解性．
关键词：椭圆型方程；不动点；零解；有界正解；算子中图分类号：０７．文献标识码：Ａ１５２５ｄｉ０９９．ｓ．０ — ８１００２１ｏ：１．６￣ｉｎ１７９３．１．．４３ｓ０２００
１引言及预备知识
最近几年，在生物学、生态学、燃烧理论、人口动态方面出现的很多现象能够用半线性椭圆型方程描
述，许多数学工作者对拟线性椭圆型方程（）组特别是非线性的具有一定奇异的椭圆型方程（）组的解（弱解）的存在性与不存在性、唯一性、多解性、正则性、部分正则性以及解的其它性态进行了研究“ ．文献
证明设Ｘ：ｃ一）（，Ｘ中所有非负，且在Ｏ上为零的函数构成正锥Ｂ，且Ｂ为Ｘ的闭凸集．作算ｆ２ｆ２子：Ｂ，Ｂ使得 “ Ｂ，Ｔ＝上（）＋Ｌ（，）其中：Ｕ一） ∈ ｕ『ａｘｕ－ｘｆ，＝（△ 为紧正算子．从而：Ｂ为Ｂ
常数ｃ０＞，使得对于任意（，）Ｑ× ，有０（，）．ｘｕ∈ Ｒｆｘｃ
，．、
…
的可解性．其中：ＱＣＲ为有界光滑域；ａ）（）（ ∈ｃ－，且ａｘ０ｆｘｕ关于各变元连续．假设存在６（）：（，）
２主要结果及证明
第３卷第２Ｏ期
２０正０１
高师理科学刊
ＪｕｎｌｏｃｅｃｆＴａｈｒＣｏｌｇｎＵｎｖｒｉｙｏｒａｆＳｉｎｅｏｅｃｅｓｌｅｅａｄｉｅｓｔ

一类椭圆系统解的存在性

（（，＝ｎＶＶ＋ＶＶ）（，］ — １）＋２）ｄｕｙＪ（“ 一ＡｙｄＪｇｕｇｕ）・））［Ｕ）ａ（（（
为了后面证明的方便，需要再引出文献［０还－］中的一个定理．１定理０设Ｅ是一个自反Ｂｎｃ间，ａａｈ空具有范数ｌＩ令ｃＥ是Ｅ的一个弱闭子Ｉ・Ｉ集．定泛函，：一ＲＵ｛ｏ｝制，假＋ｏ强相对于空间Ｅ是弱下半连续的，ＪＭ上有界，则在且
的Ｉ点临界
（＝』Ｉ｝ＩＩ号（，ｄ—ａＵｕ｛（＋Ｖ。一』Ｕ）ｆ（ｄ）ｖ）ＵＧ），ｄＡ
其中：Ｕ一，）∈Ｈ，口ＶＧ（＝（】ｕ）ｇ（）在适当的关于Ｇ的增长性条件下， ∽ 是Ｕ）ｇ（，。∽ ．（正定的，（ ∈ Ｃ（，）更进一步，且 ∽ Ｒ．对任意Ｕ一（）Ｖ＝（２，，，）∈ Ｈ，有还
一 பைடு நூலகம்
？
）蚋，Ｉ在｝Ｉ
Ｊ
（１）
其中为了应用临界点理论，假设存在函数Ｇ：Ｒ×ＲＲ使得Ｇ（，）（１，，？，）． — “ 口ｇ）ｇ）
文献［３使用Ｇｒｅ１ｅｎ函数及不动点定理在一定情况下讨论丁（）的存在性．献［，］１解文２３使用度数理论研究问题（）在不同条件下也得到了解的存在性．时有大量文献使用ｌ点理论１，同临界讨论问题（）如文献［～８，中文献［，］１，４］其７８在台同与非合同两种条件下，当非线性位势次二次与超二次时给出了解的存在性．近的文献Ｉ］究丁（）的一种特殊情况：最－研９１ｇ（，ｌ“ ）＝ｇ（口２，） … Ｉ川。，

具有临界指数项的半线性椭圆方程的多解问题

收文日期：０６９２修订日期：０７１－８２０－－；００２０ — ００
基金项目：浙江省自然科学基金资助项目（６６９）浙江师范大学青年基金项目（００７Ｙ０２２；Ｙ６４）作者简介：杨敏波（９９一）男，１７，浙江余杭人，师．讲研究方向：非线性泛函分析．
ａｄｃｅｕｌｓｉｔｎｎｒｙｎａｆｌｙｅｔｍａｉｇｅｅｇ．ｒ
Ｋｅｏｄ：ｍｌｐｅｓｌｔｎ；ａｄ —ｏｏｖｃｔａｅｐｎｎ；（．．ｏｄｔｎｐｅｄ — ｄｘｙｗｒｓｕｔｌｏｕｉｓＨｒｙＳｂｌｒｉｌｘｏｅｔＰＳ）ｃｎｉ；ｓｕｏｉｅｉｏｅｉｃｏｎ
，
称为Ｈａｄ—０。ｖ临界指数；ｓ＝ｏ时，ｒｓｂｌｙｅ当
圆方程及拟线性椭圆方程自文献［］１以来已被广泛研究．年来，式（）近对１的推广形式引起了人们的注意，文献［］２运用对偶方法考虑了如下一类奇异椭圆方程：
』△ ＝【肛ｕ一
：
＋ｆ，，力Ａｕ；（）∈
Ａｂｓｒｃ：ＩｓｓｕｉｄａｃａｓｏｅｌｎａｌｉｔｑａｉｎｔｒｙＳｂｌｖｃｔａｘｏｅｔＷｉｈｔａｔｔｗａｔｄｅｌｓｆｓｍｉｉｅｒｅｌｐｉｅｕｔｓｗｉＨａｄ — ｏｏｅｒｉｌｅｐｎｎ．ｃｏｈｉｃｔ
摘
３１０）２０４

关于一个半线性椭圆方程解的存在性定理

§荔囊关于一个半线性椭圆方程解的存在性定理张辉(广东外语外贸大学南国商学院广东广州510545)[摘要】证明一个关于方程以Ⅳ=I ⅣI ”1扯非平凡解的存在性的定理，拓宽了现有的定理[关键词]弱解半线性中围分类号；0175．29文献标识码：^文章编号：1871—7597(2008)1210131-01众所周知，如下的半线性椭圆方程f —缸：训r 1。

柚Ⅳ=0D 葡Q教育科学(1．1)如果虑如下的函数y(砷=嘉(R2一k 一卅2)。

我们知道它是如下Poissi on 方程Q 是一个有界的星型区域，且边界足够光滑，则方程的解青如下的结论：结论1：若l <尸<兰去，则方程(1．1)存在非平方的解，若p>!号，疗一Z。

甩一2则方程(1．1)只有平凡解。

【l 】从这个事实中，我们知道方程(1．1)的解和P 的取值范围有关，而P 的取值范围又和定义域所在的维数有密切的关系。

通过研究，我们发现当维数很大的时候在一定的条件下，方程解的存在性具有独立性，即不依赖P 。

在本文我们将证明如下一个结论；假设ocR 。

是一个有界区域，且边界足够光滑oc 峨(‰，R 1)={工∈彤肛一而1<对，并且我们取酬(锄=扣∈日1(固p=o ，鲫aQ )，则我们有如下的定理：定理：若存在一个常数A >0。

使得卜(J)I ≤名．V uO )∈州(Q)。

则方程(1，1)存在非平凡的解M (D E 州(Q )．我{『]知道，对于r 等三，由椭圆方程的￡2(Q)理论知道A-a 是紧算子．我们令H (u)=-A 1I ul 川“，则胃：纠(Q )_州(Q )是连续的，我们考的解：-&u ：T2m l丑‘引理I ：我们取矽=pE 碰(五)陋(曲is 丑z ∈Q 】，则H (W )cW ，且日(∥)有界证明：任取u(x)e 矿，则只要m 足够大，有△(片0)一U )=-A “I Ⅳ．p4u+2彤m l ≥o ，而(H 伽)一u)Im =-U [柚SO 由椭圆方程的性质，我们知道抒(")s u ，施．由于【厂(力s 名，所以有日(矽)cW ，显然牙(矿)是有界的．由Ⅳ(聊r-H 2(∥)n 础(矿)和引理1，我们知道矿还是紧的，E 自Schauder 不动点定理知道H ：W -÷矿存在一个不动点．参考文献：[I ]L ．C ．E vanstPar ti alD i ff e r e nt ia lEqua t i ons ．Spr i n ger ，N e ．Y ork ，1998．[2]伍卓群、尹景学、王春鹏。

一类半线性椭圆型方程正解的存在性

鲁东大学学报(自然科学版)　Ludong University Journal(Na tural Science Edition)2008,24(4):309—312　收稿日期223;修回日期22 作者简介吴淑君(—),女,山东潍坊人。

助教,硕士,研究方向为偏微分方程及其应用。

T 5325663,2j @y 。

一类半线性椭圆型方程正解的存在性吴淑君1,王际科2(1.中国石油大学(华东)　数学与计算科学学院,山东东营257061;2.鲁东大学　学报编辑部,山东烟台264025)摘要:在适当条件下,运用不动点定理结合上、下解的方法证明了一类半线性椭圆型方程全局正解的存在性,并在无穷远处趋于任意预先给定的正数.关键词:半线性椭圆型方程;上、下解方法;Schuauder 2Tych onoff 不动点定理中图分类号:O175125 文献标志码:A 文章编号:167328020(2008)0420309204 不动点定理是目前正在迅速发展的非线性泛函分析的重要组成部分,它与近代数学的许多分支有着紧密的联系,特别是在建立方程(包括各类线性或非线性的、确定性或非确定的微分方程、积分方程以及各类算子方程)解的唯一性问题中起着重要的作用[1].近年来,利用不动点定理解决方程问题已成为偏微分发展的新方向,并取得了很多成果[2—5]. 对于如下的半线性椭圆型方程-Δu =p (x )u α+q (x )u -β-h (x )u γ,x ∈R N,N ≥3,(1)其中α∈[0,1),β>0,γ≥1,p (x),q (x),h (x)≥0均为θ2H ¨older 连续函数,θ∈(0,1),p (x)+q (x)>0,x ∈R N,其全局正解的存在性问题已被广泛地研究[6—7].方程的全局正解是指函数u (x )∈C 2,θloc (R N)>0,并在R N上逐点满足此方程,方程(1)的一般形式为-Δu =f (x,u ).(2)文[8]指出当p >0,k (x )∈C θlo c (R N )时,存在一个集合I ,对于任意的η∈I ,方程-Δu =k (x )u p(x ∈R N,p 为常数)(3)有满足l i m |x|→+∞u (x)=η(4)的正整体解存在.文[9]证明当p ∈(0,1)或p <0时,方程(3)存在有界正解;文[10]证明了在适当的条件下,对于足够大的正常数η,方程(2)存在满足式(4)的全局正解;文[11]在区域ΩΑR N上解决了问题(1)、(4).当p ≥1时,方程(3)称为超线性型;当p ∈(0,1)时,称为下线性型;当p <0时,称为奇异型.方程(1)含有上述的三种类型,故解的存在性问题不能由上面的文献得出.本文研究了利用Schuaude r 2Tychonoff 的不动点定理来解决方程(1)满足(4)的解的问题. 引理1[12]　(i)0<m ≤1,a,b >0且均为常数,则有|a m -b m |≤2|a -b |a1-m-b1-m;(ii)m >1,a,b ≥0且均为常数,则有|am-b m |≤2m|a -b |(am -1-bm -1). 引理2[13]　对于方程(2),设f(x,s)是定义在R N ×(0,+∞)上的函数,关于变量s 是局部θ2H ¨olde r 连续,且对于所有的x 关于s 是局部L ipschitz 连续的.如果存在函数v ,w ∈C 2(R N ),使得对任x ∈R N ,成立Δv(x)+f (x,v(x))≤0,(5)Δw (x)+f (x,w (x))≥0,(6)v (x )≥w (x )>0,:2008092:20081017:1981el :028081E mai l :wu s h 310　鲁东大学学报(自然科学版)第24卷　则方程(2)存在全局正解u(x),并满足w(x)≤u(x)≤v(x),x∈R N. 称函数v(x)为方程(2)在R N上的一个上解,若v∈C2(R N)并且满足不等式(5);称w(x)为方程(2)在R N上的一个下解,若w∈C2(R N)并且满足不等式(6). 定理　设η>0是任一给定的正常数,方程(1)如果满足(H1)0≤h(x)≤p(x)ηα-γ+q(x)η-β-γ,x∈R N;(H2)1N-2∫+∞0t(p3(t)+q3(t))d t=A<+∞,其中p3(t)=m ax|x|=tp(x),q3(t)=m ax|x|=tq(x),则方程(1)存在满足(4)的全局正解. 证明　定义集合Y={y(t)∈C[0,+∞):η≤y(t)≤η+CA},其中常数C=m ax{η,η-β,(1 +η+A)α1-α}.易见,集合Y是一个闭凸集. 记f(x,u):=p(x)uα+q(x)u-β,定义算子J:Y→C[0,+∞),J y(t)=η+1N-2∫+∞t rf(r,y(r))d r+1N-2t2-N∫t0sf(s,y(s))d s,t>0η+1N-2∫+∞0rf(r,y(r))d r,t=0. (i)首先证明J Y<Y. Πy(t)∈Y,有η≤y(t)≤η+CA,根据J的定义,当t>0时,J y(t)=η+1N-2∫+∞t rf(r,y(r))d r+1N-2t2-N∫t0sf(s,y(s))d s=η+1N-2∫+∞t rf(r,y(r))d r+1N-2∫t0rf(r,y(r))d r-1N-2t2-N∫t0s N-3∫s0rf(r,y(r))d r d s=η+1N-2∫+∞0rf(r,y(r))d r-t2-N∫t0s N-3∫s0rf(r,y(r))d r d s≤η+1N-2∫+∞0t(p3(t)(η+CA)α+q3(t)η-β)d t.根据C的取法,C≥η-β,C1α-η-CA=C(C1-αα-A)-η≥C(1+η)-η>0,即C>(η+CA)α.所以对于R>0,J y(t)≤η+1N-2∫+∞0t(p3(t)(η+CA)α+q3(t)η-β)d t≤η+C1N-2∫∞0t(p3(t)+q3(t))d t=η+CA.易知,J Y(t)≥η(0≤t≤R).对于任意的y(t)∈Y有η≤J y(t)≤η+CA,所以J y∈Y. (i i)然后证明J在Y上连续. 设{y m(t)}是Y中的序列,按照Y中的拓扑收敛于函数y(t)∈Y,即对于任意的R>0,都有m ax 0≤t≤R |ym(t)-y(t)|→0,m→+∞,|J ym (t)-J y(t)|=1N-2∫+∞t r[f(r,y m(r))-f(r,y(r))]d r+1N-2t2-N∫t0s[f(s,y m(s))-f(s,y(s))]d s≤1N-2∫+∞t r|f(r,y m(r))-f(r,y(r))|d r+1N-2t2-N∫t0s|f(s,y m(s))-f(s,y(s))|d s.由于r|f(r,y m(r))-f(r,y(r))|≤2r(p3(t)(η+CA)α+q3(t)η-β)≤2r C(p3(t)+q3(t)),以及∫+∞0r(p3(r)+q3(t))d r=A(N-2)<+∞,根据控制收敛定理以及引理,ΠR>0,{J y m(t)}在[0,R]上一致收敛于J y(t).按照Y中的拓扑,{J y m(t)}收敛于J y(t),因此J是连续的. (i ii)最后证明集合J Y是列紧的. Πy()∈Y,都满足η≤y()≤η+t J t CA.　第4期吴淑君,等:一类半线性椭圆型方程正解的存在性311　|J y ′(t )|=|t 1-N∫t 0sN -1f (s,y (s ))d s |≤|∫t 0f (s ,y (s ))d s |≤∫t[p 3(t )(η+CA )α+q 3(t )η-β]d t ≤C∫t[p 3(t )+q 3(t )]d t .ΠR >0,J Y 在[0,R ]上是一致有界且等度连续的,根据A rze la 2A scoli 定理,J Y 在[0,R ]上是列紧的. 证明集合J Y 是Y 上的列紧集,即要证明J Y 中的任意序列{Jw i (t )}都包含一个子序列,该子序列按照规定的拓扑收敛于Y 中的一个元素. 根据上面的论证,{Jw i (t )}在[0,1]上是列紧的,从而存在子序列,记为{Jw 1i },一致收敛于函数y 1∈{Jw i (t )}<Y,即Jw 1i (t )→y 1(t ),i →∞,Πt ∈[0,1].同样{J w 1i }在[0,2]上一致收敛且等度连续,所以存在子序列{J w 2i }在[0,2]上一致收敛于函数y 2∈{Jw i (t)}<Y ,即J w 2i (t)→y 2(t),i →∞,Πt ∈[0,2].由于{J w 2i }是{Jw 1i }的子序列,因此在[0,1]上y 1≡y 2. 利用同样的方法,可以找到满足下列性质的序列:{y k }:y k (t )=y 1(t ),Πt ∈[0,1];y k (t )=y 2(t ),Πt ∈[0,2];…;y k (t )=y k -1(t ),Πt ∈[0,k -1]. 在任意有界区域[0,R ]上,根据Cauchy 收敛准则,序列{y k (t)}是一致收敛的,即存在函数y (t)∈C [0,+∞),使得li m k →+∞y k (t)=y (t)在[0,R ]上一致成立,并且y (t)=y k (t)(t ∈[0,k ]).由于η≤y k (t )≤η+CA,所以η≤y (t )≤η+CA,y (t )∈Y . 采用Cantor 对角线法,选取{Jw i (t)}的子序列{J w i i (t)},下面证明这个子序列在Y 中收敛.按照Y 中的拓扑,只要在任意有界区域[0,k 0](k 0∈N)上证明收敛性成立即可. Πε>0,取N =k 0,当i >k >N 时,Πt ∈[0,k 0],|Jw ii (t )-y (t )|≤|Jw ii (t )-Jw k0i (t )|+|Jw k0i (t )-y (t )|. 当i >N 时,{J w i i (t)}是{J w k 0i (t)}的子序列,而{Jw k 0i (t)}在[0,k 0]是一致收敛的序列,从而Πt ∈[0,k 0]<[0,k ],|Jw i i (t )-Jw k 0i (t )|<ε/2.{Jw k0i (t )}在[0,k 0]上一致收敛于函数y k 0(t ),而y (t )=y k 0(t ),Πt ∈[0,k 0].当i >N 时,Πt ∈[0,k 0]<[0,k ],|Jw k0i (t )-y (t )|<ε/2.联合上面的两个不等式可以得到,当i >N 时,Πt ∈[0,k 0],|Jw i i (t )-y (t )|<ε. 以上证明了Schauder 2Tuchnoff 不动点定理的条件全部满足,所以J 存在不动点y (t )∈Y ,即J y (t )=y (t ). 下面证明li m t →+∞y (t)=η.当t >0时,η≤y (t)=η+1N -2∫+∞trf (r,y (r))d r+1N -2t2-N∫tsf (s,y (s))d s =η+1N -2∫+∞rf(r ,y (r))d r -t2-N∫t 0s N -3∫srf (r,y (r))d r d s,li m t →+∞t2-N∫tsN -3∫srf (r,y (r))d r d s =li mt →+∞∫t 0s N -3∫srf (r ,y (r ))d r d stN -2=li mt →+∞tN -3∫t 0rf (r,y (r ))d r(N -2)tN -3=1N -2∫∞rf (r,y (r ))d r .所以li m t →+∞y (t )=η. 定义函数u (x)=y (|x|),x ≠0,η+1N -2∫+∞0rf (r ,y (r ))d r,x=0,容易验证函数u (x)为方程-Δu =p (x)uα+q (x )u-β满足条件的全局正解,也是方程的上解.根据引理2即可得到结论.参考文献:[]　张石生不动点理论及应用[M ]重庆重庆出版社,[]　刘玉仁,许兴业一类半线性椭圆型方程的整体解[]广州师范学院学报,5,()—31..:1984.2.J .1992:287.　鲁东大学学报(自然科学版)第24卷　312[3]　杨作东,陆启韶.一类拟线性椭圆型方程正整体解的存在性[J].北京航空航天大学学报,2001,27(2):217—220.[4]　杨海涛.R N上一类半线性椭圆型方程的存在唯一性及渐近性态[J].数学物理学报,1997,17(4):403—411.[5]　朱熹平.R N上半线性椭圆型方程的多解性[J].数学学报,1989,32(1):20—34.[6]　Lair A V,Shaker A W.Cla ssica l and weak s oluti ons of a si ngular se m ilinea r elli p tic p r oble m[J].J M ath Anal App l,1997,211(2):371—385.[7]　Bachar I M ED,Noutreddine Zeddine.On the existence of positive s oluti ons for a class of sem ili near e lli ptic equati ons[J].Nonlinear Ana l ysis,2003,52(4):1239—1247.[8]　Nait o M.A note on bounded positiv e entire s oluti ons of qua silinea r elli p tic equa tions[J].H iroshi m a M ath J,1984,14(1):211—214.[9]　Ku wano N.On bounded positi ve entire s olutions of qua silinear e lli ptic equati ons[J].Hir oshi ma M ath J,1984,14(1):125—158.[10]　Y AO M iao2xi n.Positive s oluti ons to singular sem ilinea r e llipti c equati ons of m ixed type[J].Transati ons of Tianji n Unive r2sity,1995,1(1):38—41.[11]　HabibMA^AG L I,M alek Z R I B I.Existence and e sti m ents of sol uti ons for singular n onlinea r elli p tic p roblem s[J].J Ma th A2na l App l,2001,263(2):522—542.[12]　Y ANG Zu o2dong.Existence of positive bounded entire soluti ons for quasilinea r ellipti c equations[J].App lied Ma t hema ticsand Co mput a tion,2004,156(3):743—754.[13]　Nait o M.A n o t e on bounded positi ve entire s o l uti on sof se m ilinea r ellipti c equati ons[J].H iroshi m a M ath J,1984,14(1):211—214.Ex istence of Posit i ve Soluti on s to a K i nd of Sem ili n ea r E lli p ti c Equa tio n sWU　Shu2jun1,WA N G　J i2ke2(1.School ofM athematics and C omp utat i onal Sci ence,Ch i na University of Petr o l eum,Dongying257061,China;2.Edit o rial Depart ment,Ludong Un i versity,Yantai264025,Ch i na)Abstrac t:S om e suitable conditi ons are given,f or any positive constant given in advance,by the aid of fix2point theore m and super2sub s olution m ethod,guaranteeing the existence of an entire positive solution a se m ilinea r e lliptic equati on that tends to the given constant at infinity.Key wor ds:se m ilinear elli p tic equati on;supe r2sub s oluti on m ethod;Schuauder2Tychonoff fixed2point theore m(责任编辑　司丽琴)。

一类椭圆问题的解的存在性以及唯一性

一类椭圆问题的解的存在性以及唯一性何其涵;李彦哲;阮雯钐【摘要】为了得到一类椭圆型方程组在不同条件下的正解的存在性以及唯一性,利用变分方法建立了其正解与某个特定的单个椭圆方程的正解之间的一个关系.此关系表明:当方程系统的非线性项满足一定的条件时,方程系统存在非平凡(正)解;当其耦合系数大于某个确定的常数时,其正解是唯一的.%In order to obtain the existence and uniqueness of positive solutions for a class of elliptic systems under different conditions, a relation between the positive solutions of the system and the positive solutions of a particular single elliptic equation is established by using the variational method.This relation shows that when the nonlinear terms of the system satisfy certain conditions, the system has a nontrivial(positive)solution, and when its coupling coefficient is greater than a certain constant,its positive solution is unique.【期刊名称】《广西大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(043)002【总页数】5页(P855-859)【关键词】方程组;存在性;唯一性【作者】何其涵;李彦哲;阮雯钐【作者单位】广西大学数学与信息科学学院,广西南宁530004;广西大学数学与信息科学学院,广西南宁530004;广西大学数学与信息科学学院,广西南宁530004【正文语种】中文【中图分类】O290 引言本文将研究下述椭圆型方程组：(1)其中, Ω⊂RN是一个边界光滑的区域，且f,g满足如下条件：① 存在k0>0，使得f(1,k0)k0-g(1,k0)=0以及下述方程:(2)存在至少一个非零解u0;② 对于任意的t∈R, k∈R,有f(t,tk)k-g(t,tk)=tp(f(1,k)k-g(1,k));③ 存在唯一的k0>0,使得f(1,k0)k0-g(1,k0)=0,当k∈(0,k0)时, f(1,k)k-g(1,k)<0以及当k∈(k0,+∞), f(1,k)k-g(1,k)>0。

一类半线性椭圆型方程的可解性

一
（２）
显然
（）ｘ为
子＇
’由
ｃ＝ｔｏ
．
２
㈩
Ｌ＇（）－ｘａ
因为
ｃ～
．
以
又 ∽为磁陛子Ｎｃｌ所｛ｌ）｝紧算，ｏ＿，以Ｌ（ｏ－ｘａｃ
为紧必话过子可ｆ【１上口）敛。以列集，要的通取列，得ｆ００】＿（收所ｃ∈，ｌ０１ｘ ∈ ，，ｏＢ且Ｉ＝。－ｏ．Ｊ－￣
第一特征值。
证明设＝ｃ历）中所有非负，（，且在加上为零的函数构成正锥Ｂ且Ｂ为的闭凸集。作算子，
ＴＢ：Ｂ，使得“ Ｂ，Ｔ＝ＬａｘｕＬ（，） ∈ ｕ－（）＋－ｘ材，这里＝一Ｘｆ（Ｉ一为紧正算子。从而：ＢＢ为紧正算）
第２卷第５ｉｈｉｅｓｔｏｒａｑｉａｒｏＱＵｎｖｒｉｙ
Ｖｏ１，．．Ｎｏ５２７
２１年９月０１
Ｓｐ，０１ｅ．２１
一
类半线性椭圆型方程的可解性
金启胜
卜丑＋ｉＩ＝ｅ “Ｉ＿Ｓｘｎ ∈
【０Ｕ， ∈
（６）
则口）ｅ一Ｃ一，ｘｚｆｘ）Ｉｌ各元连且０厂），（ｕｅ × 又＠＝一（）（Ｏ，（“＝ｉ关于变续， ≤ （“ Ｓａ）２，ｓｎ，１ｖ，．Ｒ，ｘ）Ｏ
ｌ（一）口）一）十厂，－（２（一）ａｌｉ。Ｄ出：（（［ｘ）ｆ，）（。（ｘ］。ｂｕｃ

一类具有Hardy项的半线性椭圆方程解的存在性和多重性

ＥｌｉｔｃＥｑｔｏｔＨａｄｙＴｅｍｓｌｐｉｕａｉｎｓｗｉｈｒｒ
ＤＩＮＧｉｇＬｎ
ｆｅｍｍｎｆｔｅａｉ，ｉｇａｎｖｒｔ，ｉｇｎ４１５，ｈｎ）Ｄｐ￣ｅｔｈｍｔｓＸａｎＵｉｅｓｙＸａｆ４０３ＣｉａｏＭａｃｎｉｎａ

零点有强奇异性。另外，即使Ｑ包含在零点的小邻域内，我们也不知道问题（的解是否有界１）在本文
收稿日期：２０ — ３００８０—５
作者简介：丁凌，，女湖北褒樊人，襄樊学院数学系讲师，主要从事菲线性泛函分析的研究。
６６
维普资讯
１引言和主要结果
且范数为
考虑带有Ｈｒｙ项的半线性椭圆方程的ａｄ
Ｄｒｈｅ边界值问题：ｉｅｌｔｉ
一
ｌｌＶｌ＝ｕｌｕｌ
ｄ｝ｕ圆ｘ，ｅＹＨｊ
△ｕ —
ｆ，）ｈｘ，（ｕ＋（）ｘ∈Ｑ＼ｘ
ｕＯ＝，Ｘ苣０Ｑ，
近几年，人ｆ对含有算子Ｌ＝ △～ｒ．『］：一监ｒ＿奇异
ｉＩＸ
问题的非平＿解的存在性越来越关注，可以参看文凡
的存在，问题（在１）
Ｉ＾Ｉ
Ｉ１ｎｕ（ｊｉｌ
ｉｘ￣ｆ（ｘ）ｈｄ
ｒｙ］上）』（）献［１由于Ｈａｄ项＇－ｄｎ，ｘ６７．ｘＦｕ～一ｘｄ
丁凌
（襄樊学院数学系，湖北襄樊４１５）４０３
摘
要：分别用极小作用ｌ理和极小极大方法证明了一类具有Ｈａｙ的半线性椭圆方程解的存在性和多重性。琢ｒ项ｄ

半线性椭圆方程多解的存在性

ｌｏ —．
Ｆ＝｛ｙ∈Ｃ［，］Ｘ：（）＝０ ’ １（０１，）ｙｏ，（）＝Ｙ，，｝Ｒ满足非光滑ＰＳ条件，．．则有ｃｉ：（）并ｎｆ，ｘ，ｇ
（）称为在点 ∈Ｘ）处的广义方向导数．容易证明。＾是次线性的、（）；连续的．从而由Ｈｈａｎ— Ｂｎｃ定理的推论可知。；）是却（ａａｈ（＾）的支撑
半线性椭圆方程多解的存在性
韩摘颖，李春来自雷（江师范大学数学系，江金华３１０）浙浙２０４
要：文中在非光滑临界点理论的基础上，用变分法证明了一类具有非光滑位势的半线性椭圆方程多重解的存在性．运
关键词：共振；非光滑ＰＳ条件；．．局部环绕定理；山路引理中图分类号：１５２文献标志码：文章编号：０８— ９４２ｏ）８— ０１３０７．５Ａ１０７７（ｏ８００２ —０收稿日期：０８一Ｏ２０１—１Ｏ
＜ ’
ａ（）：｛＝ ’∈Ｘ’：
，
ｈ＞ｓ。；）Ｖｈ ∈Ｘ｝（＾，，
却（是凸的，且是 ’的有界子集．却）并称
２＼｝｛是的广义次微分．并且若是局部Ｌｐ泛函，ｉ．则有（＋）却＋，和凸时当
：Ｒ如果｛｝Ｘ．
ｃ，（）｛｝有界，
ｍ（：ｉ｛１’ｌ． ’∈却（｝Ｏ９）＝ｍｎｌ１：）蕴涵
｛｝有收敛子列，则称泛函满足非光滑的ＰＳ条．．件．下面的定理来自张恭庆Ｈ是Ａｂｅｉａｉｍｍｓｔ —Ｒｂ— ｔ

全空间中一类椭圆方程组解的存在性

全空间中一类椭圆方程组解的存在性张虎梅;李鸿翔;郝悦斌【摘要】讨论了下面问题:｛-△u+qu =2α/α+β|u|α-2u| v|β,x∈RN,-△v+qv=2口β/α+β| u|α| v|β-2v, x∈RN,u,v∈H1(RN).应用变分法证明了以上椭圆方程组至少存在一个非平凡的非负解.【期刊名称】《贵州师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(034)005【总页数】8页(P41-48)【关键词】椭圆方程组;Nehari流形;能量泛函【作者】张虎梅;李鸿翔;郝悦斌【作者单位】山西大学数学科学学院,山西太原030006;山西大学数学科学学院,山西太原030006;山西大学数学科学学院,山西太原030006【正文语种】中文【中图分类】O175.25研究下面一类椭圆方程组其中q是连续函数,表示临界的Sobolev指数。

椭圆方程组解的存在性得到了广泛的研究,涌现出很多重要的研究成果。

尤其在有界区域上出现了大量的研究工作,比如Alves在文献 [1]中研究了下面的问题在这里,且b2-ac<0。

他们得到了当α+β=2*,b≥0,0≤λ1≤λ2,N≥4,(其中λ1,λ2为矩阵的两个特征值)时,方程组(2)存在一个正解。

Bouchekif和Kang等在文献 [2-4]中推广了上述结果。

随之半线性椭圆方程组多解的存在性问题也受到许多学者的关注,文献 [5-9]可作为参考。

在文献 [8]中对于半线性问题：其中α,β>1,α+β∈(2,2*),1<q<2,λ,δ∈R2\{(0,0)}, 且是单位外法向量。

Wu讨论了当f(x)=g(x)=h(x)=1时,用Nehari流形证明了在一定条件下方程组(3)至少有两个解。

而在文献 [9]中Brown证明了只要f(x),g(x),h(x)满足一定的条件就可以利用Nehari流形证明方程组有多个解。

后来许多学者都考虑Ω=RN的情形,在文献[10]中李工宝和王春花对下列方程组进行了深入研究:他们通过对f,g进行了适当假设证明了方程组(4)至少存在一个正解。

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（，ｗｈｒｉｏｎｅｍｏｔｏｉｎＲ，ｎ）ｅｅｎｓａｂｕｄｄｓｏｈｄｍａｎｉ
Ｋｅｙｗｏｒｓｍｕｌｉｅｓｕｔｏｄｔｐｌｏｌｉｎｓ；ｃｉｉａｏｉ；ＰＳｃｒｔｃｌｐｎｔｏｎｄｉｉｔｏｎ；ｅｓｅｅｘｉｔｎｃ
ＥｘｓｅｅｏｕｌｉｅＳｌｔｏｏａｓｉｔｎｃｆＭｔｐｌｏｕｉｎｓｆｒａＣｌｓｏｅｉｉａｌｐｔｃＰｒｂｅｓｆＳｍｌｎｅｒＥｌｉｉｏｌｍ
ＰｅｇｎＣｈａｑａｎｏｕ
类似的条件下，运用Ｍｏｓｒｅ理论的有关知识，讨论了
一
类四阶方程，也得到了至少两个非平凡解．本文希
望在ａ）（ ≠０的情形下，到方程（）少存在两个得１至非平凡解．为此，我们假设函数ｆｘ “ 在 ×Ｒ上满（，）
收稿日期
作者简介
▲１
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２１—４２０００ —７
彭超权（９９）男，士，师，１７一，博讲研究方向：微分方程， — ｉ：ｃ１７＠１３Ｃ１偏Ｅｍａｌｐｑ９９６．ＯＩＴ
（ｌｇｆＭａｈｍａｉｓａｄＳａｉｔｃ，Ｓｏｔ — ｎｒｌｎｖｒｉｏｔｎｌｔｓＷｕｎ４０７ＣｏｌｅｏｔｅｔｃｎｔｔｉｓｅｓｕｈＣｅｔａｉｅｓｔｆｒＮａｉａｉｉ，ｈａ３０４，Ｃｈｎ）Ｕｙｏｅｉａ
（）１
△ ＋ａ（Ｕ一／（ “）ｚＥ，ｚ），，
近年来，于问题（）关１的解的存在性以及多解的存在
在Ｈ）（中多解的存在性，中为Ｒ其中的光滑有界区域， Ⅳ≥３位势函数ａ）．（满足如下条件：
ＡｂｔａｔＵｓｎｈｅｒｔａｏｎｓｔｅｒｍ，ｗｅｓ０ｔａｈｅｉｎａｌｉｔｓｒｃｉｇｔｒｅｃｉｃ１ｐｉｔｈｏｅｉｈｗｈｔｔｅｓｍｌｅｒｅｌｉｉｐｃ
第２９卷第２期
２１００年６月
中南民族大学学报（自然科学版）
Ｊｕｎｌｏｕｈ— ｎｒｌＵｎｖｒｉｙｆｒＮａｉａｉｅ（ｔＳｉＥｄｉｉ）ｏｒａｆＳｏｔＣｅｔａｉｅｓｔｏｔｏｎｌｔｓＮａ．ｃ．ｉｔｏｎ
足如下条件：
（１厂∈Ｃ（ｆ）ＤＸＲ）且对某个Ｐ满足２＜２并 ≤ｐ
０ｒ
一
与方程（）对应的变分泛函为：１所
１ｒｒ
Ｉ）（＝寺ｌ１Ｉ（））－ｆ（，）ｘ（。 “ ｄｘｕｄ，＋ａｘＦ
ＶＥＥ，
（）２
１主要问题及结果
本文考虑如下一类半线性椭圆方程
一
ｒ“
其中Ｆ（ “ ｚ，）一Ｉ（，）ｓ寻求方程（）ｘｓｄ．ｆ１的解等价
√ ０
于寻求与方程（）对应的变分泛函（）临界点．１所２的
ＶＯ．９ＮＯ２１２．
Ｊ．Ｏ０ｕｎ２１
一
类半线性椭圆问题多解的存在性
彭超权
（中南民族大学数学与统计学学院，汉４０７）武３０４
摘
要
利用了３个临界点定理，究了一类半线性椭圆方程： △ ＋ｄｚ＝厂（）ｘＥ力，研一（）ｚ，，在Ｈ５ｎ）（中至少存在
性受到了广泛的关注］文Ｅ－论了问题（）．ｓ讨１１当
ａｚ＝０时的情形，们利用３个临界点定理得到（）他
（。口）ａ）（＞Ｏ并且满足口）（．（ＥＬ）在条件（。下，ａ）由文［］１可知，特征值问题：ｆＡ＋ａ） —Ａ，－ｕ（ｚｕｆ
Ｉ（．ＥＨ囝）有一串正的特征值序列＜ ≤ …≤ 九≤ …．令Ｅ（，）一１２ …表示对应于特征值九的特征空一２）
了方程（）１至少存在两个非平凡解．［］与文Ｅ３文６在５
．
两个非平凡解，中ｎ￣Ｒ￣的光滑有界区域，ｒ３口）ｏ并且满足口）ｉ（）其ｊ１中＾≥ ，＞， ∈ＬＮ门关键词多解；界点；Ｓ条件；在性临Ｐ存
中图分类号Ｏ１５２文献标识码Ａ文章编号１７ —３１２１）２０１－３７．５６２４２（０００ —１３０
ａｉｎ — Ａｕ＋ｄ（＝ｔｏｚ）
ｆ（ “）ｘ，，ＸＥｎ，ｐｓｅｓｓａｅｓｗｏｎｎｒｖａｓｌｔｎｏｓｓｅｔｌａｔｔｏｔｉｉｌｏｕｉｓｉｏｎ
Ⅳ ≥ ３口（＞ｏａｄｓｔｆｓｄ（ＥＬ（．，）ｎａｉｉｚ）ｓｅｎ）