(精品-1)广东省深圳市罗湖区望桐路七年级数学第17讲认识多边形培优讲义无答案新人教版2019-20200623194

第17讲 认识多边形

考点·方法·破译

1．了解多边形的有关概念，探索并了解多边形内角和和外角和公式.

2．通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形、或正六边形可以镶嵌平面，并能进行镶嵌设计.

经典·考题·赏析

【例１】如图所示是一个六边形.

(1)从顶点A 出发画这个多边形的所有对角线，这样的对角线有几条？它们将六边形分成几个三角形？

(2)画出此六边形的所有对角线，数一数共有几条？

【解法指导】本题主要考查多边形对角线的定义，对于n 边形，从n 边形的一个顶点出发，可引(n －3)条对角线，它们将这n 边形分成(n －2)个三角形，n 边形一共有

(3)

2

n n 条对角线， 解:(1)从顶点A 出发，共可画三条对角线，如图所示，它们分别是AC 、AD 、AE .将六边形分成四个三角形:△ABC 、△ACD 、△ADE 、△AEF ；

(2)六边形共有9条对角线. 【变式题组】

01．下列图形中，凸多边形有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

02．过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，k 边形对角线条数等于边数，则m ＝______，n

＝______，k ＝________.

03．已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，则此多边形的边数

是 .

【例２】(1)八边形的内角和是多少度？ (2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？

【解法指导】(1)多边形的内角和公式的推导：从n 边形一个顶点作对角线，可以作(n －3)条对角线，

并且将n 边形分成(n －2)个三角形，这(n －2)个三角形内角和恰好是多边形内角和，等于(n －2)·1800

；

(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.

解：(1)八边形的内角和为(8－2)×1800＝10800

； (2)设n 边形的内角和是八边形内角和的2倍，

则有(n －2)×1800＝10800

×2，解得n ＝14. 故十四边形的内角和是八边形内角和的2倍. 【变式题组】

01．已知n 边形的内角和为21600

，求n 边形的边数.

02．如果一个正多边的一个内角是1080

，则这个多边形是（ ）

A ．正方形

B ．正五边形

C ． 正六边形

D ．正七边形

03．已知一个多边形的内角和为10800

，则这个多边形的边数是（ ）

A ．8

B ．7

C ．6

D ．5

04．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE 的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝700

，

则∠AED 的度数为（ ）

A ．1100

B ．1080

C ．1050

D ．1000

5.当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和（）

A．都不变B．内角和增加1800，外角和不变

C．内角和增加1800，外角和减少1800D．都增加1800

【例３】一只蚂蚁从点A出发，每爬行5cm便左转600，则这只蚂蚁需要爬行多少路程才能回到点A？

解：蚂蚁爬行的路程构成一个正多边形，其路程就是这个正多边形的周长，根据已知可得这个正多边形

的每个外角均为600，则这个多边形的边数为

360

60

＝6.所以这只蚂蚁需要爬行5×6＝30(cm)才能回到点A．

【解法指导】多边形的外角和为3600.

(1)多边形的外角和恒等于3600，它与边数的多少无关.

(2)多边形的外角和的推导方法：由于多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于1800·n，外角和等于n·1800－(n－2)·1800＝3600.

(3)多边的外角和为什么等于3600，还可以这样理解：从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发点时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于3600.

(4) 多边形的外角和为3600的作用：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数，求各相等外角的度数.

【变式题组】

01．（无锡）八边形的内角和为_____.度.

02．（永州）如图所示，已知△ABC中，∠A＝400，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝_____

03．（资阳）n(n为整数，且n≥3)边形的内角和比（n+1）边形的内角和少____度.

04．（株洲）如图所示，小明在操场上从点A出发，沿直线前进10米后向左转400，再沿直线前进10米后，又向左转400，……，照这样下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了_____米.

【例４】已知两个多边形的内角和为18000，且两多边形的边数之比为2:5，求这两个多边形的边数.

【解法指导】因为两个多边形的边数之比为2:5，可设两个多边形的边数为2x和5x，利用多边形的内角可列出方程.

解：设这两个多边形的边数分别是2x和5x，则由多边形内角和定理可得：

(2x－2)·1800+(5x－2)·1800＝18000，解得x＝2，∴2x＝4，5x＝10，

故这两个多边形的边数分别为4和10.

【变式题组】

01．一个多边形除去一个角后，其余各内角的和为22100，这个多边形是___________

02．若一个多边形的外角和是其内角和的2

5

，则此多边形的边数为_____

03．每一个内角都相等的多边形，它的一个外角等于一个内角的2

3

，则这个多边形是（）

A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形

04．内角和与其外角和相等的多边形是___________

【例５】某人到瓷砖商店去购买一种多边形瓷砖，用来铺设无缝地面，他购买的瓷砖不可以是（）A．正三角形B．长方形C．正八边形D．正六边形

【解法指导】根据平面镶嵌的定义可知：在一个顶点处各多边形的内角和为3600，由于正三角形、长方形、正六边形的内角都是3600的约数，因此它们可以用来完成平面镶嵌，而正八边形的每个内角为1350，不是3600的约数，所以正八边形不能把平面镶嵌.

解：选C．