现代控制理论总复习

(bn1 an1bn )s n1 (b1 a1bn )s (b0 a0bn ) W ( s) bn s n an1s n1 a1s a0
输出含有与输入直接关联的项
能控标准Ⅰ型
x1 0 x 0 2 xn 1 0 x n a0 1 0 0 a1 0 1 0 a2 0 x1 0 0 x2 0 u 1 xn 1 0 an 1 xn 1
x[(k 1)T ] G(T ) x(kT ) H (T )u(kT ) y(kT ) Cx(kT ) Du(kT )
式中
G(T ) e , H (T ) e At B d t
AT 0
T
7）线性时变连续系统的离散化,离散化的 状态空间表达式为
x[(k 1)T ] G(kT ) x(kT ) H (kT )u(kT )
2 p21 1 2 p22 1 3 p23 1
1 p1 Ap1 0
3 p11 4 3 p 1 12 3 p13 1
3 p21 4 3 p 1 22 3 p23 1
的解；
状态转移矩阵φ(t,t0)的基本性质
1. φ(t,t0) 满足自身的矩阵微分方程及初始条件
(t, t0 ) A(t) (t, t0 )
2. 传递性
(t0 , t0 ) I
A和φ(t,t0)一般 不能交换
(t2 , t0 ) (t2 , t1 ) (t1, t0 )
2 s 2 11s 6 W ( s) 3 s 8s 2 17 s 10
2）能观标准Ⅱ型
x1 0 x2 0 x3 10 y 6 11 1 0 17 x1 2 x2 x3 0 x1 0 1 x2 0 u 8 x3 1
1 1 0 T 1 0 2 1 0 1
0 1 2 T 1 1 1 2 0 1 1
0 T = P 1 AP 1 0
1 1 1
2 4 2 1 1 1
1 0 1
能控标准Ⅰ型
x1 0 0 10 x1 6 x2 1 0 17 x2 11 u x3 0 1 8 x3 2 x1 y 0 0 1 x2 x3
Y ( s) bm s m bm1s m1 b1s b0 W ( s) n U ( s) s an1s n1 a1s a0
实现存在的条件：m≤n 当m<n时，d=0
x Ax bu 实现 y cx du
当m=n时，可以用长除法求得d =bm≠0，问题化为
3）对于同一系统，由于系统状态变量的选择不惟一，故建 立的系统状态表达式也不是惟一的。但是同一系统的传递 函数阵却是惟一的，即所谓传递函数阵的不变性；没有零 极点对消的传递函数的实现称为最小实现，即在所有实现 中，它的阶数最小。 4）由于状态变量选择的不惟一，对于同一系统，其状态 空间表达式可能不同，但状态变量个数等于系统中独立储 能元件的个数；
0

0
例 设系统传递函数如下，试写出其标准状态空间描述。
2 s 2 11s 6 W ( s) 3 s 8s 2 17 s 10 解：1）能控标准Ⅰ型
x1 0 x2 0 x3 10 y 6 11 1 0 17 x1 2 x2 x3 0 x1 0 1 x2 0 u 8 x3 1
状态空间描述变换为标准形
选择适当的变换矩阵T，使变换后的相似矩阵J为 对角线型或约当标准形
x Ax Bu y Cx
z T -1 ATz + T -1Bu = Jz + T -1Bu y CTz
（i=1，2，…，l）
特征值有重根求标准形（P38）
p11 1 p1 p12 1 p13 1
p21 1 p2 p22 0 p23 0
1 p2 Ap2 p1
p11 1 p1 p12 1 p13 1
p21 1 p2 p22 0 p23 0
3 p3 Ap3
p31 4 p 1 32 p33 1
1 0 1
2 p31 2 p32 3 p33
y(kT ) C (kT ) x(kT ) D(kT ) u(kT )
式中
C ( kT ) C (t ) D( kT ) D(t )
t kT t kT
二、基本要求 1）熟练掌握状态转移矩阵的求解方法、性质、 线性定常连续系统齐次状态方程的解
2）熟练掌握线性定常连续系统非齐次状态方程
6）状态空间表达式经线性变换可化系统矩阵A为
对角线标准型或约当标准型。若系统矩阵A的特征
值互异，必存在非奇异变换阵，将系统矩阵A化为
对角线标准型。当系统矩阵A的特征值有重根时， 一般来说，经线性变换，可将A化为约当标准型； 但在有些情况下也能将A转换为对角线标准型； 7）线性非奇异变换不改变系统的基本特征量，如
课程总复习
第一章
一、基本概念
1）状态空间表达式是由状态方程和输出方程组成；
状态方程是一个一阶微分方程组，主要描述系统 输入与系统状态的变化关系；输出方程是一个代 数方程，主要描述系统的输出与状态和输入的关 系。因此，状态空间表达式反映了控制系统的全
部信息；
2）对于不同的控制系统，根据相应的物理和化学定理，可 建立其系统的状态空间表达式；
5）微分方程、传递函数和方块图与状态空间表达 式之间可以相互转换。根据系统的传递函数可直 接写出系统的能控标准型实现。当系统的数学模 型以微分方程的形式描述且输入函数包含导数项
时，可先将其等效地转换为系统的传递函数，然
后利用传递函数的转换方法来建立系统的状态空
间表达式，这种方法可大大简化其求解过程；
x(t ) Φ(t t0 ) x(t0 ) Φ(t ) Bu( )d
t0
t
2）线性定常连续系统齐次状态方程的解可表示为
x(t ) Φ(t t0 ) x(t0 )
3）状态转移矩阵包含了系统运动的全部信息它可 以完全表征系统的动态特性。
4）线性时变系统非齐次状态方程的解在形式 上类似于线性定常系统，即
x(t ) Φ(t, t0 ) x(t0 ) Φ(t, ) Bu( )d
t0 t
Φ 式中， (t , t0 ) 为线性时变系统的状态转移矩阵，与 线性定常系统状态转移矩阵 Φ(t t0 ) 有着显著区别。
5）离散系统状态方程可以采用迭代法和Z变换 法来求解。 6）线性定常连续系统的离散化，离散化的状态 空间表达式为
3. 可逆性
(t, t0 ) (t0 , t )
1
例 已知系统状态方程,试确定该系统在输入作用分别为单位脉 冲函数、单位阶跃输入及单位斜坡函数时的状态响应。
线性非奇异变换不改变系统的特征值、传递函数阵
等；Leabharlann Baidu
二、要求 1）掌握根据系统的物理机理建立系统状态空间表 达式的方法； 2）会用系统结构图与模拟结构图来描述系统的状 态空间表达式； 3）掌握由系统的微分方程式建立系统状态空间表 达式的两种方法； 4）掌握由系统方框图建立状态空间表达式的方法； 5）掌握由系统的传递函数建立系统状态空间表达 式的三种方法；
能观标准Ⅱ型
a0 x1 c0 a1 x2 c1 a2 x3 c2 u an 1 xn cn 1 x1 x 2 1 bn u xn 1 xn
A的特征根有q个λ1的重根，其余（n - q ）个互异根，则
T p1 p2 pq pq 1 pn
1 p1 Ap1 0 p Ap p 1 2 2 1 1 pq Apq pq 1
p1，… ， pq
pq+1，… ， pn求解方法同前。
例 系统矩阵如下，试求将其变换成约当型矩阵的变 换矩阵T。
4 1 2 A 1 0 2 1 1 3
2 2 0 3
1 0 1
1 0 1
解：
4 1 I A 1
1 1
1 2 3，3 1
2 p11 2 p12 0 3 p13
6）掌握由系统的状态空间表达式求传递函 数阵的方法； 7）掌握由组合系统的状态空间表达式求传 递函数阵的方法；
8）利用线性变换可将状态方程化为对角线 标准型或约当标准型；
状态空间表达式的建立（P25、 P26 ）
y( n ) an1 y( n1) a1 y a0 y bmu( m) bm1u( m1) b1u b0u
y c0
c1

x1 x ci bi aibi 1 2 bnu cn 1 （i=0，1，2，…，n-1） xn
对偶 能控标准Ⅰ型
x1 x2 x3 xn y 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 1 2 1 3 1
1 0 0
0 3 2 0 1 0
1 3 0
0 0 1
第二章
一、基本概念 1）线性定常连续系统非齐次状态方程的解分为 零输入的状态转移和零状态的状态转移；系统的输 出响应由零输入响应和零状态响应两部分组成。