离散数学本科第一章电子文档
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
离散数学是现代数学的一个重要分支,是计算 机科学中基础理论的核心课程，为计算机科学提 供了有力的理论基础和工具。离散数学的基本思 想、概念和方法广泛地渗透到计算机科学与技术
发展的各个领域，而且其基本理论和研究成果更
是全面而系统地影响和推动着其发展。离散数学
的内容十分丰富，最重要，最核心的是：数理逻
辑、集合论、代数系统和图论。本课程主要讲授 以上四个方面的内容。
例1、 判断下列语句中哪些是命题． （1）人的血液是白色的． （2）x+y>5． （3）你的大学英语四级考试通过了吗？ （4）明年六一儿童节是晴天． （5）2+3=5． （6）地球之外的星球上也有人类． （7）请讲普通话！ （8）很多人喜欢中央3台的星光大道节目． （9）12是素数． （10）九寨沟的风景真是美丽啊！
内运算。
例如：p (q p) (q r ) q
三、命题符号化。
步骤：(1) 找出各简单命题，分别符号化。
(2) 找出各联结词，把简单命题逐个联结起来。
例5、 将下列命题符号化． （1）小王不富有但很快乐． （2）小王现在乘坐公共汽车或坐飞机． （3）如果明天有雾，他就不能坐轮船而是乘车过 江． （4）这个材料有趣，意味着这些习题很难，并且 反之亦然． （5）如果这个材料无趣或者习题不是很难，那么 这门课程就不会让人喜欢． （6）这门课程会让人喜欢，除非这个材料无趣并 且习题很难．
三、真值表。
A的真值表——指 A 在所有赋值之下取值列成的表。
构造命题公式的真值表的具体步骤如下： （1）找出公式 A中包含的所有命题变项 p1 , p2 , pn （ 若无下角标就按字典顺序给出），列出所有可能的 2 n 个）； 赋值（ （2）按照优先级的运算顺序：，，，，，进行 运算．如果出现括号，先进行括号中的运算，直到 计算出公式的真值．
（1） p (q r ) ( p q) ( p r ) （2） (( p q) (q p)) ( p q) p q
（3） ( p q) ( p q) p q
（1） p (q r ) ( p q) ( p r ) 解：p (q r ) p (q r )
q 解：（1）设 p ：小王富有，：小王很快乐， p q 符号化为 q （2）设 p：小王现在乘坐公共汽车，：小 王现在坐飞机，符号化为 p q p q （3） 设：明天有雾， ：他坐轮船过江， r ：他乘车过江，符号化为 p (q r )
对于（4）、（5）、（6），设 p ：这个材料 q r 有趣，：这些习题很难，：这门课程会让人喜 p ( 欢，则符号化分别为， q，p q) r ， r (p q) ．
11、蕴涵等值式
12、等价等值式
A B ( A B) ( B A)
A B B A
A B A B
13、假言易位
14、等价否定等值式
15、归谬论
( A B) ( A B) A
三、等值演算。 置换定理：如果 A B，则 ( A) ( B)。 例2、验证下列等值式。
(1)、(2)、(5)、(6)、(9)为重言式；
(3)、(8)为矛盾式；
(4)、(7)、(10)及以上的重言式均为可满足式。
第三节 公式的等值演算
内容：等值关系，24个重要等值式，等值演算。
重点：(1) 掌握两公式等值的定义。
(2) 掌握24个重要等值式，并能利用
其进行等值演算。
一、两命题公式间的等值关系。
p p 1、“非 ”称为 的否定式，记作 p
真值表
例如：p ：11是素数； p ：11不是素数 p 取值1， p 取值0。
p p 2、“ 并且 q ”称为 , q的合取式，记作 p q 。
真值表
q 在例1．（2）中，设 p 表示“2是素数”，表示“2 p, q 是偶数”，则表示“2是素数和偶数”，由于 的 pq 真值都是1，所以 的真值也是1．
1、定义：设 A, B为两命题公式，若等价式 A B
是重言式，则称 A与 B 是等值的，记作 A B 。
2、判定 。
判断两公式 A, B 是否等值，即判断 A B
是否重言式 。
例1、判断 A, B 两公式是否等值。
(1) A ( p q) ， B p q
解：作真值表如下：
数理逻辑简介
数理逻辑是用数学方法来研究推理的形式
结构和推理规律的数学学科，它与数学的其它
分支、计算机科学、人工智能、语言学等学科
Fra Baidu bibliotek
均有密切的联系。命题逻辑和一阶谓词逻辑是
数理逻辑中最成熟的部分，在计算机科学中应
用最为广泛，其中命题逻辑是数理逻辑的最基
础部分，谓词逻辑是在它的基础上发展起来的。
本课程在第一，二两章中介绍数理逻辑的内容。
第一章命题逻辑
第一节 命题与逻辑联结词
内容：命题，逻辑联结词，命题符号化 重点：(1)掌握命题概念 (2)掌握联结词含义及真值表 (3)掌握命题符号化方法
一、命题的概念
命题：能判断真假的陈述句。
真值 真（记为T或1）
假（记为F或0）
注：(1)命题必须是一个完整的陈述句． （2）命题的真值具有唯一性，确定性． （3）真值的唯一性并不一定要求现在就能判断 出命题的真假，要是在将来某时候能判断出真假 也行，真值是否唯一与是否知道其真值是两回 事．
A ( A B) A ，
A ( A B) A
7、零律 8、同一律
A 1 1 ，A 0 0
A 0 A ， A 1 A
9、互否律
A A 1 (排中律)，
A A 0 (矛盾律)
10、双重否定律
(A) A
A B A B
(p r ) (q r ) 蕴涵等值式
（3） p q) ( p q) p q ( 解：( p q) ( p q) ( p q) ( p q)
例3、给定命题公式如下，请判断哪些是重言式，
哪些是矛盾式，哪些是可满足式？ (1) ( p q) ( p q) (2) ( p q) p q q p (3) ( p q) q
(4) ( p p) q
(5) p ( p q)
例1、判断以下字符串中哪些是命题公式。 (1) p (q r ) (3) pq r (5) p q
(2) p (q r )
(4) (p q r (6) p (q r )
解：(1)、(2)、(6)是公式，(3)、(4)、(5)不是。
二、 公式 A 的解释或赋值
第二节 命题公式与解释
内容：命题公式，重言式，矛盾式，可满足公式。
重点：(1) 掌握命题公式的定义及公式的真值表。 (2) 掌握重言式和矛盾式的定义及使用真 值表进行判断。
一、命题公式 通俗地说，命题公式是由命题常项，命题变项，
联结词，括号等组成的字符串。 规定：公式中最外层的括号，及 (A)的括号可省略。
6、逻辑联结词与自然语言中联结词的关系。
否定——不是，没有，非，不。 合取——并且，同时，和，既…又…，不 但…而且…，虽然…但是…。
析取——或者，或许，可能。 蕴涵——若…则…，假如…那么…，既然… 那就…，倘若…就…。 等价——当且仅当，充分必要，相同，一样。
7、运算顺序 逻辑联结词也称逻辑运算符，规定优先级的顺 序为 , , , , ，若有括号时，先进行括号
3、分配律 A ( B C ) ( A B) ( A C ) ，
A ( B C ) ( A B) ( A C )
4、德摩根律
( A B) A B ，
( A B) A B
5、等幂律 6、吸收律
A A A ，A A A
例2、 将下列命题符号化． （1）王教授不仅研究经济学而且研究管 理学． （2）王教授虽然研究经济学但不研究管 理学． （3）王教授研究经济学及管理学． （4）王教授和李教授是大学校友． 解：设：王教授研究经济学，：王教授研 究管理学，则（1）（2）（3）分别符号化 为 p q, p q p q. （4）是简单命题，符号 , 化为 r：王教授和李教授是大学校友．
(2) A p q ， B ( p q) (q p) 解：作真值表如下：
二、重要等值式。 1、交换律
A B B A ，A B B A
2、结合律 ( A B) C A ( B C ) ，
( A B) C A ( B C )
(p q) (p r )
蕴涵等值式 分配律
( p q) ( p r ) 蕴涵等值式
（2） ( p q) r (p q) r 解：
(p q) r
(p q) r
蕴涵等值式 蕴涵等值式 德· 摩根律
双重否定律与分配律 ( p r ) (q r )
(1) 如果天不下雨，我就骑车上班。 p q
(2) 只要天不下雨，我就骑车上班。 (3) 只有天不下雨，我才骑车上班。
p q
q p
(或 p q )
(4) 除非天下雨，否则我就骑车上班。 p q
(5) 如果天下雨，我就不骑车上班。
p q
5、“p 当且仅当 q ”称p, q的等价式，记作 p q 。 p 是 q 的充要条件， 也是 p 的充要条件。 q 真值表：
例2、求下列命题公式的真值表。 (1) (q p) p 解：
(2) (p q) (q p)
解：
四、命题公式的分类 1、定义：设 A是任意一个命题公式． （1）若 A 在它的各种赋值下取值均为假，则称 为永假式或矛盾式； （2）若 A 在它的各种赋值下取值均为真，则称 为永真式或重言式； （3）若 A 至少存在一组赋值是成真赋值，则称 为可满足式； 2、判定方法:真值表法。
赋值 成真赋值（使A为真的赋值）
成假赋值（使A为假的赋值）
如公式 A ( p q) r ，110( p 1, q 1, r 0 ， 按字典序)为 A 的成假赋值，111，011，010…… 等是 A 的成真赋值。 n 含 n(n 1) 个命题变项的命题公式，共有2 组 不同赋值。
(6)
p q p p
(7) ( p q) ( p q)
(8) ( p p) q q r (9) ( p q r ) (p q r ) (10) ( p q) r
解：列出各题真值表如下(步骤简略)
判断一个语句是否为命题，首先看是否为陈 述句，再看其真值是否唯一。 命题常项，命题变项均用 p, q, r ,, pi , qi , ri 表示。
二、逻辑联结词。
命题 复合命题（由简单命题用联接词联接而成的命题） 常用的联结词有 , , , , 这五种 简单命题（不能再分解成更简单的命题）
例4、 p ：2 2 4 ，q ：3是奇数
(1) 2 2 4 当且仅当3是奇数。 p q
(2) 2 2 4 当且仅当3不是奇数。 p q (3) 2 2 4 当且仅当3是奇数。 p q (4) 2 2 4 当且仅当3不是奇数。 p q
p 3、“ 或者 q ”称p, q的析取式，记作 p q 。
真值表
例如，p ：小明学过英语， q ：小明学过日语，
则小明学过英语或日语可表示为 p q
p 4、“如果p 那么 q ”称 , q 的蕴涵式，记作 p q 其中 p 为前件，q 为后件。
真值表：
例3、 p ：天下雨，q ：我骑车上班。
发展的各个领域，而且其基本理论和研究成果更
是全面而系统地影响和推动着其发展。离散数学
的内容十分丰富，最重要，最核心的是：数理逻
辑、集合论、代数系统和图论。本课程主要讲授 以上四个方面的内容。
例1、 判断下列语句中哪些是命题． （1）人的血液是白色的． （2）x+y>5． （3）你的大学英语四级考试通过了吗？ （4）明年六一儿童节是晴天． （5）2+3=5． （6）地球之外的星球上也有人类． （7）请讲普通话！ （8）很多人喜欢中央3台的星光大道节目． （9）12是素数． （10）九寨沟的风景真是美丽啊！
内运算。
例如：p (q p) (q r ) q
三、命题符号化。
步骤：(1) 找出各简单命题，分别符号化。
(2) 找出各联结词，把简单命题逐个联结起来。
例5、 将下列命题符号化． （1）小王不富有但很快乐． （2）小王现在乘坐公共汽车或坐飞机． （3）如果明天有雾，他就不能坐轮船而是乘车过 江． （4）这个材料有趣，意味着这些习题很难，并且 反之亦然． （5）如果这个材料无趣或者习题不是很难，那么 这门课程就不会让人喜欢． （6）这门课程会让人喜欢，除非这个材料无趣并 且习题很难．
三、真值表。
A的真值表——指 A 在所有赋值之下取值列成的表。
构造命题公式的真值表的具体步骤如下： （1）找出公式 A中包含的所有命题变项 p1 , p2 , pn （ 若无下角标就按字典顺序给出），列出所有可能的 2 n 个）； 赋值（ （2）按照优先级的运算顺序：，，，，，进行 运算．如果出现括号，先进行括号中的运算，直到 计算出公式的真值．
（1） p (q r ) ( p q) ( p r ) （2） (( p q) (q p)) ( p q) p q
（3） ( p q) ( p q) p q
（1） p (q r ) ( p q) ( p r ) 解：p (q r ) p (q r )
q 解：（1）设 p ：小王富有，：小王很快乐， p q 符号化为 q （2）设 p：小王现在乘坐公共汽车，：小 王现在坐飞机，符号化为 p q p q （3） 设：明天有雾， ：他坐轮船过江， r ：他乘车过江，符号化为 p (q r )
对于（4）、（5）、（6），设 p ：这个材料 q r 有趣，：这些习题很难，：这门课程会让人喜 p ( 欢，则符号化分别为， q，p q) r ， r (p q) ．
11、蕴涵等值式
12、等价等值式
A B ( A B) ( B A)
A B B A
A B A B
13、假言易位
14、等价否定等值式
15、归谬论
( A B) ( A B) A
三、等值演算。 置换定理：如果 A B，则 ( A) ( B)。 例2、验证下列等值式。
(1)、(2)、(5)、(6)、(9)为重言式；
(3)、(8)为矛盾式；
(4)、(7)、(10)及以上的重言式均为可满足式。
第三节 公式的等值演算
内容：等值关系，24个重要等值式，等值演算。
重点：(1) 掌握两公式等值的定义。
(2) 掌握24个重要等值式，并能利用
其进行等值演算。
一、两命题公式间的等值关系。
p p 1、“非 ”称为 的否定式，记作 p
真值表
例如：p ：11是素数； p ：11不是素数 p 取值1， p 取值0。
p p 2、“ 并且 q ”称为 , q的合取式，记作 p q 。
真值表
q 在例1．（2）中，设 p 表示“2是素数”，表示“2 p, q 是偶数”，则表示“2是素数和偶数”，由于 的 pq 真值都是1，所以 的真值也是1．
1、定义：设 A, B为两命题公式，若等价式 A B
是重言式，则称 A与 B 是等值的，记作 A B 。
2、判定 。
判断两公式 A, B 是否等值，即判断 A B
是否重言式 。
例1、判断 A, B 两公式是否等值。
(1) A ( p q) ， B p q
解：作真值表如下：
数理逻辑简介
数理逻辑是用数学方法来研究推理的形式
结构和推理规律的数学学科，它与数学的其它
分支、计算机科学、人工智能、语言学等学科
Fra Baidu bibliotek
均有密切的联系。命题逻辑和一阶谓词逻辑是
数理逻辑中最成熟的部分，在计算机科学中应
用最为广泛，其中命题逻辑是数理逻辑的最基
础部分，谓词逻辑是在它的基础上发展起来的。
本课程在第一，二两章中介绍数理逻辑的内容。
第一章命题逻辑
第一节 命题与逻辑联结词
内容：命题，逻辑联结词，命题符号化 重点：(1)掌握命题概念 (2)掌握联结词含义及真值表 (3)掌握命题符号化方法
一、命题的概念
命题：能判断真假的陈述句。
真值 真（记为T或1）
假（记为F或0）
注：(1)命题必须是一个完整的陈述句． （2）命题的真值具有唯一性，确定性． （3）真值的唯一性并不一定要求现在就能判断 出命题的真假，要是在将来某时候能判断出真假 也行，真值是否唯一与是否知道其真值是两回 事．
A ( A B) A ，
A ( A B) A
7、零律 8、同一律
A 1 1 ，A 0 0
A 0 A ， A 1 A
9、互否律
A A 1 (排中律)，
A A 0 (矛盾律)
10、双重否定律
(A) A
A B A B
(p r ) (q r ) 蕴涵等值式
（3） p q) ( p q) p q ( 解：( p q) ( p q) ( p q) ( p q)
例3、给定命题公式如下，请判断哪些是重言式，
哪些是矛盾式，哪些是可满足式？ (1) ( p q) ( p q) (2) ( p q) p q q p (3) ( p q) q
(4) ( p p) q
(5) p ( p q)
例1、判断以下字符串中哪些是命题公式。 (1) p (q r ) (3) pq r (5) p q
(2) p (q r )
(4) (p q r (6) p (q r )
解：(1)、(2)、(6)是公式，(3)、(4)、(5)不是。
二、 公式 A 的解释或赋值
第二节 命题公式与解释
内容：命题公式，重言式，矛盾式，可满足公式。
重点：(1) 掌握命题公式的定义及公式的真值表。 (2) 掌握重言式和矛盾式的定义及使用真 值表进行判断。
一、命题公式 通俗地说，命题公式是由命题常项，命题变项，
联结词，括号等组成的字符串。 规定：公式中最外层的括号，及 (A)的括号可省略。
6、逻辑联结词与自然语言中联结词的关系。
否定——不是，没有，非，不。 合取——并且，同时，和，既…又…，不 但…而且…，虽然…但是…。
析取——或者，或许，可能。 蕴涵——若…则…，假如…那么…，既然… 那就…，倘若…就…。 等价——当且仅当，充分必要，相同，一样。
7、运算顺序 逻辑联结词也称逻辑运算符，规定优先级的顺 序为 , , , , ，若有括号时，先进行括号
3、分配律 A ( B C ) ( A B) ( A C ) ，
A ( B C ) ( A B) ( A C )
4、德摩根律
( A B) A B ，
( A B) A B
5、等幂律 6、吸收律
A A A ，A A A
例2、 将下列命题符号化． （1）王教授不仅研究经济学而且研究管 理学． （2）王教授虽然研究经济学但不研究管 理学． （3）王教授研究经济学及管理学． （4）王教授和李教授是大学校友． 解：设：王教授研究经济学，：王教授研 究管理学，则（1）（2）（3）分别符号化 为 p q, p q p q. （4）是简单命题，符号 , 化为 r：王教授和李教授是大学校友．
(2) A p q ， B ( p q) (q p) 解：作真值表如下：
二、重要等值式。 1、交换律
A B B A ，A B B A
2、结合律 ( A B) C A ( B C ) ，
( A B) C A ( B C )
(p q) (p r )
蕴涵等值式 分配律
( p q) ( p r ) 蕴涵等值式
（2） ( p q) r (p q) r 解：
(p q) r
(p q) r
蕴涵等值式 蕴涵等值式 德· 摩根律
双重否定律与分配律 ( p r ) (q r )
(1) 如果天不下雨，我就骑车上班。 p q
(2) 只要天不下雨，我就骑车上班。 (3) 只有天不下雨，我才骑车上班。
p q
q p
(或 p q )
(4) 除非天下雨，否则我就骑车上班。 p q
(5) 如果天下雨，我就不骑车上班。
p q
5、“p 当且仅当 q ”称p, q的等价式，记作 p q 。 p 是 q 的充要条件， 也是 p 的充要条件。 q 真值表：
例2、求下列命题公式的真值表。 (1) (q p) p 解：
(2) (p q) (q p)
解：
四、命题公式的分类 1、定义：设 A是任意一个命题公式． （1）若 A 在它的各种赋值下取值均为假，则称 为永假式或矛盾式； （2）若 A 在它的各种赋值下取值均为真，则称 为永真式或重言式； （3）若 A 至少存在一组赋值是成真赋值，则称 为可满足式； 2、判定方法:真值表法。
赋值 成真赋值（使A为真的赋值）
成假赋值（使A为假的赋值）
如公式 A ( p q) r ，110( p 1, q 1, r 0 ， 按字典序)为 A 的成假赋值，111，011，010…… 等是 A 的成真赋值。 n 含 n(n 1) 个命题变项的命题公式，共有2 组 不同赋值。
(6)
p q p p
(7) ( p q) ( p q)
(8) ( p p) q q r (9) ( p q r ) (p q r ) (10) ( p q) r
解：列出各题真值表如下(步骤简略)
判断一个语句是否为命题，首先看是否为陈 述句，再看其真值是否唯一。 命题常项，命题变项均用 p, q, r ,, pi , qi , ri 表示。
二、逻辑联结词。
命题 复合命题（由简单命题用联接词联接而成的命题） 常用的联结词有 , , , , 这五种 简单命题（不能再分解成更简单的命题）
例4、 p ：2 2 4 ，q ：3是奇数
(1) 2 2 4 当且仅当3是奇数。 p q
(2) 2 2 4 当且仅当3不是奇数。 p q (3) 2 2 4 当且仅当3是奇数。 p q (4) 2 2 4 当且仅当3不是奇数。 p q
p 3、“ 或者 q ”称p, q的析取式，记作 p q 。
真值表
例如，p ：小明学过英语， q ：小明学过日语，
则小明学过英语或日语可表示为 p q
p 4、“如果p 那么 q ”称 , q 的蕴涵式，记作 p q 其中 p 为前件，q 为后件。
真值表：
例3、 p ：天下雨，q ：我骑车上班。